तरंग समीकरण एक अभिव्यक्ति है जो एक दोलनशील कण के विस्थापन को उसके निर्देशांक x, y, z और समय t के फलन के रूप में देता है:

(अर्थात कण की संतुलन स्थिति के निर्देशांक)। यह फ़ंक्शन समय t के संबंध में और निर्देशांक x, y, z दोनों के संबंध में आवधिक होना चाहिए। समय में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि यह निर्देशांक x, y, z वाले कण के दोलनों का वर्णन करता है। निर्देशांक में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि K दूरी से एक दूसरे से अलग किए गए बिंदु समान तरीके से कंपन करते हैं।

आइए हम समतल तरंग के मामले में फ़ंक्शन का रूप खोजें, यह मानते हुए कि दोलन प्रकृति में हार्मोनिक हैं। सरल बनाने के लिए, आइए हम निर्देशांक अक्षों को निर्देशित करें ताकि अक्ष तरंग प्रसार की दिशा के साथ मेल खाए। तब तरंग सतहें अक्ष के लंबवत होंगी और, चूंकि तरंग सतह के सभी बिंदु समान रूप से कंपन करते हैं, इसलिए विस्थापन केवल इस पर निर्भर करेगा कि विमान में स्थित बिंदुओं के दोलनों का रूप क्या है (चित्र 94.1)

आइए x के मनमाने मान के अनुरूप समतल में बिंदुओं के दोलन का प्रकार ज्ञात करें। समतल x = 0 से इस समतल तक यात्रा करने के लिए, तरंग को समय की आवश्यकता होती है - तरंग के प्रसार की गति)।

नतीजतन, एक्स-प्लेन में पड़े कणों के दोलन, विमान में कणों के दोलनों से समय में पिछड़ जाएंगे, यानी, उनका रूप होगा

तो, x-अक्ष दिशा में फैलने वाली एक समतल तरंग (अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों) का समीकरण इस प्रकार है:

मात्रा a तरंग के आयाम को दर्शाती है। तरंग का प्रारंभिक चरण मूल की पसंद से निर्धारित होता है। एकल तरंग पर विचार करते समय, समय और निर्देशांक की उत्पत्ति आमतौर पर चुनी जाती है ताकि ए शून्य के बराबर हो। कई तरंगों पर एक साथ विचार करते समय, आमतौर पर यह सुनिश्चित करना संभव नहीं होता है कि उन सभी के लिए प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हों।

आइए समीकरण (94.2) में चरण का कोई भी मान डालकर निश्चित करें

(94.3)

यह अभिव्यक्ति समय t और उस स्थान x के बीच संबंध को परिभाषित करती है जिस पर चरण का एक निश्चित मान होता है। परिणामी मान वह गति देता है जिस पर कोई दिया गया चरण मान चलता है। विभेदक अभिव्यक्ति (94.3), हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, समीकरण (94.2) में तरंग प्रसार की गति चरण गति की गति है, और इसलिए इसे चरण गति कहा जाता है।

(94.4) के अनुसार. नतीजतन, समीकरण (94.2) बढ़ती हुई x की दिशा में फैलने वाली तरंग का वर्णन करता है। विपरीत दिशा में फैलने वाली तरंग का वर्णन समीकरण द्वारा किया जाता है

दरअसल, तरंग के चरण (94.5) को एक स्थिरांक के बराबर करके और परिणामी समानता को अलग करके, हम संबंध पर पहुंचते हैं

जिससे यह पता चलता है कि तरंग (94.5) घटती हुई x की दिशा में फैलती है।

समतल तरंग समीकरण को एक ऐसा रूप दिया जा सकता है जो x और t के संबंध में सममित हो। ऐसा करने के लिए, हम मात्रा का परिचय देते हैं

जिसे तरंग संख्या कहा जाता है। अभिव्यक्ति के अंश और हर को आवृत्ति v तक कम करने के बाद, हम तरंग संख्या को इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं

(सूत्र देखें (93.2))। (94.2) में कोष्ठकों को खोलने और (94.7) को ध्यान में रखते हुए, हम x अक्ष के साथ फैलने वाली एक समतल तरंग के लिए निम्नलिखित समीकरण पर पहुंचते हैं:

घटते x की दिशा में फैलने वाली तरंग का समीकरण (94.8) से केवल पद के चिह्न में भिन्न होता है

सूत्र (94.8) निकालते समय, हमने मान लिया कि दोलनों का आयाम x पर निर्भर नहीं करता है। समतल तरंग के लिए, यह उस स्थिति में देखा जाता है जब तरंग ऊर्जा माध्यम द्वारा अवशोषित नहीं होती है। ऊर्जा-अवशोषित माध्यम में प्रचार करते समय, तरंग की तीव्रता दोलनों के स्रोत से दूरी के साथ धीरे-धीरे कम हो जाती है - तरंग क्षीणन देखा जाता है। अनुभव से पता चलता है कि एक सजातीय माध्यम में ऐसा क्षीणन एक घातीय कानून के अनुसार होता है: नम दोलनों के आयाम के समय में कमी के साथ; प्रथम खंड का सूत्र (58.7) देखें)। तदनुसार, समतल तरंग समीकरण का निम्नलिखित रूप है:

समतल के बिंदुओं पर आयाम

आइए अब एक गोलाकार तरंग का समीकरण ज्ञात करें। तरंगों के प्रत्येक वास्तविक स्रोत की कुछ सीमा होती है। हालाँकि, यदि हम अपने आप को स्रोत से दूरियों पर तरंगों पर विचार करने तक सीमित रखते हैं जो इसके आयामों से काफी अधिक हैं, तो स्रोत को एक बिंदु स्रोत माना जा सकता है। एक आइसोट्रोपिक और सजातीय माध्यम में, एक बिंदु स्रोत द्वारा उत्पन्न तरंग गोलाकार होगी। आइए मान लें कि स्रोत के दोलनों का चरण बराबर है। फिर त्रिज्या की तरंग सतह पर स्थित बिंदु चरण के साथ दोलन करेंगे

तरंग प्रक्रिया पर विचार करने से पहले आइए हम दोलन गति की एक परिभाषा दें। संकोच - यह समय-समय पर दोहराई जाने वाली प्रक्रिया है। दोलन संबंधी गतिविधियों के उदाहरण बहुत विविध हैं: मौसम का परिवर्तन, हृदय कंपन, श्वास, संधारित्र की प्लेटों पर चार्ज और अन्य।

सामान्य रूप में दोलन समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है

कहाँ - दोलनों का आयाम,
- चक्रीय आवृत्ति, - समय, - पहला भाग। अक्सर प्रारंभिक चरण को शून्य माना जा सकता है।

दोलन गति से हम तरंग गति पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। लहर समय के साथ अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया है। चूँकि दोलन समय के साथ अंतरिक्ष में फैलते हैं, तरंग समीकरण को स्थानिक निर्देशांक और समय दोनों को ध्यान में रखना चाहिए। तरंग समीकरण का रूप है

जहाँ A 0 - आयाम,  - आवृत्ति, t - समय,  - तरंग संख्या, z - निर्देशांक।

तरंगों की भौतिक प्रकृति बहुत विविध है। ध्वनि, विद्युत चुम्बकीय, गुरुत्वाकर्षण और ध्वनिक तरंगें ज्ञात हैं।

कंपन के प्रकार के आधार पर, सभी तरंगों को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ में वर्गीकृत किया जा सकता है। अनुदैर्ध्य तरंगें - ये वे तरंगें हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं (चित्र 3.1ए)। अनुदैर्ध्य तरंग का एक उदाहरण ध्वनि तरंग है।

अनुप्रस्थ तरंगें - ये वे तरंगें हैं जिनमें माध्यम के कण प्रसार की दिशा के सापेक्ष अनुप्रस्थ दिशा में दोलन करते हैं (चित्र 3.1बी)।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों को अनुप्रस्थ तरंगों के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि विद्युत चुम्बकीय तरंगों में क्षेत्र दोलन करता है, और माध्यम के कणों का कोई दोलन नहीं होता है। यदि एक आवृत्ति वाली तरंग अंतरिक्ष में फैलती है, तो ऐसा लहर बुलाया एकरंगा .

तरंग प्रक्रियाओं के प्रसार का वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित विशेषताओं का परिचय दिया गया है। कोज्या तर्क (सूत्र देखें (3.2)), अर्थात। अभिव्यक्ति
, बुलाया तरंग चरण .

