सबसे पहले, आइए याद करें कि वेक्टर उत्पाद क्या है।

टिप्पणी 1

वेक्टर कला$\vec(a)$ और $\vec(b)$ के लिए $\vec(c)$ है, जो कुछ तीसरा वेक्टर $\vec(c)= ||$ है, और इस वेक्टर में विशेष गुण हैं:

• परिणामी वेक्टर का अदिश $|\vec(a)|$ और $|\vec(b)|$ कोण की ज्या का $\vec(c)= ||= |\vec(a) का गुणनफल है )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• सभी $\vec(a), \vec(b)$ और $\vec(c)$ एक सही ट्रिपल बनाते हैं;
• परिणामी वेक्टर $\vec(a)$ और $\vec(b)$ के लिए ओर्थोगोनल है।

यदि वैक्टर ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ और $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$) के लिए कुछ निर्देशांक हैं, तो उनके वेक्टर उत्पाद में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

इस सूत्र को याद रखने का सबसे आसान तरीका यह है कि इसे एक सारणिक के रूप में लिखा जाए:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$।

यह सूत्र उपयोग करने के लिए काफी सुविधाजनक है, लेकिन इसका उपयोग करने के तरीके को समझने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स और उनके निर्धारकों के विषय से खुद को परिचित करना होगा।

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र, जिसकी भुजाओं को दो सदिश $\vec(a)$ और $vec(b)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, के बराबर है दिए गए दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के स्केलर तक।

यह अनुपात निकालना काफी आसान है।

एक साधारण समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र को याद करें, जिसे इसके खंडों $a$ और $b$ द्वारा चित्रित किया जा सकता है:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

इस मामले में, पक्षों की लंबाई वैक्टर $\vec(a)$ और $\vec(b)$ के अदिश मानों के बराबर होती है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है, अर्थात का स्केलर इन वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद विचाराधीन आकृति का क्षेत्रफल होगा।

उदाहरण 1

दिए गए वैक्टर $\vec(c)$ निर्देशांक $\(5;3; 7\)$ के साथ और एक वेक्टर $\vec(g)$ निर्देशांक $\(3; 7;10 \)$ के साथ कार्टेशियन निर्देशांक में। $\vec(c)$ और $\vec(g)$ द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला:

इन वैक्टर के लिए वेक्टर उत्पाद खोजें:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 और 7 \\ 7 और 10 \\ \end(सरणी) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 और 7 \\ 3 और 10 \\ \end(सरणी) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$।

अब परिणामी दिशात्मक खंड के लिए मॉड्यूलर मान ज्ञात करें, यह निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का मान है:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) 43.34$।

तर्क की यह पंक्ति न केवल 3-आयामी अंतरिक्ष में क्षेत्र को खोजने के लिए मान्य है, बल्कि दो-आयामी एक के लिए भी मान्य है। इस विषय पर अगला प्रश्न देखें।

उदाहरण 2

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करें यदि इसके उत्पन्न खंड वैक्टर $\vec(m)$ द्वारा निर्देशांक $\(2; 3\)$ और $\vec(d)$ निर्देशांक $\(-5; 6\)$.

फेसला:

यह समस्या ऊपर हल की गई समस्या 1 का एक विशेष उदाहरण है, लेकिन दोनों वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि तीसरा निर्देशांक, $z$, शून्य के रूप में लिया जा सकता है।

उपरोक्त योग करने के लिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$।

उदाहरण 3

दिए गए सदिश $\vec(a) = 3i - j + k; \vec(b)=5i$. उनके द्वारा बनाए गए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

आइए इकाई वैक्टर के लिए दी गई तालिका के अनुसार सरल करें:

चित्र 1. आधार के रूप में एक सदिश का अपघटन। लेखक24 - छात्र पत्रों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$।

गणना समय:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$।

पिछली समस्याएं वैक्टर के बारे में थीं जिनके निर्देशांक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं, लेकिन इस मामले पर भी विचार करें यदि आधार वैक्टर के बीच का कोण $90°$ से भिन्न हो:

उदाहरण 4

वेक्टर $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, $\vec(a)$ और $\vec(b)$ की लंबाई एक दूसरे के बराबर हैं और एक के बराबर है, और $\vec(a)$ और $\vec(b)$ के बीच का कोण 45° है।

फेसला:

आइए वेक्टर उत्पाद $\vec(d) \times \vec(f)$ की गणना करें:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $।

वेक्टर उत्पादों के लिए, उनके गुणों के अनुसार, निम्नलिखित सत्य है: $$ और $$ शून्य के बराबर हैं, $ = - $।

आइए इसे सरल बनाने के लिए उपयोग करें:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$।

आइए अब सूत्र का प्रयोग करें $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$।

सदिशों पर बने एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच स्थित कोण के कोण के गुणनफल के बराबर होता है।

यह अच्छा है जब शर्तों के अनुसार इन्हीं वैक्टरों की लंबाई दी जाती है। हालांकि, ऐसा भी होता है कि निर्देशांक पर गणना के बाद ही वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र लागू करना संभव है।
यदि आप भाग्यशाली हैं, और वैक्टर की लंबाई शर्तों के अनुसार दी गई है, तो आपको केवल उस सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है, जिसका हमने पहले ही लेख में विस्तार से विश्लेषण किया है। क्षेत्र मॉड्यूल के उत्पाद और उनके बीच के कोण की साइन के बराबर होगा:

वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

काम:समांतर चतुर्भुज वैक्टर और पर बनाया गया है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि , और उनके बीच का कोण 30° है।
आइए वैक्टर को उनके मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त करें:

शायद आपके मन में एक सवाल है - शून्य कहाँ से आया? यह याद रखने योग्य है कि हम वैक्टर के साथ काम कर रहे हैं, और उनके लिए . यह भी ध्यान दें कि यदि हमें परिणाम के रूप में एक अभिव्यक्ति मिलती है, तो इसे परिवर्तित कर दिया जाएगा। अब अंतिम गणना करते हैं:

आइए समस्या पर वापस आते हैं जब शर्तों में वैक्टर की लंबाई निर्दिष्ट नहीं होती है। यदि आपका समांतर चतुर्भुज कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में स्थित है, तो आपको निम्न कार्य करने की आवश्यकता है।

निर्देशांक द्वारा दी गई आकृति की भुजाओं की लंबाई की गणना

आरंभ करने के लिए, हम वैक्टर के निर्देशांक ढूंढते हैं और अंत निर्देशांक से संबंधित प्रारंभ निर्देशांक घटाते हैं। आइए वेक्टर a (x1;y1;z1), और वेक्टर b (x3;y3;z3) के निर्देशांक मान लें।
अब हम प्रत्येक वेक्टर की लंबाई पाते हैं। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक निर्देशांक को चुकता किया जाना चाहिए, फिर परिणाम जोड़ें और एक सीमित संख्या से रूट निकालें। हमारे वैक्टर के अनुसार, निम्नलिखित गणना की जाएगी:


अब हमें अपने वैक्टर के डॉट उत्पाद को खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, उनके संबंधित निर्देशांक गुणा और जोड़े जाते हैं।

सदिशों की लंबाई और उनके अदिश गुणनफल को देखते हुए, हम उनके बीच स्थित कोण की कोज्या ज्ञात कर सकते हैं .
अब हम उसी कोण की ज्या ज्ञात कर सकते हैं:
अब हमारे पास सभी आवश्यक मात्राएँ हैं, और हम पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करके सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

इस पाठ में, हम सदिशों के साथ दो और संक्रियाओं को देखेंगे: वैक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). कोई बात नहीं, कई बार ऐसा भी होता है कि पूर्ण सुख के लिए, इसके अलावा वैक्टर का डॉट उत्पाद , अधिक से अधिक की जरूरत है। ऐसी है वेक्टर लत। किसी को यह आभास हो सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में प्रवेश कर रहे हैं। यह सच नहीं है। उच्च गणित के इस खंड में, आमतौर पर बहुत कम जलाऊ लकड़ी होती है, सिवाय शायद पिनोच्चियो के लिए पर्याप्त। वास्तव में, सामग्री बहुत ही सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक कठिन अदिश उत्पाद , यहां तक ​​कि कम विशिष्ट कार्य भी होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग देखेंगे या पहले ही देख चुके हैं, गणना में गलती नहीं है। मंत्र की तरह दोहराएं, और आप खुश होंगे =)

