प्रश्न 1. समांतर रेखाओं की परिभाषा दीजिए। किन दो रेखाखंडों को समानांतर कहा जाता है? लेखक द्वारा दिया गया साशा निज़ेव्यासोवसबसे अच्छा उत्तर है जो विमान पर कभी नहीं काटेगा

उत्तर से अनुकूलन क्षमता[गुरु]
समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और या तो संपाती होती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

उत्तर से नोमेंको[गुरु]
खंड। समानांतर रेखाओं से संबंधित। समानांतर हैं।
समतल पर सीधी रेखाएँ कहलाती हैं। समानांतर। यदि वे प्रतिच्छेद या संपाती नहीं करते हैं।

उत्तर से न्यूरोलॉजिस्ट[नौसिखिया]
दो रेखाएँ जो एक ही तल में होती हैं और जिनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है, समानांतर कहलाती हैं।

उत्तर से फेंकना[गुरुजी]

उत्तर से वरवरा लमेकिना[नौसिखिया]
एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे प्रतिच्छेद न करें)

उत्तर से मैक्सिम इवानोव्स[नौसिखिया]
जो प्लेन पर नहीं काटते।

उत्तर से सेम2805[सक्रिय]
एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं (ग्रेड 7)

उत्तर से साशा क्लाइयुचनिकोव[नौसिखिया]
यूक्लिडियन ज्यामिति में समानांतर रेखाएँ, वे रेखाएँ जो एक ही तल में होती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। निरपेक्ष ज्यामिति में, किसी ऐसे बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, कम से कम एक ऐसी रेखा गुजरती है जो दी गई रेखा को नहीं काटती है। यूक्लिडियन ज्यामिति में ऐसी केवल एक ही रेखा होती है। यह तथ्य यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (समानांतर के बारे में) के समतुल्य है। लोबचेव्स्की ज्यामिति (लोबचेव्स्की ज्यामिति देखें) में दी गई रेखा AB के बाहर बिंदु C (आकृति देखें) के माध्यम से समतल में रेखाओं का एक अनंत सेट होता है जो AB को नहीं काटता है। इनमें से केवल दो को AB के समानांतर कहा जाता है। रेखा CE को A से B की दिशा में रेखा AB के समानांतर कहा जाता है यदि: 1) बिंदु B और E रेखा AC के एक ही तरफ स्थित हैं; 2) रेखा CE रेखा AB को नहीं काटती है; ACE के अंदर से गुजरने वाली कोई भी किरण किरण को काटती है AB. B से A की दिशा में AB के समांतर सीधी रेखा CF को समान रूप से परिभाषित किया गया है।

उत्तर से अनातोली मिशिन[नौसिखिया]
अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें।

उत्तर से एलिया[सक्रिय]
समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं

उत्तर से चरकोव ने कहा[नौसिखिया]
समानांतर दो सीधी रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और इनमें कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।
एक बिंदु के माध्यम से, दिए गए विमान के समानांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है।

उत्तर से ओल्गा नेमट्यरेवा[नौसिखिया]
समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और या तो संपाती होती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। ..लोबाचेव्स्की ज्यामिति) दी गई रेखा AB के बाहर बिंदु C (चित्र देखें) के माध्यम से विमान में एक अनंत रेखाएँ गुजरती हैं जो AB को नहीं काटती हैं। इनमें से केवल दो को AB के समानांतर कहा जाता है।

उत्तर से ओक्साना टिशचेंको[नौसिखिया]
समानांतर रेखाएँ एक समतल में दो रेखाएँ होती हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। दो रेखाखंड समानांतर कहलाते हैं यदि वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हों।

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यह लेख समानांतर रेखाओं और समानांतर रेखाओं के बारे में है। सबसे पहले, समतल और अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा दी गई है, संकेतन पेश किया गया है, समानांतर रेखाओं के उदाहरण और ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। इसके अलावा, सीधी रेखाओं के समांतरता के संकेतों और स्थितियों का विश्लेषण किया जाता है। निष्कर्ष में, सीधी रेखाओं के समानांतरवाद को साबित करने की विशिष्ट समस्याओं के समाधान दिखाए गए हैं, जो एक समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

समानांतर रेखाएँ - बुनियादी जानकारी।

परिभाषा।

समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में स्थित हैं और उनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा में "यदि वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं" खंड बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में नहीं होते हैं, समानांतर नहीं होते हैं, लेकिन तिरछे होते हैं।

