अवकल समीकरणों को हल करने के लिए स्वतंत्र चर के कुछ मानों के लिए आश्रित चर और उसके व्युत्पन्न का मान जानना आवश्यक है। यदि अज्ञात के एक मान के लिए अतिरिक्त शर्तें निर्दिष्ट की जाती हैं, अर्थात। स्वतंत्र चर, तो ऐसी समस्या को कॉची समस्या कहा जाता है। यदि प्रारंभिक शर्तें स्वतंत्र चर के दो या दो से अधिक मानों के लिए निर्दिष्ट की जाती हैं, तो समस्या को सीमा मान समस्या कहा जाता है। विभिन्न प्रकार के विभेदक समीकरणों को हल करते समय, जिस फ़ंक्शन के मान निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, उसकी गणना एक तालिका के रूप में की जाती है।

अंतरों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों का वर्गीकरण। लव. प्रकार.

कॉची समस्या - एक-चरण: यूलर विधियाँ, रंज-कुट्टा विधियाँ; - बहु-चरण: मुख्य विधि, एडम्स विधि। सीमा समस्या - कॉची समस्या में सीमा समस्या को कम करने की एक विधि; – परिमित अंतर विधि.

कॉची समस्या को हल करते समय, अंतर निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। आपका. क्रम n या अंतर की प्रणाली। आपका. n समीकरणों का पहला क्रम और इसके समाधान के लिए n अतिरिक्त शर्तें। स्वतंत्र चर के समान मान के लिए अतिरिक्त शर्तें निर्दिष्ट की जानी चाहिए। सीमा समस्या को हल करते समय, समीकरण निर्दिष्ट किए जाने चाहिए। nवाँ क्रम या n समीकरणों की एक प्रणाली और स्वतंत्र चर के दो या दो से अधिक मानों के लिए n अतिरिक्त शर्तें। कॉची समस्या को हल करते समय, आवश्यक फ़ंक्शन को एक निश्चित निर्दिष्ट चरण के साथ तालिका के रूप में विवेकपूर्वक निर्धारित किया जाता है। प्रत्येक क्रमिक मान का निर्धारण करते समय, आप एक पिछले बिंदु के बारे में जानकारी का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, विधियों को एक-चरणीय कहा जाता है, या आप कई पिछले बिंदुओं के बारे में जानकारी का उपयोग कर सकते हैं - बहु-चरणीय विधियाँ।

सामान्य अवकल समीकरण। कॉची समस्या. एक-चरणीय विधियाँ. यूलर की विधि.

दिया गया है: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( एक्स 0)=य 0 . यह ज्ञात है: f(x,y), x 0 , y 0। असतत समाधान निर्धारित करें: x i , y i , i=0,1,…,n. यूलर की विधि बिंदु x 0 के आसपास टेलर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार पर आधारित है। पड़ोस का वर्णन चरण एच द्वारा किया गया है। y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). यूलर की विधि टेलर श्रृंखला के केवल दो शब्दों को ध्यान में रखती है। आइए कुछ संकेतन का परिचय दें। यूलर का सूत्र इस प्रकार होगा: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), मैं= 0,1,2…, एक्स मैं+1 =एक्स मैं +एच

सूत्र (2) सरल यूलर विधि का सूत्र है।

यूलर के सूत्र की ज्यामितीय व्याख्या

संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए, समीकरण से गुजरने वाली स्पर्शरेखा रेखा का उपयोग किया जाता है। स्पर्शरेखा: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), क्योंकि

x-x 0 =h, फिर y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

संशोधित यूलर विधि

दिया गया है: y=f(x,y), y(x 0)=y 0। यह ज्ञात है: f(x,y), x 0 , y 0 . निर्धारित करें: सारणीबद्ध असतत फ़ंक्शन के रूप में x पर y की निर्भरता: x i, y i, i=0.1,…,n।

ज्यामितीय व्याख्या

1) प्रारंभिक बिंदु पर झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा की गणना करें

टीजी £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) मान की गणना करें  y n+1 पर

यूलर के सूत्र के अनुसार चरण का अंत

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) झुकाव कोण की स्पर्शरेखा की गणना करें

n+1 बिंदु पर स्पर्शरेखा: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) कोणों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें

झुकाव: टीजी £=½. 5) ढलान कोण के स्पर्शरेखा का उपयोग करते हुए, हम n+1 बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की पुनर्गणना करते हैं: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h - संशोधित यूलर विधि का सूत्र। यह दिखाया जा सकता है कि परिणामी एफ-एलए टेलर श्रृंखला में एफ-आई के विस्तार से मेल खाता है, जिसमें शब्द (एच 2 तक) शामिल हैं। संशोधित ईलनरा विधि, सरल विधि के विपरीत, दूसरे क्रम की सटीकता की एक विधि है, क्योंकि त्रुटि h 2 के समानुपाती है।

हम केवल कॉची समस्या के समाधान पर विचार करते हैं। विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली या एक समीकरण को रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए

कहाँ ,
–एन-आयामी वैक्टर; य– अज्ञात वेक्टर फ़ंक्शन; एक्स– स्वतंत्र तर्क,
. विशेषकर, यदि एन= 1, तो सिस्टम एक अंतर समीकरण में बदल जाता है। प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार निर्धारित की गई हैं:
, कहाँ
.

अगर
एक बिंदु के आसपास
निरंतर है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं य, तो अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय गारंटी देता है कि केवल एक सतत वेक्टर फ़ंक्शन है
, में परिभाषित किया गया है कुछएक बिंदु का पड़ोस , संतोषजनक समीकरण (7) और स्थिति
.

