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1. समांतर चतुर्भुज
यौगिक शब्द "समांतर चतुर्भुज"? और इसके पीछे एक बहुत ही सिंपल फिगर है।
खैर, यानी हमने दो समानांतर रेखाएँ लीं:
दो और से पार:
और अंदर - एक समांतर चतुर्भुज!
समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?
समांतर चतुर्भुज गुण।
अर्थात् यदि समस्या में एक समांतर चतुर्भुज दिया जाए तो क्या उपयोग किया जा सकता है?
इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है:
आइए सब कुछ विस्तार से ड्रा करें।
क्या करता है प्रमेय का पहला बिंदु? और तथ्य यह है कि यदि आपके पास समांतर चतुर्भुज है, तो हर तरह से
दूसरे पैराग्राफ का अर्थ है कि यदि कोई समांतर चतुर्भुज है, तो, फिर से, हर तरह से:
ठीक है, और अंत में, तीसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि आपके पास समांतर चतुर्भुज है, तो सुनिश्चित करें:
देखें कि पसंद का धन क्या है? कार्य में क्या उपयोग करें? कार्य के प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करने का प्रयास करें, या बदले में सब कुछ करने का प्रयास करें - किसी प्रकार की "कुंजी" करेगी।
और अब आइए खुद से एक और सवाल पूछें: "चेहरे में" समांतर चतुर्भुज को कैसे पहचानें? एक चतुर्भुज का क्या होना चाहिए ताकि हम उसे समांतर चतुर्भुज का "शीर्षक" देने का अधिकार प्राप्त कर सकें?
इस प्रश्न का उत्तर समांतर चतुर्भुज के कई संकेतों द्वारा दिया गया है।
समांतर चतुर्भुज की विशेषताएं।
ध्यान! शुरू करना।
समांतर चतुर्भुज।
ध्यान दें: यदि आपने अपनी समस्या में कम से कम एक चिन्ह पाया है, तो आपके पास बिल्कुल समांतर चतुर्भुज है, और आप समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
2. आयत
मुझे नहीं लगता कि यह आपके लिए बिल्कुल भी खबर होगी।
पहला प्रश्न है: क्या एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है?
निश्चित रूप से यह है! आखिर उसके पास है - याद है, हमारा साइन 3?
और यहाँ से, निश्चित रूप से, यह इस प्रकार है कि एक आयत के लिए, जैसे कि किसी भी समांतर चतुर्भुज के लिए, और, और विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
लेकिन एक आयत और एक विशिष्ट गुण है।
आयत संपत्ति
यह संपत्ति विशिष्ट क्यों है? क्योंकि किसी अन्य समांतर चतुर्भुज में समान विकर्ण नहीं होते हैं। आइए इसे और स्पष्ट रूप से तैयार करें।
ध्यान दें: एक आयत बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज बनना चाहिए, और फिर विकर्णों की समानता को प्रस्तुत करना चाहिए।
3. हीरा
और फिर से सवाल यह है: एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।
और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।
समचतुर्भुज गुण
तस्वीर पर देखो:
जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण विशिष्ट होते हैं, अर्थात इनमें से प्रत्येक गुण के लिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे पास केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।
एक समचतुर्भुज के लक्षण
और फिर से ध्यान दें: केवल लंबवत विकर्णों वाला एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। सुनिश्चित करें:
नहीं, बिल्कुल नहीं, हालांकि इसके विकर्ण और लंबवत हैं, और विकर्ण u कोणों का समद्विभाजक है। लेकिन ... विकर्ण विभाजित नहीं होते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में है, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।
यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज - कोण A का समद्विभाजक, जो किसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।
खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
मध्य स्तर
चतुर्भुज के गुण। चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज गुण
ध्यान! शब्द " समांतर चतुर्भुज गुण» का अर्थ है कि यदि आपके पास कोई कार्य है वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित में से सभी का उपयोग किया जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय।
किसी भी समांतर चतुर्भुज में:
आइए देखें कि यह सच क्यों है, दूसरे शब्दों में हम साबित करेंगेप्रमेय
तो 1) सच क्यों है?
चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, तो:
- क्रॉसवाइज झूठ बोलने की तरह
- के रूप में पड़ा हुआ है।
इसलिए, (द्वितीय आधार पर: और - सामान्य।)
खैर, एक बार - बस! - साबित।
लेकिन वैसे! हमने 2 भी साबित किया)!
क्यों? लेकिन आखिरकार (तस्वीर को देखें), यानी, क्योंकि।
सिर्फ 3 बचे है)।
ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी एक दूसरा विकर्ण खींचना होगा।
और अब हम देखते हैं कि - II चिन्ह के अनुसार (कोण और भुजा "उनके बीच")।
गुण सिद्ध! आइए संकेतों पर चलते हैं।
समांतर चतुर्भुज विशेषताएं
याद रखें कि समांतर चतुर्भुज का चिन्ह "कैसे पता करें?" प्रश्न का उत्तर देता है कि यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
आइकन में यह इस तरह है:
क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - बस इतना ही। लेकिन देखो:
खैर, हमें पता चला कि साइन 1 सच क्यों है।
खैर, यह और भी आसान है! आइए फिर से एक विकर्ण खींचते हैं।
मतलब:
औरआसान भी है। लेकिन... अलग!
माध्यम, । बहुत खूब! लेकिन यह भी - आंतरिक एकतरफा एक सेकंड में!
इसलिए तथ्य यह है कि इसका मतलब है।
और अगर आप दूसरी तरफ से देखें, तो वे आंतरिक एक तरफा एक सेकेंट पर हैं! और इसीलिए।
देखो यह कितना अच्छा है ?!
और फिर बस:
बिल्कुल वैसा ही, और।
ध्यान दें:अगर आपको मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिन्ह है, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं हर कोईएक समांतर चतुर्भुज के गुण।
पूरी स्पष्टता के लिए, आरेख को देखें:
चतुर्भुज के गुण। आयत।
आयत गुण:
बिंदु 1) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, संकेत 3 () बस पूरा हो गया है
और बिंदु 2) - बहोत महत्वपूर्ण. तो चलिए साबित करते हैं कि
तो, दो पैरों पर (और - सामान्य)।
चूँकि त्रिभुज बराबर होते हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर होते हैं।
साबित कर दिया!
और कल्पना कीजिए, विकर्णों की समानता सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात् निम्नलिखित कथन सत्य है
आइए देखें क्यों?
तो, (अर्थात् समांतर चतुर्भुज के कोण)। लेकिन एक बार फिर याद रखें कि - एक समांतर चतुर्भुज, और इसलिए।
माध्यम, । और, ज़ाहिर है, इससे यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक आखिर उन्हें कितनी राशि देनी चाहिए!
यहाँ हमने सिद्ध किया है कि यदि समानांतर चतुर्भुजअचानक (!) बराबर विकर्ण होंगे, तो यह बिल्कुल एक आयत.
लेकिन! ध्यान दें!यह इस बारे में है समानांतर चतुर्भुज! कोई भी नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत होता है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!
चतुर्भुज के गुण। विषमकोण
और फिर से सवाल यह है: एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।
और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।
लेकिन विशेष गुण भी हैं। हम तैयार करते हैं।
समचतुर्भुज गुण
क्यों? ठीक है, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं।
क्यों? हाँ, इसीलिए!
दूसरे शब्दों में, विकर्ण और समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक निकले।
जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण हैं विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।
समचतुर्भुज चिन्ह।
ऐसा क्यों है? और देखो
इसलिए, और दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।
एक समचतुर्भुज होने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर पहले से ही फीचर 1 या फीचर 2 को प्रदर्शित करना चाहिए।
चतुर्भुज के गुण। वर्ग
यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? वर्ग - समचतुर्भुज - कोण का समद्विभाजक, जिसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।
खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
क्यों? ठीक है, बस पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें।
सारांश और बुनियादी सूत्र
समांतर चतुर्भुज गुण:
- सम्मुख भुजाएँ समान हैं : , ।
- विपरीत कोण हैं: , .
