विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "समीकरणों की प्रणाली। प्रतिस्थापन विधि, जोड़ विधि, एक नया चर पेश करने की विधि"

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असमानताओं की व्यवस्था को हल करने के तरीके

दोस्तों, हमने समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन किया है और ग्राफ का उपयोग करके उन्हें हल करना सीखा है। अब देखते हैं कि सिस्टम को हल करने के और कौन से तरीके मौजूद हैं?
उन्हें हल करने के लगभग सभी तरीके उन तरीकों से अलग नहीं हैं जो हमने 7वीं कक्षा में पढ़े थे। अब हमें उन समीकरणों के अनुसार कुछ समायोजन करने की आवश्यकता है जिन्हें हमने हल करना सीखा है।
इस पाठ में वर्णित सभी विधियों का सार सरल रूप और समाधान की विधि के साथ एक समान प्रणाली के साथ प्रणाली का प्रतिस्थापन है। दोस्तों, याद रखें कि एक समान प्रणाली क्या है।

प्रतिस्थापन विधि

दो चर वाले समीकरणों के सिस्टम को हल करने का पहला तरीका हम अच्छी तरह से जानते हैं - यह प्रतिस्थापन विधि है। हमने रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग किया। अब देखते हैं कि सामान्य स्थिति में समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

निर्णय लेते समय किसी को कैसे आगे बढ़ना चाहिए?
1. एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त कीजिए। समीकरणों में उपयोग किए जाने वाले सबसे सामान्य चर x और y हैं। एक समीकरण में, हम एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करते हैं। युक्ति: हल करना शुरू करने से पहले दोनों समीकरणों पर एक अच्छी नज़र डालें और वह चुनें जहाँ चर को व्यक्त करना आसान हो।
2. परिणामी व्यंजक को व्यक्त किए गए चर के स्थान पर दूसरे समीकरण में रखें।
3. हमें जो समीकरण मिला है उसे हल करें।
4. परिणामी हल को दूसरे समीकरण में रखें। यदि कई समाधान हैं, तो उन्हें क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करना आवश्यक है ताकि कुछ समाधान न खोएं।
5. परिणामस्वरूप, आपको संख्याओं की एक जोड़ी $(x;y)$ मिलेगी, जिसे उत्तर के रूप में लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण।
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले सिस्टम को हल करें: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$।

फेसला।
आइए हमारे समीकरणों पर करीब से नज़र डालें। जाहिर है, पहले समीकरण में y को x के रूप में व्यक्त करना बहुत आसान है।
$\begin(मामलों)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$।
पहले व्यंजक को दूसरे समीकरण $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ में बदलें।
आइए दूसरे समीकरण को अलग से हल करें:
$x(5-x)=6$।
$-x^2+5x-6=0$।
$x^2-5x+6=0$।
$(x-2)(x-3)=0$।
हमें दूसरे समीकरण $x_1=2$ और $x_2=3$ के दो हल मिले।
दूसरे समीकरण में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित कीजिए।
अगर $x=2$ तो $y=3$। यदि $x=3$ तो $y=2$।
उत्तर संख्याओं के दो जोड़े होंगे।
उत्तर: $(2;3)$ और $(3;2)$।

बीजीय जोड़ विधि

इस विधि का अध्ययन हमने 7वीं कक्षा में भी किया था।
यह ज्ञात है कि हम दो चरों में एक परिमेय समीकरण को किसी भी संख्या से गुणा कर सकते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करना याद रखें। हमने एक समीकरण को एक निश्चित संख्या से गुणा किया ताकि जब परिणामी समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण में जोड़ा जाए, तो एक चर नष्ट हो जाए। तब समीकरण को शेष चर के संबंध में हल किया गया था।
यह विधि अभी भी काम करती है, हालांकि किसी एक चर को नष्ट करना हमेशा संभव नहीं होता है। लेकिन यह समीकरणों में से किसी एक के रूप को काफी सरल बनाने की अनुमति देता है।

उदाहरण।
सिस्टम को हल करें: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$।

फेसला।
पहले समीकरण को 2 से गुणा करें।
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$।
पहले समीकरण से दूसरा घटाएं।
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$।
जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी समीकरण का रूप मूल समीकरण की तुलना में बहुत सरल है। अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$।
आइए परिणामी समीकरण में x से y को व्यक्त करें।
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$।
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$।
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$।
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$।
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$।
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$।
$y=-1$ और $y=-3$ मिला।
इन मानों को पहले समीकरण में क्रमिक रूप से रखें। हमें दो जोड़ी संख्याएँ मिलती हैं: $(1;-1)$ और $(-1;-3)$।
उत्तर: $(1;-1)$ और $(-1;-3)$।

