असमानताओं को ऑनलाइन हल करना

असमानताओं को हल करने से पहले, यह अच्छी तरह से समझना आवश्यक है कि समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि असमानता सख्त () या गैर-सख्त (≤, ) है, पहला कदम असमानता चिह्न को समानता (=) के साथ बदलकर समीकरण को हल करना है।

बताएं कि असमानता को हल करने का क्या मतलब है?

समीकरणों का अध्ययन करने के बाद, छात्र के सिर में निम्नलिखित चित्र होता है: आपको चर के ऐसे मान खोजने होंगे जिनके लिए समीकरण के दोनों भाग समान मान लेते हैं। दूसरे शब्दों में, उन सभी बिंदुओं को खोजें जहाँ समानता है। सब कुछ सही है!

असमानताओं के बारे में बात करते समय, उनका मतलब उन अंतरालों (खंडों) को ढूंढना है जिन पर असमानता है। यदि असमानता में दो चर हैं, तो समाधान अब अंतराल नहीं होगा, बल्कि समतल पर कुछ क्षेत्र होंगे। अंदाजा लगाइए कि तीन चरों में असमानता का समाधान क्या होगा?

असमानताओं को कैसे दूर करें?

अंतराल की विधि (उर्फ अंतराल की विधि) को असमानताओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जाता है, जिसमें उन सभी अंतरालों को निर्धारित करना शामिल है जिनके भीतर दी गई असमानता को पूरा किया जाएगा।

असमानता के प्रकार में जाने के बिना, इस मामले में यह सार नहीं है, इसके लिए संबंधित समीकरण को हल करना और इसकी जड़ों को निर्धारित करना आवश्यक है, इसके बाद संख्यात्मक अक्ष पर इन समाधानों का पदनाम।

असमानता का हल लिखने का सही तरीका क्या है?

जब आपने असमानता को हल करने के लिए अंतराल निर्धारित कर लिया है, तो आपको समाधान को सही ढंग से लिखना होगा। एक महत्वपूर्ण बारीकियां है - क्या समाधान में शामिल अंतराल की सीमाएं हैं?

यहाँ सब कुछ सरल है। यदि समीकरण का हल ODZ को संतुष्ट करता है और असमानता सख्त नहीं है, तो असमानता के समाधान में अंतराल की सीमा शामिल है। अन्यथा, नहीं।

प्रत्येक अंतराल को ध्यान में रखते हुए, असमानता का समाधान स्वयं अंतराल, या आधा-अंतराल (जब इसकी सीमाओं में से एक असमानता को संतुष्ट करता है), या एक खंड - इसकी सीमाओं के साथ एक अंतराल हो सकता है।

महत्वपूर्ण बिंदु

यह मत सोचो कि केवल अंतराल, आधे अंतराल और खंड ही असमानता का समाधान हो सकते हैं। नहीं, समाधान में व्यक्तिगत बिंदुओं को भी शामिल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, असमानता |x|≤0 का केवल एक ही हल है - बिंदु 0।

और असमानता |x|

असमानता कैलकुलेटर किसके लिए है?

असमानता कैलकुलेटर सही अंतिम उत्तर देता है। इस मामले में, ज्यादातर मामलों में, संख्यात्मक अक्ष या विमान का एक उदाहरण दिया जाता है। आप देख सकते हैं कि समाधान में अंतराल की सीमाएं शामिल हैं या नहीं - अंक भरे हुए या छेद किए गए प्रदर्शित होते हैं।

ऑनलाइन असमानता कैलकुलेटर के लिए धन्यवाद, आप जांच सकते हैं कि क्या आपने समीकरण की जड़ों को सही ढंग से पाया है, उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित किया है और अंतराल (और सीमाओं) पर असमानता की स्थिति की जांच की है?