- एक तरफ के कोणों का योग: , .
- विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है: .
आयत गुण:
- एक आयत के विकर्ण हैं: .
- आयत एक समांतर चतुर्भुज है (एक आयत के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।
समचतुर्भुज गुण:
- समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं: .
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं: ; ; ; .
- एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है (एक समचतुर्भुज के सभी गुण समचतुर्भुज के लिए पूरे होते हैं)।
वर्ग गुण:
एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए, एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। साथ ही:
खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।
क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!
अब सबसे महत्वपूर्ण बात।
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समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!
पाठ की रूपरेखा।
बीजगणित ग्रेड 8
शिक्षक सिसोई ए.के.
स्कूल 1828
पाठ विषय: "समांतर चतुर्भुज और उसके गुण"
पाठ का प्रकार: संयुक्त
पाठ मकसद:
1) एक नई अवधारणा को आत्मसात करना सुनिश्चित करें - एक समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
2) ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए कौशल और क्षमता विकसित करना जारी रखें;
3) गणितीय भाषण की संस्कृति का विकास
शिक्षण योजना:
1. संगठनात्मक क्षण
(स्लाइड 1)
स्लाइड लुईस कैरोल के कथन को दर्शाती है। छात्रों को पाठ के उद्देश्य के बारे में बताया जाता है। पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच की जाती है।
2. ज्ञान को अद्यतन करना
(स्लाइड 2)
बोर्ड पर मौखिक कार्य के लिए कार्य करता है। शिक्षक छात्रों को इन समस्याओं के बारे में सोचने और समस्या को हल करने के तरीके को समझने वालों के लिए हाथ उठाने के लिए आमंत्रित करता है। दो समस्याओं को हल करने के बाद, कोणों के योग पर प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक छात्र को बोर्ड में बुलाया जाता है, जो स्वतंत्र रूप से ड्राइंग पर अतिरिक्त निर्माण करता है और प्रमेय को मौखिक रूप से सिद्ध करता है।
छात्र बहुभुज के कोणों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
3. मुख्य निकाय
(स्लाइड 3)
बोर्ड पर एक समांतर चतुर्भुज की परिभाषा है। शिक्षक एक नई आकृति के बारे में बात करता है और एक परिभाषा तैयार करता है, ड्राइंग का उपयोग करके आवश्यक स्पष्टीकरण देता है। फिर, प्रस्तुति के चेकर वाले हिस्से पर, एक मार्कर और एक शासक का उपयोग करके दिखाता है कि समांतर चतुर्भुज कैसे खींचना है (कई मामले संभव हैं)
(स्लाइड 4)
शिक्षक समांतर चतुर्भुज का पहला गुण बनाता है। छात्रों को चित्र के अनुसार यह कहने के लिए आमंत्रित करता है कि क्या दिया गया है और क्या साबित करने की आवश्यकता है। उसके बाद, दिया गया कार्य बोर्ड पर दिखाई देता है। छात्र अनुमान लगाते हैं (शायद एक शिक्षक की मदद से) कि वांछित समानताएं त्रिभुजों की समानता के माध्यम से सिद्ध की जानी चाहिए, जो एक विकर्ण खींचकर प्राप्त की जा सकती हैं (बोर्ड पर एक विकर्ण दिखाई देता है)। इसके बाद, छात्र अनुमान लगाते हैं कि त्रिभुज बराबर क्यों हैं और त्रिभुजों की समानता के चिन्ह को कहते हैं (संबंधित रूप प्रकट होता है)। उन तथ्यों को मौखिक रूप से संप्रेषित करें जो त्रिभुजों की समानता के लिए आवश्यक हैं (जैसा कि वे उन्हें नाम देते हैं, संबंधित दृश्य प्रकट होता है)। इसके बाद, छात्र समान त्रिभुजों का गुण बनाते हैं, यह प्रमाण के बिंदु 3 के रूप में प्रकट होता है और फिर स्वतंत्र रूप से प्रमेय के प्रमाण को मौखिक रूप से पूरा करता है।
