कार्य, जिनका समाधान है लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना, अक्सर परीक्षा में पाया जाता है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचानों के अलावा, समय के न्यूनतम व्यय के साथ उनका सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, कुछ और सूत्रों को जानना और उनका सही ढंग से उपयोग करना आवश्यक है।

यह है: a log a b = b, जहाँ a, b> 0, a 1 (यह लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है)।

लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए या लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए
जहां ए, बी, सी> 0; ए, सी 1.

लॉग ए एम बी एन = (एम/एन) लॉग |ए| |बी|
जहां ए, बी> 0, ए 1, एम, एन Є आर, एन ≠ 0।

एक लॉग सी बी = बी लॉग सी ए
जहां ए, बी, सी> 0 और ए, बी, सी ≠ 1

चौथी समानता की वैधता दिखाने के लिए, हम आधार a में बाएँ और दाएँ पक्षों का लघुगणक लेते हैं। हमें लॉग ए (ए लॉग सी बी) = लॉग ए (बी लॉग सी ए) या लॉग सी बी = लॉग सी ए लॉग ए बी मिलता है; लॉग सी बी = लॉग सी ए (लॉग सी बी / लॉग सी ए); बी के साथ लॉग = बी के साथ लॉग इन करें।

हमने लघुगणक की समानता को सिद्ध कर दिया है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के अंतर्गत व्यंजक भी समान हैं। फॉर्मूला 4 साबित हो गया है।

उदाहरण 1

81 परिकलित करें लघुगणक 27 5 लघुगणक 5 4 .

फेसला।

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

लघुगणक 27 5 = 1/3 लघुगणक 3 5, लघुगणक 5 4 = लघुगणक 3 4 / लघुगणक 3 5. इसलिए,

लॉग 27 5 लॉग 5 4 = 1/3 लॉग 3 5 (लॉग 3 4 / लॉग 3 5) = 1/3 लॉग 3 4।

फिर 81 लघुगणक 27 5 लघुगणक 5 4 = (3 4) 1/3 लघुगणक 3 4 = (3 लघुगणक 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 4.

आप निम्न कार्य को स्वयं पूरा कर सकते हैं।

गणना करें (8 लॉग 2 3 + 3 1 / लॉग 2 3) - लॉग 0.2 5.

एक संकेत के रूप में, 0.2 = 1/5 = 5 -1; लॉग 0.2 5 = -1।

उत्तर : 5.

उदाहरण 2

गणना (√11) लॉग √3 9 लॉग 121 81।

फेसला।

आइए व्यंजकों को बदलें: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , लॉग √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4, लघुगणक 121 81 = 2 लघुगणक 11 3 (सूत्र 3 का उपयोग किया गया था)।

फिर (√11) लॉग 3 9- लॉग 121 81 = (11 1/2) 4-2 लॉग 11 3 = (11) 2- लॉग 11 3 = 11 2 / (11) लॉग 11 3 = 11 2 / ( 11 लघुगणक 11 3) = 121/3.

उदाहरण 3

लॉग 2 24 / लॉग 96 2 - लॉग 2 192 / लॉग 12 2 की गणना करें।

फेसला।

हम उदाहरण में निहित लघुगणक को आधार 2 से लघुगणक से बदल देंगे।

लॉग 96 2 = 1/लॉग 2 96 = 1/लॉग 2 (2 5 3) = 1/(लॉग 2 2 5 + लॉग 2 3) = 1/(5 + लॉग 2 3);

लॉग 2 192 = लॉग 2 (2 6 3) = (लॉग 2 2 6 + लॉग 2 3) = (6 + लॉग 2 3);

लॉग 2 24 = लॉग 2 (2 3 3) = (लॉग 2 2 3 + लॉग 2 3) = (3 + लॉग 2 3);

लॉग 12 2 = 1/लॉग 2 12 = 1/लॉग 2 (2 2 3) = 1/(लॉग 2 2 2 + लॉग 2 3) = 1/(2 + लॉग 2 3)।

फिर 2 24 / लॉग 96 2 - लॉग 2 192 / लॉग 12 2 = (3 + लॉग 2 3) / (1/(5 + लॉग 2 3)) - ((6 + लॉग 2 3) / (1/( 2 + लॉग 2 3)) =

= (3 + लॉग 2 3) (5 + लॉग 2 3) - (6 + लॉग 2 3) (2 + लॉग 2 3)।

कोष्ठक खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, हमें संख्या 3 प्राप्त होती है। (व्यंजक को सरल बनाने पर, लघुगणक 2 3 को n द्वारा निरूपित किया जा सकता है और व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

(3 + एन) (5 + एन) - (6 + एन) (2 + एन))।

उत्तर: 3.

आप निम्न कार्य स्वयं कर सकते हैं:

गणना करें (लॉग 3 4 + लॉग 4 3 + 2) लॉग 3 16 लॉग 2 144 3.

यहां आधार 3 में लघुगणक और बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन करना आवश्यक है।

उत्तर: 1/2

उदाहरण 4

तीन नंबर दिए गए हैं ए \u003d 1 / (लॉग 3 0.5), बी \u003d 1 / (लॉग 0.5 3), सी \u003d लॉग 0.5 12 - लॉग 0.5 3. उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

फेसला।

आइए संख्याओं को रूपांतरित करें A \u003d 1 / (लॉग 3 0.5) \u003d लॉग 0.5 3; सी \u003d लॉग 0.5 12 - लॉग 0.5 3 \u003d लॉग 0.5 12/3 \u003d लॉग 0.5 4 \u003d -2।

आइए उनकी तुलना करें

लॉग 0.5 3> लॉग 0.5 4 = -2 और लॉग 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

या 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

जवाब। इसलिए, संख्याओं के स्थान का क्रम: C; लेकिन; पर।

उदाहरण 5

अंतराल में कितने पूर्णांक हैं (लॉग 3 1/16; लॉग 2 6 48)।

फेसला।

आइए निर्धारित करें कि संख्या 3 की किन शक्तियों के बीच संख्या 1/16 है। हमें 1/27 . मिलता है< 1 / 16 < 1 / 9 .

चूंकि फ़ंक्शन y \u003d लॉग 3 x बढ़ रहा है, फिर लॉग 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

लॉग 6 48 = लॉग 6 (36 4/3) = लॉग 6 36 + लॉग 6 (4/3) = 2 + लॉग 6 (4/3)। लॉग 6 (4/3) और 1/5 की तुलना करें। और इसके लिए हम संख्याओं 4/3 और 6 1/5 की तुलना करते हैं। दोनों संख्याओं को 5वीं घात तक बढ़ाएँ। हमें मिलता है (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

लॉग 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

इसलिए, अंतराल (लॉग 3 1 / 16; लॉग 6 48) में अंतराल [-2; 4] और पूर्णांक -2 इस पर रखे गए हैं; -एक; 0; एक; 2; 3; 4.