योजनाबद्ध रूप से, एक निर्देशांक के साथ तरंग प्रसार चित्र में दिखाया गया है। 3.2, इस मामले में, प्रसार z अक्ष के साथ होता है।

अवधि – एक पूर्ण दोलन का समय. अवधि को टी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और सेकंड में मापा जाता है। आवर्त का व्युत्क्रम कहलाता है रैखिक आवृत्ति और नामित किया गया है एफ, हर्ट्ज़ (=हर्ट्ज) में मापा जाता है। रैखिक आवृत्ति वृत्ताकार आवृत्ति से संबंधित है। संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

(3.3)

यदि हम समय t निश्चित करें, तो चित्र से। 3.2 यह स्पष्ट है कि ऐसे बिंदु हैं, उदाहरण के लिए ए और बी, जो समान रूप से कंपन करते हैं, अर्थात। चरण में (चरण में)। चरण में दोलन करने वाले निकटतम दो बिंदुओं के बीच की दूरी कहलाती है तरंग दैर्ध्य . तरंग दैर्ध्य को  नामित किया गया है और मीटर (एम) में मापा जाता है।

तरंग संख्या  और तरंग दैर्ध्य  सूत्र द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं

(3.4)

तरंग संख्या  को अन्यथा चरण स्थिरांक या प्रसार स्थिरांक कहा जाता है। सूत्र (3.4) से यह स्पष्ट है कि प्रसार स्थिरांक को ( ). भौतिक अर्थ यह है कि यह दर्शाता है कि एक मीटर पथ से गुजरने पर तरंग का चरण कितने रेडियन बदलता है।

तरंग प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए तरंग अग्रभाग की अवधारणा प्रस्तुत की गई है। लहर सामने - यह सतह के काल्पनिक बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति है जिस तक उत्तेजना पहुंच गई है। वेव फ्रंट को वेव फ्रंट भी कहा जाता है।

समतल तरंग के तरंग अग्रभाग का वर्णन करने वाला समीकरण समीकरण (3.2) से प्राप्त किया जा सकता है

(3.5)

सूत्र (3.5) समतल तरंग का तरंगाग्र समीकरण है। समीकरण (3.4) से पता चलता है कि तरंग अग्रभाग z अक्ष के लंबवत अंतरिक्ष में घूमने वाले अनंत विमान हैं।

चरण अग्रभाग की गति की गति कहलाती है चरण वेग . चरण वेग को V f द्वारा दर्शाया जाता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(3.6)

प्रारंभ में, समीकरण (3.2) में दो संकेतों वाला एक चरण होता है - नकारात्मक और सकारात्मक। नकारात्मक संकेत, यानी
, इंगित करता है कि तरंग अग्र भाग z-अक्ष के प्रसार की सकारात्मक दिशा के साथ फैलता है। ऐसी तरंग को यात्रा या गिरना कहा जाता है।

तरंग चरण का एक सकारात्मक संकेत विपरीत दिशा में तरंग अग्र भाग की गति को इंगित करता है, अर्थात। z-अक्ष दिशा के विपरीत। ऐसी तरंग को परावर्तित कहा जाता है।

निम्नलिखित में हम यात्रा तरंगों पर विचार करेंगे।

यदि कोई तरंग वास्तविक वातावरण में फैलती है, तो होने वाली गर्मी की हानि के कारण आयाम में कमी अनिवार्य रूप से होती है। आइए एक सरल उदाहरण देखें. मान लीजिए कि तरंग z अक्ष के अनुदिश फैलती है और तरंग आयाम का प्रारंभिक मान 100% से मेल खाता है, अर्थात। ए 0 =100. मान लीजिए कि एक मीटर पथ से गुजरने पर तरंग का आयाम 10% कम हो जाता है। तब हमारे पास तरंग आयामों के निम्नलिखित मान होंगे

आयाम परिवर्तन के सामान्य पैटर्न का रूप होता है

घातीय फलन में ये गुण होते हैं। ग्राफ़िक रूप से प्रक्रिया को चित्र के रूप में दिखाया जा सकता है। 3.3.

सामान्यतः हम आनुपातिकता संबंध को इस प्रकार लिखते हैं

, (3.7)

जहां  तरंग क्षीणन स्थिरांक है।

चरण स्थिरांक  और अवमंदन स्थिरांक  को एक जटिल प्रसार स्थिरांक  पेश करके जोड़ा जा सकता है, अर्थात।

, (3.8)

जहां  चरण स्थिरांक है,  तरंग क्षीणन स्थिरांक है।

तरंग अग्र भाग के प्रकार के आधार पर समतल, गोलाकार और बेलनाकार तरंगों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

समतल लहर एक तरंग है जिसका अग्रभाग समतल तरंग है। समतल तरंग को निम्नलिखित परिभाषा भी दी जा सकती है। यदि सदिश क्षेत्र हो तो तरंग को समतल सजातीय कहा जाता है और विमान में किसी भी बिंदु पर प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं और चरण और आयाम में परिवर्तन नहीं होता है।

समतल तरंग समीकरण

यदि तरंग उत्पन्न करने वाला स्रोत एक बिंदु स्रोत है, तो असीमित सजातीय स्थान में फैलने वाला तरंग अग्रभाग एक गोला है। गोलाकार तरंग एक तरंग है जिसका अग्र भाग गोलाकार होता है। गोलाकार तरंग समीकरण का रूप होता है

, (3.10)

जहां r मूल बिंदु से खींचा गया त्रिज्या वेक्टर है, जो बिंदु स्रोत की स्थिति के साथ मेल खाता है, दूरी r पर स्थित अंतरिक्ष में एक विशिष्ट बिंदु तक।

तरंगों को z अक्ष के साथ स्थित स्रोतों की एक अंतहीन श्रृंखला द्वारा उत्तेजित किया जा सकता है। इस मामले में, ऐसा धागा तरंगें उत्पन्न करेगा, जिसका चरण अग्रभाग एक बेलनाकार सतह है।

बेलनाकार लहर एक तरंग है जिसका चरण अग्र भाग बेलनाकार सतह के रूप में होता है। एक बेलनाकार तरंग का समीकरण है

, (3.11)

सूत्र (3.2), (3.10, 3.11) तरंग स्रोत और अंतरिक्ष में उस विशिष्ट बिंदु के बीच की दूरी पर आयाम की एक अलग निर्भरता का संकेत देते हैं जहां तक ​​तरंग पहुंची थी।

हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण

मैक्सवेल ने इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक प्राप्त किया, जिससे साबित हुआ कि समय के साथ अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय प्रक्रियाओं का प्रसार तरंग के रूप में होता है। आइए हम इस प्रस्ताव के प्रमाण पर विचार करें, अर्थात्। आइए हम विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की तरंग प्रकृति को सिद्ध करें।

आइए हम पहले दो मैक्सवेल समीकरणों को जटिल रूप में लिखें

(3.12)

आइए हम सिस्टम का दूसरा समीकरण (3.12) लें और इसमें बाईं और दाईं ओर रोटर ऑपरेशन लागू करें। परिणाम हमें मिलता है

चलो निरूपित करें
, जो प्रसार स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार

(3.14)

दूसरी ओर, वेक्टर विश्लेषण में प्रसिद्ध पहचान के आधार पर, हम लिख सकते हैं

, (3.15)

कहाँ
लाप्लास ऑपरेटर है, जो कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में पहचान द्वारा व्यक्त किया जाता है

(3.16)

गॉस के नियम को ध्यान में रखते हुए, अर्थात्
, समीकरण (3.15) को सरल रूप में लिखा जाएगा

, या

(3.17)

इसी प्रकार, मैक्सवेल के समीकरणों की समरूपता का उपयोग करके, हम वेक्टर के लिए एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं , अर्थात।

(3.18)

फॉर्म के समीकरण (3.17, 3.18) हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण कहलाते हैं। गणित में यह सिद्ध हो चुका है कि यदि किसी प्रक्रिया को हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों के रूप में वर्णित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि वह प्रक्रिया एक तरंग प्रक्रिया है। हमारे मामले में, हम निष्कर्ष निकालते हैं: समय-भिन्न विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अनिवार्य रूप से अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार का कारण बनते हैं।

समन्वय रूप में हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण (3.17) को इस प्रकार लिखा जाता है

कहाँ ,,- संगत निर्देशांक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश

,

,

.(3.20)

गैर-अवशोषित मीडिया में प्रसार करते समय समतल तरंगों के गुण

मान लीजिए कि एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग z अक्ष के अनुदिश प्रसारित होती है, तो तरंग के प्रसार को विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है

(3.21)

कहाँ और - जटिल क्षेत्र आयाम,

(3.22)

सिस्टम का समाधान (3.21) का रूप है

(3.23)

यदि तरंग z अक्ष और सदिश के अनुदिश केवल एक ही दिशा में फैलती है एक्स अक्ष के साथ निर्देशित है, तो समीकरणों की प्रणाली के समाधान को फॉर्म में लिखना उचित है

(3.24)

कहाँ और - x, y अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश।

यदि माध्यम में कोई हानि न हो, अर्थात्। पर्यावरण पैरामीटर  ए और  ए, और
वास्तविक मात्राएँ हैं.

आइए हम समतल विद्युत चुम्बकीय तरंगों के गुणों को सूचीबद्ध करें

माध्यम के लिए, माध्यम की तरंग प्रतिबाधा की अवधारणा पेश की गई है

(3.25)

कहाँ ,
- क्षेत्र की शक्तियों का आयाम मान। दोषरहित माध्यम के लिए विशिष्ट प्रतिबाधा भी एक वास्तविक मूल्य है।

वायु के लिए, तरंग प्रतिरोध है

(3.26)

समीकरण (3.24) से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र चरण में हैं। समतल तरंग क्षेत्र एक भ्रमणशील तरंग है, जिसे प्रपत्र में लिखा गया है

(3.27)

चित्र में. 3.4 फ़ील्ड वैक्टर और चरण में परिवर्तन, सूत्र (3.27) के अनुसार।

पोयंटिंग वेक्टर किसी भी समय तरंग प्रसार की दिशा से मेल खाता है

(3.28)

पोयंटिंग वेक्टर मापांक विद्युत प्रवाह घनत्व निर्धारित करता है और इसे मापा जाता है
.

औसत विद्युत प्रवाह घनत्व किसके द्वारा निर्धारित किया जाता है?