(स्लाइड 5)
शिक्षक समांतर चतुर्भुज का दूसरा गुण बनाता है। बोर्ड पर एक समांतर चतुर्भुज का चित्र दिखाई देता है। शिक्षक चित्र से यह कहने की पेशकश करता है कि क्या दिया गया है, क्या साबित करने की आवश्यकता है। छात्रों द्वारा सही ढंग से रिपोर्ट करने के बाद कि क्या दिया गया है और क्या साबित करने की आवश्यकता है, प्रमेय की स्थिति प्रकट होती है। विद्यार्थी अनुमान लगाते हैं कि त्रिभुजों की समानता के द्वारा विकर्णों के भागों की समानता सिद्ध की जा सकती हैएओबीऔर सीओडी. समांतर चतुर्भुज की पिछली संपत्ति का उपयोग करके, पक्षों की समानता के बारे में अनुमान लगाएंअबऔर सीडी. तब वे समझते हैं कि समान कोणों को खोजना आवश्यक है और समानांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग करके वे समान भुजाओं से सटे कोणों की समानता को सिद्ध करते हैं। इन चरणों को स्लाइड पर दिखाया गया है। प्रमेय की सच्चाई त्रिभुजों की समानता से होती है - छात्र स्लाइड पर संबंधित दृश्य का उच्चारण करते हैं।
(स्लाइड 6)
शिक्षक समांतर चतुर्भुज का तीसरा गुण बनाता है। पाठ के अंत तक जो समय बचा है, उसके आधार पर, शिक्षक छात्रों को इस संपत्ति को अपने दम पर साबित करने का अवसर दे सकता है, या इसे इसके निर्माण तक सीमित कर सकता है, और छात्रों को होमवर्क के रूप में सबूत छोड़ सकता है। सबूत खुदा हुआ बहुभुज के कोणों के योग पर आधारित हो सकता है, जिसे पाठ की शुरुआत में दोहराया गया था, या दो समानांतर रेखाओं के लिए आंतरिक एक तरफा कोणों के योग पर आधारित हो सकता है।विज्ञापनऔर ईसा पूर्व, और एक सेकंड, उदाहरण के लिएअब.
4. सामग्री को ठीक करना
इस स्तर पर, छात्र, पहले से अध्ययन किए गए प्रमेयों का उपयोग करते हुए, समस्याओं को हल करते हैं। समस्या को हल करने के लिए विचारों का चयन छात्रों द्वारा स्वयं किया जाता है। चूंकि कई संभावित डिजाइन विकल्प हैं और वे सभी इस बात पर निर्भर करते हैं कि छात्र समस्या के समाधान की तलाश कैसे करेंगे, समस्याओं के समाधान की कोई कल्पना नहीं है, और छात्र स्वतंत्र रूप से समाधान के प्रत्येक चरण को एक अलग बोर्ड पर तैयार करते हैं। एक नोटबुक में लिखे समाधान के साथ।
(स्लाइड 7)
कार्य की स्थिति प्रकट होती है। शिक्षक शर्त के अनुसार "दिया" बनाने का सुझाव देता है। छात्रों द्वारा शर्त को सही ढंग से लिखने के बाद, बोर्ड पर "दिया" दिखाई देता है। समस्या समाधान प्रक्रिया इस तरह दिख सकती है:
ऊंचाई BH ड्रा करें (रेंडर किया गया)
त्रिभुज AHB एक समकोण त्रिभुज है। कोण ए कोण सी के बराबर है और 30 0 के बराबर है (समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोणों के गुण से)। 2BH =AB (एक समकोण त्रिभुज में 30 0 के कोण के विपरीत पैर के गुण के अनुसार)। अत: AB = 13 सेमी.
