वे समीकरण जिनमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक तर्कसंगत समीकरण के साथ एक अपरिमेय समीकरण को बदलने (कुछ परिवर्तनों की सहायता से) की संभावना पर आधारित होते हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। इस मामले में, एक समीकरण प्राप्त होता है, जो मूल का परिणाम होता है।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:
1) यदि मूल सूचकांक एक सम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; रूट का मान भी गैर-ऋणात्मक है (सम घातांक वाले रूट की परिभाषा);
2) यदि मूल सूचकांक एक विषम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है; इस मामले में, रूट का चिन्ह रूट एक्सप्रेशन के संकेत के समान है।
उदाहरण 1प्रश्न हल करें
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 \u003d 1;
हम -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान पदों की कमी करते हैं।
एक्स 2 \u003d 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।
आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें, इसके लिए हम चर x के मानों को मूल समीकरण में बदल देंगे।
इंतिहान।
जब x 1 \u003d -2 - सत्य:
जब x 2 \u003d -2- सत्य।
यह इस प्रकार है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।
उदाहरण 2प्रश्न हल करें .
इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह ही विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।
आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। वर्गमूल की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में दो शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए:
दिए गए समीकरण का ODZ: x.
उत्तर: कोई जड़ नहीं।
उदाहरण 3प्रश्न हल करें =+ 2.
इस समीकरण में ODZ ज्ञात करना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
एक्स 1 = 1; x2=0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 \u003d 0 एक अतिरिक्त रूट है।
उत्तर: एक्स 1 \u003d 1।
उदाहरण 4समीकरण x = को हल कीजिए।
इस उदाहरण में, ODZ खोजना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;)।
आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करें, परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 \u003d x + 1 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें:
मिली जड़ों की जांच करना मुश्किल है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी। इस मामले में, अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:
एक्स+10 तथा X 0 तथा x 2 \u003d x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमेय समीकरण का ऋणात्मक मूल बाह्य है और इसे अवश्य ही छोड़ देना चाहिए।
उदाहरण 5.समीकरण += 7 को हल कीजिए।
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें और समान पदों की कमी करें, समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करें और दोनों भागों को 0.5 से गुणा करें। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें। हमें समीकरण (x + 5) (20 - x) = 144 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।
इस समीकरण (जो मूल एक का परिणाम भी है) की जड़ें x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 हैं। दोनों जड़ें, जैसा कि परीक्षण से पता चलता है, मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
प्रतिनिधि एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.
टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर समीकरणों जैसे (*) में मूल भावों को गुणा करते हैं, अर्थात समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं = 12. इससे त्रुटियां नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण समीकरणों के परिणाम हैं। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन गैर-समतुल्य समीकरण देता है।
ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, पहले किसी एक रेडिकल को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव था। तब समीकरण के बाईं ओर एक मूलांक रहेगा, और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, समीकरण के बाईं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। इस तकनीक (कट्टरपंथी का एकांत) का उपयोग अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।
उदाहरण 6. समीकरण हल करें- = 3।
पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
=+ 3, जो मूल के बराबर है।
इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, जो समीकरण के बराबर है
4x - 5 = 3 (*)। यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम समीकरण पर पहुँचते हैं
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), या
7x2 - 13x - 2 = 0.
यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, और दूसरा x 2 =- नहीं।
उत्तर: एक्स = 2.
ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, किसी एक मूलांक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों भागों को चुकता कर रहे थे, तो हमें काफी बोझिल परिवर्तन करने होंगे।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, रेडिकल के अलगाव के अलावा, अन्य तरीकों का भी उपयोग किया जाता है। अज्ञात को बदलने की विधि का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें (एक सहायक चर को पेश करने की विधि)।
समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। अक्सर, मूल चिह्न समीकरणों में पाया जाता है, और कई लोग गलती से मानते हैं कि ऐसे समीकरणों को हल करना मुश्किल है। गणित में ऐसे समीकरणों के लिए एक विशेष पद होता है, जिसे जड़ वाले समीकरण कहते हैं - अपरिमेय समीकरण।
अन्य समीकरणों से मूल के साथ समीकरणों को हल करने में मुख्य अंतर, उदाहरण के लिए, वर्ग, लॉगरिदमिक, रैखिक, यह है कि उनके पास मानक समाधान एल्गोरिदम नहीं है। इसलिए, एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए, प्रारंभिक डेटा का विश्लेषण करना और अधिक उपयुक्त समाधान चुनना आवश्यक है।
ज्यादातर मामलों में, इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि का उपयोग किया जाता है।
मान लें कि निम्नलिखित समीकरण दिया गया है:
\[\sqrt((5x-16))=x-2\]
हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं:
\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], जहां से हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:
द्विघात समीकरण प्राप्त करने के बाद, हम इसकी जड़ें पाते हैं:
उत्तर: \
यदि हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलेगी, जो प्राप्त आंकड़ों की शुद्धता को इंगित करती है।
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एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिह्न के तहत एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:
ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल होते हैं:
- जड़ को अलग करें। दूसरे शब्दों में, यदि मूल के अलावा समान चिह्न के बाईं ओर अन्य संख्याएँ या कार्य हैं, तो यह सब चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जाना चाहिए। उसी समय, केवल रेडिकल बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
- 2. हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। साथ ही, याद रखें कि रूट की रेंज सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इसलिए दाईं ओर का कार्य अपरिमेय समीकरणगैर-ऋणात्मक भी होना चाहिए: जी (एक्स) 0।
- तीसरा चरण दूसरे से तार्किक रूप से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमारे पास अतिरिक्त जड़ें हो सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और जांचना आवश्यक है: क्या सही संख्यात्मक समानता वास्तव में प्राप्त हुई है?
