निस्संदेह, मानव जाति के लिए ज्ञात सबसे रहस्यमय संख्याओं में से एक संख्या Π (पीआई पढ़ें) है। बीजगणित में, यह संख्या किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाती है। पहले, इस मात्रा को लूडोल्फ संख्या कहा जाता था। Pi संख्या कैसे और कहाँ से आई यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है, लेकिन गणितज्ञ संख्या Π के पूरे इतिहास को 3 चरणों में विभाजित करते हैं: प्राचीन, शास्त्रीय और डिजिटल कंप्यूटर का युग।

संख्या P अपरिमेय है, अर्थात, इसे एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ अंश और हर पूर्णांक हैं। इसलिए, ऐसी संख्या का कोई अंत नहीं है और यह आवर्ती है। पी की अतार्किकता को सबसे पहले 1761 में आई. लैंबर्ट ने सिद्ध किया था।

इस गुण के अतिरिक्त, संख्या P किसी बहुपद का मूल भी नहीं हो सकता है, और इसलिए संख्या गुण, जब 1882 में सिद्ध हुआ, तो गणितज्ञों के बीच "वृत्त के वर्ग के बारे में" लगभग पवित्र विवाद का अंत हो गया, जो चला 2,500 वर्षों तक.

यह ज्ञात है कि ब्रिटन जोन्स 1706 में इस संख्या के पदनाम को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे। यूलर के कार्यों के सामने आने के बाद, इस संकेतन का उपयोग आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया।

पाई संख्या क्या है, इसे विस्तार से समझने के लिए यह कहा जाना चाहिए कि इसका उपयोग इतना व्यापक है कि विज्ञान के किसी ऐसे क्षेत्र का नाम बताना भी मुश्किल है जो इसके बिना चल सकता हो। स्कूली पाठ्यक्रम से सबसे सरल और सबसे परिचित अर्थों में से एक ज्यामितीय अवधि का पदनाम है। एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात स्थिर है और 3.14 के बराबर है। यह मान भारत, ग्रीस, बेबीलोन और मिस्र के सबसे प्राचीन गणितज्ञों को ज्ञात था। अनुपात की गणना का सबसे पहला संस्करण 1900 ईसा पूर्व का है। इ। चीनी वैज्ञानिक लियू हुई ने पी के मूल्य की गणना की जो आधुनिक मूल्य के करीब है; इसके अलावा, उन्होंने ऐसी गणना के लिए एक त्वरित विधि का आविष्कार किया। इसका मूल्य लगभग 900 वर्षों तक आम तौर पर स्वीकृत रहा।

गणित के विकास में शास्त्रीय काल को इस तथ्य से चिह्नित किया गया था कि पाई संख्या वास्तव में क्या है, यह स्थापित करने के लिए, वैज्ञानिकों ने गणितीय विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करना शुरू कर दिया था। 1400 के दशक में, भारतीय गणितज्ञ माधव ने गणना करने के लिए श्रृंखला सिद्धांत का उपयोग किया और 11 दशमलव स्थानों के भीतर पी की अवधि निर्धारित की। आर्किमिडीज़ के बाद पहला यूरोपीय, जिसने संख्या पी का अध्ययन किया और इसकी पुष्टि में महत्वपूर्ण योगदान दिया, वह डचमैन लुडोल्फ वान ज़िलेन था, जिसने पहले से ही 15 दशमलव स्थानों को निर्धारित किया था, और अपनी वसीयत में बहुत मनोरंजक शब्द लिखे थे: "... जो कोई भी है दिलचस्पी है, तो उसे आगे बढ़ने दें। यह इस वैज्ञानिक के सम्मान में था कि नंबर पी को इतिहास में अपना पहला और एकमात्र नाम मिला।

कंप्यूटर गणना के युग ने संख्या पी के सार की समझ में नए विवरण लाए। इसलिए, यह पता लगाने के लिए कि संख्या पाई क्या है, 1949 में पहली बार ENIAC कंप्यूटर का उपयोग किया गया था, जिसके डेवलपर्स में से एक भविष्य था आधुनिक कंप्यूटर के सिद्धांत के "पिता", जे. पहला माप 70 घंटों से अधिक समय तक किया गया और संख्या पी की अवधि में दशमलव बिंदु के बाद 2037 अंक दिए गए। मिलियन अंक का निशान 1973 में पहुंच गया था। इसके अलावा, इस अवधि के दौरान, अन्य सूत्र स्थापित किए गए जो संख्या पी को प्रतिबिंबित करते थे। इस प्रकार, चुडनोव्स्की भाई एक ऐसा सूत्र ढूंढने में सक्षम थे जिससे अवधि के 1,011,196,691 अंकों की गणना करना संभव हो गया।

सामान्य तौर पर, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "पाई क्या है?", कई अध्ययन प्रतियोगिताओं के समान होने लगे। आज, सुपर कंप्यूटर पहले से ही इस सवाल पर काम कर रहे हैं कि वास्तविक संख्या पाई क्या है। इन अध्ययनों से जुड़े दिलचस्प तथ्य गणित के लगभग पूरे इतिहास में व्याप्त हैं।

उदाहरण के लिए, आज, नंबर पी को याद करने की विश्व चैंपियनशिप आयोजित की जा रही है और विश्व रिकॉर्ड दर्ज किए जा रहे हैं, आखिरी रिकॉर्ड चीनी लियू चाओ का है, जिन्होंने सिर्फ एक दिन में 67,890 अक्षरों का नाम रखा। दुनिया में P नंबर की छुट्टी भी होती है, जिसे "पाई दिवस" ​​के रूप में मनाया जाता है।

2011 तक, संख्या अवधि के 10 ट्रिलियन अंक पहले ही स्थापित किए जा चुके हैं।

कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

परिचय

1. कार्य की प्रासंगिकता.

संख्याओं की अनंत विविधता में, ब्रह्मांड के सितारों की तरह, व्यक्तिगत संख्याएँ और अद्भुत सुंदरता के उनके संपूर्ण "तारामंडल" सामने आते हैं, असाधारण गुणों वाली संख्याएँ और उनमें अद्वितीय सामंजस्य निहित होता है। आपको बस इन नंबरों को देखने और उनकी संपत्तियों पर ध्यान देने में सक्षम होने की आवश्यकता है। संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला पर करीब से नज़र डालें - और आपको इसमें बहुत सी आश्चर्यजनक और विचित्र, मज़ेदार और गंभीर, अप्रत्याशित और उत्सुकताएँ मिलेंगी। जो देखता है वही देखता है. आख़िरकार, लोगों को गर्मियों की तारों भरी रात में चमक का एहसास भी नहीं होगा। ध्रुव तारा, यदि वे अपनी दृष्टि को बादल रहित ऊंचाइयों पर निर्देशित नहीं करते हैं।

एक कक्षा से दूसरी कक्षा में जाते हुए, मैं प्राकृतिक, भिन्नात्मक, दशमलव, नकारात्मक, तर्कसंगत से परिचित हो गया। इस वर्ष मैंने तर्कहीन अध्ययन किया। अपरिमेय संख्याओं में एक विशेष संख्या है, जिसकी सटीक गणना वैज्ञानिक कई शताब्दियों से करते आ रहे हैं। छठी कक्षा में "वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल" विषय का अध्ययन करते समय मुझे इसका पता चला। इस बात पर ज़ोर दिया गया कि हाई स्कूल की कक्षाओं में हम उनसे अक्सर मिलेंगे। π का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के व्यावहारिक कार्य दिलचस्प थे। संख्या π गणित के अध्ययन में सामने आई सबसे दिलचस्प संख्याओं में से एक है। यह विभिन्न स्कूल विषयों में पाया जाता है। संख्या π से जुड़े कई रोचक तथ्य हैं, इसलिए यह अध्ययन में रुचि जगाता है।

इस नंबर के बारे में बहुत सी दिलचस्प बातें सुनने के बाद, मैंने स्वयं अतिरिक्त साहित्य का अध्ययन करके और इंटरनेट पर खोज करके इसके बारे में अधिक से अधिक जानकारी प्राप्त करने और समस्याग्रस्त प्रश्नों के उत्तर देने का निर्णय लिया:

लोग पाई संख्या के बारे में कब से जानते हैं?

इसका अध्ययन करना क्यों आवश्यक है?

इससे कौन से रोचक तथ्य जुड़े हैं?

क्या यह सच है कि पाई का मान लगभग 3.14 है?

इसलिए मैंने खुद को सेट कर लिया लक्ष्य:गणित के विकास के वर्तमान चरण में संख्या π के इतिहास और संख्या π के महत्व का पता लगाएं।

कार्य:

संख्या π के इतिहास के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए साहित्य का अध्ययन करें;

संख्या π की "आधुनिक जीवनी" से कुछ तथ्य स्थापित करें;

परिधि और व्यास के अनुपात के अनुमानित मान की व्यावहारिक गणना।

अध्ययन का उद्देश्य:

अध्ययन का उद्देश्य: पीआई नंबर।

अध्ययन का विषय:पीआई नंबर से जुड़े रोचक तथ्य.

2. मुख्य भाग. अद्भुत संख्या पाई.

कोई अन्य संख्या अपनी प्रसिद्ध कभी न ख़त्म होने वाली संख्या श्रृंखला पाई के समान रहस्यमय नहीं है। गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में वैज्ञानिक इस संख्या और इसके नियमों का उपयोग करते हैं।

गणित, विज्ञान, इंजीनियरिंग और रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग की जाने वाली सभी संख्याओं में से कुछ संख्याओं पर पाई जितना ध्यान दिया जाता है। एक किताब कहती है, "पाई दुनिया भर के विज्ञान प्रतिभाओं और शौकिया गणितज्ञों के दिमाग को लुभा रहा है" ("फ्रैक्टल्स फॉर द क्लासरूम")।

इसे संभाव्यता सिद्धांत में, जटिल संख्याओं और गणित के अन्य अप्रत्याशित और ज्यामिति से दूर क्षेत्रों की समस्याओं को हल करने में पाया जा सकता है। अंग्रेजी गणितज्ञ ऑगस्टस डी मॉर्गन ने एक बार पाई को "... रहस्यमय संख्या 3.14159... कहा था जो दरवाजे, खिड़की और छत के माध्यम से रेंगता है।" यह रहस्यमय संख्या, पुरातनता की तीन शास्त्रीय समस्याओं में से एक से जुड़ी है - एक वर्ग का निर्माण जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है - नाटकीय ऐतिहासिक और जिज्ञासु मनोरंजक तथ्यों का एक निशान शामिल है।

कुछ लोग इसे गणित की पाँच सबसे महत्वपूर्ण संख्याओं में से एक भी मानते हैं। लेकिन जैसा कि फ्रैक्टल्स फॉर द क्लासरूम पुस्तक में कहा गया है, पाई जितना महत्वपूर्ण है, "वैज्ञानिक गणना में ऐसे क्षेत्रों को ढूंढना मुश्किल है जिनके लिए पाई के बीस दशमलव स्थानों से अधिक की आवश्यकता होती है।"

3. पाई की अवधारणा

संख्या π एक गणितीय स्थिरांक है जो किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई के अनुपात को व्यक्त करता है. संख्या π (उच्चारण) "पाई") एक गणितीय स्थिरांक है जो किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई के अनुपात को व्यक्त करता है। ग्रीक वर्णमाला के अक्षर "pi" से दर्शाया जाता है।

संख्यात्मक शब्दों में, π 3.141592 से शुरू होता है और इसकी अनंत गणितीय अवधि होती है।

4. संख्या "पाई" का इतिहास

विशेषज्ञों के अनुसार, इस संख्या की खोज बेबीलोन के जादूगरों ने की थी. इसका उपयोग प्रसिद्ध टॉवर ऑफ बैबेल के निर्माण में किया गया था। हालाँकि, पाई के मूल्य की अपर्याप्त सटीक गणना के कारण पूरी परियोजना ध्वस्त हो गई। यह संभव है कि यह गणितीय स्थिरांक राजा सोलोमन के प्रसिद्ध मंदिर के निर्माण का आधार हो।

पाई का इतिहास, जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को व्यक्त करता है, प्राचीन मिस्र में शुरू हुआ। व्यास सहित वृत्त का क्षेत्रफल डीमिस्र के गणितज्ञों ने इसे इस प्रकार परिभाषित किया (डी-डी/9) 2 (यह प्रविष्टि यहां आधुनिक प्रतीकों में दी गई है)। उपरोक्त अभिव्यक्ति से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उस समय संख्या p को भिन्न के बराबर माना जाता था (16/9) 2 , या 256/81 , अर्थात। π = 3,160...

जैन धर्म (भारत में मौजूद सबसे पुराने धर्मों में से एक और छठी शताब्दी ईसा पूर्व में उत्पन्न हुआ) की पवित्र पुस्तक में एक संकेत है जिससे यह पता चलता है कि उस समय संख्या पी को बराबर लिया गया था, जो अंश देता है 3,162... प्रचीन यूनानी यूडोक्सस, हिप्पोक्रेट्सऔर अन्य लोगों ने एक वृत्त की माप को एक खंड के निर्माण तक सीमित कर दिया, और एक वृत्त की माप को एक समान वर्ग के निर्माण तक सीमित कर दिया। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई शताब्दियों तक, विभिन्न देशों और लोगों के गणितज्ञों ने परिधि और व्यास के अनुपात को एक तर्कसंगत संख्या के रूप में व्यक्त करने का प्रयास किया है।

आर्किमिडीजतीसरी शताब्दी में ईसा पूर्व. अपने लघु कार्य "मेजरिंग ए सर्कल" में उन्होंने तीन प्रस्तावों की पुष्टि की:

प्रत्येक वृत्त का आकार एक समकोण त्रिभुज के बराबर होता है, जिसके पैर क्रमशः वृत्त की लंबाई और उसकी त्रिज्या के बराबर होते हैं;

वृत्त का क्षेत्रफल व्यास पर बने वर्ग से संबंधित होता है, जैसे 11 से 14;

किसी भी वृत्त का उसके व्यास से अनुपात कम होता है 3 1/7 और अधिक 3 10/71 .

सटीक गणना के अनुसार आर्किमिडीजपरिधि और व्यास का अनुपात संख्याओं के बीच संलग्न है 3*10/71 और 3*1/7 , जिसका अर्थ है कि π = 3,1419... इस रिश्ते का असली मतलब 3,1415922653... 5वीं सदी में ईसा पूर्व. चीनी गणितज्ञ ज़ू चोंगज़ीइस संख्या का अधिक सटीक मान पाया गया: 3,1415927...

15वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में। बेधशाला उलुगबेक, पास में समरक़ंद, खगोलशास्त्री और गणितज्ञ अल काशी 16 दशमलव स्थानों तक पाई की गणना की। अल काशीअद्वितीय गणनाएँ कीं जो चरणों में साइन की एक तालिका संकलित करने के लिए आवश्यक थीं 1" . इन तालिकाओं ने खगोल विज्ञान में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

डेढ़ सदी बाद यूरोप में एफ. वियतनामबहुभुजों की भुजाओं की संख्या को 16 गुना दोगुना करके केवल 9 सही दशमलव स्थानों के साथ पाई पाई। लेकिन साथ ही एफ. वियतनामसबसे पहले यह नोटिस किया गया कि पाई को कुछ श्रृंखलाओं की सीमाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है। ये खोज बहुत बड़ी थी

मान, क्योंकि इसने हमें किसी भी सटीकता के साथ पाई की गणना करने की अनुमति दी। सिर्फ 250 साल बाद अल काशीउसका परिणाम उत्कृष्ट रहा।

संख्या का जन्मदिन ""।

अनौपचारिक अवकाश "पीआई दिवस" ​​14 मार्च को मनाया जाता है, जिसे अमेरिकी प्रारूप (दिन/तारीख) में 3/14 लिखा जाता है, जो पीआई के अनुमानित मूल्य से मेल खाता है।

छुट्टी का एक वैकल्पिक संस्करण है - 22 जुलाई। इसे अनुमानित पाई दिवस कहा जाता है। तथ्य यह है कि इस तिथि को भिन्न (22/7) के रूप में प्रस्तुत करने पर परिणाम के रूप में पाई संख्या भी प्राप्त होती है। ऐसा माना जाता है कि छुट्टी का आविष्कार 1987 में सैन फ्रांसिस्को के भौतिक विज्ञानी लैरी शॉ द्वारा किया गया था, जिन्होंने देखा कि तारीख और समय संख्या π के पहले अंकों के साथ मेल खाते थे।

अंक '''' से जुड़े रोचक तथ्य

प्रोफेसर यासुमासा कनाडा के नेतृत्व में टोक्यो विश्वविद्यालय के वैज्ञानिकों ने पाई संख्या को 12,411 ट्रिलियन अंकों तक गणना करने में विश्व रिकॉर्ड स्थापित करने में कामयाबी हासिल की। ऐसा करने के लिए, प्रोग्रामर और गणितज्ञों के एक समूह को एक विशेष कार्यक्रम, एक सुपर कंप्यूटर और 400 घंटे के कंप्यूटर समय की आवश्यकता थी। (गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स)।

जर्मन राजा फ्रेडरिक द्वितीय इस संख्या से इतना मोहित हो गया कि उसने इसे समर्पित कर दिया... कास्टेल डेल मोंटे का पूरा महल, जिसके अनुपात में पीआई की गणना की जा सकती है। अब जादुई महल यूनेस्को के संरक्षण में है।

संख्या "" के पहले अंक कैसे याद रखें।

संख्या के पहले तीन अंक  = 3.14... याद रखना मुश्किल नहीं है। और अधिक संकेतों को याद रखने के लिए, मजेदार बातें और कविताएँ हैं। उदाहरण के लिए, ये:

आपको बस कोशिश करनी है

और सब कुछ वैसा ही याद रखें जैसा वह है:

निन्यानबे और छः.

एस बोब्रोव। "मैजिक बाइकोर्न"

जो कोई भी इस चौपाई को सीखेगा वह हमेशा संख्या के 8 चिन्हों का नाम बता सकेगा :

निम्नलिखित वाक्यांशों में, संख्या चिह्न  प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या से निर्धारित किया जा सकता है:

“मैं मंडलियों के बारे में क्या जानता हूँ?” (3.1416);

“तो मैं पाई नामक नंबर जानता हूं। - बहुत अच्छा!"

(3,1415927);

“संख्या के पीछे की संख्या जानें और जानें, सौभाग्य को कैसे नोटिस करें।

(3,14159265359)

5. पाई के लिए संकेतन

किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के लिए आधुनिक प्रतीक पाई को प्रस्तुत करने वाले पहले व्यक्ति एक अंग्रेजी गणितज्ञ थे डब्ल्यू जॉनसन 1706 में। प्रतीक के रूप में उन्होंने ग्रीक शब्द का पहला अक्षर लिया "परिधि", जिसका अनुवादित अर्थ है "घेरा". प्रविष्टि की डब्ल्यू जॉनसनकार्यों के प्रकाशन के बाद पदनाम का आमतौर पर उपयोग किया जाने लगा एल. यूलर, जिसने पहली बार प्रविष्ट वर्ण का उपयोग किया था 1736 जी।

18वीं सदी के अंत में. ए.एम.लैगेंड्रेकार्यों पर आधारित आई.जी. लैंबर्टसाबित हुआ कि पाई अपरिमेय है। फिर जर्मन गणितज्ञ एफ लिंडमैनशोध पर आधारित एस.एर्मिता, इस बात का पुख्ता सबूत मिला कि यह संख्या न केवल अतार्किक है, बल्कि पारलौकिक भी है, यानी। बीजगणितीय समीकरण का मूल नहीं हो सकता। काम के बाद पाई के लिए सटीक अभिव्यक्ति की खोज जारी रही एफ. विएटा. 17वीं सदी की शुरुआत में. कोलोन के डच गणितज्ञ लुडोल्फ वान ज़िजलेन(1540-1610) (कुछ इतिहासकार उसे कहते हैं एल वैन क्यूलेन) 32 सही संकेत मिले। तब से (प्रकाशन वर्ष 1615), 32 दशमलव स्थानों वाली संख्या p के मान को संख्या कहा जाने लगा है लूडोल्फ.

6. "पाई" संख्या को ग्यारह अंकों तक सटीक कैसे याद रखें

संख्या "पाई" एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, इसे अनंत दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में हमारे लिए तीन संकेतों को जानना ही काफी है (3.14)। हालाँकि, कुछ गणनाओं के लिए अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है।

हमारे पूर्वजों के पास कंप्यूटर, कैलकुलेटर या संदर्भ पुस्तकें नहीं थीं, लेकिन पीटर I के समय से वे खगोल विज्ञान, मैकेनिकल इंजीनियरिंग और जहाज निर्माण में ज्यामितीय गणना में लगे हुए हैं। इसके बाद, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग को यहां जोड़ा गया - "प्रत्यावर्ती धारा की परिपत्र आवृत्ति" की अवधारणा है। संख्या "पाई" को याद रखने के लिए, एक दोहे का आविष्कार किया गया था (दुर्भाग्य से, हम लेखक या इसके पहले प्रकाशन के स्थान को नहीं जानते हैं; लेकिन बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में 40 के दशक में, मॉस्को के स्कूली बच्चों ने किसेलेव की ज्यामिति पाठ्यपुस्तक का अध्ययन किया, जहां यह था) दिया गया)।

यह दोहा पुरानी रूसी शब्दावली के नियमों के अनुसार लिखा गया है, जिसके अनुसार बाद में व्यंजनशब्द के अंत में रखा जाना चाहिए "कोमल"या "ठोस"संकेत। यहाँ यह अद्भुत ऐतिहासिक दोहा है:

कौन, मजाक में, जल्द ही कामना करेगा

"पाई" संख्या जानता है - वह पहले से ही जानता है।

भविष्य में सटीक गणना करने की योजना बनाने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए इसे याद रखना उचित है। तो ग्यारह अंकों तक सटीक संख्या "पाई" क्या है? प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या गिनें और इन संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें (पहली संख्या को अल्पविराम से अलग करें)।

इंजीनियरिंग गणनाओं के लिए यह सटीकता पहले से ही काफी पर्याप्त है। प्राचीन के अलावा, याद रखने की एक आधुनिक विधि भी है, जिसके बारे में एक पाठक ने बताया, जिसने अपनी पहचान जॉर्जी के रूप में बताई:

ताकि हम गलतियाँ न करें,

आपको इसे सही ढंग से पढ़ना होगा:

तीन, चौदह, पंद्रह,

निन्यानबे और छः.

आपको बस कोशिश करनी है

और सब कुछ वैसा ही याद रखें जैसा वह है:

तीन, चौदह, पंद्रह,

निन्यानबे और छः.

तीन, चौदह, पंद्रह,

नौ, दो, छह, पाँच, तीन, पाँच।

विज्ञान करने के लिए,

ये बात हर किसी को पता होनी चाहिए.

आप बस कोशिश कर सकते हैं

और अधिक बार दोहराएँ:

"तीन, चौदह, पंद्रह,

नौ, छब्बीस और पाँच।"

खैर, गणितज्ञ आधुनिक कंप्यूटर की मदद से पाई के लगभग किसी भी अंक की गणना कर सकते हैं।

7. पाई मेमोरी रिकॉर्ड

मानवता लंबे समय से पाई के संकेतों को याद रखने की कोशिश कर रही है। लेकिन अनंत को स्मृति में कैसे रखा जाए? पेशेवर स्मृतिशास्त्रियों का एक पसंदीदा प्रश्न। बड़ी मात्रा में जानकारी पर महारत हासिल करने के लिए कई अद्वितीय सिद्धांत और तकनीकें विकसित की गई हैं। उनमें से कई का परीक्षण पीआई पर किया गया है।

जर्मनी में पिछली सदी में बनाया गया विश्व रिकॉर्ड 40,000 अक्षरों का है। पाई मान के लिए रूसी रिकॉर्ड 1 दिसंबर 2003 को अलेक्जेंडर बिल्लाएव द्वारा चेल्याबिंस्क में स्थापित किया गया था। डेढ़ घंटे में छोटे-छोटे ब्रेक के साथ अलेक्जेंडर ने ब्लैकबोर्ड पर पाई के 2500 अंक लिखे।

इससे पहले, रूस में 2,000 अक्षरों की सूची बनाना एक रिकॉर्ड माना जाता था, जिसे 1999 में येकातेरिनबर्ग में हासिल किया गया था। आलंकारिक स्मृति विकास केंद्र के प्रमुख अलेक्जेंडर बिल्लाएव के अनुसार, हममें से कोई भी अपनी स्मृति के साथ ऐसा प्रयोग कर सकता है। केवल विशेष याद रखने की तकनीकों को जानना और समय-समय पर अभ्यास करना महत्वपूर्ण है।

निष्कर्ष।

संख्या पाई कई क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले सूत्रों में दिखाई देती है। भौतिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, निर्माण और नेविगेशन कुछ ही हैं। और ऐसा लगता है कि जैसे संख्या पाई के संकेतों का कोई अंत नहीं है, वैसे ही इस उपयोगी, मायावी संख्या पाई के व्यावहारिक अनुप्रयोग की संभावनाओं का भी कोई अंत नहीं है।

आधुनिक गणित में, संख्या पाई न केवल परिधि और व्यास का अनुपात है; यह बड़ी संख्या में विभिन्न सूत्रों में शामिल है।

इस और अन्य अन्योन्याश्रितताओं ने गणितज्ञों को पाई की प्रकृति को और समझने की अनुमति दी।

आधुनिक दुनिया में संख्या π का ​​सटीक मान न केवल इसका अपना वैज्ञानिक मूल्य है, बल्कि इसका उपयोग बहुत सटीक गणनाओं (उदाहरण के लिए, एक उपग्रह की कक्षा, विशाल पुलों का निर्माण) के साथ-साथ इसका आकलन करने के लिए भी किया जाता है। आधुनिक कंप्यूटर की गति और शक्ति.

वर्तमान में, संख्या π सूत्रों, गणितीय और भौतिक तथ्यों के देखने में कठिन सेट से जुड़ी है। इनकी संख्या तेजी से बढ़ती जा रही है. यह सब सबसे महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक में बढ़ती रुचि की बात करता है, जिसका अध्ययन बाईस शताब्दियों से अधिक समय तक चला है।

मैंने जो काम किया वह दिलचस्प था. मैं पाई के इतिहास, व्यावहारिक अनुप्रयोगों के बारे में सीखना चाहता था और मुझे लगता है कि मैंने अपना लक्ष्य हासिल कर लिया है। काम को सारांशित करते हुए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि यह विषय प्रासंगिक है। संख्या π से जुड़े कई रोचक तथ्य हैं, इसलिए यह अध्ययन में रुचि जगाता है। अपने काम में, मैं संख्या से और अधिक परिचित हो गया - उन शाश्वत मूल्यों में से एक जिसका उपयोग मानवता कई शताब्दियों से करती आ रही है। मैंने इसके समृद्ध इतिहास के कुछ पहलुओं को सीखा। मुझे पता चला कि प्राचीन विश्व को परिधि और व्यास का सही अनुपात क्यों नहीं पता था। मैंने स्पष्ट रूप से उन तरीकों पर ध्यान दिया जिनसे नंबर प्राप्त किया जा सकता है। प्रयोगों के आधार पर, मैंने विभिन्न तरीकों से संख्या के अनुमानित मूल्य की गणना की। प्रयोगात्मक परिणामों को संसाधित और विश्लेषित किया गया।