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि बिंदु का पड़ोस , जहां समाधान निर्धारित है, बहुत छोटा हो सकता है। इस पड़ोस की सीमा के करीब पहुंचने पर, समाधान अनंत तक जा सकता है, असीम रूप से बढ़ती आवृत्ति के साथ दोलन कर सकता है, सामान्य तौर पर इतना खराब व्यवहार कर सकता है कि इसे पड़ोस की सीमा से परे जारी नहीं रखा जा सकता है। तदनुसार, ऐसे समाधान को बड़े खंड पर संख्यात्मक तरीकों से ट्रैक नहीं किया जा सकता है, यदि कोई समस्या विवरण में निर्दिष्ट है।

कॉची समस्या का समाधान [ ए; बी] एक फ़ंक्शन है. संख्यात्मक तरीकों में, फ़ंक्शन को एक तालिका (तालिका 1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

तालिका नंबर एक

यहाँ
,
. आसन्न तालिका नोड्स के बीच की दूरी आमतौर पर स्थिर मानी जाती है:
,
.

परिवर्तनीय चरणों वाली तालिकाएँ हैं। तालिका चरण इंजीनियरिंग समस्या की आवश्यकताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है और जुड़े नहीं हैंसमाधान खोजने की सटीकता के साथ.

अगर यएक वेक्टर है, तो समाधान मानों की तालिका एक तालिका का रूप ले लेगी। 2.

तालिका 2

MATHCAD प्रणाली में, एक तालिका के बजाय एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है, और इसे निर्दिष्ट तालिका के संबंध में स्थानांतरित किया जाता है।

कॉची समस्या को सटीकता से हल करें ε निर्दिष्ट तालिका में मान प्राप्त करना है (संख्या या वेक्टर),
, ऐसा है कि
, कहाँ
- सटीक समाधान. यह संभव है कि समस्या में निर्दिष्ट खंड का समाधान जारी न रहे। फिर आपको यह उत्तर देने की आवश्यकता है कि समस्या को पूरे खंड पर हल नहीं किया जा सकता है, और आपको उस खंड पर समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता है जहां यह मौजूद है, इस खंड को जितना संभव हो उतना बड़ा बनाना।

यह याद रखना चाहिए कि सटीक समाधान
हम नहीं जानते (अन्यथा संख्यात्मक विधि का उपयोग क्यों करें?)। श्रेणी
किसी अन्य आधार पर उचित ठहराया जाना चाहिए। एक नियम के रूप में, 100% गारंटी प्राप्त करना संभव नहीं है कि मूल्यांकन किया जा रहा है। इसलिए, मूल्य का अनुमान लगाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है
, जो अधिकांश इंजीनियरिंग समस्याओं में कारगर साबित होते हैं।

कॉची समस्या को हल करने का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार है। रेखा खंड [ ए; बी] को एकीकरण नोड्स द्वारा कई खंडों में विभाजित किया गया है। नोड्स की संख्या कनोड्स की संख्या से मेल खाना जरूरी नहीं है एमनिर्णय मूल्यों की अंतिम तालिका (तालिका 1, 2)। आम तौर पर, क > एम. सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि नोड्स के बीच की दूरी स्थिर है,
;एचएकीकरण कदम कहा जाता है. फिर, कुछ एल्गोरिदम के अनुसार, मूल्यों को जानना पर मैं < एस, मूल्य की गणना करें . कदम उतना ही छोटा एच, मान उतना ही कम होगा सटीक समाधान के मूल्य से भिन्न होगा
. कदम एचइस विभाजन में पहले से ही इंजीनियरिंग समस्या की आवश्यकताओं से नहीं, बल्कि कॉची समस्या को हल करने की आवश्यक सटीकता से निर्धारित किया गया है। इसके अलावा, इसे चुना जाना चाहिए ताकि एक चरण में तालिका हो। 1, 2 चरणों की पूर्णांक संख्या में फ़िट होते हैं एच. इस मामले में मान य, चरणों के साथ गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया एचबिंदुओं पर
, तालिका के अनुसार उपयोग किया जाता है। 1 ओर 2।

समीकरण (7) के लिए कॉची समस्या को हल करने के लिए सबसे सरल एल्गोरिदम यूलर विधि है। गणना सूत्र है:

(8)

आइए देखें कि पाए गए समाधान की सटीकता का आकलन कैसे किया जाता है। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं
कॉची समस्या का सटीक समाधान है, और वह भी
, हालाँकि लगभग हमेशा ऐसा नहीं होता है। फिर स्थिरांक कहां है सीकार्य पर निर्भर करता है
एक बिंदु के आसपास
. इस प्रकार, एकीकरण के एक चरण (समाधान खोजने) पर हमें क्रम की त्रुटि मिलती है . क्योंकि कदम तो उठाने ही होंगे
, तो यह उम्मीद करना स्वाभाविक है कि अंतिम बिंदु पर पूर्ण त्रुटि होगी
सब कुछ ठीक हो जाएगा
, अर्थात। आदेश एच. इसलिए, यूलर की विधि को प्रथम क्रम विधि कहा जाता है, अर्थात। त्रुटि में चरण की पहली शक्ति का क्रम है एच. वास्तव में, एकीकरण के एक चरण में निम्नलिखित अनुमान को उचित ठहराया जा सकता है। होने देना
- प्रारंभिक स्थिति के साथ कॉची समस्या का सटीक समाधान
. यह स्पष्ट है कि
आवश्यक सटीक समाधान से मेल नहीं खाता
समीकरण की मूल कॉची समस्या (7)। हालाँकि, छोटे स्तर पर एचऔर "अच्छा" कार्य
ये दो सटीक समाधान थोड़ा भिन्न होंगे। टेलर शेषफल सूत्र यह सुनिश्चित करता है
, यह एकीकरण चरण त्रुटि देता है। अंतिम त्रुटि में न केवल प्रत्येक एकीकरण चरण में त्रुटियां शामिल हैं, बल्कि वांछित सटीक समाधान के विचलन भी शामिल हैं
सटीक समाधान से
,
, और ये विचलन बहुत बड़े हो सकते हैं। हालाँकि, "अच्छे" फ़ंक्शन के लिए यूलर विधि में त्रुटि का अंतिम अनुमान
अभी भी दिखता है
,
.

