खंड दो।

पहचान परिवर्तन

(पहली चार बीजीय क्रियाएँ)।

अध्याय एक।

बहुपद और एकपदी।

42. बहुपद और एकपदी।एक बीजीय व्यंजक जो + या - चिह्नों से जुड़े कई अन्य व्यंजकों से बना होता है, बहुपद कहलाता है। उदाहरण के लिए, यह अभिव्यक्ति है:

अलग-अलग व्यंजक, जिनके संयोजन से + या - चिन्ह बहुपद निकले, इसके सदस्य कहलाते हैं। आम तौर पर एक बहुपद की शर्तों को उनके सामने खड़े संकेतों के साथ माना जाता है; उदाहरण के लिए, वे कहते हैं: सदस्य - ए , सदस्य + बी 2, आदि। पहले सदस्य से पहले, यदि इसके आगे कोई चिन्ह नहीं रखा गया है, तो इसका अर्थ एनक + हो सकता है; इसलिए, हमारे उदाहरण में, पहला पद है अब या + अब .

एक व्यंजक जिसमें केवल एक सदस्य होता है, एक पद कहलाता है, दो सदस्यों का - दो-अवधि का, तीन-तीन-अवधि का, आदि। एकपदी या तो एक अक्षर या संख्याओं द्वारा व्यक्त की जाने वाली एकल संख्या होती है (उदाहरण के लिए - ए , + 10), या कोई उत्पाद (उदा. अब ), या निजी (उदा. ए-बी / 2 ) या डिग्री (उदा. बी 2); लेकिन एकपदी न तो योग और न ही अंतर होना चाहिए , क्योंकि अन्यथा यह सामान्य रूप से एक द्विपद, एक त्रिपद, एक बहुपद होगा।

यदि एकपदी एक भागफल है, तो इसे भिन्नात्मक एकपदी कहते हैं; अन्य सभी एकपदी लक्ष्य कहलाते हैं। तो, हमारे उदाहरण में, एकपदी ए-बी / 2 भिन्नात्मक है, और बहुपद के अन्य सभी सदस्य पूर्णांक हैं। चूँकि बीजगणित की शुरुआत में हम केवल पूर्णांक एकपदी के बारे में बात करेंगे, संक्षिप्तता के लिए हम उन्हें केवल "एकपदी" कहेंगे।

यदि किसी बहुपद के सभी सदस्य पूर्णांक हों, तो उसे पूर्णांक भी कहते हैं।

43. गुणांक।मान लीजिए हमें एक उत्पाद दिया गया है:

ए 3अब (- 2) ,

जिसमें कुछ कारक संख्याओं में व्यक्त किए जाते हैं, अन्य अक्षरों में। इस तरह के उत्पादों को एक समूह में संख्याओं में व्यक्त सभी कारकों को दूसरे समूह में जोड़कर (गुणन के सहयोगी और कम्यूटेटिव गुणों का उपयोग करके) रूपांतरित किया जा सकता है - अक्षरों में व्यक्त सभी कारक ए, आदि।:

3 (- 2) (आ) बी ,

संक्षेप में क्या लिखा जा सकता है:- 6ए 2 बी ;. ऐशे ही:

-एल0 axx (- 2) = + 20ओह 2 , आदि।

अंकों में व्यक्त गुणनखंड को वर्णानुक्रमिक गुणनखंडों के सामने रखा जाता है, एकपदी गुणांक कहलाता है। अत: एकपदी में - 6ए 2 बी संख्या - 6 एक गुणांक है।

ध्यान दें कि यदि गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है, तो इसका अर्थ है कि कितनी बार शब्द द्वारा दोहराया जाता हैशाब्दिक अभिव्यक्ति जिसके लिए यह संदर्भित करता है; इसलिए, 3 अब = 3(एबी) =(अब) 3 =एबी + एबी + एबी . यदि गुणांक एक भिन्न है, तो यह व्यक्त करता है कि कौन सा अंश शाब्दिक व्यंजक के संख्यात्मक मान से लिया गया है। इसलिए:
2 / 3 ओह = ओह 2 / 3 , और गुणा करें ओह पर 2 / 3 लेने का मतलब 2 / 3 नंबर . से ओह .

44. एक बहुपद के गुण।किसी भी बहुपद को उसके पदों का बीजगणितीय योग माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बहुपद

2ए - बी + साथ

एक राशि है: 2ए + (- बी) + (+ साथ ) क्योंकि अभिव्यक्ति + (- बी) अभिव्यक्ति के बराबर है - बी और अभिव्यक्ति + (+ साथ ) मतलब वही + साथ . नतीजतन, सापेक्ष संख्याओं के योग के सभी गुण (खंड 1 § 25) भी बहुपद के हैं। आइए हम इनमें से सबसे महत्वपूर्ण गुणों को याद करें:

ए) संपत्ति हस्तांतरण: अपने सदस्यों को स्थानांतरित करते समय बहुपद का संख्यात्मक मान नहीं बदलता है (उनके संकेतों के साथ)।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, हम बहुपद का संख्यात्मक मान ज्ञात करते हैं

2ए 2 - अब + बी 2 - 1 / 2 ए

पर ए = - 4 और बी = - 3. ऐसा करने के लिए, हम पहले प्रत्येक पद की अलग-अलग गणना करते हैं:

2ए 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - अब = - (- 4) (- 3)= -12 ;

बी 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 ए = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

अब सभी प्राप्त संख्याओं को या उस क्रम में जोड़ें जिसमें बहुपद के सदस्य लिखे गए हैं:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

या किसी अन्य क्रम में, हमें हमेशा वही संख्या 31 प्राप्त होती है।

बी) संबंधी संपत्ति: यदि हम इसके किसी पद को उनके बीजगणितीय योग से बदल दें तो बहुपद का संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा।

इसलिए, यदि अभी लिए गए बहुपद में हम पदों को प्रतिस्थापित करते हैं - अब , + बी 2 और - 1 / 2 ए उनका बीजगणितीय योग, अर्थात्, इस बहुपद को निम्नलिखित रूप में लें:

2ए 2 + (- अब + बी 2 - 1 / 2 ए )

तो फिर ए = - 4 और बी = - 3 हमें मिलता है:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

यानी हमें वही नंबर 31 मिलता है जो हमें पहले मिलता था। हम बहुपद के निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुणधर्म भी नोट करते हैं:

में) यदि बहुपद के प्रत्येक सदस्य से पहले हम चिह्न को विपरीत में बदल दें, तो बहुपद का संख्यात्मक मान भी चिह्न को विपरीत में बदल देगा, और इसका निरपेक्ष मान नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए, बहुपद का संख्यात्मक मान 2ए 2 - अब + बी 2 - 1 / 2 ए
पर ए = - 4 और बी = - 3, जैसा कि हमने देखा, 31 है, और बहुपद का संख्यात्मक मान है - 2ए 2 + अब- बी 2 + 1 / 2 ए अक्षरों के समान मूल्यों के साथ -31 के बराबर है।

45. समान शर्तों की कमी।कभी-कभी एक बहुपद में ऐसे पद होते हैं जो केवल गुणांकों, या चिह्नों में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, या बिल्कुल भी भिन्न नहीं होते हैं; ऐसे सदस्यों को समान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक बहुपद में

पहला पद तीसरे के समान है (वे एक पंक्ति द्वारा रेखांकित हैं), दूसरा शब्द चौथे और छठे (दो पंक्तियों द्वारा रेखांकित) के समान है, और पांचवें शब्द का कोई एनालॉग नहीं है।

यदि एक बहुपद में समान पद हैं, तो उन्हें एक पद में जोड़ा जा सकता है। इसलिए, अब दिए गए उदाहरण में, हम (एक बहुपद के साहचर्य गुण के आधार पर) सदस्यों को ऐसे समूहों में जोड़ सकते हैं:

(4ए + 0,5ए) + (- 3एक्स + 8एक्स - 2एक्स) + 3 कुल्हाड़ी .

लेकिन यह स्पष्ट है कि कुछ संख्याओं में से 4 और एक ही संख्या के 0.5 एक ही संख्या के 4.5 हैं। माध्यम, 4ए + 0,5ए = 4,5ए . समान रूप से - 3एक्स + 8एक्स = 5एक्स और 5एक्स - 2एक्स =3एक्स . अतः बहुपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

4,5ए + 3एक्स+ 3 कुल्हाड़ी .

ध्यान दें कि एक बहुपद के सभी समान सदस्यों के एक सदस्य में संयोजन को आमतौर पर बहुपद के समान सदस्यों की कमी कहा जाता है।

टिप्पणी। समान गुणांक वाले दो समान शब्द, लेकिन अलग-अलग के साथ (वे एक दूसरे को संकेतों से रद्द करते हैं, उदाहरण के लिए, शब्द + 2 हैं एऔर 2 ए, या - 1 / 2 एक्स 2 और + 1 / 2 एक्स 2 .

उदाहरण।

अध्याय दो।

बीजीय जोड़ और घटाव।

46. ​​"बीजगणितीय संक्रियाएँ" क्या हैं।

अंकगणित में, संख्याओं पर संक्रियाएँ की जाती हैं, और परिणाम एक नई संख्या होती है। बीजगणित में, क्रियाओं को संख्याओं पर नहीं, बल्कि बीजीय व्यंजकों पर किया जाता है, और परिणाम एक नया बीजीय व्यंजक होता है। उदाहरण के लिए, एकपदी को गुणा करें 3 ए एक एकपदी में 2 ए - का अर्थ है, सबसे पहले, स्वीकृत संकेतों द्वारा गुणन को इंगित करना:

(3ए) (2ए)

और, दूसरी बात, यदि संभव हो तो परिणामी बीजीय व्यंजक को दूसरे, सरल एक में रूपांतरित करना। हमारे उदाहरण में, इस तरह तर्क द्वारा परिवर्तन किया जा सकता है: उत्पाद द्वारा किसी संख्या को गुणा करने के लिए 2 ए , आप इस संख्या को पहले से गुणा कर सकते हैं 2 और फिर परिणाम को से गुणा करें ए .

(3ए) (2ए) = (3ए) 2ए .

अंतिम व्यंजक में, हम कोष्ठकों को त्याग सकते हैं, क्योंकि इससे व्यंजक का अर्थ नहीं बदलता है; तब हमें मिलता है 3ए 2ए .. अब, गुणन के साहचर्य गुण का उपयोग करते हुए, हम कारकों को निम्नानुसार समूहित करते हैं: (3 2) (आ) , जो स्पष्ट रूप से है 6ए 2 .

अक्षर कोई भी हो ए न तो अभिव्यक्ति के संख्यात्मक मूल्य का मतलब था (3ए) (2ए) हमेशा व्यंजक के संख्यात्मक मान के बराबर होता है 6ए 2 , यानी ये भाव समान हैं।

इस प्रकार, हमारे गुणन के उदाहरण में बीजीय क्रिया में, सबसे पहले, इस क्रिया को बीजगणित में स्वीकार किए गए संकेतों द्वारा इंगित करना और दूसरा, यदि संभव हो तो, परिणामी बीजीय व्यंजक को इसके समान, दूसरे में रूपांतरित करना शामिल है।

47. एकपदी का जोड़।इसे कई मोनोमियल जोड़ने की आवश्यकता होने दें:

3ए, - 5बी, + 0.2ए, -7 बी और साथ . उनका योग इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

3ए +(- 5बी) + (+ 0.2a) + (-7 बी ) + साथ

लेकिन भाव: + (- 5बी), + (+ 0.2a)और + (- 7 बी ) के बराबर हैं: - 5बी, + 0.2aऔर - 7 बी इसलिए, इन मोनोमियल्स के योग को सरल तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

जो, समान पदों की ढलाई के बाद, देता है: 3,2ए - 12बी+ साथ. माध्यम, कई मोनोमियल जोड़ने के लिए, उन्हें एक के बाद एक उनके संकेतों के साथ लिखना और समान शब्दों की कमी करना पर्याप्त है।

48. बहुपदों का योग।मान लीजिए कि यह किसी संख्या या बीजीय व्यंजक के लिए आवश्यक है एमएक बहुपद जोड़ें ए - बी + सी . वांछित राशि को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

एम + (ए - बी + सी ).

इस व्यंजक को रूपांतरित करने के लिए, हम बहुपद को ध्यान में रखते हैं
ए - बी + सी योग है ए + (- बी) + सी , और योग जोड़ने के लिए, आप प्रत्येक पद को एक-एक करके जोड़ सकते हैं; इसीलिए:

एम + (ए - बी + सी ) = एम +ए + (- बी) + सी

लेकिन जोड़ें -बी कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या घटाना है बी ; इसीलिए:

एम + (ए - बी + सी ) = एम + ए - बी + सी

नियम। किसी बहुपद व्यंजक में बहुपद जोड़ने के लिए, इस व्यंजक को बहुपद के सभी पदों को एक के बाद एक उनके चिह्नों के साथ निर्दिष्ट करना आवश्यक है। (इसके अलावा, बहुपद के पहले सदस्य से पहले, यदि उसके सामने कोई चिन्ह नहीं है, तो + चिन्ह अवश्य ही निहित होना चाहिए) और समान सदस्यों को कास्ट करें, अगर वे सामने आते हैं।

उदाहरण।

3ए 2 - 5अब + बी 2 + (4अब - बी 2 + 7ए 2).