यहाँ समानांतर रेखाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। नोटबुक शीट के विपरीत किनारे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। सीधी रेखाएँ जिनके साथ घर की दीवार का तल छत और फर्श के तलों को काटता है, समानांतर हैं। समतल जमीन पर रेल की पटरियों को भी समानांतर रेखा के रूप में माना जा सकता है।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए प्रतीक "" का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो आप संक्षेप में a b लिख सकते हैं।

ध्यान दें कि यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो हम कह सकते हैं कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, और यह भी कि रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान दें जो समतल में समानांतर रेखाओं के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां केवल दी गई रेखा के समानांतर रेखा गुजरती है। इस कथन को एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इसे प्लैनिमेट्री के ज्ञात स्वयंसिद्धों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है), और इसे समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत कहा जाता है।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। समानांतर रेखाओं के उपरोक्त स्वयंसिद्ध का उपयोग करके इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है (आप इसका प्रमाण ज्यामिति पाठ्यपुस्तक 10-11 कक्षा में पा सकते हैं, जो ग्रंथ सूची में लेख के अंत में सूचीबद्ध है)।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। ऊपर दी गई समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का उपयोग करके इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

रेखाओं का समानांतरवाद - समानता के संकेत और शर्तें।

समानांतर रेखाओं का चिन्हसमानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त है, यानी ऐसी स्थिति, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं की गारंटी देती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य को बताने के लिए पर्याप्त है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समतल में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें भी हैं।

आइए हम "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति" वाक्यांश का अर्थ स्पष्ट करें।

हम पहले ही समानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त पर विचार कर चुके हैं। और "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त" क्या है? "आवश्यक" नाम से स्पष्ट है कि रेखाओं के समानांतर होने के लिए इस शर्त की पूर्ति आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, यदि समांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट नहीं होती है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं। इस प्रकार, रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तएक शर्त है, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों है। अर्थात् एक ओर यह समांतर रेखाओं का चिन्ह है तो दूसरी ओर यह एक ऐसा गुण है जो समांतर रेखाओं का होता है।

रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त बताने से पहले, कुछ सहायक परिभाषाओं को याद करना उपयोगी है।

छेदक रेखाएक ऐसी रेखा है जो दी गई दो गैर-संयोग रेखाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती है।

एक छेदक की दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर आठ गैर-तैनात रेखाएँ बनती हैं। कहा गया क्रॉसवर्ड झूठ बोलना, संबंधितऔर एक तरफा कोने. आइए उन्हें ड्राइंग पर दिखाएं।

प्रमेय।

यदि एक समतल पर दो सीधी रेखाओं को एक छेदक द्वारा पार किया जाता है, तो उनकी समांतरता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुप्रस्थ कोण समान हों, या संबंधित कोण समान हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो .

आइए हम समतल में समानांतर रेखाओं के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का एक चित्रमय चित्रण दिखाएं।

आप ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में समानांतर रेखाओं के लिए इन शर्तों के प्रमाण पा सकते हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियों का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में भी किया जा सकता है - मुख्य बात यह है कि दो रेखाएं और छेद एक ही विमान में स्थित हैं।

यहां कुछ और प्रमेय दिए गए हैं जिनका उपयोग अक्सर रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत से मिलता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी ऐसी ही स्थिति है।

प्रमेय।

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण कक्षा 10 में ज्यामिति के पाठों में माना जाता है।

आइए हम स्वरित प्रमेयों का वर्णन करें।

आइए हम एक और प्रमेय दें जो हमें समतल में रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने की अनुमति देता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए एक समान प्रमेय है।

प्रमेय।

यदि त्रिविमीय समष्टि में दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समांतर होती हैं।

आइए हम इन प्रमेयों के अनुरूप चित्र बनाएं।

ऊपर दिए गए सभी प्रमेय, संकेत और आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ज्यामिति के तरीकों से सीधी रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए पूरी तरह उपयुक्त हैं। अर्थात् दो दी गई रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने के लिए यह दिखाना आवश्यक है कि वे तीसरी रेखा के समानांतर हैं, या अनुप्रस्थ कोणों की समानता दिखाने के लिए, आदि। हाई स्कूल में ज्यामिति पाठों में इनमें से कई समस्याओं का समाधान किया जाता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई मामलों में एक विमान में या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए निर्देशांक की विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दी गई रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं का समानांतरवाद।