एक नया चर पेश करने की विधि

हमने इस विधि का भी अध्ययन किया है, लेकिन आइए इसे फिर से देखें।

उदाहरण।
सिस्टम को हल करें: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$।

फेसला।
आइए हम प्रतिस्थापन $t=\frac(x)(y)$ का परिचय दें।
आइए पहले समीकरण को एक नए चर के साथ फिर से लिखें: $t+\frac(2)(t)=3$।
आइए परिणामी समीकरण को हल करें:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$।
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$।
$t=2$ या $t=1$ मिला। आइए हम रिवर्स चेंज $t=\frac(x)(y)$ का परिचय दें।
मिला: $x=2y$ और $x=y$।

प्रत्येक भाव के लिए, मूल प्रणाली को अलग से हल किया जाना चाहिए:
$\begin(मामलों)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$। $\प्रारंभ (मामलों)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(मामलों)$।
$\begin(मामलों)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$। $\प्रारंभ (मामलों)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(मामलों)$।
$\प्रारंभ (मामलों)x=2y, \\7y^2=1\end(मामलों)$। $\प्रारंभ (मामलों)x=2y, \\y^2=1\end(मामलों)$।
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$। $\ start (मामलों) x = y, \\ y = ± 1 \ अंत (मामलों) $।
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\प्रारंभ (मामलों) x = ± 1, \\ y = ± 1 \ अंत (मामलों) $।
हमें चार जोड़ी समाधान मिले।
उत्तर: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$।

उदाहरण।
सिस्टम को हल करें: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$।

फेसला।
हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं: $z=\frac(2)(x-3y)$ और $t=\frac(3)(2x+y)$।
आइए मूल समीकरणों को नए चरों के साथ फिर से लिखें:
$\प्रारंभ (मामलों)z+t=2, \\4z-3t=1\end(मामलों)$।
आइए बीजगणितीय जोड़ की विधि का उपयोग करें:
$\begin(मामलों)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(मामलों)$।
$\begin(मामलों)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(मामलों)$।
$\प्रारंभ (मामलों)7z=7, \\4z-3t=1\end(मामलों)$।
$\प्रारंभ (मामलों)z=1, \\-3t=1-4\end(मामलों)$।
$\प्रारंभ (मामलों)z=1, \\t=1\end(मामलों)$।
आइए रिवर्स प्रतिस्थापन का परिचय दें:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$।
$\प्रारंभ (मामलों)x-3y=2, \\2x+y=3\end(मामलों)$।
आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$।
$\प्रारंभ (मामलों)x=2+3y, \\7y=-1\end(मामलों)$।
$\begin(केस)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$।
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$।
उत्तर: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$।

स्वतंत्र समाधान के लिए समीकरण प्रणालियों पर समस्याएं

सिस्टम हल करें:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$।
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$।
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$।
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ अंत (मामलों) $।
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$।

आइए पहले हम दो चरों वाले समीकरणों के निकाय के हल की परिभाषा को याद करें।

परिभाषा 1

संख्याओं के एक युग्म को दो चरों वाले समीकरणों के निकाय का हल कहा जाता है, यदि उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त होती है।

आगे हम दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे।

अस्तित्व समीकरणों के सिस्टम को हल करने के चार बुनियादी तरीके: प्रतिस्थापन विधि, जोड़ विधि, चित्रमय विधि, नई चर प्रबंधन विधि। आइए इन विधियों को विशिष्ट उदाहरणों के साथ देखें। पहली तीन विधियों का उपयोग करने के सिद्धांत का वर्णन करने के लिए, हम दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करेंगे:

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है: इनमें से कोई भी समीकरण लिया जाता है और $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर $y$ को सिस्टम के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां से चर $x.$ पाया जाता है। उसके बाद, हम आसानी से वेरिएबल $y.$ . की गणना कर सकते हैं

उदाहरण 1

आइए हम दूसरे समीकरण $y$ से $x$ के रूप में व्यक्त करें:

पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें, $x$ खोजें:

\ \ \

$y$ खोजें:

जवाब: $(-2,\ 3)$

जोड़ विधि।

एक उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करें:

उदाहरण 2

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(सरणी) \दाएं।\]

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें, हम प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(सरणी) \दाएं।\]

अब दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ते हैं:

\ \ \

दूसरे समीकरण से $y$ खोजें:

\[-6-y=-9\] \

जवाब: $(-2,\ 3)$

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि इस पद्धति में एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा करना आवश्यक है कि किसी एक चर को जोड़ने पर "गायब हो जाए"।

