इस तरह का एक छोटा और सरल कार्य जो तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में कार्य करता है। प्रकृति में, मध्य जुलाई की नींद का क्षेत्र, इसलिए समुद्र तट पर एक लैपटॉप के साथ बसने का समय आ गया है। सुबह-सुबह, सिद्धांत का एक सनबीम जल्द ही अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए खेला जाता है, जो घोषित हल्केपन के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े होते हैं। इस संबंध में, मैं अनुशंसा करता हूं कि इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करें। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एक समारोह के एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल.
सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। . के बारे में एक पाठ में कार्य निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार उसी तरह तैयार किया जाता है। एक खंड पर एक फ़ंक्शन निरंतर है यदि:
1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दाहिनी ओरऔर बिंदु पर बाएं.
दूसरा पैराग्राफ तथाकथित से संबंधित है एकतरफा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं पहले से शुरू की गई पंक्ति पर कायम रहूंगा:
फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर है दाहिनी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: 
. यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा उस बिंदु पर मान के बराबर है: 
कल्पना कीजिए कि हरे रंग के बिंदु नाखून हैं जिन पर जादू रबर बैंड जुड़ा हुआ है:
लाल रेखा को मानसिक रूप से अपने हाथों में लें। जाहिर है, हम ग्राफ को ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) कितनी भी दूर तक क्यों न खींचे, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- ऊपर एक हेज, नीचे एक हेज, और हमारा उत्पाद एक पैडॉक में चरता है। इस प्रकार, एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन उस पर बंधा होता है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य कहा गया है और सख्ती से साबित हुआ है वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्रारंभिक कथनों को थकाऊ रूप से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने दृश्यता की सीमा से परे आकाश में ग्राफ़ खींच लिया, और इसे डाला गया। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल स्पष्ट नहीं था! वास्तव में, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज से परे हमारा क्या इंतजार है? आखिरकार, कभी पृथ्वी को समतल माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)
इसके अनुसार दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय, खंड पर निरंतरसमारोह अपने तक पहुँच जाता है सटीक शीर्ष किनारेऔर उसका सटीक निचला किनारा .
नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा दर्शाया गया है, और संख्या - अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मानचिह्नित ।
हमारे मामले में: 
टिप्पणी
: सिद्धांत रूप में, रिकॉर्ड आम हैं 
.
मोटे तौर पर, सबसे बड़ा मान वहां स्थित होता है जहां ग्राफ़ का उच्चतम बिंदु होता है, और सबसे छोटा - जहां निम्नतम बिंदु होता है।
जरूरी!जैसा कि पहले ही लेख में बताया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, समारोह का सबसे बड़ा मूल्यऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या फ़ंक्शन अधिकतमऔर कार्य न्यूनतम. तो, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।
वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हां, बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के संदर्भ में, यह हमें बिल्कुल भी रूचि नहीं देता है। कार्य में केवल दो नंबर ढूंढना शामिल है 
और बस!
इसके अलावा, समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं है!
एल्गोरिथ्म सतह पर स्थित है और उपरोक्त आकृति से खुद को सुझाता है:
1) में फ़ंक्शन मान खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस खंड से संबंधित हैं.