लेख के इस भाग में, हम तैयार करेंगे समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तेंएक आयताकार समन्वय प्रणाली में, इन रेखाओं को निर्धारित करने वाले समीकरणों के प्रकार के आधार पर, और हम विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान भी देंगे।

आइए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में विमान पर दो रेखाओं के समांतरता की स्थिति से शुरू करें। उनका प्रमाण रेखा के निर्देशन सदिश की परिभाषा और समतल पर रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय।

दो गैर-संयोग रेखाओं के समतल में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेखी हों, या इन रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा का दिशा सदिश अभिलंब के लंबवत हो दूसरी पंक्ति का वेक्टर।

जाहिर है, समतल में दो रेखाओं के समानांतर होने की स्थिति (लाइनों के दिशा सदिश या रेखाओं के सामान्य सदिश) या (एक रेखा की दिशा सदिश और दूसरी पंक्ति के सामान्य वेक्टर) तक कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि और रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तथा और क्रमशः रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो समानांतर रेखाओं a और b के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है , या , या , जहाँ t कुछ वास्तविक संख्या है। बदले में, सीधी रेखाओं a और b के निर्देशन और (या) सामान्य सदिशों के निर्देशांक सीधी रेखाओं के ज्ञात समीकरणों से पाए जाते हैं।

विशेष रूप से, यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a समतल पर ऑक्सी रूप की रेखा के सामान्य समीकरण को परिभाषित करती है , और सीधी रेखा b - , तो इन रेखाओं के अभिलंब सदिशों में निर्देशांक और क्रमशः होते हैं, और रेखाओं a और b की समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाएगा।

यदि सीधी रेखा a, फॉर्म के ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है . इसलिए, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं और ढलान गुणांक वाली सीधी रेखाओं के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और इसके विपरीत: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संयोग वाली सीधी रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a और रेखा b रूप के तल पर रेखा के विहित समीकरणों को परिभाषित करते हैं और , या रूप के समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण और क्रमशः, तो इन रेखाओं के दिशा सदिशों में निर्देशांक होते हैं और , और रेखाओं a और b के लिए समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ समानांतर हैं? और ?

फेसला।

हम एक सीधी रेखा के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में फिर से लिखते हैं: . अब हम देख सकते हैं कि यह सीधी रेखा का सामान्य सदिश है , और सीधी रेखा का सामान्य सदिश है। ये सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या t नहीं है जिसके लिए समानता ( ) नतीजतन, समतल पर रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए, दी गई रेखाएं समानांतर नहीं हैं।

जवाब:

नहीं, रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ और समानताएँ हैं?

फेसला।

हम एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में लाते हैं: . जाहिर है, रेखाओं के समीकरण समान नहीं हैं (इस स्थिति में, दी गई रेखाएँ समान होंगी) और रेखाओं के ढलान समान हैं, इसलिए मूल रेखाएँ समानांतर हैं।

इस लेख में, हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषा देंगे, समानता के संकेतों और शर्तों को निर्दिष्ट करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री की स्पष्टता के लिए, हम दृष्टांतों और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का उपयोग करेंगे।

Yandex.RTB आर-ए-339285-1 परिभाषा 1

समतल में समानांतर रेखाएँसमतल में दो सीधी रेखाएँ हैं जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा 2

3D स्पेस में समानांतर रेखाएं- त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जो एक ही तल में होती हैं और जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए, स्पष्टीकरण "एक ही विमान में झूठ बोलना" अत्यंत महत्वपूर्ण है: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं होते हैं समानांतर, लेकिन प्रतिच्छेदन।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए, प्रतीक का उपयोग करना सामान्य है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो इस शर्त को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a b। मौखिक रूप से, रेखाओं की समांतरता इस प्रकार इंगित की जाती है: रेखाएँ a और b समानांतर हैं, या रेखा a, रेखा b के समानांतर है, या रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान तैयार करें जो अध्ययन के तहत विषय में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होती है। इस कथन को ग्रहमिति के ज्ञात अभिगृहीतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

उस स्थिति में जब अंतरिक्ष की बात आती है, प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 1

