मापांकया निरपेक्ष मूल्यएक वास्तविक संख्या को ही संख्या कहा जाता है, यदि एक्सगैर-ऋणात्मक है, और विपरीत संख्या, अर्थात्। -एक्स अगर एक्सनकारात्मक:

जाहिर है, लेकिन परिभाषा के अनुसार, |x| > 0. निरपेक्ष मूल्यों के निम्नलिखित गुण ज्ञात हैं:

• 1) हू| = |डीजी| |आर/1;
• 2> - एच;

परपर

• 3) |x+r/|
• 4) |डीटी-जी/|

दो संख्याओं का अंतर मापांक एक्स - ए| बिंदुओं के बीच की दूरी है एक्सऔर एसंख्या रेखा पर (किसी के लिए) एक्सऔर ए)।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है, विशेष रूप से, असमानता के समाधान एक्स - ए 0) सभी बिंदु हैं एक्समध्यान्तर (ए- जी, ए + सी), यानी असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्या ए-डी + जी।

ऐसा अंतराल (ए- 8, ए+ d) बिंदु का 8-पड़ोस कहलाता है ए।

कार्यों के मूल गुण

जैसा कि हम पहले ही बता चुके हैं कि गणित में सभी राशियों को अचर और चरों में बांटा गया है। नियत मानवह मात्रा कहलाती है जिसका मान समान रहता है।

चरएक मात्रा है जो विभिन्न संख्यात्मक मान ले सकती है।

परिभाषा 10.8. चर परबुलाया समारोहचर x का, यदि, किसी नियम के अनुसार, x e . का प्रत्येक मान एक्सएक विशिष्ट मान असाइन किया गया परयूरोपीय संघ; स्वतंत्र चर x को आमतौर पर तर्क कहा जाता है, और दायरा एक्सइसके परिवर्तन को फ़ंक्शन का दायरा कहा जाता है।

यह तथ्य कि परएक फ़ंक्शन ओटीएक्स है, जिसे अक्सर प्रतीकात्मक संकेतन में व्यक्त किया जाता है: पर= / (एक्स)।

कार्यों को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। तीन को मुख्य माना जाता है: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और ग्राफिक।

विश्लेषणात्मकमार्ग। इस विधि में सूत्र (या सूत्र) के रूप में तर्क (स्वतंत्र चर) और फ़ंक्शन के बीच संबंध स्थापित करना शामिल है। आमतौर पर /(x) कुछ विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति होती है जिसमें x होता है। इस मामले में, फ़ंक्शन को एक सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, पर= 2x + 1, पर= टीजीएक्स आदि।

तालिका काकिसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का तरीका यह है कि फ़ंक्शन को एक तालिका द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसमें तर्क x के मान और फ़ंक्शन f (.r) के संबंधित मान होते हैं। उदाहरण एक निश्चित अवधि के लिए अपराधों की संख्या की तालिकाएँ, प्रायोगिक माप की तालिकाएँ, लघुगणक तालिकाएँ हैं।

ग्राफिकमार्ग। मान लीजिए कि समतल पर कार्तीय आयताकार निर्देशांक का एक निकाय दिया गया है हो.फ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या निम्नलिखित पर आधारित है।

परिभाषा 10.9. अनुसूचीफलन को तल के बिन्दुओं का बिन्दुपथ कहा जाता है, निर्देशांक (x, वाई)जो शर्त को पूरा करता है: डब्ल्यू-आह)।

एक फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से दिया गया कहा जाता है यदि उसका ग्राफ़ खींचा जाता है। स्व-रिकॉर्डिंग उपकरणों का उपयोग करके प्रयोगात्मक माप में ग्राफिकल विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

आपकी आंखों के सामने कार्यों का एक दृश्य ग्राफ होने के कारण, इसके कई गुणों की कल्पना करना मुश्किल नहीं है, जो किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए ग्राफ़ को एक अनिवार्य उपकरण बनाता है। इसलिए, प्लॉटिंग फ़ंक्शन के अध्ययन का सबसे महत्वपूर्ण (आमतौर पर अंतिम) हिस्सा है।

प्रत्येक विधि के अपने फायदे और नुकसान दोनों हैं। तो, ग्राफिकल विधि के फायदों में इसकी दृश्यता, नुकसान - इसकी अशुद्धि और सीमित प्रस्तुति शामिल है।

आइए अब हम कार्यों के मुख्य गुणों पर विचार करें।

एकसा और अलग।समारोह वाई = एफ (एक्स)बुलाया यहाँ तक की,अगर किसी के लिए एक्सस्थिति एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)।अगर के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से, शर्त f(-x) = -/(x) संतुष्ट है, तो फ़ंक्शन को कहा जाता है अजीब।वह फलन जो सम या विषम नहीं होता, फलन कहलाता है सामान्य दृष्टि से।

• 1) वाई = एक्स 2एक सम फलन है, क्योंकि f(-x) = (-x) 2 = एक्स 2,यानी/(-x) =/(.r);
• 2) वाई =एक्स 3 - विषम कार्य, चूंकि (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) वाई = x 2 + x एक सामान्य फलन है। यहाँ / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x)।

एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है ओह,और एक विषम फलन का आलेख मूल के सन्दर्भ में सममित होता है।

मोनोटोन। समारोह पर=/(x) कहा जाता है की बढ़तीबीच में एक्स,यदि किसी x, x 2 e . के लिए एक्सअसमानता x 2 > x से, यह / (x 2) > / (x,) का अनुसरण करता है। समारोह पर=/(x) कहा जाता है घट रहा है,यदि x 2 > x से यह / (x 2) (x,) का अनुसरण करता है।

समारोह कहा जाता है नीरसबीच में एक्स,यदि यह इस पूरे अंतराल में या तो बढ़ता है या इसके ऊपर घटता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन वाई = x 2 (-°°; 0) से घटता है और (0; +°°) से बढ़ता है।

ध्यान दें कि हमने सख्त अर्थों में एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की परिभाषा दी है। सामान्य तौर पर, मोनोटोनिक कार्यों में गैर-घटते कार्य शामिल होते हैं, अर्थात। जिनके लिए x 2 > x से, यह / (x 2) > / (x,), और गैर-वृद्धि वाले फलनों का अनुसरण करता है, अर्थात्। जिनके लिए x 2 > x से यह अनुसरण करता है / (x 2)

सीमा। समारोह पर=/(x) कहा जाता है सीमितबीच में एक्स,अगर ऐसी कोई संख्या है एम > 0 ऐसा |/(x)| किसी भी x e . के लिए M एक्स।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर =-

पूरी संख्या रेखा पर बंधा हुआ है, इसलिए

आवधिकता। समारोह पर = एफ (एक्स)बुलाया नियत कालीनअगर ऐसी कोई संख्या है टी^ ओह क्या च (एक्स + टी = एफ (एक्स)सबके लिए एक्ससमारोह के दायरे से।

इस मामले में टीसमारोह की अवधि कहा जाता है। जाहिर है अगर टी -कार्य अवधि वाई = एफ (एक्स),तो इस फलन के आवर्त भी 2T, 3 . हैं टीआदि। इसलिए, आमतौर पर किसी फ़ंक्शन की अवधि सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होती है (यदि यह मौजूद है)। उदाहरण के लिए, फलन / = cos.r का आवर्त है टी = 2पी,और समारोह वाई =टीजी जेडएक्स -अवधि पी/3.

आपका लक्ष्य:

एक वास्तविक संख्या के मापांक की परिभाषा को स्पष्ट रूप से जान सकेंगे;

एक वास्तविक संख्या के मापांक की ज्यामितीय व्याख्या को समझ सकेंगे और समस्याओं को हल करने में इसे लागू करने में सक्षम हो सकेंगे;

मॉड्यूल के गुणों को जानें और समस्याओं को हल करने में आवेदन करने में सक्षम हों;

निर्देशांक रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को समझने में सक्षम हो और समस्याओं को हल करने में इसका उपयोग करने में सक्षम हो।

इनपुट जानकारी

एक वास्तविक संख्या के मापांक की अवधारणा। एक वास्तविक संख्या के मापांक को यह संख्या ही कहा जाता है, यदि , और इसके विपरीत संख्या, यदि< 0.

किसी संख्या का मापांक निरूपित और लिखा जाता है:

मॉड्यूल की ज्यामितीय व्याख्या . ज्यामितीयवास्तविक संख्या का मापांक निर्देशांक रेखा पर दी गई संख्या को मूल बिंदु तक निरूपित करने वाले बिंदु से दूरी है।

मॉड्यूल के ज्यामितीय अर्थ के आधार पर मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना. "एक समन्वय रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी" की अवधारणा का उपयोग करते हुए, कोई भी रूप के समीकरणों या रूप की असमानताओं को हल कर सकता है, जहां संकेत के बजाय किसी भी संकेत का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण।आइए समीकरण को हल करें।

फेसला।आइए हम समस्या को ज्यामितीय रूप से सुधारें। चूंकि निर्देशांक वाले बिंदुओं के बीच समन्वय रेखा पर दूरी है और इसका मतलब है कि ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, जहां से निर्देशांक 1 वाले बिंदुओं की दूरी 2 के बराबर है।

संक्षेप में, निर्देशांक रेखा पर, बिंदुओं के निर्देशांकों का समुच्चय ज्ञात कीजिए, जहाँ से निर्देशांक 1 वाले बिंदु तक की दूरी 2 के बराबर है।

आइए इस समस्या का समाधान करें। हम निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु चिह्नित करते हैं, जिसका निर्देशांक 1 (चित्र 6) के बराबर है। जिन बिंदुओं के निर्देशांक -1 और 3 के बराबर हैं, उन्हें इस बिंदु से दो इकाइयों को हटा दिया जाता है। इसलिए, बिंदुओं के निर्देशांक का आवश्यक सेट संख्या -1 और 3 से मिलकर बना एक सेट है।

उत्तर 1; 3.

निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें। अंकों के बीच की दूरी को व्यक्त करने वाली संख्या और , संख्याओं और . के बीच की दूरी कहा जाता है .

किन्हीं दो बिंदुओं और एक निर्देशांक रेखा के लिए, दूरी

.

वास्तविक संख्या के मापांक के मूल गुण:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

जब हम रखते है:

11. तब ही जब या ;

12. तब ही जब ;

13. तब ही जब या ;

14. तब ही जब ;

11. तब ही जब .

व्यावहारिक भाग

अभ्यास 1। कागज का एक खाली टुकड़ा लें और उस पर नीचे इन मौखिक अभ्यासों के उत्तर लिखें।

"आपका सहायक" शीर्षक के तहत सीखने के तत्व के अंत में दिए गए उत्तरों या संक्षिप्त निर्देशों के साथ अपने उत्तरों की जाँच करें।

1. मॉड्यूल साइन का विस्तार करें:

क) |–5|; बी) |5|; ग) |0|; घ) |पी|.

2. संख्याओं की तुलना करें:

क) || और -; ग) |0| और 0; ई) - |–3| और -3; छ) -4| ए| और 0;

बी) |–पी| और पी; घ) |–7.3| और -7.3; च) | ए| और 0; ज) 2| ए| और |2 ए|.

3. कैसे, मापांक चिह्न का उपयोग करके, यह लिखने के लिए कि कम से कम एक संख्या ए, बीया साथशून्य से अलग?

4. प्रत्येक संख्या को लिखने के लिए समान चिह्न का उपयोग कैसे करें ए, बीऔर साथशून्य के बराबर?

5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

क) | ए| – ए; बी) ए + |ए|.

6. प्रश्न हल करें:

क) | एक्स| = 3; ग) | एक्स| = -2; ई) |2 एक्स– 5| = 0;

बी) | एक्स| = 0; घ) | एक्स- 3| = 4; च) |3 एक्स– 7| = – 9.

7. संख्याओं के बारे में क्या कहा जा सकता है एक्सऔर पर, अगर:

क) | एक्स| = एक्स; बी) | एक्स| = –एक्स; ग) | एक्स| = |पर|?

8. प्रश्न हल करें:

क) | एक्स– 2| = एक्स- 2; ग) | एक्स– 3| =|7 – एक्स|;

बी) | एक्स– 2| = 2 – एक्स; घ) | एक्स– 5| =|एक्स– 6|.

9. संख्या के बारे में क्या कहा जा सकता है परअगर समानता रखती है:

क) मैं एक्सï = पर; बी) मैं एक्सï = – पर ?

10. असमानता को हल करें:

क) | एक्स| > एक्स; ग) | एक्स| > –एक्स; ई) | एक्स| £ एक्स;

बी) | एक्स| ³ एक्स; घ) | एक्स| ³ – एक्स; च) | एक्स| £ – एक्स.

11. उन सभी मूल्यों की सूची बनाएं जिनके लिए समानता है:

क) | ए| = ए; बी) | ए| = –ए; में) ए – |–ए| = 0; घ) | ए|ए= -1; ई) = 1.

12. सभी मान खोजें बी, जिसके लिए निम्नलिखित असमानता है:

क) | बी| 1; बी) | बी| < 1; в) |बी| £0; घ) | बी| 0; ई) 1< |बी| < 2.

आपने गणित की कक्षाओं में निम्नलिखित में से कुछ सत्रीय कार्यों को देखा होगा। तय करें कि आपको निम्नलिखित में से कौन सा कार्य पूरा करना है। कठिनाई के मामले में, शिक्षक से सलाह के लिए या किसी मित्र की सहायता के लिए "आपका सहायक" अनुभाग देखें।

कार्य 2.वास्तविक संख्या के मापांक की परिभाषा के आधार पर, समीकरण को हल करें:

कार्य 4.वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं के बीच की दूरी α और β निर्देशांक रेखा पर, के बराबर है | α – β |. समीकरण को हल करने के लिए इसका प्रयोग करें।

स्कूल में, हर साल गणित के पाठ में, छात्र नए विषयों का विश्लेषण करते हैं। ग्रेड 6 आमतौर पर एक संख्या के मापांक का अध्ययन करता है - यह गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसके साथ काम बाद में बीजगणित और उच्च गणित में पाया जाता है। अन्य विषयों को सफलतापूर्वक पास करने के लिए शुरू में शब्द की व्याख्या को सही ढंग से समझना और इस विषय को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

शुरू करने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि निरपेक्ष मूल्य आंकड़ों में एक पैरामीटर है (मापा मात्रात्मक रूप से), जो इसकी मात्रा के संदर्भ में अध्ययन के तहत घटना की विशेषता है। इस मामले में, घटना को एक निश्चित समय सीमा के भीतर और एक निश्चित स्थान के साथ किया जाना चाहिए। मूल्यों में अंतर करें:

• सारांश - इकाइयों के समूह या पूरी आबादी के लिए उपयुक्त;
• व्यक्ति - केवल एक निश्चित आबादी की एक इकाई के साथ काम करने के लिए उपयुक्त।

सांख्यिकीय माप में अवधारणाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक निश्चित घटना की प्रत्येक इकाई के पूर्ण आयामों को दर्शाने वाले संकेतक होते हैं। उन्हें दो संकेतकों में मापा जाता है: प्राकृतिक, यानी। भौतिक इकाइयाँ (टुकड़े, लोग) और सशर्त रूप से प्राकृतिक। गणित में एक मॉड्यूल इन संकेतकों का प्रदर्शन है।

किसी संख्या का मापांक क्या होता है?

