परिभाषा 7.2.एक तल में बिन्दुओं का वह बिन्दुपथ, जिसके लिए दो स्थिर बिन्दुओं की दूरियों के बीच का अंतर एक स्थिरांक होता है, कहलाता है अतिशयोक्ति.

टिप्पणी 7.2.दूरियों के अंतर की बात करें तो उनका मतलब है कि छोटी दूरी को बड़ी दूरी से घटा दिया जाता है। इसका मतलब यह है कि वास्तव में, हाइपरबोला के लिए, इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक स्थिर होता है। #

हाइपरबोला की परिभाषा परिभाषा के समान है अंडाकार. उनके बीच का अंतर केवल इतना है कि हाइपरबोला के लिए निश्चित बिंदुओं की दूरी का अंतर स्थिर होता है, और एक दीर्घवृत्त के लिए - समान दूरियों का योग। इसलिए, यह स्वाभाविक है कि इन वक्रों में गुणों और प्रयुक्त शब्दावली दोनों में बहुत कुछ समान है।

अतिपरवलय की परिभाषा में स्थिर बिंदु (हम उन्हें F 1 और F 2 से निरूपित करते हैं) कहलाते हैं अतिशयोक्ति का फोकस. उनके बीच की दूरी (हम इसे 2s से निरूपित करते हैं) कहलाती है फोकल लम्बाई, और खंड एफ 1 एम और एफ 2 एम, अतिपरवलय पर एक मनमाना बिंदु एम को अपने फॉसी के साथ जोड़ते हैं, - फोकल त्रिज्या.

हाइपरबोला का रूप पूरी तरह से फोकल लंबाई से निर्धारित होता है |एफ 1 एफ 2 | = 2с और स्थिर मान 2а का मान, फोकल त्रिज्या के अंतर के बराबर, और विमान पर इसकी स्थिति - foci F 1 और F 2 की स्थिति।

यह एक हाइपरबोला की परिभाषा से निम्नानुसार है कि, एक अंडाकार की तरह, यह फॉसी से गुजरने वाली सीधी रेखा के साथ-साथ सीधी रेखा के संबंध में सममित है जो खंड एफ 1 एफ 2 को आधा में विभाजित करता है और लंबवत है इसके लिए (चित्र। 7.7)। सममिति के इन अक्षों में से पहला कहा जाता है अतिपरवलय की वास्तविक धुरी, और दूसरा - उसके काल्पनिक धुरी. अतिपरवलय की परिभाषा में शामिल नियतांक को कहा जाता है अतिपरवलय का वास्तविक अर्ध-अक्ष.

हाइपरबोला के फॉसी को जोड़ने वाले खंड एफ 1 एफ 2 का मध्य समरूपता के अपने अक्षों के चौराहे पर स्थित है और इसलिए हाइपरबोला की समरूपता का केंद्र है, जिसे बस कहा जाता है अतिपरवलय का केंद्र.

अतिपरवलय के लिए, वास्तविक अक्ष 2a फोकल दूरी 2c से अधिक नहीं होना चाहिए, क्योंकि त्रिभुज F 1 MF 2 (चित्र 7.7 देखें) के लिए असमानता ||F 1 M| - |एफ 2 एम| | |एफ 1 एफ 2 |. समानता a = c केवल उन बिंदुओं M के लिए है जो अंतराल F 1 F 2 के बाहर अतिपरवलय की सममिति के वास्तविक अक्ष पर स्थित हैं। इस पतित मामले को खारिज करते हुए, हम आगे यह मानते हैं कि a

अतिपरवलय समीकरण. आइए हम F 1 और F 2 और वास्तविक अक्ष 2a पर foci के साथ समतल पर कुछ अतिपरवलय पर विचार करें। मान लीजिए 2c फोकस दूरी है, 2c = |F 1 F 2 | > 2ए. टिप्पणी 7.2 के अनुसार अतिपरवलय में वे बिंदु M(x; y) होते हैं जिनके लिए | |एफ 1 एम| - - |एफ 2 एम| | = 2ए. चलो चुनते हैं आयताकार समन्वय प्रणालीऑक्सी ताकि अतिपरवलय का केंद्र पर हो मूल, और foci पर स्थित थे सूच्याकार आकृति का भुज(चित्र। 7.8)। माना अतिपरवलय के लिए ऐसी समन्वय प्रणाली कहलाती है कैनन का, और संबंधित चर - कैनन का.