यदि आपका उत्तर कैलकुलेटर के उत्तर से भिन्न है, तो आपको निश्चित रूप से अपने समाधान की दोबारा जांच करनी होगी और गलती की पहचान करनी होगी।

दोस्तों आज नोकझोंक और भावना नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं आपको बिना किसी और प्रश्न के 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा।

हां, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम एक मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों को देखेंगे जिनके साथ आप इनमें से लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। अन्य 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, वहाँ किसी भी तरकीब का विश्लेषण करने से पहले, मैं दो तथ्यों को याद करना चाहूंगा जिन्हें आपको पहले से जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझने का जोखिम उठाते हैं।

आपको पहले से क्या जानना चाहिए

कैप्टन एविडेंस, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको दो चीजें जानने की जरूरत है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है?
2. एक मॉड्यूल क्या है।

आइए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहाँ सब कुछ सरल है। दो परिभाषाएँ हैं: बीजीय और ग्राफिक। आइए बीजगणित से शुरू करें:

परिभाषा। संख्या $x$ का मॉड्यूल या तो स्वयं संख्या है, यदि यह गैर-ऋणात्मक है, या इसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \right|=\left\( \ start(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

सरल शब्दों में, मापांक "शून्य के बिना एक संख्या" है। और यह इस द्वंद्व में है (कहीं आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कहीं न कहीं आपको वहां कुछ माइनस निकालना है) और नौसिखिए छात्रों के लिए सारी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। इसे जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम इसका उल्लेख केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजगणितीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए कि बिंदु $a$ वास्तविक रेखा पर अंकित है। फिर मॉड्यूल $\बाएं| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस तरह मिलता है:

ग्राफिकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, इसकी प्रमुख संपत्ति तुरंत मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करती है: किसी संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान होता है. यह तथ्य आज हमारी पूरी कहानी के माध्यम से चलने वाला एक लाल धागा होगा।

असमानताओं का समाधान। रिक्ति विधि

अब आइए असमानताओं से निपटें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन हमारा काम अब उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल की विधि तक कम हो जाते हैं।

मेरे पास इस विषय पर दो बड़े ट्यूटोरियल हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत बड़ा पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं बचेगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं" आपको अस्पष्ट रूप से दीवार के खिलाफ खुद को मारना नहीं चाहता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. "फंक्शन से कम मॉड्यूल" फॉर्म की असमानताएं

यह मॉड्यूल के साथ सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले कार्यों में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| च\दाएं| \ltg\]

कुछ भी $f$ और $g$ फ़ंक्शन के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7; \\ और \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ और \बाएं| ((x)^(2))-2\बाएं| एक्स \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

उन सभी को योजना के अनुसार एक पंक्ति में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है:

\[\बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \ left\( \ start(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \ठीक ठीक)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन इसके बजाय हमें दोहरी असमानता (या, जो समान है, दो असमानताओं की एक प्रणाली) मिलती है। लेकिन यह संक्रमण पूरी तरह से सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मॉड्यूल के तहत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और यहां तक ​​कि $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं है? दुर्भाग्य से, आप नहीं कर सकते। यह मॉड्यूल का पूरा बिंदु है।

लेकिन दार्शनिक के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7\]

फेसला। इसलिए, हमारे पास "मॉड्यूल से कम है" के रूप में एक शास्त्रीय असमानता है - यहां तक ​​​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ और \बाएं| 2x+3\दाएं| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि जल्दबाजी के कारण आप एक आक्रामक गलती करेंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक कम कर दिया गया है। हम उनके समाधान समानांतर वास्तविक रेखाओं पर नोट करते हैं:

कई का चौराहा

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

फेसला। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। आरंभ करने के लिए, हम दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल कम है" फॉर्म की असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन एक बार फिर मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आप इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप अपनी इच्छानुसार खुद को विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

और शुरुआत के लिए, हम बाईं ओर डबल माइनस से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(x+1 \दाएं) =3\बाएं(x+1\दाएं)\]