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक ही रेखा होगी।

उपरोक्त स्वयंसिद्ध (ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर इस प्रमेय को सिद्ध करना आसान है।

समांतरता का चिन्ह एक पर्याप्त शर्त है जिसके तहत समानांतर रेखाओं की गारंटी होती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, समतल और अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं। आइए समझाएं: आवश्यक का अर्थ है वह शर्त, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक है; यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

संक्षेप में, रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त एक ऐसी स्थिति है, जिसका पालन करना आवश्यक और पर्याप्त है ताकि रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हों। एक ओर, यह समानता का संकेत है, दूसरी ओर, समानांतर रेखाओं में निहित संपत्ति।

आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का एक सटीक सूत्रीकरण देने से पहले, हम कुछ और अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा 3

छेदक रेखाएक ऐसी रेखा है जो दी गई दो गैर-संपाती रेखाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती है।

दो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए छेदक आठ गैर-विस्तारित कोण बनाता है। आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम इस तरह के कोणों का उपयोग करेंगे जैसे कि क्रॉस-लेटिंग, संगत और एकतरफा। आइए उन्हें दृष्टांत में प्रदर्शित करें:

प्रमेय 2

यदि एक समतल पर दो रेखाएँ एक छेदक को काटती हैं, तो दी गई रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि क्रॉसवाइज झूठ कोण समान हों, या संबंधित कोण समान हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 के बराबर हो। डिग्री।

आइए हम समतल पर समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को आलेखीय रूप से स्पष्ट करें:

इन स्थितियों का प्रमाण 7-9 ग्रेड के ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये शर्तें त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए भी लागू होती हैं, बशर्ते कि दो रेखाएं और छेदक एक ही विमान से संबंधित हों।

आइए हम कुछ और प्रमेयों की ओर संकेत करें जिनका उपयोग अक्सर इस तथ्य को साबित करने के लिए किया जाता है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 3

एक तल में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यह विशेषता ऊपर वर्णित समांतरता के स्वयंसिद्ध के आधार पर सिद्ध होती है।

प्रमेय 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

विशेषता के प्रमाण का अध्ययन 10वीं कक्षा के ज्यामिति कार्यक्रम में किया जाता है।

हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण देते हैं:

आइए हम प्रमेयों के एक और युग्म को इंगित करें जो रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 5

एक तल में, एक तिहाई के लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए हम त्रि-विमीय समष्टि के लिए एक समान सूत्र तैयार करें।

प्रमेय 6

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए बताते हैं:

उपरोक्त सभी प्रमेयों, संकेतों और शर्तों से ज्यामिति की विधियों द्वारा रेखाओं की समांतरता को आसानी से सिद्ध करना संभव हो जाता है। अर्थात्, रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संगत कोण बराबर हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित कर सकते हैं कि दो दी गई रेखाएँ तीसरे के लंबवत हैं, और इसी तरह आगे भी। लेकिन हम ध्यान दें कि समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानांतरता को साबित करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं का समांतरता

किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा को एक संभावित प्रकार के समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दी गई एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए, दी गई रेखाओं का वर्णन करने वाले समीकरण के प्रकार के आधार पर, एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को लिखें।

आइए समतल में समानांतर रेखाओं की स्थिति से शुरू करें। यह रेखा के दिशा सदिश और समतल में रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय 7

दो गैर-संयोग रेखाओं के समतल पर समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दी गई रेखाओं के दिशा सदिश संरेखी हों, या दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा का दिशा सदिश है दूसरी रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत।

यह स्पष्ट हो जाता है कि समतल पर समांतर रेखाओं की स्थिति संरेखी सदिशों की स्थिति या दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति पर आधारित होती है। अर्थात्, यदि a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं;

और n b → = (n b x , n b y) रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो हम उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त शर्त इस प्रकार लिखते हैं: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y या n a → = t n b → n a x = t n b x n a y = t n b y या a → , n b → = 0 a x n b x + a y n b y = 0 , जहां t कुछ वास्तविक संख्या है। निर्देशन या प्रत्यक्ष सदिशों के निर्देशांक रेखाओं के दिए गए समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए मुख्य उदाहरणों पर विचार करें।

1. एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में रेखा a को रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; लाइन बी - ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0। तब दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (A 1, B 1) और (A 2 , B 2) होंगे। हम समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 = टी ए 2 बी 1 = टी बी 2