पहला पद, जिसे अब हम एक अक्षर से निरूपित करते हैं एम, इस उदाहरण में बहुपद के रूप में दिया गया है 3ए 2 - 5अब + बी 2 . इस नियम को लागू करते हुए, हम पाते हैं:

3ए 2 - 5अब + बी 2 + (4अब - बी 2 + 7ए 2) = 3ए 2 - 5अब + बी 2 + 4अब - बी 2 + 7ए 2 = 10ए 2 - अब

यदि जोड़ के लिए बहुपद डेटा में समान पद हैं (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), तो पदों को एक के नीचे दूसरे के नीचे लिखना उपयोगी होता है ताकि समान पद समान पदों के अंतर्गत खड़े हों:

49. एकपदी का घटाव।एकपदी से इसकी आवश्यकता होने दें 10 कुल्हाड़ी मोनोमियल घटाएं - 3 कुल्हाड़ी . वांछित अंतर इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

10 कुल्हाड़ी - (- 3 कुल्हाड़ी ).

घटाव नियम के अनुसार घटाव है 3 कुल्हाड़ी संख्या के विपरीत एक संख्या जोड़कर प्रतिस्थापित किया जा सकता है - 3 कुल्हाड़ी . ऐसी संख्या है + 3 कुल्हाड़ी , इसीलिए:

10 कुल्हाड़ी - (- 3 कुल्हाड़ी ) = 10 कुल्हाड़ी + (+ 3 कुल्हाड़ी ) = 10 कुल्हाड़ी + 3 कुल्हाड़ी = 13 कुल्हाड़ी .

माध्यम, एक एकपदी को घटाने के लिए, इसे विपरीत चिन्ह के साथ मिन्यूएंड को निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है (और समान शब्दों की कमी करने के लिए, यदि वे दिखाई देते हैं)।

50. बहुपदों का घटाव।मान लीजिए कि किसी संख्या या बीजीय व्यंजक से इसकी आवश्यकता है एमबहुपद घटाना ए - बी + सी , जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

एम- (ए - बी + सी ).

ऐसा करने के लिए, घटाव के नियम (धारा 1 22) के अनुसार, यह जोड़ने के लिए पर्याप्त है एमविपरीत संख्या ए - बी + सी . एक ऐसा नंबर है - ए + बी - सी (); साधन:

एम- (ए - बी + सी ) = एम+ (- ए + बी - सी )

अब बहुपदों के योग के नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एम- (ए - बी + सी ) = एम - ए + बी - सी .

माध्यम, कुछ बीजीय व्यंजकों में से एक बहुपद को घटाने के लिए, इस व्यंजक में विपरीत चिह्नों के साथ सबट्रेंड बहुपद के सभी पदों को विशेषता देना (और एक कमी करना) पर्याप्त है।

यदि एक बहुपद में से किसी अन्य बहुपद को घटाना आवश्यक हो और इन बहुपदों में समान पद हों, तो घटाए गए बहुपद को घटाए गए बहुपद के नीचे लिखना, घटाए गए बहुपद के चिह्नों को विपरीत वाले में बदलना उपयोगी होता है, और इस प्रकार समान पद खड़े हो जाते हैं इसी के तहत। उदाहरण के लिए, घटाव
(7ए 2 - 2अब + बी 2) - (5ए 2 + 4अब - 2बी 2) इस तरह सबसे अच्छा रखा गया है:

(बहुपद में घटाए जाने के लिए, ऊपरी संकेत दिए गए थे, और नीचे उन्हें उलट दिया गया था)।

51. एक + या - चिह्न . से पहले कोष्ठक का विस्तार करना.

चलो अभिव्यक्ति में

2 ए + (ए - 3 बी + सी ) - (2 ए - बी + 2 साथ )

कोष्ठक खोलने की जरूरत है। इसे इस तरह से समझा जाना चाहिए कि कोष्ठक के अंदर बहुपदों पर उन क्रियाओं को करना आवश्यक है जो कोष्ठक के सामने संकेतों द्वारा इंगित की जाती हैं। हमारे उदाहरण में, पहला कोष्ठक एक + चिह्न से पहले है, और दूसरा कोष्ठक एक - चिह्न से पहले है। हमारे द्वारा दिए गए नियमों के अनुसार जोड़ने और घटाने के बाद, हमें कोष्ठक के बिना एक व्यंजक मिलता है:

2 ए + ए - 3 बी + सी - 2 ए + बी - 2 सी = ए - 2 बी - सी

इस प्रकार, हमें यह याद रखना चाहिए कि, + चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हमें कोष्ठक के अंदर के संकेतों को नहीं बदलना चाहिए, और - चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हमें कोष्ठक के अंदर सभी सदस्यों के सामने संकेतों को विपरीत में बदलना चाहिए।

मान लें कि व्यंजक में कोष्ठकों को खोलना भी आवश्यक है:

10आर -।

ऐसा करने के लिए, पहले आंतरिक कोष्ठक खोलना और फिर बाहरी को खोलना सबसे सुविधाजनक है:

10r - = 10पी - 3पी - 5पी + 10 + 4] = 2पी+14.

52. एक बहुपद के एक भाग को कोष्ठक में लगाना।एक बहुपद को बदलने के लिए, कभी-कभी इसके कुछ सदस्यों के सेट को ब्रैकेट करना उपयोगी होता है, और कभी-कभी कोष्ठक के सामने + रखना वांछनीय होता है, यानी, बहुपद को योग के रूप में चित्रित करने के लिए, और कभी-कभी - चिह्न, यानी। बहुपद को एक अंतर के रूप में निरूपित करते हैं। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बहुपद में ए + बी - सी हम कोष्ठकों को + चिह्न के साथ उपसर्ग करके अंतिम दो शब्दों को ब्रैकेट करना चाहते हैं। फिर हम इस तरह लिखते हैं:

ए + बी - सी = ए + (बी - सी) ,

यानी, कोष्ठक के अंदर हम वही चिन्ह छोड़ते हैं जो इस बहुपद में थे। कि ऐसा परिवर्तन सत्य है, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि यदि हम योग के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं; तब हमें दिया गया बहुपद पुनः प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि एक ही बहुपद में कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न लगाकर अंतिम दो संख्याओं को कोष्ठक में डालना आवश्यक है।

फिर हम इस तरह लिखते हैं:

ए + बी - सी = ए - (- बी + सी) = ए - ( साथ - बी) ,

यानी सभी सदस्यों के सामने कोष्ठक के अंदर, हम संकेतों को विपरीत में बदलते हैं। कि ऐसा परिवर्तन सत्य है, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हम घटाव के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं; तब हमें दिया गया बहुपद पुनः प्राप्त होता है।

टिप्पणी। आप पूरे बहुपद को उनके सामने + या - चिह्न लगाकर भी कोष्ठक में संलग्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप लिख सकते हैं:

ए - बी + सी = + (ए - बी + सी ) और ए - बी + सी = - (- ए + बी - सी ).

अध्याय तीन।

बीजगणितीय गुणन।

53. एक ही संख्या की शक्तियों का गुणन।आइए गुणा करें ए 3 पर ए 2, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: ए 3 ए 2, या अधिक :( आह ) (आ ) यहाँ काम आह दूसरे से गुणा आ . लेकिन किसी संख्या को किसी गुणनफल से गुणा करने के लिए, कोई व्यक्ति इस संख्या को पहले गुणनखंड से गुणा कर सकता है, परिणाम को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकता है, इत्यादि; इसीलिए:

ए 3 ए 2 = (आह )(आ ) = (आह ) आ ,

जिसे कोष्ठक के बिना लिखा जा सकता है, क्योंकि क्रियाओं का क्रम कोष्ठक के बिना समान रहता है जैसा कि कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है:

ए 3 ए 2 = आआआआ = ए 5 .

माध्यम, जब एक ही संख्या की घातों को गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं।

इस प्रकार: एक्स 3 एक्स = एक्स 4 , एम 2 एम 3 = एम 5 , आप 2 आप आप 3 = आप 6, आदि

54. एकपदी का गुणन।हम पहले ही कह चुके हैं () आप एकपदी के गुणनफल को कैसे रूपांतरित कर सकते हैं? (3ए) (2ए) एकपदी में 6 ए 2. आइए अब एक और उदाहरण के साथ जो कहा गया था उसे दोहराएं। आइए गुणा करें:

एकपदी के बाद से 5abx एक उत्पाद है, तो यह पहले कारक से गुणक को गुणा करने के लिए पर्याप्त है - 5 , परिणाम को दूसरे कारक से गुणा करें ए , आदि तो:

3ओह 2 (- 5abx) = 3ओह 2 (- 5)abx .

इस उत्पाद में, गुणन के साहचर्य गुण का उपयोग करते हुए, हम कारकों को निम्नलिखित समूहों में समूहित करते हैं:

(+3)(- 5) (आ) बी (एक्स 2 एक्स).

प्रत्येक समूह में गुणा करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

- 15 ए 2 बी एक्स 3 .

माध्यम, एकपदी को एकपदी से गुणा करने के लिए, आपको उनके गुणांकों को गुणा करना होगा, समान अक्षरों के संकेतकों को जोड़ना होगा, और वे अक्षर जो केवल गुणक में या केवल कारक में शामिल हैं, उनके संकेतकों के साथ उत्पाद में स्थानांतरित करें।

उदाहरण।

1) 0,7ए 3 एक्स (3ए 4 एक्स 2 पर 2) = 2,1ए 7 एक्स 3 पर 2

2) (1 / 2 एम एक्स 3) 2 = 1 / 2 एम एक्स 3 (1 / 2 एम एक्स 3) = 1 / 4 एम 2 एक्स 6

3) -3,5 एक्स 2 पर (3 / 4 एक्स 3) = - 21 / 8 एक्स 5 पर

55. एक बहुपद को एकपदी से गुणा करना।

मान लीजिए कि यह बहुपद को गुणा करने के लिए दिया गया है ए + बी - सी एक एकपदी में एम , जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(ए + बी - सी ) एम .

बहुपद ए + बी - सी सापेक्ष संख्याओं का योग है ए + बी + (- साथ) . लेकिन, योग को गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं और परिणाम (वितरण गुण) जोड़ सकते हैं; साधन:

(ए + बी - सी ) एम = [ ए + बी + (- साथ) ] एम = ए एम +बी एम + (- साथ)एम .

लेकिन (- साथ)एम = - से। मी और + (- से। मी ) = - से। मी ; इसीलिए

(ए + बी - सी ) एम = ए एम +बी एम - साथएम .

नियम। एक बहुपद को एकपदी से गुणा करने के लिए, बहुपद के प्रत्येक पद को इस एकपदी से गुणा करना और परिणामी गुणनफल जोड़ना आवश्यक है।

चूंकि गुणनखंडों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद नहीं बदलता है, यह नियम एक एकपदी के बहुपद के गुणन पर भी लागू होता है; इस प्रकार:

एम (ए + बी - सी ) = एम ए + एम बी एम - एम सी .

उदाहरण।

1) (3एक्स 2 - 2ओह + 5ए 2) (-4ओह) .

यहां, किसी दिए गए एकपदी द्वारा बहुपद की शर्तों का गुणन एकपदी के गुणन के नियम के अनुसार किया जाना चाहिए, साथ ही संकेतों के नियम को भी ध्यान में रखते हुए: जब गुणा किया जाता है, तो वही संकेत + देते हैं, और विभिन्न संकेत देते हैं - . हम बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से अलग-अलग गुणा करते हैं:

(3एक्स 2)(-4ओह) = - 12कुल्हाड़ी 3 ; (- 2ओह) (-4ओह) == + 8ए 2 एक्स 2 ; (+ 5ए 2) (-4ओह) = - 20ए 3 एक्स .

अब परिणामों का योग करते हैं:

- 12कुल्हाड़ी 3 + 8ए 2 एक्स 2 - 20ए 3 एक्स .

2) (ए 2 - अब + बी 2) (3ए) = ए 2 (3ए) - (अब ) (3ए) + बी 2 (3ए) = 3ए 3 - 3ए 2 बी+ 3अब 2

3) (7एक्स 3 + 3 / 4 ओह - 0,3) (2, एल ए 2 एक्स) = (7एक्स 3 ) (2, एल ए 2 एक्स) + (3 / 4 ओह) (2, एल ए 2 एक्स) - 0,3 (2, एल ए 2 एक्स) =
= 14,7ए 2 एक्स 4 + 1,575ए 3 एक्स 2 - 0,63 ए 2 एक्स .

4) 2ए (3ए - 4 ओह + 1 / 2 एक्स 2) = 6ए 2 - 8ए 2 एक्स + एएक्स 2

56. एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना।आइए गुणा करें:

(ए + बी - सी ) (एम-एन ).

गुणक को ध्यान में रखते हुए एम-एन एक एकल संख्या के रूप में (एकपदी के रूप में), हम एक बहुपद को एक एकपदी से गुणा करने के लिए नियम लागू करते हैं:

ए (एम - एन) + बी (एम - एन) - सी (एम - एन)।

अब अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए एम-एन एक बहुपद (द्विपद) के रूप में, हम एक एकपदी के एक बहुपद से गुणन का नियम लागू करते हैं:

(am - a) + (bm - bn) - (cm - cn)।

अंत में, जोड़ और घटाव के नियमों के अनुसार कोष्ठक खोलते हुए, हम अंत में पाते हैं:

(ए + बी - सी) (एम - एन) = एएम - ए + बीएम - बीएन - सेमी + सीएन

नियम। एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना और परिणामी उत्पादों को जोड़ना आवश्यक है।

बेशक, पहले बहुपद की शर्तों को दूसरे बहुपद की शर्तों से गुणा करते समय, किसी को संकेतों के नियमों द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: वही संकेत + अलग-अलग संकेत देते हैं -।

उदाहरण, (ए 2 - 5अब + बी 2 - 3) (ए 3 - 3अब 2 + बी 3)

हम पहले गुणक के सभी पदों को गुणक के पहले पद से गुणा करते हैं:

(ए 2 - 5अब + बी 2 - 3) ए 3 = ए 5 - 5ए 4 बी + ए 3 बी 2 - 3ए 3

फिर हम गुणक के सभी पदों को गुणक के दूसरे पद से गुणा करते हैं:

(ए 2 - 5अब + बी 2 - 3) (- 3अब 2) = - 3एक 3 बी 2 + 15एक 2 बी 3 - 3अब 4 + 9अब 2

(ए 2 - 5अब + बी 2 - 3) (बी 3) = ए 2 बी 3 - 5अब 4 + बी 5 - 3बी 3

अंत में, हम सभी परिणामी उत्पादों को जोड़ते हैं और समान शर्तों को कम करते हैं; अंतिम परिणाम होगा:

ए 5 - 5ए 4 बी- 2एक 3 बी 2 - 3ए 3 + 16एक 2 बी 3 - 8ab 4 + 9अब 2 + बी 5 - 3बी 3

टिप्पणियों। 1) बहुपद को बहुपद से गुणा करते समय पदों के किसी भी गुणनफल को याद न करने के लिए, गुणन के किसी एक क्रम का पालन करना हमेशा उपयोगी होता है; उदाहरण के लिए, जैसा कि हमने अभी किया था, पहले गुणक के सभी पदों को गुणक के पहले पद से गुणा करें, फिर सभी पदों को गुणक के दूसरे पद से गुणा करें, आदि।

2) जब अंकगणितीय संख्याओं पर लागू किया जाता है, तो बहुपदों के गुणन नियम की स्पष्ट रूप से ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 4 लाइन सेगमेंट लें ए, बी, एम और एन और दो आयतें बनाएँ: एक आधार के साथ ए + बी और ऊंचाई एम+एन , दूसरा आधार के साथ ए + बी , और ऊंचाई एम-एन .

पहले वाले का क्षेत्रफल है ( ए + बी ) (एम+एन ), और दूसरे का क्षेत्रफल होगा ( ए + बी ) (एम-एन ) रेखाचित्रों से यह प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि पहला क्षेत्रफल के बराबर है एएम + बीएम + ए + बीएन , और दूसरा है एएम + बीएम - ए - बीएन .

उदाहरण।

1) (ए - बी) (एम - एन - पी) \u003d पूर्वाह्न - बीएम - एक + बीएन - एपी + बीपी।

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. बहुपद स्थित है।किसी अक्षर की घातों में बहुपद को व्यवस्थित करने का अर्थ है, यदि संभव हो तो, इसके पदों को इस क्रम में लिखना कि इस अक्षर के घातांक पहले पद से अंतिम पद तक बढ़ते या घटते हैं। हाँ, बहुपद 1 + 2x + x 2 - x 3 पत्र की बढ़ती शक्तियों में स्थित एक्स . उसी बहुपद को अक्षर के अवरोही घातों में व्यवस्थित किया जाएगा एक्स , यदि हम इसके सदस्यों को उल्टे क्रम में लिखते हैं: - एक्स 3 +x2 + 2x + 1 .

जिस अक्षर पर बहुपद स्थित होता है वह उसका मुख्य अक्षर कहलाता है। सबसे बड़े घातांक वाले बड़े अक्षर वाले पद को बहुपद का उच्चतम पद कहा जाता है; वह पद जिसमें सबसे छोटा घातांक वाला मुख्य अक्षर हो या उसमें बिल्कुल भी न हो, बहुपद का सबसे छोटा पद कहलाता है।

58. अवस्थित बहुपदों का गुणनयह उत्पादन करने के लिए सबसे सुविधाजनक है जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में दर्शाया जाएगा।

गुणा

3x - 5 + 7x 2 - x 3 पर 2 - 8x 2 + x।

दोनों बहुपदों को अक्षर की घटती घात में व्यवस्थित करना एक्स , गुणक के नीचे गुणक लिखिए और उनके नीचे एक रेखा खींचिए:

गुणक के सभी पदों को गुणक के पहले पद से गुणा करें (द्वारा - 8x2 ) और परिणामी उत्पाद लाइन के नीचे लिखा जाता है। फिर गुणक के सभी पदों को गुणक के दूसरे पद से गुणा किया जाता है (द्वारा + एक्स ) और परिणामी दूसरा उत्पाद पहले वाले के नीचे लिखा जाता है ताकि समान पद समान पदों के अंतर्गत हों। वे ऐसा करना भी जारी रखते हैं। पिछले काम के तहत (पर + 2 ) एक रेखा खींचते हैं जिसके तहत वे अन्य सभी कार्यों को जोड़ते हुए पूरा कार्य लिखते हैं।

दोनों बहुपदों को मुख्य अक्षर की आरोही घातों में व्यवस्थित करना और फिर उसी क्रम में गुणा करना भी संभव है जैसा कि अभी संकेत दिया गया था।

59. किसी कार्य के उच्च और निम्न सदस्य।इन उदाहरणों से यह निम्नानुसार है:

गुणनफल का उच्चतम पद गुणक के उच्चतम पद से गुणा किए गए उच्चतम पद के गुणनफल के बराबर होता है।

गुणनफल का निम्नतम पद गुणक के निम्नतम पद गुणक के निम्नतम पद के गुणनफल के बराबर होता है।

कार्य के शेष सदस्यों को कई समान सदस्यों को एक में मिलाकर प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा भी हो सकता है कि किसी उत्पाद में, समान पदों में कमी के बाद, पहले और अंतिम (उच्च और निम्न) को छोड़कर, सभी शब्द नष्ट हो जाते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है:

60. कार्य के सदस्यों की संख्या।मान लीजिए गुणक में पाँच पद हैं, और गुणक में तीन पद हैं। गुणक के प्रत्येक पद को गुणक के पहले पद से गुणा करने पर हमें गुणनफल के 5 पद प्राप्त होते हैं; फिर गुणक के प्रत्येक पद को गुणक के दूसरे पद से गुणा करने पर, हमें गुणनफल के 6 और पद मिलते हैं, आदि; इसलिए, उत्पाद में सभी शब्द 5 3 होंगे, यानी 15। सामान्य तौर पर, उत्पाद के सदस्यों की संख्या, इसमें समान सदस्यों के संयोजन से पहले, गुणक के सदस्यों की संख्या से गुणा किए गए सदस्यों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है।

चूंकि किसी कार्य के उच्चतम और निम्नतम सदस्यों में अपने जैसे सदस्य नहीं हो सकते हैं, और अन्य सभी सदस्यों को नष्ट किया जा सकता है, तो किसी उत्पाद में समान पदों की कमी के बाद शब्दों की सबसे छोटी संख्या 2 है।

61. द्विपदों के गुणन के कुछ सूत्र।द्विपदों को गुणा करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों को याद रखना उपयोगी है:

ए) (ए + बी) 2 = (ए + बी) (ए + बी) = ए 2 + एबी + एबी + बी 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 .

उदाहरण के लिए: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289।

इस प्रकार, दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है, साथ ही पहली और दूसरी संख्या के गुणनफल का दुगुना, साथ ही दूसरी संख्या का वर्ग।

बी) (ए - बी) 2 = (ए - बी) (ए - बी) \u003d ए 2 - एबी - एबी + बी 2 = ए 2 - 2ab + b 2 .

जैसे: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

इस प्रकार, दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है, पहली संख्या और दूसरी के गुणनफल का दो गुना, साथ ही दूसरी संख्या का वर्ग।

टिप्पणी। यह ध्यान रखना उपयोगी है कि जोड़ और घटाव के संबंध में एक शक्ति बढ़ाने के लिए एक वितरण संपत्ति नहीं है; इसलिए, (2+3) 2 सम नही
2 2 + 3 2 , या (8 - 6) 2 8 2 - 6 2 के बराबर नहीं।

में) (ए + बी) (ए - बी) = ए 2 + एबी - एबी - बी 2 = ए 2 - बी 2

उदाहरण के लिए: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375।

इस प्रकार, दो संख्याओं के योग और उनके अंतर का गुणनफल इन संख्याओं के वर्गों के अंतर के बराबर होता है।

जी) (ए + बी) 3 = (ए + बी) 2 (ए + बी) = (ए 2 + 2ab + बी 2 )(ए + बी) =
= ए 3 + 2 ए 2 बी + एबी 2 + ए 2बी + 2एबी 2 + बी 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3ab 2 + बी 3

उदाहरण: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8 = 1728।

इस प्रकार, दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है, साथ ही पहली और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना, पहली संख्या के गुणनफल और दूसरे के वर्ग का तीन गुना, प्लस दूसरी संख्या का घन।

इ) (ए - बी) 3 = (ए - बी) 2 (ए - बी) = (ए 2 - 2ab + बी 2 )(ए - बी) =
\u003d ए 3 - 2 ए 2 बी + एबी 2 - ए 2बी + 2एबी 2 - बी 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3ab 2 -बी 3

जैसे: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1 = 6869।

इस प्रकार, दो संख्याओं के अंतर का घन पहली संख्या के घन के बराबर है, पहली संख्या और दूसरी के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना, साथ ही पहली संख्या के गुणनफल और दूसरे के वर्ग का तीन गुना, दूसरी संख्या का घन घटा।

62. इनमें से कुछ सूत्रों की ज्यामितीय व्याख्या।

ए)रेखाखंड AB को अलग रखें = एऔर इसके लिए हम खंड BC = . लागू करते हैं बी, फिर हम वर्ग बनाते हैं: ACDE और ABJK, जिनका क्षेत्रफल बराबर होगा (ए + बी) 2 और ए 2 . ईडी और सीडी के साथ चौराहे पर बीजे और केजे को जारी रखते हुए, हम बड़े वर्ग को 4 भागों में विभाजित करते हैं, जिनके क्षेत्र होंगे: ए 2 , बी 2 , अब और अब .

(ए + बी) 2 = ए 2 + एबी + एबी + बी 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 .

बी) AB = को अलग रखें ए और AB से हम BC = . घटाते हैं बी ; फिर हम वर्ग ACDE, ABFK और KLME की रचना करते हैं जिनके क्षेत्रफल हैं (ए - बी) 2 , ए 2 और बी 2 . सीडी को बिंदु N तक जारी रखने पर, हम प्राप्त करते हैं: pl। एसीडीई = पीएल। एबीएफके + वर्ग। ईकेएलएम- वर्ग। सीबीएफएन - पीएल। डी.एन.एल.एम.

(ए - बी) 2 = ए 2 + बी 2 - अब - अबू = ए 2 - 2ab + b 2 .

में)स्थगित करना (चित्र 13) AB = ए , बीजी = बी , एडी = ए और डीई = बी आयत ACJE और वर्ग ABKD और DEML की रचना कीजिए।

फिर वर्ग एसीजेई = वर्ग। एबीकेडी + वर्ग। बीसीजेएन - वर्ग। डीईएमएल - पीएल। एलएमएनके। लेकिन आयत बीसीजेएन और एलएमएनके बराबर हैं, और इसलिए समानता में उनके क्षेत्र हमने एक दूसरे को रद्द कर दिया है: वर्ग। एसीजेई = वर्ग। एबीकेडी - वर्ग। डीईएमएल, यानी।

(ए + बी) (ए-बी) \u003d ए 2 - बी 2.

63. आवेदन।इन सूत्रों की सहायता से, कभी-कभी बहुपदों को सामान्य तरीके से अधिक सरलता से गुणा करना संभव होता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1) (4 ए 3 - 1) 2 \u003d (4 ए 3) 2 - 2 (4 ए 3) 1 +1 2 \u003d 16 ए 6 - 8 ए 3 + 1

2) (एक्स + वाई) (वाई - एक्स) = (वाई + एक्स) (वाई - एक्स) = वाई 2 - एक्स 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - दो पर ।

4) (ए - बी + सी) (ए + बी - सी) \u003d [ए - (बी - सी)] [ए + (बी - सी)] \u003d

\u003d ए 2 - (बी - सी) 2 \u003d ए 2 - (बी 2 - 2बीसी + सी 2) \u003d ए 2 - बी 2 + 2बीसी - सी 2

चौथा अध्याय।

बीजगणितीय विभाजन।

64. समान संख्या की शक्तियों का विभाजन।आइए विभाजित करें:

ए 5: ए 2 .

चूंकि लाभांश भागफल से गुणा किए गए भाजक के बराबर होना चाहिए, और जब गुणा किया जाता है, तो समान अक्षरों के संकेतक जोड़े जाते हैं, तो अक्षर के वांछित भागफल में एक संख्या होनी चाहिए, जिसे 2 में जोड़ा जाए, 5 है; ऐसी संख्या 5 - 2 के अंतर के बराबर है। तो:

ए 5: ए 2 = एक 5-2 = एक 3

इस प्रकार हम पाते हैं: एक्स 3: एक्स 2 \u003d एक्स; वाई 4: वाई = वाई 3 आदि।

माध्यम, जब समान संख्या की घातों को विभाजित किया जाता है, तो भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है जब तक वह संख्या जिसकी घात विभाज्य न हो, शून्य के बराबर न हो। इसलिए, आप यह नहीं लिख सकते: 0 m: 0 n = 0 m-n, क्योंकि इस समानता का अर्थ होगा: 0:0 = 0, जबकि भागफल 0:0 किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है

65. शून्य सूचक।यदि, समान संख्या की शक्तियों को विभाजित करते समय, भाजक का संकेतक लाभांश के संकेतक के बराबर हो जाता है, तो भागफल 1 के बराबर होना चाहिए; उदाहरण: ए 3 : ए 3 = 1 क्योंकि ए 3 = ए 3 1. आइए हम इस मामले में भी संकेतकों को घटाने के लिए सहमत हों; तब भागफल में हमें शून्य घातांक वाला एक अक्षर प्राप्त होता है:
ए 3 : ए 3 = ए 3-3 = ए 0 . बेशक, इस सूचक का अर्थ यह नहीं है कि हम पहले संकेतक से जुड़े थे, क्योंकि 0 बार के कारक के साथ संख्या को दोहराना असंभव है। हम आड़ में सहमत होंगे ए 0 एक अक्षर की समान शक्तियों को विभाजित करने के भागफल को समझें ए , और चूँकि यह भागफल 1 के बराबर है, हम लेंगे ए 0 1 के लिए।

66. एकपदी का विभाजन।इसे विभाजित करने के लिए दिया जाए:

(12ए 3 बी 2 एक्स): (4ए 2 बी 2) .