आइए अब सभी कोष्ठकों को दोहरी असमानता में खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर बढ़ते हैं। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं वर्गाकार हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जाती हैं (इसलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो बेहतर है कि अभी तक मॉड्यूल को न लें)। हम पहली असमानता में समीकरण को पास करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x=0; \\ और x\बाएं(x+5 \दाएं)=0; \\ और ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अधूरा द्विघात समीकरण निकला, जिसे प्राथमिक रूप से हल किया गया है। अब आइए व्यवस्था की दूसरी असमानता से निपटें। वहां आपको Vieta का प्रमेय लागू करना है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम प्राप्त संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर चिह्नित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर से, चूंकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यही उत्तर है।

उत्तर: $x\में \बाएं(-5;-2 \दाएं)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बहुत स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| . रूप की असमानता प्राप्त होती है च\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर बताए अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। किसी बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, यह केवल इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को पार करने के लिए रहता है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्न प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालांकि, कुछ गंभीर "लेकिन" हैं। हम अब इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मॉड्यूल फ़ंक्शन से बड़ा है" फॉर्म की असमानताएं

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt जी\]

पिछले के समान? लगता है। फिर भी, ऐसे कार्यों को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt g\Rightarrow \ left [ \ start(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं - हम सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, वास्तव में, हम मॉड्यूल को ऋण चिह्न के साथ खोलते हैं, और फिर हम असमानता के दोनों हिस्सों को -1 से गुणा करते हैं, एक संकेत के साथ।

इस मामले में, विकल्प एक वर्ग ब्रैकेट के साथ संयुक्त होते हैं, अर्थात। हमारे पास दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

फिर से ध्यान दें: हमारे सामने एक प्रणाली नहीं है, बल्कि एक समुच्चय है, इसलिए उत्तर में, सेट संयुक्त होते हैं, प्रतिच्छेद नहीं करते. यह पिछले पैराग्राफ से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्रों को यूनियनों और चौराहों के साथ बहुत भ्रम होता है, तो आइए इस मुद्दे को एक बार और सभी के लिए देखें:

• "∪" एक संयोजन चिन्ह है। वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "U" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और "Union" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात। "एसोसिएशन"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आया, बल्कि "∪" के विरोध के रूप में दिखाई दिया।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों में पैर जोड़ें (अभी मुझ पर नशीले पदार्थों की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप इस पाठ का गंभीरता से अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक ड्रग एडिक्ट हैं):

प्रतिच्छेदन और समुच्चयों के मिलन में अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (संग्रह) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए, उनमें से प्रत्येक से कम नहीं; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल होते हैं जो पहले सेट में और दूसरे में दोनों होते हैं। इसलिए, सेट का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

फेसला। हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\Rightarrow \ left[ \ start(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ सही।\]

हम प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करते हैं:

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी समुच्चय को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

सेटों का संघ

जाहिर है जवाब है $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

फेसला। कुंआ? नहीं, यह सब वही है। हम एक असमानता से दो असमानताओं के एक सेट के लिए एक मापांक के साथ गुजरते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक असमानता को हल करते हैं। दुर्भाग्य से, वहां जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ और ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ और x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता में, थोड़ा खेल भी है:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ और ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ और x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अब हमें इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर शिफ्ट होगा।

और यहां हम एक सेटअप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद भिन्न दूसरे के अंश में पदों से कम हैं, इसलिए योग भी छोटा है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ भी कोई कठिनाई नहीं होगी (एक सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से अधिक नकारात्मक), लेकिन अंतिम जोड़े के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं की व्यवस्था और वास्तव में, उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो चलिए तुलना करते हैं:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ वी -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने जड़ को अलग किया, असमानता के दोनों किनारों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों को वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\बाएं(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\बाएं(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई ब्रेनर नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अंत में कुल्हाड़ियों पर अंक इस तरह व्यवस्थित किए जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक समुच्चय को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर संघ होगा, न कि छायांकित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल कार्यों और बहुत कठिन कार्यों दोनों के लिए बहुत अच्छा काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर स्थान" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन तुलना के सवालों के लिए एक अलग (और बहुत गंभीर पाठ) समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं।