जरूरी!"मॉड्यूल" की यह परिभाषा लैटिन से "माप" के रूप में अनुवादित है और इसका अर्थ है किसी भी प्राकृतिक संख्या का पूर्ण मूल्य।

लेकिन इस अवधारणा की एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, क्योंकि ज्यामिति में मॉड्यूल समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से बिंदु X तक की दूरी के बराबर है, जिसे माप की सामान्य इकाइयों में मापा जाता है।

किसी संख्या के लिए इस सूचक को निर्धारित करने के लिए, किसी को इसके संकेत (ऋण, प्लस) को ध्यान में नहीं रखना चाहिए, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि यह कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकता। कागज पर यह मान वर्गाकार कोष्ठक - |a| के रूप में आलेखीय रूप से हाइलाइट किया जाता है। इस मामले में, गणितीय परिभाषा है:

|x| = x यदि x शून्य से बड़ा या उसके बराबर है और -x यदि शून्य से कम है।

अंग्रेजी वैज्ञानिक आर. कोट्स वह व्यक्ति थे जिन्होंने गणितीय गणनाओं में इस अवधारणा को सबसे पहले लागू किया था। लेकिन जर्मनी के गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रैस ने एक ग्राफिक प्रतीक का आविष्कार किया और उसका उपयोग किया।

मॉड्यूल ज्यामिति में, हम एक समन्वय रेखा के उदाहरण पर विचार कर सकते हैं, जिस पर 2 मनमाना बिंदु प्लॉट किए जाते हैं। मान लीजिए एक - ए का मान 5 है, और दूसरा बी - 6 है। ड्राइंग के विस्तृत अध्ययन पर, यह स्पष्ट हो जाएगा कि ए से बी की दूरी शून्य से 5 इकाई है, अर्थात। मूल बिंदु, और बिंदु B, मूल बिंदु से 6 इकाई की दूरी पर स्थित है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मॉड्यूल बिंदु, ए = 5, और अंक बी = 6। आलेखीय रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: | 5 | = 5. अर्थात्, बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी दिए गए बिंदु का मापांक है।

उपयोगी वीडियो: वास्तविक संख्या का मापांक क्या होता है?

गुण

किसी भी गणितीय अवधारणा की तरह, मॉड्यूल के अपने गणितीय गुण होते हैं:

1. यह हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए धनात्मक मान का मापांक स्वयं होता है, उदाहरण के लिए, 6 और -6 का मापांक 6 है। गणितीय रूप से, इस गुण को |a| के रूप में लिखा जा सकता है। = ए, ए> 0 के लिए;
2. विपरीत संख्याओं के संकेतक एक दूसरे के बराबर होते हैं। एक ज्यामितीय प्रस्तुति में यह गुण स्पष्ट है, क्योंकि एक सीधी रेखा पर ये संख्याएँ अलग-अलग स्थानों पर स्थित होती हैं, लेकिन साथ ही वे समान संख्या में इकाइयों द्वारा मूल से अलग हो जाती हैं। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जाता है: |a| = |-ए|;
3. शून्य का मापांक शून्य है, बशर्ते कि वास्तविक संख्या शून्य हो। यह गुण इस तथ्य से समर्थित है कि शून्य मूल है। आलेखीय रूप से, यह इस प्रकार लिखा गया है: |0| = 0;
4. यदि आप दो गुणा करने वाले अंकों का मापांक ज्ञात करना चाहते हैं, तो आपको यह समझना चाहिए कि यह परिणामी गुणनफल के बराबर होगा। दूसरे शब्दों में, मात्राओं का गुणनफल A और B = AB, बशर्ते कि वे धनात्मक या ऋणात्मक हों, और फिर गुणनफल -AB के बराबर हो। आलेखीय रूप से, इसे |A*B| . के रूप में लिखा जा सकता है = |ए| * |बी|.

