अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।
तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिए . आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।
इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।
व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। इसके अलावा, हम डेरिवेटिव की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के लिए सूत्र - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।
उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।
डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:
उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करें, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा पद, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:
यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।
सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
| 1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है | |
| 2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है | |
| 3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है। | |
| 4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न | |
| 5. वर्गमूल का व्युत्पन्न | |
| 6. साइन व्युत्पन्न | |
| 7. कोसाइन व्युत्पन्न |  |
| 8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न |  |
| 9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न |  |
| 11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न |  |
| 12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न | |
| 15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न |  |
| 16. घातांक का व्युत्पन्न | |
| 17. घातीय फलन का व्युत्पन्न |
विभेदन नियम
| 1. योग या अंतर का व्युत्पन्न |  |
| 2. उत्पाद का व्युत्पन्न |  |
| 2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न | |
| 3. भागफल का व्युत्पन्न |  |
| 4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न |  |
नियम 1यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य
और
वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।
नियम 2यदि कार्य
किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है
और
वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।
परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:
परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है।
उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:
नियम 3यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग और , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और
वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .
अन्य पृष्ठों पर कहां देखें
वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक साथ कई भेदभाव नियम लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए इन डेरिवेटिव पर अधिक उदाहरण लेख में हैं।"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".
टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे डेरिवेटिव के संकेत से निकाल दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक-दो-घटक उदाहरणों को हल करता है, यह गलती अब नहीं होती है।
और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .
एक अन्य सामान्य गलती एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान है। इसलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।
साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाऔर भिन्न के साथ क्रिया .
यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है 
, फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।
यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे 
, तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।
चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें
उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:
इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद एक ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हमें डेरिवेटिव के निम्नलिखित मूल्य मिलते हैं:
हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:
हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह भी न भूलें कि उत्पाद, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा कारक है, को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:
यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिसमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, 
फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .
यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है, अर्थात, जब फलन ऐसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .
उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद विभेदन नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। इस फलन में हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:
अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।
व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:
एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।
अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? लेकिन कौन सा:
किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।
दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:
एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:
नियम एक: स्थिरांक निकालें
स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .
उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:
नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न
दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।
हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
फेसला: 
यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।
उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:
इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।
नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न
दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:
हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।
इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।
इस पाठ में, हम सीखेंगे कि विभेदीकरण के सूत्रों और नियमों को कैसे लागू किया जाए।
उदाहरण। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें।
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9। नियम लागू करना मैं, सूत्र 4, 2 और 1. हम पाते हैं:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1।
2. वाई=3x6 -2x+5. हम समान सूत्रों और सूत्रों का उपयोग करके समान रूप से हल करते हैं 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2।
नियम लागू करना मैं, सूत्र 3, 5
और 6
और 1.
नियम लागू करना चतुर्थ, सूत्र 5
और 1
.
पांचवें उदाहरण में, नियम के अनुसार मैंयोग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, और हमने अभी पहले पद का व्युत्पन्न पाया है (उदाहरण 4 ), इसलिए, हम व्युत्पन्न पाएंगे 2और 3निबंधन और 1st . के लिएशब्द, हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।
फर्क 2और 3सूत्र के अनुसार शर्तें 4
. ऐसा करने के लिए, हम हर में तीसरी और चौथी डिग्री की जड़ों को नकारात्मक घातांक वाली शक्तियों में बदलते हैं, और फिर, के अनुसार 4
सूत्र, हम शक्तियों के व्युत्पन्न पाते हैं।
इस उदाहरण और परिणाम को देखें। क्या आपने पैटर्न पकड़ा? अच्छा। इसका मतलब है कि हमारे पास एक नया फॉर्मूला है और इसे हमारी डेरिवेटिव टेबल में जोड़ सकते हैं।
आइए छठे उदाहरण को हल करें और एक और सूत्र प्राप्त करें।
हम नियम का उपयोग करते हैं चतुर्थऔर सूत्र 4
. हम परिणामी अंशों को कम करते हैं।
हम इस फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को देखते हैं। आप, निश्चित रूप से, पैटर्न को समझ गए हैं और सूत्र का नाम देने के लिए तैयार हैं:
नए सूत्र सीखना!
उदाहरण।
1. तर्क वृद्धि और फ़ंक्शन वृद्धि खोजें y= x2यदि तर्क का प्रारंभिक मान था 4 , और नया 4,01 .