3. गैर-ऋणात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

तो हम सबसे दिलचस्प हो गए। ये फॉर्म की असमानताएं हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, जिस एल्गोरिथम के बारे में हम अभी बात करने जा रहे हैं वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक पूंछ के साथ असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा।

सबसे पहले, हम चुकता करने में रुचि लेंगे - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | f \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)); \\ और ((\बाएं(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\अंत (संरेखित करें)\]

वर्ग की जड़ लेने के साथ इसे भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\बाएं| f \right|\ne f\]

जब एक छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये हैं, जैसा कि यह थे, अपरिमेय समीकरण), इसलिए अब हम इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं|\जीई \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

फेसला। हम तुरंत दो चीजें नोटिस करते हैं:

1. यह एक गैर-सख्त असमानता है। संख्या रेखा पर अंक पंच किए जाएंगे।
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\बाएं| f\बाएं(x \दाएं) \दाएं|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | x+2 \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) \ ge ((\ बाएँ (\ बाएँ | 1-2x \ दाएँ | \ दाएँ) )^(2)); \\ और ((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मापांक की समता का उपयोग करके शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने $ 1-2x$ को -1 से गुणा किया)।

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ और \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) - \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) + \ बाएँ (x + 2 \ दाएं)\दाएं)\ले 0; \\ और \बाएं(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\cdot \बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0. \\\end(align)\]

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(3x+1 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मॉड्यूल साइन से छुटकारा

मैं आपको विशेष रूप से जिद्दी के लिए याद दिलाता हूं: हम पिछली असमानता से संकेत लेते हैं, जिसे समीकरण पर जाने से पहले लिखा गया था। और हम समान असमानता के लिए आवश्यक क्षेत्रों पर पेंट करते हैं। हमारे मामले में, यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

यही बात है। समस्या सुलझ गयी।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

फेसला। हम सब कुछ ऐसा ही करते हैं। मैं कोई टिप्पणी नहीं करूंगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखें।

आइए इसे चौकोर करें:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\बाएं(\बाएं) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\बाएं((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\बाएं(((x)^(2))+3x+4 \ दाएं))^(2))\le 0; \\ और \बाएं(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ और \बाएं(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

रिक्ति विधि:

\[\begin(align) & \ left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक ही मूल होता है:

उत्तर एक पूरी श्रृंखला है

उत्तर: $x\in \left[-1.5;+\infty \right)$।

अंतिम कार्य के बारे में एक छोटा नोट। जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से उल्लेख किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से अलग स्तर की सोच और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। उसके बारे में - एक अलग पाठ में। और अब चलिए आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम पर विचार करते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

क्या होगा अगर ये सभी तरकीबें काम न करें? यदि असमानता गैर-नकारात्मक पूंछ तक कम नहीं होती है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, तो दर्द-उदासी-लालसा?

फिर सभी गणित के "भारी तोपखाने" दृश्य में प्रवेश करते हैं - गणना विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखें और उन्हें शून्य के बराबर करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और प्राप्त मूलों को एक संख्या रेखा पर अंकित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित संकेत होता है और इसलिए स्पष्ट रूप से फैलता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप पैराग्राफ 2 में प्राप्त सीमामूलों पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को मिलाएं - यह उत्तर होगा। :)

कितनी अच्छी तरह से? कमज़ोर? सरलता! केवल लंबे समय के लिए। आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं| \lt\बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

फेसला। यह बकवास $\बाएं| . जैसी असमानताओं के लिए उबाल नहीं है च\दाएं| \lt g$, $\बाएं| च\दाएं| \gt g$ या $\बाएं| च\दाएं| \lt\बाएं| g \right|$, तो चलिए आगे बढ़ते हैं।