मापांक के साथ समीकरणों का सफल समाधान इन गुणों के ज्ञान पर निर्भर करता है, जो किसी को भी इस सूचक के साथ सही ढंग से गणना करने और काम करने में मदद करेगा।

मॉड्यूल गुण

जरूरी! घातांक ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि यह दूरी को परिभाषित करता है, जो सदैव धनात्मक होती है।

समीकरणों में

गणितीय असमानताओं को काम करने और हल करने के मामले में जिसमें मॉड्यूल मौजूद है, यह हमेशा याद रखना आवश्यक है कि अंतिम सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलना चाहिए, अर्थात। ओपन साइन मॉड्यूल। अक्सर, यह समीकरण का अर्थ है।

यह याद रखने योग्य है कि:

• यदि कोई व्यंजक वर्ग कोष्ठकों में लिखा गया है, तो उसे हल किया जाना चाहिए: |A + 5| \u003d ए + 5, जब ए शून्य से अधिक या बराबर हो और ए शून्य से कम के मामले में 5-ए;
• वर्ग कोष्ठकों को अक्सर चर के मूल्यों की परवाह किए बिना विस्तारित करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, यदि वर्ग में अभिव्यक्ति कोष्ठक में संलग्न है, क्योंकि विस्तार वैसे भी एक सकारात्मक संख्या होगी।

समन्वय प्रणाली में मूल्यों को दर्ज करके मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना बहुत आसान है, क्योंकि तब नेत्रहीन मूल्यों और उनके संकेतकों को देखना आसान होता है।

उपयोगी वीडियो: वास्तविक संख्या मापांक और इसके गुण

निष्कर्ष

इस तरह की गणितीय अवधारणा को एक मॉड्यूल के रूप में समझने का सिद्धांत अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग उच्च गणित और अन्य विज्ञानों में किया जाता है, इसलिए आपको इसके साथ काम करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

के साथ संपर्क में

इस लेख में, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे किसी संख्या का निरपेक्ष मान. हम किसी संख्या के मापांक की विभिन्न परिभाषाएँ देंगे, संकेतन का परिचय देंगे और ग्राफिक चित्रण देंगे। इस मामले में, हम परिभाषा के अनुसार किसी संख्या का मापांक ज्ञात करने के विभिन्न उदाहरणों पर विचार करते हैं। उसके बाद, हम मॉड्यूल के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं। लेख के अंत में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक सम्मिश्र संख्या का मापांक कैसे निर्धारित किया जाता है और पाया जाता है।

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संख्या का मापांक - परिभाषा, अंकन और उदाहरण

पहले हम परिचय मापांक पदनाम. संख्या a के मॉड्यूल को इस प्रकार लिखा जाएगा, अर्थात संख्या के बाईं ओर और दाईं ओर हम मॉड्यूल का चिह्न बनाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखाएँ रखेंगे। आइए एक दो उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, मोडुलो -7 को इस प्रकार लिखा जा सकता है; मॉड्यूल 4,125 के रूप में लिखा जाता है, और मॉड्यूल के रूप में लिखा जाता है।

मॉड्यूल की निम्नलिखित परिभाषा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के घटक भागों के रूप में, और इसलिए, पूर्णांकों को, और परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को संदर्भित करती है। हम एक सम्मिश्र संख्या के मापांक के बारे में बात करेंगे।

परिभाषा।

का मापांकया तो स्वयं संख्या है, यदि a एक धनात्मक संख्या है, या संख्या −a, संख्या a के विपरीत है, यदि a ऋणात्मक संख्या है, या 0, यदि a=0 है।

किसी संख्या के मापांक की स्वरित परिभाषा अक्सर निम्नलिखित रूप में लिखी जाती है: , इस संकेतन का अर्थ है कि यदि a>0 , यदि a=0 , और यदि a<0 .

रिकॉर्ड को अधिक कॉम्पैक्ट रूप में दर्शाया जा सकता है . इस संकेतन का अर्थ है कि यदि (a, 0 से बड़ा या बराबर है), और यदि a<0 .

एक रिकॉर्ड भी है . यहाँ, वह स्थिति जब a=0 को अलग से समझाया जाना चाहिए। इस मामले में, हमारे पास −0=0 है, क्योंकि शून्य को एक ऐसी संख्या माना जाता है जो स्वयं के विपरीत होती है।

चलो लाते हैं किसी संख्या का मापांक ज्ञात करने के उदाहरणदी गई परिभाषा के साथ। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 15 और के मॉड्यूल खोजें। आइए खोज के साथ शुरू करें। चूँकि संख्या 15 धनात्मक है, इसका मापांक, परिभाषा के अनुसार, स्वयं इस संख्या के बराबर है, अर्थात् । किसी संख्या का मापांक क्या होता है? चूँकि एक ऋणात्मक संख्या है, तो इसका मापांक संख्या के विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात संख्या . इस प्रकार, ।

इस अनुच्छेद के अंत में, हम एक निष्कर्ष देते हैं, जो किसी संख्या का मापांक ज्ञात करते समय व्यवहार में लागू करने के लिए बहुत सुविधाजनक है। किसी संख्या के मापांक की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि किसी संख्या का मापांक मापांक के चिह्न के नीचे की संख्या के बराबर होता है, चाहे उसका चिन्ह कुछ भी हो, और ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों से, यह बहुत स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। स्वरित कथन बताता है कि किसी संख्या के मापांक को क्यों कहा जाता है संख्या का निरपेक्ष मान. अतः किसी संख्या का मापांक और किसी संख्या का निरपेक्ष मान एक ही होता है।

दूरी के रूप में किसी संख्या का मापांक

ज्यामितीय रूप से, किसी संख्या के मापांक की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है दूरी. चलो लाते हैं दूरी के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक का निर्धारण.