ग्राफिकल तरीका

चित्रमय विधि इस प्रकार है: प्रणाली के दोनों समीकरणों को समन्वय तल पर प्रदर्शित किया जाता है और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाया जाता है।

उदाहरण 3

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(सरणी) \दाएं।\]

आइए हम दोनों समीकरणों से $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त करें:

\[\बाएं\( \begin(सरणी)(सी) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

आइए एक ही तल पर दोनों रेखांकन बनाएं:

चित्र 1।

जवाब: $(-2,\ 3)$

नए चर कैसे पेश करें

हम निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करेंगे:

उदाहरण 4

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(सरणी) \दाएं .\]

फेसला।

यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है

\[\बाएं\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ सही।\]

चलो $2^x=u\ (u>0)$ और $3^y=v\ (v>0)$, हमें मिलता है:

\[\बाएं\( \शुरू (सरणी)(सी) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(सरणी) \दाएं।\]

हम परिणामी प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करते हैं। आइए समीकरण जोड़ें:

\ \

फिर दूसरे समीकरण से, हम पाते हैं कि

प्रतिस्थापन पर लौटने पर, हम घातीय समीकरणों की एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(सी) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(सरणी) \दाएं।\]

हम पाते हैं:

\[\बाएं\( \आरंभ (सरणी) (सी) (एक्स = 0) \\ (वाई = 1) \ अंत (सरणी) \ सही। \]

आइए पहले उस स्थिति पर विचार करें जब समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर हो, अर्थात्। एम = एन। तब निकाय का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, और इसके सारणिक को निकाय का निर्धारक कहा जाता है।

उलटा मैट्रिक्स विधि

सामान्य शब्दों में समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें AX = B एक गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स ए के साथ। इस मामले में, एक उलटा मैट्रिक्स ए -1 है। आइए दोनों पक्षों को बाईं ओर ए -1 से गुणा करें। हमें A -1 AX \u003d A -1 B मिलता है। यहाँ से EX \u003d A -1 B और

अंतिम समानता समीकरणों की ऐसी प्रणालियों के समाधान खोजने के लिए एक मैट्रिक्स सूत्र है। इस सूत्र के उपयोग को व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि कहा जाता है

उदाहरण के लिए, आइए निम्न प्रणाली को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग करें:

;

सिस्टम के समाधान के अंत में, सिस्टम के समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांच की जा सकती है। इस मामले में, उन्हें सच्ची समानता में बदलना होगा।

इस उदाहरण के लिए, आइए जाँच करें:

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने की विधि

चलो n=2:

यदि पहले समीकरण के दोनों भागों को 22 से गुणा किया जाता है, और दूसरे के दोनों भागों को (-a 12) से गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी समीकरण जोड़े जाते हैं, तो हम चर x 2 को सिस्टम से बाहर कर देंगे। इसी तरह, आप चर x 1 को समाप्त कर सकते हैं (पहले समीकरण के दोनों पक्षों को (-ए 21) और दूसरे के दोनों पक्षों को 11 से गुणा करके)। परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

कोष्ठक में व्यंजक प्रणाली का निर्धारक है

निरूपित

तब सिस्टम फॉर्म लेगा:

यह परिणामी प्रणाली से इस प्रकार है कि यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो प्रणाली सुसंगत और निश्चित होगी। इसके अनूठे समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

यदि = 0, a 1 0 और/या  2 0, तो सिस्टम के समीकरण 0*х 1 = 2 और/या 0*х 1 = 2 के रूप में होंगे। इस मामले में, सिस्टम असंगत होगा।

मामले में जब = 1 = 2 = 0, सिस्टम सुसंगत और अनिश्चित होगा (इसमें अनंत संख्या में समाधान होंगे), क्योंकि यह रूप लेगा:

क्रैमर का प्रमेय(हम सबूत छोड़ देते हैं)। यदि समीकरण के सिस्टम n के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

जहाँ j मैट्रिक्स A से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो j-वें कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदल देता है।

उपरोक्त सूत्र कहलाते हैं क्रैमर के सूत्र.

