सतहों ने स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा विमान और सामान्य को परिभाषित किया। सतह पर समतल स्पर्शरेखा

2 चर z = f(x,y) के एक फलन का ग्राफ एक सतह है जो फंक्शन D के प्रांत में XOY तल पर प्रक्षेपित होती है।
सतह पर विचार करें σ , समीकरण z = f(x,y) द्वारा दिया गया है, जहां f(x,y) एक अवकलनीय फलन है, और मान लीजिए M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) सतह σ पर एक निश्चित बिंदु है, अर्थात। z0 = f(x0,y0)। नियुक्ति। ऑनलाइन कैलकुलेटर को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है स्पर्शरेखा तल और सतह सामान्य समीकरण. निर्णय वर्ड प्रारूप में किया जाता है। यदि आपको वक्र (y = f(x)) के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने की आवश्यकता है, तो आपको इस सेवा का उपयोग करने की आवश्यकता है।

समारोह प्रवेश नियम:

सभी चर x,y,z . के रूप में व्यक्त किए जाते हैं

सतह पर स्पर्शरेखा विमान σ उसके बिंदु पर एम 0 वह तल है जिसमें सतह पर खींचे गए सभी वक्रों की स्पर्श रेखाएँ होती हैं σ एक बिंदु के माध्यम से एम 0 .
बिंदु M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) पर समीकरण z = f(x,y) द्वारा दिए गए सतह पर स्पर्शरेखा तल के समीकरण का रूप है:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

वेक्टर को सतह सामान्य वेक्टर कहा जाता है σ बिंदु एम 0 पर। सामान्य वेक्टर स्पर्शरेखा तल के लंबवत होता है।
सतह के लिए सामान्य σ बिंदु पर एम 0 इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और वेक्टर N की दिशा है।
बिंदु M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) पर समीकरण z = f(x,y) द्वारा दिए गए सतह के अभिलंब के विहित समीकरण, जहां z 0 = f(x 0 ,y 0), फॉर्म है:

उदाहरण 1। सतह समीकरण x 3 +5y द्वारा दी गई है। बिंदु M 0 (0;1) पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
फेसला. आइए स्पर्शरेखा समीकरणों को सामान्य रूप में लिखें: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - वाई 0)
समस्या की स्थिति से x 0 = 0, y 0 = 1, फिर z 0 = 5
फ़ंक्शन z = x^3+5*y का आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
एफ" एक्स (एक्स, वाई) = (एक्स 3 +5 वाई)" एक्स = 3 एक्स 2
एफ" एक्स (एक्स, वाई) = (एक्स 3 +5 वाई)" वाई = 5
बिंदु M 0 (0.1) पर, आंशिक व्युत्पन्न के मान:
f"x(0;1) = 0
एफ" वाई (0; 1) = 5
सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) या -5 y + z = 0 पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं।

उदाहरण # 2। सतह परोक्ष रूप से y 2 -1/2*x 3 -8z दिया गया है। बिंदु M 0 (1;0;1) पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
फेसला. हम फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं। चूंकि फ़ंक्शन एक निहित रूप में दिया गया है, हम सूत्र द्वारा डेरिवेटिव की तलाश कर रहे हैं:

हमारे समारोह के लिए:

फिर:

बिंदु M 0 (1,0,1) पर आंशिक व्युत्पन्न के मान:
एफ "एक्स (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
सूत्र का उपयोग करते हुए, हम बिंदु M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) या 3 / 16 x + z- 19 पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं। / 16 \u003d 0

उदाहरण। सतह σ समीकरण द्वारा दिया गया जेड= वाई/एक्स + xy – 5एक्स 3. स्पर्शरेखा समतल और सतह के अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए σ बिंदु पर एम 0 (एक्स 0 ,आप 0 ,जेड 0) इससे संबंधित यदि एक्स 0 = –1, आप 0 = 2.
आइए फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें जेड= एफ(एक्स,आप) = y/x + xy – 5एक्स 3:
एफ एक्स '( एक्स,आप) = (y/x + xy – 5एक्स 3)' x \u003d - y / x 2 + आप – 15एक्स 2 ;
एफ वाई '( एक्स,आप) = (y/x + xy – 5एक्स 3)' y = 1/x + एक्स.
दूरसंचार विभाग एम 0 (एक्स 0 ,आप 0 ,जेड 0) सतह के अंतर्गत आता है σ , तो हम गणना कर सकते हैं जेड 0 , दिए गए को प्रतिस्थापित करना एक्स 0 = -1 और आप 0 = 2 सतह समीकरण में:

जेड= वाई/एक्स + xy – 5एक्स 3

जेड 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
बिंदु पर एम 0 (-1, 2, 1) आंशिक व्युत्पन्न के मान:
एफ एक्स '( एम 0) = -1/(-1) 2 + 2 - 15(-1) 2 = -15; fy'( एम 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
सूत्र (5) का उपयोग करके, हम सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं σ बिंदु पर एम 0:
जेड – 1= –15(एक्स + 1) – 2(आप – 2) जेड – 1= –15एक्स – 15 – 2वाई + 4 15एक्स + 2आप + जेड + 10 = 0.
सूत्र (6) का उपयोग करके, हम सतह के सामान्य के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं σ बिंदु पर एम 0:

.
उत्तर: स्पर्शरेखा समतल समीकरण: 15 एक्स + 2आप + जेड+ 10 = 0; सामान्य समीकरण:

उदाहरण 1। एक फ़ंक्शन z \u003d f (x, y) और दो बिंदु A (x 0, y 0) और B (x 1, y 1) को देखते हुए। आवश्यक: 1) बिंदु B पर फ़ंक्शन के मान z 1 की गणना करें; 2) बिंदु ए पर फ़ंक्शन के मान z 0 के आधार पर बिंदु B पर फ़ंक्शन के अनुमानित मान z 1 की गणना करें, बिंदु A से बिंदु B तक संक्रमण के दौरान फ़ंक्शन की वृद्धि को एक अंतर के साथ बदलें; 3) बिंदु C(x 0 ,y 0 ,z 0) पर सतह z = f(x,y) के स्पर्शरेखा तल के समीकरण की रचना करें।
फेसला।
हम स्पर्शरेखा समीकरणों को सामान्य रूप में लिखते हैं:
जेड - जेड 0 \u003d एफ "एक्स (एक्स 0, वाई 0, जेड 0) (एक्स - एक्स 0) + एफ" वाई (एक्स 0, वाई 0, जेड 0) (वाई - वाई 0)
समस्या की स्थिति के अनुसार x 0 = 1, y 0 = 2, तो z 0 = 25
फ़ंक्शन z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
बिंदु M 0 (1.2) पर, आंशिक व्युत्पन्न के मान:
एफ" एक्स (1; 2) = 26
एफ" वाई (1; 2) = 36
सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु M 0 पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं:
जेड - 25 = 26 (एक्स - 1) + 36 (वाई - 2)
या
-26x-36y+z+73 = 0

उदाहरण # 2। बिंदु (1;-1;3) पर अण्डाकार परवलयिक z = 2x 2 + y 2 के स्पर्शरेखा तल और अभिलंब के समीकरण लिखिए।

एक सतह को उन बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके निर्देशांक एक निश्चित प्रकार के समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

यदि समारोह F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))किसी बिंदु पर निरंतर है और उस पर निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है, जिनमें से कम से कम एक गायब नहीं होता है, तो इस बिंदु के आसपास के क्षेत्र में समीकरण (1) द्वारा दी गई सतह होगी सही सतह.

उपरोक्त के अतिरिक्त सेटिंग का निहित तरीका, सतह को परिभाषित किया जा सकता है स्पष्ट रूप से, यदि एक चर, उदाहरण के लिए, z, को अन्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

अधिक सख्ती से, सादा सतह इकाई वर्ग के आंतरिक भाग की होमोमोर्फिक मानचित्रण (अर्थात एक-से-एक और परस्पर सतत मानचित्रण) की छवि है। इस परिभाषा को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति दी जा सकती है।

मान लीजिए कि एक समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली u और v के साथ एक वर्ग दिया गया है, जिसके आंतरिक बिंदुओं के निर्देशांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

एक उदाहरण सरल सतहएक गोलार्द्ध है। पूरा क्षेत्र नहीं है सादा सतह. यह एक सतह की अवधारणा के एक और सामान्यीकरण की आवश्यकता है।

अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय जिसमें प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है जो है सादा सतह, कहा जाता है सही सतह .