एक अपरिमेय समीकरण को हल करना
आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण से निपटें। यहां जड़ पहले से ही एकांत में है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
एक्स 2 - 4x - 12 = 0
हम परिणामी द्विघात समीकरण को विभेदक के माध्यम से हल करते हैं:
डी = बी 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 \u003d -2
यह केवल इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, अर्थात। एक जाँच करें। लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को आसान बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।
निर्णय को सरल कैसे करें
आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में भी जांच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जड़ों को प्रतिस्थापित करते समय, समान चिह्न के दाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होगी। आखिरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि यह बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, क्योंकि अंकगणितीय वर्गमूल (जिसके कारण हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) परिभाषा के अनुसार शून्य से कम नहीं हो सकता है।
इसलिए, हमें केवल यह जाँचने की आवश्यकता है कि फलन g ( x ) = 5 - x , जो समान चिह्न के दाईं ओर है, ऋणात्मक नहीं है:
जी (एक्स) 0
हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
जी (एक्स 1) \u003d जी (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
जी (एक्स 2) = जी (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0
प्राप्त मूल्यों से, यह निम्नानुसार है कि रूट x 1 = 6 हमें शोभा नहीं देता है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। लेकिन रूट x 2 \u003d −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:
- यह मूल दोनों पक्षों को ऊपर उठाकर प्राप्त द्विघात समीकरण का हल है अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में।
- मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना भाग, जब मूल x 2 = -2 को प्रतिस्थापित किया जाता है, एक धनात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणितीय जड़ की सीमा का उल्लंघन नहीं किया जाता है।
वह संपूर्ण एल्गोरिदम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, रेडिकल वाले समीकरणों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अतिरिक्त उत्तर मिलने की संभावना है।
गणित में प्रत्येक नई क्रिया तुरंत इसके विपरीत उत्पन्न करती है। एक बार की बात है, प्राचीन यूनानियों ने पाया कि 2 मीटर लंबी और 2 मीटर चौड़ी भूमि के एक वर्ग टुकड़े का क्षेत्रफल 2 * 2 = 4 वर्ग मीटर (बाद में मी ^ 2 के रूप में संदर्भित) होगा। और अब, इसके विपरीत, यदि यूनानी जानता था कि उसकी भूमि का टुकड़ा वर्गाकार है और उसका क्षेत्रफल 4 मी^2 है, तो उसे कैसे पता चलेगा कि उसकी भूमि का टुकड़ा कितना लंबा और कितना चौड़ा होगा? एक ऑपरेशन शुरू किया गया था जो वर्गमूल के संचालन के विपरीत था और वर्गमूल के निष्कर्षण के रूप में जाना जाने लगा। लोग यह समझने लगे थे कि 2 वर्ग (2^2) 4 के बराबर है। इसके विपरीत, 4 का वर्गमूल (इसके बाद √ (4) के रूप में संदर्भित) दो के बराबर होगा। मॉडल अधिक जटिल हो गए, जड़ों के साथ प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले रिकॉर्ड भी अधिक जटिल हो गए। यह प्रश्न कई बार उठा कि मूल के साथ समीकरण को कैसे हल किया जाए।
मान लीजिए x को एक बार स्वयं से गुणा करने पर 9 प्राप्त होता है। इसे x * x \u003d 9 के रूप में लिखा जा सकता है। या डिग्री के माध्यम से: x^2=9. एक्स को खोजने के लिए, आपको 9 की जड़ लेनी होगी, जो पहले से ही कुछ हद तक एक रेडिकल के साथ एक समीकरण है: x=√(9) । जड़ को मौखिक रूप से निकाला जा सकता है या इसके लिए कैलकुलेटर का उपयोग किया जा सकता है। इसके बाद, उलटा समस्या पर विचार करें। एक निश्चित मान, उसमें से वर्गमूल निकालने पर, 7 का मान देता है। यदि हम इसे एक अपरिमेय समीकरण के रूप में लिखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: (x) = 7. ऐसी समस्या को हल करने के लिए, व्यंजक के दोनों भागों का वर्ग होना चाहिए। . यह देखते हुए कि √(x) *√(x) =x, यह x = 49 निकलता है। जड़ अपने शुद्ध रूप में तुरंत तैयार हो जाती है। इसके बाद, हमें जड़ों वाले समीकरण के अधिक जटिल उदाहरणों का विश्लेषण करना चाहिए।