हालाँकि, संक्षिप्तता के लिए, इस तरह के संकेतन में कोष्ठकों को छोड़ने का रिवाज है। भाग की परिभाषा के अनुसार भागफल को जब भाजक से गुणा किया जाता है तो वह भागफल ही होना चाहिए। इसलिए, वांछित भागफल होना चाहिए 12: 4 , अर्थात। 3 ; पत्र का सूचकांक ए भाजक में इसी अक्षर के सूचक के लाभांश में इस अक्षर के सूचक से घटाकर प्राप्त किया गया अक्षर बी भागफल में बिल्कुल भी प्रवेश नहीं करेगा, या, जो सभी समान है, इसे एक संकेतक के साथ दर्ज करेगा 0 , और पत्र एक्स अपने घातांक के साथ भागफल पर जाएगा।

इस प्रकार: 12ए 3 बी 2 एक्स: 4ए 2 बी 2 = 3आह . सत्यापन: 3आह 4ए 2 बी 2 = 12ए 3 बी 2 एक्स

नियम। एकपदी को एकपदी में विभाजित करने के लिए, भाजक के गुणांक द्वारा लाभांश के गुणांक को विभाजित करना आवश्यक है, भाजक के समान अक्षरों के संकेतकों को लाभांश के अक्षरों के संकेतकों से घटाएं और भागफल में स्थानांतरित करें, संकेतकों को बदले बिना, लाभांश के वे अक्षर जो भाजक में नहीं हैं।

उदाहरण।

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3/4 m n 3

2) - कुल्हाड़ी 4 y 3: - 5/6 कुल्हाड़ी 2 \u003d + 6/5 x 3 y।

3) 0.8ax n: - 0.02ax = - 40x एन-1 .

67. मोनोमियल को विभाजित करने की असंभवता के संकेत।यदि पूर्णांक एकपदी के विभाजन के भागफल को एक पूर्णांक एकपदी द्वारा ठीक-ठीक व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो वे कहते हैं कि ऐसा विभाजन असंभव है। एकपदी का दो किरणों में विभाजन असंभव है:

ए) जब भाजक में ऐसे अक्षर होते हैं जो लाभांश में नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, आप अलग नहीं कर सकते 4ab 2 पर 2ax , क्योंकि किसी एकपदी को से गुणा किया जाता है 2ax पत्र युक्त उत्पाद देता है एक्स , और हमारे विभाज्य में ऐसा कोई अक्षर नहीं है।

बी) जब भाजक में किसी अक्षर का घातांक लाभांश में उसी अक्षर के घातांक से अधिक हो।

उदाहरण के लिए, विभाजन 10a 3 ख 2: 5ab 3 असंभव है, क्योंकि किसी एकपदी को से गुणा किया जाता है 5ab 3 , उत्पाद में एक ऐसा मोनोमियल देता है जिसमें अक्षर होता है बी 3 के घातांक के साथ या 3 से अधिक के घातांक के साथ, जबकि हमारे विभाज्य में यह अक्षर 2 के घातांक के साथ है।

जब एक एकपदी दूसरे एकपदी से विभाज्य नहीं होती है, तब भागफल को केवल विभाजन चिन्हों द्वारा ही दर्शाया जा सकता है; विभाजन का इतना भाग 4ए 2 बी: 2एसी संकेत दिया जा सकता है

या इस तरह: 4ए 2 बी: 2एसी , या इस तरह:

68. एक एकपदी द्वारा एक बहुपद का विभाजन।

माना बहुपद को विभाजित करना आवश्यक है ए + बी - सी एक एकपदी में एम , जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(ए + बी - सी) : एम , या ,

बहुपद ए + बी - सी एक बीजीय योग होता है, और बीजीय योग को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, प्रत्येक पद को इस संख्या से अलग-अलग विभाजित किया जा सकता है; इसीलिए:

इसे सत्यापन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है: बहुपद को गुणा करके ए /एम+ बी /एम - सी /एम भाजक को एम , हमें लाभांश मिलता है ए + बी - सी

नियम। एक बहुपद को एकपदी में विभाजित करने के लिए, बहुपद के प्रत्येक पद को इस एकपदी में विभाजित करना और परिणामी भागफल जोड़ना आवश्यक है।

बेशक, एक एकपदी द्वारा एक बहुपद के पदों का विभाजन एकपदी के विभाजन के नियम के अनुसार किया जाता है।

उदाहरण।

69. एक एकपदी का एक बहुपद से विभाजन।मान लीजिए एकपदी की आवश्यकता है ए बहुपद से विभाजित करें बी+ सी-डी . ऐसे विभाजन के भागफल को या तो एक पूर्णांक एकपदी या एक पूर्णांक बहुपद द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यदि हम यह मान लें कि भागफल किसी पूर्णांक एकपदी या पूर्णांक बहुपद के बराबर है, तो बहुपद द्वारा इस भागफल का गुणनफल बी+ सी-डी एक बहुपद भी देगा, न कि एकपदी, जैसा कि विभाजन द्वारा आवश्यक है। विभाजन का भागफल ए पर बी+ सी-डी केवल विभाजन के संकेतों द्वारा इंगित किया जा सकता है:

ए : (बी+ सी-डी ), या

70. एक बहुपद का एक बहुपद से विभाजन।बहुपद को बहुपद से भाग देने वाले भागफल को केवल दुर्लभ मामलों में ही पूर्णांक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(ए 2 + 2ab + बी 2 ) : (ए + बी) = ए + बी

जैसा (ए + बी) (ए + बी) = (ए + बी) 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 .

सामान्य तौर पर, ऐसे भागफलों को केवल एक विभाजन चिह्न द्वारा ही दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विभाजन का भागफल ए - बी + सी पर डे इस तरह व्यक्त किया जाएगा:

या ( ए - बी + सी ): (डे).

कभी-कभी भागफल को एक पूर्णांक बहुपद के रूप में व्यक्त करना संभव होगा जब दोनों बहुपद एक ही अक्षर की घातों में स्थित हों। आइए दिखाते हैं कि निम्न उदाहरण के साथ इसे कैसे करें:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

हम दोनों बहुपदों को अक्षर की घटती घात में लिखते हैं एक्स और विभाजन को वैसे ही व्यवस्थित करें जैसे पूर्णांकों को विभाजित करते समय:

मान लीजिए कि अभीष्ट भागफल किसी बहुपद के बराबर है और इस बहुपद के पद भी अक्षर की घटती घातों में स्थित हैं। एक्स .

लाभांश भाजक और भागफल के गुणनफल के बराबर होना चाहिए। व्यवस्थित बहुपदों के गुणन से यह ज्ञात होता है कि गुणनफल का उच्चतम पद, गुणक के उच्चतम पद और गुणक के उच्चतम पद के गुणनफल के बराबर होता है। विभाज्य में सबसे बड़ा पद पहला है, भाजक और भागफल में सबसे बड़ा पद भी पहला है। इसलिए, लाभांश की पहली अवधि ( 6x 4 ) भाजक के पहले पद का गुणनफल होना चाहिए ( 3x 2 ) भागफल के पहले पद से। यह इसका अनुसरण करता है: भागफल के पहले पद को खोजने के लिए, भाजक के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। भाग देने पर हम भागफल का पहला सदस्य पाते हैं 2x 2 . हम इसे लाइन के नीचे प्राइवेट में लिखते हैं।

हम भाजक के सभी पदों को भागफल के पहले पद से गुणा करते हैं और परिणामी गुणनफल को लाभांश से घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे लाभांश के तहत लिखते हैं ताकि समान शर्तें समान हों, और सबट्रेंड की सभी शर्तें उलट हो जाएं। हम 1 शेष को घटाने के बाद प्राप्त करते हैं। यदि यह शेषफल शून्य के बराबर निकला, तो इसका अर्थ यह होगा कि भागफल में पाए गए 1 के अलावा कोई अन्य पद नहीं है, अर्थात भागफल एकपदी है। यदि, जैसा कि हमारे उदाहरण में है, पहला शेषफल शून्य नहीं है, तो हम इस प्रकार तर्क देंगे।

लाभांश भाजक के सभी पदों और भागफल के प्रत्येक पद का गुणनफल होता है। हमने भागफल के पहले सदस्य द्वारा भाजक के सभी सदस्यों के गुणनफल को लाभांश से घटाया; इसलिए, पहले शेषफल में भाजक के सभी पदों का गुणनफल 2 से, 8वां और भागफल के निम्नलिखित सदस्यों का होता है। शेष में उच्चतम पद पहला है; भाजक का उच्चतम सदस्य भी पहला है; भागफल में उच्चतम पद (पहली गिनती नहीं) दूसरा पद है। तो शेष का पहला पद (- 9एक्स 3 ) भागफल के दूसरे पद के भाजक के पहले पद के गुणनफल के बराबर होना चाहिए। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं: भागफल के दूसरे सदस्य को खोजने के लिए, भाजक के पहले सदस्य द्वारा 1 शेष के पहले सदस्य को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। भाग देने पर हम भागफल का दूसरा सदस्य पाते हैं - Zx . हम इसे निजी तौर पर लिखते हैं।

हम भागफल के दूसरे सदस्य से भाजक के सभी सदस्यों को गुणा करते हैं और परिणामी गुणनफल को पहले शेषफल से घटाते हैं। हमें दूसरा शेषफल मिलता है। यदि यह शेषफल शून्य है, तो विभाजन समाप्त हो गया है; यदि, जैसा कि हमारे उदाहरण में है, दूसरा शेषफल शून्य के बराबर नहीं है, तो हम इस प्रकार तर्क देंगे।

दूसरा शेष भाजक के सभी पदों और भागफल के तीसरे, चौथे और निम्नलिखित पदों का गुणनफल है। चूंकि भागफल के इन सदस्यों में से सबसे बड़ा तीसरा है, तो, पिछले वाले की तरह, हम भागफल का तीसरा पद पाएंगे यदि हम दूसरे शेष के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करते हैं। विभाजित करते हुए, हम पाते हैं - 4 . से गुणा करना -4 भाजक के सभी पदों और शेषफल में से गुणनफल घटाने पर, हमें तीसरा शेषफल प्राप्त होता है। हमारे उदाहरण में, यह शेषफल शून्य निकला; इससे पता चलता है कि निजी में पाए गए सदस्यों के अलावा अन्य सदस्य नहीं हो सकते। यदि तीसरा शेषफल 0 नहीं था, तो, पिछले वाले की तरह, इस शेष के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करना आवश्यक होगा; यह भागफल का चौथा पद देगा, इत्यादि।

लाभांश और भाजक को एक ही अक्षर के आरोही घातों में व्यवस्थित करना संभव होगा, और फिर जैसा कि अभी कहा गया है, आगे बढ़ें; इस मामले में, किसी को इस तथ्य पर भरोसा करना होगा कि उत्पाद का निम्नतम पद गुणक के निम्नतम पद और गुणक के निम्नतम पद के गुणनफल के बराबर है।

71. उदाहरण।

हमने यहाँ भाजक के पहले पद के गुणनफलों को 1 से, 2 से, आदि, भागफल के सदस्यों द्वारा नहीं लिखा है, क्योंकि ये उत्पाद हमेशा उन शर्तों के बराबर होते हैं जिनके तहत वे हस्ताक्षरित होते हैं, और हमेशा कम होते हैं जब घटाया। वे आमतौर पर ऐसा करते हैं। इसके अलावा, सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करते समय, हमने उन्हें सीधे उल्टे संकेतों के साथ लिखा था।

इसी तरह, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि अंतर एक्स 5 - ए 5 , एक्स 6 - ए 6 ... और आम तौर पर बोल रहा हूँ
एक्स एम - एक एम अंतर से शेष के बिना विभाजित एक्स - ए , अर्थात। कि दो संख्याओं की समान घातों का अंतर इन संख्याओं के अंतर से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है .

72. बहुपदों को विभाजित करने की असंभवता के संकेत।वर्णित प्रक्रिया से, यह देखा जा सकता है कि बहुपद द्वारा बहुपद का विभाजन निम्नलिखित मामलों में नहीं किया जा सकता है:

ए) यदि लाभांश के उच्चतम पद में बड़े अक्षर का घातांक भाजक के उच्चतम पद में उसी अक्षर के घातांक से कम हो, क्योंकि तब भागफल का उच्चतम पद प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

बी) यदि लाभांश की न्यूनतम अवधि में बड़े अक्षर का घातांक घातांक से कम है। भाजक के निम्नतम पद में समान अक्षर का, क्योंकि तब भागफल के निम्नतम पद को सीखना असंभव है।

ग) यदि लाभांश के उच्चतम और निम्नतम पदों में मुख्य अक्षर के संकेतक क्रमशः इस पत्र के संकेतकों की तुलना में भाजक के उच्चतम और निम्नतम पदों में कम नहीं हैं, तो यह अभी तक नहीं कहा जा सकता है कि विभाजन संभव है . इस मामले में, विभाजन की संभावना या असंभवता का न्याय करने के लिए, हमें स्वयं कार्रवाई करना शुरू करना चाहिए और इसे तब तक जारी रखना चाहिए जब तक कि हम बहुपद के रूप में भागफल प्राप्त करने की संभावना या असंभवता के बारे में आश्वस्त नहीं हो जाते।

इस मामले में, दो मामलों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए:

I. जब बहुपदों को मुख्य अक्षर की घटती हुई घातों में व्यवस्थित किया जाता है, तो वे तब तक क्रिया जारी रखते हैं जब तक कि शेष 0 (तब विभाजन संभव और पूर्ण नहीं हो जाता), या जब तक वे ऐसे शेष तक नहीं पहुँच जाते, जिसके पहले पद में मुख्य भाजक के पहले पद के सूचकांक से कम संकेतक वाला पत्र (तब विभाजन असंभव है)। उदाहरण के लिए:

विभाजन असंभव है, क्योंकि हम ऐसे शेषफल पर पहुँच गए हैं, जिसमें पहला पद भाजक के पहले पद से विभाज्य नहीं है।

द्वितीय. जब बहुपदों को बढ़ती हुई घातों में व्यवस्थित किया जाता है, तब हम चाहे कितना भी भाग करना जारी रखें, हमें ऐसा शेष कभी नहीं मिलेगा, जिसमें पहले सदस्य का घातांक भाजक के पहले सदस्य के घातांक से कम हो, क्योंकि इस तरह की व्यवस्था के साथ, पहले सदस्यों के अवशेषों में बड़े अक्षर के सूचकांक बढ़ रहे हैं। उदाहरण के लिए:

आगे की कार्रवाई को जारी रखते हुए, हम एक निजी शब्द में प्राप्त करेंगे - 4 ए 3 , लेकिन यदि एक पूर्णांक भागफल (शेष के बिना) प्राप्त करना संभव होता, तो इसका अंतिम सदस्य होना चाहिए 5ए 2 (भाजक के उच्चतम सदस्य द्वारा लाभांश के उच्चतम सदस्य को विभाजित करने से); इसलिए विभाजन असंभव है।

टिप्पणी। बहुपदों के विभाजन को दूसरे भाग, 390 et seq में अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।

अध्याय पांच।

गुणनखंडन।

73. प्रारंभिक टिप्पणी।बीजगणितीय विभाजन की बात करें तो, हमने बताया कि कुछ मामलों में भागफल को केवल भाग चिह्न द्वारा ही दर्शाया जा सकता है। परिणामी भाव इस प्रकार हैं:

आदि।,

बुलाया बीजीय भिन्नअंकगणितीय भिन्नों के साथ इन व्यंजकों की समानता से।

हम जल्द ही देखेंगे कि अंकगणितीय अंशों की तरह बीजगणितीय अंशों को कभी-कभी लाभांश को कम करके (अर्थात विभाजित करके) और उनके सामान्य कारकों, यदि कोई हो, से विभाजित करके सरल बनाया जा सकता है। बिना किसी कठिनाई के इस तरह की कमी को संभव बनाने के लिए, किसी को बीजीय व्यंजकों को गुणनखंड करना सीखना चाहिए (जैसे अंकगणित में, भिन्नों को कम करने के लिए, पूर्णांकों को उनके घटक कारकों में गुणनखंड करने में सक्षम होना चाहिए)।

74. पूर्णांक एकपदी का अपघटन।उदाहरण के लिए, कुछ पूर्णांक एकपदी लें। 6ए2बी 3 . चूंकि यह एक उत्पाद है, तो इसके किसी एक प्रकार से इसे तुरंत घटक कारकों में विघटित किया जा सकता है। इसलिए:

6ए2बी 3 =2 3 (आ) (बीबीबी) = 2 3अब्बब।

इन कारकों को कुछ समूहों में मिलाकर (गुणन की साहचर्य संपत्ति का उपयोग करके), हम इस एकपदी के लिए विभिन्न विस्तारों को इंगित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

6ए2बी 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) आदि।

75. बहुपदों का अपघटन।आइए हम सबसे सरल मामलों को इंगित करें जब एक बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है।

ए)जैसा (ए + बी - सी) एम = एएम + बीएम - सेमी , और इसके विपरीत:

एएम + बीएम - सेमी = (ए + बी - सी) एम .

इस प्रकार, यदि बहुपद के सभी पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उसे कोष्ठकों में से निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3)।

2) 16 ए 2 - 4 ए 3 \u003d 4 ए 2 (4 - ए)।

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n)।

बी)जैसा

(ए + बी) (ए-बी) \u003d ए 2 - बी 2

और इसके विपरीत:

ए 2 - बी 2 \u003d (ए + बी) (ए-बी)

इस प्रकार, एक द्विपद, जो एक संख्या का वर्ग होता है और दूसरी संख्या का वर्ग नहीं होता है, इन संख्याओं के योग के गुणनफल द्वारा उनके अंतर से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

में)जैसा (ए + बी) 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 और (ए - बी) 2 = ए 2 - 2ab + b 2 , और इसके विपरीत:

ए 2 + 2ab + बी 2 = (ए + बी) 2 = (ए + बी) (ए + बी) और

ए 2 - 2ab + b 2 = (ए - बी) 2 ==(ए - बी) (ए - बी) ,

तो त्रिपद, जो है किन्हीं दो संख्याओं के वर्गों का योग, इन संख्याओं के गुणनफल के दोगुने से बढ़ा या घटा, इन संख्याओं के योग या अंतर के वर्ग के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण।

1) ए 2 + 2 ए +1 . जैसा 1=1 2 और 2ए = 2ए 1 , तब

ए 2 + 2 ए +1 = (ए + 1) 2 .

2) एक्स 4 + 4 - 4x 2 . यहां x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 और 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

इसीलिए: एक्स 4 + 4 - 4x 2 = (एक्स 2 - 2) 2 . कोई यह भी लिख सकता है कि

एक्स 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , क्योंकि वे द्विपद हैं। एक्स 2 - 2 और 2x2 , वर्ग तक उठाए जाने पर, ऐसे त्रिपद दें जो केवल शब्दों के क्रम में भिन्न हों:

(एक्स 2 - 2) 2 = एक्स 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -एक्स + 25x 2 + 0.01 . यहाँ दो वर्ग हैं: 25x 2 = (5x) 2 और 0,01 = 0,1 2 . 5x और 0.1 संख्याओं का दोहरा गुणनफल है: 2 5x 0.1 = एक्स . चूँकि इस त्रिपद में दोनों वर्ग एक + चिह्न के साथ हैं, और दोहरा गुणनफल (अर्थात। एक्स ) चिह्न के साथ -, तब

-एक्स + 25x 2 + 0.01 = 25x 2 - एक्स + 0,01 = (5x - 0.1) 2 = (0.1 - 5x) 2 .

4) - एक्स 2 - वाई 2 + 2xy। आइए कोष्ठकों से बाहर का चिह्न लगाते हैं: - ( एक्स 2 + वाई 2 - 2xy ) कोष्ठक में त्रिपद स्पष्ट रूप से है (एक्स-वाई) 2 .

- एक्स 2 - वाई 2 + 2xy = - (एक्स 2 + वाई 2 - 2xy ) = - (एक्स - वाई) 2 = - (वाई-एक्स) 2 .

d) कभी-कभी एक बहुपद को उसके सदस्यों को कुछ समूहों में जोड़कर गुणनखंडित किया जा सकता है।

अध्याय छह।

बीजीय अंश।

76. एक बीजीय भिन्न और एक अंकगणितीय भिन्न के बीच का अंतर. जैसा कि हमने पहले कहा, दो बीजीय व्यंजकों के विभाजन के भागफल को उस स्थिति में जब केवल भाग का संकेत दिया जाता है, कहलाता है बीजीय भिन्न. ये हैं, उदाहरण के लिए, भाव:

ऐसे भावों में, भाजक को अंश कहा जाता है, भाजक हर होता है, और दोनों भिन्न के पद होते हैं।

याद रखें कि एक अंकगणितीय अंश भी अंश को हर से विभाजित करने वाला भागफल होता है। इस प्रकार, अंश 3/5 का मतलब केवल तीन ऐसे शेयर नहीं हैं, जो इकाई पांच में निहित हैं; इस भिन्न का अर्थ तीन इकाइयों का पाँचवाँ भाग भी है, अर्थात यह 3 को 5 से भाग देने वाला भागफल है। लेकिन एक बीजीय भिन्न और एक अंकगणित के बीच का अंतर यह है कि एक अंकगणितीय भिन्न एक धनात्मक पूर्णांक को दूसरे धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का भागफल होता है। , तो जैसे बीजगणितीय अंश किसी भी संख्या के विभाजन का एक भागफल होता है, दोनों पूर्णांक और भिन्नात्मक, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियाँ:

अंकगणितीय भिन्न नहीं कहा जा सकता; ये बीजीय भिन्नों की विशेष स्थितियाँ होंगी। इस प्रकार, एक बीजीय भिन्न एक अंकगणितीय भिन्न की तुलना में एक व्यापक अवधारणा है; इसमें एक विशेष मामले के रूप में अंकगणितीय अंश शामिल है।

हालाँकि, इस अंतर के बावजूद, एक अंकगणितीय भिन्न के सभी गुण, जैसा कि हम इस अध्याय में देखेंगे, एक बीजीय भिन्न से संबंधित हैं।

77. भिन्न का मुख्य गुण।चूंकि भिन्न हर से अंश को विभाजित करने का भागफल है, और भाज्य और भाजक को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा (या विभाजित) करने से भागफल नहीं बदलता है (खंड 1 34, ई), तो समान गुण भिन्न का है, अर्थात्। एक भिन्न का मान नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा (या विभाजित) किया जाता है . उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं

चलो डालते हैं - 4 / 9 , तो हमारे पास होगा: पूर्व भिन्न

नया अंश:

हम देखते हैं कि भिन्न का मान वही रहता है।

भिन्न के इस गुण का उपयोग करके, हम बीजीय भिन्नों पर वही परिवर्तन कर सकते हैं जो अंकगणितीय भिन्नों के लिए अंकगणित में इंगित किए गए हैं, अर्थात, यदि संभव हो तो, हम भिन्नों को कम कर सकते हैं और यदि आवश्यक हो, तो उन्हें एक हर में ला सकते हैं। आइए इन परिवर्तनों पर विचार करें और कुछ और इंगित करें जो अंकगणित में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

78. एक भिन्न के सदस्यों को एक पूर्णांक रूप में कम करना।यदि ऐसा होता है कि किसी भिन्न के सदस्यों में स्वयं भिन्न होते हैं, तो उन्हें एक उचित रूप से चुनी गई संख्या या बीजगणितीय अभिव्यक्ति से गुणा करके, हम इन अंशों से छुटकारा पा सकते हैं।

उदाहरण।

79. भिन्न के सदस्यों के चिन्हों में परिवर्तन।किसी भिन्न के अंश और हर के सामने चिह्न को उलटना उन्हें -1 से गुणा करने के समान है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है। इसलिए:

ध्यान दें कि यदि हम भिन्न के किसी एक सदस्य के सामने चिह्न बदल दें और उसी समय भिन्न के सामने के चिह्न को भी बदल दें, तो भिन्न का मान भी नहीं बदलेगा; उदाहरण:

किसी भिन्न के इन गुणों का उपयोग कभी-कभी उसके कुछ परिवर्तन के लिए किया जा सकता है; उदाहरण:

80. भिन्नों की कमी।एक बीजीय भिन्न को कम करने के लिए, यदि संभव हो तो, पहले ऐसा बीजीय व्यंजक ज्ञात करना आवश्यक है जिससे भिन्न के दोनों पद विभाज्य हों, और फिर उन्हें इस व्यंजक से विभाजित करें। विचार करें कि निम्नलिखित दो मामलों में ऐसा करना सबसे सुविधाजनक कैसे है।

ए)एक भिन्न लीजिए जिसमें दोनों पद पूर्णांक एकपदी हों; उदाहरण:

कठिनाइयाँ 12 और 20 4 से विभाज्य हैं, और शाब्दिक भाव से विभाज्य हैं ए और पर एक्स 2 , तो इस भिन्न को द्वारा कम किया जा सकता है 4ax 2 :

(अंश के ऊपर हमने वे उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखे हैं जिनके द्वारा हम भिन्न को घटाते हैं; विभाजित करने के बजाय 3एक्स पर 5 हम में विभाजित 5 केवल गुणांक 3 ).

बी)यदि भिन्न में एक अंश या हर (या दोनों) बहुपद हैं, तो इन बहुपदों को पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए (जैसा कि इसमें दर्शाया गया है); यदि उनमें से समान हैं, तो उन पर भिन्न को घटाया जा सकता है।

उदाहरण।

(2 से भाग देने के बजाय 1/2 से गुणा निर्धारित है, जो 2 से भाग देने के बराबर है)।

81. भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना,

ए)उदाहरण के लिए, संख्याओं में व्यक्त हर के साथ एक सामान्य भाजक अंशों को कम करने की आवश्यकता होती है, जैसे:

ऐसा करने के लिए, हम हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

और उनका सबसे छोटा गुणज ज्ञात कीजिए; यह 2 3 3 5 = 90 होगा। अब हम प्रत्येक हर के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं जिससे हमें 90 प्राप्त करने के लिए इस हर को गुणा करने की आवश्यकता है। ये अतिरिक्त कारक होंगे:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

ताकि भिन्न अपना मान न बदलें, अंशों को उसी संख्या से गुणा करना आवश्यक है जिससे हम हर को गुणा करते हैं:

(अतिरिक्त गुणक भिन्नों के ऊपर लिखे गए हैं)।

बी)आइए अब हम भिन्न लेते हैं जिनके हर शाब्दिक एकपदी हैं; उदाहरण:

आम भाजक के लिए, कोई स्पष्ट रूप से ले सकता है 30ab 2 . तब अतिरिक्त गुणक होंगे: 15एबी, 10बी और 6 :

आइए प्रत्येक भाजक का गुणनखंड करें। पहले दो विघटित नहीं होते हैं, और तीसरा = (ए + बी) (ए - बी) . तो आम भाजक होगा ए 2 - बी 2 , और हमें मिलता है:

d) ऐसा हो सकता है कि भाजक के किसी भी युग्म के समान गुणनखंड न हों। फिर हमें आगे बढ़ना चाहिए जैसा कि अंकगणित में एक समान मामले में किया जाता है, अर्थात्: प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को अन्य सभी भिन्नों के महत्वपूर्ण के गुणन से गुणा करें। उदाहरण के लिए:

82. भिन्नों का जोड़ और घटाव।बहुपद को एकपदी से भाग देने के नियम से हम लिख सकते हैं:

इन समानताओं को दाएँ से बाएँ पढ़ने पर हम पाते हैं:

1) समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आप उनके अंशों को जोड़ सकते हैं और योग के तहत समान हर पर हस्ताक्षर कर सकते हैं ;

2) समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, आप उनके अंशों को घटा सकते हैं और अंतर के तहत समान हर पर हस्ताक्षर कर सकते हैं;

यदि किसी भिन्न को जोड़ने या घटाने के डेटा में अलग-अलग हर हैं, तो उन्हें पहले एक ही हर में लाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:

घटाव के परिणामस्वरूप हम प्राप्त करते हैं:

83. भिन्नों का गुणन। किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आप अंश को अंश से और हर को हर से गुणा कर सकते हैं और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में ले सकते हैं, अर्थात।

अंकगणितीय भिन्नों पर लागू होने वाले इस नियम की व्याख्या को याद करें। इसे गुणा करने दें 2 / 3 4 / 5 इसका अर्थ है ढूँढ़ना 4 / 5 से 2 / 3 (उदा. खोजने के लिए 4 / 5 लंबाई बराबर 2 / 3 मीटर)। ऐसा करने के लिए, आपको पहले खोजना होगा 1 / 5 से 2 / 3 और फिर 4 / 5 से 2 / 3 . ढूँढ़ने के लिए 1 / 5 से 2 / 3 ज़रूरी 2 / 3 5 गुना कम करें; हम पाते हैं 2 / 15 . अभी खोजने के लिए 4 / 5 से 2 / 3 , ज़रूरी 2 / 15 4 गुना वृद्धि; हम पाते हैं 8 / 15 . इस प्रकार:

अब हम इस नियम को बीजीय भिन्नों के लिए जाँचेंगे, जब संख्याएँ ए, बी, सी और डी जो कुछ भी होगा। पहले मान लीजिए कि ये सभी संख्याएँ धनात्मक हैं, लेकिन पूर्ण नहीं, बल्कि भिन्नात्मक हैं। चलो, उदाहरण के लिए:

आइए हम इन संख्याओं को समानता (1) में प्रतिस्थापित करें, इसके बाएँ और दाएँ भागों की अलग-अलग गणना करें और हमें प्राप्त परिणामों की तुलना करें (गणना करते समय, हम अंकगणितीय अंशों के विभाजन और गुणन के नियमों द्वारा निर्देशित होंगे):

(हम अंतिम गणना नहीं करेंगे)।

आइए अब समानता का दायां पक्ष खोजें (1):

प्राप्त परिणामों की तुलना करें, हम देखते हैं कि वे समान हैं, क्योंकि (पूर्णांक गुणन के क्रमागत गुण के अनुसार) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 और 3 7 6 9 = 3 6 7 9. इसलिए, समानता (1) सच रहता है और इस मामले में।

अब मान लीजिए कि कुछ संख्याएँ a, b, c और d ऋणात्मक हो जाती हैं। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, a = - 2/3 ( बी, सी और डी समान मान हैं)। फिर अंश ए / बी ऋणात्मक हो जाता है, और समता का संपूर्ण बायां पक्ष (1) भी ऋणात्मक संख्या होगी। काम के दाईं ओर ऐस ऋणात्मक हो जाता है, और इसलिए संपूर्ण दाहिनी ओर भी ऋणात्मक संख्या होगी। बाईं ओर और दाईं ओर का निरपेक्ष मान समान रहेगा। इसलिए, समानता (1) का उल्लंघन नहीं होता है। हम यह भी सुनिश्चित करते हैं कि अन्य संख्याएँ ऋणात्मक होने पर भी समानता (1) सत्य बनी रहे।

किसी विशेष उदाहरण के बारे में हमने अभी जो कुछ कहा है, वह किसी अन्य उदाहरण के बारे में दोहराया जा सकता है; इसलिए समानता (1) अक्षरों के किसी भी मान के लिए सही है ए, बी, सी और डी .

84. भिन्नों का विभाजन।किसी भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आप पहली भिन्न के अंश को दूसरे के हर से, पहले के हर को दूसरे के अंश से गुणा कर सकते हैं, और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में ले सकते हैं , अर्थात।

कि यह समानता सभी संख्याओं के लिए सत्य है ऐ बी सी डी , आप विभाजन के एक सरल सत्यापन द्वारा सुनिश्चित कर सकते हैं: भाजक द्वारा भागफल को गुणा करना (ऊपर सिद्ध किए गए अंशों को गुणा करने के नियम के अनुसार), हमें लाभांश मिलता है:

85. टिप्पणियां। 1) चूंकि विज्ञापन /बीसी=ए/बीडी/ सी , तो विभाजन नियम को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: किसी भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आप पहली भिन्न को दूसरी के व्युत्क्रम से गुणा कर सकते हैं।

2) किसी भी पूर्णांक बीजीय व्यंजक को भिन्न माना जा सकता है, जिसमें अंश यह पूर्णांक व्यंजक है, और हर 1 है; जैसे

ए = ए/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 आदि।

इसलिए, भिन्नों पर क्रियाओं के लिए हमारे द्वारा दिए गए नियम ऐसे मामलों पर भी लागू हो सकते हैं जब दिए गए व्यंजकों में से कोई एक पूर्णांक हो, केवल इस पूर्णांक (कम से कम मानसिक रूप से) को भिन्न के रूप में चित्रित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:

86. हर से समीकरण का विमोचन।मान लीजिए कि समीकरण दिया गया है:

प्रतिवर्ती 6 3 / 5 एक अनुचित भिन्न में और सभी पदों को एक ही हर में लाएँ:

अब सभी पदों को 10 से गुणा करें; तो हर 10 नष्ट हो जाएगा, और हम अंशों के बिना समीकरण प्राप्त करेंगे:

किसी त्रुटि से बचने के लिए, हमने एक द्विपद शामिल किया है 7x-2 कोष्ठक में यह दर्शाने के लिए कि इस समीकरण में दूसरे भिन्न के सामने - चिह्न का उल्लेख नहीं है 7x , और पूरे द्विपद के लिए 7x-2 (दूसरे भिन्न के अंश तक)। इन कोष्ठकों को घटाव के नियम के अनुसार विस्तारित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, एक समीकरण को हर से मुक्त करने के लिए, उसके सभी पदों को एक ही हर में लाना और फिर उन्हें इस हर से गुणा करना आवश्यक है। (दूसरे शब्दों में, जाने दो ).

अध्याय सात।

अनुपात और अनुपात।

87. रवैया।यह पता लगाने के लिए कि पहले मान में दूसरी बार कितनी बार समाहित है, एक मान की तुलना दूसरे मान से करना, इसके सजातीय मान की तुलना करना अक्सर आवश्यक होता है।

उदाहरण के लिए, इस उद्देश्य के लिए हम किसी वस्तु के वजन की तुलना किसी अन्य वस्तु के वजन से कर सकते हैं, एक उत्पाद की कीमत की तुलना दूसरे उत्पाद की कीमत से कर सकते हैं, आदि। ऐसे सभी मामलों में, तुलना के परिणाम को एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। , जो या तो एक पूर्णांक या एक भिन्न के साथ एक पूर्णांक और भिन्नात्मक हो सकता है। उदाहरण के लिए, हम लंबाई की तुलना करते हैं ए अलग लंबाई के साथ बी , और तुलना का परिणाम पूर्णांक 3 निकला।

इसका मतलब है कि लंबाई ए लंबाई शामिल है बी ठीक 3 बार (दूसरे शब्दों में, ए अधिक बी 3 बार)।

यदि तुलना का परिणाम भिन्न के साथ एक पूर्णांक है, उदा. 2 1/2 , तो इसका मतलब है कि ए शामिल है बी 2 1/2 बार ( ए अधिक बी 2 1/2 बार)।

यदि, अंत में, तुलना का परिणाम एक भिन्न है, तो 3/4 डालें, तो ए शामिल नहीं है बी एक बार नहीं, केवल 3/4 बी .

इन सभी मामलों में, तुलना का परिणाम एक अमूर्त संख्या है जिसके द्वारा पहला प्राप्त करने के लिए दूसरे मान को गुणा किया जाना चाहिए। तो, हमारे उदाहरणों में:

ए = बी 3; ए = बी 2 1/2; ए = बी 3/4;

एक मात्रा की दूसरी सजातीय मात्रा से तुलना करने के परिणाम को आमतौर पर पहली मात्रा का दूसरी मात्रा से अनुपात कहा जाता है। माध्यम, एक मात्रा का दूसरी सजातीय मात्रा से अनुपात एक अमूर्त संख्या है जिससे पहली मात्रा प्राप्त करने के लिए दूसरी मात्रा को गुणा किया जाना चाहिए। चूंकि यह संख्या पहले मान को दूसरे से विभाजित करने का भागफल है, इसलिए अनुपात को विभाजन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। तो, आप लिख सकते हैं:

ए / बी (या ए:बी) =3; ए / बी = 2 1 / 2 ए / बी = 3 / 4 . आदि।

वे मान जिनके बीच अनुपात लिया जाता है, संबंध के सदस्य कहलाते हैं, जिसमें पहले मान को पिछला सदस्य और दूसरे को अगला मान कहा जाता है।

यदि मात्राओं को एक ही इकाई द्वारा मापा जाता है और संख्याओं में व्यक्त किया जाता है, तो उनके अनुपात को इन संख्याओं के अनुपात से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो भारों का अनुपात, एक 80 ग्राम पर और दूसरा 15 ग्राम पर, संख्या 80 और 15 के अनुपात के बराबर है, अर्थात यह भागफल 80:15 के बराबर है, जो कि है 5 1 / 3 ; इसी प्रकार 30° के कोण का समकोण से अनुपात भागफल 30:90 के बराबर होता है, अर्थात भिन्न 1 / 3

अधिकांश भाग सकारात्मक मात्राओं के लिए आपस में तुलना करना आवश्यक है; इसलिए, संबंध और संबंध दोनों की शर्तों को ही सकारात्मक संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

88. संबंध और उसके सदस्यों के बीच निर्भरताजैसा कि लाभांश, भाजक और भागफल के बीच मौजूद है।

ए)पिछला पद अनुपात से गुणा किए गए अगले के बराबर है (लाभांश भागफल से गुणा किए गए भाजक के बराबर है)। यदि, उदाहरण के लिए, किसी अज्ञात संख्या का अनुपात एक्स संख्या के लिए 100 बराबरी 2 1 / 2 , तब एक्स = 100 2 1 / 2 = 250 .

बी)अगला पद अनुपात से विभाजित पिछले एक के बराबर है (भाजक भागफल से विभाजित लाभांश के बराबर है)। इसलिए, यदि यह ज्ञात है कि 15: एक्स = 5, तब एक्स = 15: 5 = 3.