अंतर ज्यामिति में सतह

घुमावदार

कैटेनॉयड

मीट्रिक विशिष्ट रूप से सतह के आकार को निर्धारित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, एक हेलिकॉइड और एक कैटेनॉइड के मेट्रिक्स, एक उपयुक्त तरीके से पैरामीटर किए गए, मेल खाते हैं, अर्थात, उनके क्षेत्रों के बीच एक पत्राचार होता है जो सभी लंबाई (आइसोमेट्री) को संरक्षित करता है। आइसोमेट्रिक ट्रांसफॉर्मेशन के तहत संरक्षित गुण कहलाते हैं आंतरिक ज्यामितिसतहें। आंतरिक ज्यामिति अंतरिक्ष में सतह की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है और जब यह तनाव और संपीड़न के बिना मुड़ी होती है (उदाहरण के लिए, जब एक सिलेंडर शंकु में मुड़ा हुआ होता है) नहीं बदलता है।

मीट्रिक गुणांक ई , एफ , जी (\displaystyle ई,\ एफ,\ जी)न केवल सभी वक्रों की लंबाई निर्धारित करें, बल्कि सामान्य रूप से सतह के अंदर सभी मापों के परिणाम (कोण, क्षेत्र, वक्रता, आदि)। इसलिए, सब कुछ जो केवल मीट्रिक पर निर्भर करता है, आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करता है।

सामान्य और सामान्य खंड

सतह बिंदुओं पर सामान्य वैक्टर

एक सतह की मुख्य विशेषताओं में से एक इसकी है सामान्य- किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा विमान के लंबवत इकाई वेक्टर:

एम = [ आर यू , आर वी ′ ] | [ आर यू , आर वी ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (आर"_(वी))]|))).

सामान्य का चिन्ह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है।

किसी दिए गए बिंदु पर सतह के अभिलंब वाले तल द्वारा सतह का खंड एक निश्चित वक्र बनाता है, जिसे कहा जाता है सामान्य खंडसतहें। एक सामान्य खंड के लिए मुख्य सामान्य सतह से सामान्य (एक संकेत तक) के साथ मेल खाता है।

यदि सतह पर वक्र एक सामान्य खंड नहीं है, तो इसका मुख्य सामान्य सतह के साथ एक कोण बनाता है (\displaystyle \थीटा ). फिर वक्रता k (\displaystyle k)वक्र वक्रता से संबंधित है k n (\displaystyle k_(n))सामान्य खंड (उसी स्पर्शरेखा के साथ) मेयुनियर का सूत्र:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

सतह को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के लिए सामान्य वेक्टर के निर्देशांक तालिका में दिए गए हैं:

	एक सतह बिंदु पर सामान्य निर्देशांक
निहित असाइनमेंट	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \ frac (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक एक्स)); \, (\ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक वाई)); \, (\ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक जेड)) \ दाएं) )(\sqrt (\बाएं((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\बाएं((\frac (\आंशिक एफ)(\आंशिक जेड))\दाएं)^(2)))))
स्पष्ट असाइनमेंट	(- ∂ f ∂ x ; - ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f))) ) ( आंशिक x))\दाएं)^(2)+\बाएं ((\frac (\आंशिक च)(\आंशिक y))\दाएं)^(2)+1))))
पैरामीट्रिक कार्य	(डी (वाई, जेड) डी (यू, वी) डी (जेड, एक्स) डी (यू, वी) डी (एक्स, वाई) डी (यू, वी)) (डी (वाई, जेड) डी (यू , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac))) (डी(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\बाएं ((\ फ्रैक (डी (जेड, एक्स)) (डी (यू, वी))) \ दाएं) ^ (2) + \ बाएं ((\ फ्रैक (डी (एक्स, वाई)) (डी ( यू, वी)))\दाएं)^(2)))))

यहां डी (वाई, जेड) डी (यू, वी) = | वाई यू वाई वी ′ जेड यू जेड वी ′ | , डी (जेड, एक्स) डी (यू, वी) = | जेड यू जेड वी ′ एक्स यू ′ एक्स वी ′ | , डी (एक्स, वाई) डी (यू, वी) = | एक्स यू एक्स वी ′ वाई यू वाई वी ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ start(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

सभी व्युत्पन्न बिंदु पर लिए जाते हैं (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