मान लीजिए 5 को एक निश्चित मान से घटाया जाता है, तो व्यंजक को 1/2 की घात तक बढ़ा दिया जाता है। परिणामस्वरूप, संख्या 3 प्राप्त हुई। अब इस शर्त को एक समीकरण के रूप में लिखा जाना चाहिए: (x-5) =3। इसके बाद, समीकरण के प्रत्येक भाग को स्वयं से गुणा किया जाना चाहिए: x-5 = 3। दूसरी शक्ति तक बढ़ाने के बाद, अभिव्यक्ति को रेडिकल से मुक्त किया गया था। अब यह पाँचों को दाईं ओर ले जाकर और उसके चिन्ह को बदलकर सरलतम रैखिक समीकरण को हल करने के लायक है। एक्स = 5+3। x = 8. दुर्भाग्य से, सभी जीवन प्रक्रियाओं को ऐसे सरल समीकरणों द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। बहुत बार आप कई मूलकों के साथ भाव पा सकते हैं, कभी-कभी जड़ की डिग्री दूसरे से अधिक हो सकती है। ऐसी पहचानों के लिए कोई एकल समाधान एल्गोरिथम नहीं है। प्रत्येक समीकरण के लिए, एक विशेष दृष्टिकोण की तलाश करना उचित है। एक उदाहरण दिया गया है जिसमें मूल के साथ समीकरण की तीसरी डिग्री है।
घनमूल को 3√ निरूपित किया जाएगा। 5 मीटर भुजा वाले एक घन के आकार के पात्र का आयतन ज्ञात कीजिए। मान लें कि आयतन x m^3 है। तब आयतन का घनमूल घन की भुजा के बराबर और पाँच मीटर के बराबर होगा। समीकरण प्राप्त होता है: 3√(x) =5। इसे हल करने के लिए, दोनों भागों को तीसरी शक्ति x = 125 तक बढ़ाना आवश्यक है। उत्तर: 125 घन मीटर। नीचे जड़ों के योग वाले समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है। (x) +√(x-1) =5. सबसे पहले आपको दोनों हिस्सों को चौकोर करना होगा। ऐसा करने के लिए, यह योग के वर्ग के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र को याद रखने योग्य है: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2। समीकरण पर लागू होने पर, यह पता चलता है: x + 2 * (x) * (x-1) + x-1 = 25. इसके अलावा, जड़ों को बाईं ओर छोड़ दिया जाता है, और बाकी सब कुछ दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है। : 2 * (एक्स) * (एक्स -1) = 26 - 2x। व्यंजक के दोनों भागों को 2 से विभाजित करना सुविधाजनक है: ((x) (x-1)) = 13 - x। एक सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है।
फिर, दोनों भागों को चुकता किया जाना चाहिए: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. कोष्ठक खोलना और समान पद लाना आवश्यक है: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. दूसरी शक्ति गायब हो जाती है, इसलिए 25x = 169. x = 169/25 = 6.6। चेक पूरा करने के बाद, परिणामी रूट को मूल समीकरण में बदलकर: (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, आप एक संतोषजनक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यह समझना भी बहुत महत्वपूर्ण है कि एक सम मूल वाला व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता। वास्तव में, किसी भी संख्या को अपने आप से एक सम संख्या से गुणा करने पर, शून्य से कम का मान प्राप्त करना असंभव है। इसलिए, (x ^ 2 + 7x-11) = -3 जैसे समीकरणों को सुरक्षित रूप से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन लिखा है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रेडिकल वाले समीकरणों का समाधान कई प्रकार के रूप ले सकता है।
एक समीकरण का एक सरल उदाहरण जहां आपको चर बदलने की आवश्यकता होती है। (y) - 5*4√(y) +6 = 0, जहां 4√(y) y का चौथा मूल है। प्रस्तावित प्रतिस्थापन इस प्रकार है: x = 4√(y) । इसे करने के बाद, यह निकलता है: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. परिणामी द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इसका विभेदक: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. पहला मूल x1 (5 + 1) /2 = 6/2 = 3 के बराबर होगा। दूसरा मूल x2 = (5 - √1) / 2 = 4/2 = 2. आप वीटा के प्रमेय के उपफल का उपयोग करके भी मूल ज्ञात कर सकते हैं। जड़ें पाई जाती हैं, एक रिवर्स रिप्लेसमेंट किया जाना चाहिए। 4√(y) = 3, इसलिए y1 = 1.6। साथ ही 4√(y) = 2, चौथा मूल लेने पर यह पता चलता है कि y2 = 1.9. मूल्यों की गणना कैलकुलेटर पर की जाती है। लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है, जवाब को कट्टरपंथियों के रूप में छोड़ दें।