(3.29)

, (3.30)

कहाँ
- क्षेत्र की ताकत के प्रभावी मूल्य।

एक इकाई आयतन में निहित क्षेत्र ऊर्जा को ऊर्जा घनत्व कहा जाता है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता है, अर्थात। परिवर्तनशील है. किसी निश्चित समय पर ऊर्जा घनत्व का मान तात्कालिक ऊर्जा घनत्व कहलाता है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विद्युत और चुंबकीय घटकों के लिए, तात्कालिक ऊर्जा घनत्व क्रमशः बराबर होते हैं

ध्यान में रख कर
, संबंध (3.31) और (3.32) से यह स्पष्ट है कि
.

कुल विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा घनत्व द्वारा दिया गया है

(3.33)

विद्युत चुम्बकीय तरंग के प्रसार की चरण गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(3.34)

तरंग दैर्ध्य निर्धारित है

(3.35)

कहाँ - निर्वात (वायु) में तरंग दैर्ध्य, s - हवा में प्रकाश की गति,  - सापेक्ष ढांकता हुआ स्थिरांक,  - सापेक्ष चुंबकीय पारगम्यता, एफ– रैखिक आवृत्ति,  – चक्रीय आवृत्ति, वीएफ - चरण वेग,  - प्रसार स्थिरांक।

ऊर्जा गति की गति (समूह गति) सूत्र से निर्धारित की जा सकती है

(3.36)

कहाँ - पोयंटिंग वेक्टर, - ऊर्जा घनत्व।

अगर आप पेंटिंग करते हैं तथा सूत्र (3.28), (3.33) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

(3.37)

इस प्रकार, हम पाते हैं

(3.38)

जब एक विद्युत चुम्बकीय मोनोक्रोमैटिक तरंग दोषरहित माध्यम में फैलती है, तो चरण और समूह वेग बराबर होते हैं।

सूत्र द्वारा व्यक्त चरण और समूह वेग के बीच एक संबंध है

(3.39)

आइए फ़्लोरोप्लास्टिक में विद्युत चुम्बकीय तरंग के प्रसार के एक उदाहरण पर विचार करें जिसके पैरामीटर  =2, =1 हैं। मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र की ताकत के अनुरूप है

(3.40)

ऐसे माध्यम में तरंग प्रसार की गति बराबर होगी

फ्लोरोप्लास्टिक की विशेषता प्रतिबाधा मूल्य से मेल खाती है

ओम (3.42)

चुंबकीय क्षेत्र की ताकत के आयाम मान मान लेते हैं

, (3.43)

तदनुसार, ऊर्जा प्रवाह घनत्व बराबर है

आवृत्ति पर तरंगदैर्घ्य
का अर्थ है

(3.45)

उमोव-पोयंटिंग प्रमेय

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की विशेषता उसकी अपनी क्षेत्र ऊर्जा होती है, और कुल ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की ऊर्जा के योग से निर्धारित होती है। मान लीजिए कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र एक बंद आयतन V पर कब्जा कर लेता है, तो हम लिख सकते हैं

(3.46)

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा, सिद्धांत रूप में, एक स्थिर मूल्य नहीं रह सकती है। प्रश्न उठता है: कौन से कारक ऊर्जा में परिवर्तन को प्रभावित करते हैं? यह स्थापित किया गया है कि बंद आयतन के अंदर ऊर्जा में परिवर्तन निम्नलिखित कारकों से प्रभावित होता है:

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा का एक हिस्सा अन्य प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यांत्रिक;

एक बंद आयतन के अंदर, बाहरी बल कार्य कर सकते हैं, जो विचाराधीन आयतन में निहित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा को बढ़ा या घटा सकते हैं;

विचाराधीन बंद आयतन V ऊर्जा विकिरण की प्रक्रिया के माध्यम से आसपास के पिंडों के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है।

विकिरण की तीव्रता को पोयंटिंग वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है . आयतन V में एक बंद सतह S है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा में परिवर्तन को बंद सतह S के माध्यम से पोयंटिंग वेक्टर के प्रवाह के रूप में माना जा सकता है (चित्र 3.5), अर्थात।
, और विकल्प संभव हैं
>0 ,
<0 ,
=0 . ध्यान दें कि सामान्य सतह पर खींचा गया है
,हमेशा बाहरी होता है.

आइए हम आपको वह याद दिला दें
, कहाँ
तात्कालिक क्षेत्र शक्ति मान हैं।

सतह अभिन्न से संक्रमण
वॉल्यूम V पर इंटीग्रल को ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय के आधार पर किया जाता है।

जानते हुए भी

आइए इन भावों को सूत्र (3.47) में प्रतिस्थापित करें। परिवर्तन के बाद, हमें इस रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

सूत्र (3.48) से यह स्पष्ट है कि बायां पक्ष तीन पदों के योग द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पर हम अलग से विचार करेंगे।

अवधि
एक्सप्रेस तात्कालिक बिजली हानि , विचाराधीन बंद मात्रा में चालन धाराओं के कारण। दूसरे शब्दों में, यह शब्द एक बंद आयतन में घिरे क्षेत्र की तापीय ऊर्जा हानि को व्यक्त करता है।

दूसरी अवधि
समय की प्रति इकाई किए गए बाहरी बलों के कार्य को व्यक्त करता है, अर्थात। बाहरी ताकतों की शक्ति. ऐसी शक्ति के लिए संभावित मान हैं
>0,
<0.

अगर
>0, वे। आयतन V में ऊर्जा जोड़ी जाती है, तो बाहरी बलों को जनरेटर माना जा सकता है। अगर
<0 , अर्थात। आयतन V में ऊर्जा में कमी होती है, तब बाह्य बल भार की भूमिका निभाते हैं।

एक रैखिक माध्यम के लिए अंतिम पद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

(3.49)

सूत्र (3.49) आयतन V के अंदर निहित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा में परिवर्तन की दर को व्यक्त करता है।

सभी शर्तों पर विचार करने के बाद, सूत्र (3.48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सूत्र (3.50) पोयंटिंग के प्रमेय को व्यक्त करता है। पोयंटिंग का प्रमेय एक मनमाने क्षेत्र के भीतर ऊर्जा के संतुलन को व्यक्त करता है जिसमें एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र मौजूद है।

विलंबित संभावनाएँ

जटिल रूप में मैक्सवेल के समीकरण, जैसा कि ज्ञात है, का रूप है:

(3.51)

मान लीजिए कि एक सजातीय माध्यम में बाह्य धाराएँ हैं। आइए ऐसे माध्यम के लिए मैक्सवेल के समीकरणों को बदलने का प्रयास करें और एक सरल समीकरण प्राप्त करें जो ऐसे माध्यम में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का वर्णन करता है।

चलिए समीकरण लेते हैं
.उसकी विशेषताओं को जानना और परस्पर
, तो हम लिख सकते हैं
आइए इस बात को ध्यान में रखें कि चुंबकीय क्षेत्र की ताकत का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है वेक्टर इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता , जिसका परिचय संबंध द्वारा दिया जाता है
, तब

(3.52)

आइए मैक्सवेल प्रणाली का दूसरा समीकरण (3.51) लें और परिवर्तन करें:

(3.53)

फॉर्मूला (3.53) मैक्सवेल के दूसरे समीकरण को वेक्टर क्षमता के संदर्भ में व्यक्त करता है . सूत्र (3.53) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(3.54)

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, जैसा कि ज्ञात है, निम्नलिखित संबंध है:

(3.55)

कहाँ -क्षेत्र शक्ति वेक्टर,
- अदिश इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता। ऋण चिह्न इंगित करता है कि वेक्टर उच्च क्षमता वाले बिंदु से निम्न क्षमता वाले बिंदु की ओर निर्देशित।

कोष्ठक (3.54) में अभिव्यक्ति, सूत्र (3.55) के अनुरूप, इस रूप में लिखी जा सकती है

(3.56)

कहाँ
- अदिश इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता।

आइए मैक्सवेल का पहला समीकरण लें और इसे इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता का उपयोग करके लिखें

वेक्टर बीजगणित में निम्नलिखित पहचान सिद्ध की गई है:

पहचान (3.58) का उपयोग करके, हम मैक्सवेल के पहले समीकरण को (3.57) के रूप में लिख सकते हैं, इस प्रकार

आइये समान देते हैं

बाएँ और दाएँ पक्षों को एक गुणनखंड (-1) से गुणा करें:

मनमाने ढंग से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए हम यह मान सकते हैं

अभिव्यक्ति (3.60) कहलाती है लोरेंत्ज़ गेज .

अगर डब्ल्यू=0 , तो हमें मिलता है कूलम्ब अंशांकन
=0.

गेजों को ध्यान में रखते हुए समीकरण (3.59) लिखा जा सकता है

(3.61)

समीकरण (3.61) व्यक्त करता है वेक्टर इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता के लिए अमानवीय तरंग समीकरण।

इसी तरह मैक्सवेल के तीसरे समीकरण पर आधारित
, हम इसके लिए एक गैर-सजातीय समीकरण प्राप्त कर सकते हैं स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता जैसा:

(3.62)

इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता के परिणामी अमानवीय समीकरणों के अपने समाधान होते हैं

, (3.63)

कहाँ एम– मनमाना बिंदु एम, - वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व, γ – प्रसार स्थिरांक, आर

(3.64)

कहाँ वी- बाहरी धाराओं द्वारा व्याप्त आयतन, आर- स्रोत आयतन के प्रत्येक तत्व से बिंदु M तक वर्तमान दूरी।

वेक्टर इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता (3.63), (3.64) का समाधान कहा जाता है मंदबुद्धि क्षमताओं के लिए किरचॉफ अभिन्न अंग .