वक्रता

सतह पर किसी दिए गए बिंदु पर अलग-अलग दिशाओं के लिए, सामान्य खंड की एक अलग वक्रता प्राप्त होती है, जिसे कहा जाता है सामान्य वक्रता; इसे एक प्लस चिन्ह दिया जाता है यदि वक्र का मुख्य अभिलम्ब उसी दिशा में जाता है जैसे सतह पर सामान्य होता है, या ऋणात्मक चिह्न यदि मानक की दिशाएँ विपरीत होती हैं।

सामान्यतया, सतह पर प्रत्येक बिंदु पर दो लंबवत दिशाएँ होती हैं ई 1 (\displaystyle e_(1))और ई 2 (\displaystyle e_(2)), जिसमें सामान्य वक्रता न्यूनतम और अधिकतम मान लेती है; इन दिशाओं को कहा जाता है मुख्य. एक अपवाद तब होता है जब सामान्य वक्रता सभी दिशाओं में समान होती है (उदाहरण के लिए, एक गोले के पास या क्रांति के दीर्घवृत्त के अंत में), तो एक बिंदु पर सभी दिशाएँ प्रमुख होती हैं।

ऋणात्मक (बाएं), शून्य (केंद्र), और धनात्मक (दाएं) वक्रता वाली सतहें।

मुख्य दिशाओं में सामान्य वक्रता कहलाती है मुख्य वक्रता; आइए उन्हें निरूपित करें κ 1 (\displaystyle \कप्पा _(1))और κ 2 (\displaystyle \कप्पा _(2)). आकार:

के = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

परिभाषा।ओडीएससी के संबंध में सामान्य समीकरण (1) द्वारा दिए गए दूसरे क्रम की सतह पर स्थित एक बिंदु को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि तीन संख्याओं में से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है।

इस प्रकार, दूसरे क्रम की सतह पर स्थित एक बिंदु एकवचन नहीं है यदि और केवल यदि वह इसका केंद्र है, अन्यथा, जब सतह शंक्वाकार है, और बिंदु इस सतह का शीर्ष है।

परिभाषा।किसी दिए गए गैर-एकवचन बिंदु पर दूसरे क्रम की सतह पर स्पर्शरेखा इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, जो दूसरे क्रम की सतह को दोहरे बिंदु पर काटती है, या सतह का एक सीधा जनक है।

प्रमेय 3.किसी दिए गए गैर-एकवचन बिंदु पर दूसरे क्रम की सतह पर स्पर्शरेखा रेखाएं उसी तल में होती हैं, जिसे विचाराधीन बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा तल कहा जाता है। स्पर्शरेखा समतल समीकरण है

प्रमाण। मान लीजिए, समीकरण (1) द्वारा दिए गए दूसरे क्रम की सतह के एक गैर-एकवचन बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनें। समीकरण (1) , , के स्थान पर , , , में रखने पर हमें प्राप्त होता है

चूंकि बिंदु सतह (1) पर स्थित है, हम समीकरण (3) से भी पाते हैं (यह मान बिंदु से मेल खाता है)। सतह (1) के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए डबल होने के लिए, या रेखा के लिए पूरी तरह से सतह पर झूठ बोलने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि समानता संतुष्ट हो:

यदि एक ही समय में:

फिर सतह (1) के साथ सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु दोगुना है। और अगर:

तब रेखा पूरी तरह से सतह (1) पर स्थित होती है।

संबंधों से (4) तथा , यह निम्नानुसार है कि सतह पर किसी भी स्पर्शरेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक, समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

इसके विपरीत, यदि किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो वेक्टर के निर्देशांक संबंध (4) को संतुष्ट करते हैं, जिसका अर्थ है कि रेखा विचाराधीन सतह पर स्पर्शरेखा है।

चूंकि बिंदु सतह (1) का एक गैर-एकवचन बिंदु है, तो संख्याओं में से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है; तो समीकरण (5) के संबंध में पहली डिग्री का समीकरण है। यह सतह (1) पर दिए गए एक गैर-एकवचन बिंदु पर स्पर्शरेखा के समतल का समीकरण है।

दूसरे क्रम की सतहों के विहित समीकरणों के आधार पर, स्पर्शरेखा विमानों के समीकरणों को एक दीर्घवृत्त, हाइपरबोलाइड, आदि के लिए बनाना आसान है। उन पर एक निश्चित बिंदु पर।

एक)। दीर्घवृत्त के लिए स्पर्शरेखा विमान:

2))। एक और दो शीट वाले हाइपरबोलॉइड के स्पर्शरेखा विमान:

3))। अण्डाकार और अतिपरवलयिक परवलय के स्पर्शरेखा तल:

§ 161. दूसरे क्रम की सतह के साथ स्पर्शरेखा तल का प्रतिच्छेदन।

हम ओडीएससी, अक्ष के निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में दूसरे क्रम की सतह का एक गैर-एकवचन बिंदु लेते हैं और इसे बिंदु पर सतह के स्पर्शरेखा में रखते हैं। फिर सतह के सामान्य समीकरण में (1) मुक्त पद शून्य के बराबर होता है, और मूल पर सतह को छूने वाले तल का समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:

लेकिन मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल के समीकरण का रूप है: .