एक उदाहरण के रूप में, आइए इस पद्धति का उपयोग उस प्रणाली को हल करने के लिए करें जिसे पहले उलटा मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया गया था:

माना विधियों के नुकसान:

1) महत्वपूर्ण जटिलता (निर्धारकों की गणना और व्युत्क्रम मैट्रिक्स का पता लगाना);

2) सीमित दायरा (एक वर्ग मैट्रिक्स वाले सिस्टम के लिए)।

वास्तविक आर्थिक स्थितियों को अक्सर उन प्रणालियों द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है जिनमें समीकरणों और चरों की संख्या काफी महत्वपूर्ण होती है, और चरों की तुलना में अधिक समीकरण होते हैं। इसलिए, व्यवहार में निम्नलिखित विधि अधिक सामान्य है।

गॉस विधि (चरों के क्रमिक विलोपन की विधि)

इस विधि का उपयोग सामान्य तरीके से n चर वाले m रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया जाता है। इसका सार विस्तारित मैट्रिक्स में समतुल्य परिवर्तनों की एक प्रणाली को लागू करने में निहित है, जिसकी सहायता से समीकरणों की प्रणाली को उस रूप में बदल दिया जाता है जब इसके समाधान आसानी से मिल जाते हैं (यदि कोई हो)।

यह एक ऐसा दृश्य है जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स का ऊपरी बायां हिस्सा स्टेप्ड मैट्रिक्स होगा। यह उन्हीं तकनीकों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिनका उपयोग रैंक निर्धारित करने के लिए एक चरणबद्ध मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए किया गया था। इस मामले में, विस्तारित मैट्रिक्स पर प्राथमिक परिवर्तन लागू होते हैं, जो एक को समीकरणों की एक समान प्रणाली प्राप्त करने की अनुमति देगा। उसके बाद, संवर्धित मैट्रिक्स रूप लेगा:

ऐसा मैट्रिक्स प्राप्त करना कहलाता है एक सीधी रेखा मेंगॉस विधि।

समीकरणों के संगत निकाय से चरों का मान ज्ञात करना कहलाता है पीछे की ओरगॉस विधि। आइए इस पर विचार करें।

ध्यान दें कि अंतिम (m - r) समीकरण निम्न रूप लेंगे:

यदि कम से कम एक संख्या
शून्य के बराबर नहीं है, तो संगत समानता झूठी होगी, और पूरी प्रणाली असंगत होगी।

इसलिए, किसी भी संयुक्त प्रणाली के लिए
. इस मामले में, चर के किसी भी मान के लिए अंतिम (एम - आर) समीकरण पहचान 0 = 0 होंगे, और सिस्टम को हल करते समय उन्हें अनदेखा किया जा सकता है (बस संबंधित पंक्तियों को छोड़ दें)।

उसके बाद, सिस्टम इस तरह दिखेगा:

पहले मामले पर विचार करें जब r=n। तब सिस्टम फॉर्म लेगा:

सिस्टम के अंतिम समीकरण से कोई विशिष्ट रूप से x r ढूंढ सकता है।

x r जानने के बाद, कोई विशिष्ट रूप से x r -1 को इससे व्यक्त कर सकता है। फिर पिछले समीकरण से, x r और x r -1 को जानकर, हम x r -2 और इसी तरह व्यक्त कर सकते हैं। एक्स 1 तक।

तो, इस मामले में, प्रणाली सहयोगी और निश्चित होगी।

अब उस मामले पर विचार करें जब r बुनियादी(मूल), और बाकी सब - गैर बुनियादी(मामूली, मुक्त)। सिस्टम का अंतिम समीकरण इस तरह दिखेगा:

इस समीकरण से, हम मूल चर x r को गैर-मूल चर के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

अंतिम समीकरण इस तरह दिखेगा:

परिणामी व्यंजक को x r के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, मूल चर x r -1 को गैर-मूल चर के माध्यम से व्यक्त करना संभव होगा। आदि। चर x 1 के लिए। सिस्टम का समाधान प्राप्त करने के लिए, आप गैर-बुनियादी चरों को मनमाने मूल्यों के बराबर कर सकते हैं और फिर प्राप्त सूत्रों का उपयोग करके मूल चर की गणना कर सकते हैं। इस प्रकार, इस मामले में, सिस्टम सुसंगत और अनिश्चित होगा (समाधानों की एक अनंत संख्या है)।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

मूल चरों के समुच्चय को कहा जाएगा आधारसिस्टम उनके लिए गुणांकों के स्तम्भों के समुच्चय को भी कहा जाएगा आधार(मूल स्तंभ), या बुनियादी नाबालिगसिस्टम मैट्रिक्स। निकाय का वह हल, जिसमें सभी गैर-मूल चर शून्य के बराबर हों, कहलाएगा मूल समाधान.