कारक
को ध्यान में रखकर व्यक्त किया जा सकता है
जैसा

यह कारक स्रोत से तरंग प्रसार की सीमित गति से मेल खाता है, और
क्योंकि तरंग प्रसार की गति एक सीमित मान है, तो तरंगों को उत्पन्न करने वाले स्रोत का प्रभाव एक समय विलंब के साथ एक मनमाने बिंदु M तक पहुँच जाता है। विलंब समय का मान निम्न द्वारा निर्धारित किया जाता है:
चित्र में. 3.6 एक बिंदु स्रोत दिखाता है यू, जो आसपास के सजातीय स्थान में गति v के साथ फैलने वाली गोलाकार तरंगों का उत्सर्जन करता है, साथ ही कुछ दूरी पर स्थित एक मनमाना बिंदु M भी उत्सर्जित करता है। आर, जिस तक लहर पहुंचती है।

समय के एक क्षण में टीवेक्टर क्षमता
बिंदु M पर स्रोत में बहने वाली धाराओं का एक कार्य है यूपहले के समय में
दूसरे शब्दों में,
यह उस स्रोत धारा पर निर्भर करता है जो पहले के क्षण में इसमें प्रवाहित हुई थी

सूत्र (3.64) से यह स्पष्ट है कि वेक्टर इलेक्ट्रोडायनामिक क्षमता बाहरी बलों के वर्तमान घनत्व के समानांतर (सह-दिशात्मक) है; इसका आयाम नियम के अनुसार घटता जाता है; उत्सर्जक के आकार की तुलना में बड़ी दूरी पर, तरंग का अग्र भाग गोलाकार होता है।

मानते हुए
और मैक्सवेल के पहले समीकरण से, विद्युत क्षेत्र की ताकत निर्धारित की जा सकती है:

परिणामी रिश्ते बाहरी धाराओं के दिए गए वितरण द्वारा बनाए गए अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को निर्धारित करते हैं

उच्च संवाहक मीडिया में समतल विद्युत चुम्बकीय तरंगों का प्रसार

आइए एक प्रवाहकीय माध्यम में विद्युत चुम्बकीय तरंग के प्रसार पर विचार करें। ऐसे मीडिया को धातु जैसा मीडिया भी कहा जाता है। एक वास्तविक माध्यम प्रवाहकीय होता है यदि चालन धाराओं का घनत्व विस्थापन धाराओं के घनत्व से काफी अधिक हो, अर्थात।
और
, और
, या

(3.66)

सूत्र (3.66) उस स्थिति को व्यक्त करता है जिसके तहत एक वास्तविक माध्यम को प्रवाहकीय माना जा सकता है। दूसरे शब्दों में, जटिल ढांकता हुआ स्थिरांक का काल्पनिक भाग वास्तविक भाग से अधिक होना चाहिए। सूत्र (3.66) भी निर्भरता दर्शाता है आवृत्ति पर, और आवृत्ति जितनी कम होगी, माध्यम में कंडक्टर के गुण उतने ही अधिक स्पष्ट होंगे। आइए इस स्थिति को एक उदाहरण से देखें।

हाँ, आवृत्ति पर एफ = 1 मेगाहर्ट्ज = 10 6 हर्ट्ज सूखी मिट्टी के पैरामीटर =4, =0.01 हैं ,. आइए एक दूसरे से तुलना करें और , अर्थात।
. प्राप्त मूल्यों से यह स्पष्ट है कि 1.610 -19 >> 3.5610 -11, इसलिए 1 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति वाली तरंग प्रसारित होने पर सूखी मिट्टी को प्रवाहकीय माना जाना चाहिए।

एक वास्तविक माध्यम के लिए, हम जटिल ढांकता हुआ स्थिरांक लिखते हैं

(3.67)

क्योंकि हमारे मामले में
, तो एक संचालन माध्यम के लिए हम लिख सकते हैं

, (3.68)

जहां  विशिष्ट चालकता है,  चक्रीय आवृत्ति है।

प्रसार स्थिरांक , जैसा कि ज्ञात है, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों से निर्धारित होता है

इस प्रकार, हमें प्रसार स्थिरांक के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है

(3.69)

ह ज्ञात है कि

(3.70)

पहचान (3.49) को ध्यान में रखते हुए सूत्र (3.50) को प्रपत्र में लिखा जा सकता है

(3.71)

प्रसार स्थिरांक को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

(3.72)

सूत्रों (3.71), (3.72) में वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से चरण स्थिरांक  और अवमंदन स्थिरांक  के मूल्यों की समानता होती है, अर्थात।

(3.73)

सूत्र (3.73) से हम उस तरंग दैर्ध्य को लिखते हैं जो क्षेत्र एक सुसंवाहक माध्यम में प्रसार करते समय प्राप्त करता है

(3.74)

कहाँ - धातु में तरंग दैर्ध्य.

परिणामी सूत्र (3.74) से यह स्पष्ट है कि धातु में फैलने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंग की लंबाई अंतरिक्ष में तरंग दैर्ध्य की तुलना में काफी कम हो जाती है।

ऊपर कहा गया था कि हानि वाले माध्यम में प्रसारित होने पर तरंग का आयाम कानून के अनुसार कम हो जाता है
. एक संवाहक माध्यम में तरंग प्रसार की प्रक्रिया को चिह्नित करने के लिए, अवधारणा पेश की गई है सतह परत की गहराई या प्रवेश की गहराई .

सतह परत की गहराई - यह वह दूरी d है जिस पर सतह तरंग का आयाम उसके प्रारंभिक स्तर की तुलना में e के कारक से कम हो जाता है।

(3.75)

कहाँ - धातु में तरंग दैर्ध्य.

सतह परत की गहराई भी सूत्र से निर्धारित की जा सकती है

, (3.76)

जहां  चक्रीय आवृत्ति है,  a माध्यम की पूर्ण चुंबकीय पारगम्यता है,  माध्यम की विशिष्ट चालकता है।

सूत्र (3.76) से यह स्पष्ट है कि बढ़ती आवृत्ति और विशिष्ट चालकता के साथ, सतह परत की गहराई कम हो जाती है।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. चालकता तांबा
आवृत्ति पर एफ = 10 GHz ( = 3 सेमी) की सतह परत की गहराई d = है
. इससे हम अभ्यास के लिए एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक गैर-संवाहक कोटिंग पर अत्यधिक प्रवाहकीय पदार्थ की एक परत लगाने से कम गर्मी के नुकसान के साथ डिवाइस तत्वों का उत्पादन करना संभव हो जाएगा।

इंटरफ़ेस पर समतल तरंग का परावर्तन और अपवर्तन

जब एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग अंतरिक्ष में फैलती है, जिसमें विभिन्न पैरामीटर मान वाले क्षेत्र होते हैं
और समतल के रूप में इंटरफ़ेस से परावर्तित और अपवर्तित तरंगें उत्पन्न होती हैं। इन तरंगों की तीव्रता परावर्तन और अपवर्तन के गुणांकों के माध्यम से निर्धारित की जाती है।

तरंग परावर्तन गुणांक इंटरफ़ेस पर परावर्तित और आपतित तरंगों के विद्युत क्षेत्र की शक्तियों के जटिल मूल्यों का अनुपात है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(3.77)

पारित दर लहर की पहले से दूसरे माध्यम में अपवर्तित विद्युत क्षेत्र की शक्तियों के जटिल मूल्यों का अनुपात कहा जाता है गिरने के लिए तरंगें और सूत्र द्वारा निर्धारित होती हैं

(3.78)

यदि आपतित तरंग का पोयंटिंग वेक्टर इंटरफ़ेस के लंबवत है, तो

(3.79)

कहां जेड 1 ,जेड 2 – संबंधित मीडिया के लिए विशेषता प्रतिरोध।

विशेषता प्रतिरोध सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ
(3.80)

.

तिरछी घटना के साथ, इंटरफ़ेस के सापेक्ष तरंग प्रसार की दिशा घटना के कोण द्वारा निर्धारित की जाती है। घटना का कोण - सतह के अभिलंब और किरण प्रसार की दिशा के बीच का कोण।

घटना विमान वह तल है जिसमें आपतित किरण होती है और अभिलंब आपतन बिंदु पर पुनर्स्थापित होता है।

सीमा स्थितियों से यह पता चलता है कि आपतन कोण और अपवर्तन स्नेल के नियम से संबंधित:

(3.81)

जहां n 1, n 2 संबंधित मीडिया के अपवर्तनांक हैं।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों को ध्रुवीकरण की विशेषता होती है। इसमें अण्डाकार, गोलाकार और रैखिक ध्रुवीकरण होते हैं। रैखिक ध्रुवीकरण में, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकरण को प्रतिष्ठित किया जाता है।

क्षैतिज ध्रुवीकरण – ध्रुवीकरण जिस पर वेक्टर आपतन तल के लंबवत तल में दोलन करता है।

क्षैतिज ध्रुवीकरण के साथ एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग को दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर गिरने दें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3.7. आपतित तरंग का पोयंटिंग वेक्टर किसके द्वारा दर्शाया गया है? . क्योंकि तरंग में क्षैतिज ध्रुवीकरण होता है, अर्थात विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर आपतन तल के लंबवत तल में दोलन करता है, तो इसे निर्दिष्ट किया जाता है और चित्र में. 3.7 को एक क्रॉस के साथ एक वृत्त के रूप में दिखाया गया है (हमसे दूर निर्देशित)। तदनुसार, चुंबकीय क्षेत्र शक्ति वेक्टर तरंग की घटना के विमान में स्थित है और नामित है . वैक्टर ,,सदिशों का दाएँ हाथ का त्रिक बनाएँ।