और, चूंकि यह समीकरण समीकरण के बराबर होना चाहिए, तब , , ।

तो, चयनित समन्वय प्रणाली में, सतह समीकरण (1) इस तरह दिखना चाहिए:

इसके विपरीत, यदि, तो समीकरण (6) निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली सतह का समीकरण है, और विमान बिंदु पर इस सतह पर स्पर्शरेखा विमान है। उस रेखा का समीकरण जिसके साथ एक बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा तल सतह (6) को प्रतिच्छेद करता है, का रूप है:

यदि एक । यह दूसरे क्रम की रेखाओं के लिए अपरिवर्तनीय सिद्धांत में एक अपरिवर्तनीय है। समीकरण (7)

यह दूसरी पंक्ति है। इस रेखा के रूप में, अपरिवर्तनीय है, इसलिए:

यहाँ दो काल्पनिक प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।

कब - दो वास्तविक प्रतिच्छेदी रेखाएँ।

यदि, लेकिन कम से कम एक गुणांक, शून्य के बराबर नहीं है, तो प्रतिच्छेदन की रेखा (7) दो मेल खाने वाली रेखाएं हैं।

अंत में, यदि , तो विमान

दी गई सतह का हिस्सा है, और सतह खुद ही टूट जाती है, इसलिए, विमानों की एक जोड़ी में

§ 162. दूसरे क्रम की सतह के अण्डाकार, अतिपरवलयिक या परवलयिक बिंदु।

1. मान लीजिए कि दूसरे क्रम की सतह पर स्पर्श रेखा एक बिंदु पर दो काल्पनिक प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करती है। इस मामले में, बिंदु को सतह का अण्डाकार बिंदु कहा जाता है।

2. मान लीजिए कि दूसरे कोटि की सतह पर स्पर्श रेखा इसे एक बिंदु पर दो वास्तविक रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करती है जो संपर्क बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। इस मामले में, बिंदु को सतह का अतिपरवलयिक बिंदु कहा जाता है।

3. मान लीजिए कि दूसरे क्रम के पृष्ठ पर स्पर्श रेखा एक बिंदु पर दो संपाती सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करती है। इस मामले में, बिंदु को सतह का परवलयिक बिंदु कहा जाता है।

प्रमेय 4.ओडीएससी के संबंध में दूसरे क्रम की सतह को समीकरण (1) द्वारा दिया गया है और यह समीकरण (1) दूसरे क्रम की वास्तविक गैर-क्षय सतह का समीकरण है। तो अगर ; तो सतह के सभी बिंदु अंडाकार होते हैं।

प्रमाण। आइए हम एक नई समन्वय प्रणाली का परिचय दें, दिए गए सतह के किसी भी गैर-एकवचन बिंदु को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में चुनते हैं और अक्षों को रखते हुए और बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा में रखते हैं। नई समन्वय प्रणाली में समीकरण (1) को रूप में बदल दिया गया है:

कहाँ । आइए हम इस समीकरण के लिए अपरिवर्तनीय की गणना करें।

चूंकि एक ओडीएससी से दूसरे में संक्रमण के दौरान संकेत नहीं बदलता है, संकेत और विपरीत हैं, इसलिए, यदि, तो; और, वर्गीकरण से निम्नानुसार है (देखें 161), एक बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा विमान सतह को दो काल्पनिक प्रतिच्छेदन रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है, अर्थात। एक अण्डाकार बिंदु है।

2) एक शीट वाले अतिपरवलयज और अतिपरवलयिक परवलय में अतिपरवलयिक बिंदु होते हैं।

3) दूसरे क्रम के वास्तविक शंकु (शीर्ष को बाहर रखा गया है), अण्डाकार (वास्तविक), अतिशयोक्तिपूर्ण और परवलयिक सिलेंडरों में परवलयिक बिंदु होते हैं।

परवलयिक सिलेंडर.