आज किसी भी स्कूली बच्चे को पता होना चाहिए कि किसी संख्या का क्या मतलब होता है और लगभग बराबर होती है। आख़िरकार, किसी संख्या से हर किसी का पहला परिचय, वृत्त की परिधि, वृत्त के क्षेत्रफल की गणना में इसका उपयोग, छठी कक्षा में होता है। लेकिन, दुर्भाग्य से, यह ज्ञान कई लोगों के लिए औपचारिक ही रह जाता है और एक या दो साल के बाद, कुछ लोगों को न केवल यह याद रहता है कि एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास का अनुपात सभी वृत्तों के लिए समान है, बल्कि उन्हें संख्यात्मक मान याद रखने में भी कठिनाई होती है। संख्या का, 3 ,14 के बराबर.

मैंने उस संख्या के समृद्ध इतिहास का पर्दा उठाने की कोशिश की जिसका उपयोग मानवता कई शताब्दियों से करती आ रही है। मैंने स्वयं अपने काम के लिए एक प्रेजेंटेशन बनाया।

संख्याओं का इतिहास रोचक एवं रहस्यमय है। मैं गणित में अन्य आश्चर्यजनक संख्याओं पर शोध जारी रखना चाहूंगा। यह मेरे अगले शोध अध्ययन का विषय होगा।

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इंटरनेट संसाधन:

- एचटीटीपी:// Crow.academy.ru/materials_/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

पाई संख्या का इतिहास प्राचीन मिस्र में शुरू होता है और सभी गणित के विकास के समानांतर चलता है। यह पहली बार है जब हम स्कूल की दीवारों के भीतर इतनी मात्रा में मिले हैं।

पाई संख्या शायद अन्य अनंत संख्याओं में से सबसे रहस्यमय है। कविताएँ उन्हें समर्पित हैं, कलाकार उनका चित्रण करते हैं और यहाँ तक कि उनके बारे में एक फिल्म भी बनाई गई है। हमारे लेख में हम विकास और गणना के इतिहास के साथ-साथ हमारे जीवन में पाई स्थिरांक के अनुप्रयोग के क्षेत्रों को देखेंगे।

पाई एक गणितीय स्थिरांक है जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास की लंबाई के अनुपात के बराबर है। इसे मूल रूप से लूडोल्फ संख्या कहा जाता था, और इसे 1706 में ब्रिटिश गणितज्ञ जोन्स द्वारा पाई अक्षर से निरूपित करने का प्रस्ताव दिया गया था। 1737 में लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद, यह पदनाम आम तौर पर स्वीकृत हो गया।

पाई एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसका मान भिन्न m/n के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां m और n पूर्णांक हैं। यह पहली बार 1761 में जोहान लैम्बर्ट द्वारा सिद्ध किया गया था।

पाई संख्या के विकास का इतिहास लगभग 4000 वर्ष पुराना है। यहां तक ​​कि प्राचीन मिस्र और बेबीलोन के गणितज्ञ भी जानते थे कि किसी भी वृत्त के लिए परिधि और व्यास का अनुपात समान होता है और इसका मान तीन से थोड़ा अधिक होता है।

आर्किमिडीज़ ने पाई की गणना के लिए एक गणितीय विधि प्रस्तावित की, जिसमें उन्होंने एक वृत्त में नियमित बहुभुजों को अंकित किया और उसके चारों ओर इसका वर्णन किया। उनकी गणना के अनुसार, पाई लगभग 22/7 ≈ 3.142857142857143 के बराबर थी।

दूसरी शताब्दी में, झांग हेंग ने पाई के लिए दो मान प्रस्तावित किए: ≈ 3.1724 और ≈ 3.1622।

भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट और भास्कर ने अनुमानित मान 3.1416 पाया।

900 वर्षों के लिए पाई का सबसे सटीक अनुमान 480 के दशक में चीनी गणितज्ञ ज़ू चोंगज़ी द्वारा की गई गणना थी। उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि पाई ≈ 355/113 और दिखाया कि 3.1415926< Пи < 3,1415927.

दूसरी सहस्राब्दी से पहले, पाई के 10 से अधिक अंकों की गणना नहीं की जाती थी। केवल गणितीय विश्लेषण के विकास के साथ, और विशेष रूप से श्रृंखला की खोज के साथ, स्थिरांक की गणना में बाद में बड़ी प्रगति हुई।

1400 के दशक में, माधव Pi=3.14159265359 की गणना करने में सक्षम थे। उनका रिकॉर्ड 1424 में फ़ारसी गणितज्ञ अल-काशी ने तोड़ा था। अपने काम "ट्रीटीज़ ऑन द सर्कल" में उन्होंने पाई के 17 अंकों का हवाला दिया, जिनमें से 16 सही निकले।

डच गणितज्ञ लुडोल्फ वान ज़िजलेन अपनी गणना में 20 अंकों तक पहुंचे, उन्होंने अपने जीवन के 10 वर्ष इसी में लगाए। उनकी मृत्यु के बाद उनके नोट्स में पाई के 15 और अंक खोजे गए। उन्होंने वसीयत की कि ये संख्याएँ उनकी समाधि के पत्थर पर उकेरी जाएँ।

कंप्यूटर के आगमन के साथ, आज पाई संख्या कई ट्रिलियन अंकों की हो गई है और यह सीमा नहीं है। लेकिन, जैसा कि क्लासरूम के लिए फ्रैक्टल्स बताते हैं, पाई जितना महत्वपूर्ण है, "वैज्ञानिक गणना में ऐसे क्षेत्रों को ढूंढना मुश्किल है जिनके लिए बीस दशमलव स्थानों से अधिक की आवश्यकता होती है।"

हमारे जीवन में पाई संख्या का प्रयोग कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में किया जाता है। भौतिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, रसायन विज्ञान, निर्माण, नेविगेशन, फार्माकोलॉजी - ये उनमें से कुछ हैं जिनकी इस रहस्यमय संख्या के बिना कल्पना करना असंभव है।

कैलकुलेटर888.ru साइट से सामग्री के आधार पर - पाई नंबर - अर्थ, इतिहास, इसका आविष्कार किसने किया.