उत्तर: 7 पूर्णांक।

उदाहरण 6

3 एलजीएलजी 2/ एलजी 3 - एलजी 20 की गणना करें।

फेसला।

3 एलजी एलजी 2/ एलजी 3 = (3 1/ एलजी 3) एलजी एलजी 2 = (3 लोग जी 3 10) एलजी एलजी 2 = 10 एलजी एलजी 2 = एलजी 2।

फिर 3 एलजीएलजी2/एलजी3 - एलजी 20 = एलजी 2 - एलजी 20 = एलजी 0.1 = -1।

उत्तर 1।

उदाहरण 7

यह ज्ञात है कि लॉग 2 (√3 + 1) + लॉग 2 (√6 - 2) = ए। लॉग 2 (√3 -1) + लॉग 2 (√6 + 2) खोजें।

फेसला।

संख्याएं (√3 + 1) और (√3 - 1); (√6 - 2) और (√6 + 2) संयुग्म हैं।

आइए हम व्यंजकों का निम्नलिखित रूपांतरण करते हैं:

3 - 1 = (√3 - 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2)।

फिर लघुगणक 2 (√3 - 1) + लघुगणक 2 (√6 + 2) = लघुगणक 2 (2/(√3 + 1)) + लघुगणक 2 (2/(√6 - 2)) =

लॉग 2 2 - लॉग 2 (√3 + 1) + लॉग 2 2 - लॉग 2 (√6 - 2) = 1 - लॉग 2 (√3 + 1) + 1 - लॉग 2 (√6 - 2) =

2 - लॉग 2 (√3 + 1) - लॉग 2 (√6 - 2) = 2 - ए।

उत्तर: 2 - ए।

उदाहरण 8.

सरलीकृत करें और व्यंजक का अनुमानित मान ज्ञात करें (लॉग 3 2 लॉग 4 3 लॉग 5 4 लॉग 6 5 ... लॉग 10 9.

फेसला।

हम सभी लघुगणक को 10 के सामान्य आधार पर कम करते हैं।

(लॉग 3 2 लॉग 4 3 लॉग 5 4 लॉग 6 5 ... लॉग 10 9 = (लॉग 2 / लॉग 3) (लॉग 3 / लॉग 4) (लॉग 4 / लॉग 5) (लॉग 5 / एलजी 6) ...। .. (एलजी 8 / एलजी 9) एलजी 9 \u003d एलजी 2 ≈ 0.3010। (एलजी 2 का अनुमानित मूल्य तालिका, स्लाइड नियम या कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जा सकता है)।

उत्तर: 0.3010।

उदाहरण 9.

लॉग ए 2 बी 3 (ए 11 बी -3) की गणना करें यदि लॉग √ ए बी 3 = 1। (इस उदाहरण में, 2 बी 3 लॉगरिदम का आधार है)।

फेसला।

यदि लॉग √ a b 3 = 1, तो 3/(0.5 log a b = 1. और log a b = 1/6.

फिर लॉग ए 2 बी 3√(ए 11 बी -3) = 1/2 लॉग ए 2 बी 3 (ए 11 बी -3) = लॉग ए (ए 11 बी -3) / (2लॉग ए (ए 2 बी 3) ) = (लॉग ए 11 + लॉग ए बी -3) / (2(लॉग ए 2 + लॉग ए बी 3)) = (11 - 3लॉग ए बी) / (2(2 + 3लॉग एबी)) कि लॉग और बी = 1/6 हमें (11 - 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1 मिलता है।

उत्तर : 2.1.

आप निम्न कार्य स्वयं कर सकते हैं:

लॉग 3 6 2.1 की गणना करें यदि लॉग 0.7 27 = ए।

उत्तर: (3 + ए) / (3 ए)।

उदाहरण 10

6.5 4/लॉग 3 169 3 1/ लॉग 4 13 + लॉग125 परिकलित करें।

फेसला।

6.5 4/ लॉग 3 169 3 1/ लॉग 4 13 + लॉग 125 = (13/2) 4/2 लॉग 3 13 3 2/ लॉग 2 13 + 2लॉग 5 5 3 = (13/2) 2 लॉग 13 3 3 2 लॉग 13 2 + 6 = (13 लॉग 13 3/2 लॉग 13 3) 2 (3 लॉग 13 2) 2 + 6 = (3/2 लॉग 13 3) 2 (3 लॉग 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 लॉग 13 3) 2) (2 लॉग 13 3) 2 + 6।

(2 लघुगणक 13 3 = 3 लघुगणक 13 2 (सूत्र 4))

हमें 9 + 6 = 15 मिलता है।

उत्तर: 15.

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लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यूएसई के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

* * *

संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता होती है, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय, कोई भी आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

लघुगणक के साथ व्यंजकों को परिवर्तित करते समय सूचीबद्ध समानताएं दाएं से बाएं और बाएं से दाएं दोनों का उपयोग करती हैं।

यह ध्यान देने योग्य है कि गुणों के परिणामों को याद रखना आवश्यक नहीं है: परिवर्तन करते समय, आप लघुगणक और अन्य तथ्यों (उदाहरण के लिए, b≥0 के लिए) के मूल गुणों के साथ प्राप्त कर सकते हैं, जिससे संबंधित परिणाम अनुसरण करते हैं। इस दृष्टिकोण का "दुष्प्रभाव" केवल इतना है कि समाधान थोड़ा लंबा होगा। उदाहरण के लिए, परिणाम के बिना करने के लिए, जो सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है , और केवल लघुगणक के मूल गुणों से शुरू करते हुए, आपको निम्नलिखित रूप के परिवर्तनों की एक श्रृंखला को पूरा करना होगा: .

उपरोक्त सूची से अंतिम संपत्ति के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जो सूत्र से मेल खाती है , क्योंकि यह लघुगणक के मूल गुणों से भी अनुसरण करता है। समझने वाली मुख्य बात यह है कि घातांक में एक लघुगणक के साथ एक सकारात्मक संख्या की डिग्री के लिए डिग्री के आधार और लघुगणक के संकेत के तहत संख्या को स्वैप करना हमेशा संभव होता है। निष्पक्षता में, हम ध्यान दें कि इस तरह के परिवर्तनों के कार्यान्वयन से जुड़े उदाहरण व्यवहार में दुर्लभ हैं। हम नीचे कुछ उदाहरण देंगे।

लघुगणक के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

हमें लघुगणक के गुण याद आ गए, अब यह सीखने का समय है कि व्यंजकों को बदलने के लिए उन्हें कैसे व्यवहार में लाया जाए। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के साथ शुरू करना स्वाभाविक है, न कि चर के साथ अभिव्यक्ति, क्योंकि उन पर मूल बातें सीखना अधिक सुविधाजनक और आसान है। तो हम ऐसा करेंगे, और हम यह सीखने के लिए बहुत ही सरल उदाहरणों के साथ शुरू करेंगे कि लघुगणक की वांछित संपत्ति कैसे चुनें, लेकिन हम धीरे-धीरे उदाहरणों को जटिल बना देंगे, उस बिंदु तक जहां एक में कई गुणों को लागू करने की आवश्यकता होगी अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए पंक्ति।

लघुगणक के वांछित गुण का चयन

लॉगरिदम के इतने कम गुण नहीं हैं, और यह स्पष्ट है कि आपको उनमें से उपयुक्त एक को चुनने में सक्षम होने की आवश्यकता है, जो इस विशेष मामले में वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा। आमतौर पर लघुगणक के गुणों को व्यक्त करने वाले सूत्रों के बाएँ और दाएँ भागों के प्रकारों के साथ परिवर्तित किए जा रहे लघुगणक या व्यंजक के रूप की तुलना करके ऐसा करना कठिन नहीं है। यदि किसी सूत्र का बायाँ या दायाँ पक्ष दिए गए लघुगणक या व्यंजक से मेल खाता है, तो सबसे अधिक संभावना है कि यह वह गुण है जिसका उपयोग परिवर्तन के दौरान किया जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट रूप से इसे प्रदर्शित करते हैं।

आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए व्यंजकों को रूपांतरित करने के उदाहरणों के साथ प्रारंभ करें, जो सूत्र a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 के संगत है।

उदाहरण।

गणना करें, यदि संभव हो तो: ए) 5 लॉग 5 4, बी) 10 लॉग(1+2 π), सी) , डी) 2 लॉग 2 (−7) , ई) ।

फेसला।

उदाहरण में, अक्षर a) स्पष्ट रूप से संरचना a log a b दिखाता है, जहां a=5 , b=4 । ये संख्याएँ a>0 , a≠1 , b>0 शर्तों को पूरा करती हैं, ताकि आप समानता a log a b =b का सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकें। हमारे पास 5 लघुगणक 5 4=4 है।

बी) यहां a=10 , b=1+2 π , शर्तें a>0 , a≠1 , b>0 पूरी होती हैं। इस मामले में, समानता 10 एलजी(1+2 π) = 1+2 होती है।

c) और इस उदाहरण में हम a log a b , जहाँ और b=ln15 रूप की एक डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। इसलिए .