विहित समन्वय प्रणाली में, अतिपरवलय के नाभियाँ होती हैं COORDINATESएफ 1 (सी; 0) और एफ 2 (-सी; 0)। दो बिंदुओं के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम शर्त लिखते हैं ||F 1 M| - |एफ 2 एम|| = 2a निर्देशांक में |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a, जहां (x; y) बिंदु M के निर्देशांक हैं। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम मापांक चिह्न से छुटकारा पाते हैं: ((x - c) 2 + y 2) - ((x + c) ) 2 + y 2) \u003d ± 2a, दूसरे रेडिकल को दाईं ओर ले जाएं और इसे वर्गाकार करें: (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a ((x + सी) 2 + वाई 2) + 4 ए 2। सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं -εx - a \u003d ± ((x + c) 2 + y 2), या

((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)

जहां = सी/ए। हम दूसरी बार वर्ग करते हैं और फिर से समान शब्द लाते हैं: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2, या, समानता दी गई ε \u003d c / a और सेटिंग b 2 \u003d c 2 - एक 2,

एक्स 2 / ए 2 - वाई 2 / बी 2 \u003d 1 (7.8)

मान b > 0 कहा जाता है अतिपरवलय की काल्पनिक अर्ध-अक्षीयता.

इसलिए, हमने स्थापित किया है कि एक अतिपरवलय पर कोई भी बिंदु जिसका foci F 1 (c; 0) और F 2 (-c; 0) है और एक वास्तविक अर्ध-अक्ष a समीकरण (7.8) को संतुष्ट करता है। लेकिन हमें यह भी दिखाना होगा कि अतिपरवलय के बाहर के बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए foci F 1 और F 2 वाले सभी अतिपरवलय के परिवार पर विचार करते हैं। हाइपरबोलस के इस परिवार में समरूपता की सामान्य कुल्हाड़ियाँ हैं। ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है कि विमान का प्रत्येक बिंदु (अंतराल F1F2 के बाहर समरूपता के वास्तविक अक्ष पर स्थित बिंदुओं और सममिति के काल्पनिक अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर) परिवार के कुछ अतिपरवलय से संबंधित है, और केवल एक , चूंकि बिंदु से फ़ॉसी F 1 और F 2 की दूरी में अंतर हाइपरबोले से हाइपरबोले में बदल जाता है। मान लीजिए कि बिंदु M(x; y) के निर्देशांक समीकरण (7.8) को संतुष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि बिंदु स्वयं परिवार के अतिपरवलय से संबंधित है, जिसका कुछ मान वास्तविक अर्ध-अक्ष के के साथ है। फिर, जैसा कि हमने दिखाया है, इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं इसलिए, दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली

कम से कम एक समाधान है। प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा, हम सुनिश्चित करते हैं कि a के लिए यह असंभव है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण से x को समाप्त करना:

परिवर्तन के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

जिसका, a के लिए, कोई हल नहीं है, क्योंकि . तो, (7.8) एक वास्तविक अर्ध-अक्ष a> 0 और एक काल्पनिक अर्ध-अक्ष b = √ (с 2 - a 2)> 0 के साथ एक अतिपरवलय का समीकरण है। इसे कहा जाता है अतिपरवलय का विहित समीकरण.