फेसला।
नया तर्क मान एक्स \u003d एक्स 0 + x. डेटा को प्रतिस्थापित करें: 4.01=4+Δx, इसलिए तर्क की वृद्धि मैं=4.01-4=0.01। किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन के नए और पिछले मानों के बीच के अंतर के बराबर होती है, अर्थात। y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0)। चूंकि हमारे पास एक फ़ंक्शन है वाई = x2, तब y\u003d (x 0 + x) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · x+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
जवाब: तर्क वृद्धि मैं=0.01; समारोह वृद्धि y=0,0801.
फ़ंक्शन वृद्धि को किसी अन्य तरीके से खोजना संभव था: y\u003d y (x 0 + x) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801।
2. फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का पता लगाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर एक्स 0, अगर च "(एक्स 0) \u003d 1.
फेसला।
संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य एक्स 0और स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा का मान है (व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। हमारे पास है: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,जैसा टीजी45°=1.
जवाब: इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, बराबर 45°.
3. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करें वाई = एक्सएन.
भेदभावकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का कार्य है।
डेरिवेटिव ढूंढते समय, व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है, उसी तरह जैसे हमने व्युत्पन्न डिग्री के लिए सूत्र प्राप्त किया था: (एक्स एन)" = एनएक्स एन -1.
उसके सूत्र इस प्रकार हैं।
व्युत्पन्न तालिकामौखिक योगों का उच्चारण करके याद रखना आसान होगा:
1. एक स्थिर मान का व्युत्पन्न शून्य है।
2. एक्स स्ट्रोक एक के बराबर है।
3. अचर गुणनखंड को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है।
4. एक डिग्री का व्युत्पन्न एक ही आधार के साथ इस डिग्री के घातांक के गुणनफल के बराबर होता है, लेकिन घातांक एक कम होता है।
5. जड़ का व्युत्पन्न एक के बराबर होता है जो समान जड़ों के दो से विभाजित होता है।
6. एकता का व्युत्पत्ति x से विभाजित होता है, शून्य से एक को x वर्ग से विभाजित किया जाता है।
7. ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर होता है।
8. कोज्या का व्युत्पन्न ऋण साइन के बराबर है।
9. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न कोज्या के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है।
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न शून्य से एक है जिसे ज्या के वर्ग से विभाजित किया जाता है।
हम पढ़ाते हैं भेदभाव नियम.
1.
बीजीय योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न पदों के बीजीय योग के बराबर होता है।
2. उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे कारक के पहले कारक के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है और दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा पहले कारक के उत्पाद के बराबर होता है।
3. "y" का व्युत्पन्न "ve" से विभाजित एक अंश के बराबर होता है, जिसके अंश में "y एक स्ट्रोक है जिसे "ve" माइनस "y से गुणा किया जाता है, एक स्ट्रोक से गुणा किया जाता है", और हर में - "ve चुकता" "
4. सूत्र का एक विशेष मामला 3.
आइए एक साथ सीखें!
1 1 का पेज 1
यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वृद्धि अनुपात की सीमा है आपतर्क की वृद्धि के लिए एक्स:
ऐसा लगता है कि सब कुछ स्पष्ट हो गया है। लेकिन इस सूत्र द्वारा गणना करने का प्रयास करें, मान लीजिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+ 3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप परिभाषा के अनुसार सब कुछ करते हैं, तो गणना के कुछ पन्नों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।
आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि तथाकथित प्राथमिक कार्यों को विभिन्न प्रकार के कार्यों से अलग किया जा सकता है। ये अपेक्षाकृत सरल भाव हैं, जिनके डेरिवेटिव की गणना लंबे समय से की गई है और उन्हें तालिका में दर्ज किया गया है। इस तरह के कार्यों को उनके डेरिवेटिव के साथ याद रखना काफी आसान है।
प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न
प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सब कुछ हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को दिल से जाना जाना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद करना मुश्किल नहीं है - इसलिए वे प्राथमिक हैं।
तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:
| नाम | समारोह | यौगिक |
| नियत | एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर | 0 (हाँ, हाँ, शून्य!) |
| तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री | एफ(एक्स) = एक्स एन | एन · एक्स एन − 1 |
| साइनस | एफ(एक्स) = पाप एक्स | क्योंकि एक्स |
| कोज्या | एफ(एक्स) = कोस एक्स | - पाप एक्स(माइनस साइन) |
| स्पर्शरेखा | एफ(एक्स) = टीजी एक्स | 1/कोस 2 एक्स |
| कोटैंजेंट | एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स | - 1/पाप2 एक्स |
| प्राकृतिक | एफ(एक्स) = लॉग एक्स | 1/एक्स |
| मनमाना लघुगणक | एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स | 1/(एक्सएलएन ए) |
| घातांक प्रकार्य | एफ(एक्स) = इ एक्स | इ एक्स(कुछ नहीं बदला) |
यदि एक प्राथमिक फलन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फलन का व्युत्पन्न भी आसानी से परिकलित किया जाता है:
(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.
सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए:
(2एक्स 3)' = 2 ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .
जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और बहुत कुछ। इस तरह से नए कार्य दिखाई देंगे, जो अब बहुत प्राथमिक नहीं हैं, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार अलग-अलग भी हैं। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।
योग और अंतर का व्युत्पन्न
कार्यों को करने दें एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिनके डेरिवेटिव हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। तब आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:
- (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
- (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’
तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.
कड़ाई से बोलते हुए, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की अवधारणा है। इसलिए, अंतर एफ − जीयोग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र शेष रहता है - योग का व्युत्पन्न।
एफ(एक्स) = एक्स 2 + सिनक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 2+ पाप एक्स)’ = (एक्स 2)'+ (पाप .) एक्स)’ = 2एक्स+ कॉक्स;
हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क देते हैं जी(एक्स) केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):
जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).
जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ कॉक्स;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स
2 + 1).
किसी उत्पाद का व्युत्पन्न
गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल"\u003e डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन आपके लिए अंजीर! उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:
(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’
सूत्र सरल है, लेकिन अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 कॉक्स; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स .
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का एक उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' कोस एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (-sin एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)
समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना इससे नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला गुणक जी(एक्स) एक बहुपद है, और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स- 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) ( इ एक्स)’ = (2एक्स+ 7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स = इ एक्स(2 .) एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .
जवाब:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+ 9) · इ
एक्स
.
ध्यान दें कि अंतिम चरण में, व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन का पता लगाने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो जाएगा, इसके संकेत मिल जाएंगे, और इसी तरह। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना बेहतर है।
यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) 0 हमारे लिए रुचि के सेट पर, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स) ऐसे फ़ंक्शन के लिए, आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:
कमजोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? लेकिन इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:
प्रत्येक अंश के अंश और हर में प्राथमिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें केवल भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है:
परंपरा से, हम अंश को कारकों में विभाजित करते हैं - यह उत्तर को बहुत सरल करेगा:
एक जटिल फलन जरूरी नहीं कि आधा किलोमीटर लंबा एक सूत्र हो। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर चर बदलें एक्स, कहना, पर एक्स 2+एलएन एक्स. यह पता चला है एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स) एक जटिल कार्य है। उसके पास एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन यह ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इसे खोजने के लिए काम नहीं करेगा।
कैसे बनें? ऐसे मामलों में, एक चर के प्रतिस्थापन और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मदद करता है:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).
एक नियम के रूप में, इस सूत्र की समझ के साथ स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसकी व्याख्या करना भी बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स)
ध्यान दें कि यदि समारोह में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 . के बजाय एक्स+3 आसान हो जाएगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: मान लीजिए 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र द्वारा एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’
और अब - ध्यान! एक रिवर्स प्रतिस्थापन करना: टी = 2एक्स+ 3. हमें मिलता है:
एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+ 3 (2 .) एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3
अब फंक्शन को देखते हैं जी(एक्स) जाहिर है प्रतिस्थापित करने की जरूरत है। एक्स 2+एलएन एक्स = टी. हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = कोस टी · टी ’
रिवर्स रिप्लेसमेंट: टी = एक्स 2+एलएन एक्स. फिर:
जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · ( एक्स 2+एलएन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · (2 .) एक्स + 1/एक्स).
बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या को योग के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है।
जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2 इ
2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स).
बहुत बार मेरे पाठों में, "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय, मैं "स्ट्रोक" शब्द का उपयोग करता हूं। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर है। क्या यह स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।
इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इन बहुत स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए व्युत्पन्न की गणना नीचे आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक परिमेय घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर लौटते हैं:
(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1
कम ही लोग जानते हैं कि भूमिका में एनएक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. लेकिन क्या होगा अगर जड़ के नीचे कुछ मुश्किल है? फिर से, एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षण और परीक्षा में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।
काम। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
सबसे पहले, आइए रूट को एक परिमेय घातांक के साथ एक घात के रूप में फिर से लिखें:
एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .
अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: let एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' टी' = 0.5 टी-0.5 टी ’.
हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं: टी = एक्स 2 + 8एक्स- 7. हमारे पास है:
एफ ’(एक्स) = 0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7) -0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7)' = 0.5 (2 .) एक्स+ 8) ( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .
अंत में, वापस जड़ों की ओर:
