रूट के तहत द्विघात समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

आवेदन पत्र

छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए साइट पर ऑनलाइन किसी भी प्रकार के समीकरणों का समाधान। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। ऑनलाइन समीकरण। बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, अनुवांशिक, कार्यात्मक, अंतर और अन्य प्रकार के समीकरण हैं। समीकरणों के कुछ वर्गों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, जो सुविधाजनक होते हैं कि वे न केवल रूट का सटीक मान देते हैं, बल्कि आपको समाधान में समाधान लिखने की अनुमति देते हैं एक सूत्र का रूप जिसमें पैरामीटर शामिल हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति न केवल जड़ों की गणना करने की अनुमति देती है, बल्कि मापदंडों के मूल्यों के आधार पर उनके अस्तित्व और उनकी संख्या का विश्लेषण करने की अनुमति देती है, जो अक्सर जड़ों के विशिष्ट मूल्यों की तुलना में व्यावहारिक उपयोग के लिए और भी अधिक महत्वपूर्ण होती है। ऑनलाइन समीकरणों का समाधान समीकरण ऑनलाइन। समीकरण का समाधान तर्कों के ऐसे मूल्यों को खोजने का कार्य है जिनके लिए यह समानता प्राप्त की जाती है। तर्कों के संभावित मूल्यों पर अतिरिक्त शर्तें (पूर्णांक, वास्तविक, आदि) लगाई जा सकती हैं। ऑनलाइन समीकरणों का समाधान समीकरण ऑनलाइन। आप तुरंत और परिणाम की उच्च सटीकता के साथ समीकरण को ऑनलाइन हल कर सकते हैं। एक समीकरण के मामले में दिए गए कार्यों के तर्क (कभी-कभी "चर" कहा जाता है) को "अज्ञात" कहा जाता है। अज्ञात के वे मान जिनके लिए यह समानता प्राप्त की जाती है, दिए गए समीकरण के हल या मूल कहलाते हैं। कहा जाता है कि जड़ें दिए गए समीकरण को संतुष्ट करती हैं। किसी समीकरण को ऑनलाइन हल करने का अर्थ है उसके सभी हलों (मूलों) का समुच्चय खोजना या यह सिद्ध करना कि कोई मूल नहीं है। ऑनलाइन समीकरणों का समाधान समीकरण ऑनलाइन। समतुल्य या समतुल्य को समीकरण कहा जाता है, जिसके मूलों का समुच्चय मेल खाता है। समतुल्य को ऐसे समीकरण भी माना जाता है जिनकी जड़ें नहीं होती हैं। समीकरणों की तुल्यता में समरूपता का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, तो दूसरा समीकरण पहले के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता में ट्रांजिटिविटी का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला समीकरण तीसरे के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता संपत्ति उनके साथ परिवर्तन करना संभव बनाती है, जिस पर उन्हें हल करने के तरीके आधारित होते हैं। ऑनलाइन समीकरणों का समाधान समीकरण ऑनलाइन। साइट आपको समीकरण को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देगी। जिन समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं उनमें बीजीय समीकरण शामिल हैं, जो चौथी डिग्री से अधिक नहीं हैं: एक रैखिक समीकरण, एक द्विघात समीकरण, एक घन समीकरण और चौथी डिग्री का समीकरण। उच्च डिग्री के बीजीय समीकरणों का आमतौर पर एक विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है, हालांकि उनमें से कुछ को निम्न डिग्री के समीकरणों में घटाया जा सकता है। वे समीकरण जिनमें ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन शामिल होते हैं, ट्रान्सेंडैंटल कहलाते हैं। उनमें से, विश्लेषणात्मक समाधान कुछ त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए जाने जाते हैं, क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्यों के शून्य सर्वविदित हैं। सामान्य स्थिति में, जब एक विश्लेषणात्मक समाधान नहीं मिल पाता है, तो संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक तरीके सटीक समाधान नहीं देते हैं, लेकिन केवल उस अंतराल को कम करने की अनुमति देते हैं जिसमें मूल एक निश्चित पूर्व निर्धारित मूल्य पर होता है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. ऑनलाइन समीकरण.. एक ऑनलाइन समीकरण के बजाय, हम प्रस्तुत करेंगे कि कैसे एक ही अभिव्यक्ति एक रैखिक निर्भरता बनाती है और न केवल एक सीधी स्पर्शरेखा के साथ, बल्कि ग्राफ के विभक्ति के बिंदु पर भी। विषय के अध्ययन में यह विधि हर समय अपरिहार्य है। अक्सर ऐसा होता है कि अनंत संख्याओं और लेखन सदिशों के माध्यम से समीकरणों का समाधान अंतिम मान तक पहुंच जाता है। प्रारंभिक डेटा की जांच करना आवश्यक है और यह कार्य का सार है। अन्यथा, स्थानीय स्थिति को एक सूत्र में बदल दिया जाता है। किसी दिए गए फ़ंक्शन की सीधी रेखा उलटा, जिसे समीकरण कैलकुलेटर निष्पादन में बहुत देरी के बिना गणना करेगा, अंतरिक्ष के विशेषाधिकार द्वारा ऑफसेट किया जाएगा। यह वैज्ञानिक वातावरण में छात्र के प्रदर्शन के बारे में होगा। हालांकि, उपरोक्त सभी की तरह, यह हमें खोजने की प्रक्रिया में मदद करेगा, और जब आप समीकरण को पूरी तरह से हल कर लेंगे, तो परिणामी उत्तर को सीधी रेखा खंड के सिरों पर सहेजें। अंतरिक्ष में रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और इस बिंदु को रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित कहा जाता है। रेखा पर अंतराल को पहले दिए गए के रूप में चिह्नित किया गया है। गणित के अध्ययन पर सर्वोच्च पद प्रकाशित किया जाएगा। एक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित सतह से एक तर्क मान निर्दिष्ट करना और एक समीकरण को ऑनलाइन हल करना किसी फ़ंक्शन के लिए उत्पादक कॉल के सिद्धांतों को इंगित करने में सक्षम होगा। मोबियस पट्टी, या जैसा कि इसे अनंत कहा जाता है, एक आकृति आठ की तरह दिखती है। यह एक तरफा सतह है, दो तरफा नहीं। सभी को ज्ञात सिद्धांत के अनुसार, हम रेखीय समीकरणों को मूल पदनाम के रूप में वस्तुनिष्ठ रूप से स्वीकार करेंगे क्योंकि वे अध्ययन के क्षेत्र में हैं। क्रमिक रूप से दिए गए तर्कों के केवल दो मान वेक्टर की दिशा को प्रकट करने में सक्षम हैं। यह मानने के लिए कि ऑनलाइन समीकरणों का एक अलग समाधान केवल हल करने से कहीं अधिक है, इसका मतलब आउटपुट पर अपरिवर्तनीय का पूर्ण संस्करण प्राप्त करना है। एक एकीकृत दृष्टिकोण के बिना, छात्रों के लिए इस सामग्री को सीखना मुश्किल है। पहले की तरह, प्रत्येक विशेष मामले के लिए, हमारा सुविधाजनक और स्मार्ट ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर मुश्किल समय में सभी की मदद करेगा, क्योंकि आपको केवल इनपुट पैरामीटर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है और सिस्टम स्वयं उत्तर की गणना करेगा। इससे पहले कि हम डेटा दर्ज करना शुरू करें, हमें एक इनपुट टूल की आवश्यकता होती है, जो बिना किसी कठिनाई के किया जा सकता है। प्रत्येक प्रतिक्रिया स्कोर की संख्या एक द्विघात समीकरण होगी जो हमारे निष्कर्षों की ओर ले जाएगी, लेकिन ऐसा करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसके विपरीत साबित करना आसान है। सिद्धांत, अपनी विशिष्टताओं के कारण, व्यावहारिक ज्ञान द्वारा समर्थित नहीं है। उत्तर प्रकाशित करने के चरण में अंश कैलकुलेटर देखना गणित में आसान काम नहीं है, क्योंकि सेट पर संख्या लिखने का विकल्प फ़ंक्शन की वृद्धि को बढ़ाता है। हालांकि, छात्रों के प्रशिक्षण के बारे में नहीं कहना गलत होगा, इसलिए हम प्रत्येक को उतना ही व्यक्त करेंगे जितना करना आवश्यक है। पहले पाया गया क्यूबिक समीकरण सही मायने में परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होगा, और इसमें संख्यात्मक मानों के साथ-साथ प्रतीकात्मक चर भी शामिल होंगे। प्रमेय को सीखने या याद रखने के बाद, हमारे छात्र केवल सर्वश्रेष्ठ पक्ष से ही खुद को दिखाएंगे, और हमें उनके लिए खुशी होगी। खेतों के चौराहों के सेट के विपरीत, हमारे ऑनलाइन समीकरणों को दो और तीन संख्यात्मक संयुक्त रेखाओं के गुणन के साथ गति के एक विमान द्वारा वर्णित किया जाता है। गणित में एक समुच्चय विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। छात्रों के अनुसार, सबसे अच्छा समाधान अंत तक पूर्ण लिखित अभिव्यक्ति है। जैसा कि वैज्ञानिक भाषा में कहा गया है, सांकेतिक अभिव्यक्तियों का अमूर्तन मामलों की स्थिति में शामिल नहीं है, लेकिन समीकरणों का समाधान सभी ज्ञात मामलों में एक स्पष्ट परिणाम देता है। शिक्षक सत्र की अवधि इस प्रस्ताव में आवश्यकताओं पर आधारित है। विश्लेषण ने कई क्षेत्रों में सभी कम्प्यूटेशनल तकनीकों की आवश्यकता को दिखाया, और यह बिल्कुल स्पष्ट है कि समीकरण कैलकुलेटर एक छात्र के प्रतिभाशाली हाथों में एक अनिवार्य उपकरण है। गणित के अध्ययन के लिए एक निष्ठावान दृष्टिकोण विभिन्न दिशाओं के विचारों के महत्व को निर्धारित करता है। आप प्रमुख प्रमेयों में से एक को नामित करना चाहते हैं और समीकरण को इस तरह से हल करना चाहते हैं, जिसके उत्तर के आधार पर इसके आवेदन की और आवश्यकता होगी। इस क्षेत्र में विश्लेषिकी गति प्राप्त कर रही है। आइए शुरुआत से शुरू करें और सूत्र प्राप्त करें। फ़ंक्शन की वृद्धि के स्तर से टूटने के बाद, विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा अनिवार्य रूप से इस तथ्य की ओर ले जाएगी कि समीकरण को ऑनलाइन हल करना फ़ंक्शन तर्क से समान ग्राफ़ के निर्माण में मुख्य पहलुओं में से एक होगा। शौकिया दृष्टिकोण को लागू करने का अधिकार है यदि यह शर्त छात्रों के निष्कर्षों का खंडन नहीं करती है। यह उप-कार्य है जो गणितीय स्थितियों के विश्लेषण को ऑब्जेक्ट परिभाषा के मौजूदा डोमेन में रैखिक समीकरणों के रूप में रखता है जिसे पृष्ठभूमि में लाया जाता है। ऑर्थोगोनैलिटी की दिशा में ऑफसेट करने से एक अकेला निरपेक्ष मूल्य का लाभ रद्द हो जाता है। मोडुलो, समीकरणों को ऑनलाइन हल करने से समान संख्या में समाधान मिलते हैं, यदि आप कोष्ठक को पहले धन चिह्न के साथ खोलते हैं, और फिर ऋण चिह्न के साथ। इस मामले में, दोगुने समाधान हैं, और परिणाम अधिक सटीक होगा। एक स्थिर और सही ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर शिक्षक द्वारा निर्धारित कार्य में इच्छित लक्ष्य को प्राप्त करने में सफलता है। महान वैज्ञानिकों के विचारों में महत्वपूर्ण अंतर के कारण आवश्यक विधि का चयन करना संभव प्रतीत होता है। परिणामी द्विघात समीकरण रेखाओं के वक्र, तथाकथित परवलय का वर्णन करता है, और चिन्ह वर्ग समन्वय प्रणाली में इसकी उत्तलता का निर्धारण करेगा। समीकरण से हम विएटा प्रमेय के अनुसार स्वयं विवेचक और मूल दोनों प्राप्त करते हैं। पहले चरण में व्यंजक को उचित या अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करना आवश्यक है। इसके आधार पर, हमारी आगे की गणना के लिए एक योजना बनाई जाएगी। सैद्धांतिक दृष्टिकोण वाला गणित हर स्तर पर उपयोगी होता है। हम निश्चित रूप से परिणाम को एक घन समीकरण के रूप में प्रस्तुत करेंगे, क्योंकि विश्वविद्यालय में एक छात्र के लिए कार्य को सरल बनाने के लिए हम इस अभिव्यक्ति में इसकी जड़ों को छिपाएंगे। कोई भी तरीका अच्छा है अगर वे सतही विश्लेषण के लिए उपयुक्त हैं। अतिरिक्त अंकगणितीय संक्रियाओं से गणना त्रुटियाँ नहीं होंगी। दी गई सटीकता के साथ उत्तर निर्धारित करें। समीकरणों के हल का उपयोग करते हुए, आइए इसका सामना करते हैं - किसी दिए गए फ़ंक्शन का एक स्वतंत्र चर खोजना इतना आसान नहीं है, खासकर जब अनंत पर समानांतर रेखाओं का अध्ययन करना। अपवाद को देखते हुए, आवश्यकता बहुत स्पष्ट है। ध्रुवीयता अंतर स्पष्ट है। संस्थानों में अध्यापन के अनुभव से हमारे शिक्षक ने मुख्य पाठ सीखा, जिसमें समीकरणों का पूर्ण गणितीय अर्थ में ऑनलाइन अध्ययन किया गया। यहाँ यह सिद्धांत के अनुप्रयोग में उच्च प्रयासों और विशेष कौशल के बारे में था। हमारे निष्कर्षों के पक्ष में, किसी को चश्मे से नहीं देखना चाहिए। कुछ समय पहले तक, यह माना जाता था कि एक बंद सेट क्षेत्र में तेजी से बढ़ रहा है, और समीकरणों के समाधान की जांच की जरूरत है। पहले चरण में, हमने सभी संभावित विकल्पों पर विचार नहीं किया, लेकिन यह दृष्टिकोण पहले से कहीं अधिक उचित है। कोष्ठकों के साथ अतिरिक्त क्रियाएं कोर्डिनेट और एब्सिस्सा कुल्हाड़ियों के साथ कुछ प्रगति को सही ठहराती हैं, जिन्हें नग्न आंखों से अनदेखा नहीं किया जा सकता है। एक फ़ंक्शन के व्यापक आनुपातिक वृद्धि के अर्थ में एक विभक्ति बिंदु है। एक बार फिर, हम यह साबित करेंगे कि सदिश की एक या दूसरी अवरोही स्थिति के घटने के पूरे अंतराल पर आवश्यक शर्त कैसे लागू की जाएगी। एक सीमित स्थान में, हम अपनी स्क्रिप्ट के प्रारंभिक ब्लॉक से एक चर का चयन करेंगे। तीन वैक्टर के आधार पर बनाई गई प्रणाली बल के मुख्य क्षण की अनुपस्थिति के लिए जिम्मेदार है। हालाँकि, समीकरण कैलकुलेटर ने सतह के ऊपर और समानांतर रेखाओं के साथ, निर्मित समीकरण के सभी शब्दों को खोजने में मदद की और मदद की। आइए शुरुआती बिंदु के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें। इस प्रकार, हम खंड रेखाओं के साथ ऊपर जाना शुरू करेंगे, और स्पर्शरेखा अपनी पूरी लंबाई के साथ वृत्त का वर्णन करेगी, परिणामस्वरूप हमें एक वक्र मिलेगा, जिसे एक उलटा कहा जाता है। वैसे आइए इस वक्र के बारे में थोड़ा इतिहास की बात करते हैं। तथ्य यह है कि ऐतिहासिक रूप से गणित में शुद्ध अर्थों में स्वयं गणित की कोई अवधारणा नहीं थी जैसा कि आज है। पहले, सभी वैज्ञानिक एक सामान्य चीज़, यानी विज्ञान में लगे हुए थे। बाद में, कुछ सदियों बाद, जब वैज्ञानिक दुनिया बहुत बड़ी मात्रा में जानकारी से भरी हुई थी, तब भी मानवता ने कई विषयों को चुना। वे अभी भी अपरिवर्तित रहते हैं। और फिर भी, हर साल, दुनिया भर के वैज्ञानिक यह साबित करने की कोशिश करते हैं कि विज्ञान असीमित है, और आप एक समीकरण को हल नहीं कर सकते जब तक कि आपको प्राकृतिक विज्ञान का ज्ञान न हो। अंतत: इसे समाप्त करना संभव नहीं होगा। इसके बारे में सोचना उतना ही व्यर्थ है जितना कि बाहर की हवा को गर्म करना। आइए उस अंतराल को खोजें जिस पर तर्क, अपने सकारात्मक मूल्य के साथ, तेजी से बढ़ती दिशा में मूल्य के मापांक को निर्धारित करता है। प्रतिक्रिया कम से कम तीन समाधान खोजने में मदद करेगी, लेकिन उन्हें जांचना आवश्यक होगा। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि हमें अपनी वेबसाइट की अनूठी सेवा का उपयोग करके समीकरण को ऑनलाइन हल करने की आवश्यकता है। आइए दिए गए समीकरण के दोनों हिस्सों को दर्ज करें, "सॉल्व" बटन दबाएं और कुछ ही सेकंड में सटीक उत्तर प्राप्त करें। विशेष मामलों में, हम गणित पर एक पुस्तक लेंगे और अपने उत्तर की दोबारा जांच करेंगे, अर्थात् हम केवल उत्तर को देखेंगे और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। वही परियोजना एक कृत्रिम निरर्थक समानांतर चतुर्भुज पर उड़ान भरेगी। इसके समानांतर पक्षों के साथ एक समांतर चतुर्भुज है, और यह प्राकृतिक सूत्रों में खोखले स्थान के संचय की आरोही प्रक्रिया के स्थानिक संबंध के अध्ययन के लिए कई सिद्धांतों और दृष्टिकोणों की व्याख्या करता है। अस्पष्ट रैखिक समीकरण हमारे वर्तमान सामान्य समाधान पर वांछित चर की निर्भरता दिखाते हैं, और किसी भी तरह से अनुचित अंश को एक गैर-तुच्छ मामले में प्राप्त करना और कम करना आवश्यक है। हम सीधी रेखा पर दस बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक दी गई दिशा में और ऊपर की ओर उत्तलता के साथ एक वक्र खींचते हैं। बहुत कठिनाई के बिना, हमारा समीकरण कैलकुलेटर एक अभिव्यक्ति को इस तरह से प्रस्तुत करेगा कि नियमों की वैधता के लिए इसकी जांच रिकॉर्डिंग की शुरुआत में भी स्पष्ट होगी। पहली जगह में गणितज्ञों के लिए स्थिरता के विशेष प्रतिनिधित्व की प्रणाली, जब तक कि अन्यथा सूत्र द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है। हम इसका उत्तर निकायों की एक प्लास्टिक प्रणाली की आइसोमॉर्फिक स्थिति पर एक रिपोर्ट की विस्तृत प्रस्तुति के साथ देंगे और समीकरणों का समाधान ऑनलाइन इस प्रणाली में प्रत्येक भौतिक बिंदु की गति का वर्णन करेगा। गहन अध्ययन के स्तर पर, अंतरिक्ष की कम से कम निचली परत के व्युत्क्रम के प्रश्न को विस्तार से स्पष्ट करना आवश्यक होगा। आरोही क्रम में समारोह की निरंतरता के खंड पर, हम एक उत्कृष्ट शोधकर्ता की सामान्य पद्धति को लागू करेंगे, वैसे, हमारे साथी देशवासी, और हम नीचे विमान के व्यवहार के बारे में बताएंगे। विश्लेषणात्मक रूप से दिए गए फ़ंक्शन की मजबूत विशेषताओं के कारण, हम प्राधिकरण की व्युत्पन्न सीमाओं के भीतर अपने इच्छित उद्देश्य के लिए केवल ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं। आगे तर्क करते हुए, हम समीकरण की एकरूपता पर अपनी समीक्षा को ही रोक देते हैं, अर्थात इसका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर होता है। एक बार फिर, हम गणित में अपने निर्णय की शुद्धता की पुष्टि करेंगे। तुच्छ समाधान प्राप्त करने से बचने के लिए, हम सिस्टम की सशर्त स्थिरता की समस्या के लिए प्रारंभिक स्थितियों में कुछ समायोजन करेंगे। आइए एक द्विघात समीकरण की रचना करें, जिसके लिए हम सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके दो प्रविष्टियाँ लिखते हैं और ऋणात्मक मूल ज्ञात करते हैं। यदि एक जड़ दूसरी और तीसरी जड़ों से पांच इकाइयों से अधिक है, तो मुख्य तर्क में परिवर्तन करके, हम उप-समस्या की प्रारंभिक स्थितियों को विकृत करते हैं। इसके मूल में, गणित में कुछ असामान्य हमेशा एक सकारात्मक संख्या के निकटतम सौवें हिस्से में वर्णित किया जा सकता है। सर्वर लोड के सर्वोत्तम क्षण में अंश कैलकुलेटर समान संसाधनों पर अपने समकक्षों से कई गुना बेहतर होता है। y-अक्ष के अनुदिश बढ़ रहे वेग सदिश की सतह पर, हम एक-दूसरे के विपरीत दिशाओं में मुड़ी हुई सात रेखाएँ खींचते हैं। असाइन किए गए फ़ंक्शन तर्क की अनुरूपता रिकवरी बैलेंस काउंटर की ओर ले जाती है। गणित में, इस घटना को एक घन समीकरण के माध्यम से काल्पनिक गुणांक के साथ-साथ घटती रेखाओं की द्विध्रुवीय प्रगति में दर्शाया जा सकता है। उनके कई अर्थ और प्रगति में तापमान अंतर के महत्वपूर्ण बिंदु एक जटिल भिन्नात्मक कार्य को फैक्टर करने की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं। यदि आपको समीकरण हल करने के लिए कहा जाता है, तो इसे इस मिनट करने में जल्दबाजी न करें, निश्चित रूप से पहले पूरी कार्य योजना का मूल्यांकन करें, और उसके बाद ही सही दृष्टिकोण अपनाएं। अवश्य लाभ होगा। काम में आसानी स्पष्ट है, और गणित में भी ऐसा ही है। समीकरण को ऑनलाइन हल करें। सभी ऑनलाइन समीकरण संख्याओं या मापदंडों के एक निश्चित प्रकार के रिकॉर्ड होते हैं और एक चर जिसे परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। इस बहुत ही चर की गणना करें, अर्थात्, मूल्यों के एक सेट के विशिष्ट मान या अंतराल खोजें, जिसके लिए पहचान संतुष्ट होगी। प्रारंभिक और अंतिम शर्तें सीधे निर्भर करती हैं। समीकरणों के सामान्य समाधान में, एक नियम के रूप में, कुछ चर और स्थिरांक शामिल होते हैं, जिन्हें सेट करके, हम किसी दिए गए समस्या कथन के समाधान के पूरे परिवार प्राप्त करेंगे। सामान्य तौर पर, यह एक स्थानिक घन की कार्यक्षमता को 100 सेंटीमीटर के बराबर बढ़ाने की दिशा में निवेश किए गए प्रयासों को सही ठहराता है। आप उत्तर की रचना के किसी भी स्तर पर प्रमेय या प्रमेयिका लागू कर सकते हैं। साइट धीरे-धीरे समीकरणों का एक कैलकुलेटर जारी करती है, यदि आवश्यक हो, तो उत्पादों के योग के किसी भी अंतराल पर सबसे छोटा मान दिखाएं। आधे मामलों में, एक खोखली गेंद के रूप में ऐसी गेंद एक मध्यवर्ती उत्तर को अधिक हद तक निर्धारित करने की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करती है। कम से कम y-अक्ष पर वेक्टर प्रतिनिधित्व घटने की दिशा में, यह अनुपात निस्संदेह पिछली अभिव्यक्ति की तुलना में अधिक इष्टतम होगा। उस समय जब रैखिक कार्यों पर एक पूर्ण बिंदु विश्लेषण किया जाता है, हम वास्तव में, हमारे सभी जटिल संख्याएं और द्विध्रुवीय विमान रिक्त स्थान एकत्र करेंगे। परिणामी व्यंजक में एक चर को प्रतिस्थापित करके, आप चरणों में समीकरण को हल करेंगे और उच्च सटीकता के साथ सबसे विस्तृत उत्तर देंगे। एक बार फिर, गणित में अपने कार्यों की जाँच करना एक छात्र की ओर से एक अच्छा रूप होगा। भिन्नों के अनुपात में अनुपात शून्य वेक्टर की गतिविधि के सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रों में परिणाम की अखंडता को निर्धारित करता है। किए गए कार्यों के अंत में तुच्छता की पुष्टि की जाती है। सरल कार्य सेट के साथ, छात्रों को कम से कम समय में ऑनलाइन समीकरण हल करने में कठिनाई नहीं हो सकती है, लेकिन सभी प्रकार के नियमों के बारे में मत भूलना। उपसमुच्चय का समुच्चय अभिसारी अंकन के क्षेत्र में प्रतिच्छेद करता है। अलग-अलग मामलों में, उत्पाद ग़लती से फ़ैक्टराइज़ नहीं करता है। विश्वविद्यालयों और तकनीकी स्कूलों में छात्रों के लिए महत्वपूर्ण वर्गों के लिए गणितीय तकनीकों की मूल बातें पर हमारे पहले खंड में आपको समीकरण को ऑनलाइन हल करने में मदद मिलेगी। उदाहरणों का उत्तर देने से हमें कई दिनों तक इंतजार नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि पिछली शताब्दी की शुरुआत में समाधानों की क्रमिक खोज के साथ वेक्टर विश्लेषण की सर्वोत्तम बातचीत की प्रक्रिया का पेटेंट कराया गया था। यह पता चला है कि आसपास की टीम के साथ जुड़ने के प्रयास व्यर्थ नहीं थे, स्पष्ट रूप से पहले स्थान पर कुछ और था। कई पीढ़ियों बाद, दुनिया भर के वैज्ञानिकों ने यह विश्वास दिलाया कि गणित विज्ञान की रानी है। चाहे वह बायां उत्तर हो या सही उत्तर, संपूर्ण शब्द वैसे भी तीन पंक्तियों में लिखे जाने चाहिए, क्योंकि हमारे मामले में हम स्पष्ट रूप से