किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख

फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्पर्शोन्मुख y \u003d f (x) को एक ऐसी रेखा कहा जाता है जिसमें यह गुण होता है कि इस रेखा से बिंदु (x, f (x)) की दूरी मूल से ग्राफ़ बिंदु के असीमित निष्कासन के साथ शून्य हो जाती है।

चित्र 3.10. चित्रमय उदाहरण दिए गए हैं खड़ा, क्षैतिजऔर परोक्षस्पर्शोन्मुख

ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात करना निम्नलिखित तीन प्रमेयों पर आधारित है।

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख प्रमेय। मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x 0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है (संभवतः इस बिंदु को छोड़कर) और फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर हो, यानी। तब रेखा x \u003d x 0 फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

जाहिर है, लाइन x \u003d x 0 एक लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकता है यदि फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर है, क्योंकि इस मामले में . इसलिए, किसी फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं पर या उसके डोमेन के सिरों पर लंबवत स्पर्शोन्मुख की तलाश की जानी चाहिए।

क्षैतिज अनंतस्पर्शी प्रमेय। मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) को पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए परिभाषित किया गया है और फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा है। तब रेखा y = b फलन के ग्राफ की क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।

टिप्पणी। यदि केवल एक सीमा परिमित है, तो फलन में क्रमशः, बाएँ तरफाया सही तरफासमस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा।

इस घटना में, फ़ंक्शन में एक तिरछा स्पर्शोन्मुख हो सकता है।

तिरछी स्पर्शोन्मुख प्रमेय। मान लें कि फलन y = f(x) को पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए परिभाषित किया गया है और परिमित सीमाएं हैं . तब रेखा y = kx + b फलन के आलेख की एक तिरछी अनंतस्पर्शी रेखा है।

बिना सबूत के।

तिरछी स्पर्शोन्मुख, क्षैतिज की तरह, दाएं या बाएं हाथ की हो सकती है यदि संबंधित सीमा का आधार एक निश्चित संकेत की अनंतता है।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में आमतौर पर निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।

2. सम-विषम के फलन की जाँच कीजिए।

3. परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर असंततता बिंदुओं और फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करके ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजें, यदि वे परिमित हैं।

4. अनंत पर फलन के व्यवहार की जांच करके क्षैतिज या तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कितने स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं?

कोई नहीं, एक, दो, तीन... या अनंत संख्या। हम उदाहरणों के लिए बहुत दूर नहीं जाएंगे, हम प्राथमिक कार्यों को याद करेंगे। परवलय, घन परवलय, साइनसॉइड में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं होता है। एक घातांक, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक एकल स्पर्शोन्मुख है। आर्कटिक, आर्ककोटैंजेंट में उनमें से दो हैं, और टेंगेंट, कोटैंजेंट में अनंत संख्या है। एक ग्राफ के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों स्पर्शोन्मुख होना असामान्य नहीं है। अतिशयोक्ति, हमेशा तुमसे प्यार करेगा।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख को खोजने का क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है उनके समीकरणों का पता लगाना, और यदि समस्या की स्थिति की आवश्यकता हो तो सीधी रेखाएँ खींचना। इस प्रक्रिया में फ़ंक्शन की सीमाएं ढूंढना शामिल है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत अनंतस्पर्शी

ग्राफ का लंबवत स्पर्शोन्मुख, एक नियम के रूप में, फ़ंक्शन के अनंत असंततता के बिंदु पर है। यह सरल है: यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन अनंत विराम का शिकार होता है, तो समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

नोट: कृपया ध्यान दें कि दो पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को संदर्भित करने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है। बिंदु निहित है या एक सीधी रेखा का समीकरण - संदर्भ पर निर्भर करता है।

इस प्रकार, एक बिंदु पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति को स्थापित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक अनंत है। अक्सर, यह वह बिंदु होता है जहां फ़ंक्शन का हर शून्य के बराबर होता है। वास्तव में, हम पहले ही किसी फलन की निरंतरता पर पाठ के अंतिम उदाहरणों में ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख पाए गए हैं। लेकिन कई मामलों में केवल एक तरफा सीमा होती है, और यदि यह अनंत है, तो फिर से - ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख प्रेम और पक्ष। सबसे सरल उदाहरण: और y-अक्ष।