यूलर की विधि लागू करते समय, गणना निम्नानुसार आगे बढ़ती है। निर्दिष्ट सटीकता के अनुसार ε अनुमानित चरण निर्धारित करें
. चरणों की संख्या का निर्धारण
और फिर से लगभग चरण का चयन करें
. फिर हम इसे नीचे की ओर समायोजित करते हैं ताकि प्रत्येक चरण पर तालिका हो। 1 या 2 एकीकरण चरणों की पूर्णांक संख्या में फिट होते हैं। हमें एक कदम मिलता है एच. सूत्र (8) के अनुसार जानना और , हम देखतें है। पाए गए मूल्य से और
हम बहुत कुछ पाते हैं।

परिणामी परिणाम में वांछित सटीकता नहीं हो सकती है और आमतौर पर नहीं होगी। इसलिए, हम चरण को आधा कर देते हैं और फिर से यूलर विधि लागू करते हैं। हम विधि के पहले अनुप्रयोग और दूसरे के परिणामों की तुलना करते हैं समानअंक . यदि सभी विसंगतियाँ निर्दिष्ट सटीकता से कम हैं, तो अंतिम गणना परिणाम को समस्या का उत्तर माना जा सकता है। यदि नहीं, तो हम चरण को फिर से आधा कर देते हैं और यूलर की विधि को फिर से लागू करते हैं। अब हम विधि के अंतिम और अंतिम प्रयोग आदि के परिणामों की तुलना करते हैं।

किसी निश्चित सटीकता को प्राप्त करने के लिए यूलर विधि का प्रयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है ε के क्रम में बड़ी संख्या में कदमों की आवश्यकता होती है
. हालांकि, यदि
असंततताएं या असंतत व्युत्पन्न हैं, तो उच्च क्रम की विधियां यूलर की विधि के समान त्रुटि उत्पन्न करेंगी। अर्थात्, यूलर विधि के समान ही गणनाओं की आवश्यकता होगी।

उच्च क्रम की विधियों में से, चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इसमें सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है

यह विधि, फ़ंक्शन के निरंतर चौथे व्युत्पन्न की उपस्थिति में
आदेश के एक चरण पर त्रुटि देता है , अर्थात। ऊपर प्रस्तुत संकेतन में,
. सामान्य तौर पर, एकीकरण अंतराल पर, बशर्ते कि इस अंतराल पर सटीक समाधान निर्धारित किया गया हो, एकीकरण त्रुटि के क्रम की होगी .

एकीकरण चरण का चयन उसी तरह से होता है जैसा कि यूलर की विधि में वर्णित है, सिवाय इसके कि चरण का प्रारंभिक अनुमानित मूल्य संबंध से चुना गया है
, अर्थात।
.

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अधिकांश प्रोग्राम स्वचालित चरण चयन का उपयोग करते हैं। इसका सार यह है. मान लीजिए कि मूल्य की गणना पहले ही की जा चुकी है . मूल्य की गणना की जाती है
वेतन वृद्धि में एच, गणना के दौरान चुना गया . फिर दो एकीकरण चरणों को चरणबद्ध तरीके से निष्पादित किया जाता है , अर्थात। अतिरिक्त नोड जोड़ा गया है
नोड्स के बीच में और
. दो मानों की गणना की जाती है
और
नोड्स में
और
. मूल्य की गणना की जाती है
, कहाँ पी- विधि क्रम. अगर δ उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो इसे मान लिया जाता है
. यदि नहीं, तो एक नया चरण चुनें एचबराबर करें और सटीकता जांच दोहराएं। यदि पहली जांच के दौरान δ निर्दिष्ट सटीकता से बहुत कम है, तो चरण बढ़ाने का प्रयास किया जाता है। इसी उद्देश्य से इसकी गणना की जाती है
नोड पर
वेतन वृद्धि में एचनोड से
और गणना की जाती है
2 के चरणों में एचनोड से . मूल्य की गणना की जाती है
. अगर निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो चरण 2 एचस्वीकार्य माना जाता है. इस मामले में, एक नया चरण सौंपा गया है
,
,
. अगर अधिक सटीकता, तो चरण वही छोड़ दिया जाता है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एकीकरण चरण के स्वचालित चयन वाले प्रोग्राम केवल एक चरण निष्पादित करते समय निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करते हैं। यह बिंदु से गुजरने वाले समाधान के सन्निकटन की सटीकता के कारण होता है
, अर्थात। समाधान का सन्निकटन
. ऐसे कार्यक्रम इस बात पर ध्यान नहीं देते कि समाधान कितना है
वांछित समाधान से भिन्न है
. इसलिए, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि संपूर्ण एकीकरण अंतराल के दौरान निर्दिष्ट सटीकता हासिल की जाएगी।

वर्णित यूलर और रनगे-कुट्टा विधियाँ एक-चरणीय विधियों के समूह से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि गणना करना
बिंदु पर
मतलब जानना ही काफी है नोड पर . यह अपेक्षा करना स्वाभाविक है कि यदि किसी निर्णय के बारे में अधिक जानकारी का उपयोग किया जाता है, तो निर्णय के कई पिछले मूल्यों को ध्यान में रखा जाएगा
,
आदि, फिर नया मान
अधिक सटीक रूप से पता लगाना संभव होगा। इस रणनीति का उपयोग बहु-चरणीय विधियों में किया जाता है। उनका वर्णन करने के लिए, हम संकेतन का परिचय देते हैं
.

बहु-चरणीय विधियों के प्रतिनिधि एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ हैं:

तरीका क-वां ऑर्डर स्थानीय ऑर्डर त्रुटि देता है
या वैश्विक - क्रम .