यदि वेक्टर कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरू करें डमी के लिए वेक्टर वैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को बहाल करने या पुनः प्राप्त करने के लिए। अधिक तैयार पाठक जानकारी से चुनिंदा रूप से परिचित हो सकते हैं, मैंने उदाहरणों का सबसे पूरा संग्रह एकत्र करने की कोशिश की जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं

आपको क्या खुशी देगा? जब मैं छोटा था, तो मैं दो या तीन गेंदों को भी जोड़ सकता था। इसने अच्छा काम किया। अब हथकंडा लगाने की बिल्कुल भी जरूरत नहीं है, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल अंतरिक्ष वैक्टर, और दो निर्देशांक वाले समतल सदिशों को छोड़ दिया जाएगा। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वैक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। पहले से आसान!

इस ऑपरेशन में, उसी तरह जैसे अदिश उत्पाद में, दो वैक्टर. अविनाशी अक्षर हो।

कार्रवाई ही लक्षितइस अनुसार: । अन्य विकल्प हैं, लेकिन मैं इस तरह से वैक्टर के क्रॉस उत्पाद को एक क्रॉस के साथ वर्ग कोष्ठक में नामित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

और तुरंत प्रश्न: मैं फ़िन वैक्टर का डॉट उत्पाद दो वैक्टर शामिल हैं, और यहां दो वैक्टर भी गुणा किए जाते हैं, फिर क्या अंतर है? एक स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में:

वैक्टर के अदिश उत्पाद का परिणाम एक NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक वेक्टर है: यानी हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब। दरअसल, इसलिए ऑपरेशन का नाम। विभिन्न शैक्षिक साहित्य में, पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले तस्वीर के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणी।

परिभाषा: अन्योन्य गुणन गैर समरेखवैक्टर, इस क्रम में लिया, वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टर पर निर्मित; वेक्टर ओर्थोगोनल से सदिश, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

हम हड्डियों द्वारा परिभाषा का विश्लेषण करते हैं, बहुत सी दिलचस्प बातें हैं!

तो, हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाल सकते हैं:

1) स्रोत सदिश , परिभाषा के अनुसार लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है समरेखीय नहीं. संरेखीय सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) वेक्टर लिया सख्त क्रम में: – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, "बी" से "ए" नहीं। वेक्टर गुणन का परिणामवेक्टर है, जिसे नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि वैक्टर को उल्टे क्रम में गुणा किया जाता है, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (क्रिमसन रंग) एक वेक्टर मिलता है। यानी समानता .

3) अब सदिश उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है। आकृति में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग में छायांकित है।

टिप्पणी : ड्राइंग योजनाबद्ध है, और निश्चित रूप से, क्रॉस उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करते हैं: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, पूर्वगामी के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र में हम वेक्टर की लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और अर्थ यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अक्सर वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

हमें दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र मिलता है। समांतर चतुर्भुज (लाल बिंदीदार रेखा) का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, वैक्टर (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

4) एक समान रूप से महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि सदिश, सदिशों के लिए लंबकोणीय है, अर्थात् . बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (क्रिमसन तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ओर्थोगोनल है।