हाइपरबोला का प्रकार।अपने रूप में, अतिपरवलय (7.8) दीर्घवृत्त से स्पष्ट रूप से भिन्न होता है। हाइपरबोला की समरूपता के दो अक्षों की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए, यह उस हिस्से का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है जो कि विहित समन्वय प्रणाली की पहली तिमाही में है। पहली तिमाही में, यानी। x 0, y ≥ 0 के लिए, हाइपरबोला का विहित समीकरण y के संबंध में विशिष्ट रूप से हल किया गया है:

वाई \u003d बी / ए (एक्स 2 - ए 2)। (7.9)

इस फलन y(x) का अध्ययन निम्नलिखित परिणाम देता है।

फलन का प्रांत (x: x a) है और इस क्षेत्र में यह एक जटिल फलन के रूप में निरंतर है, और बिंदु x = a पर यह दाईं ओर निरंतर है। फ़ंक्शन का एकमात्र शून्य बिंदु x = a है।

आइए फ़ंक्शन y (x) का व्युत्पन्न खोजें: y "(x) \u003d bx / a (x 2 - a 2)। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x> के लिए फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ रहा है। इसके अलावा, , जिसका अर्थ है कि x-अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के बिंदु x = a पर एक लंबवत स्पर्शरेखा है। फ़ंक्शन y (x) का दूसरा व्युत्पन्न y "= -ab (x 2 - a 2) -3/2 x> a के लिए है, और यह व्युत्पन्न ऋणात्मक है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर उत्तल है, और वहां कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

इस फ़ंक्शन में एक तिरछा स्पर्शोन्मुख है, जो दो सीमाओं के अस्तित्व से चलता है:

तिरछा अनंतस्पर्शी समीकरण y = (b/a)x द्वारा वर्णित है।

फलन (7.9) का किया गया अध्ययन हमें इसके ग्राफ (चित्र 7.9) का निर्माण करने की अनुमति देता है, जो पहली तिमाही में निहित अतिपरवलय (7.8) के भाग के साथ मेल खाता है।

चूँकि अतिपरवलय अपने अक्षों के प्रति सममित होता है, इसलिए संपूर्ण वक्र का रूप चित्र में दिखाया गया है। 7.10. हाइपरबोला में दो सममित शाखाएं होती हैं जो अलग-अलग पर स्थित होती हैं

सममिति की अपनी काल्पनिक धुरी के किनारे। ये शाखाएँ दोनों तरफ से नहीं घिरी हैं, और रेखाएँ y = ±(b/a)x अतिपरवलय की दाएँ और बाएँ दोनों शाखाओं की स्पर्शोन्मुख रेखाएँ हैं।

हाइपरबोला की समरूपता की कुल्हाड़ियों में अंतर होता है कि असली हाइपरबोला को काटता है, और काल्पनिक एक, फॉसी से समान दूरी के बिंदुओं का स्थान होने के कारण, प्रतिच्छेद नहीं करता है (यही कारण है कि इसे काल्पनिक कहा जाता है)। अतिपरवलय के साथ सममिति के वास्तविक अक्ष के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं (अंक A (a; 0) और B (-a; 0) आकृति 7.10 में)।

हाइपरबोला का निर्माण इसके वास्तविक (2a) और काल्पनिक (2b) अक्षों के साथ मूल बिंदु पर केंद्रित एक आयत से शुरू होना चाहिए और हाइपरबोला की समरूपता के वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के समानांतर क्रमशः 2a और 2b भुजाएँ होनी चाहिए (चित्र। 7.11) ) हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख इस आयत के विकर्णों की निरंतरता हैं, और हाइपरबोला के कोने समरूपता के वास्तविक अक्ष के साथ आयत के किनारों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। ध्यान दें कि आयत और समतल पर उसकी स्थिति अतिपरवलय के आकार और स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती है। आयत के पक्षों का अनुपात b/a हाइपरबोला के संपीड़न की डिग्री निर्धारित करता है, लेकिन इस पैरामीटर के बजाय, हाइपरबोला की विलक्षणता आमतौर पर उपयोग की जाती है। अतिपरवलय की विलक्षणताइसकी फोकस दूरी का वास्तविक अक्ष से अनुपात कहलाता है। विलक्षणता को द्वारा निरूपित किया जाता है। समीकरण (7.8) द्वारा वर्णित अतिपरवलय के लिए, = c/a. ध्यान दें कि यदि अंडाकार विलक्षणताआधे अंतराल से मान ले सकते हैं)