परावर्तित तरंग के लिए, संबंधित क्षेत्र वैक्टर सूचकांक "नकारात्मक" से सुसज्जित होते हैं; अपवर्तित तरंग के लिए, सूचकांक "पीआर" होता है।

क्षैतिज (लंबवत) ध्रुवीकरण के साथ, प्रतिबिंब और संचरण गुणांक निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं (चित्र 3.7)।

दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर, सीमा की शर्तें संतुष्ट होती हैं, यानी।

हमारे मामले में, हमें सदिशों के स्पर्शरेखीय प्रक्षेपणों की पहचान करनी चाहिए, अर्थात। लिखा जा सकता है

आपतित, परावर्तित और अपवर्तित तरंगों के लिए चुंबकीय क्षेत्र शक्ति रेखाएँ आपतन तल के लंबवत निर्देशित होती हैं। इसलिए हमें लिखना चाहिए

इसके आधार पर, हम सीमा स्थितियों पर आधारित एक प्रणाली बना सकते हैं

यह भी ज्ञात है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्तियां माध्यम Z की विशेषता प्रतिबाधा के माध्यम से परस्पर जुड़ी हुई हैं

तब सिस्टम का दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

तो, समीकरणों की प्रणाली ने रूप ले लिया

आइए हम इस प्रणाली के दोनों समीकरणों को आपतित तरंग के आयाम से विभाजित करें
और, अपवर्तक सूचकांक (3.77) और संचरण (3.78) की परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, हम सिस्टम को इस रूप में लिख सकते हैं

सिस्टम में दो समाधान और दो अज्ञात मात्राएँ हैं। ऐसी प्रणाली को हल करने योग्य माना जाता है।

ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकरण – ध्रुवीकरण जिस पर वेक्टर आपतन तल में दोलन करता है।

ऊर्ध्वाधर (समानांतर) ध्रुवीकरण के साथ, प्रतिबिंब और संचरण गुणांक निम्नानुसार व्यक्त किए जाते हैं (चित्र 3.8)।

ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकरण के लिए, समीकरणों की एक समान प्रणाली क्षैतिज ध्रुवीकरण के लिए लिखी जाती है, लेकिन विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र वैक्टर की दिशा को ध्यान में रखते हुए

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को इसी प्रकार संक्षिप्त किया जा सकता है

सिस्टम का समाधान प्रतिबिंब और संचरण गुणांक के लिए अभिव्यक्ति है

जब समानांतर ध्रुवीकरण वाली समतल विद्युत चुम्बकीय तरंगें दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर आपतित होती हैं, तो परावर्तन गुणांक शून्य हो सकता है। आपतन कोण जिस पर आपतित तरंग पूर्णतः, बिना परावर्तन के, एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती है उसे ब्रूस्टर कोण कहा जाता है और इसे इस रूप में दर्शाया जाता है
.

(3.84)

(3.85)

हम इस बात पर जोर देते हैं कि जब एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग एक गैर-चुंबकीय ढांकता हुआ पर आपतित होती है तो ब्रूस्टर कोण केवल समानांतर ध्रुवीकरण के साथ मौजूद हो सकता है।

यदि एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग हानि वाले दो माध्यमों के बीच इंटरफ़ेस पर एक मनमाने कोण पर आपतित होती है, तो परावर्तित और अपवर्तित तरंगों को अमानवीय माना जाना चाहिए, क्योंकि समान आयाम के विमान को इंटरफ़ेस के साथ मेल खाना चाहिए। वास्तविक धातुओं के लिए, चरण अग्रभाग और समान आयाम वाले तल के बीच का कोण छोटा होता है, इसलिए हम मान सकते हैं कि अपवर्तन कोण 0 है।

शुकुकिन-लेओन्टोविच की अनुमानित सीमा स्थितियाँ

ये सीमा शर्तें तब लागू होती हैं जब मीडिया में से कोई एक अच्छा संवाहक हो। आइए मान लें कि एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग हवा से एक कोण  पर एक सुचालक माध्यम वाले समतल इंटरफ़ेस पर आपतित होती है, जिसे जटिल अपवर्तनांक द्वारा वर्णित किया गया है

(3.86)

एक सुसंचालन माध्यम की अवधारणा की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है
. स्नेल के नियम को लागू करने पर, यह देखा जा सकता है कि अपवर्तन कोण  बहुत छोटा होगा। इससे हम यह मान सकते हैं कि अपवर्तित तरंग आपतन कोण के किसी भी मान पर लगभग सामान्य दिशा में सुचालक माध्यम में प्रवेश करती है।

लेओन्टोविच सीमा स्थितियों का उपयोग करते हुए, आपको चुंबकीय वेक्टर के स्पर्शरेखा घटक को जानना होगा . आमतौर पर यह लगभग मान लिया जाता है कि यह मान एक आदर्श कंडक्टर की सतह के लिए गणना किए गए समान घटक से मेल खाता है। इस तरह के अनुमान से उत्पन्न होने वाली त्रुटि बहुत छोटी होगी, क्योंकि धातुओं की सतह से प्रतिबिंब गुणांक, एक नियम के रूप में, शून्य के करीब है।

मुक्त अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन

आइए जानें कि मुक्त अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा के विकिरण के लिए क्या स्थितियाँ हैं। ऐसा करने के लिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगों के एक बिंदु मोनोक्रोमैटिक उत्सर्जक पर विचार करें, जिसे गोलाकार समन्वय प्रणाली के मूल में रखा गया है। जैसा कि ज्ञात है, एक गोलाकार समन्वय प्रणाली (आर, Θ, φ) द्वारा दी जाती है, जहां आर सिस्टम की उत्पत्ति से अवलोकन बिंदु तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर है; Θ - मेरिडियनल कोण, Z अक्ष (ज़ेनिथ) से बिंदु M तक खींचे गए त्रिज्या वेक्टर तक मापा जाता है; φ - अज़ीमुथल कोण, एक्स अक्ष से मूल से बिंदु M′ तक खींचे गए त्रिज्या वेक्टर के प्रक्षेपण तक मापा जाता है (M′ XOY विमान पर बिंदु M का प्रक्षेपण है)। (चित्र.3.9).

एक बिंदु उत्सर्जक मापदंडों के साथ एक सजातीय माध्यम में स्थित है

एक बिंदु उत्सर्जक सभी दिशाओं में विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन करता है और बिंदु को छोड़कर, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का कोई भी घटक हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का पालन करता है। आर=0 . हम एक जटिल अदिश फलन Ψ प्रस्तुत कर सकते हैं, जिसे किसी भी मनमाने क्षेत्र घटक के रूप में समझा जाता है। फिर फ़ंक्शन Ψ के लिए हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण का रूप है:

(3.87)

कहाँ
- तरंग संख्या (प्रसार स्थिरांक)।

(3.88)

आइए मान लें कि फ़ंक्शन Ψ में गोलाकार समरूपता है, तो हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3.89)

समीकरण (3.89) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

(3.90)

समीकरण (3.89) और (3.90) एक दूसरे के समान हैं। समीकरण (3.90) को भौतिकी में दोलन समीकरण के नाम से जाना जाता है। इस समीकरण के दो समाधान हैं, यदि आयाम समान हैं, तो उनका रूप होगा:

(3.91)

(3.92)

जैसा कि (3.91), (3.92) से देखा जा सकता है, समीकरण का समाधान केवल संकेतों में भिन्न होता है। इसके अतिरिक्त, स्रोत से आने वाली तरंग को इंगित करता है, अर्थात। तरंग स्रोत से अनंत तक फैलती है। दूसरी लहर इंगित करता है कि तरंग अनंत से स्रोत तक आती है। भौतिक रूप से, एक ही स्रोत एक ही समय में दो तरंगें उत्पन्न नहीं कर सकता: यात्रा करना और अनंत से आना। इसलिए, यह ध्यान में रखना आवश्यक है कि लहर भौतिक रूप से अस्तित्व में नहीं है.

प्रश्न में उदाहरण काफी सरल है. लेकिन स्रोतों की एक प्रणाली से ऊर्जा उत्सर्जन के मामले में, सही समाधान चुनना बहुत मुश्किल है। इसलिए, एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है, जो सही समाधान चुनने के लिए एक मानदंड है। हमें विश्लेषणात्मक रूप में एक सामान्य मानदंड की आवश्यकता है जो हमें एक स्पष्ट भौतिक रूप से निर्धारित समाधान चुनने की अनुमति देता है।

दूसरे शब्दों में, हमें एक ऐसे मानदंड की आवश्यकता है जो एक फ़ंक्शन को अलग करता है जो एक स्रोत से अनंत तक यात्रा करने वाली तरंग को एक फ़ंक्शन से व्यक्त करता है जो अनंत से विकिरण स्रोत तक आने वाली तरंग का वर्णन करता है।

इस समस्या का समाधान ए. सोमरफेल्ड ने किया। उन्होंने इसे फ़ंक्शन द्वारा वर्णित एक यात्रा तरंग के लिए दिखाया , निम्नलिखित संबंध रखता है:

(3.93)

इस सूत्र को कहा जाता है विकिरण की स्थिति या सोमरफेल्ड स्थिति .