परिभाषा।

का मापांकनिर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु से संख्या a के संगत बिंदु तक की दूरी है।

यह परिभाषा पहले पैराग्राफ में दी गई संख्या के मापांक की परिभाषा के अनुरूप है। आइए इस बिंदु की व्याख्या करते हैं। एक धनात्मक संख्या के संगत बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी इस संख्या के बराबर होती है। शून्य मूल से मेल खाता है, इसलिए समन्वय 0 के साथ मूल से बिंदु तक की दूरी शून्य है (कोई एकल खंड और कोई खंड जो इकाई खंड के किसी भी अंश को बनाता है, को बिंदु O से बिंदु तक पहुंचने के लिए स्थगित करने की आवश्यकता है। समन्वय 0) के साथ। ऋणात्मक निर्देशांक वाले बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के विपरीत संख्या के बराबर होती है, क्योंकि यह मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है जिसका निर्देशांक विपरीत संख्या होती है.

उदाहरण के लिए, संख्या 9 का मापांक 9 है, क्योंकि मूल बिंदु से निर्देशांक 9 वाले बिंदु तक की दूरी नौ है। आइए एक और उदाहरण लेते हैं। निर्देशांक −3.25 वाला बिंदु बिंदु 0 से 3.25 की दूरी पर है, इसलिए .

किसी संख्या के मापांक की ध्वनि परिभाषा दो संख्याओं के अंतर के मापांक को परिभाषित करने का एक विशेष मामला है।

परिभाषा।

दो संख्याओं का अंतर मापांक a और b निर्देशांक a और b के साथ समन्वय रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है।

अर्थात्, यदि निर्देशांक रेखा A(a) और B(b) पर बिंदु दिए गए हैं, तो बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी संख्याओं a और b के बीच के अंतर के मापांक के बराबर है। यदि हम बिंदु 0 (संदर्भ बिंदु) को बिंदु बी के रूप में लेते हैं, तो हमें इस पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई संख्या के मापांक की परिभाषा मिल जाएगी।

अंकगणितीय वर्गमूल द्वारा किसी संख्या का मापांक ज्ञात करना

कभी-कभी मिल जाता है अंकगणितीय वर्गमूल के माध्यम से मापांक का निर्धारण.

उदाहरण के लिए, आइए −30 संख्याओं के मॉड्यूल की गणना करें और इस परिभाषा के आधार पर। हमारे पास है । इसी तरह, हम दो-तिहाई के मापांक की गणना करते हैं: .

अंकगणितीय वर्गमूल के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक की परिभाषा भी इस लेख के पहले पैराग्राफ में दी गई परिभाषा के अनुरूप है। आइए इसे दिखाते हैं। मान लीजिए a एक धनात्मक संख्या है, और −a ऋणात्मक है। फिर और , अगर a=0 , तो .

मॉड्यूल गुण

मॉड्यूल के कई विशिष्ट परिणाम हैं - मॉड्यूल गुण. अब हम उनमें से मुख्य और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले को देंगे। इन गुणों की पुष्टि करते समय, हम दूरी के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक की परिभाषा पर भरोसा करेंगे।

आइए सबसे स्पष्ट मॉड्यूल संपत्ति से शुरू करें - किसी संख्या का मापांक ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता. शाब्दिक रूप में, इस गुण का किसी भी संख्या a के लिए रूप है। इस गुण का औचित्य सिद्ध करना बहुत आसान है: किसी संख्या का मापांक दूरी है, और दूरी को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

आइए मॉड्यूल के अगले गुण पर चलते हैं। किसी संख्या का मापांक शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि यह संख्या शून्य हो. शून्य का मापांक परिभाषा के अनुसार शून्य है। शून्य मूल से मेल खाता है, समन्वय रेखा पर कोई अन्य बिंदु शून्य से मेल नहीं खाता है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या समन्वय रेखा पर एक बिंदु से जुड़ी होती है। इसी कारण से, शून्य के अलावा कोई भी संख्या मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु से मेल खाती है। और बिंदु O के अलावा किसी भी बिंदु से मूल बिंदु की दूरी शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि दो बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि ये बिंदु मेल खाते हैं। उपरोक्त तर्क सिद्ध करता है कि केवल शून्य का मापांक शून्य के बराबर होता है।

आगे बढ़ो। विपरीत संख्याओं में समान मॉड्यूल होते हैं, अर्थात किसी भी संख्या के लिए a . दरअसल, निर्देशांक रेखा पर दो बिंदु, जिनके निर्देशांक विपरीत संख्याएं हैं, मूल से समान दूरी पर हैं, जिसका अर्थ है कि विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं।