एक परवलयिक सिलेंडर का स्थान निर्धारित करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है:

1) सिलेंडर के जनरेटर के समानांतर समरूपता का एक विमान;

2) बेलन के स्पर्शरेखा तल, समरूपता के इस तल के लंबवत;

3) इस स्पर्शरेखा तल के लंबवत एक सदिश और बेलन की अवतलता की ओर निर्देशित।

यदि सामान्य समीकरण एक परवलयिक सिलेंडर को परिभाषित करता है, तो इसे फिर से लिखा जा सकता है:

चलो चुनें एमताकि विमान

परस्पर लंबवत होगा:

इस मूल्य के साथ एमविमान

सिलेंडर के जनरेटर के समानांतर समरूपता का एक विमान होगा।

विमान

सिलेंडर के लिए स्पर्शरेखा विमान होगा, समरूपता के संकेतित विमान के लंबवत, और वेक्टर

पाए गए स्पर्शरेखा तल के लंबवत होंगे और सिलेंडर की अवतलता की ओर निर्देशित होंगे।

सामान्य समतल समीकरण

स्पर्शरेखा तल और सतह सामान्य

मान लीजिए कि कुछ सतह दी गई है, A सतह का एक निश्चित बिंदु है और B सतह का एक चर बिंदु है,

(चित्र .1)।

गैर-शून्य वेक्टर

→

एन

बुलाया सामान्य वेक्टरबिंदु A पर सतह पर यदि

लिम

बी → ए

जे =

एक सतह बिंदु F (x, y, z) = 0 को सामान्य कहा जाता है यदि इस बिंदु पर

आंशिक व्युत्पन्न F " x , F " y , F " z निरंतर हैं;
(एफ "एक्स)2 + (एफ" वाई)2 + (एफ" जेड)2 0।

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो सतह पर एक बिंदु कहलाता है सतह का एकवचन बिंदु .

प्रमेय 1.अगर एम (एक्स 0 , y 0 , z 0) सतह F (x , y , z) = 0 का एक सामान्य बिंदु है, तो सदिश

→

एन

\u003d ग्रेड एफ (एक्स 0, वाई 0, जेड 0) \u003d एफ "एक्स (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

→

मैं

+ एफ "वाई (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

→

जे

+ एफ "जेड (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

→

क

(1)

बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) पर इस सतह के लिए सामान्य है।

प्रमाणआई.एम. द्वारा पुस्तक में दिया गया है। पेट्रुस्को, एल.ए. कुज़नेत्सोवा, वी.आई. प्रोखोरेंको, वी.एफ. सफोनोवा `` उच्च गणित का पाठ्यक्रम: इंटीग्रल कैलकुलस। कई चर के कार्य। विभेदक समीकरण। एम.: एमईआई पब्लिशिंग हाउस, 2002 (पृष्ठ 128)।

सतह के लिए सामान्यकिसी बिंदु पर एक रेखा कहलाती है जिसका दिशा वेक्टर इस बिंदु पर सतह के लिए सामान्य है और जो इस बिंदु से गुजरती है।

कैनन का सामान्य समीकरणके रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

एक्स - एक्स0

एफ "एक्स (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

y - y0

एफ "वाई (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

z−z0

एफ "जेड (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)

(2)

स्पर्शरेखा विमानकिसी बिंदु पर सतह के लिए एक विमान कहा जाता है जो इस बिंदु से उस बिंदु पर सतह पर सामान्य से लंबवत गुजरता है।

इस परिभाषा से यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा समतल समीकरणकी तरह लगता है:

(3)

यदि सतह पर एक बिंदु एकवचन है, तो इस बिंदु पर सतह पर सामान्य वेक्टर मौजूद नहीं हो सकता है, और इसके परिणामस्वरूप, सतह में एक सामान्य और स्पर्शरेखा विमान नहीं हो सकता है।

दो चर के एक समारोह के कुल अंतर का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए फलन z = f (x , y) बिंदु a (x 0 , y 0) पर अवकलनीय है। इसका ग्राफ सतह है

एफ (एक्स, वाई) - जेड = 0।

चलो z 0 = f (x 0 , y 0) डालते हैं। तब बिंदु A (x 0 , y 0 , z 0) सतह से संबंधित है।