एक ही रूप a log a b (यहां a=2 , b=−7 ) से संबंधित होने के बावजूद, अक्षर d के अंतर्गत व्यंजक को a log a b =b सूत्र द्वारा परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। इसका कारण यह है कि इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि इसमें लघुगणक चिह्न के तहत एक ऋणात्मक संख्या होती है। इसके अलावा, संख्या b=−7 b>0 शर्त को पूरा नहीं करती है, जिससे a log a b =b सूत्र का सहारा लेना असंभव हो जाता है, क्योंकि इसके लिए a>0 , a≠1 , b>0 शर्तों की आवश्यकता होती है। इसलिए, हम 2 log 2 (−7) के मान की गणना के बारे में बात नहीं कर सकते। इस मामले में, 2 लॉग 2 (−7) = −7 लिखना एक त्रुटि होगी।

इसी तरह, पत्र ई के तहत उदाहरण में फॉर्म का समाधान देना असंभव है , चूंकि मूल अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

जवाब:

ए) 5 लॉग 5 4 =4, बी) 10 लॉग(1+2 ) = 1+2 π, सी) , d), e) भावों का कोई मतलब नहीं है।

एक्सपोनेंट में लॉगरिदम के साथ कुछ सकारात्मक गैर-एक संख्या की शक्ति के रूप में सकारात्मक संख्या को परिवर्तित करना अक्सर उपयोगी होता है। यह लघुगणक a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 की समान परिभाषा पर आधारित है, लेकिन सूत्र को दाएं से बाएं, यानी b=a log a b के रूप में लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3=e ln3 या 5=5 log 5 5 ।

आइए व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3.75 1, h) log 5 7 1.

फेसला।

अक्षरों a), b) और c) के उदाहरणों में, व्यंजक log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 दिए गए हैं, जिनका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि लघुगणक के आधार में ऋणात्मक संख्या नहीं होनी चाहिए, शून्य या एक, क्योंकि हमने लॉगरिदम को केवल एक सकारात्मक और गैर-इकाई आधार के लिए परिभाषित किया है। इसलिए, उदाहरणों में a) - c) व्यंजक का मान ज्ञात करने का प्रश्न ही नहीं उठता।

अन्य सभी कार्यों में, जाहिर है, लॉगरिदम के आधार में क्रमशः सकारात्मक और गैर-इकाई संख्या 7, ई, 10, 3.75 और 5 7 हैं, और इकाइयां लॉगरिदम के संकेतों के तहत हर जगह हैं। और हम एकता के लघुगणक के गुण को जानते हैं: किसी भी a>0 , a≠1 के लिए a 1=0 लॉग करें। इस प्रकार, भावों के मान b) - f) शून्य के बराबर हैं।

जवाब:

ए), बी), सी) अभिव्यक्तियों का कोई मतलब नहीं है, डी) लॉग 7 1 = 0, ई) एलएन 1 = 0, एफ) लॉग 1 = 0, जी) लॉग 3.75 1 = 0, एच) लॉग 5 ई 7 1 = 0।

उदाहरण।

गणना करें: a) , b) lne , c) lg10 , d) लॉग 5 3 −2 (5 π 3 −2), ई) लॉग −3 (−3) , f) लॉग 1 1 ।

फेसला।

यह स्पष्ट है कि हमें आधार के लघुगणक के गुण का उपयोग करना होगा, जो कि a>0 , a≠1 के लिए सूत्र log a = 1 के संगत है। दरअसल, सभी अक्षरों के तहत कार्यों में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या इसके आधार के साथ मेल खाती है। इस प्रकार, मैं तुरंत कहना चाहता हूं कि दिए गए व्यंजकों में से प्रत्येक का मान 1 है। हालांकि, निष्कर्ष पर जल्दी मत करो: अक्षरों के तहत कार्यों में ए) - डी) भावों के मूल्य वास्तव में एक के बराबर हैं, और कार्यों में ई) और एफ) मूल भावों का कोई मतलब नहीं है, इसलिए यह नहीं हो सकता कहा जा सकता है कि इन भावों के मान 1 के बराबर हैं।

जवाब:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) लॉग 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ई), एफ) भाव समझ में नहीं आता।

उदाहरण।

मान ज्ञात कीजिए: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) लॉग −10 (−10) 6 ।

फेसला।

जाहिर है, लॉगरिदम के संकेतों के तहत आधार की कुछ डिग्री होती है। इसके आधार पर, हम समझते हैं कि आधार की घात का गुण यहाँ उपयोगी है: log a p =p, जहाँ a>0, a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है। इसे ध्यान में रखते हुए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं: ए) लॉग 3 3 11 =11, बी) , में) . क्या फॉर्म लॉग -10 (−10) 6 =6 के अक्षर d के तहत उदाहरण के लिए समान समानता लिखना संभव है? नहीं, आप नहीं कर सकते, क्योंकि लॉग −10 (−10) 6 का कोई मतलब नहीं है।

जवाब:

क) लघुगणक 3 3 11 =11, ख) , में) d) अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण।

व्यंजक को एक ही आधार में लघुगणक के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें: a) , बी) , सी) लॉग ((−5) (−12)) ।

फेसला।

ए) उत्पाद लॉगरिदम के संकेत के तहत है, और हम उत्पाद लॉग के लॉगरिदम की संपत्ति को जानते हैं a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0. हमारे मामले में, लघुगणक के आधार में संख्या और उत्पाद में संख्या सकारात्मक हैं, अर्थात, वे चयनित संपत्ति की शर्तों को पूरा करते हैं, इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं: .

बी) यहां हम भागफल के लघुगणक के गुण का उपयोग करते हैं, जहां a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 । हमारे मामले में, लघुगणक का आधार एक सकारात्मक संख्या ई है, अंश और हर π सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि वे संपत्ति की शर्तों को पूरा करते हैं, इसलिए हमें चुने हुए सूत्र का उपयोग करने का अधिकार है: .