हम सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ और x-1=0\दायां तीर x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके अंदर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य से संख्या रेखा को विभाजित करना

आइए प्रत्येक खंड पर अलग से विचार करें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$। फिर दोनों सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा गया है:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और -\बाएं(x+2 \दाएं) \lt -\बाएं(x-1 \दाएं)+x-1,5 \\ और -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ और x \gt 1.5 \\\end(align)\]

हमें काफी सरल बाधा मिली। आइए इसे मूल धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1,5 \\\अंत (संरेखण) \दाएं।

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम लेकिन 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं।

1.1. आइए अलग से सीमा मामले पर विचार करें: $x=-2$। आइए इस संख्या को मूल असमानता में बदलें और जांचें: क्या यह सही है?

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। ) \\ और 0 \lt \बाएं| -3 \दाएं|-2-1.5; \\ और 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

जाहिर है, गणनाओं की श्रृंखला ने हमें गलत असमानता की ओर ले जाया है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और उत्तर में $x=-2$ शामिल नहीं है।

2. अब $-2 \lt x \lt 1$ दें। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ है। हमारे पास है:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।

और फिर, समाधानों का खाली सेट, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक दोनों हों।

2.1. और फिर एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt\बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ और 3 \lt -0.5; \\ और 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इसी तरह पिछले "विशेष मामले" के लिए, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$। यहां सभी मॉड्यूल को प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किया गया है:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ काटते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt 4,5 \\ और x \gt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\दायां x\में \बाएं(4,5;+\infty \सही)\]

आखिरकार! हमें अंतराल मिल गया है, जिसका उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \ left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो वास्तविक समस्याओं को हल करते समय आपको मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मॉड्यूल के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट होते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत दुर्लभ हैं। और शायद ही कभी, ऐसा होता है कि समाधान की सीमाएं (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती हैं।

इसलिए, यदि उत्तर में सीमाएं (वे बहुत ही "विशेष मामले") शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएं-दाएं क्षेत्रों को लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा। और इसके विपरीत: सीमा ने प्रतिक्रिया में प्रवेश किया, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्रों में भी प्रतिक्रियाएँ होंगी।

अपने समाधानों की जांच करते समय इसे ध्यान में रखें।

रैखिक असमानताएँ कहलाती हैंजिनमें से बाएँ और दाएँ भाग अज्ञात मान के संबंध में रैखिक कार्य हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, असमानताएँ:

2x-1-एक्स+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- एक्स< x + 5 .

1) सख्त असमानताएँ: कुल्हाड़ी+बी>0या कुल्हाड़ी+बी<0

2) गैर-सख्त असमानताएँ: कुल्हाड़ी+बी≤0या कुल्हाड़ी+बी≫ 0

आइए इस कार्य को करें. समांतर चतुर्भुज की एक भुजा 7 सेमी. दूसरी भुजा की लंबाई कितनी होनी चाहिए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप 44 सेमी से अधिक हो?

वांछित पक्ष होने दें एक्ससेमी। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज की परिधि (14 + 2x) सेमी द्वारा प्रदर्शित की जाएगी। असमानता 14 + 2x> 44 समांतर चतुर्भुज परिधि समस्या का गणितीय मॉडल है। यदि इस असमानता में हम चर को प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपर, उदाहरण के लिए, संख्या 16, तो हमें सही संख्यात्मक असमानता 14 + 32\u003e 44 मिलती है। इस मामले में, हम कहते हैं कि संख्या 16 असमानता 14 + 2x\u003e 44 का समाधान है।

असमानता समाधानउस चर के मान को नाम दें जो इसे एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है।

इसलिए, प्रत्येक संख्या 15.1; 20;73 असमानता के समाधान के रूप में कार्य करते हैं 14 + 2x> 44, और संख्या 10, उदाहरण के लिए, इसका समाधान नहीं है।

असमानता को हल करेंइसका अर्थ है अपने सभी समाधान स्थापित करना या यह साबित करना कि समाधान मौजूद नहीं हैं।

असमानता के समाधान का सूत्रीकरण समीकरण के मूल के निरूपण के समान है। और फिर भी यह "असमानता की जड़" को नामित करने के लिए प्रथागत नहीं है।

संख्यात्मक समानता के गुणों ने हमें समीकरणों को हल करने में मदद की। इसी तरह, संख्यात्मक असमानताओं के गुण असमानताओं को हल करने में मदद करेंगे।

समीकरण को हल करते हुए, हम इसे दूसरे, सरल समीकरण में बदलते हैं, लेकिन दिए गए के बराबर। इसी तरह, असमानताओं के लिए उत्तर मिल जाता है। समीकरण को उसके समतुल्य समीकरण में बदलते समय, वे समीकरण के एक भाग से विपरीत में पदों के स्थानान्तरण पर और समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करने पर प्रमेय का उपयोग करते हैं। एक असमानता को हल करते समय, इसके और एक समीकरण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर होता है, जो इस तथ्य में निहित है कि किसी समीकरण के किसी भी समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचा जा सकता है। असमानताओं में, ऐसी कोई विधि नहीं है, क्योंकि अनंत संख्या में समाधानों को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करना संभव नहीं है। इसलिए, एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, ये तीर<=>समकक्ष, या समकक्ष, परिवर्तनों का संकेत है। परिवर्तन कहा जाता है समकक्षया समकक्षअगर वे निर्णय सेट नहीं बदलते हैं।

असमानताओं को हल करने के लिए समान नियम।

यदि किसी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाया जाता है, जबकि इसके चिह्न को विपरीत के साथ बदल दिया जाता है, तो हमें दी गई असमानता के बराबर असमानता प्राप्त होती है।

यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो हमें दी गई असमानता के बराबर असमानता प्राप्त होती है।

यदि असमानता के दोनों हिस्सों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो असमानता के चिन्ह को विपरीत के साथ प्रतिस्थापित करते हुए, हम दिए गए के बराबर एक असमानता प्राप्त करते हैं।

इनका उपयोग करना नियमोंहम निम्नलिखित असमानताओं की गणना करते हैं।

1) आइए असमानता का विश्लेषण करें 2x - 5 > 9.

ये है रैखिक असमानताइसका समाधान खोजें और बुनियादी अवधारणाओं पर चर्चा करें।

2x - 5 > 9<=>2x> 14(5 को विपरीत चिन्ह के साथ बाईं ओर ले जाया गया), फिर हमने सब कुछ 2 से विभाजित किया और हमारे पास है एक्स > 7. हम अक्ष के समाधान का एक सेट लागू करते हैं एक्स

हमने एक सकारात्मक निर्देशित बीम प्राप्त की है। हम समाधान के सेट को या तो असमानता के रूप में नोट करते हैं एक्स > 7, या अंतराल x(7; ) के रूप में। और इस असमानता का एक विशेष समाधान क्या है? उदाहरण के लिए, एक्स = 10इस असमानता का एक विशेष समाधान है, एक्स = 12इस असमानता का एक विशेष समाधान भी है।

कई विशेष समाधान हैं, लेकिन हमारा काम सभी समाधान खोजना है। और समाधान आमतौर पर अनंत होते हैं।

आइए विश्लेषण करें उदाहरण 2:

2) असमानता को हल करें 4ए - 11> ए + 13.

आइए इसे हल करें: एएक तरफ ले जाएँ 11 दूसरी तरफ जाते हैं, हमें 3a . मिलता है< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 असमानता का रूप है ए<8 .

4ए - 11> ए + 13<=>3 ए< 24 <=>ए< 8 .

हम सेट भी प्रदर्शित करेंगे ए< 8 , लेकिन पहले से ही धुरी पर ए.