फलन F (x , y , z) = f (x , y) - z के आंशिक अवकलज हैं

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

और बिंदु A पर (x 0 , y 0 , z 0)

वे निरंतर हैं;
एफ "2 एक्स + एफ" 2 वाई + एफ "2 जेड = एफ" 2 एक्स + एफ "2 वाई + 1 ≠ 0।

अत: A, पृष्ठ F (x, y, z) का एक सामान्य बिंदु है और इस बिंदु पर सतह पर एक स्पर्श रेखा है। (3) के अनुसार, स्पर्शरेखा समतल समीकरण का रूप है:

f "x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0।

बिंदु a (x 0, y 0) से एक मनमाना बिंदु p (x, y) में संक्रमण के दौरान स्पर्शरेखा तल पर एक बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन B Q (चित्र 2) है। संबंधित एप्लिक इंक्रीमेंट है

(जेड - जेड 0) \u003d एफ "एक्स (एक्स 0, वाई 0) (एक्स - एक्स 0) + एफ" वाई (एक्स 0, वाई 0) (वाई - वाई 0)

यहाँ दायीं ओर अंतर है डीफ़ंक्शन z का z = f (x, y) बिंदु a (x 0 , x 0) पर। इसलिये,
डीएफ (एक्स 0, वाई 0)। फ़ंक्शन f (x, y) के बिंदु (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) के ग्राफ के लिए समतल स्पर्शरेखा के बिंदु के अनुप्रयोग की वृद्धि है।

यह अंतर की परिभाषा से निम्नानुसार है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदु P और स्पर्शरेखा तल पर बिंदु Q के बीच की दूरी बिंदु p से बिंदु a तक की दूरी की तुलना में एक अनंत उच्च क्रम है।

किसी बिंदु पर और उस पर निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है, जिनमें से कम से कम एक गायब नहीं होता है, तो इस बिंदु के आसपास के क्षेत्र में समीकरण (1) द्वारा दी गई सतह होगी सही सतह.

उपरोक्त के अतिरिक्त सेटिंग का निहित तरीकासतह को परिभाषित किया जा सकता है स्पष्ट रूप से, यदि एक चर, उदाहरण के लिए z, को अन्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

भी मौजूद है पैरामीट्रिकअसाइनमेंट विधि। इस मामले में, सतह समीकरणों की प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

एक साधारण सतह की अवधारणा

अधिक सटीकता से, सादा सतह इकाई वर्ग के आंतरिक भाग की होमोमोर्फिक मानचित्रण (अर्थात एक-से-एक और परस्पर सतत मानचित्रण) की छवि है। इस परिभाषा को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति दी जा सकती है।

अंतर ज्यामिति में सतह

घुमावदार

कैटेनॉयड

मीट्रिक गुणांक न केवल सभी वक्रों की लंबाई निर्धारित करते हैं, बल्कि सामान्य रूप से सतह (कोण, क्षेत्र, वक्रता, आदि) के अंदर सभी मापों के परिणाम निर्धारित करते हैं। इसलिए, सब कुछ जो केवल मीट्रिक पर निर्भर करता है, आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करता है।

सामान्य और सामान्य खंड

सतह बिंदुओं पर सामान्य वैक्टर

सामान्य का चिन्ह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है।

एक समतल द्वारा सतह का खंड जिसमें अभिलंब (किसी दिए गए बिंदु पर) होता है, सतह पर एक निश्चित वक्र बनाता है, जिसे कहा जाता है सामान्य खंडसतहें। एक सामान्य खंड के लिए मुख्य सामान्य सतह से सामान्य (एक संकेत तक) के साथ मेल खाता है।

यदि सतह पर वक्र एक सामान्य खंड नहीं है, तो इसका मुख्य सामान्य सतह के साथ कोण θ बनाता है। फिर वक्रता कवक्र वक्रता से संबंधित है क एनसामान्य खंड (उसी स्पर्शरेखा के साथ) मेयुनियर का सूत्र:

	एक सतह बिंदु पर सामान्य निर्देशांक
निहित असाइनमेंट
स्पष्ट असाइनमेंट
पैरामीट्रिक कार्य