आइए द्विध्रुव के रूप में एक प्राथमिक विद्युत उत्सर्जक पर विचार करें। विद्युत द्विध्रुव तार का एक छोटा टुकड़ा होता है एलतरंग दैर्ध्य की तुलना में  ( एल<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия एल<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

यह दर्शाना कठिन नहीं है कि तार के आस-पास के स्थान में विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन तरंग प्रकृति का है। स्पष्टता के लिए, आइए हम तार से निकलने वाले विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विद्युत घटक के निर्माण और परिवर्तन की प्रक्रिया के एक अत्यंत सरलीकृत मॉडल पर विचार करें। चित्र में. चित्र 3.11 एक अवधि के बराबर समयावधि में विद्युत चुम्बकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र के विकिरण की प्रक्रिया का एक मॉडल दिखाता है

जैसा कि ज्ञात है, विद्युत धारा विद्युत आवेशों की गति के कारण होती है

या

भविष्य में हम केवल तार पर धनात्मक एवं ऋणात्मक आवेशों की स्थिति में परिवर्तन पर ही विचार करेंगे। विद्युत क्षेत्र रेखा धनात्मक आवेश से प्रारंभ होकर ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती है। चित्र में. 3.11 विद्युत लाइन को बिंदीदार रेखा से दर्शाया गया है। यह याद रखने योग्य है कि विद्युत क्षेत्र कंडक्टर के आसपास के पूरे स्थान में निर्मित होता है, हालाँकि चित्र में। चित्र 3.11 एक विद्युत लाइन दिखाता है।

किसी चालक के माध्यम से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित करने के लिए, प्रत्यावर्ती ईएमएफ के एक स्रोत की आवश्यकता होती है। ऐसा स्रोत तार के मध्य में शामिल होता है। विद्युत क्षेत्र उत्सर्जन प्रक्रिया की स्थिति को 1 से 13 तक की संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है। प्रत्येक संख्या प्रक्रिया की स्थिति से जुड़े समय के एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है। क्षण t=1 प्रक्रिया की शुरुआत से मेल खाता है, यानी। EMF = 0. इस समय t=2, एक वैकल्पिक EMF प्रकट होता है, जो आवेशों की गति का कारण बनता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3.11. तार में गतिमान आवेशों के प्रकट होने से अंतरिक्ष में एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है। समय के साथ (t = 3÷5) चार्ज कंडक्टर के सिरों तक चले जाते हैं और बिजली लाइन अंतरिक्ष के एक बड़े हिस्से को कवर करती है। बल की रेखा तार के लंबवत दिशा में प्रकाश की गति से फैलती है। समय t = 6 - 8 पर, अधिकतम मान से गुजरने पर ईएमएफ कम हो जाता है। आवेश तार के मध्य की ओर बढ़ते हैं।

समय t = 9 पर, EMF परिवर्तन की आधी अवधि समाप्त हो जाती है और यह घटकर शून्य हो जाती है। इस मामले में, आरोप विलीन हो जाते हैं और वे एक दूसरे को क्षतिपूर्ति करते हैं। इस स्थिति में कोई विद्युत क्षेत्र नहीं है। विकिरणित विद्युत क्षेत्र की शक्ति रेखा बंद हो जाती है और तार से दूर जाती रहती है।

इसके बाद ईएमएफ परिवर्तन का दूसरा आधा चक्र आता है, ध्रुवता में परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए प्रक्रियाओं को दोहराया जाता है। चित्र में. चित्र 3.11 क्षण t = 10÷13 पर विद्युत क्षेत्र शक्ति रेखा को ध्यान में रखते हुए प्रक्रिया की एक तस्वीर दिखाता है।

हमने एक भंवर विद्युत क्षेत्र की बंद बल रेखाओं के निर्माण की प्रक्रिया की जांच की। लेकिन यह याद रखने योग्य है कि विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन एक एकल प्रक्रिया है। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के अभिन्न रूप से अन्योन्याश्रित घटक हैं।

विकिरण प्रक्रिया चित्र में दिखाई गई है। 3.11 एक सममित इलेक्ट्रिक वाइब्रेटर द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकिरण के समान है और रेडियो संचार प्रौद्योगिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के दोलन का तल चुंबकीय क्षेत्र शक्ति वेक्टर के दोलन तल के परस्पर लंबवत है .

विद्युत चुम्बकीय तरंगों का उत्सर्जन एक परिवर्तनशील प्रक्रिया के कारण होता है। इसलिए, आवेश के सूत्र में हम स्थिरांक C = 0 रख सकते हैं। आवेश के सम्मिश्र मान को लिखा जा सकता है।

(3.94)

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के अनुरूप, हम प्रत्यावर्ती धारा के साथ विद्युत द्विध्रुव के क्षण की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं

(3.95)

सूत्र (3.95) से यह निष्कर्ष निकलता है कि विद्युत द्विध्रुव और तार के निर्देशित टुकड़े के क्षण के सदिश सह-दिशात्मक हैं.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वास्तविक एंटेना में तार की लंबाई आमतौर पर तरंग दैर्ध्य के बराबर होती है। ऐसे एंटेना की विकिरण संबंधी विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, तार को आमतौर पर मानसिक रूप से अलग-अलग छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को प्राथमिक विद्युत द्विध्रुव माना जाता है। परिणामी एंटीना क्षेत्र व्यक्तिगत द्विध्रुवों द्वारा उत्पन्न उत्सर्जित वेक्टर क्षेत्रों को जोड़कर पाया जाता है।

तरंग प्रक्रियाएँ

बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

आइए कुछ लोचदार माध्यम पर विचार करें - ठोस, तरल या गैसीय। यदि इस माध्यम के किसी भी स्थान पर इसके कणों का कंपन उत्तेजित होता है, तो कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण कंपन माध्यम के एक कण से दूसरे कण में संचारित होकर एक निश्चित गति से माध्यम में फैल जाएगा। प्रक्रिया अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार को कहा जाता है लहर .

यदि किसी माध्यम में कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं, तो इसे कहा जाता है अनुदैर्ध्य यदि कण दोलन तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत समतल में होते हैं, तो तरंग कहलाती है आड़ा . अनुप्रस्थ यांत्रिक तरंगें केवल गैर-शून्य कतरनी मापांक वाले माध्यम में ही उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, वे तरल और गैसीय मीडिया में फैल सकते हैं केवल अनुदैर्ध्य तरंगें . अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के बीच का अंतर स्प्रिंग में कंपन के प्रसार के उदाहरण में सबसे स्पष्ट रूप से देखा जाता है - चित्र देखें।

अनुप्रस्थ कंपनों को चिह्नित करने के लिए, अंतरिक्ष में स्थिति निर्धारित करना आवश्यक है दोलन की दिशा और तरंग प्रसार की दिशा से गुजरने वाला विमान - ध्रुवीकरण का विमान .

अंतरिक्ष का वह क्षेत्र जिसमें माध्यम के सभी कण कंपन करते हैं, कहलाता है तरंग क्षेत्र . तरंग क्षेत्र और शेष माध्यम के बीच की सीमा कहलाती है लहर सामने . दूसरे शब्दों में, तरंग अग्रभाग - उन बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति जिन तक किसी निश्चित समय पर दोलन पहुँच गए हैं. एक सजातीय और आइसोट्रोपिक माध्यम में, तरंग प्रसार की दिशा होती है सीधालहर के सामने.

जबकि एक तरंग माध्यम में मौजूद होती है, माध्यम के कण अपनी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करते हैं। मान लीजिए कि ये दोलन हार्मोनिक हैं, और इन दोलनों की अवधि है टी. कण दूरी से अलग हो जाते हैं

तरंग प्रसार की दिशा में उसी प्रकार दोलन करें, अर्थात्। किसी भी समय पर उनका विस्थापन समान होता है। दूरी कहलाती है तरंग दैर्ध्य . दूसरे शब्दों में, तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जो एक लहर दोलन की एक अवधि में तय करती है .

एक ही चरण में दोलन करने वाले बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति कहलाती है तरंग सतह . तरंग अग्रभाग तरंग सतह का एक विशेष मामला है। वेवलेंथ - न्यूनतमदो तरंग सतहों के बीच की दूरी जिसमें बिंदु समान तरीके से कंपन करते हैं, या हम ऐसा कह सकते हैं उनके दोलनों के चरण अलग-अलग होते हैं .

यदि तरंग की सतहें समतल हों तो तरंग कहलाती है समतल , और यदि गोले द्वारा, तो गोलाकार. जब एक अनंत तल दोलन करता है तो एक समतल तरंग निरंतर सजातीय और आइसोट्रोपिक माध्यम में उत्तेजित होती है। एक गोलाकार सतह की उत्तेजना को गोलाकार सतह के रेडियल स्पंदन के परिणामस्वरूप और क्रिया के परिणामस्वरूप भी दर्शाया जा सकता है बिंदु स्रोत,जिसके आयामों को अवलोकन बिंदु की दूरी की तुलना में उपेक्षित किया जा सकता है। चूँकि किसी भी वास्तविक स्रोत के आयाम सीमित होते हैं, उससे पर्याप्त बड़ी दूरी पर तरंग गोलाकार के करीब होगी। उसी समय, एक गोलाकार तरंग की तरंग सतह का खंड, जैसे-जैसे उसका आकार घटता जाता है, एक समतल तरंग की तरंग सतह के खंड के मनमाने ढंग से करीब होता जाता है।

समतल और गोलाकार तरंगों के समीकरण

तरंग समीकरणएक अभिव्यक्ति है जो बिंदु और समय की संतुलन स्थिति के निर्देशांक के एक फ़ंक्शन के रूप में एक दोलन बिंदु के विस्थापन को निर्धारित करती है:

यदि स्रोत प्रतिबद्ध है आवधिकदोलन, तो फ़ंक्शन (22.2) निर्देशांक और समय दोनों का एक आवधिक फ़ंक्शन होना चाहिए। समय में आवधिकता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि कार्य निर्देशांक के साथ एक बिंदु के आवधिक दोलनों का वर्णन करता है; निर्देशांक में आवधिकता - इस तथ्य से कि तरंग प्रसार की दिशा में दूरी पर स्थित बिंदु दोलन करते हैं उसी तरह से