में)यदि इसके दोनों सदस्यों को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तो अनुपात नहीं बदलेगा (भागफल नहीं बदलेगा यदि...)।

89. संबंध के सदस्यों को पूर्ण रूप में लाना।संबंध के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा करके, हम संबंध को भिन्नात्मक सदस्यों से पूर्णांकों के संबंध से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। हाँ, रवैया 7 / 3 : 5 अपने सदस्यों को 3 से गुणा करने पर, यह पूर्णांक 7:15 के अनुपात में बदल जाएगा; अनुपात 9/14:10/21, इसके पदों को एक सामान्य हर 42 से गुणा करने के बाद, पूर्णांक 27:20 के अनुपात में बदल जाएगा।

90. रिश्ते को कम करना।यदि संबंध के दोनों सदस्य किसी उभयनिष्ठ भाजक से विभाज्य पूर्णांक हों, तो ऐसे संबंध को कम किया जा सकता है। अतः इसके सदस्यों को 6 से विभाजित करने पर 42:12 का अनुपात 7:2 होगा।

91. रिवर्स रिलेशनशिप।यदि हम संबंध की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, अर्थात, पिछले पद का अनुसरण करते हैं, और इसके विपरीत, तो हमें एक नया संबंध मिलता है, जिसे पिछले एक का व्युत्क्रम कहा जाता है। इस प्रकार, मीटर से सेंटीमीटर का अनुपात सेंटीमीटर से मीटर के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है; पहला 100 की संख्या के बराबर है, दूसरा 0.01 के व्युत्क्रम के बराबर है।

92. अनुपात।यह देखते हुए कि किलोग्राम से चने का अनुपात 1000 है और किलोमीटर से मीटर का अनुपात भी 1000 है, हम समीकरण लिख सकते हैं:

या किलोग्राम: ग्राम = किलोमीटर: मीटर, जो इस प्रकार पढ़ता है: एक किलोग्राम से एक ग्राम का अनुपात एक किलोमीटर से एक मीटर के अनुपात के बराबर होता है; या इस तरह: एक किलोग्राम एक ग्राम से संबंधित है क्योंकि एक किलोमीटर एक मीटर से संबंधित है (या इस तरह: एक किलोग्राम एक ग्राम से कई गुना बड़ा है क्योंकि एक किलोमीटर एक मीटर से बड़ा है)।

दो अनुपातों की समानता को अनुपात कहते हैं। बेशक, प्रत्येक अनुपात में शामिल मात्रा सजातीय होनी चाहिए; इसलिए, हमारे उदाहरण में, पहले अनुपात के मान भार हैं, और दूसरे अनुपात के मान लंबाई हैं।

अनुपात बनाने वाले चार मानों में से पहले और चौथे को चरम पद कहा जाता है, दूसरे और तीसरे को मध्य पद, पहले और तीसरे को पिछले वाले, दूसरे और चौथे को बाद के पद कहा जाता है। वाले। अंतिम मात्रा को प्रथम तीन राशियों का चौथा समानुपाती भी कहा जाता है।

हम मान लेंगे कि अनुपात के सभी चार पद संख्याओं में व्यक्त किए गए हैं; हम ऐसे अनुपात को संख्यात्मक कहेंगे।

93. संख्यात्मक अनुपात की मुख्य संपत्ति।मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित संख्यात्मक अनुपात हैं:

21/7 = 15/5 (प्रत्येक अनुपात = 3)

आइए हम प्रत्येक अनुपात में चरम पदों के गुणनफल और मध्य पदों के गुणनफल को लें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। पहले अनुपात में, चरम सीमाओं का गुणनफल है

21 5 = 105 और साधनों का गुणनफल 7 15 = 105 है; दूसरे अनुपात में, चरम सीमाओं का उत्पाद \u003d 2 1/2 3 = 7 1/2 और औसत का गुणनफल = 3/4 10 = 7 1/2

इस प्रकार, लिए गए प्रत्येक अनुपात में, चरम पदों का गुणनफल मध्य के गुणनफल के बराबर होता है।

यह दिखाने के लिए कि यह गुण किसी संख्यात्मक अनुपात से संबंधित है, आइए हम अनुपात को शाब्दिक रूप में लें:

ए / बी = साथ / डी

चूंकि अनुपात बनाने वाले दो अनुपातों में से प्रत्येक पिछले पद को अगले से विभाजित करने का भागफल है, हम कह सकते हैं कि अनुपात दो भिन्नों की समानता है। आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं बीडीओ .

अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करते हैं बीडीओ (जिससे समानता का उल्लंघन नहीं होगा); तो आम भाजक घट जाएगा, और हमें समानता मिलती है:

विज्ञापन = सीबी ,

यह व्यक्त करते हुए कि किसी भी संख्यात्मक अनुपात में चरम पदों का गुणनफल मध्य के गुणनफल के बराबर होता है।

इससे यह पता चलता है कि अनुपात का प्रत्येक चरम सदस्य दूसरे चरम से विभाजित औसत के उत्पाद के बराबर होता है, और अनुपात का प्रत्येक औसत सदस्य दूसरे औसत से विभाजित चरम सीमा के उत्पाद के बराबर होता है। यह हमें अनुपात के रूप में दिए गए समीकरणों को शीघ्रता से हल करने की क्षमता देता है; जैसे समीकरण से

10 / एक्स = 45 / 20

सीधे आउटपुट: एक्स = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. प्रस्ताव उल्टा।मान लीजिए कि हमारे पास 4 संख्याएँ हैं, जिनमें से दो का गुणनफल अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, उदाहरण के लिए:

हम ऐसी समानता को अनुपातों की श्रृंखला में बदल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को इनमें से प्रत्येक कार्य में विभाजित करते हैं:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

जिसमें एक दिए गए उत्पाद से एक कारक लिया जाता है, और दूसरा दूसरे से। तब हमें 4 अन्य समानताएँ प्राप्त होती हैं (यदि हम समान संख्याओं को समान संख्याओं में विभाजित करते हैं, तो हमें समान संख्याएँ प्राप्त होती हैं), अर्थात्:

इन सभी भिन्नों को कम करने पर, हम पाते हैं:

इस प्रकार हम 4 अनुपात प्राप्त करेंगे, जिसमें चरम पद दिए गए उत्पादों में से किसी एक के गुणनखंड होते हैं, और मध्य पद किसी अन्य उत्पाद के गुणनखंड होते हैं।

इसी तरह, हम समीकरण 0.3 4 = 6 0.2 को निम्नलिखित अनुपात में बदल सकते हैं:

या समानता: 5x=3y हम अनुपात में बदल सकते हैं:

5:3=y:x ; एक्स: वाई = 3: 5 , आदि।

इस प्रकार, यदि दो संख्याओं का गुणनफल दो अन्य संख्याओं के गुणनफल के बराबर है, तो इन 4 संख्याओं से अनुपात बनाया जा सकता है, एक उत्पाद के गुणनखंडों को चरम पदों के रूप में, और दूसरे उत्पाद के कारकों को मध्य सदस्यों के रूप में लिया जा सकता है। अनुपात का।

95. परिणाम।किसी भी संख्यात्मक अनुपात में, कोई आपस में मध्य पदों को, चरम पदों को आपस में पुनर्व्यवस्थित कर सकता है, या चरम के स्थान पर औसत डाल सकता है, और इसके विपरीत, क्योंकि इस तरह के क्रमपरिवर्तन चरम और चरम के उत्पाद के बीच समानता का उल्लंघन नहीं करेंगे। औसत का उत्पाद और इसलिए, संख्याओं की आनुपातिकता का उल्लंघन नहीं किया जाएगा।

96. ज्यामितीय माध्य।आइए हम एक अनुपात लें जिसमें मध्य पद समान हों; उदाहरण के लिए:

ऐसे समानुपात का आवर्ती पद कहलाता है जियोमेट्रिक माध्यअनुपात के अन्य दो सदस्यों की संख्या: 12 36 और 4 का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार, यदि आप दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं ए और बी , फिर, इसे पत्र द्वारा निरूपित करना एक्स , हम अनुपात लिख सकते हैं:

ए: एक्स = एक्स: बी

एक्स 2 = अब

अत: दो दी गई संख्याओं का गुणोत्तर माध्य एक ऐसी तीसरी संख्या है, जिसका वर्ग दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, 25 और 4 का गुणोत्तर माध्य 10 है क्योंकि 10 2 = 25 4 ।

97. अंकगणित माध्य।कई दी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य इन संख्याओं के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने का भागफल है। उदाहरण के लिए, 4 संख्याओं का अंकगणितीय माध्य: 10, -2, -8 और 12 है:

अंकगणित माध्य में यह गुण होता है कि यदि, इन संख्याओं को जोड़ते समय, हम उनमें से प्रत्येक को अंकगणितीय माध्य से बदल दें, तो इस प्रतिस्थापन से योग नहीं बदलेगा। इस प्रकार, संख्या 10, -2, -8 और 12 का योग 12 के बराबर है, और 3+3+3+3 का योग भी 12 के बराबर है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि कारखाने की उत्पादकता के दौरान चालू वर्ष के पहले चार महीनों में, पिछले वर्ष के दिसंबर में इसकी उत्पादकता की तुलना में, वृद्धि हुई: जनवरी में 10 ° / o, फरवरी में -2%, मार्च में - 8% (जिसका अर्थ है कि उत्पादकता में कमी आई है) पिछले 2 महीनों में) और अप्रैल में + 12%। तब हम कह सकते हैं कि इन 4 महीनों में औसत उत्पादकता वृद्धि 3% प्रति माह है। इसे इस तरह से समझा जाना चाहिए कि सभी 4 महीनों के लिए कारखाने की उत्पादकता वैसी ही निकली, जैसी कि हर महीने इसी तरह बढ़ती जाती है, अर्थात् 3% (दिसंबर उत्पादकता की तुलना में)। इसी तरह, अक्सर औसत आय, औसत गति, औसत जनसंख्या घनत्व आदि की बात की जाती है। ऐसे सभी भावों में, यह निहित है कि हम अंकगणितीय औसत के बारे में बात कर रहे हैं।

98. व्युत्पन्न अनुपात।किसी भी अनुपात से, इसके पदों को क्रमपरिवर्तन करने के अलावा, आप कुछ अन्य अनुपात प्राप्त कर सकते हैं, जिन्हें व्युत्पन्न कहा जाता है। आइए उनमें से दो को इंगित करें।

यदि अनुपात बनाने वाले प्रत्येक समान अनुपात को 1 से बढ़ाया या घटाया जाता है, तो स्पष्ट रूप से अनुपातों के बीच समानता का उल्लंघन नहीं होगा। इसलिए, यदि

जिस भिन्न पर इसे लगाया जाता है या जिसमें से इसे घटाया जाता है, उस भिन्न के साथ एक उभयनिष्ठ हर में 1 लाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हम उन दो व्युत्पन्न अनुपातों को व्यक्त कर सकते हैं जो हमने इस प्रकार प्राप्त किए हैं: किसी भी अनुपात में, पहले संबंध की शर्तों का योग या अंतर इस संबंध के बाद के पद से उसी तरह संबंधित होता है जैसे दूसरे संबंध की शर्तों का योग या अंतर इस संबंध के बाद के पद से संबंधित होता है।

हम समानता (1) और (2) को इस समानता से विभाजित करते हैं ए /बी=सी/ डी फिर भाजक बी और डी घटते हैं, और हमें दो और व्युत्पन्न अनुपात मिलते हैं:

जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: पहले संबंध के सदस्यों का योग या अंतर इस संबंध के पिछले सदस्य से उसी तरह संबंधित होता है जैसे दूसरे संबंध के सदस्यों का योग या अंतर इस संबंध के पिछले सदस्य से संबंधित होता है।

पद को पद समानता (1) से समानता (2) से भाग देने पर हम निम्नलिखित व्युत्पन्न अनुपात भी पाते हैं:

जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: पहले संबंध के पदों का योग उनके अंतर से उसी प्रकार संबंधित होता है जैसे दूसरे संबंध के पदों का योग उनके अंतर से संबंधित होता है।

मध्य पदों को दो व्युत्पन्न अनुपातों में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम अन्य व्युत्पन्न अनुपात प्राप्त करते हैं जो ध्यान देने योग्य हैं:

99. समान संबंधों की संपत्ति।आइए कई समान संबंध लें, उदाहरण के लिए, जैसे:

30/10 = 6/2 = 15/5 (प्रत्येक अनुपात = 3)।

आइए हम पिछले सभी पदों को एक-दूसरे में और बाद के सभी पदों को एक-दूसरे में जोड़ दें और देखें कि इन दोनों योगों का अनुपात क्या है। पिछले वाले का योग है: 30 + 6 + 15 = 51; निम्नलिखित का योग: 10 + 2 + 5 = 17. हम देखते हैं कि पहली राशि का दूसरे से अनुपात समान संख्या 3 के बराबर है, जो इन अनुपातों के बराबर है, इसलिए हम लिख सकते हैं:

यह दिखाने के लिए कि यह संपत्ति सामान्य है, आइए कई समान संबंधों को शाब्दिक रूप में लें:

चूंकि पिछला पद अनुपात से गुणा किए गए बाद के पद के बराबर है, तो

ए = बीक्यू, सी = डीक्यू, ई = एफक्यू , . . .

और इसलिए ए + सी + ई +। . . = बीक्यू + डीक्यू + एफक्यू + . . .

अर्थात। ए + सी + ई।। . =q(बी + डी + एफ +...)

इस समानता के दोनों पक्षों को योग से विभाजित करें बी + डी + एफ +। . .

इस तरह:

इस प्रकार, यदि कई अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं, तो उनके सभी पिछले पदों का योग बाद के सभी के योग से संबंधित है, क्योंकि पिछले में से कोई भी इसके बाद के एक से संबंधित है।

चूँकि प्रत्येक अनुपात में दो समान अनुपात होते हैं, यह गुण भी उसी अनुपात का होता है।

100. अंकगणितीय अनुप्रयोग।(आनुपातिक विभाजन।) मान लीजिए कि संख्या 60 को संख्या b, 7 और 8 के अनुपात में तीन भागों में विभाजित किया गया है। इसे इस तरह से समझना चाहिए कि 60 को ऐसे तीन भागों में विभाजित करना आवश्यक है। एक्स, वाई और जेड , को एक्स इसलिए 5 के रूप में व्यवहार किया पर 7 को संदर्भित करता है और कैसे जेड 8 को संदर्भित करता है, अर्थात to

एक्स / 5 = आप / 7 = जेड / 8

समान अनुपात के गुणों को लागू करने पर, हम पाते हैं:

लेकिन एक्स + वाई + जेड = 60

यहाँ से हम पाते हैं:

101. ज्यामितीय अनुप्रयोग।मान लीजिए कि दो बहुभुज समरूप हैं और एक की भुजाएँ हैं ऐ बी सी डी, ..., और इसी तरह, दूसरे के पक्ष ऐ बी सी डी", ... फिर

ए / ए" = बी / बी" = सी / सी" = डी / डी" = ...

अर्थात। समरूप बहुभुजों के परिमाप समान भुजाओं के रूप में संबंधित होते हैं .

टिप्पणी। व्युत्पन्न अनुपात और समान अनुपात की संपत्ति का उपयोग कभी-कभी अनुपात के रूप में दिए गए समीकरण को जल्दी से हल करने के लिए किया जा सकता है। आइए उदाहरण देते हैं।

आइए एक व्युत्पन्न अनुपात बनाएं: पहले संबंध के सदस्यों का योग उसी संबंध के बाद के सदस्य से उसी तरह संबंधित होता है जैसे। . .