कई सदियों से और यहां तक ​​कि, अजीब तरह से, सहस्राब्दियों से, लोगों ने विज्ञान के लिए एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के बराबर गणितीय स्थिरांक के महत्व और मूल्य को समझा है। पाई संख्या अभी भी अज्ञात है, लेकिन हमारे इतिहास के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इसमें शामिल रहे हैं। उनमें से अधिकांश इसे एक परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करना चाहते थे।

1. पाई संख्या के शोधकर्ताओं और सच्चे प्रशंसकों ने एक क्लब का आयोजन किया है, जिसमें शामिल होने के लिए आपको इसके संकेतों की काफी बड़ी संख्या को दिल से जानना होगा।

2. 1988 से "पाई दिवस" ​​मनाया जा रहा है, जो 14 मार्च को पड़ता है। वे उनकी छवि के साथ सलाद, केक, कुकीज़ और पेस्ट्री तैयार करते हैं।

3. पाई नंबर को पहले ही संगीत पर सेट कर दिया गया है, और यह काफी अच्छा लगता है। अमेरिका के सिएटल में सिटी म्यूज़ियम ऑफ़ आर्ट के सामने उनके लिए एक स्मारक भी बनाया गया था।

उस सुदूर समय में, उन्होंने ज्यामिति का उपयोग करके संख्या पाई की गणना करने का प्रयास किया। तथ्य यह है कि यह संख्या विभिन्न प्रकार के वृत्तों के लिए स्थिर है, यह प्राचीन मिस्र, बेबीलोन, भारत और प्राचीन ग्रीस के भूगोलवेत्ताओं द्वारा ज्ञात था, जिन्होंने अपने कार्यों में कहा था कि यह केवल तीन से थोड़ा अधिक था।

जैन धर्म (एक प्राचीन भारतीय धर्म जो छठी शताब्दी ईसा पूर्व में उत्पन्न हुआ) की पवित्र पुस्तकों में से एक में उल्लेख किया गया है कि तब पाई संख्या को दस के वर्गमूल के बराबर माना जाता था, जो अंततः 3.162 देता है...।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने एक खंड का निर्माण करके एक वृत्त को मापा था, लेकिन एक वृत्त को मापने के लिए, उन्हें एक समान वर्ग का निर्माण करना पड़ता था, अर्थात, उसके क्षेत्रफल के बराबर एक आकृति।

जब दशमलव अंश अभी तक ज्ञात नहीं थे, तो महान आर्किमिडीज़ ने 99.9% की सटीकता के साथ पाई का मान पाया। उन्होंने एक ऐसी विधि की खोज की जो बाद की कई गणनाओं का आधार बनी, जिसमें नियमित बहुभुजों को एक वृत्त में अंकित करना और उसके चारों ओर उसका वर्णन करना शामिल था। परिणामस्वरूप, आर्किमिडीज़ ने पाई के मान की गणना 22/7 ≈ 3.142857142857143 के अनुपात के रूप में की।

चीन में, गणितज्ञ और दरबारी खगोलशास्त्री, ज़ू चोंगज़ी, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। पाई के लिए अधिक सटीक मान निर्दिष्ट किया, इसकी गणना सात दशमलव स्थानों तक की और संख्या 3, 1415926 और 3.1415927 के बीच इसका मान निर्धारित किया। इस डिजिटल श्रृंखला को जारी रखने में वैज्ञानिकों को 900 साल से अधिक का समय लगा।

मध्य युग

प्रसिद्ध भारतीय वैज्ञानिक माधव, जो 14वीं-15वीं शताब्दी के मोड़ पर रहते थे और केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के संस्थापक बने, ने इतिहास में पहली बार त्रिकोणमितीय कार्यों को श्रृंखला में विस्तारित करने पर काम करना शुरू किया। सच है, उनके केवल दो काम ही बचे हैं, और उनके छात्रों के केवल संदर्भ और उद्धरण ही दूसरों के लिए जाने जाते हैं। वैज्ञानिक ग्रंथ "महाज्ञानयान", जिसका श्रेय माधव को दिया जाता है, में कहा गया है कि पाई संख्या 3.14159265359 है। और ग्रंथ "सद्रत्नमाला" में और भी अधिक सटीक दशमलव स्थानों के साथ एक संख्या दी गई है: 3.14159265358979324। दी गई संख्याओं में, अंतिम अंक सही मान के अनुरूप नहीं हैं।

15वीं शताब्दी में, समरकंद के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-काशी ने सोलह दशमलव स्थानों के साथ पाई संख्या की गणना की। उनका परिणाम अगले 250 वर्षों में सबसे सटीक माना गया।

इंग्लैंड के गणितज्ञ डब्ल्यू जॉनसन, वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को अक्षर π से दर्शाने वाले पहले लोगों में से एक थे। पाई ग्रीक शब्द "περιφέρεια" - सर्कल का पहला अक्षर है। लेकिन यह पदनाम 1736 में अधिक प्रसिद्ध वैज्ञानिक एल. यूलर द्वारा उपयोग किए जाने के बाद ही आम तौर पर स्वीकृत हो सका।

निष्कर्ष

आधुनिक वैज्ञानिक पाई के मानों की आगे की गणना पर काम करना जारी रखते हैं। इसके लिए सुपर कंप्यूटर का उपयोग पहले से ही किया जा रहा है। 2011 में, शिगेरु कोंडो के एक वैज्ञानिक ने एक अमेरिकी छात्र अलेक्जेंडर यी के साथ मिलकर 10 ट्रिलियन अंकों के अनुक्रम की सही गणना की। लेकिन यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि पाई संख्या की खोज किसने की, किसने सबसे पहले इस समस्या के बारे में सोचा और इस वास्तव में रहस्यमय संख्या की पहली गणना की।

परिचय

लेख में गणितीय सूत्र हैं, इसलिए पढ़ने के लिए उन्हें सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए साइट पर जाएँ।संख्या \(\pi\) का एक समृद्ध इतिहास है। यह स्थिरांक किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाता है।

विज्ञान में, संख्या \(\pi \) का उपयोग वृत्तों से संबंधित किसी भी गणना में किया जाता है। सोडा के एक कैन के आयतन से लेकर उपग्रहों की कक्षाओं तक। और सिर्फ वृत्त नहीं. दरअसल, घुमावदार रेखाओं के अध्ययन में, संख्या \(\pi \) आवधिक और दोलन प्रणालियों को समझने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगें और यहां तक ​​कि संगीत भी।

1706 में, ब्रिटिश वैज्ञानिक विलियम जोन्स (1675-1749) की पुस्तक ए न्यू इंट्रोडक्शन टू मैथमेटिक्स में, ग्रीक वर्णमाला के अक्षर \(\pi\) का उपयोग पहली बार संख्या 3.141592 को दर्शाने के लिए किया गया था.... यह पदनाम ग्रीक शब्द περιϕερεια - वृत्त, परिधि और περιµετρoς - परिधि के प्रारंभिक अक्षर से आया है। 1737 में लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद यह पदनाम आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया।

ज्यामितीय काल

किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के अनुपात की स्थिरता लंबे समय से देखी गई है। मेसोपोटामिया के निवासियों ने संख्या \(\pi\) का एक मोटा अनुमान इस्तेमाल किया। प्राचीन समस्याओं के अनुसार, वे अपनी गणना में \(\pi ≈ 3\) मान का उपयोग करते हैं।

प्राचीन मिस्रवासियों द्वारा \(\pi\) के लिए अधिक सटीक मान का उपयोग किया जाता था। लंदन और न्यूयॉर्क में प्राचीन मिस्र के पपीरस के दो टुकड़े रखे हुए हैं, जिन्हें "रिंडा पपीरस" कहा जाता है। पपीरस को लेखक आर्मेस द्वारा 2000-1700 के बीच संकलित किया गया था। ईसा पूर्व। आर्म्स ने अपने पेपिरस में लिखा है कि \(r\) त्रिज्या वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल \(\frac(8)(9) \) के बराबर भुजा वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। वृत्त का व्यास \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), अर्थात, \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). अतः \(\pi = 3.16\).