स्पष्ट तथ्य ऊपर से भी अनुसरण करता है: यदि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, तो कोई लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हैं। किसी कारण से, एक परवलय के दिमाग में आया। वास्तव में, आप यहाँ एक सीधी रेखा कहाँ "छड़ी" कर सकते हैं? ... हां ... मैं समझता हूं ... अंकल फ्रायड के अनुयायी उन्माद में घिर गए =)

विपरीत कथन आम तौर पर सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन यह पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख से वंचित है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तिरछे स्पर्शोन्मुख

ओब्लिक (एक विशेष मामले के रूप में - क्षैतिज) एसिम्प्टोट्स को खींचा जा सकता है यदि फ़ंक्शन तर्क "प्लस इनफिनिटी" या "माइनस इन्फिनिटी" की ओर जाता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में 2 से अधिक तिरछे स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, एक घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है, और आर्कटिक के ग्राफ़ में दो ऐसे स्पर्शोन्मुख होते हैं, और अलग-अलग होते हैं।

परिभाषा . किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है जिसमें यह गुण होता है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदु से इस रेखा तक की दूरी ग्राफ़ बिंदु के मूल से असीमित दूरी के साथ शून्य हो जाती है.

उन्हें खोजने के तरीकों के अनुसार, तीन प्रकार के स्पर्शोन्मुख हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, तिरछा।

जाहिर है, क्षैतिज वाले झुकाव वाले (के लिए) के विशेष मामले हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी ढूँढना निम्नलिखित कथनों पर आधारित है।

प्रमेय 1 . मान लें कि फलन को कम से कम बिंदु के किसी अर्ध-पड़ोस में परिभाषित किया जाए और इस बिंदु पर इसकी कम से कम एक तरफा सीमा को अनंत होने दें, अर्थात। बराबर। तब सरल रेखा फलन के ग्राफ का उर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है.

इस प्रकार, फ़ंक्शन ग्राफ़ के लंबवत स्पर्शोन्मुख को फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं पर या इसकी परिभाषा के डोमेन के सिरों पर मांगा जाना चाहिए (यदि ये परिमित संख्याएं हैं)।

प्रमेय 2 . फ़ंक्शन को तर्क मानों के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए जो पूर्ण मूल्य में पर्याप्त रूप से बड़े हैं, और फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा है . तब रेखा फलन के ग्राफ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

ऐसा हो सकता है , ए , और परिमित संख्याएं हैं, तो ग्राफ़ में दो अलग-अलग क्षैतिज अनंतस्पर्शी हैं: बाएं हाथ और दाएं हाथ। यदि परिमित सीमाओं में से केवल एक या मौजूद है, तो ग्राफ़ में या तो एक बाएँ हाथ का या एक दाएँ हाथ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है।

प्रमेय 3 . फ़ंक्शन को तर्क के मूल्यों के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए जो पूर्ण मूल्य में पर्याप्त रूप से बड़े हैं, और सीमित सीमाएं हैं और . तब सरल रेखा फलन के ग्राफ की तिरछी अनंतस्पर्शी होती है.

ध्यान दें कि यदि इनमें से कम से कम एक सीमा अनंत है, तो कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

तिरछा स्पर्शोन्मुख, क्षैतिज की तरह, एकतरफा हो सकता है।

उदाहरण. फ़ंक्शन ग्राफ़ के सभी अनंतस्पर्शी खोजें।

फेसला.

फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है। आइए बिंदुओं पर इसकी एकतरफा सीमाएँ ज्ञात करें।

जैसा और (अन्य दो एकतरफा सीमाएं अब नहीं मिल सकती हैं), तो रेखाएं फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत स्पर्शोन्मुख हैं।

गणना करना

(ल'होपिटल का नियम लागू करें) = .

तो रेखा एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

चूंकि क्षैतिज स्पर्शोन्मुख मौजूद है, हम अब तिरछे स्पर्शोन्मुख (वे मौजूद नहीं हैं) की तलाश नहीं कर रहे हैं।

जवाब: ग्राफ में दो लंबवत और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी हैं।

सामान्य कार्य अध्ययनआप = एफ (एक्स ).