ये विधियाँ एक्सट्रपलेशन विधियों के समूह से संबंधित हैं, अर्थात्। नया अर्थ पिछले अर्थों के माध्यम से स्पष्ट रूप से व्यक्त होता है। दूसरा प्रकार प्रक्षेप विधियाँ है। उनमें, प्रत्येक चरण पर, आपको एक नए मान के लिए एक अरेखीय समीकरण को हल करना होता है . आइए एक उदाहरण के रूप में एडम्स-मौल्टन विधियों को लें:

इन विधियों का उपयोग करने के लिए, आपको गिनती की शुरुआत में कई मान जानने होंगे
(उनकी संख्या विधि के क्रम पर निर्भर करती है)। इन मूल्यों को अन्य तरीकों से प्राप्त किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए एक छोटे कदम के साथ रनगे-कुट्टा विधि (सटीकता बढ़ाने के लिए)। कई मामलों में इंटरपोलेशन विधियां अधिक स्थिर होती हैं और एक्सट्रपलेशन विधियों की तुलना में बड़े कदम उठाने की अनुमति देती हैं।

प्रक्षेप विधियों में प्रत्येक चरण पर एक अरेखीय समीकरण को हल न करने के लिए, एडम्स भविष्यवक्ता-सुधार विधियों का उपयोग किया जाता है। लब्बोलुआब यह है कि एक्सट्रपलेशन विधि को पहले चरण और परिणामी मूल्य पर लागू किया जाता है
इंटरपोलेशन विधि के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया गया है। उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम की विधि में

अवकल समीकरणों का संख्यात्मक समाधान

विज्ञान और प्रौद्योगिकी में कई समस्याएं साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) को हल करने में आती हैं। ODE वे समीकरण हैं जिनमें वांछित फ़ंक्शन के एक या अधिक व्युत्पन्न होते हैं। सामान्य तौर पर, ODE को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहां x एक स्वतंत्र चर है, वांछित फ़ंक्शन का i-वां व्युत्पन्न है। n समीकरण का क्रम है. nवें क्रम वाले ODE के सामान्य समाधान में n मनमाना स्थिरांक होते हैं, अर्थात। सामान्य समाधान का रूप है।

एकल समाधान का चयन करने के लिए, n अतिरिक्त शर्तें निर्धारित करना आवश्यक है। अतिरिक्त शर्तों को निर्दिष्ट करने की विधि के आधार पर, दो अलग-अलग प्रकार की समस्याएं होती हैं: कॉची समस्या और सीमा मूल्य समस्या। यदि एक बिंदु पर अतिरिक्त शर्तें निर्दिष्ट की जाती हैं, तो ऐसी समस्या को कॉची समस्या कहा जाता है। कॉची समस्या में अतिरिक्त स्थितियों को प्रारंभिक स्थितियाँ कहा जाता है। यदि अतिरिक्त शर्तें एक से अधिक बिंदुओं पर निर्दिष्ट की जाती हैं, अर्थात। स्वतंत्र चर के विभिन्न मानों के लिए, तो ऐसी समस्या को सीमा मान समस्या कहा जाता है। अतिरिक्त शर्तों को ही सीमा या परिसीमा स्थितियाँ कहा जाता है।

यह स्पष्ट है कि जब n=1 हम केवल कॉची समस्या के बारे में बात कर सकते हैं।

कॉची समस्या की स्थापना के उदाहरण:

सीमा मूल्य समस्याओं के उदाहरण:

केवल कुछ विशेष प्रकार के समीकरणों के लिए ही ऐसी समस्याओं का विश्लेषणात्मक समाधान संभव है।

प्रथम-क्रम ODE के लिए कॉची समस्या को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके

समस्या का निरूपण. प्रथम क्रम ODE का समाधान खोजें

दिए गए खंड पर

अनुमानित समाधान ढूंढते समय, हम मान लेंगे कि गणना गणना चरण के साथ की जाती है, गणना नोड्स अंतराल बिंदु हैं [ एक्स 0 , एक्स एन ].

लक्ष्य एक टेबल बनाना है

एक्स मैं				एक्स एन
य मैं				य एन

वे। ग्रिड नोड्स पर y के अनुमानित मान मांगे गए हैं।

अंतराल पर समीकरण को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने का एक पूरी तरह से प्राकृतिक (लेकिन एकमात्र नहीं) तरीका यह है कि इसमें अभिन्न को संख्यात्मक एकीकरण के कुछ चतुर्भुज सूत्र से बदल दिया जाए। यदि हम पहले क्रम के बाएँ आयतों के लिए सबसे सरल सूत्र का उपयोग करते हैं

,

तो हम पाते हैं स्पष्ट यूलर सूत्र:

भुगतान प्रक्रिया:

जानकर, हम पाते हैं, फिर आदि।

यूलर की विधि की ज्यामितीय व्याख्या:

जो बिंदु पर है उसका लाभ उठाना एक्स 0 समाधान ज्ञात है य(एक्स 0)=य 0 और इसके व्युत्पन्न का मान, हम बिंदु पर वांछित फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिख सकते हैं:। एक छोटे से कदम के साथ एचमान के दाईं ओर प्रतिस्थापित करके प्राप्त इस स्पर्शरेखा की कोटि, कोटि से थोड़ी भिन्न होनी चाहिए य(एक्स 1) समाधान य(एक्स) कॉची समस्याएँ। इसलिए, रेखा के साथ स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स = एक्स 1 को लगभग नये आरंभिक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है। इस बिंदु के माध्यम से हम फिर से एक सीधी रेखा खींचते हैं, जो लगभग बिंदु पर स्पर्शरेखा के व्यवहार को दर्शाती है। यहां प्रतिस्थापित करना (अर्थात रेखा के साथ प्रतिच्छेदन)। एक्स = एक्स 2), हमें एक अनुमानित मूल्य प्राप्त होता है य(एक्स) बिंदु पर एक्स 2: आदि. के लिए एक परिणाम के रूप में मैं-वें बिंदु पर हमें यूलर का सूत्र प्राप्त होता है।