पिछले उदाहरण में, मूल समाधान होगा (4/5; -17/5; 0; 0) (चर x 3 और x 4 (c 1 और c 2) शून्य पर सेट हैं, और मूल चर x 1 और x 2 की गणना उनके द्वारा की जाती है)। एक गैर-बुनियादी समाधान का उदाहरण देने के लिए, x 3 और x 4 (c 1 और c 2) को एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं होने वाली मनमानी संख्याओं के बराबर करना आवश्यक है, और शेष चर की गणना इसके माध्यम से करें उन्हें। उदाहरण के लिए, c 1 = 1 और c 2 = 0 के साथ, हमें एक गैर-मूल समाधान मिलता है - (4/5; -12/5; 1; 0)। प्रतिस्थापन द्वारा, यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों समाधान सही हैं।

जाहिर है, गैर-बुनियादी समाधानों की अनिश्चित प्रणाली में, अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं। कितने बुनियादी समाधान हो सकते हैं? रूपांतरित मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को एक मूल चर के अनुरूप होना चाहिए। कुल मिलाकर, समस्या में n चर हैं, और r मूल पंक्तियाँ हैं। इसलिए, मूल चरों के संभावित सेटों की संख्या n से 2 तक के संयोजनों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है। यह से कम हो सकता है , क्योंकि सिस्टम को इस तरह से बदलना हमेशा संभव नहीं होता है कि चर का यह विशेष सेट आधार हो।

यह किस प्रकार का है? यह एक ऐसा रूप है जब इन चरों के गुणांकों के स्तंभों से बनने वाला मैट्रिक्स चरणबद्ध होगा और इस मामले में, पंक्तियों से मिलकर बनेगा। वे। इन चरों के गुणांकों के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर होनी चाहिए। यह बड़ा नहीं हो सकता, क्योंकि स्तंभों की संख्या r के बराबर है। यदि यह r से कम निकलता है, तो यह चर के साथ स्तंभों की रैखिक निर्भरता को इंगित करता है। ऐसे कॉलम आधार नहीं बना सकते।

आइए विचार करें कि उपरोक्त उदाहरण में अन्य बुनियादी समाधान क्या मिल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दो बुनियादी चर के साथ चार चर के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करें। इस तरह के संयोजन करेंगे
, और उनमें से एक (x 1 और x 2) पर पहले ही विचार किया जा चुका है।

आइए चर x 1 और x 3 लेते हैं। उनके लिए गुणांकों के मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात कीजिए:

चूंकि यह दो के बराबर है, वे बुनियादी हो सकते हैं। हम गैर-मूल चर x 2 और x 4 को शून्य से बराबर करते हैं: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. फिर सूत्र x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 से यह इस प्रकार है कि x 1 \u003d 4/5, और सूत्र x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 से यह इस प्रकार है कि x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5। इस प्रकार, हमें मूल समाधान (4/5; 0; 17/5; 0) मिलता है।

इसी तरह, आप मूल चर x 1 और x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) के लिए बुनियादी समाधान प्राप्त कर सकते हैं; x 2 और x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 और x 4 - (0; 0; 9; 4)।

इस उदाहरण में चर x 2 और x 3 को मूल के रूप में नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि संबंधित मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है, अर्थात। दो से कम:

.

एक अन्य दृष्टिकोण यह निर्धारित करना संभव है कि कुछ चरों से आधार बनाना संभव है या नहीं। उदाहरण को हल करते समय, सिस्टम मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में बदलने के परिणामस्वरूप, इसने रूप लिया:

चर के जोड़े चुनकर, इस मैट्रिक्स के संबंधित नाबालिगों की गणना करना संभव था। यह देखना आसान है कि x 2 और x 3 को छोड़कर सभी जोड़ों के लिए, वे शून्य के बराबर नहीं हैं, अर्थात। स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। और केवल चर x 2 और x 3 . वाले स्तंभों के लिए
, जो उनकी रैखिक निर्भरता को इंगित करता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

तो, अंतिम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के अनुरूप समीकरण असंगत है - इससे गलत समानता 0 = -1 हो गई, इसलिए, यह प्रणाली असंगत है।

जॉर्डन-गॉस विधि 3 गाऊसी पद्धति का विकास है। इसका सार यह है कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को उस रूप में बदल दिया जाता है जब चर के गुणांक पंक्तियों या कॉलम 4 (जहां सिस्टम मैट्रिक्स का रैंक है) के क्रमपरिवर्तन तक एक पहचान मैट्रिक्स बनाते हैं।

आइए इस पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स पर विचार करें:

इस मैट्रिक्स में, हम पहचान तत्व का चयन करते हैं। उदाहरण के लिए, तीसरी बाधा में x 2 पर गुणांक 5 है। आइए सुनिश्चित करें कि इस कॉलम की शेष पंक्तियों में शून्य हैं, अर्थात। कॉलम को सिंगल करें। परिवर्तन की प्रक्रिया में, हम इसे कहेंगे कॉलमअनुमोदक(अग्रणी, कुंजी)। तीसरी बाधा (तीसरा डोरी) भी कहा जाएगा अनुमोदक. मैं तत्व, जो अनुमत पंक्ति और स्तंभ (यहाँ यह एक इकाई है) के प्रतिच्छेदन पर स्थित है, इसे भी कहा जाता है अनुमोदक.