उत्तर या तो असमानता के रूप में लिखा गया है a< 8, либо ए(-∞;8), 8 चालू नहीं होता है।

असमानता, या के साथ एक व्यंजक है। उदाहरण के लिए, 3x - 5 असमानता को हल करने का अर्थ है उन चरों के सभी मूल्यों को खोजना जिनके लिए यह असमानता सत्य है। इनमें से प्रत्येक संख्या असमानता का समाधान है, और ऐसे सभी समाधानों का समुच्चय इसका है कई समाधान. वे असमानताएँ जिनके हल समान होते हैं, कहलाती हैं समान असमानता.

रैखिक असमानताएं

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत समीकरणों को हल करने के सिद्धांतों के समान हैं।

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत
किसी भी वास्तविक संख्या a, b, और c के लिए:
असमानताओं को जोड़ने का सिद्धांत: यदि एक असमानताओं के लिए गुणन सिद्धांत: यदि a 0 सत्य है, तो ac यदि bc भी सत्य है।
इसी प्रकार के कथन a b के लिए भी लागू होते हैं।

जब असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता के चिह्न को उलटने की आवश्यकता होती है।
प्रथम-स्तर की असमानताएँ, जैसा कि उदाहरण 1 (नीचे) में है, कहलाती हैं रैखिक असमानताएं.

उदाहरण 1निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। फिर समाधान का एक सेट बनाएं।
ए) 3x - 5 बी) 13 - 7x ≥ 10x - 4
फेसला
11/5 से छोटी कोई भी संख्या एक हल है।
समाधान का सेट है (x|x
एक चेक बनाने के लिए, हम y 1 = 3x - 5 और y 2 = 6 - 2x को प्लॉट कर सकते हैं। तब यहाँ से यह देखा जा सकता है कि x . के लिए
समाधान सेट (x|x ≤ 1), या (-∞, 1] है। समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिखाया गया है।

दोहरी असमानता

जब दो असमानताओं को एक शब्द द्वारा जोड़ा जाता है और, या, तो यह बनता है दोहरी असमानता. दोहरी असमानता जैसे
-3 और 2x + 5 7
बुलाया जुड़े हुएक्योंकि यह उपयोग करता है और. रिकॉर्ड -3 असमानताओं के जोड़ और गुणा के सिद्धांतों का उपयोग करके दोहरी असमानताओं को हल किया जा सकता है।

उदाहरण 2हल -3 फेसलाहमारे पास है

समाधान का सेट (x|x ≤ -1 याएक्स > 3)। हम स्पेसिंग नोटेशन और के प्रतीक का उपयोग करके भी हल लिख सकते हैं संघोंया दोनों सेटों का समावेश: (-∞ -1] (3, ∞) समाधान के सेट का ग्राफ नीचे दिखाया गया है।

परीक्षण करने के लिए, y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, और y 3 = 1 खींचिए। ध्यान दीजिए कि (x|x -1) के लिए याएक्स > 3), वाई 1 ≤ वाई 2 यावाई 1> वाई 3।

निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (मापांक)

असमानताओं में कभी-कभी मॉड्यूल होते हैं। उन्हें हल करने के लिए निम्नलिखित गुणों का उपयोग किया जाता है।
a > 0 और बीजीय व्यंजक x के लिए:
|x| |x| > a, x या x > a के बराबर है।
|x| . के लिए समान कथन ए और |x| ए.

उदाहरण के लिए,
|x| |वाई| ≥ 1 y -1 . के बराबर है यावाई 1;
और |2x + 3| 4 -4 2x + 3 ≤ 4 के बराबर है।

उदाहरण 4निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। समाधान के सेट को प्लॉट करें।
क) |3x + 2| बी) |5 - 2x| 1

फेसला
क) |3x + 2|

समाधान सेट है (x|-7/3 .)
बी) |5 - 2x| 1
समाधान सेट है (x|x ≤ 2 याएक्स ≥ 3), या (-∞, 2] )