5) सदिश को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है कि आधार यह है सहीअभिविन्यास। . के बारे में एक पाठ में एक नए आधार पर संक्रमण मैंने के बारे में विस्तार से बात की है विमान अभिविन्यास, और अब हम यह पता लगाएंगे कि अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दायाँ हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन तर्जनी अंगुलीवेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ। अनामिका और छोटी उंगलीअपनी हथेली में दबाएं। नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह सही-उन्मुख आधार है (यह चित्र में है)। अब वैक्टर को स्वैप करें ( तर्जनी और मध्यमा उँगलियाँ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप, अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी एक सही-उन्मुख आधार है। शायद आपके पास एक प्रश्न है: किस आधार पर वामपंथी अभिविन्यास है? एक ही उँगलियों को "असाइन" करें बायां हाथवैक्टर , और लेफ्ट बेस और लेफ्ट स्पेस ओरिएंटेशन प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, ये आधार अलग-अलग दिशाओं में "मोड़" या उन्मुख स्थान हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, सबसे साधारण दर्पण अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदलता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दर्पण से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य तौर पर यह संभव नहीं होगा इसे "मूल" के साथ मिलाएं। वैसे, तीन अंगुलियों को आईने में लाएं और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

... यह कितना अच्छा है कि अब आप इसके बारे में जानते हैं दाएं और बाएं उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास के परिवर्तन के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान भयानक हैं =)

संरेखीय सदिशों के सदिश गुणनफल

परिभाषा पर विस्तार से काम किया गया है, यह पता लगाना बाकी है कि जब सदिश संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश समरेखीय हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "फोल्ड" होता है। ऐसे का क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य है। सूत्र से भी यही होता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तो और . कृपया ध्यान दें कि क्रॉस उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

एक विशेष मामला एक वेक्टर और स्वयं का वेक्टर उत्पाद है:

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की समरूपता की जांच कर सकते हैं, और हम इस समस्या का विश्लेषण भी करेंगे।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने के लिए, यह आवश्यक हो सकता है त्रिकोणमितीय तालिका उसमें से ज्याओं का मान ज्ञात करना।

अच्छा, चलो आग लगाते हैं:

उदाहरण 1

a) सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि

ख) सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

फेसला: नहीं, यह टाइपो नहीं है, मैंने जानबूझकर कंडीशन आइटम्स में प्रारंभिक डेटा को समान बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है लंबाईवेक्टर (वेक्टर उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

जवाब:

चूंकि यह लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो जवाब में हम आयाम - इकाइयों को इंगित करते हैं।

बी) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है वर्गवैक्टर पर बनाया गया समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से क्रॉस उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

जवाब:

कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद के उत्तर में कोई बात नहीं है, हमसे पूछा गया था आंकड़ा क्षेत्र, क्रमशः, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा देखते हैं कि शर्त के अनुसार क्या पाया जाना चाहिए, और इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टजवाब। यह शाब्दिकता की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच पर्याप्त साहित्यकार हैं, और अच्छे अवसरों वाले कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाएगा। यद्यपि यह विशेष रूप से तनावपूर्ण नाइटपिक नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो व्यक्ति को यह आभास होता है कि व्यक्ति साधारण चीजों को नहीं समझता है और / या कार्य का सार नहीं समझा है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते हुए इस क्षण को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, यह अतिरिक्त रूप से समाधान से जुड़ा हो सकता है, लेकिन रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे उम्मीद है कि हर कोई इसे समझता है और एक ही चीज़ का पदनाम है।

स्वयं करें समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा के लिए टिप्पणियों में दिया गया है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

व्यवहार में, कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिभुजों को आम तौर पर प्रताड़ित किया जा सकता है।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, हमें चाहिए:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के गुण

हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालांकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूंगा।

मनमाना वैक्टर और एक मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, यह आइटम आमतौर पर गुणों में प्रतिष्ठित नहीं होता है, लेकिन व्यावहारिक रूप से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।

2) - संपत्ति की भी ऊपर चर्चा की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है प्रतिकम्यूटेटिविटी. दूसरे शब्दों में, वैक्टर का क्रम मायने रखता है।

3) - संयोजन या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून। स्थिरांक आसानी से वेक्टर उत्पाद की सीमा से बाहर हो जाते हैं। सच में, वे वहाँ क्या कर रहे हैं?