पहली पंक्ति में अब गुणांक (-1) है। इसके स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें और परिणाम को पहली पंक्ति से घटाएँ (अर्थात केवल पहली पंक्ति को तीसरी में जोड़ें)।

दूसरी पंक्ति में 2 का गुणांक है। इसके स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और परिणाम को पहली पंक्ति से घटाएं।

परिवर्तनों का परिणाम इस तरह दिखेगा:

यह मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से दिखाता है कि पहले दो बाधाओं में से एक को हटाया जा सकता है (संबंधित पंक्तियां आनुपातिक हैं, यानी ये समीकरण एक दूसरे से अनुसरण करते हैं)। आइए दूसरे को पार करें:

तो, नई प्रणाली में दो समीकरण हैं। एक सिंगल कॉलम (दूसरा) प्राप्त होता है, और यहाँ इकाई दूसरी पंक्ति में है। आइए याद रखें कि मूल चर x 2 नई प्रणाली के दूसरे समीकरण के अनुरूप होगा।

आइए पहली पंक्ति के लिए एक मूल चर चुनें। यह x 3 को छोड़कर कोई भी चर हो सकता है (क्योंकि x 3 पर पहली बाधा में शून्य गुणांक होता है, अर्थात चर का सेट x 2 और x 3 यहां मूल नहीं हो सकता)। आप पहला या चौथा चर ले सकते हैं।

आइए x 1 चुनें। फिर हल करने वाला तत्व 5 होगा, और पहली पंक्ति के पहले कॉलम में एक प्राप्त करने के लिए हल करने वाले समीकरण के दोनों पक्षों को पांच से विभाजित करना होगा।

आइए सुनिश्चित करें कि शेष पंक्तियों (यानी, दूसरी पंक्ति) में पहले कॉलम में शून्य हैं। चूंकि अब दूसरी पंक्ति शून्य नहीं है, लेकिन 3 है, दूसरी पंक्ति से परिवर्तित पहली पंक्ति के तत्वों को 3 से गुणा करना आवश्यक है:

एक मूल समाधान सीधे परिणामी मैट्रिक्स से गैर-मूल चर को शून्य से, और मूल चर को संबंधित समीकरणों में मुक्त शर्तों से जोड़कर निकाला जा सकता है: (0.8; -3.4; 0; 0)। आप गैर-मूलभूत चर के माध्यम से बुनियादी चर व्यक्त करने वाले सामान्य सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. ये सूत्र सिस्टम के समाधानों के संपूर्ण अनंत सेट का वर्णन करते हैं (x 3 और x 4 को मनमानी संख्याओं से जोड़कर, आप x 1 और x 2 की गणना कर सकते हैं)।

ध्यान दें कि जॉर्डन-गॉस पद्धति के प्रत्येक चरण में परिवर्तनों का सार इस प्रकार था:

1) अनुमेय स्ट्रिंग को उसके स्थान पर एक इकाई प्राप्त करने के लिए अनुमेय तत्व द्वारा विभाजित किया गया था,

2) अन्य सभी पंक्तियों में से, परिवर्तित समाधान शक्ति को उस तत्व से गुणा किया जाता है जो कि हल करने वाले कॉलम में दी गई रेखा में था, इस तत्व के स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए घटाया गया था।

सिस्टम के रूपांतरित संवर्धित मैट्रिक्स पर एक बार फिर विचार करें:

इस प्रविष्टि से यह देखा जा सकता है कि सिस्टम A के मैट्रिक्स का रैंक r है।

उपरोक्त तर्क के दौरान, हमने स्थापित किया है कि प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि
. इसका मतलब है कि सिस्टम का संवर्धित मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

शून्य पंक्तियों को छोड़कर, हम पाते हैं कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी r के बराबर है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है।

याद रखें कि एक मैट्रिक्स की रैंक इसकी रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या के बराबर होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक समीकरणों की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समीकरण रैखिक रूप से निर्भर हैं, और उनमें से एक या अधिक को सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है (क्योंकि वे एक रैखिक हैं दूसरों का संयोजन)। समीकरणों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होगी यदि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक समीकरणों की संख्या के बराबर हो।

इसके अलावा, रैखिक समीकरणों की सुसंगत प्रणालियों के लिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि यदि मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और यदि यह चर की संख्या से कम है, तो प्रणाली अनिश्चित है और इसके असीम रूप से कई समाधान हैं।