स्पष्ट यूलर विधि में पहले क्रम की सटीकता या सन्निकटन होता है।

यदि आप सही आयत सूत्र का उपयोग करते हैं: , फिर हम विधि पर आते हैं

इस विधि को कहा जाता है अंतर्निहित यूलर विधि, क्योंकि किसी ज्ञात मान से अज्ञात मान की गणना करने के लिए एक ऐसे समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है जो आम तौर पर अरैखिक होता है।

अंतर्निहित यूलर विधि में पहले क्रम की सटीकता या सन्निकटन होता है।

इस पद्धति में, गणना में दो चरण होते हैं:

इस योजना को भविष्यवक्ता-सुधारक विधि (भविष्यवाणी-सुधार) भी कहा जाता है। पहले चरण में, अनुमानित मूल्य की भविष्यवाणी कम सटीकता (एच) के साथ की जाती है, और दूसरे चरण में इस भविष्यवाणी को सही किया जाता है ताकि परिणामी मूल्य में दूसरे क्रम की सटीकता हो।

रनगे-कुट्टा विधियाँ:स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियों के निर्माण का विचार पी-वां क्रम मानों का सन्निकटन प्राप्त करना है य(एक्स मैं+1) प्रपत्र के एक सूत्र के अनुसार

…………………………………………….

यहाँ ए एन ,बी न्यू जर्सी , पी एन, - कुछ निश्चित संख्याएँ (पैरामीटर)।

रनगे-कुट्टा विधियों का निर्माण करते समय, फ़ंक्शन के पैरामीटर ( ए एन ,बी न्यू जर्सी , पी एन) सन्निकटन का वांछित क्रम प्राप्त करने के लिए इस तरह से चुना जाता है।

सटीकता के चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा योजना:

उदाहरण. कॉची समस्या का समाधान करें:

तीन विधियों पर विचार करें: स्पष्ट यूलर विधि, संशोधित यूलर विधि, रनगे-कुट्टा विधि।

सटीक समाधान:

इस उदाहरण के लिए स्पष्ट यूलर विधि का उपयोग करके गणना सूत्र:

संशोधित यूलर विधि के गणना सूत्र:

रनगे-कुट्टा विधि के लिए गणना सूत्र:

y1 - यूलर की विधि, y2 - संशोधित यूलर की विधि, y3 - रंज कुट्टा की विधि।

यह देखा जा सकता है कि रूंज-कुट्टा विधि सबसे सटीक है।

प्रथम-क्रम ODE की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके

विचार की गई विधियों का उपयोग प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है।

आइए हम इसे दो प्रथम-क्रम समीकरणों की प्रणाली के मामले में दिखाएं:

स्पष्ट यूलर विधि:

संशोधित यूलर विधि:

सटीकता के चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा योजना:

उच्च क्रम के समीकरणों के लिए कॉची समस्याओं को भी ODE समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम कर दिया गया है। उदाहरण के लिए, विचार करें दूसरे क्रम के समीकरण के लिए कॉची समस्या

आइए एक दूसरे अज्ञात फ़ंक्शन का परिचय दें। फिर कॉची समस्या को निम्नलिखित द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

वे। पिछली समस्या के संदर्भ में: .

उदाहरण। कॉची समस्या का समाधान खोजें:

खंड पर.

सटीक समाधान:

वास्तव में:

आइए स्पष्ट यूलर विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करें, जिसे यूलर और रनगे-कुट्टा विधि द्वारा चरण h=0.2 के साथ संशोधित किया गया है।

आइए फ़ंक्शन का परिचय दें.

फिर हमें दो प्रथम-क्रम ODE की प्रणाली के लिए निम्नलिखित कॉची समस्या प्राप्त होती है:

स्पष्ट यूलर विधि:

संशोधित यूलर विधि:

रनगे-कुट्टा विधि:

यूलर सर्किट:

संशोधित यूलर विधि:

रनगे - कुट्टा योजना:

अधिकतम(y-y सिद्धांत)=4*10 -5

ODE के लिए सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए परिमित अंतर विधि

समस्या का निरूपण: एक रैखिक अवकल समीकरण का हल खोजें

सीमा शर्तों को पूरा करना:. (2)

प्रमेय.होने देना । फिर समस्या का एक अनोखा समाधान है।

यह समस्या, उदाहरण के लिए, एक बीम के विक्षेपण को निर्धारित करने की समस्या को कम कर देती है जो इसके सिरों पर टिका होता है।

परिमित अंतर विधि के मुख्य चरण:

1) तर्क के निरंतर परिवर्तन के क्षेत्र को बिंदुओं के एक अलग सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसे नोड्स कहा जाता है:।

2) निरंतर तर्क x का वांछित फ़ंक्शन लगभग किसी दिए गए ग्रिड पर असतत तर्क के फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अर्थात। . फ़ंक्शन को ग्रिड फ़ंक्शन कहा जाता है.

3) मूल अंतर समीकरण को ग्रिड फ़ंक्शन के संबंध में एक अंतर समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रतिस्थापन को अंतर सन्निकटन कहा जाता है।

इस प्रकार, एक अंतर समीकरण को हल करना ग्रिड नोड्स पर ग्रिड फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए नीचे आता है, जो बीजगणितीय समीकरणों को हल करने से पाए जाते हैं।

डेरिवेटिव का अनुमान.

पहले व्युत्पन्न का अनुमान लगाने (प्रतिस्थापन) के लिए, आप सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

- सही अंतर व्युत्पन्न,

- वाम अंतर व्युत्पन्न,

केंद्रीय अंतर व्युत्पन्न.

अर्थात्, व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के कई संभावित तरीके हैं।

ये सभी परिभाषाएँ एक सीमा के रूप में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुसरण करती हैं: .