4) - वितरण या वितरणवेक्टर उत्पाद कानून। ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

एक प्रदर्शन के रूप में, एक संक्षिप्त उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3

खोजें अगर

फेसला:शर्त के अनुसार, फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। आइए हमारे लघु को पेंट करें:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम सदिश उत्पाद की सीमा से परे स्थिरांक निकालते हैं।

(2) हम मॉड्यूल से स्थिरांक निकालते हैं, जबकि मॉड्यूल माइनस साइन को "खाता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(3) आगे क्या स्पष्ट है।

जवाब:

लकड़ी को आग में फेंकने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

सदिशों पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें यदि

फेसला: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें . रोड़ा यह है कि वैक्टर "सीई" और "ते" स्वयं वैक्टर के योग के रूप में दर्शाए जाते हैं। यहां एल्गोरिदम मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है। वैक्टर का डॉट उत्पाद . आइए इसे स्पष्टता के लिए तीन चरणों में विभाजित करें:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद के माध्यम से वेक्टर उत्पाद को व्यक्त करते हैं, वास्तव में, वेक्टर को वेक्टर के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) हम सदिशों के व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए, बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठकों को खोलिए।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम वेक्टर उत्पादों से परे सभी स्थिरांक निकालते हैं। थोड़े अनुभव के साथ, क्रिया 2 और 3 को एक साथ किया जा सकता है।

(4) सुखद गुण के कारण प्रथम और अंतिम पद शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे कार्यकाल में, हम वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

नतीजतन, वेक्टर एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे हासिल करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें उस सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है जिसकी हमें आवश्यकता होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है।

जवाब:

परीक्षण में माना गया समस्या काफी आम है, यहां एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

खोजें अगर

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

, ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

सूत्र वास्तव में सरल है: हम निर्धारक की शीर्ष पंक्ति में निर्देशांक वैक्टर लिखते हैं, हम दूसरी और तीसरी पंक्तियों में वैक्टर के निर्देशांक को "पैक" करते हैं, और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले, वेक्टर "ve" के निर्देशांक, फिर वेक्टर "डबल-वे" के निर्देशांक। यदि वैक्टर को एक अलग क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो लाइनों को भी बदल दिया जाना चाहिए:

उदाहरण 10

जाँच करें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

फेसला: परीक्षण इस पाठ में दिए गए कथनों में से एक पर आधारित है: यदि सदिश संरेख हैं, तो उनका क्रॉस उत्पाद शून्य (शून्य वेक्टर) है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

अतः सदिश संरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

जवाब: ए) समरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के बारे में सभी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ काम करने वाले फ़ार्मुलों पर टिका होगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीन सदिशों का गुणनफल होता है:

इस तरह वे एक ट्रेन की तरह लाइन में खड़े होते हैं और प्रतीक्षा करते हैं, वे तब तक इंतजार नहीं कर सकते जब तक उनकी गणना नहीं हो जाती।

पहले फिर से परिभाषा और तस्वीर:

परिभाषा: मिश्रित उत्पाद गैर समतलीयवैक्टर, इस क्रम में लिया, कहा जाता है समानांतर चतुर्भुज का आयतन, इन वैक्टरों पर बनाया गया है, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार छोड़ दिया गया है तो "-" चिह्न।

चलो ड्राइंग करते हैं। हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ एक बिंदीदार रेखा द्वारा खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में गोता लगाएँ:

2) वेक्टर लिया एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टर का क्रमपरिवर्तन, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणाम के बिना नहीं जाता है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: वैक्टर का मिश्रित उत्पाद एक NUMBER . है: . शैक्षिक साहित्य में, डिजाइन कुछ अलग हो सकता है, मैं एक मिश्रित उत्पाद को नामित करता था, और "पे" अक्षर के साथ गणना का परिणाम।

ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समानांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या दी गई समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : ड्राइंग योजनाबद्ध है।

4) आइए आधार और स्थान के उन्मुखीकरण की अवधारणा के साथ फिर से परेशान न हों। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित उत्पाद ऋणात्मक हो सकता है: .

वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने का सूत्र सीधे परिभाषा से आता है।