1उदाहरण के लिए, मान लें कि मैट्रिक्स में पाँच पंक्तियाँ हैं (प्रारंभिक पंक्ति क्रम 12345 है)। हमें दूसरी और पांचवीं पंक्ति को बदलने की जरूरत है। दूसरी पंक्ति के लिए पाँचवीं के स्थान पर गिरने के लिए, नीचे "स्थानांतरित" करने के लिए, हम क्रमिक रूप से आसन्न पंक्तियों को तीन बार बदलते हैं: दूसरी और तीसरी (13245), दूसरी और चौथी (13425) और दूसरी और पाँचवीं (13452)। फिर, पाँचवीं पंक्ति को मूल मैट्रिक्स में दूसरे स्थान पर ले जाने के लिए, पाँचवीं पंक्ति को केवल दो लगातार परिवर्तनों द्वारा "शिफ्ट" करना आवश्यक है: पाँचवीं और चौथी पंक्तियाँ (13542) और पाँचवीं और तीसरी (15342)।

2n से r . तक के संयोजनों की संख्या किसी n-तत्व समुच्चय के सभी भिन्न r-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या कहलाती है (विभिन्न समुच्चय वे होते हैं जिनमें तत्वों की भिन्न संरचना होती है, चयन क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
. संकेत का अर्थ याद रखें "!" (फैक्टोरियल):
0!=1.)

3चूंकि यह विधि पहले चर्चा की गई गाऊसी पद्धति की तुलना में अधिक सामान्य है, और संक्षेप में आगे और पीछे की गाऊसी पद्धति का एक संयोजन है, इसे कभी-कभी नाम के पहले भाग को छोड़ कर गाऊसी पद्धति भी कहा जाता है।

4 उदाहरण के लिए,
.

5यदि सिस्टम के मैट्रिक्स में कोई इकाइयाँ न हों, तो यह संभव होगा, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण के दोनों भागों को दो से विभाजित करना, और फिर पहला गुणांक एकता बन जाएगा; या जैसे।

इस गणितीय कार्यक्रम के साथ, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि दो तरीकों से समाधान चरणों की व्याख्या के साथ एक विस्तृत समाधान भी प्रदान करता है: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

समीकरणों में प्रवेश करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद के समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात। तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ ax+by+c=0 रूप का।
उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्णांकों का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण अंशों के रूप में भिन्नात्मक संख्याओं का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।
भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।
एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

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थोड़ा सिद्धांत।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के किसी समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें;
2) परिणामी व्यंजक को इस चर के स्थान पर निकाय के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(एल) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(सरणी) \दाएं। $$

आइए पहले समीकरण y से x: y = 7-3x तक व्यक्त करें। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें निकाय प्राप्त होता है:
$$ \बाएं\( \प्रारंभ(सरणी)(एल) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(सरणी) \दाएं। $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणालियों के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

समीकरण y=7-3x में x के बजाय संख्या 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान ज्ञात करते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

जोड़ी (1;4) - प्रणाली का समाधान

समान हल वाले दो चरों के समीकरण निकाय कहलाते हैं समकक्ष. जिन प्रणालियों के पास समाधान नहीं है उन्हें भी समकक्ष माना जाता है।

जोड़कर रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। सिस्टम को इस तरह से हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते समय, हम किसी दिए गए सिस्टम से उसके समकक्ष दूसरी प्रणाली में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम टर्म के समीकरणों को पद से गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्या बन जाएं;
2) प्रणाली के समीकरणों के बाएँ और दाएँ भागों को पद दर पद जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे चर का संगत मान ज्ञात कीजिए।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(सरणी) \दाएं। $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ भागों में पदों को जोड़ने पर, हम एक चर 3x=33 के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए पहले वाला, समीकरण 3x=33 के साथ। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(सरणी) \दाएं। $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38 \) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38 \) के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमें समीकरणों की प्रणाली का हल मिला: \(x=11; y=-9 \) या \((11; -9) \)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि प्रणाली के समीकरणों में y के गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समान प्रणाली के समाधान में घटा दिया है (मूल सिमेम के प्रत्येक समीकरण के दोनों भागों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई चित्रमय पद्धति से अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने इस विधि का उपयोग 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया था। 7वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिथ्म दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक हो) के सिस्टम को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने पिछले पैराग्राफ में इस एल्गोरिथम का उपयोग किया था, जब दो अंकों की संख्या की समस्या ने गणितीय मॉडल को जन्म दिया, जो कि समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त समीकरणों की इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया है (उदाहरण 1 से 4 देखें)।

दो चर x, y के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निकाय के एक समीकरण से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर परिणामी व्यंजक को रखिए।
3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।
4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें, जो क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x \u003d 5 - Zy में बदलें। तो अगर
5) समीकरणों की दी गई प्रणाली के जोड़े (2; 1) और समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित है, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया गया था। हम निम्नलिखित उदाहरण में विधि के सार को याद करते हैं।