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) वृत्त को मापने की समस्या को वैज्ञानिक आधार पर रखने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्हें \(3\frac(10)(71) का स्कोर प्राप्त हुआ< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

विधि काफी सरल है, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों की तैयार तालिकाओं के अभाव में, जड़ों को निकालने की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, सन्निकटन बहुत धीरे-धीरे \(\pi \) में परिवर्तित होता है: प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ त्रुटि केवल चार गुना कम हो जाती है।

विश्लेषणात्मक काल

इसके बावजूद, 17वीं शताब्दी के मध्य तक, यूरोपीय वैज्ञानिकों द्वारा संख्या \(\pi\) की गणना करने के सभी प्रयास बहुभुज की भुजाओं को बढ़ाने तक ही सिमट कर रह गए। उदाहरण के लिए, डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन ज़िजलेन (1540-1610) ने 20 दशमलव अंकों तक सटीक संख्या \(\pi\) के अनुमानित मान की गणना की।

गणना करने में उन्हें 10 साल लग गए। आर्किमिडीज़ की विधि का उपयोग करके अंकित और परिचालित बहुभुजों की भुजाओं की संख्या को दोगुना करके, वह 20 दशमलव स्थानों के साथ \(\pi \) की गणना करने के लिए \(60 \cdot 2^(29) \) - एक त्रिकोण पर पहुंचे।

उनकी मृत्यु के बाद, उनकी पांडुलिपियों में संख्या \(\pi\) के 15 और सटीक अंक खोजे गए। लुडोल्फ़ को वसीयत दी गई कि जो चिह्न उसे मिले, उन्हें उसकी समाधि के पत्थर पर उकेरा जाए। उनके सम्मान में, संख्या \(\pi\) को कभी-कभी "लुडोल्फ संख्या" या "लुडोल्फ स्थिरांक" कहा जाता था।

आर्किमिडीज़ से अलग एक विधि पेश करने वाले पहले लोगों में से एक फ्रांकोइस विएते (1540-1603) थे। वह इस नतीजे पर पहुंचे कि जिस वृत्त का व्यास एक के बराबर है उसका क्षेत्रफल है:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

दूसरी ओर, क्षेत्रफल \(\frac(\pi)(4)\) है। अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित और सरल करके, हम \(\frac(\pi)(2)\) के अनुमानित मूल्य की गणना के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

परिणामी सूत्र संख्या \(\pi\) के लिए पहली सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है। इस सूत्र के अलावा, वियत ने, आर्किमिडीज़ की विधि का उपयोग करते हुए, खुदा हुआ और परिचालित बहुभुजों का उपयोग करते हुए, 6-गॉन से शुरू करके \(2^(16) \cdot 6 \) भुजाओं वाले बहुभुज पर समाप्त करते हुए, एक सन्निकटन दिया संख्या \(\pi \) का 9 सही चिन्हों के साथ।

अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम ब्रॉनकर (1620-1684) ने निरंतर भिन्न का उपयोग करते हुए \(\frac(\pi)(4)\) की गणना के लिए निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

संख्या \(\frac(4)(\pi)\) के सन्निकटन की गणना करने की इस विधि में एक छोटा सा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए भी काफी गणनाओं की आवश्यकता होती है।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त मान या तो संख्या \(\pi\) से अधिक या कम होते हैं, और हर बार वे वास्तविक मान के करीब होते हैं, लेकिन मान 3.141592 प्राप्त करने के लिए काफी बड़ा प्रदर्शन करना आवश्यक होगा गणना.

एक अन्य अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन मैकिन (1686-1751) ने 1706 में, 100 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi\) की गणना करने के लिए, 1673 में लाइबनिज़ द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग किया और इसे इस प्रकार लागू किया:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

श्रृंखला तेजी से परिवर्तित होती है और इसकी मदद से आप बड़ी सटीकता के साथ संख्या \(\pi \) की गणना कर सकते हैं। इस प्रकार के सूत्रों का उपयोग कंप्यूटर युग के दौरान कई रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए किया गया है।

17वीं सदी में चर-मूल्य गणित की अवधि की शुरुआत के साथ, \(\pi\) की गणना में एक नया चरण शुरू हुआ। जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) ने 1673 में संख्या \(\pi\) का अपघटन पाया, सामान्य तौर पर इसे निम्नलिखित अनंत श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

श्रृंखला को \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + में x = 1 प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। \frac (x^9)(9) — \cdots\)

लियोनहार्ड यूलर ने संख्या \(\pi\) की गणना में आर्कटान x के लिए श्रृंखला के उपयोग पर अपने कार्यों में लाइबनिज़ के विचार को विकसित किया। 1738 में लिखा गया ग्रंथ "डी वेरिस मोडिस सर्कुली क्वाड्रेटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सिम एक्सप्रिमेंडी" (अनुमानित संख्याओं द्वारा वृत्त के वर्ग को व्यक्त करने के विभिन्न तरीकों पर), लाइबनिज़ के सूत्र का उपयोग करके गणना में सुधार करने के तरीकों पर चर्चा करता है।

यूलर लिखते हैं कि यदि तर्क शून्य हो जाता है तो आर्कटेंजेंट की श्रृंखला तेजी से परिवर्तित हो जाएगी। \(x = 1\) के लिए, श्रृंखला का अभिसरण बहुत धीमा है: 100 अंकों की सटीकता के साथ गणना करने के लिए श्रृंखला के \(10^(50)\) शब्दों को जोड़ना आवश्यक है। आप तर्क का मान कम करके गणना में तेजी ला सकते हैं। यदि हम \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) लेते हैं, तो हमें श्रृंखला मिलती है

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots \]

यूलर के अनुसार यदि हम इस श्रृंखला के 210 पद लें तो हमें संख्या के 100 सही अंक प्राप्त होंगे। परिणामी श्रृंखला असुविधाजनक है क्योंकि अपरिमेय संख्या \(\sqrt(3)\) का काफी सटीक मान जानना आवश्यक है। यूलर ने अपनी गणना में छोटे तर्कों के आर्कटिक स्पर्शरेखाओं के योग में विस्तार का भी उपयोग किया:

\[जहाँ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

यूलर द्वारा अपनी नोटबुक में उपयोग किए गए \(\pi\) की गणना के सभी सूत्र प्रकाशित नहीं हुए थे। प्रकाशित पत्रों और नोटबुक में, उन्होंने आर्कटेंजेंट की गणना के लिए 3 अलग-अलग श्रृंखलाओं पर विचार किया, और दी गई सटीकता के साथ \(\pi\) का अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक योग योग्य शब्दों की संख्या के बारे में कई बयान भी दिए।