आइए हम खुद को हार्मोनिक तरंगों पर विचार करने तक सीमित रखें, जब माध्यम में बिंदु हार्मोनिक दोलन करते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी गैर-हार्मोनिक फ़ंक्शन को हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन के परिणाम के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, केवल हार्मोनिक तरंगों पर विचार करने से प्राप्त परिणामों की व्यापकता में मौलिक गिरावट नहीं आती है।

आइए एक समतल तरंग पर विचार करें। आइए हम एक समन्वय प्रणाली चुनें ताकि अक्ष ओहतरंग प्रसार की दिशा के साथ मेल खाता है। तब तरंग सतहें अक्ष के लंबवत होंगी ओहऔर, चूँकि तरंग सतह के सभी बिंदु समान रूप से कंपन करते हैं, माध्यम के बिंदुओं का संतुलन स्थिति से विस्थापन पर ही निर्भर करेगा एक्स और टी:

मान लीजिए कि समतल में स्थित बिंदुओं के कंपन का रूप इस प्रकार है:

(22.4)

दूरी पर स्थित समतल में दोलन एक्समूल बिंदु से, तरंग द्वारा दूरी तय करने के लिए आवश्यक समयावधि में दोलनों से समय में अंतराल होता है एक्स,और समीकरण द्वारा वर्णित हैं

जो है ऑक्स अक्ष की दिशा में फैलने वाली समतल तरंग का समीकरण।

समीकरण (22.5) निकालते समय, हमने सभी बिंदुओं पर दोलनों का आयाम समान माना। समतल तरंग के मामले में, यह सच है यदि तरंग ऊर्जा माध्यम द्वारा अवशोषित नहीं होती है।

आइए समीकरण (22.5) में चरण के कुछ मान पर विचार करें:

(22.6)

समीकरण (22.6) समय के बीच संबंध बताता है टीऔर स्थान - एक्स, जिसमें निर्दिष्ट चरण मान वर्तमान में कार्यान्वित किया जा रहा है। समीकरण (22.6) से निर्धारित करने के बाद, हम उस गति का पता लगाते हैं जिसके साथ एक दिया गया चरण मान चलता है। (22.6) को विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

कहां अनुसरण करता है (22.7)

प्लेट लहर

प्लेट लहर

एक तरंग जिसके प्रसार की दिशा अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं पर समान होती है। सबसे सरल उदाहरण एक सजातीय मोनोक्रोमैटिक है। अवमंदित पी.वी.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

जहां A आयाम है, j= wt±kz - , w=2p/T - वृत्ताकार आवृत्ति, T - दोलन अवधि, k - . स्थिर चरण सतहें (चरण अग्रभाग) j=const P.v. विमान हैं.

फैलाव की अनुपस्थिति में, जब vph और vgr समान और स्थिर होते हैं (vgr = vph = v), तो स्थिर (यानी, समग्र रूप से गतिशील) रैखिक गतियाँ होती हैं, जो फॉर्म के सामान्य प्रतिनिधित्व की अनुमति देती हैं:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

जहाँ f एक मनमाना फलन है। फैलाव वाले नॉनलाइनियर मीडिया में, स्थिर चलने वाले पीवी भी संभव हैं। प्रकार (2), लेकिन उनका आकार अब मनमाना नहीं है, बल्कि सिस्टम के मापदंडों और आंदोलन की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है। अवशोषित (विघटनकारी) मीडिया में पी. वी. जैसे-जैसे वे फैलते हैं, उनका आयाम कम होता जाता है; रैखिक अवमंदन के साथ, इसे जटिल तरंग संख्या kd ± ikм के साथ (1) में k को प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जा सकता है, जहां किमी गुणांक है। पी. वी. का क्षीणन

एक सजातीय पीवी जो संपूर्ण अनंत पर कब्जा कर लेता है, एक आदर्शीकरण है, लेकिन किसी परिमित क्षेत्र में केंद्रित किसी भी लहर (उदाहरण के लिए, ट्रांसमिशन लाइनों या वेवगाइड्स द्वारा निर्देशित) को पीवी के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है। किसी न किसी स्थान के साथ. स्पेक्ट्रम के. इस मामले में, लहर में अभी भी एक सपाट चरण मोर्चा हो सकता है, लेकिन गैर-समान आयाम हो सकता है। ऐसे पी. वि. बुलाया समतल अमानवीय तरंगें। कुछ क्षेत्र गोलाकार हैं. और बेलनाकार वे तरंगें जो चरण अग्रभाग की वक्रता त्रिज्या की तुलना में छोटी होती हैं, लगभग एक चरण तरंग की तरह व्यवहार करती हैं।

भौतिक विश्वकोश शब्दकोश. - एम.: सोवियत विश्वकोश. . 1983 .

प्लेट लहर

- लहर,अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं पर प्रसार की दिशा समान है।

कहाँ ए -आयाम, - चरण, - वृत्ताकार आवृत्ति, टी -दोलन की अवधि क-तरंग संख्या. = स्थिरांक पी.वी. विमान हैं.
फैलाव की अनुपस्थिति में, जब चरण वेग वीएफ और समूह वीजीआर समान और स्थिर हैं ( वीजीआर = वीच = वी) स्थिर (अर्थात समग्र रूप से गतिमान) चलने वाले पी हैं। सी., जिसे सामान्य रूप में दर्शाया जा सकता है

कहाँ एफ- मनमाना कार्य। फैलाव वाले नॉनलाइनियर मीडिया में, स्थिर चलने वाले पीवी भी संभव हैं। प्रकार (2), लेकिन उनका आकार अब मनमाना नहीं है, बल्कि सिस्टम के मापदंडों और तरंग गति की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है। अवशोषित (विघटनकारी) मीडिया में, जटिल तरंग संख्या पर पी. के कडी इंद्रकुमारमी, कहाँ कएम - गुणांक पी. वी. का क्षीणन एक सजातीय तरंग क्षेत्र जो संपूर्ण अनन्तता पर कब्जा करता है, एक आदर्शीकरण है, लेकिन कोई भी तरंग क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र में केंद्रित है (उदाहरण के लिए, निर्देशित) पारेषण रेखाएँया वेवगाइड),सुपरपोजिशन पी के रूप में दर्शाया जा सकता है। वी एक या दूसरे स्थानिक स्पेक्ट्रम के साथ क।इस मामले में, लहर में अभी भी एक गैर-समान आयाम वितरण के साथ एक सपाट चरण मोर्चा हो सकता है। ऐसे पी. वि. बुलाया समतल अमानवीय तरंगें। विभाग क्षेत्रगोलाकार या बेलनाकार वे तरंगें जो चरण अग्रभाग की वक्रता त्रिज्या की तुलना में छोटी होती हैं, लगभग पीटी की तरह व्यवहार करती हैं।

लिटकला के अंतर्गत देखें। लहर की।

एम. ए. मिलर, एल. ए. ओस्ट्रोव्स्की।

भौतिक विश्वकोश. 5 खंडों में. - एम.: सोवियत विश्वकोश. प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव. 1988 .

तरंगों से जुड़ी अधिकांश समस्याओं के लिए, किसी न किसी समय माध्यम में विभिन्न बिंदुओं के दोलनों की स्थिति जानना महत्वपूर्ण है। यदि उनके दोलनों के आयाम और चरण ज्ञात हों तो माध्यम में बिंदुओं की स्थिति निर्धारित की जाएगी। अनुप्रस्थ तरंगों के लिए ध्रुवीकरण की प्रकृति को जानना भी आवश्यक है। एक समतल रैखिक रूप से ध्रुवीकृत तरंग के लिए, एक अभिव्यक्ति होना पर्याप्त है जो आपको विस्थापन c(x, टी)समन्वय के साथ माध्यम में किसी भी बिंदु की संतुलन स्थिति से एक्स,किसी भी समय टी।इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है तरंग समीकरण.

चावल। 2.21.

आइए तथाकथित पर विचार करें दौड़ती हुई लहर,वे। एक समतल तरंगाग्र वाली तरंग एक विशिष्ट दिशा में फैलती है (उदाहरण के लिए, x-अक्ष के अनुदिश)। मान लीजिए कि समतल तरंगों के स्रोत से ठीक सटे माध्यम के कण हार्मोनिक नियम के अनुसार दोलन करते हैं; %(0, /) = = LsobsoG (चित्र 2.21)। चित्र 2.21 में, ए^(0 के माध्यम से, टी)चित्र के लंबवत तल में पड़े और चयनित समन्वय प्रणाली में समन्वय रखने वाले माध्यम के कणों के विस्थापन को इंगित करता है एक्स= समय पर 0 टी।समय की उत्पत्ति को इसलिए चुना जाता है ताकि कोसाइन फ़ंक्शन के माध्यम से परिभाषित दोलनों का प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हो। एक्सिस एक्सबीम के साथ संगत, यानी कंपन प्रसार की दिशा के साथ. इस स्थिति में, तरंग अग्रभाग अक्ष के लंबवत होता है एक्स,ताकि इस तल में पड़े कण एक चरण में दोलन करेंगे। किसी दिए गए माध्यम में तरंग का अग्र भाग अक्ष के अनुदिश गति करता है एक्सगति के साथ औरकिसी दिए गए माध्यम में तरंग प्रसार।