उदाहरण 2समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएं:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ के परिणामस्वरूप, एक समीकरण प्राप्त हुआ जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की तुलना में सरल है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं कि इस व्यंजक को y के स्थान पर निकाय के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में बदलने के लिए बनी हुई है

अगर एक्स = 2 तो

इस प्रकार, हमने सिस्टम के दो समाधान खोजे हैं:

नए चर पेश करने की विधि

आप 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ परिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि से परिचित हो गए। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का सार समान है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से, कुछ विशेषताएं हैं जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर सिस्टम के पहले समीकरण को सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है: आइए इस समीकरण को चर t के संबंध में हल करें:

ये दोनों मान स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए चर t के साथ एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब है कि या तो जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि की मदद से, हम सिस्टम के पहले समीकरण को "स्तरीकृत" करने में सक्षम थे, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; वाई - 2x।

आगे क्या होगा? और फिर प्राप्त किए गए दो सरल समीकरणों में से प्रत्येक को समीकरण x 2 - y 2 \u003d 3 के साथ एक प्रणाली में माना जाना चाहिए, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने में समस्या कम हो जाती है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के लिए समाधान खोजना और उत्तर में सभी परिणामी मूल्यों के जोड़े शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां इसके लिए सब कुछ तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में एक्स के बजाय एक्सप्रेशन 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

चूंकि x \u003d 2y, हम क्रमशः x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का फिर से उपयोग करें: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधान शामिल किए जाने चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2; -1)।

दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम को हल करने में नए चरों को पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में ठीक ऐसा ही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में एक साथ दो नए चर पेश किए जाते हैं और उनका उपयोग किया जाता है। उदाहरण 4 में ऐसा ही होगा।

उदाहरण 4समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए दो नए चर पेश करें:

हम सीखते हैं कि तब

यह हमें दिए गए सिस्टम को बहुत सरल रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा, लेकिन नए चर a और b के संबंध में:

a \u003d 1 के बाद से, समीकरण a + 6 \u003d 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक हल मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

हम इस प्रणाली को हल करने के लिए बीजीय जोड़ विधि लागू करते हैं:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक हल मिला:

आइए इस खंड को एक संक्षिप्त लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करें। आप पहले ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि एक समीकरण को हल करने का मुख्य विचार यह है कि एक समीकरण से दूसरे में धीरे-धीरे जाना, सरल लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। पिछले भाग में, हमने दो चरों वाले समीकरणों के लिए तुल्यता की धारणा का परिचय दिया था। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समान समाधान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस खंड में हमने जिन तीनों विधियों (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों का परिचय) की चर्चा की है, वे तुल्यता की दृष्टि से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से बदल देते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि प्रतिस्थापन की विधि, बीजीय योग और नए चरों के परिचय जैसे सामान्य और विश्वसनीय तरीकों से समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। और अब आइए उस विधि को याद करें जिसका अध्ययन आप पिछले पाठ में कर चुके हैं। अर्थात्, आलेखीय समाधान पद्धति के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने की विधि प्रत्येक विशिष्ट समीकरणों के लिए एक ग्राफ का निर्माण है जो इस प्रणाली में शामिल हैं और एक ही समन्वय विमान में हैं, और जहां इन ग्राफों के बिंदुओं के चौराहे को खोजने की आवश्यकता है। . समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि समीकरणों की एक ग्राफिकल प्रणाली के लिए या तो एक ही सही समाधान, या अनंत संख्या में समाधान होना, या समाधान बिल्कुल नहीं होना आम बात है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक समाधान पर करीब से नज़र डालें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि रेखाएं, जो कि सिस्टम के समीकरणों के ग्राफ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई हल नहीं है। प्रणाली के समीकरणों के प्रत्यक्ष रेखांकन के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको कई समाधान खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर एक नज़र डालें:

सबसे पहले, हम पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं;
दूसरा चरण दूसरे समीकरण से संबंधित एक ग्राफ तैयार करना होगा;
तीसरा, हमें रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ और अधिक विस्तार से देखें। हमें हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण का एक ग्राफ बनाएंगे: x2+y2=9।

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण तैयार करना होगा जैसे: y = x - 3।

इस मामले में, हमें एक रेखा बनानी होगी और अंक (0;−3) और (3;0) खोजने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3;0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0;-3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और इसके परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3;0) और (0;−3) प्रणाली के दोनों समीकरणों के सटीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ भी इस समीकरण प्रणाली के हल हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3;0) और (0;−3)।