वक्रता

सामान्यतया, सतह पर प्रत्येक बिंदु पर दो लंबवत दिशाएँ होती हैं इ 1 और इ 2 , जिसमें सामान्य वक्रता न्यूनतम और अधिकतम मान लेती है; इन दिशाओं को कहा जाता है मुख्य. एक अपवाद तब होता है जब सामान्य वक्रता सभी दिशाओं में समान होती है (उदाहरण के लिए, एक गोले के पास या क्रांति के दीर्घवृत्त के अंत में), तो एक बिंदु पर सभी दिशाएँ प्रमुख होती हैं।

ऋणात्मक (बाएं), शून्य (केंद्र), और धनात्मक (दाएं) वक्रता वाली सतहें।

मुख्य दिशाओं में सामान्य वक्रता कहलाती है मुख्य वक्रता; आइए उन्हें κ 1 और κ 2 से निरूपित करें। आकार:

क= 1 2

बुलाया गाऊसी वक्रता, पूर्ण वक्रताया केवल वक्रतासतहें। शब्द भी है वक्रता अदिश, जिसका अर्थ है वक्रता टेंसर के दृढ़ संकल्प का परिणाम; इस मामले में, वक्रता स्केलर गाऊसी वक्रता से दोगुना बड़ा है।

गाऊसी वक्रता की गणना मीट्रिक के रूप में की जा सकती है, और इसलिए यह सतहों की आंतरिक ज्यामिति का एक उद्देश्य है (ध्यान दें कि प्रमुख वक्रता आंतरिक ज्यामिति से संबंधित नहीं है)। वक्रता के संकेत से, आप सतह के बिंदुओं को वर्गीकृत कर सकते हैं (आकृति देखें)। विमान की वक्रता शून्य है। त्रिज्या R वाले एक गोले की वक्रता सर्वत्र बराबर होती है। निरंतर नकारात्मक वक्रता की एक सतह भी है - एक छद्ममंडल।

जियोडेसिक रेखाएं, जियोडेसिक वक्रता

सतह पर वक्र कहलाता है भूगणितीय रेखा, या केवल जियोडेटिक, यदि इसके सभी बिंदुओं पर वक्र का मुख्य अभिलंब सतह के अभिलंब से मेल खाता है। उदाहरण: एक समतल पर, जियोडेसिक्स सीधी रेखाएँ और रेखा खंड होंगे, एक गोले पर - बड़े वृत्त और उनके खंड।

समतुल्य परिभाषा: एक जियोडेसिक लाइन के लिए, इसके मुख्य सामान्य का सन्निहित तल पर प्रक्षेपण शून्य वेक्टर है। यदि वक्र भूगणित नहीं है, तो निर्दिष्ट प्रक्षेपण गैर-शून्य है; इसकी लंबाई कहा जाता है भूगणित वक्रता क जीसतह पर वक्र। एक अनुपात है:

कहाँ पे कइस वक्र की वक्रता है, क एन- समान स्पर्शरेखा के साथ इसके सामान्य खंड की वक्रता।

जियोडेसिक रेखाएं आंतरिक ज्यामिति को संदर्भित करती हैं। हम उनके मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं।

एक और केवल एक जियोडेसिक किसी दिए गए दिशा में सतह पर दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है।
सतह के पर्याप्त रूप से छोटे क्षेत्र पर, दो बिंदुओं को हमेशा एक जियोडेसिक द्वारा जोड़ा जा सकता है, और इसके अलावा, केवल एक। व्याख्या: एक गोले पर, विपरीत ध्रुव अनंत संख्या में मेरिडियन से जुड़े होते हैं, और दो करीबी बिंदुओं को न केवल एक बड़े वृत्त के एक खंड द्वारा जोड़ा जा सकता है, बल्कि एक पूर्ण वृत्त के अतिरिक्त भी जोड़ा जा सकता है, ताकि केवल विशिष्टता देखी जा सके एक छोटे में।
जियोडेसिक सबसे छोटा है। अधिक सख्ती से: सतह के एक छोटे से टुकड़े पर, दिए गए बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा रास्ता जियोडेसिक के साथ होता है।

वर्ग

सतह का एक अन्य महत्वपूर्ण गुण इसका है वर्ग, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

अंतर ज्यामिति में सतह

सामान्य और सामान्य खंड

वक्रता

स्पर्शरेखा तल और सतह सामान्य

एक साधारण सतह की अवधारणा

अंतर ज्यामिति में सतह

सामान्य और सामान्य खंड

वक्रता

जियोडेसिक रेखाएं, जियोडेसिक वक्रता

वर्ग

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