तब हमें मिलता है:

3 /x=47/ 7

कहाँ पे

एक्स = 21 / 47

आइए एक व्युत्पन्न अनुपात बनाते हैं: पहले संबंध के सदस्यों का योग उनके अंतर से उसी तरह संबंधित होता है जैसे। . . तब हमें मिलता है:

आइए एक नया अनुपात बनाएं: पिछले वाले का योग उसी तरह से बाद के लोगों के योग से संबंधित है। . . :

अब आइए एक व्युत्पन्न अनुपात बनाते हैं: पहले संबंध की शर्तों का योग इस संबंध के बाद के पद से उसी तरह संबंधित होता है जैसे। . . :

अध्याय आठ।

आनुपातिक निर्भरता (प्रत्यक्ष और उलटा)।

102. आनुपातिक निर्भरता।अनुभव से सभी जानते हैं कि यदि पानी का आयतन किसी अनुपात में बढ़ता (या घटता) है, तो उसका भार उसी अनुपात में बढ़ेगा (या घटेगा)। उदाहरण के लिए, 1 लीटर पानी का वजन 1 किग्रा, 2 लीटर पानी का वजन 2 किग्रा, 2 1/2 लीटर पानी का वजन 2 1/2 किग्रा आदि होता है। अपरिवर्तित रहें; उदाहरण के लिए, पानी को समान तापमान पर, समान रूप से साफ किया जाता है, आदि)। पानी के आयतन और उसके भार के बीच के इस संबंध को कहते हैं आनुपातिक लत। सामान्य तौर पर, यदि हम कहते हैं कि दो मात्राएँ एक-दूसरे के समानुपाती (या एक-दूसरे के समानुपाती) हैं, तो इसका मतलब है कि उनमें से किसी एक की वृद्धि (या कमी) के साथ, दूसरे में भी वृद्धि (या घटती) होती है। उसी तरह से . इस प्रकार, वजन द्वारा बेची गई वस्तु का मूल्य उसके वजन के समानुपाती होता है; श्रमिकों को मजदूरी उनकी संख्या के समानुपाती होती है (उसी अन्य शर्तों के तहत); एक भिन्न का मान उसके अंश के समानुपाती होता है (स्थिर हर के साथ); एक आयत का क्षेत्रफल नियत ऊँचाई के साथ उसके आधार के समानुपाती होता है और एक स्थिर आधार के साथ उसकी ऊँचाई के समानुपाती होता है, आदि।

103. एक सूत्र द्वारा आनुपातिक निर्भरता की अभिव्यक्ति।मान लीजिए कि हम निम्नलिखित समस्या को हल कर रहे हैं:

एक रेलगाड़ी एकसमान गति से चलती हुई प्रति घंटे 30 किमी की यात्रा करती है। यह ट्रेन किस जगह से गुजरेगी ए घंटे ( ए पूर्णांक या भिन्नात्मक हो सकता है)?

भीतर आएं ए घंटे ट्रेन गुजर जाएगी एक्स किमी.

डेटा और समस्या के प्रश्न को निम्नानुसार व्यवस्थित करें:

1 घंटे में 30 किमी की दूरी तय की जाती है;

में ए घंटा " एक्स किमी.

एकसमान गति के साथ, कुछ समय के दौरान तय किया गया स्थान इस समय के समानुपाती होता है। इसलिए एक्स 30 से अधिक या कम होना चाहिए और जितनी बार होना चाहिए ए 1 से अधिक या कम। इसलिए, हम अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स : 30 = ए : 1 ,

एक्स = 30ए .

इस प्रकार हमने एक सूत्र प्राप्त किया है जिसके द्वारा हम किसी भी संख्या में जाने वाले स्थान की गणना कर सकते हैं ए घंटे। उदाहरण के लिए, 2 बजे 30 किमी 2 को 3 1/2 घंटे 30 किमी 3 1/2 पर कवर किया जाएगा। 3/4 घंटे में 30 किमी 3/4। तो, व्युत्पन्न सूत्र में, संख्याएँ एक्स और ए चर होंगे (एक दूसरे के अनुरूप), जबकि संख्या 30 स्थिर है (मतलब ट्रेन द्वारा 1 घंटे में तय किया गया स्थान, यानी गति की गति)।

अब दी गई समस्याओं जैसी समस्याओं से, हम देखते हैं कि यदि दो मात्राएँ समानुपाती हैं, तो उनमें से एक का संख्यात्मक मान कुछ अचर संख्या के बराबर होती है, जो दूसरी मात्रा के संगत संख्यात्मक मान से गुणा होती है।

इसके विपरीत, यदि किन्हीं दो चरों के बीच संबंध, जिसे हम निरूपित करते हैं पर और एक्स , फॉर्म के एक सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है वाई = केएक्स , कहाँ पे क इन राशियों के लिए कुछ अचर संख्या होती है, तो ऐसी मात्राएँ समानुपाती होती हैं, क्योंकि इस सूत्र से यह देखा जा सकता है कि मूल्य में वृद्धि (या कमी) के साथ एक्स कुछ अन्य मूल्य पर भी बढ़ता है (या घटता है) और, इसके अलावा, उसी अनुपात में। उदाहरण के लिए, जैसा कि ज्यामिति से जाना जाता है, लंबाई साथ मेंवृत्त त्रिज्या आरसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:

सी = 6.28आर (सी = 2πR),

जिसमें आरऔर सी-चर, और 6,28 - निरंतर संख्या; तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या के समानुपाती होती है।

ऐसे सूत्रों में कारक के रूप में शामिल एक अचर संख्या कहलाती है आनुपातिकता का गुणांकवे चर जिनके लिए सूत्र संदर्भित करता है।

104. उलटा अनुपात।कभी-कभी ऐसा होता है कि दो चर एक-दूसरे पर निर्भर करते हैं ताकि उनमें से एक की वृद्धि के साथ दूसरा घट जाए और इसके अलावा, उसी अनुपात में घट जाए जिसमें पहला बढ़ता है। ऐसी मात्राओं को कहा जाता है विपरीत समानुपाती(और मात्राएँ जो केवल आनुपातिक होती हैं उन्हें कभी-कभी सीधे आनुपातिक कहा जाता है)। उदाहरण के लिए, घंटों की संख्या जिसके दौरान एक रेलवे ट्रेन मास्को से लेनिनग्राद तक यात्रा करती है, इस ट्रेन की औसत गति के व्युत्क्रमानुपाती होती है, क्योंकि गति में 1 1/2 गुना, 2 गुना की वृद्धि के साथ ... , सामान्य तौर पर, कुछ अनुपात में, घंटों की संख्या जिसके दौरान ट्रेन मास्को से लेनिनग्राद की दूरी को कवर करेगी, 1 1/2 गुना, 2 गुना कम हो जाएगी ..., सामान्य तौर पर, उसी अनुपात में जिसमें गति में वृद्धि हुई। इसी तरह, एक वस्तु का वजन जिसे एक निश्चित राशि से खरीदा जा सकता है, उदाहरण के लिए, 100 रूबल के लिए, इस वस्तु के एक किलोग्राम की कीमत के व्युत्क्रमानुपाती होता है; जिस समय के दौरान कार्यकर्ता उन्हें सौंपे गए कार्य को करते हैं, वह इन श्रमिकों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है (बेशक, बशर्ते कि सभी कार्यकर्ता समान रूप से सफलतापूर्वक काम करें); किसी भिन्न का मान उसके हर (स्थिर अंश के साथ) आदि के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

टिप्पणी। आनुपातिक (प्रत्यक्ष या विपरीत) होने के लिए दो मात्राओं के लिए, केवल यह संकेत होना पर्याप्त नहीं है कि एक मात्रा में वृद्धि के साथ दूसरा भी बढ़ता है (प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए), या यह कि वृद्धि के साथ एक मात्रा में दूसरी घट जाती है (प्रतिलोम आनुपातिकता के लिए)। उदाहरण के लिए, यदि कोई पद बढ़ता है, तो योग भी बढ़ता है; लेकिन यह कहना गलत होगा कि योग पद के समानुपाती होता है, क्योंकि यदि हम पद को बढ़ाते हैं, तो इसे 3 गुना करते हैं, फिर योग, हालांकि यह बढ़ेगा, लेकिन 3 गुना नहीं। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यह कहना असंभव है कि अंतर सबट्रेंड के व्युत्क्रमानुपाती है, क्योंकि अगर सबट्रेंड बढ़ता है, तो हम इसे 2 गुना बढ़ा दें, फिर अंतर, हालांकि यह घटता है, लेकिन 2 गुना नहीं। यह आवश्यक है कि दोनों मानों की वृद्धि या कमी समान संख्या में (समान अनुपात में) हो।

105. सूत्र द्वारा प्रतिलोम समानुपाती का व्यंजक।मान लीजिए हम एक समस्या का समाधान कर रहे हैं: एक कार्यकर्ता 12 दिनों में किसी काम को कर सकता है; वे उसी काम को कितने दिनों में करेंगे ए कर्मी?

वांछित संख्या को अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स और डेटा और समस्या के प्रश्न को स्पष्टता के लिए व्यवस्थित करें:

1 कार्यकर्ता 12 दिनों में काम करता है

ए कार्यकर्ता प्रदर्शन करते हैं एक्स दिन।

जाहिर है, एक ही काम को करने के लिए जितने दिनों की आवश्यकता होती है, वह श्रमिकों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए ( एक्स 12 से कम और जितनी बार होनी चाहिए ए 1 से बड़ा (दूसरे शब्दों में, कौन सा समय 1 से कम है ए ) तो रिश्ता एक्स :12 अनुपात नहीं के बराबर होना चाहिए ए:1, जैसा कि यह एक प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध के साथ होगा, और प्रतिलोम अनुपात 1 है: ए . तो हम अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स :12 = 1: ए

एक्स = 12 / ए .

इस सूत्र से हम दिनों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं एक्स इस कार्य के निष्पादन के लिए आवश्यक, किसी भी संख्या के लिए ए कर्मी; उदाहरण के लिए, 2 कर्मचारी 12/2 दिनों में काम पूरा करेंगे, 3 कर्मचारी 12/3 दिनों में काम करेंगे, आदि। इसलिए, संख्याएँ एक्स और ए इस सूत्र में चर हैं, और संख्या 12 स्थिर है, जिसका अर्थ है कि एक कार्यकर्ता कितने दिनों में काम करता है।

अभी-अभी हल की गई समस्याओं से, हम देख सकते हैं कि यदि कोई दो राशियाँ (जिन्हें हम अक्षरों x और y द्वारा निरूपित करेंगे) व्युत्क्रमानुपाती हैं, तो उनमें से एक का संख्यात्मक मान कुछ स्थिर संख्या के बराबर है (आइए हम इसे k दर्शाते हैं) अन्य मात्रा के संगत मान से विभाजित , अर्थात। वाई = क / एक्स , अगर पर और एक्स इन राशियों के संगत मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सूत्र के बाद से वाई = क / एक्स इस तरह प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: xy = k , तो व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं के बीच संबंध को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: यदि दो मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती हैं, तो इन राशियों के दो संगत संख्यात्मक मानों का गुणनफल एक अचर संख्या के बराबर होता है।

इसके विपरीत, यदि दो चरों के बीच संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

वाई = क / एक्स या xy = k .

कहाँ पे क एक स्थिर संख्या है, तो ये मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती होती हैं, क्योंकि यह सूत्र से देखा जा सकता है कि यदि मात्रा एक्स कई गुना बढ़ जाता है तो पर उतनी ही मात्रा में घट जाती है।

उदाहरण के लिए, यह भौतिकी से ज्ञात है कि एक स्थिर तापमान पर, गैस के दिए गए द्रव्यमान के आयतन V का गुणनफल और इसकी लोच h एक स्थिर मान होता है; इसका, दूसरे शब्दों में, इसका अर्थ है कि गैस के किसी दिए गए द्रव्यमान की लोच उसके आयतन (उसी तापमान पर) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

टिप्पणी। समानता वाई = क / एक्स इस तरह अलग लिखा जा सकता है:

वाई = के 1 / एक्स

इस रूप में, यह व्यक्त करता है कि मात्रा पर अंश के सीधे आनुपातिक 1 / एक्स . तो अगर संख्या पर संख्या के व्युत्क्रमानुपाती एक्स , तो कोई यह भी कह सकता है कि संख्या पर संख्या के व्युत्क्रम के सीधे आनुपातिक एक्स , अर्थात। 1 / एक्स .

बीजगणित में जिन विभिन्न अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी का योग एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपद के मानक रूप के सदस्यों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे लगते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक (सिर्फ!) सामान्य संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक में) के लिए सरल बना देंगे।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - तुम पूछो।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, अलग-अलग अक्षर अलग-अलग वस्तुओं को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

भावों को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं संक्षेप में एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- मतलब है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए, यह निर्धारित करने का एक आसान तरीका याद रखें कि कोई व्यंजक गुणनखंडित है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम रूप से किया जाने वाला अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

साधारण अंशों का जोड़ और घटाव एक प्रसिद्ध ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित अंशों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

क) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हों, ला सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य कारकों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य गुणनखंडों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि एक भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन प्राप्त करने के लिए आपको गुणा करने की क्या आवश्यकता है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - भी। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

इसलिए, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे साधारण कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

फेसला:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

बढ़िया! फिर:

एक और उदाहरण:

फेसला:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं होता है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

ए योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हर में अधिकतम गुणनखंड समान हों:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

अंकीय व्यंजक की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय बीजगणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है, अर्थात् पिछले भाग में वर्णित संक्रियाएँ: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

यही बात है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास अब समान भाजक हैं, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणक कम किए जा सकते हैं!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
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• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
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