समारोह का दायरा।इसका डोमेन खोजें डी(एफ) . यदि यह बहुत कठिन नहीं है, तो इसका परास भी ज्ञात करना उपयोगी है इ(एफ) . (हालांकि, कई मामलों में, खोजने का सवाल इ(एफ) तब तक देरी हो जाती है जब तक कि फ़ंक्शन की चरम सीमा नहीं मिल जाती।)

किसी फ़ंक्शन के विशेष गुण।फ़ंक्शन के सामान्य गुणों का पता लगाएं: सम, विषम, आवधिकता, आदि। प्रत्येक फ़ंक्शन में सम या विषम जैसे गुण नहीं होते हैं। एक फलन निश्चित रूप से न तो सम और न ही विषम है यदि इसकी परिभाषा का क्षेत्र अक्ष पर बिंदु 0 के बारे में असममित है बैल. इसी तरह, किसी भी आवधिक कार्य के लिए, परिभाषा के क्षेत्र में या तो संपूर्ण वास्तविक अक्ष होता है, या समय-समय पर अंतराल की दोहराई जाने वाली प्रणालियों का संघ होता है।

लंबवत स्पर्शोन्मुख।पता लगाएँ कि जब तर्क परिभाषा के क्षेत्र के सीमा बिंदुओं तक पहुँचता है तो फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है डी(एफ) यदि ऐसे सीमा बिंदु हैं। इस मामले में, ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख दिखाई दे सकते हैं। यदि फ़ंक्शन में ऐसे असंततता बिंदु हैं, जिन पर इसे परिभाषित नहीं किया गया है, तो इन बिंदुओं को फ़ंक्शन के लंबवत स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए भी जांचा जाता है।

तिरछा और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख।यदि गुंजाइश डी(एफ) में फॉर्म (a;+) या (−;b) की किरणें शामिल हैं, तो हम क्रमशः x+ या x− पर तिरछी अनंतस्पर्शी (या क्षैतिज अनंतस्पर्शी) खोजने की कोशिश कर सकते हैं, अर्थात। लिमएक्सएफ (एक्स) खोजें। तिरछा स्पर्शोन्मुख : आप = केएक्स + बी,जहां k=limx+xf(x) और b=limx+(f(x)−x)। क्षैतिज स्पर्शोन्मुख : आप = बी,जहां limxf(x)=b.

कुल्हाड़ियों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना. अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना ओए. ऐसा करने के लिए, आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है एफ(0)। अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु भी खोजें बैल, समीकरण की जड़ें क्यों खोजें एफ(एक्स) = 0 (या सुनिश्चित करें कि कोई जड़ें नहीं हैं)। समीकरण को अक्सर केवल लगभग हल किया जा सकता है, लेकिन जड़ों को अलग करने से ग्राफ की संरचना को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है। इसके बाद, आपको रूट और ब्रेक पॉइंट के बीच के अंतराल पर फ़ंक्शन के संकेत को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

स्पर्शोन्मुख के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाना।कुछ मामलों में, ग्राफ के उन विशिष्ट बिंदुओं को खोजना आवश्यक हो सकता है जिनका उल्लेख पिछले पैराग्राफ में नहीं किया गया था। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन में एक तिरछा स्पर्शोन्मुख है, तो आप यह पता लगाने का प्रयास कर सकते हैं कि क्या इस स्पर्शोन्मुख के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

उत्तलता और अवतलता के अंतराल ढूँढना. यह दूसरे व्युत्पन्न f(x) के चिह्न की जांच करके किया जाता है। उत्तल और अवतल अंतराल के जंक्शनों पर विभक्ति बिंदु खोजें। विभक्ति बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें। यदि फ़ंक्शन में निरंतरता के अन्य बिंदु हैं (विभक्ति बिंदुओं के अलावा) जिस पर दूसरा व्युत्पन्न 0 के बराबर है या मौजूद नहीं है, तो इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना भी उपयोगी होता है। f(x) प्राप्त करने के बाद, हम असमानता f(x)0 को हल करते हैं। प्रत्येक समाधान अंतराल पर, फलन नीचे की ओर उत्तल होगा। विपरीत असमानता f(x)0 को हल करते हुए, हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर फलन ऊपर की ओर उत्तल है (अर्थात अवतल)। हम विभक्ति बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित करते हैं जिन पर फ़ंक्शन उत्तलता की दिशा बदलता है (और निरंतर है)।