केवल मैट्रिक्स के गुणों के वेक्टर विश्लेषण के बारे में बात करेंगे। एक बंद प्रणाली के सभी भौतिक बिंदुओं के स्थान में गति के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सर्वोत्तम तरीकों के बारे में द्विघात समीकरणों के साथ-साथ गैर-रेखीय और रैखिक समीकरणों ने हमारी पुस्तक में एक विशेष स्थान लिया है। तीन क्रमिक सदिशों के अदिश गुणनफल का रैखिक विश्लेषण हमें इस विचार को जीवन में लाने में मदद करेगा। प्रत्येक सेटिंग के अंत में, प्रदर्शन किए जा रहे संख्यात्मक स्थान ओवरले के संदर्भ में अनुकूलित संख्यात्मक अपवादों को प्रस्तुत करके कार्य को आसान बना दिया जाता है। एक अन्य निर्णय एक वृत्त में त्रिभुज के मनमाने रूप में पाए गए उत्तर का विरोध नहीं करेगा। दो वैक्टर के बीच के कोण में आवश्यक मार्जिन प्रतिशत होता है, और समीकरणों को ऑनलाइन हल करने से अक्सर प्रारंभिक स्थितियों के विपरीत समीकरण के कुछ सामान्य मूल का पता चलता है। अपवाद फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में सकारात्मक समाधान खोजने की संपूर्ण अपरिहार्य प्रक्रिया में उत्प्रेरक की भूमिका निभाता है। यदि यह नहीं कहा जाता है कि आप कंप्यूटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, तो ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर आपके कठिन कार्यों के लिए एकदम सही है। यह आपके सशर्त डेटा को सही प्रारूप में दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और हमारा सर्वर कम से कम समय में एक पूर्ण परिणामी प्रतिक्रिया जारी करेगा। एक घातीय कार्य एक रैखिक की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। यह चतुर पुस्तकालय साहित्य के तल्मूड द्वारा प्रमाणित है। सामान्य अर्थों में गणना करेंगे, जैसा कि तीन जटिल गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरण करेंगे। अर्ध-तल के ऊपरी भाग में परवलय बिंदु की कुल्हाड़ियों के साथ समांतर समानांतर गति को दर्शाता है। यहां यह शरीर के कार्य स्थान में संभावित अंतर का उल्लेख करने योग्य है। एक उप-इष्टतम परिणाम के बदले में, हमारा अंश कैलकुलेटर बैक एंड पर कार्यात्मक कार्यक्रमों की समीक्षा की गणितीय रेटिंग में पहले स्थान पर है। इस सेवा के उपयोग में आसानी को लाखों इंटरनेट उपयोगकर्ताओं द्वारा सराहा जाएगा। यदि आप इसका उपयोग करना नहीं जानते हैं, तो हमें आपकी सहायता करने में खुशी होगी। हम कई प्राथमिक स्कूली बच्चों के कार्यों से घन समीकरण को भी हाइलाइट और हाइलाइट करना चाहते हैं, जब आपको इसकी जड़ों को जल्दी से खोजने और एक विमान पर एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने की आवश्यकता होती है। प्रजनन की उच्चतम डिग्री संस्थान में सबसे कठिन गणितीय समस्याओं में से एक है, और इसके अध्ययन के लिए पर्याप्त संख्या में घंटे आवंटित किए जाते हैं। सभी रैखिक समीकरणों की तरह, हमारे कई उद्देश्य नियमों का अपवाद नहीं है, विभिन्न दृष्टिकोणों से एक नज़र डालें, और यह प्रारंभिक शर्तों को निर्धारित करने के लिए सरल और पर्याप्त होगा। वृद्धि का अंतराल फ़ंक्शन के उत्तलता के अंतराल के साथ मेल खाता है। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। सिद्धांत का अध्ययन मुख्य अनुशासन के अध्ययन पर कई वर्गों से ऑनलाइन समीकरणों पर आधारित है। अनिश्चित समस्याओं में इस तरह के दृष्टिकोण के मामले में, पूर्व निर्धारित रूप में समीकरणों के समाधान को प्रस्तुत करना और न केवल निष्कर्ष निकालना, बल्कि इस तरह के सकारात्मक समाधान के परिणाम की भविष्यवाणी करना भी बहुत आसान है। सेवा हमें गणित की सर्वोत्तम परंपराओं में विषय क्षेत्र को सीखने में मदद करेगी, जैसा कि पूर्व में प्रथागत है। समय अंतराल के सर्वोत्तम क्षणों में, समान कार्यों को एक सामान्य गुणक से दस गुना गुणा किया जाता था। समीकरण कैलकुलेटर में कई चर के गुणन की बहुतायत के साथ, यह गुणवत्ता से गुणा करना शुरू कर देता है, न कि मात्रात्मक चर से, जैसे कि द्रव्यमान या शरीर के वजन के रूप में। भौतिक प्रणाली के असंतुलन के मामलों से बचने के लिए, गैर-पतित गणितीय मैट्रिक्स के तुच्छ अभिसरण पर त्रि-आयामी कनवर्टर की व्युत्पत्ति हमारे लिए काफी स्पष्ट है। कार्य को पूरा करें और दिए गए निर्देशांक में समीकरण को हल करें, क्योंकि आउटपुट पहले से अज्ञात है, साथ ही पोस्ट-स्पेस समय में शामिल सभी चर अज्ञात हैं। थोड़े समय के लिए, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर धकेलें और पहले से दोनों भागों के सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करें। संख्याओं के परिणामी कवर किए गए उपसमुच्चय के तहत, एक छोटी अवधि में एक पंक्ति में तैंतीस अंक विस्तृत तरीके से निकालें। जहाँ तक संभव हो हर छात्र के लिए सर्वोत्तम संभव तरीके से ऑनलाइन समीकरण को हल करना संभव है, आगे देखते हुए, एक महत्वपूर्ण, लेकिन महत्वपूर्ण बात कहते हैं, जिसके बिना भविष्य में जीना आसान नहीं होगा। पिछली शताब्दी में, महान वैज्ञानिक ने गणित के सिद्धांत में कई नियमितताओं को देखा। व्यवहार में, यह घटनाओं की अपेक्षित छाप नहीं निकला। हालांकि, सिद्धांत रूप में, ऑनलाइन समीकरणों का यह बहुत ही समाधान छात्रों द्वारा कवर की गई सैद्धांतिक सामग्री के अध्ययन और व्यावहारिक समेकन के लिए एक समग्र दृष्टिकोण की समझ और धारणा को बेहतर बनाने में मदद करता है। अपने अध्ययन के समय में ऐसा करना बहुत आसान है।