बाद के वर्षों में, संख्या \(\pi\) के मूल्य में तेजी से सुधार हुआ। उदाहरण के लिए, 1794 में, जॉर्ज वेगा (1754-1802) ने पहले ही 140 संकेतों की पहचान कर ली थी, जिनमें से केवल 136 ही सही निकले।

कंप्यूटिंग अवधि

20वीं शताब्दी को संख्या \(\pi\) की गणना में एक पूरी तरह से नए चरण द्वारा चिह्नित किया गया था। भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) ने \(\pi\) के लिए कई नए सूत्र खोजे। 1910 में, उन्होंने टेलर श्रृंखला में चाप स्पर्शरेखा विस्तार के माध्यम से \(\pi\) की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 पर, संख्या \(\pi\) के 600 सही अंकों की सटीकता प्राप्त की जाती है।

कंप्यूटर के आगमन ने कम समय में प्राप्त मूल्यों की सटीकता में उल्लेखनीय वृद्धि करना संभव बना दिया। 1949 में, केवल 70 घंटों में, ENIAC का उपयोग करके, जॉन वॉन न्यूमैन (1903-1957) के नेतृत्व में वैज्ञानिकों के एक समूह ने संख्या \(\pi\) के लिए 2037 दशमलव स्थान प्राप्त किए। 1987 में, डेविड और ग्रेगरी चुडनोव्स्की ने एक सूत्र प्राप्त किया जिसके साथ वे \(\pi\) की गणना में कई रिकॉर्ड स्थापित करने में सक्षम थे:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य 14 अंक देता है। 1989 में 1,011,196,691 दशमलव स्थान प्राप्त हुए। यह फॉर्मूला पर्सनल कंप्यूटर पर \(\pi \) की गणना के लिए उपयुक्त है। फिलहाल दोनों भाई न्यूयॉर्क यूनिवर्सिटी के पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट में प्रोफेसर हैं।

एक महत्वपूर्ण हालिया विकास 1997 में साइमन प्लॉफ़ द्वारा सूत्र की खोज थी। यह आपको पिछली संख्या की गणना किए बिना संख्या \(\pi\) के किसी भी हेक्साडेसिमल अंक को निकालने की अनुमति देता है। उस लेख के लेखकों के सम्मान में सूत्र को "बेली-बोरवेन-प्लॉफ़े फॉर्मूला" कहा जाता है जहां सूत्र पहली बार प्रकाशित हुआ था। यह इस तरह दिख रहा है:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 में, साइमन, PSLQ का उपयोग करके, \(\pi\) की गणना के लिए कुछ अच्छे सूत्र लेकर आए। उदाहरण के लिए,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

जहां \(q = e^(\pi)\). 2009 में, जापानी वैज्ञानिकों ने T2K त्सुकुबा सिस्टम सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके 2,576,980,377,524 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi\) प्राप्त की। गणना में 73 घंटे 36 मिनट लगे। कंप्यूटर 640 क्वाड-कोर एएमडी ओपर्टन प्रोसेसर से लैस था, जो प्रति सेकंड 95 ट्रिलियन ऑपरेशन का प्रदर्शन प्रदान करता था।

\(\pi\) की गणना में अगली उपलब्धि फ्रांसीसी प्रोग्रामर फैब्रिस बेलार्ड की है, जिन्होंने 2009 के अंत में, फेडोरा 10 चलाने वाले अपने निजी कंप्यूटर पर संख्या \(\pi\) के 2,699,999,990,000 दशमलव स्थानों की गणना करके एक रिकॉर्ड बनाया। ). पिछले 14 वर्षों में, यह पहला विश्व रिकॉर्ड है जो सुपर कंप्यूटर के उपयोग के बिना बनाया गया है। उच्च प्रदर्शन के लिए, फैब्रिस ने चुडनोव्स्की भाइयों के फॉर्मूले का उपयोग किया। कुल मिलाकर, गणना में 131 दिन (गणना में 103 दिन और परिणाम के सत्यापन में 13 दिन) लगे। बेलर की उपलब्धि से पता चला कि ऐसी गणनाओं के लिए सुपर कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं होती है।

ठीक छह महीने बाद, फ्रेंकोइस का रिकॉर्ड इंजीनियर अलेक्जेंडर यी और सिंगर कोंडो ने तोड़ दिया। \(\pi\) के 5 ट्रिलियन दशमलव स्थानों का रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए, एक पर्सनल कंप्यूटर का भी उपयोग किया गया था, लेकिन अधिक प्रभावशाली विशेषताओं के साथ: 3.33 गीगाहर्ट्ज़ पर दो इंटेल ज़ीऑन एक्स5680 प्रोसेसर, 96 जीबी रैम, 38 टीबी डिस्क मेमोरी और ऑपरेटिंग सिस्टम Windows Server 2008 R2 एंटरप्राइज़ x64। गणना के लिए, अलेक्जेंडर और सिंगर ने चुडनोव्स्की भाइयों के सूत्र का उपयोग किया। गणना प्रक्रिया में 90 दिन और 22 टीबी डिस्क स्थान लगा। 2011 में, उन्होंने संख्या \(\pi\) के लिए 10 ट्रिलियन दशमलव स्थानों की गणना करके एक और रिकॉर्ड बनाया। गणना उसी कंप्यूटर पर हुई जिस पर उनका पिछला रिकॉर्ड सेट किया गया था और इसमें कुल 371 दिन लगे। 2013 के अंत में, अलेक्जेंडर और सिंगरौ ने संख्या \(\pi\) के 12.1 ट्रिलियन अंकों के रिकॉर्ड में सुधार किया, जिसकी गणना करने में उन्हें केवल 94 दिन लगे। यह प्रदर्शन सुधार सॉफ़्टवेयर प्रदर्शन को अनुकूलित करके, प्रोसेसर कोर की संख्या में वृद्धि करके और सॉफ़्टवेयर दोष सहनशीलता में उल्लेखनीय सुधार करके प्राप्त किया जाता है।

वर्तमान रिकॉर्ड अलेक्जेंडर यी और सिंगर कोंडो का है, जो 12.1 ट्रिलियन दशमलव स्थानों \(\pi\) का है।

इस प्रकार, हमने प्राचीन काल में उपयोग की जाने वाली संख्या \(\pi\) की गणना के तरीकों, विश्लेषणात्मक तरीकों को देखा, और कंप्यूटर पर संख्या \(\pi\) की गणना के लिए आधुनिक तरीकों और रिकॉर्ड को भी देखा।

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