अगला मॉड्यूल गुण है: दो संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात, । परिभाषा के अनुसार, संख्या a और b के गुणनफल का मापांक या तो a b if , या −(a b) if । यह वास्तविक संख्याओं के गुणन के नियमों का अनुसरण करता है कि संख्याओं a और b के मापांक का गुणनफल या तो a b , , या −(a b) , if , के बराबर होता है, जो माना गया गुण साबित होता है।

a को b से भाग देने वाले भागफल का मापांक, a के मापांक को b के मापांक से भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है, अर्थात, । आइए हम मॉड्यूल की इस संपत्ति को सही ठहराते हैं। चूंकि भागफल उत्पाद के बराबर है, तो . पिछली संपत्ति के आधार पर, हमारे पास है . यह केवल समानता का उपयोग करने के लिए रहता है, जो संख्या के मापांक की परिभाषा के कारण मान्य है।

निम्नलिखित मॉड्यूल संपत्ति को असमानता के रूप में लिखा गया है: , a , b और c मनमाना वास्तविक संख्याएँ हैं। लिखित असमानता इससे ज्यादा कुछ नहीं है असमानित त्रिकोण. इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए निर्देशांक रेखा पर बिंदु A(a) , B(b) , C(c) लें और पतित त्रिभुज ABC पर विचार करें, जिसके शीर्ष एक ही रेखा पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, अंतर का मापांक खंड AB की लंबाई के बराबर है, - खंड AC की लंबाई, और - खंड CB की लंबाई। चूँकि त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं की लंबाई के योग से अधिक नहीं होती है, असमानता इसलिए, असमानता भी रखती है।

अभी-अभी साबित हुई असमानता इस रूप में कहीं अधिक सामान्य है . लिखित असमानता को आमतौर पर फॉर्मूलेशन के साथ मॉड्यूल की एक अलग संपत्ति के रूप में माना जाता है: " दो संख्याओं के योग का मापांक इन संख्याओं के मापांक के योग से अधिक नहीं होता है". लेकिन असमानता सीधे असमानता से होती है, अगर हम इसमें b के बजाय −b डालते हैं, और c=0 लेते हैं।

जटिल संख्या मापांक

चलो हम देते है एक सम्मिश्र संख्या के मापांक का निर्धारण. हमें दिया जाए जटिल संख्या, बीजीय रूप में लिखा गया है, जहाँ x और y कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं, जो क्रमशः किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या z के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करती हैं, और एक काल्पनिक इकाई है।

सबसे पहले, हम मॉड्यूल के संकेत के तहत अभिव्यक्ति के संकेत को परिभाषित करते हैं, और फिर मॉड्यूल का विस्तार करते हैं:

• यदि व्यंजक का मान शून्य से अधिक है, तो हम इसे केवल मॉड्यूल चिह्न के नीचे से निकाल लेते हैं,
• यदि व्यंजक शून्य से कम है, तो हम इसे मॉड्यूल के चिह्न के नीचे से निकाल लेते हैं, चिह्न बदलते समय, जैसा कि हमने पहले उदाहरणों में किया था।

अच्छा, क्या हम कोशिश करेंगे? आइए अनुमान लगाएं:

(भूल गए, दोहराएं।)

यदि हां, तो इसका क्या संकेत है? बेशक, !

और, इसलिए, हम अभिव्यक्ति के संकेत को बदलकर मॉड्यूल के संकेत को प्रकट करते हैं:

समझ गया? फिर इसे स्वयं आजमाएँ:

उत्तर:

मॉड्यूल में और क्या गुण हैं?

यदि हमें मापांक चिह्न के अंदर की संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, तो हम इन संख्याओं के मापांक को आसानी से गुणा कर सकते हैं !!!

गणितीय शब्दों में, संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए:

लेकिन क्या होगा अगर हमें मॉड्यूलो साइन के तहत दो संख्याओं (व्यंजनों) को विभाजित करने की आवश्यकता है?

हाँ, गुणन के समान ही! आइए इसे मॉड्यूल चिह्न के तहत दो अलग-अलग संख्याओं (अभिव्यक्तियों) में विभाजित करें:

बशर्ते कि (चूंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।

यह मॉड्यूल की एक और संपत्ति को याद रखने योग्य है:

संख्याओं के योग का मॉड्यूल हमेशा इन संख्याओं के मॉड्यूल के योग से कम या बराबर होता है:

ऐसा क्यों है? सब कुछ बहुत आसान है!

जैसा कि हम याद करते हैं, मापांक हमेशा सकारात्मक होता है। लेकिन मॉड्यूल के संकेत के तहत कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। मान लें कि संख्याएँ और दोनों धनात्मक हैं। तब लेफ्ट एक्सप्रेशन राइट एक्सप्रेशन के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

यदि मापांक चिह्न के अंतर्गत एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है, बायाँ व्यंजक हमेशा दाएँ से छोटा होगा:

ऐसा लगता है कि इस संपत्ति के साथ सब कुछ स्पष्ट है, आइए मॉड्यूल के कुछ और उपयोगी गुणों पर विचार करें।

क्या होगा अगर हमारे पास यह अभिव्यक्ति है:

हम इस अभिव्यक्ति के साथ क्या कर सकते हैं? हम x का मान नहीं जानते हैं, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि इसका क्या अर्थ है।

संख्या शून्य से अधिक है, जिसका अर्थ है कि आप बस लिख सकते हैं:

तो हम एक और संपत्ति पर आए, जिसे सामान्य रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति का अर्थ क्या है:

इसलिए, हमें मॉड्यूल के तहत साइन को परिभाषित करने की आवश्यकता है। क्या यहां एक संकेत को परिभाषित करना आवश्यक है?