=

वे समीकरण जिनमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक तर्कसंगत समीकरण के साथ एक अपरिमेय समीकरण को बदलने (कुछ परिवर्तनों की सहायता से) की संभावना पर आधारित होते हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। इस मामले में, एक समीकरण प्राप्त होता है, जो मूल का परिणाम होता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) यदि मूल सूचकांक एक सम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; रूट का मान भी गैर-ऋणात्मक है (सम घातांक वाले रूट की परिभाषा);

2) यदि मूल सूचकांक एक विषम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है; इस मामले में, रूट का चिन्ह रूट एक्सप्रेशन के संकेत के समान है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 \u003d 1;
हम -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान पदों की कमी करते हैं।
एक्स 2 \u003d 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें, इसके लिए हम चर x के मानों को मूल समीकरण में बदल देंगे।
इंतिहान।
जब x 1 \u003d -2 - सत्य:
जब x 2 \u003d -2- सत्य।
यह इस प्रकार है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें .

इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह ही विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।

आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। वर्गमूल की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में दो शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए:

दिए गए समीकरण का ODZ: x.

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें =+ 2.

इस समीकरण में ODZ ज्ञात करना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
एक्स 1 = 1; x2=0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 \u003d 0 एक अतिरिक्त रूट है।
उत्तर: एक्स 1 \u003d 1।

उदाहरण 4समीकरण x = को हल कीजिए।

इस उदाहरण में, ODZ खोजना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;)।

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करें, परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 \u003d x + 1 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें:

मिली जड़ों की जांच करना मुश्किल है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी। इस मामले में, अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:

एक्स+10 तथा X 0 तथा x 2 \u003d x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमेय समीकरण का ऋणात्मक मूल बाह्य है और इसे अवश्य ही छोड़ देना चाहिए।

उदाहरण 5.समीकरण += 7 को हल कीजिए।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें और समान पदों की कमी करें, समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करें और दोनों भागों को 0.5 से गुणा करें। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें। हमें समीकरण (x + 5) (20 - x) = 144 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।

इस समीकरण (जो मूल एक का परिणाम भी है) की जड़ें x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 हैं। दोनों जड़ें, जैसा कि परीक्षण से पता चलता है, मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

प्रतिनिधि एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.

टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर समीकरणों जैसे (*) में मूल भावों को गुणा करते हैं, अर्थात समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं = 12. इससे त्रुटियां नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण समीकरणों के परिणाम हैं। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन गैर-समतुल्य समीकरण देता है।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, पहले किसी एक रेडिकल को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव था। तब समीकरण के बाईं ओर एक मूलांक रहेगा, और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, समीकरण के बाईं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। इस तकनीक (कट्टरपंथी का एकांत) का उपयोग अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें- = 3।

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
=+ 3, जो मूल के बराबर है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, जो समीकरण के बराबर है

4x - 5 = 3 (*)। यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम समीकरण पर पहुँचते हैं
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), या

7x2 - 13x - 2 = 0.

यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, और दूसरा x 2 =- नहीं।

उत्तर: एक्स = 2.

ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, किसी एक मूलांक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों भागों को चुकता कर रहे थे, तो हमें काफी बोझिल परिवर्तन करने होंगे।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, रेडिकल के अलगाव के अलावा, अन्य तरीकों का भी उपयोग किया जाता है। अज्ञात को बदलने की विधि का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें (एक सहायक चर को पेश करने की विधि)।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। अक्सर, मूल चिह्न समीकरणों में पाया जाता है, और कई लोग गलती से मानते हैं कि ऐसे समीकरणों को हल करना मुश्किल है। गणित में ऐसे समीकरणों के लिए एक विशेष पद होता है, जिसे जड़ वाले समीकरण कहते हैं - अपरिमेय समीकरण।

अन्य समीकरणों से मूल के साथ समीकरणों को हल करने में मुख्य अंतर, उदाहरण के लिए, वर्ग, लॉगरिदमिक, रैखिक, यह है कि उनके पास मानक समाधान एल्गोरिदम नहीं है। इसलिए, एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए, प्रारंभिक डेटा का विश्लेषण करना और अधिक उपयुक्त समाधान चुनना आवश्यक है।

ज्यादातर मामलों में, इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि का उपयोग किया जाता है।

मान लें कि निम्नलिखित समीकरण दिया गया है:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], जहां से हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:

द्विघात समीकरण प्राप्त करने के बाद, हम इसकी जड़ें पाते हैं:

उत्तर: \

यदि हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलेगी, जो प्राप्त आंकड़ों की शुद्धता को इंगित करती है।

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एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिह्न के तहत एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:

ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल होते हैं:

  1. जड़ को अलग करें। दूसरे शब्दों में, यदि मूल के अलावा समान चिह्न के बाईं ओर अन्य संख्याएँ या कार्य हैं, तो यह सब चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जाना चाहिए। उसी समय, केवल रेडिकल बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
  2. 2. हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। साथ ही, याद रखें कि रूट की रेंज सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं। इसलिए दाईं ओर का कार्य अपरिमेय समीकरणगैर-ऋणात्मक भी होना चाहिए: जी (एक्स) 0।
  3. तीसरा चरण दूसरे से तार्किक रूप से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमारे पास अतिरिक्त जड़ें हो सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और जांचना आवश्यक है: क्या सही संख्यात्मक समानता वास्तव में प्राप्त हुई है?

एक अपरिमेय समीकरण को हल करना

आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण से निपटें। यहां जड़ पहले से ही एकांत में है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
एक्स 2 - 4x - 12 = 0

हम परिणामी द्विघात समीकरण को विभेदक के माध्यम से हल करते हैं:

डी = बी 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 \u003d -2

यह केवल इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, अर्थात। एक जाँच करें। लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को आसान बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।

निर्णय को सरल कैसे करें

आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में भी जांच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जड़ों को प्रतिस्थापित करते समय, समान चिह्न के दाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होगी। आखिरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि यह बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, क्योंकि अंकगणितीय वर्गमूल (जिसके कारण हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) परिभाषा के अनुसार शून्य से कम नहीं हो सकता है।

इसलिए, हमें केवल यह जाँचने की आवश्यकता है कि फलन g ( x ) = 5 - x , जो समान चिह्न के दाईं ओर है, ऋणात्मक नहीं है:

जी (एक्स) 0

हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

जी (एक्स 1) \u003d जी (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
जी (एक्स 2) = जी (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

प्राप्त मूल्यों से, यह निम्नानुसार है कि रूट x 1 = 6 हमें शोभा नहीं देता है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। लेकिन रूट x 2 \u003d −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:

  1. यह मूल दोनों पक्षों को ऊपर उठाकर प्राप्त द्विघात समीकरण का हल है अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में।
  2. मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना भाग, जब मूल x 2 = -2 को प्रतिस्थापित किया जाता है, एक धनात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणितीय जड़ की सीमा का उल्लंघन नहीं किया जाता है।

वह संपूर्ण एल्गोरिदम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, रेडिकल वाले समीकरणों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अतिरिक्त उत्तर मिलने की संभावना है।

गणित में प्रत्येक नई क्रिया तुरंत इसके विपरीत उत्पन्न करती है। एक बार की बात है, प्राचीन यूनानियों ने पाया कि 2 मीटर लंबी और 2 मीटर चौड़ी भूमि के एक वर्ग टुकड़े का क्षेत्रफल 2 * 2 = 4 वर्ग मीटर (बाद में मी ^ 2 के रूप में संदर्भित) होगा। और अब, इसके विपरीत, यदि यूनानी जानता था कि उसकी भूमि का टुकड़ा वर्गाकार है और उसका क्षेत्रफल 4 मी^2 है, तो उसे कैसे पता चलेगा कि उसकी भूमि का टुकड़ा कितना लंबा और कितना चौड़ा होगा? एक ऑपरेशन शुरू किया गया था जो वर्गमूल के संचालन के विपरीत था और वर्गमूल के निष्कर्षण के रूप में जाना जाने लगा। लोग यह समझने लगे थे कि 2 वर्ग (2^2) 4 के बराबर है। इसके विपरीत, 4 का वर्गमूल (इसके बाद √ (4) के रूप में संदर्भित) दो के बराबर होगा। मॉडल अधिक जटिल हो गए, जड़ों के साथ प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले रिकॉर्ड भी अधिक जटिल हो गए। यह प्रश्न कई बार उठा कि मूल के साथ समीकरण को कैसे हल किया जाए।