सी) सबसे पहले, ध्यान दें कि अभिव्यक्ति lg((−5) (−12)) समझ में आता है। लेकिन साथ ही, हमें उत्पाद के लघुगणक के लिए सूत्र लागू करने का अधिकार नहीं है लॉग a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , क्योंकि संख्याएँ −5 और -12 ऋणात्मक हैं और x>0 , y>0 शर्तों को पूरा नहीं करती हैं। यही है, इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देना असंभव है: लॉग((−5)(−12))=लॉग(−5)+लॉग(−12). पर क्या करूँ! ऐसे मामलों में, ऋणात्मक संख्याओं से बचने के लिए मूल व्यंजक को पूर्व-रूपांतरित करने की आवश्यकता होती है। हम लॉगरिदम के संकेत के तहत नकारात्मक संख्याओं के साथ अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के समान मामलों के बारे में विस्तार से बात करेंगे, लेकिन अभी के लिए हम इस उदाहरण का समाधान देंगे, जो पहले से स्पष्ट है और स्पष्टीकरण के बिना: एलजी((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

जवाब:

ए) , बी) , सी) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 ।

उदाहरण।

व्यंजक को सरल कीजिए: क) लघुगणक 3 0.25 + लघुगणक 3 16 + लघुगणक 3 0.5, ख) ।

फेसला।

यहां हमें उत्पाद के लघुगणक के सभी समान गुणों और भागफल के लघुगणक से मदद मिलेगी जो हमने पिछले उदाहरणों में उपयोग किया था, केवल अब हम उन्हें दाएं से बाएं लागू करेंगे। अर्थात्, हम लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक में और लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक में परिवर्तित करते हैं। हमारे पास है
ए) लॉग 3 0.25+लॉग 3 16+लॉग 3 0.5=लॉग 3 (0.25 16 0.5)=लॉग 3 2.
बी) .

जवाब:

ए) लॉग 3 0.25+लॉग 3 16+लॉग 3 0.5=लॉग 3 2, बी) .

उदाहरण।

लघुगणक के संकेत के तहत डिग्री से छुटकारा पाएं: ए) लॉग 0.7 5 11, बी) , सी) लॉग 3 (−5) 6।

फेसला।

यह देखना आसान है कि हम log a b p जैसे व्यंजकों के साथ काम कर रहे हैं। लघुगणक का संगत गुण है log a b p =p log a b , जहां a>0 , a≠1 , b>0 , p कोई वास्तविक संख्या है। अर्थात्, शर्तों के तहत a>0 , a≠1 , b>0 डिग्री लॉग a b p के लॉगरिदम से हम उत्पाद p·log a b पर जा सकते हैं। आइए इस परिवर्तन को दिए गए भावों के साथ करें।

ए) इस मामले में a=0.7 , b=5 और p=11 । अतः लघुगणक 0.7 5 11 =11 लघुगणक 0.7 5।

बी) यहां, शर्तें a>0 , a≠1 , b>0 पूरी होती हैं। इसलिए

c) व्यंजक log 3 (−5) 6 की संरचना समान है log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 । लेकिन b के लिए, शर्त b>0 संतुष्ट नहीं है, जिससे सूत्र log a b p =p log a b को लागू करना असंभव हो जाता है। तो आप काम क्यों नहीं करवा सकते? यह संभव है, लेकिन अभिव्यक्ति के प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसके बारे में हम नीचे शीर्षक के तहत पैराग्राफ में विस्तार से चर्चा करेंगे। समाधान इस प्रकार होगा: लॉग 3 (−5) 6 =लॉग 3 5 6 =6 लॉग 3 5.

जवाब:

क) लघुगणक 0.7 5 11 =11 लघुगणक 0.7 5 ,
बी)
ग) लघुगणक 3 (−5) 6 =6 लघुगणक 3 5 ।

अक्सर, परिवर्तन करते समय डिग्री के लघुगणक के लिए सूत्र को पी लॉग ए बी \u003d लॉग ए बी पी के रूप में दाएं से बाएं से लागू करना पड़ता है (इसके लिए ए, बी और पी के लिए समान शर्तों की आवश्यकता होती है)। उदाहरण के लिए, 3 ln5=ln5 3 और lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 ।

उदाहरण।

ए) लॉग 2 5 के मान की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि lg2≈0.3010 और lg5≈0.6990। b) भिन्न को आधार 3 के लघुगणक के रूप में लिखिए।

फेसला।

a) लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र हमें इस लघुगणक को दशमलव लघुगणक के अनुपात के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है, जिसके मान हमें ज्ञात हैं: . यह केवल गणना करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है .

बी) यहां एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करना और इसे दाएं से बाएं, यानी फॉर्म में लागू करना पर्याप्त है . हम पाते हैं .

जवाब:

ए) लॉग 2 5≈2.3223, बी) .

इस स्तर पर, हमने लॉगरिदम के मूल गुणों और लॉगरिदम की परिभाषा का उपयोग करके सरलतम अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर गंभीरता से विचार किया है। इन उदाहरणों में, हमें एक संपत्ति का उपयोग करना था और कुछ नहीं। अब, एक स्पष्ट विवेक के साथ, आप उन उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं जिनके परिवर्तन के लिए लघुगणक के कई गुणों और अन्य अतिरिक्त परिवर्तनों के उपयोग की आवश्यकता होती है। हम उनके साथ अगले पैराग्राफ में निपटेंगे। लेकिन इससे पहले, आइए हम संक्षेप में लघुगणक के मूल गुणों से परिणामों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर ध्यान दें।

उदाहरण।

a) लॉगरिदम के चिन्ह के तहत जड़ से छुटकारा पाएं। b) भिन्न को आधार 5 लघुगणक में बदलें। ग) लघुगणक के चिह्न और उसके आधार पर शक्तियों से छुटकारा पाएं। डी) अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें . e) व्यंजक को आधार 3 से घात से बदलें।

फेसला।

ए) यदि हम डिग्री के लघुगणक के गुण से उपफल को याद करते हैं , तो आप तुरंत उत्तर दे सकते हैं: .

बी) यहां हम सूत्र का उपयोग करते हैं दाएं से बाएं, हमारे पास है .

सी) इस मामले में, सूत्र परिणाम की ओर जाता है . हम पाते हैं .

d) और यहाँ यह उस परिणाम को लागू करने के लिए पर्याप्त है जिससे सूत्र मेल खाता है . इसलिए .

ई) लघुगणक की संपत्ति हमें वांछित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है: .

जवाब:

ए) . बी) . में) . जी) . इ) .

लगातार कई गुण लागू करना

लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए वास्तविक कार्य आमतौर पर उन कार्यों की तुलना में अधिक जटिल होते हैं जिन्हें हमने पिछले पैराग्राफ में निपटाया था। उनमें, एक नियम के रूप में, परिणाम एक चरण में प्राप्त नहीं होता है, लेकिन समाधान पहले से ही एक के बाद एक संपत्ति के अनुक्रमिक अनुप्रयोग में होता है, साथ में अतिरिक्त समान परिवर्तन, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना, अंशों को कम करना, आदि। . तो आइए ऐसे उदाहरणों के करीब आते हैं। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि क्रियाओं को करने के क्रम को देखते हुए सावधानीपूर्वक और लगातार कार्य करना है।

उदाहरण।

एक व्यंजक के मान की गणना करें (लॉग 3 15−लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5.

फेसला।

भागफल के लघुगणक के गुण द्वारा कोष्ठकों में लघुगणक के अंतर को लघुगणक लॉग 3 (15:5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और फिर इसके मान की गणना करें लॉग 3 (15:5)=log 3 3=1 । और लघुगणक की परिभाषा के अनुसार व्यंजक 7 log 7 5 का मान 5 है। इन परिणामों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं (लॉग 3 15−लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 =1 5=5.

यहाँ स्पष्टीकरण के बिना एक समाधान है:
(लॉग 3 15−लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 =लॉग 3 (15:5) 5=
= लघुगणक 3 3 5=1 5=5 ।

जवाब:

(लॉग 3 15−लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 =5.