पहले व्युत्पन्न के अंतर सन्निकटन के आधार पर, हम दूसरे व्युत्पन्न के अंतर सन्निकटन का निर्माण कर सकते हैं:

इसी प्रकार, हम उच्च क्रम के डेरिवेटिव का अनुमान प्राप्त कर सकते हैं।

परिभाषा। nवें व्युत्पन्न की सन्निकटन त्रुटि अंतर है:।

सन्निकटन का क्रम निर्धारित करने के लिए, टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग किया जाता है।

आइए पहले व्युत्पन्न के दाहिने हाथ के अंतर सन्निकटन पर विचार करें:

वे। सही अंतर व्युत्पन्न है पहले एच द्वारासन्निकटन का क्रम.

वाम अंतर व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

केंद्रीय अंतर व्युत्पन्न है दूसरे क्रम का सन्निकटन.

सूत्र (3) के अनुसार दूसरे व्युत्पन्न के सन्निकटन में सन्निकटन का दूसरा क्रम भी होता है।

किसी अवकल समीकरण का सन्निकटन करने के लिए, उसके सभी अवकलजों को उनके सन्निकटनों से प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। आइए समस्या (1), (2) पर विचार करें और डेरिवेटिव को (1) में बदलें:

परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

(4)

मूल समस्या के सन्निकटन का क्रम 2 है, क्योंकि दूसरे और पहले डेरिवेटिव को ऑर्डर 2 से बदल दिया जाता है, और बाकी - बिल्कुल।

इसलिए, अंतर समीकरण (1), (2) के बजाय, ग्रिड नोड्स पर निर्धारण के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है।

आरेख को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यानी, हमें एक मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली:

यह मैट्रिक्स त्रिविकर्णीय है, अर्थात वे सभी तत्व जो मुख्य विकर्ण और उससे सटे दो विकर्णों पर स्थित नहीं हैं, शून्य के बराबर हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करके, हम मूल समस्या का समाधान प्राप्त करते हैं।

परिचय

वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करते समय, अक्सर किसी गतिशील प्रणाली का गणितीय वर्णन करना आवश्यक होता है। यह अंतर समीकरणों के रूप में सबसे अच्छा किया जाता है ( ड्यू) या विभेदक समीकरणों की प्रणाली। अक्सर, यह समस्या तब उत्पन्न होती है जब रासायनिक प्रतिक्रियाओं और विभिन्न स्थानांतरण घटनाओं (गर्मी, द्रव्यमान, गति) के मॉडलिंग कैनेटीक्स से संबंधित समस्याओं को हल करते समय - गर्मी हस्तांतरण, मिश्रण, सुखाने, सोखना, मैक्रो- और माइक्रोपार्टिकल्स के आंदोलन का वर्णन करते समय।

कुछ मामलों में, एक अंतर समीकरण को ऐसे रूप में बदला जा सकता है जिसमें उच्चतम व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जाता है। लेखन के इस रूप को उच्चतम व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया समीकरण कहा जाता है (इस मामले में, उच्चतम व्युत्पन्न समीकरण के दाईं ओर अनुपस्थित है):

एक साधारण अंतर समीकरण का समाधान एक फ़ंक्शन y(x) है, जो किसी भी x के लिए, एक निश्चित परिमित या अनंत अंतराल में इस समीकरण को संतुष्ट करता है। किसी अवकल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को अवकल समीकरण को एकीकृत करना कहा जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, प्रथम-क्रम ODE के लिए कॉची समस्या को संख्यात्मक रूप से हल करने का पहला और सरल तरीका यूलर विधि है। यह एक समान ग्रिड के नोड्स के बीच आश्रित (y) और स्वतंत्र (x) चर की परिमित वृद्धि के अनुपात द्वारा व्युत्पन्न के अनुमान पर आधारित है:

जहां y i+1 बिंदु x i+1 पर फ़ंक्शन का वांछित मान है।

यदि इंटीग्रल का अनुमान लगाने के लिए अधिक सटीक एकीकरण सूत्र का उपयोग किया जाता है तो यूलर की विधि की सटीकता में सुधार किया जा सकता है - समलम्बाकार सूत्र.

यह सूत्र y i+1 के संबंध में निहित है (यह मान अभिव्यक्ति के बाएं और दाएं दोनों तरफ है), यानी, यह y i+1 के संबंध में एक समीकरण है, जिसे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रूप से, कुछ पुनरावृत्तीय विधि का उपयोग करके (ऐसे रूप में, इसे सरल पुनरावृत्तीय विधि का पुनरावृत्तीय सूत्र माना जा सकता है)।

पाठ्यक्रम कार्य की संरचना: पाठ्यक्रम कार्य में तीन भाग होते हैं। पहले भाग में विधियों का संक्षिप्त विवरण है। दूसरे भाग में समस्या का निरूपण एवं समाधान बताया गया है। तीसरे भाग में - कंप्यूटर भाषा में सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन

पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य: अंतर समीकरणों को हल करने के लिए दो तरीकों का अध्ययन करना - यूलर-कॉची विधि और बेहतर यूलर विधि।

1. सैद्धांतिक भाग

संख्यात्मक विभेदन

अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक या अधिक अवकलज होते हैं। स्वतंत्र चरों की संख्या के आधार पर अवकल समीकरणों को दो श्रेणियों में विभाजित किया जाता है।

साधारण अंतर समीकरण (ओडीई)

आंशिक अंतर समीकरण।

साधारण अवकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें वांछित फ़ंक्शन के एक या अधिक व्युत्पन्न होते हैं। इन्हें ऐसे लिखा जा सकता है

स्वतंत्र चर

समीकरण (1) में शामिल उच्चतम क्रम को अवकल समीकरण का क्रम कहा जाता है।

सबसे सरल (रैखिक) ODE व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए क्रम का समीकरण (1) है