मान लीजिए x को एक बार स्वयं से गुणा करने पर 9 प्राप्त होता है। इसे x * x \u003d 9 के रूप में लिखा जा सकता है। या डिग्री के माध्यम से: x^2=9. एक्स को खोजने के लिए, आपको 9 की जड़ लेनी होगी, जो पहले से ही कुछ हद तक एक रेडिकल के साथ एक समीकरण है: x=√(9) । जड़ को मौखिक रूप से निकाला जा सकता है या इसके लिए कैलकुलेटर का उपयोग किया जा सकता है। इसके बाद, उलटा समस्या पर विचार करें। एक निश्चित मान, उसमें से वर्गमूल निकालने पर, 7 का मान देता है। यदि हम इसे एक अपरिमेय समीकरण के रूप में लिखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: (x) = 7. ऐसी समस्या को हल करने के लिए, व्यंजक के दोनों भागों का वर्ग होना चाहिए। . यह देखते हुए कि √(x) *√(x) =x, यह x = 49 निकलता है। जड़ अपने शुद्ध रूप में तुरंत तैयार हो जाती है। इसके बाद, हमें जड़ों वाले समीकरण के अधिक जटिल उदाहरणों का विश्लेषण करना चाहिए।

मान लीजिए 5 को एक निश्चित मान से घटाया जाता है, तो व्यंजक को 1/2 की घात तक बढ़ा दिया जाता है। परिणामस्वरूप, संख्या 3 प्राप्त हुई। अब इस शर्त को एक समीकरण के रूप में लिखा जाना चाहिए: (x-5) =3। इसके बाद, समीकरण के प्रत्येक भाग को स्वयं से गुणा किया जाना चाहिए: x-5 = 3। दूसरी शक्ति तक बढ़ाने के बाद, अभिव्यक्ति को रेडिकल से मुक्त किया गया था। अब यह पाँचों को दाईं ओर ले जाकर और उसके चिन्ह को बदलकर सरलतम रैखिक समीकरण को हल करने के लायक है। एक्स = 5+3। x = 8. दुर्भाग्य से, सभी जीवन प्रक्रियाओं को ऐसे सरल समीकरणों द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। बहुत बार आप कई मूलकों के साथ भाव पा सकते हैं, कभी-कभी जड़ की डिग्री दूसरे से अधिक हो सकती है। ऐसी पहचानों के लिए कोई एकल समाधान एल्गोरिथम नहीं है। प्रत्येक समीकरण के लिए, एक विशेष दृष्टिकोण की तलाश करना उचित है। एक उदाहरण दिया गया है जिसमें मूल के साथ समीकरण की तीसरी डिग्री है।

घनमूल को 3√ निरूपित किया जाएगा। 5 मीटर भुजा वाले एक घन के आकार के पात्र का आयतन ज्ञात कीजिए। मान लें कि आयतन x m^3 है। तब आयतन का घनमूल घन की भुजा के बराबर और पाँच मीटर के बराबर होगा। समीकरण प्राप्त होता है: 3√(x) =5। इसे हल करने के लिए, दोनों भागों को तीसरी शक्ति x = 125 तक बढ़ाना आवश्यक है। उत्तर: 125 घन मीटर। नीचे जड़ों के योग वाले समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है। (x) +√(x-1) =5. सबसे पहले आपको दोनों हिस्सों को चौकोर करना होगा। ऐसा करने के लिए, यह योग के वर्ग के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र को याद रखने योग्य है: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2। समीकरण पर लागू होने पर, यह पता चलता है: x + 2 * (x) * (x-1) + x-1 = 25. इसके अलावा, जड़ों को बाईं ओर छोड़ दिया जाता है, और बाकी सब कुछ दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है। : 2 * (एक्स) * (एक्स -1) = 26 - 2x। व्यंजक के दोनों भागों को 2 से विभाजित करना सुविधाजनक है: ((x) (x-1)) = 13 - x। एक सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है।

फिर, दोनों भागों को चुकता किया जाना चाहिए: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. कोष्ठक खोलना और समान पद लाना आवश्यक है: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. दूसरी शक्ति गायब हो जाती है, इसलिए 25x = 169. x = 169/25 = 6.6। चेक पूरा करने के बाद, परिणामी रूट को मूल समीकरण में बदलकर: (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, आप एक संतोषजनक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यह समझना भी बहुत महत्वपूर्ण है कि एक सम मूल वाला व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता। वास्तव में, किसी भी संख्या को अपने आप से एक सम संख्या से गुणा करने पर, शून्य से कम का मान प्राप्त करना असंभव है। इसलिए, (x ^ 2 + 7x-11) = -3 जैसे समीकरणों को सुरक्षित रूप से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन लिखा है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रेडिकल वाले समीकरणों का समाधान कई प्रकार के रूप ले सकता है।

एक समीकरण का एक सरल उदाहरण जहां आपको चर बदलने की आवश्यकता होती है। (y) - 5*4√(y) +6 = 0, जहां 4√(y) y का चौथा मूल है। प्रस्तावित प्रतिस्थापन इस प्रकार है: x = 4√(y) । इसे करने के बाद, यह निकलता है: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. परिणामी द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इसका विभेदक: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. पहला मूल x1 (5 + 1) /2 = 6/2 = 3 के बराबर होगा। दूसरा मूल x2 = (5 - √1) / 2 = 4/2 = 2. आप वीटा के प्रमेय के उपफल का उपयोग करके भी मूल ज्ञात कर सकते हैं। जड़ें पाई जाती हैं, एक रिवर्स रिप्लेसमेंट किया जाना चाहिए। 4√(y) = 3, इसलिए y1 = 1.6। साथ ही 4√(y) = 2, चौथा मूल लेने पर यह पता चलता है कि y2 = 1.9. मूल्यों की गणना कैलकुलेटर पर की जाती है। लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है, जवाब को कट्टरपंथियों के रूप में छोड़ दें।