बिल्कुल नहीं, अगर आपको याद है कि कोई भी संख्या वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है! यदि आपको याद नहीं है तो विषय देखें। और क्या होता है? और यहाँ क्या है:

यह बढ़िया है, है ना? काफी सुविधाजनक। अब एक विशिष्ट उदाहरण के लिए:

अच्छा, संदेह क्यों? आइए साहसपूर्वक कार्य करें!

क्या आप सब कुछ समझ गए? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों के साथ अभ्यास करें!

1. यदि व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

2. मॉड्यूल किस संख्या के बराबर है?

3. व्यंजकों का अर्थ ज्ञात कीजिए:

यदि अभी तक सब कुछ स्पष्ट नहीं है और निर्णय लेने में कठिनाइयाँ आ रही हैं, तो आइए इसका पता लगाते हैं:

समाधान 1:

तो, आइए अभिव्यक्ति में मानों को प्रतिस्थापित करें

समाधान 2:

जैसा कि हमें याद है, विपरीत संख्याएँ मोडुलो बराबर होती हैं। इसका मतलब है कि मापांक का मान दो संख्याओं के बराबर है: और।

समाधान 3:

ए)
बी)
में)
जी)

क्या तुमने सब कुछ पकड़ लिया? तो यह कुछ और जटिल पर आगे बढ़ने का समय है!

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें

फेसला:

इसलिए, हमें याद है कि मापांक का मान शून्य से कम नहीं हो सकता। यदि मापांक चिह्न के नीचे की संख्या धनात्मक है, तो हम केवल चिन्ह को त्याग सकते हैं: संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर होगा।

लेकिन अगर मापांक चिह्न के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, तो मॉड्यूल का मान विपरीत संख्या के बराबर होता है (अर्थात "-" चिह्न के साथ ली गई संख्या)।

किसी भी व्यंजक का मापांक ज्ञात करने के लिए, पहले आपको यह पता लगाना होगा कि उसका मान धनात्मक है या ऋणात्मक।

यह पता चला है, मॉड्यूल के तहत पहली अभिव्यक्ति का मूल्य।

इसलिए, मापांक चिह्न के तहत व्यंजक ऋणात्मक है। मापांक चिह्न के तहत दूसरा व्यंजक हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि हम दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ रहे हैं।

तो, मापांक चिह्न के तहत पहली अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक है, दूसरा धनात्मक है:

इसका मतलब है, पहली अभिव्यक्ति के मापांक के संकेत का विस्तार करते समय, हमें इस अभिव्यक्ति को "-" चिह्न के साथ लेना चाहिए। ऐशे ही:

दूसरे मामले में, हम केवल मोडुलो साइन को छोड़ देते हैं:

आइए इस अभिव्यक्ति को इसकी संपूर्णता में सरल बनाएं:

किसी संख्या का मापांक और उसके गुण (सख्त परिभाषाएँ और प्रमाण)

परिभाषा:

किसी संख्या का मापांक (निरपेक्ष मान) वह संख्या है यदि, और संख्या यदि:

उदाहरण के लिए:

उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:

मॉड्यूल के मूल गुण

सबके लिए:

उदाहरण:

संपत्ति साबित करें #5।

प्रमाण:

आइए मान लें कि वहाँ हैं

आइए असमानता के बाएँ और दाएँ भागों का वर्ग करें (यह किया जा सकता है, क्योंकि असमानता के दोनों भाग हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं):

और यह एक मॉड्यूल की परिभाषा के विपरीत है।

नतीजतन, ऐसे कोई नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि सभी असमानताओं के लिए

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण:

1) संपत्ति साबित करें #6।

2) अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उत्तर:

1) आइए संपत्ति संख्या 3 का उपयोग करें, और तब से

सरल बनाने के लिए, आपको मॉड्यूल का विस्तार करने की आवश्यकता है। और मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं?

ए। आइए संख्याओं की तुलना करें और:

बी। अब तुलना करते हैं:

हम मॉड्यूल के मान जोड़ते हैं:

किसी संख्या का निरपेक्ष मान। संक्षेप में मुख्य बात के बारे में।

किसी संख्या का मापांक (निरपेक्ष मान) वह संख्या है यदि, और संख्या यदि:

मॉड्यूल गुण:

1. किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है: ;
2. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं: ;
3. दो (या अधिक) संख्याओं के गुणनफल का मॉड्यूल उनके मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है: ;
4. दो संख्याओं के भागफल का मॉड्यूल उनके मॉड्यूल के भागफल के बराबर होता है: ;
5. संख्याओं के योग का मॉड्यूल हमेशा इन संख्याओं के मॉड्यूल के योग से कम या बराबर होता है: ;
6. मापांक चिह्न से एक निरंतर सकारात्मक कारक निकाला जा सकता है: पर;