उदाहरण।

संख्यात्मक व्यंजक log 3 log 2 2 3 −1 का मान क्या है?

फेसला।

आइए पहले लघुगणक को रूपांतरित करें, जो लघुगणक के चिह्न के नीचे है, डिग्री के लघुगणक के सूत्र के अनुसार: लॉग 2 2 3 =3। अतः 3 log 2 2 3 =log 3 3 और फिर 3 3=1 log कीजिये। अतः 3 लघुगणक 2 2 3 −1=1−1=0 लघुगणक करें।

जवाब:

लघुगणक 3 लघुगणक 2 2 3 −1=0 .

उदाहरण।

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला।

लघुगणक के एक नए आधार में बदलने का सूत्र लघुगणक के एक आधार के अनुपात को लघुगणक 3 5 के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। इस मामले में, मूल अभिव्यक्ति रूप ले लेगी। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार 3 लघुगणक 3 5 =5 , अर्थात् , और परिणामी व्यंजक का मान, लघुगणक की समान परिभाषा के आधार पर, दो के बराबर है।

यहाँ समाधान का एक संक्षिप्त संस्करण दिया गया है, जो आमतौर पर दिया जाता है: .

जवाब:

.

अगले पैराग्राफ की जानकारी के लिए एक सहज संक्रमण के लिए, आइए भावों पर एक नज़र डालें 5 2+log 5 3 , तथा lg0.01 । उनकी संरचना लघुगणक के किसी भी गुण में फिट नहीं होती है। तो क्या होगा यदि उन्हें लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिवर्तित नहीं किया जा सकता है? यह संभव है यदि आप प्रारंभिक परिवर्तन करते हैं जो लघुगणक के गुणों को लागू करने के लिए इन अभिव्यक्तियों को तैयार करते हैं। इसलिए 5 2+लॉग 5 3 =5 2 5 लॉग 5 3 =25 3=75, और lg0,01=lg10 −2 = −2 । आगे हम विस्तार से समझेंगे कि अभिव्यक्ति की ऐसी तैयारी कैसे की जाती है।

लघुगणक के गुणों को लागू करने के लिए व्यंजक तैयार करना

रूपांतरित व्यंजक में लघुगणक अक्सर सूत्र के बाएँ और दाएँ भागों से संकेतन की संरचना में भिन्न होते हैं जो लघुगणक के गुणों के अनुरूप होते हैं। लेकिन जैसा कि अक्सर होता है, इन अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में लघुगणक के गुणों का उपयोग शामिल होता है: उनके उपयोग के लिए केवल प्रारंभिक तैयारी की आवश्यकता होती है। और इस तैयारी में कुछ समान परिवर्तनों को अंजाम देना शामिल है जो लॉगरिदम को गुणों को लागू करने के लिए सुविधाजनक रूप में लाते हैं।

निष्पक्षता में, हम ध्यान दें कि अभिव्यक्तियों का लगभग कोई भी परिवर्तन प्रारंभिक परिवर्तनों के रूप में कार्य कर सकता है, समान शब्दों की सामान्य कमी से लेकर त्रिकोणमितीय सूत्रों के उपयोग तक। यह समझ में आता है, क्योंकि परिवर्तित अभिव्यक्तियों में कोई भी गणितीय वस्तु हो सकती है: कोष्ठक, मॉड्यूल, अंश, मूल, डिग्री, आदि। इस प्रकार, लघुगणक के गुणों से अधिक लाभ के लिए किसी भी आवश्यक परिवर्तन को करने के लिए तैयार रहना चाहिए।

आइए तुरंत कहें कि इस खंड में हम उन सभी कल्पनीय प्रारंभिक परिवर्तनों को वर्गीकृत और विश्लेषण करने का कार्य निर्धारित नहीं करते हैं जो हमें भविष्य में लॉगरिदम के गुणों या लॉगरिदम की परिभाषा को लागू करने की अनुमति देते हैं। यहां हम उनमें से केवल चार पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जो सबसे अधिक विशिष्ट हैं और व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आते हैं।

और अब उनमें से प्रत्येक के बारे में विस्तार से, जिसके बाद, हमारे विषय के ढांचे के भीतर, यह केवल लघुगणक के संकेतों के तहत चर के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से निपटने के लिए बनी हुई है।

लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार में शक्तियों का चयन

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें। आइए एक लघुगणक प्राप्त करें। जाहिर है, इस रूप में, इसकी संरचना लघुगणक के गुणों के उपयोग के अनुकूल नहीं है। क्या इसे सरल बनाने के लिए किसी तरह इस अभिव्यक्ति को बदलना संभव है, या इसके मूल्य की बेहतर गणना करना भी संभव है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए हमारे उदाहरण के संदर्भ में संख्या 81 और 1/9 पर करीब से नज़र डालें। यहां यह देखना आसान है कि इन संख्याओं को 3 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है, वास्तव में, 81=3 4 और 1/9=3 −2। इस मामले में, मूल लघुगणक को रूप में प्रस्तुत किया जाता है और सूत्र को लागू करना संभव हो जाता है . इसलिए, .

विश्लेषण किए गए उदाहरण का विश्लेषण निम्नलिखित विचार को जन्म देता है: यदि संभव हो, तो आप डिग्री या उसके परिणाम के लॉगरिदम की संपत्ति को लागू करने के लिए लॉगरिदम के संकेत के तहत और उसके आधार पर डिग्री को हाइलाइट करने का प्रयास कर सकते हैं। यह केवल यह पता लगाना बाकी है कि इन डिग्रियों को कैसे अलग किया जाए। हम इस मुद्दे पर कुछ सिफारिशें देंगे।

कभी-कभी यह बिल्कुल स्पष्ट होता है कि लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या और / या इसके आधार में कुछ पूर्णांक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण में है। लगभग लगातार आपको दो की शक्तियों से निपटना पड़ता है, जो अच्छी तरह से परिचित हैं: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10। ट्रिपल की डिग्री के बारे में भी यही कहा जा सकता है: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... सामान्य तौर पर, यह चोट नहीं करता है अगर वहाँ है प्राकृतिक संख्याओं की शक्तियों की तालिकादस के भीतर। दस, सौ, हजार आदि की पूर्णांक घातों के साथ कार्य करना भी कठिन नहीं है।

उदाहरण।

मान परिकलित करें या व्यंजक को सरल करें: a) log 6 216 , b) , c) log 0.000001 0.001 ।

फेसला।

a) स्पष्ट रूप से, 216=6 3 , इसलिए log 6 216=log 6 6 3 =3 ।

b) प्राकृत संख्याओं की घातों की तालिका हमें संख्या 343 और 1/243 को क्रमशः 7 3 और 3 −4 की घातों के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है। इसलिए, दिए गए लघुगणक का निम्नलिखित परिवर्तन संभव है:

ग) चूंकि 0.000001=10 −6 और 0.001=10 −3, तो लॉग 0.000001 0.001=लॉग 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

जवाब:

क) लघुगणक 6 216=3, ख) , सी) लॉग 0.000001 0.001=1/2।

अधिक जटिल मामलों में, संख्याओं की शक्तियों को उजागर करने के लिए, आपको इसका सहारा लेना होगा।

उदाहरण।

व्यंजक को सरल रूप में बदलें log 3 648 log 2 3 .

फेसला।

आइए देखें कि संख्या 648 का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन क्या है:

अर्थात्, 648=2 3 3 4 । इस प्रकार, लॉग 3 648 लॉग 2 3=लॉग 3 (2 3 3 4) लॉग 2 3.