एक और गुडी पकड़ो: एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहींन्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है। प्रदर्शन फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है। लेकिन, निश्चित रूप से, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।
इसलिए, पहले चरण में, खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनके पास एक्स्ट्रेमा है या नहीं।
2) हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।
3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए जाने वाले फंक्शन के मूल्यों में से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का चयन करें, उत्तर लिखें।
हम नीले समुद्र के तट पर बैठते हैं और उथले पानी में एड़ी मारते हैं:
उदाहरण 1
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें
फेसला:
1) इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:
आइए हम दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:
2) खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें: 
3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए थे, जो उनकी तुलना को काफी जटिल करता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह न भूलें: 
अब सब कुछ स्पष्ट है।
जवाब:
स्वतंत्र समाधान के लिए आंशिक-तर्कसंगत उदाहरण:
उदाहरण 6
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें
व्यावहारिक दृष्टिकोण से, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे दिलचस्प है। यह किससे जुड़ा है? मुनाफे को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों के इष्टतम भार का निर्धारण करना... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में, कुछ मापदंडों के अनुकूलन की समस्या को हल करना होता है। और यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर कुछ अंतराल X पर मांगा जाता है, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है 
, अनंत अंतराल।
इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।
पृष्ठ नेविगेशन।
किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - परिभाषाएं, चित्र।
आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।
समारोह का सबसे बड़ा मूल्य 
, जो किसी के लिए 
असमानता सच है।
फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान y=f(x) अंतराल पर X को ऐसा मान कहा जाता है 
, जो किसी के लिए असमानता सच है।
ये परिभाषाएं सहज ज्ञान युक्त हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान एब्सिस्सा के साथ विचाराधीन अंतराल पर स्वीकृत सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान है।
स्थिर बिंदुउस तर्क के मान हैं जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।
सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करते समय हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों होती है? इस प्रश्न का उत्तर Fermat के प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक अवकलनीय फलन में किसी बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस प्रकार, फलन अक्सर इस अंतराल से किसी एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है।
साथ ही, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।
आइए तुरंत इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल X की सीमाएं फलन के प्रांत की सीमाओं से मेल खाती हैं, या अंतराल X अनंत है। और अनंत पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।
स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देते हैं। तस्वीरों को देखें - और बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा।
खंड पर
पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन खंड [-6;6] के अंदर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।
दूसरे चित्र में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को में बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - एक बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा के अनुरूप एक एब्सिस्सा होता है।
आकृति संख्या 3 में, खंड [-3; 2] के सीमा बिंदु फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के संगत बिंदुओं के भुज हैं।
खुली सीमा में
चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6; 6) के भीतर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।
अंतराल पर, सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।
अनंत पर
सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन एब्सिसा x = 1 के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) अंतराल की दाहिनी सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y=3 तक पहुंचते हैं।
अंतराल पर, फ़ंक्शन न तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंचता है। जैसा कि x=2 दाईं ओर जाता है, फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है) की ओर जाता है, और जैसा कि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन मान एसिम्प्टोटिक रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं। . इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।
खंड पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।
हम एक एल्गोरिथम लिखते हैं जो हमें किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।
- हम फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढते हैं और जांचते हैं कि इसमें संपूर्ण सेगमेंट है या नहीं।
- हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में निहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूल साइन के तहत तर्क के साथ कार्यों में होते हैं और एक आंशिक-तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शंस में होते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले बिंदु पर जाएं।
- हम खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले चरण पर जाएं।
- हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), और x=a और x=b पर भी।
- फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित अधिकतम और सबसे छोटे मान होंगे।
आइए किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।
उदाहरण।
किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें
- खंड पर;
- अंतराल पर [-4;-1] ।
फेसला।
फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा के क्षेत्र में आते हैं।
हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इसके संबंध में पाते हैं: 
स्पष्ट रूप से, फलन का अवकलज खंड के सभी बिंदुओं और [-4;-1] पर मौजूद है।
स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। एकमात्र वास्तविक मूल x=2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।
पहले मामले के लिए, हम खंड के सिरों पर और एक स्थिर बिंदु पर, यानी x=1 , x=2 और x=4 के लिए फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं: 
इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 
x=1 पर पहुंच जाता है, और सबसे छोटा मान 
- x=2 पर।
दूसरे मामले के लिए, हम केवल खंड [-4; -1] के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं (क्योंकि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है): 
फेसला।
आइए फ़ंक्शन के दायरे से शुरू करें। भिन्न के हर में वर्ग त्रिपद लुप्त नहीं होना चाहिए: 
यह जांचना आसान है कि समस्या की स्थिति से सभी अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं।
आइए फ़ंक्शन को अलग करें: 
जाहिर है, फ़ंक्शन के पूरे डोमेन पर व्युत्पन्न मौजूद है।
आइए स्थिर बिंदु खोजें। व्युत्पन्न पर गायब हो जाता है। यह स्थिर बिंदु अंतराल (-3;1] और (-3;2) के भीतर आता है।
और अब आप प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त परिणामों की तुलना फलन के ग्राफ से कर सकते हैं। नीली बिंदीदार रेखाएँ स्पर्शोन्मुख को दर्शाती हैं।
यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के साथ समाप्त हो सकता है। इस आलेख में चर्चा किए गए एल्गोरिदम आपको न्यूनतम क्रियाओं के साथ परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, पहले फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों को निर्धारित करना और उसके बाद ही किसी अंतराल पर फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बारे में निष्कर्ष निकालना उपयोगी हो सकता है। यह एक स्पष्ट तस्वीर और परिणामों का एक कठोर औचित्य देता है।
समस्या कथन 2:
एक फ़ंक्शन दिया गया है जो कुछ अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है। इस अंतराल पर फलन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान ज्ञात करना आवश्यक है।
सैद्धांतिक आधार।
प्रमेय (दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय):
यदि कोई फ़ंक्शन एक बंद अंतराल में परिभाषित और निरंतर है, तो यह इस अंतराल में अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंच जाता है।
फ़ंक्शन अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंच सकता है या तो अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर या इसकी सीमाओं पर। आइए सभी संभावित विकल्पों का वर्णन करें। 
व्याख्या:
1) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मान तक पहुंचता है, और बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा पर इसका न्यूनतम मान।
2) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने अधिकतम मूल्य (यह अधिकतम बिंदु है) तक पहुंचता है, और इसका न्यूनतम मान बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा पर होता है।
3) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मान तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका न्यूनतम मान (यह न्यूनतम बिंदु है)।
4) फलन अंतराल पर स्थिर रहता है, अर्थात्। यह अंतराल में किसी भी बिंदु पर अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों तक पहुंचता है, और न्यूनतम और अधिकतम मान एक दूसरे के बराबर होते हैं।
5) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने अधिकतम मान तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका न्यूनतम मान (इस तथ्य के बावजूद कि फ़ंक्शन में इस अंतराल पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों होते हैं)।
6) फ़ंक्शन एक बिंदु पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँचता है (यह अधिकतम बिंदु है), और एक बिंदु पर इसका न्यूनतम मान (यह न्यूनतम बिंदु है)।
टिप्पणी:
"अधिकतम" और "अधिकतम मूल्य" अलग-अलग चीजें हैं। यह "अधिकतम मूल्य" वाक्यांश की अधिकतम और सहज समझ की परिभाषा से अनुसरण करता है।
समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम 2.
4) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) चुनें और उत्तर लिखें।
उदाहरण 4:
किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें 
खंड पर।
फेसला:
1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। 
2) समीकरण को हल करके स्थिर बिंदु (और ऐसे बिंदु जो एक चरम सीमा के लिए संदिग्ध हैं) खोजें। उन बिंदुओं पर ध्यान दें जहां कोई दो-तरफा परिमित व्युत्पन्न नहीं है। 
3) स्थिर बिंदुओं पर और अंतराल की सीमाओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें।
4) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) चुनें और उत्तर लिखें।
इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक के साथ बिंदु पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है।
इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक के साथ बिंदु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंच जाता है।
आप अध्ययनाधीन फलन के ग्राफ को देखकर परिकलनों की शुद्धता को सत्यापित कर सकते हैं। 
टिप्पणी:फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु पर अपने अधिकतम मान तक पहुंचता है, और खंड की सीमा पर न्यूनतम मान तक पहुंचता है।
विशेष मामला।
मान लीजिए कि आप किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं। एल्गोरिथम के पहले पैराग्राफ के निष्पादन के बाद, अर्थात। व्युत्पन्न की गणना, यह स्पष्ट हो जाता है कि, उदाहरण के लिए, यह विचाराधीन पूरे खंड पर केवल नकारात्मक मान लेता है। याद रखें कि यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है। हमने पाया कि फलन पूरे अंतराल पर घट रहा है। यह स्थिति आलेख की शुरुआत में चार्ट नंबर 1 में दिखाई गई है।
फलन अंतराल पर घटता है, अर्थात्। इसका कोई चरम बिंदु नहीं है। यह तस्वीर से देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन सेगमेंट की दाहिनी सीमा पर सबसे छोटा मान और बाईं ओर सबसे बड़ा मान लेगा। यदि अंतराल पर अवकलज सर्वत्र धनात्मक है, तो फलन बढ़ रहा है। सबसे छोटा मान खंड की बाईं सीमा पर है, सबसे बड़ा मान दाईं ओर है।