आइए एक व्यंजक खोजें? (x, टी)स्रोत से दूर माध्यम के कणों का x दूरी पर विस्थापन। यह वह दूरी है जो तरंग अग्रभाग तय करता है

समय में परिणामस्वरूप, स्रोत से कुछ दूरी पर एक समतल में पड़े कणों का दोलन होता है एक्स,स्रोत से सीधे सटे कणों के दोलनों से समय में m की मात्रा का अंतराल होगा। ये कण (निर्देशांक x के साथ) हार्मोनिक कंपन भी करेंगे। अवमंदन के अभाव में, आयाम एदोलन (एक समतल तरंग के मामले में) x निर्देशांक पर निर्भर नहीं होंगे, अर्थात।

यह आवश्यक समीकरण है दौड़ती लहर की उदासी(नीचे चर्चा किए गए तरंग समीकरण से भ्रमित न हों!) समीकरण, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, हमें विस्थापन निर्धारित करने की अनुमति देता है % समय के क्षण में निर्देशांक x के साथ माध्यम के कण टी।दोलन का चरण निर्भर करता है

दो चर पर: कण और समय के x निर्देशांक पर टी।किसी निश्चित समय पर, विभिन्न कणों के दोलन के चरण, आम तौर पर अलग-अलग होंगे, लेकिन उन कणों की पहचान करना संभव है जिनके दोलन एक ही चरण में (चरण में) होंगे। हम यह भी मान सकते हैं कि इन कणों के दोलनों के बीच चरण अंतर बराबर है 2पीटी(कहाँ टी = 1, 2, 3,...) एक ही चरण में दोलन करते हुए गतिमान तरंग के दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी कहलाती है तरंग दैर्ध्य एक्स.

आइए तरंग दैर्ध्य संबंध खोजें एक्समाध्यम में दोलनों के प्रसार को दर्शाने वाली अन्य मात्राओं के साथ। तरंग दैर्ध्य की प्रस्तुत परिभाषा के अनुसार हम लिख सकते हैं

या संक्षिप्ताक्षरों के बाद चूँकि , तब

यह अभिव्यक्ति हमें तरंग दैर्ध्य की एक अलग परिभाषा देने की अनुमति देती है: तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर माध्यम के कणों के कंपन को कंपन की अवधि के बराबर समय में फैलने का समय मिलता है।

तरंग समीकरण से दोहरी आवधिकता का पता चलता है: समन्वय और समय में: ^(एक्स, टी) = जेड,(एक्स + एनके, टी) = एल,(एक्स, टी + एमटी) = ​​टीएक्स + पीएक्स, एमएल),कहाँ पीट -कोई भी पूर्णांक. उदाहरण के लिए, आप कणों के निर्देशांक ठीक कर सकते हैं (डालें)। एक्स = const) और उनके विस्थापन को समय का फलन मानें। या, इसके विपरीत, समय में एक पल तय करें (स्वीकार करें)। टी =स्थिरांक) और कणों के विस्थापन को निर्देशांक के एक फलन के रूप में मानें (विस्थापन की तात्कालिक स्थिति एक तरंग की तात्कालिक तस्वीर है)। इसलिए, घाट पर रहते हुए आप किसी भी समय कैमरे का उपयोग कर सकते हैं टीसमुद्र की सतह की तस्वीर खींचिए, लेकिन आप समुद्र में एक चिप फेंककर (अर्थात् निर्देशांक को ठीक करके) ऐसा कर सकते हैं एक्स),समय के साथ इसके उतार-चढ़ाव पर नज़र रखें। इन दोनों मामलों को चित्र में ग्राफ़ के रूप में दिखाया गया है। 2.21, एसी।

तरंग समीकरण (2.125) को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है

रिश्ता दर्शाया गया है कोऔर कहा जाता है तरंग संख्या

क्योंकि , वह

तरंग संख्या इस प्रकार दर्शाती है कि लंबाई की 2l इकाइयों के एक खंड में कितनी तरंग दैर्ध्य फिट होती है। तरंग संख्या को तरंग के समीकरण में शामिल करके, हम सकारात्मक दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का समीकरण प्राप्त करते हैं ओहतरंगें सबसे अधिक प्रयुक्त रूप में

आइए हम विभिन्न तरंग सतहों से संबंधित दो कणों के कंपन के चरण अंतर डेर से संबंधित एक अभिव्यक्ति खोजें एक्सऔर एक्स 2. तरंग समीकरण (2.131) का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

यदि हम निरूपित करते हैं या (2.130) के अनुसार

किसी समतल दिशा में प्रसारित होने वाली तरंग को सामान्य स्थिति में समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है

कहाँ जी-त्रिज्या वेक्टर मूल से तरंग सतह पर पड़े कण तक खींचा गया; को -तरंग संख्या (2.130) के परिमाण के बराबर एक तरंग वेक्टर और तरंग प्रसार की दिशा में तरंग सतह के अभिलंब के साथ मेल खाता है।

तरंग समीकरण को लिखने का एक जटिल रूप भी संभव है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अक्ष के अनुदिश प्रसारित होने वाली समतल तरंग के मामले में एक्स

और मनमानी दिशा की समतल तरंग के सामान्य मामले में

किसी भी सूचीबद्ध रूप में तरंग समीकरण को अंतर समीकरण के समाधान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है तरंग समीकरण.यदि हम इस समीकरण का हल (2.128) या (2.135) - यात्रा तरंग समीकरण के रूप में जानते हैं, तो तरंग समीकरण को खोजना मुश्किल नहीं है। आइए 4(x, टी) = %(2.135) से दो बार निर्देशांक में और दो बार समय में और हमें मिलता है

प्राप्त व्युत्पन्नों के माध्यम से व्यक्त करने और परिणामों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

संबंध (2.129) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं

यह तरंग समीकरण हैएक आयामी मामले के लिए.

सामान्य शब्दों में?, = सी(एक्स, वाई, जेड,/) कार्टेशियन निर्देशांक में तरंग समीकरण इस तरह दिखता है

या अधिक संक्षिप्त रूप में:

जहां D लाप्लास डिफरेंशियल ऑपरेटर है

चरण गतिएक ही चरण में दोलन करने वाले तरंग बिंदुओं के प्रसार की गति है। दूसरे शब्दों में, यह "शिखा", "गर्त" या लहर के किसी अन्य बिंदु की गति की गति है, जिसका चरण निश्चित है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, तरंग अग्र भाग (और इसलिए कोई भी तरंग सतह) अक्ष के अनुदिश गति करता है ओहगति के साथ और।नतीजतन, माध्यम में दोलनों के प्रसार की गति दोलनों के किसी दिए गए चरण की गति की गति से मेल खाती है। इसलिए गति और,संबंध (2.129) द्वारा निर्धारित, अर्थात

आमतौर पर कहा जाता है चरण गति.

वही परिणाम माध्यम में उन बिंदुओं की गति ज्ञात करके प्राप्त किया जा सकता है जो निरंतर चरण सह/- शुल्क = स्थिरांक की स्थिति को पूरा करते हैं। यहां से हम समय पर निर्देशांक की निर्भरता (co/- const) और इस चरण की गति की गति का पता लगाते हैं

जो (2.142) से मेल खाता है।

समतल यात्रा तरंग ऋणात्मक अक्ष दिशा में फैलती है ओह,समीकरण द्वारा वर्णित

दरअसल, इस मामले में चरण वेग नकारात्मक है

किसी दिए गए माध्यम में चरण वेग स्रोत की दोलन आवृत्ति पर निर्भर हो सकता है। आवृत्ति पर चरण वेग की निर्भरता कहलाती है फैलाव,और जिन वातावरणों में यह निर्भरता होती है उन्हें कहा जाता है बिखरा हुआ मीडिया.हालाँकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि अभिव्यक्ति (2.142) संकेतित निर्भरता है। बात यह है कि प्रकीर्णन के अभाव में तरंग संख्या कोप्रत्यक्ष अनुपात में

साथ और इसलिए . फैलाव तभी होता है जब ω निर्भर करता है कोअरैखिक)।

यात्राशील समतल तरंग कहलाती है एकरंगा (एक आवृत्ति वाले),यदि स्रोत में कंपन हार्मोनिक हैं। मोनोक्रोमैटिक तरंगें फॉर्म (2.131) के समीकरण के अनुरूप होती हैं।

एकवर्णी तरंग के लिए, कोणीय आवृत्ति सह और आयाम एसमय पर निर्भर न रहें. इसका अर्थ यह है कि एकवर्णी तरंग अंतरिक्ष में असीमित और समय में अनंत है, अर्थात। एक आदर्श मॉडल है. कोई भी वास्तविक तरंग, चाहे आवृत्ति और आयाम की स्थिरता को कितनी भी सावधानी से बनाए रखा जाए, एकवर्णी नहीं होती है। एक वास्तविक लहर अनिश्चित काल तक नहीं रहती है, बल्कि एक निश्चित स्थान पर निश्चित समय पर शुरू और समाप्त होती है, और इसलिए, ऐसी लहर का आयाम समय और इस स्थान के निर्देशांक का एक कार्य है। हालाँकि, समय अंतराल जितना लंबा होता है, जिसके दौरान दोलनों का आयाम और आवृत्ति स्थिर रहती है, यह तरंग मोनोक्रोमैटिक के उतनी ही करीब होती है। अक्सर व्यवहार में, एक मोनोक्रोमैटिक तरंग को तरंग का एक पर्याप्त बड़ा खंड कहा जाता है, जिसके भीतर आवृत्ति और आयाम नहीं बदलते हैं, जैसे साइन तरंग के एक खंड को चित्र में दर्शाया गया है, और इसे साइन तरंग कहा जाता है।