अब हम उत्पाद के लघुगणक को लघुगणक के योग में परिवर्तित करते हैं, जिसके बाद हम डिग्री के लघुगणक के गुण लागू करते हैं:
लॉग 3 (2 3 3 4) लॉग 2 3=(लॉग 3 2 3 + लॉग 3 3 4) लॉग 2 3=
=(3 लघुगणक 3 2+4) लघुगणक 2 3 .

डिग्री के लघुगणक के गुण के परिणाम के आधार पर, जो सूत्र से मेल खाती है , उत्पाद log32 log23 उत्पाद है, और इसे एक के बराबर माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं 3 लघुगणक 3 2 लघुगणक 2 3+4 लघुगणक 2 3=3 1+4 लघुगणक 2 3=3+4 लघुगणक 2 3.

जवाब:

लघुगणक 3 648 लघुगणक 2 3=3+4 लघुगणक 2 3.

अक्सर, लघुगणक के चिह्न के तहत और उसके आधार में अभिव्यक्ति कुछ संख्याओं की जड़ों और / या शक्तियों के उत्पाद या अनुपात होते हैं, उदाहरण के लिए, . इसी तरह के भावों को एक डिग्री के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, जड़ों से डिग्री तक संक्रमण किया जाता है, और लागू किया जाता है। ये परिवर्तन आपको लघुगणक के चिह्न के तहत और उसके आधार में डिग्री का चयन करने की अनुमति देते हैं, और फिर लघुगणक के गुणों को लागू करते हैं।

उदाहरण।

गणना करें: ए) , बी)।

फेसला।

ए) लॉगरिदम के आधार में अभिव्यक्ति समान आधार वाली शक्तियों का उत्पाद है, हमारे पास शक्तियों की संबंधित संपत्ति द्वारा 5 2 5 −0.5 5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

अब हम अंश को लघुगणक के चिह्न के तहत परिवर्तित करते हैं: आइए मूल से डिग्री तक चलते हैं, जिसके बाद हम समान आधारों के साथ डिग्री के अनुपात की संपत्ति का उपयोग करेंगे: .

यह मूल अभिव्यक्ति में प्राप्त परिणामों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, सूत्र का उपयोग करें और परिवर्तन समाप्त करें:

ख) चूंकि 729=3 6 , और 1/9=3 −2 , मूल व्यंजक को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

इसके बाद, घातांक के मूल के गुण को लागू करें, मूल से घातांक तक जाएँ, और लघुगणक के आधार को घात में बदलने के लिए घातों के अनुपात गुण का उपयोग करें: .

अंतिम परिणाम को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है .

जवाब:

ए) , बी)।

यह स्पष्ट है कि सामान्य स्थिति में, लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार में शक्ति प्राप्त करने के लिए, विभिन्न अभिव्यक्तियों के विभिन्न परिवर्तनों की आवश्यकता हो सकती है। आइए एक दो उदाहरण दें।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति का मूल्य क्या है: ए) , बी) .

फेसला।

इसके अलावा, हम देखते हैं कि दिए गए व्यंजक का रूप log A B p है, जहाँ A=2 , B=x+1 और p=4 । हमने डिग्री लॉग ए बी पी \u003d पी लॉग ए बी के लॉगरिदम की संपत्ति के अनुसार इस तरह के संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को बदल दिया है, इसलिए, किसी दिए गए अभिव्यक्ति के साथ, मैं वही करना चाहता हूं, और लॉग 2 (x + 1) 4 से जाना चाहता हूं 4 लॉग 2 (x + 1) तक। और अब आइए मूल व्यंजक के मान और रूपांतरण के बाद प्राप्त व्यंजक की गणना करें, उदाहरण के लिए, x=−2 के साथ। हमारे पास लघुगणक 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , और . है 4 लघुगणक 2 (−2+1)=4 लघुगणक 2 (−1)- अर्थहीन अभिव्यक्ति। यह एक वैध सवाल उठाता है: "हमने क्या गलत किया"?

और इसका कारण इस प्रकार है: हमने रूपांतरण लॉग 2 (x+1) 4 =4 लॉग 2 (x+1) किया, सूत्र के आधार पर लॉग a b p =p log a b , लेकिन हमें केवल इस सूत्र को लागू करने का अधिकार है यदि शर्तें a >0 , a≠1 , b>0 , p - कोई वास्तविक संख्या। अर्थात्, हमने जो परिवर्तन किया है वह तब होता है जब x+1>0 , जो समान x>−1 है (A और p के लिए, शर्तें पूरी होती हैं)। हालांकि, हमारे मामले में, मूल व्यंजक के लिए चर x के ODZ में न केवल अंतराल x> −1 होता है, बल्कि अंतराल x का भी होता है।<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ओडीजेड को ध्यान में रखने की जरूरत

आइए हम अभिव्यक्ति लॉग 2 (x+1) 4 के परिवर्तन का विश्लेषण करना जारी रखें, और अब देखते हैं कि अभिव्यक्ति 4 लॉग 2 (x+1) को पास करते समय ओडीजेड का क्या होता है। पिछले पैराग्राफ में, हमें मूल व्यंजक का ODZ मिला - यह समुच्चय (−∞, −1)∪(−1, +∞) है। अब आइए व्यंजक 4 log 2 (x+1) के लिए चर x के स्वीकार्य मानों का क्षेत्रफल ज्ञात करें। यह शर्त x+1>0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो समुच्चय (−1, +∞) से मेल खाती है। यह स्पष्ट है कि लॉग 2 (x+1) 4 से 4·लॉग 2 (x+1) पर जाने पर, स्वीकार्य मानों की सीमा कम हो जाती है। और हम उन सुधारों से बचने के लिए सहमत हुए जो ओडीजेड को संकुचित करते हैं, क्योंकि इससे विभिन्न नकारात्मक परिणाम हो सकते हैं।

यहां यह अपने लिए ध्यान देने योग्य है कि परिवर्तन के प्रत्येक चरण में ODZ को नियंत्रित करना उपयोगी है और इसे संकीर्ण नहीं होने देना है। और अगर अचानक परिवर्तन के किसी चरण में ODZ का संकुचन हुआ, तो यह बहुत ध्यान से देखने योग्य है कि क्या यह परिवर्तन अनुमेय है और क्या हमें इसे करने का अधिकार है।

निष्पक्षता में, हम कहते हैं कि व्यवहार में हमें आमतौर पर उन अभिव्यक्तियों के साथ काम करना पड़ता है जिनमें चर का ODZ ऐसा होता है कि यह हमें पहले से ज्ञात रूप में, बाएं से दाएं और दोनों से, प्रतिबंधों के बिना लघुगणक के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। परिवर्तन करते समय दाएं से बाएं। आप जल्दी से इसके अभ्यस्त हो जाते हैं, और आप परिवर्तनों को यांत्रिक रूप से करना शुरू कर देते हैं, बिना यह सोचे कि क्या उन्हें पूरा करना संभव है। और ऐसे क्षणों में, जैसा कि भाग्य के पास होगा, अधिक जटिल उदाहरण फिसल जाते हैं, जिसमें लघुगणक के गुणों का गलत अनुप्रयोग त्रुटियों की ओर जाता है। इसलिए आपको हमेशा सतर्क रहने की जरूरत है, और सुनिश्चित करें कि ODZ की कोई संकीर्णता नहीं है।