अवकल समीकरण (1) का समाधान कोई भी फ़ंक्शन है, जो समीकरण में प्रतिस्थापन के बाद, इसे एक पहचान में बदल देता है।

रैखिक ODE से जुड़ी मुख्य समस्या को काशा समस्या के रूप में जाना जाता है:

प्रारंभिक शर्त (3) को संतुष्ट करने वाले फलन के रूप में समीकरण (2) का हल खोजें

ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि समानता (2) संतुष्ट होने पर बिंदु से गुजरने वाले अभिन्न वक्र को ढूंढना आवश्यक है।

काशा समस्या के दृष्टिकोण से संख्यात्मक का अर्थ है: एक निश्चित चरण के साथ एक खंड पर समीकरण (2) और प्रारंभिक स्थिति (3) को संतुष्ट करने वाले फ़ंक्शन मानों की एक तालिका बनाना आवश्यक है। आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रारंभिक स्थिति खंड के बाएं छोर पर निर्दिष्ट है।

अवकल समीकरण को हल करने की सबसे सरल संख्यात्मक विधि यूलर विधि है। यह एक विभेदक समीकरण के समाधान को ग्राफिक रूप से बनाने के विचार पर आधारित है, लेकिन यह विधि संख्यात्मक रूप में या तालिका में वांछित फ़ंक्शन को खोजने का एक तरीका भी प्रदान करती है।

प्रारंभिक स्थिति के साथ समीकरण (2) दिया गया है, अर्थात काशा समस्या प्रस्तुत की गई है। आइए पहले निम्नलिखित समस्या को हल करें। सबसे सरल तरीके से एक निश्चित बिंदु पर समाधान का अनुमानित मूल्य ज्ञात करें जहां एक काफी छोटा कदम है। समीकरण (2) प्रारंभिक स्थिति (3) के साथ निर्देशांक वाले बिंदु पर वांछित अभिन्न वक्र के स्पर्शरेखा की दिशा निर्दिष्ट करें

स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है

इस स्पर्शरेखा के साथ चलते हुए, हमें बिंदु पर समाधान का अनुमानित मूल्य प्राप्त होता है:

किसी बिंदु पर अनुमानित समाधान होने पर, आप पहले वर्णित प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं: कोणीय गुणांक के साथ इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं, और इससे बिंदु पर समाधान का अनुमानित मान ज्ञात करें

. ध्यान दें कि यह रेखा वास्तविक अभिन्न वक्र की स्पर्शरेखा नहीं है, क्योंकि बिंदु हमारे लिए उपलब्ध नहीं है, लेकिन यदि यह काफी छोटा है, तो परिणामी अनुमानित मान समाधान के सटीक मानों के करीब होंगे।

इस विचार को जारी रखते हुए, आइए समान दूरी वाले बिंदुओं की एक प्रणाली बनाएं

आवश्यक फ़ंक्शन के मानों की एक तालिका प्राप्त करना

यूलर की विधि में सूत्र को चक्रीय रूप से लागू करना शामिल है

चित्र 1. यूलर की विधि की चित्रमय व्याख्या

विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण की विधियाँ, जिसमें समाधान एक नोड से दूसरे नोड तक प्राप्त किए जाते हैं, चरण-दर-चरण कहलाते हैं। यूलर की विधि चरण-दर-चरण विधियों का सबसे सरल प्रतिनिधि है। किसी भी चरण-दर-चरण विधि की एक विशेषता यह है कि दूसरे चरण से शुरू करके, सूत्र (5) में प्रारंभिक मान स्वयं अनुमानित होता है, अर्थात प्रत्येक बाद के चरण में त्रुटि व्यवस्थित रूप से बढ़ती है। ODE के अनुमानित संख्यात्मक समाधान के लिए चरण-दर-चरण विधियों की सटीकता का आकलन करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि किसी दिए गए खंड को एक चरण के साथ और एक चरण के साथ दो बार पारित करने की विधि है

1.1 उन्नत यूलर विधि

इस पद्धति का मुख्य विचार: सूत्र (5) द्वारा गणना किया गया अगला मान अधिक सटीक होगा यदि व्युत्पन्न का मान, यानी खंड पर अभिन्न वक्र को प्रतिस्थापित करने वाली सीधी रेखा के कोणीय गुणांक की गणना नहीं की जाती है बाएँ किनारे के साथ (अर्थात, बिंदु पर), लेकिन खंड के केंद्र में। लेकिन चूंकि बिंदुओं के बीच व्युत्पन्न के मूल्य की गणना नहीं की जाती है, हम केंद्र के साथ दोहरे खंडों पर आगे बढ़ते हैं, जिसमें बिंदु है, और सीधी रेखा का समीकरण रूप लेता है:

और सूत्र (5) रूप लेता है

सूत्र (7) केवल के लिए लागू किया जाता है, इसलिए, इससे मान प्राप्त नहीं किया जा सकता है, इसलिए उन्हें यूलर की विधि का उपयोग करके पाया जाता है, और अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए वे ऐसा करते हैं: शुरुआत से, सूत्र (5) का उपयोग करते हुए वे मूल्य ढूंढते हैं

(8)

बिंदु पर और फिर चरणों के साथ सूत्र (7) के अनुसार पाया गया

(9)

एक बार आगे की गणनाएँ मिलीं सूत्र द्वारा उत्पादित (7)

लैब 1

संख्यात्मक समाधान विधियाँ

साधारण अंतर समीकरण (4 घंटे)

कई भौतिक और ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, किसी को अज्ञात फ़ंक्शन, उसके डेरिवेटिव और स्वतंत्र चर के बीच दिए गए संबंध के आधार पर एक अज्ञात फ़ंक्शन की खोज करनी होती है। इस अनुपात को कहा जाता है अंतर समीकरण , और अंतर समीकरण को संतुष्ट करने वाले फ़ंक्शन को ढूंढना कहा जाता है एक विभेदक समीकरण को हल करना।

साधारण अंतर समीकरण समानता कहा जाता है

, (1)

जिसमें

एक स्वतंत्र चर है जो एक निश्चित खंड में बदलता है, और - अज्ञात फ़ंक्शन य ( एक्स ) और उसका पहला एनव्युत्पन्न। बुलाया समीकरण का क्रम .