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी भी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्रों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में चित्रों के रूप में डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक तरीका खोज इंजन में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगा। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

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इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच औरया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

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कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृति एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ इसके चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है।

हाइपरबोला उन बिंदुओं का एक स्थान है जिनकी दो दिए गए बिंदुओं से दूरी अंतर, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर मान है (यह स्थिरांक सकारात्मक होना चाहिए और फॉसी के बीच की दूरी से कम होना चाहिए)।

आइए हम इस स्थिरांक को 2a से निरूपित करें, इसके द्वारा नाभियों के बीच की दूरी को निरूपित करें और निर्देशांक अक्षों को उसी तरह चुनें जैसे 3 में। माना अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु है।

अतिशयोक्ति की परिभाषा के अनुसार

समानता के दायीं ओर, आपको एक प्लस चिह्न यदि और एक ऋण चिह्न यदि . चुनना होगा

चूंकि अंतिम समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह चयनित समन्वय प्रणाली में अतिपरवलय का समीकरण है।

इस समीकरण (जैसा कि 3 में है) में खुद को रेडिकल से मुक्त करके, हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम कर सकते हैं।

पहले रेडिकल को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करना और दोनों पक्षों को चुकता करना, स्पष्ट परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:

एक बार फिर से समानता के दोनों पक्षों को चुकता करने, समान पदों को घटाने और एक मुक्त पद से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि, मान धनात्मक है। के माध्यम से इसे निरूपित करना , अर्थात, सेटिंग

हम अतिपरवलय का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं।

हम अतिपरवलय के रूप का अध्ययन करते हैं।

1) अतिपरवलय की सममिति। चूंकि समीकरण (3) में केवल वर्तमान निर्देशांक के वर्ग होते हैं, समन्वय अक्ष अतिपरवलय की समरूपता के अक्ष होते हैं (दीर्घवृत्त के लिए समरूप कथन देखें)। हाइपरबोला की समरूपता की धुरी, जिस पर फॉसी स्थित होती है, फोकल अक्ष कहलाती है। सममिति के अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु - सममिति का केंद्र - अतिपरवलय का केंद्र कहलाता है। समीकरण (3) द्वारा दिए गए हाइपरबोला के लिए, फोकल अक्ष ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाता है, और मूल केंद्र है।

2) समरूपता के अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु। हाइपरबोला के समरूपता के अक्षों के साथ हाइपरबोला के चौराहे के बिंदु खोजें - हाइपरबोला के शिखर। समीकरण में मानते हुए हम अतिपरवलय के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज पाते हैं

इसलिए, बिंदु अतिपरवलय के शीर्ष हैं (चित्र 51); उनके बीच की दूरी 2a है। ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए, हम समीकरण में डालते हैं हम इन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं

यानी y के लिए हमने काल्पनिक मान प्राप्त किए हैं; इसका अर्थ है कि y-अक्ष अतिपरवलय को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

इसके अनुसार, अतिपरवलय को प्रतिच्छेद करने वाली सममिति की धुरी को समरूपता का वास्तविक अक्ष (फोकल अक्ष) कहा जाता है, समरूपता की धुरी जो अतिपरवलय को नहीं काटती है, सममिति की काल्पनिक धुरी कहलाती है। समीकरण (3) द्वारा दिए गए हाइपरबोला के लिए, समरूपता का वास्तविक अक्ष अक्ष है, सममिति का काल्पनिक अक्ष अक्ष है। हाइपरबोला के शीर्षों को जोड़ने वाला खंड, साथ ही इसकी लंबाई 2a, वास्तविक अक्ष कहलाता है अतिपरवलय. यदि हाइपरबोला की सममिति के काल्पनिक अक्ष पर, खंड OB इसके केंद्र O के दोनों ओर और लंबाई b के दोनों ओर रखे जाते हैं, तो खंड और इसकी लंबाई भी हाइपरबोला की काल्पनिक धुरी कहलाती है। मात्राओं a और b को क्रमशः अतिपरवलय का वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