लॉगरिदम के गुणों के आधार पर मुख्य परिवर्तनों को अलग से उजागर करने में कोई दिक्कत नहीं होती है, जिसे बहुत सावधानी से किया जाना चाहिए, जिससे डीपीवी का संकुचन हो सकता है, और परिणामस्वरूप, त्रुटियां हो सकती हैं:

लघुगणक के गुणों के अनुसार अभिव्यक्तियों के कुछ परिवर्तन भी विपरीत हो सकते हैं - ODZ का विस्तार। उदाहरण के लिए, 4 लॉग 2 (x+1) से लॉग 2 (x+1) 4 पर जाने से ODZ सेट (−1, +∞) से (−∞, −1)∪(−1, +∞) तक बढ़ जाता है। ) . यदि आप मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ के भीतर रहते हैं तो ऐसे परिवर्तन होते हैं। तो परिवर्तन ने अभी उल्लेख किया है 4 लॉग 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 ओडीजेड चर x पर मूल अभिव्यक्ति 4 लॉग 2 (x+1) के लिए होता है, अर्थात, जब x+1> 0 , जो (−1, +∞) के समान है।

अब जब हमने उन बारीकियों पर चर्चा कर ली है, जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है, जब लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके चर के साथ अभिव्यक्तियों को परिवर्तित किया जाता है, तो यह पता लगाना बाकी है कि इन रूपांतरणों को सही तरीके से कैसे किया जाना चाहिए।

एक्स+2>0। क्या यह हमारे मामले में काम करता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए x चर के DPV पर एक नज़र डालते हैं। यह असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है , जो शर्त के बराबर है x+2>0 (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें असमानताओं की प्रणालियों का समाधान) इस प्रकार, हम डिग्री के लघुगणक की संपत्ति को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं।

हमारे पास है
3 लॉग(x+2) 7 −log(x+2)−5 लॉग(x+2) 4 =
=3 7 लॉग(x+2)−log(x+2)−5 4 लॉग(x+2)=
=21 लॉग(x+2)−लॉग(x+2)−20 लॉग(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 ।

आप अलग तरह से कार्य कर सकते हैं, क्योंकि ODZ आपको ऐसा करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए इस तरह:

जवाब:

3 लॉग(x+2) 7 −log(x+2)−5 लॉग(x+2) 4 =0.

और जब ODZ पर लॉगरिदम के गुणों से जुड़ी शर्तें पूरी नहीं होती हैं तो क्या करें? हम इससे उदाहरणों के साथ निपटेंगे।

आइए हम व्यंजक lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 को सरल बनाएं। इस अभिव्यक्ति का परिवर्तन, पिछले उदाहरण से अभिव्यक्ति के विपरीत, डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के मुक्त उपयोग की अनुमति नहीं देता है। क्यों? इस मामले में चर x का ODZ दो अंतरालों x>−2 और x . का मिलन है<−2 . При x>-2 हम डिग्री के लघुगणक की संपत्ति को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं और ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुसार आगे बढ़ सकते हैं: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). लेकिन ODZ में एक और अंतराल x+2 . है<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к लॉग(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2और आगे, lg|x+2| . के शक्ति गुणों के कारण 4−एलजी|x+2| 2. परिणामी अभिव्यक्ति को डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के अनुसार रूपांतरित किया जा सकता है, क्योंकि |x+2|>0 चर के किसी भी मान के लिए। हमारे पास है लॉग|एक्स+2| 4−एलजी|x+2| 2 =4 लॉग|x+2|−2 लॉग|x+2|=2 लॉग|x+2|. अब आप मॉड्यूल से छुटकारा पा सकते हैं, क्योंकि इसने अपना काम कर दिया है। चूँकि हम x+2 . पर रूपांतरित हो रहे हैं<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

आइए मॉड्यूल के साथ काम करने को परिचित बनाने के लिए एक और उदाहरण पर विचार करें। आइए हम अभिव्यक्ति से कल्पना करें रैखिक द्विपद x−1 , x−2 और x−3 के लघुगणक के योग और अंतर को पास करें। सबसे पहले हम ODZ पाते हैं:

अंतराल (3, +∞) पर, x−1, x−2 और x−3 व्यंजकों के मान सकारात्मक हैं, इसलिए हम योग और अंतर के लघुगणक के गुणों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं:

और अंतराल (1, 2) पर, व्यंजक x−1 के मान धनात्मक हैं, और व्यंजकों x−2 और x−3 के मान ऋणात्मक हैं। इसलिए, विचाराधीन अंतराल पर, हम मॉड्यूलो का उपयोग करके −|x−2| के रूप में x−2 और x−3 का प्रतिनिधित्व करते हैं। और −|x−3| क्रमश। जिसमें

अब हम गुणनफल और भागफल के लघुगणक के गुणों को लागू कर सकते हैं, क्योंकि माना अंतराल (1, 2) पर x−1 , |x−2| और |x−3| - सकारात्मक।

हमारे पास है

प्राप्त परिणामों को जोड़ा जा सकता है:

सामान्य तौर पर, समान तर्क उत्पाद, अनुपात और डिग्री के लघुगणक के सूत्रों के आधार पर, तीन व्यावहारिक रूप से उपयोगी परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है जो उपयोग करने के लिए काफी सुविधाजनक हैं:

• लॉग a (X·Y) के रूप के दो स्वेच्छिक व्यंजकों X और Y के गुणनफल का लघुगणक लघुगणक के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 ।
• विशेष लघुगणक लॉग a (X:Y) को लघुगणक लॉग a |X|−log a |Y| के अंतर से बदला जा सकता है। , a>0 , a≠1 , X और Y मनमाना व्यंजक हैं।
• कुछ व्यंजक B के लघुगणक से लॉग a B p के सम घात p तक, व्यंजक p log a |B| , जहां a>0 , a≠1 , p एक सम संख्या है और B एक मनमाना व्यंजक है।

इसी तरह के परिणाम दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, एम। आई। स्कैनवी द्वारा संपादित विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं के संग्रह में घातीय और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के निर्देश में।

उदाहरण।

व्यंजक को सरल कीजिए .

फेसला।

डिग्री, योग और अंतर के लघुगणक के गुणों को लागू करना अच्छा होगा। लेकिन क्या हम इसे यहाँ कर सकते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें ODZ को जानना होगा।

आइए इसे परिभाषित करें:

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि चर x के संभावित मानों की सीमा पर x+4 , x−2 और (x+4) 13 व्यंजक सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकते हैं। इसलिए हमें मॉड्यूल के जरिए काम करना होगा।

मॉड्यूल गुण आपको फिर से लिखने की अनुमति देते हैं, इसलिए

इसके अलावा, कुछ भी आपको डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने से नहीं रोकता है, और फिर समान शब्द लाता है:

परिवर्तनों का एक और क्रम उसी परिणाम की ओर ले जाता है:

और चूँकि व्यंजक x−2 सम घातांक 14 लेते समय ODZ पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है

सबक का प्रकार:ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ

लक्ष्य:

• परीक्षा के सामान्यीकरण और तैयारी के भाग के रूप में लघुगणक और उनके गुणों के बारे में छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करने के लिए;
• छात्रों की मानसिक गतिविधि के विकास को बढ़ावा देना, अभ्यास करते समय सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने का कौशल;
• छात्रों के व्यक्तिगत गुणों के विकास, आत्म-नियंत्रण के कौशल और उनकी गतिविधियों के आत्म-मूल्यांकन को बढ़ावा देना; परिश्रम, धैर्य, दृढ़ता, स्वतंत्रता की खेती करें।

उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, प्रस्तुति (परिशिष्ट 1), होमवर्क के साथ कार्ड (आप इलेक्ट्रॉनिक डायरी में कार्य के साथ एक फाइल संलग्न कर सकते हैं)।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण। हैलो, पाठ के लिए तैयार हो जाओ।

द्वितीय. गृहकार्य की चर्चा।

III. पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश। प्रेरणा।(स्लाइड 1) प्रस्तुति।

हम परीक्षा की तैयारी में गणित के पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति को सामान्य बनाना जारी रखते हैं। और आज पाठ में हम लघुगणक और उनके गुणों के बारे में बात करेंगे।

लॉगरिदम की गणना और लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए कार्य आवश्यक रूप से बुनियादी और प्रोफ़ाइल दोनों स्तरों के नियंत्रण और माप सामग्री में मौजूद हैं। इसलिए, हमारे पाठ का उद्देश्य "लघुगणक" की अवधारणा के अर्थ के बारे में विचारों को पुनर्स्थापित करना और लघुगणकीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के कौशल को अद्यतन करना है। पाठ के विषय को अपनी नोटबुक में लिख लें।

चतुर्थ। ज्ञान अद्यतन।

1. /मौखिक रूप से/सबसे पहले, आइए याद करें कि लघुगणक क्या कहलाता है। (स्लाइड 2)

(एक धनात्मक संख्या b का आधार a (जहाँ a > 0, a? 1) का लघुगणक वह घातांक है जिसके लिए आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता है)

लॉग ए बी = एन<->ए एन \u003d बी, (ए> 0, ए 1, बी> 0)

तो, "LOGARIFM" "घातांक" है!

(स्लाइड 3) तब a n = b को फिर से लिखा जा सकता है = b मुख्य लघुगणकीय पहचान है।

यदि आधार a \u003d 10 है, तो लघुगणक को दशमलव कहा जाता है और इसे lgb दर्शाया जाता है।

यदि a \u003d e, तो लघुगणक को प्राकृतिक कहा जाता है और lnb द्वारा निरूपित किया जाता है।

2. /लिखा/ (स्लाइड 4)सही समानताएं प्राप्त करने के लिए रिक्त स्थान भरें:

लॉग? एक्स + लॉग ए? = लॉग? (?वाई)

लॉग ए? - लॉग ? वाई = लॉग? (एक्स/?)

लॉग एक्स? = लॉग? (?)

इंतिहान:

एक; एक; ए, वाई, एक्स; एक्स, ए, ए, वाई; पी, ए, एक्स।

ये लघुगणक के गुण हैं। और गुणों का एक और समूह: (स्लाइड 5)

इंतिहान:

ए, 1, एन, एक्स; एन, एक्स, पी, ए; एक्स, बी, ए, वाई; ए, एक्स, बी; ए, 1, बी।

वी. मौखिक कार्य

(स्लाइड 6) नंबर 1। गणना करें:

ऐ बी सी डी) ; इ) ।

जवाब : ए) 4; बी) - 2; दो में; घ) 7; ई) 27.

(स्लाइड 7) नंबर 2. एक्स खोजें:

ए) ; बी) (उत्तर: ए) 1/4; बी) 9)।

क्रम 3। क्या इस तरह के लघुगणक पर विचार करना समझ में आता है:

ए) ; बी) ; में) ? (नहीं)

VI. समूहों में स्वतंत्र कार्य, मजबूत छात्र - सलाहकार. (स्लाइड 8)

# 1 गणना करें: .

# 2 सरल करें:

संख्या 3. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए यदि

# 4 अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

#5 गणना करें:

#6 गणना करें:

# 7 गणना करें:

# 8 गणना करें:

पूरा होने के बाद - तैयार समाधान पर या दस्तावेज़ कैमरे की सहायता से सत्यापन और चर्चा।

सातवीं। बढ़ी हुई जटिलता के कार्य को हल करना(बोर्ड पर एक मजबूत छात्र है, बाकी नोटबुक में हैं) (स्लाइड 9)

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

आठवीं। होमवर्क (कार्ड पर) विभेदित है।(स्लाइड 10)

नंबर 1। गणना करें:

अनुदेश

दिए गए लघुगणकीय व्यंजक को लिखिए। यदि व्यंजक 10 के लघुगणक का उपयोग करता है, तो उसका अंकन छोटा हो जाता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो व्यंजक लिखा जाता है: ln b प्राकृतिक लघुगणक है। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके लिए संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना होगा।

दो कार्यों का योग खोजने पर, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न का पता लगाते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी+वी"*यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक फलन द्वारा चुकता किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि एक जटिल कार्य दिया जाता है, तो आंतरिक कार्य के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x)।

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए कार्य भी हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिए जाने दें, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें y"(1)=8*e^0=8

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मददगार सलाह

प्राथमिक व्युत्पत्तियों की तालिका जानें। इससे समय की काफी बचत होगी।

स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो एक अपरिमेय समीकरण और एक परिमेय समीकरण में क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है, तो समीकरण को अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालांकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाना है। तकनीकी रूप से, यह तरीका मुश्किल नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। इस तरह के समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में इकाई को x मान के स्थान पर रखें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात्। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

अत: अपरिमेय समीकरण को इसके दोनों भागों का वर्ग करने की विधि द्वारा हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

एक और पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्थानांतरण यौगिक समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर और फिर वर्गमूल विधि का उपयोग करें। परिणामी परिमेय समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण मिलेगा। यह सामान्य द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करने की आवश्यकता के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिका को सुलझाना बहुत आसान है। लक्ष्य प्राप्त होने तक इसके लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सरलतम अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से, कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजीय संक्षिप्त गुणन (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर)) हैं। इसके अलावा, कई त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो अनिवार्य रूप से समान पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले जोड़ के वर्ग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरे का वर्ग, यानी (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

दोनों को सरल बनाएं

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक से दोहराएं, जो एक निश्चित अभिन्न अंग है। जैसा कि आप जानते हैं, एक निश्चित समाकल का हल एक फलन है जिसका अवकलज एक समाकलन देगा। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी इंटीग्रल का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के रूप से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, एकीकृत को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि समाकलन एक त्रिकोणमितीय फलन है जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो परिवर्तन विधि का प्रयोग करके देखें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के अनुपात के आधार पर, एकीकरण की नई सीमा निर्धारित करें। इस व्यंजक को विभेदित करके, में एक नया अवकलन ज्ञात कीजिए। इस प्रकार, आपको पुराने समाकलन का एक नया रूप प्राप्त होगा, जो किसी सारणीबद्ध समाकल के निकट या समरूप हो।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि समाकल दूसरे प्रकार का समाकलन है, समाकलन का सदिश रूप है, तो आपको इन समाकलों से अदिश समाकलों में जाने के लिए नियमों का उपयोग करना होगा। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात। यह कानून किसी वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल में पारित करना संभव बनाता है।

एकीकरण की सीमा का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन खोजने के बाद, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मूल्य को प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से दूसरी संख्या घटाएं, परिणामी निचली सीमा प्रतिअवकलन के लिए। यदि एकीकरण सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस ओर जाती है।
यदि समाकल द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको समाकलन की ज्यामितीय सीमाओं को निरूपित करना होगा ताकि आप यह समझ सकें कि समाकलन की गणना कैसे की जाती है। दरअसल, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो मात्रा को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।