कार्य एक फ़ंक्शन y ढूंढना है जो समानता (1) को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, इसे अलग से निर्धारित किए बिना, हम मान लेंगे कि वांछित समाधान में एक या किसी अन्य विधि के निर्माण और "कानूनी" अनुप्रयोग के लिए आवश्यक चिकनाई की एक या दूसरी डिग्री है।

साधारण अवकल समीकरण दो प्रकार के होते हैं

प्रारंभिक शर्तों के बिना समीकरण

प्रारंभिक स्थितियों के साथ समीकरण.

प्रारंभिक शर्तों के बिना समीकरण फॉर्म (1) के समीकरण हैं।

प्रारंभिक स्थितियों के साथ समीकरणफॉर्म (1) का एक समीकरण है, जिसमें ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है

, जो कुछ लोगों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: ,

वे। बिंदु पर

फ़ंक्शन और इसके पहले डेरिवेटिव पूर्व निर्धारित मान लेते हैं।

कौची समस्याएँ

अनुमानित तरीकों का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय मुख्य कार्यगिनता कॉची समस्या.

आइए कॉची समस्या को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय विधि - रनगे-कुट्टा विधि पर विचार करें। यह विधि आपको सटीकता के लगभग किसी भी क्रम के अनुमानित समाधान की गणना के लिए सूत्र बनाने की अनुमति देती है।

आइए हम दूसरे क्रम की सटीकता के रनगे-कुट्टा विधि के सूत्र प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, हम समाधान को टेलर श्रृंखला के एक टुकड़े के रूप में प्रस्तुत करते हैं, दूसरे से अधिक ऑर्डर वाले शब्दों को हटा देते हैं। फिर बिंदु पर वांछित फ़ंक्शन का अनुमानित मान एक्स 1 इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(2)

दूसरा व्युत्पन्न य "( एक्स 0 ) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है एफ ( एक्स , य ) हालाँकि, रनगे-कुट्टा विधि में, व्युत्पन्न के बजाय, अंतर का उपयोग किया जाता है

तदनुसार पैरामीटर मानों का चयन करना

तब (2) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

य 1 = य 0 + एच [ β एफ ( एक्स 0 , य 0 ) + α एफ ( एक्स 0 + ओह , य 0 + ओह )], (3)

कहाँ α , β , γ और δ - कुछ पैरामीटर.

तर्क के एक कार्य के रूप में (3) के दाएँ पक्ष पर विचार करना एच , आइए इसे अंशों में तोड़ें एच :

य 1 = य 0 +( α + β ) एच एफ ( एक्स 0 , य 0 ) + αh 2 [ γ एफ एक्स ( एक्स 0 , य 0 ) + δ एफ वाई ( एक्स 0 , य 0 )],

और पैरामीटर चुनें α , β , γ और δ ताकि यह विस्तार (2) के करीब हो. यह इस प्रकार है कि

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 एफ ( एक्स 0 , य 0 ).

इन समीकरणों का उपयोग करके हम व्यक्त करते हैं β , γ और δ मापदंडों के माध्यम से α , हम पाते हैं

य 1 = य 0 + एच [(1 - α ) एफ ( एक्स 0 , य 0 ) + α एफ ( एक्स 0 +, य 0 + एफ ( एक्स 0 , य 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

अब, यदि इसके बजाय ( एक्स 0 , य 0 ) में (4) स्थानापन्न ( एक्स 1 , य 1 ), हमें गणना के लिए एक सूत्र मिलता है य 2 – बिंदु पर वांछित फ़ंक्शन का अनुमानित मान एक्स 2 .

सामान्य स्थिति में, रनगे-कुट्टा विधि खंड के मनमाने विभाजन पर लागू होती है [ एक्स 0 , एक्स ] पर एनभागों, यानी परिवर्तनशील पिच के साथ

एक्स 0 , एक्स 1 , …, एक्स एन ; एच आई = एक्स आई+1 – एक्स आई , एक्स एन = एक्स. (5)

विकल्प α 1 या 0.5 के बराबर चुना जाता है। आइए अंत में दूसरे क्रम के रनगे-कुट्टा विधि के गणना सूत्रों को परिवर्तनीय चरणों के साथ लिखें α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , य मैं + f(x i , y i)), (6.1)

मैं = 0, 1,…, एन -1.

और α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

मैं = 0, 1,…, एन -1.

रनगे-कुट्टा विधि के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र सटीकता के चौथे क्रम के सूत्र हैं:

y i+1 =y i + (के 1 + 2के 2 + 2के 3 + के 4),

क 1 =एफ(एक्स मैं , आप मैं), क 2 = एफ(एक्स मैं + , य मैं + के 1), (7)

के 3 = एफ(एक्स आई + , य मैं + के 2), के 4 = एफ(एक्स आई +एच, वाई आई +एचके 3)।

रनगे-कुट्टा विधि के लिए, त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए रनगे का नियम लागू होता है। होने देना य ( एक्स ; एच ) -बिंदु पर समाधान का अनुमानित मूल्य एक्स , चरण के साथ सूत्र (6.1), (6.2) या (7) द्वारा प्राप्त किया गया एच , ए पी – संबंधित सूत्र की सटीकता का क्रम. फिर त्रुटि आर ( एच ) मान य ( एक्स ; एच ) अनुमानित मूल्य का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है य ( एक्स ; 2 एच ) एक बिंदु पर समाधान एक्स , वृद्धि में प्राप्त किया गया 2 एच :

(8)

कहाँ पी =2 सूत्र (6.1) और (6.2) और के लिए पी =4 (7) के लिए.