1. सीधी रेखा a को y = k 1 x + b 1 के रूप की ढलान वाली एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। सीधी रेखा b - y \u003d k 2 x + b 2. तब दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (k 1 , - 1) और (k 2 , - 1) होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

के 1 = टी के 2 - 1 = टी (- 1) के 1 = टी के 2 टी = 1 के 1 = के 2

इस प्रकार, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर समानांतर रेखाएँ ढलान गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, तो दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और विलोम कथन सत्य है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएँ a और b समतल पर रेखा के विहित समीकरणों द्वारा दी जाती हैं: x - x 1 a x = y - y 1 a y और x - x 2 b x = y - y 2 b y या पैरामीट्रिक समीकरण समतल पर रेखा का: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y और x = x 2 + b x y = y 2 + b y ।

तब दी गई रेखाओं के दिशा सदिश होंगे: a x , a y और b x , b y क्रमशः, और हम समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो पंक्तियाँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 = 0 और x 1 2 + y 5 = 1। आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या वे समानांतर हैं।

फेसला

हम एक सामान्य समीकरण के रूप में एक सीधी रेखा के समीकरण को खंडों में लिखते हैं:

x 1 2 + y 5 = 1 2 x + 1 5 y - 1 = 0

हम देखते हैं कि n a → = (2 , - 3) रेखा 2 x - 3 y + 1 = 0 का प्रसामान्य सदिश है और n b → = 2 , 1 5 रेखा x 1 2 + y 5 का प्रसामान्य सदिश है। = 1।

परिणामी सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि t का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए समानता सत्य होगी:

2 = टी 2 - 3 = टी 1 5 टी = 1 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = 1 5

इस प्रकार, समतल पर रेखाओं की समांतरता की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

जवाब:दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण 2

दी गई रेखाएँ y = 2 x + 1 और x 1 = y - 4 2। क्या वे समानांतर हैं?

फेसला

आइए सीधी रेखा x 1 \u003d y - 4 2 के विहित समीकरण को ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलें:

x 1 = y - 4 2 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

हम देखते हैं कि रेखाओं y = 2 x + 1 और y = 2 x + 4 के समीकरण समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा होता, तो रेखाएँ समान होती) और रेखाओं के ढलान समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

आइए समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, हम जांचते हैं कि दी गई रेखाएं मेल खाती हैं या नहीं। हम रेखा y \u003d 2 x + 1 के किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1) , इस बिंदु के निर्देशांक रेखा x 1 \u003d y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं मेल नहीं खातीं।

अगला कदम दी गई रेखाओं के लिए समांतरता शर्त की पूर्ति का निर्धारण करना है।

रेखा y = 2 x + 1 का सामान्य सदिश सदिश n a → = (2 , - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा की दिशा सदिश b → = (1 , 2) है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है:

एन ए →, बी → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

इस प्रकार, सदिश लंबवत हैं: यह हमें मूल रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति की पूर्ति को प्रदर्शित करता है। वे। दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

जवाब:ये रेखाएँ समानांतर हैं।

त्रिविमीय समष्टि के आयताकार निर्देशांक तंत्र में रेखाओं की समांतरता सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त का प्रयोग किया जाता है।

प्रमेय 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संयोग रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों।

वे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के दिए गए समीकरणों के लिए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दी गई रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के साथ-साथ उनकी संरेखता की स्थिति की जांच करके पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) क्रमशः रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तो उनके समानांतर होने के क्रम में, अस्तित्व ऐसी वास्तविक संख्या t आवश्यक है, ताकि समानता बनी रहे:

a → = t b → a x = t b x a y = t b y a z = t b z

उदाहरण 3

दी गई रेखाएँ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 और x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 । इन पंक्तियों की समानता को सिद्ध करना आवश्यक है।

फेसला

समस्या की शर्तें अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण और अंतरिक्ष में दूसरी सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। दिशा वैक्टर ए → और b → दी गई रेखाओं में निर्देशांक होते हैं: (1 , 0 , - 3) और (2 , 0 , - 6) ।

1 = टी 2 0 = टी 0 - 3 = टी - 6 ⇔ टी = 1 2, फिर ए → = 1 2 बी →।

इसलिए, अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट है।

जवाब:दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

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