3) अतिपरवलय का रूप। हाइपरबोला के आकार का अध्ययन करते समय, सकारात्मक x और y मानों पर विचार करना पर्याप्त होता है, क्योंकि वक्र समन्वय अक्षों के सापेक्ष सममित रूप से स्थित होता है।

चूंकि यह समीकरण (3) से 1 का अनुसरण करता है, तो यह a से भिन्न हो सकता है जब यह a से बढ़ता है तो Y भी 0 से बढ़ जाता है, वक्र का आकार अंजीर में दिखाया गया है। 51. यह सीधी रेखाओं से घिरी हुई पट्टी के बाहर स्थित है और इसमें दो अलग-अलग शाखाएँ हैं। इनमें से किसी एक शाखा (दाहिनी शाखा) के किसी बिंदु M के लिए, किसी अन्य शाखा के किसी बिंदु M के लिए (बाएं शाखा)।

4) अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख। हाइपरबोला के रूप की अधिक स्पष्ट रूप से कल्पना करने के लिए, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें जो इससे निकटता से संबंधित हैं - तथाकथित स्पर्शोन्मुख।

यह मानते हुए कि x और y धनात्मक हैं, हम y-निर्देशांक के संबंध में अतिपरवलय के समीकरण (3) को हल करते हैं:

आइए हम एक सीधी रेखा के समीकरण के साथ समीकरण की तुलना करें, इस रेखा पर और हाइपरबोला पर क्रमशः स्थित उपयुक्त दो बिंदुओं के रूप में नामकरण और एक ही भुज (चित्र। 51)। जाहिर है, अंतर Y - संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक पर उनके बीच की दूरी को व्यक्त करता है, अर्थात।

आइए हम दिखाते हैं कि जैसे-जैसे दूरी एमएन अनिश्चित काल तक बढ़ती है, जैसे-जैसे यह मारता है, यह शून्य हो जाता है। वास्तव में,

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

अंतिम सूत्र से, हम देखते हैं कि भुज में असीमित वृद्धि के साथ, दूरी MN घट जाती है और शून्य हो जाती है। यह इस प्रकार है कि जब बिंदु M, पहले चतुर्थांश में अतिपरवलय के साथ चलते हुए, अनंत की ओर बढ़ता है, तो सीधी रेखा से इसकी दूरी कम हो जाती है और शून्य हो जाती है। जब बिंदु M अतिपरवलय के अनुदिश तीसरे चतुर्थांश में गति करता है (मूल O के प्रति सममिति के कारण) तो यही स्थिति होगी।

अंत में, ओए अक्ष के संबंध में हाइपरबोला की समरूपता के कारण, हमें दूसरी सीधी रेखा सममित रूप से सीधी रेखा के साथ स्थित होगी, जिस पर हाइपरबोला के साथ आगे बढ़ने और अनंत तक जाने पर बिंदु एम भी अनिश्चित काल तक पहुंच जाएगा ( दूसरे और चौथे चतुर्थांश में)।

इन दो सीधी रेखाओं को अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहा जाता है और, जैसा कि हमने देखा है, उनके पास समीकरण हैं:

जाहिर है, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख एक आयत के विकर्णों के साथ स्थित होते हैं, जिसका एक पक्ष ऑक्स अक्ष के समानांतर होता है और 2a के बराबर होता है, दूसरा ओए अक्ष के समानांतर होता है और इसके बराबर होता है और केंद्र मूल में स्थित होता है ( चित्र 51 देखें)।

हाइपरबोला को उसके समीकरण के अनुसार खींचते समय, पहले इसके स्पर्शोन्मुख बनाने की सिफारिश की जाती है।

समबाहु अतिशयोक्ति। अतिपरवलय के मामले में समबाहु कहलाती है; इसका समीकरण (3) से प्राप्त होता है और इसका रूप होता है:

जाहिर है, एक समबाहु अतिपरवलय के लिए स्पर्शोन्मुख के ढलान होंगे।