AB \u003d CD, BC \u003d AD (समानांतर चतुर्भुज में विपरीत पक्षों की संपत्ति द्वारा) तो AB \u003d CD \u003d 13cm। चूँकि समांतर चतुर्भुज की परिधि 50 सेमी है, तो BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 सेमी।
जवाब: एबी = सीडी = 13 सेमी, बीसी = एडी = 12 सेमी।
(स्लाइड 8)
कार्य की स्थिति प्रकट होती है। शिक्षक शर्त के अनुसार "दिया" बनाने का सुझाव देता है। फिर स्क्रीन पर "डैनो" दिखाई देता है। लाल रेखाओं की सहायता से एक चतुर्भुज का चयन किया जाता है, जिसके बारे में आपको यह सिद्ध करना होता है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है। समस्या समाधान प्रक्रिया इस तरह दिख सकती है:
क्योंकि बीके और एमडी एक ही रेखा के लंबवत हैं, फिर रेखाएं बीके और एमडी समानांतर हैं।
आसन्न कोणों के माध्यम से, यह दिखाया जा सकता है कि रेखाओं बीएम और केडी और सेकेंट एमडी के लिए आंतरिक एकतरफा कोणों का योग 180 0 है। इसलिए, ये रेखाएँ समानांतर हैं।
चूँकि चतुर्भुज BMDK की सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार समानांतर हैं, यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
5. पाठ का अंत। परिणाम व्यवहार।
(स्लाइड 8)
स्लाइड पर एक नए विषय पर प्रश्न दिखाई देते हैं, जिनका उत्तर छात्र देते हैं।
वीडियो कोर्स "गेट ए ए" में गणित में परीक्षा में 60-65 अंकों के सफल उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। पूरी तरह से सभी कार्य 1-13 प्रोफ़ाइल के गणित में उपयोग करें। गणित में बेसिक USE पास करने के लिए भी उपयुक्त है। यदि आप 90-100 अंकों के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और बिना किसी गलती के हल करना होगा!
कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।
सभी आवश्यक सिद्धांत। परीक्षा के त्वरित समाधान, जाल और रहस्य। बैंक ऑफ FIPI के भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से USE-2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।
पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।
सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। हल करने के लिए चालाक तरकीबें, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य करने के लिए 13. रटना के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।
एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार (a) और उसकी ऊँचाई (h) के गुणनफल के बराबर होता है। आप इसका क्षेत्रफल दो भुजाओं और एक कोण से और विकर्णों से भी ज्ञात कर सकते हैं।
समांतर चतुर्भुज गुण
1. सम्मुख भुजाएँ समरूप होती हैं।
सबसे पहले, विकर्ण \(AC \) खींचे। दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं: \(ABC \) और \(ADC \) ।
चूँकि \(ABCD \) एक समांतर चतुर्भुज है, निम्नलिखित सत्य है:
\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \)जैसे झूठ बोलना।
\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \)जैसे झूठ बोलना।
इसलिए, (दूसरे आधार पर: और \(AC\) सामान्य है)।
और इसीलिए, \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \), फिर \(AB = CD \) और \(AD = BC \) ।
2. सम्मुख कोण समरूप होते हैं।
प्रमाण के अनुसार गुण 1हम जानते हैं कि \(\कोण 1 = \कोण 2, \कोण 3 = \कोण 4 \). अतः सम्मुख कोणों का योग है: \(\कोण 1 + \कोण 3 = \कोण 2 + \कोण 4 \). मान लीजिये \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \)हमें \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) मिलता है।
3. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है।
द्वारा संपत्ति 1हम जानते हैं कि सम्मुख भुजाएँ समान हैं: \(AB = CD \) । एक बार फिर हम ध्यान दें कि समान कोण क्रॉसवाइज पड़े हैं।
इस प्रकार, यह देखा जाता है कि \(\triangle AOB = \triangle COD \)त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे मानदंड के अनुसार (दो कोण और उनके बीच एक भुजा)। अर्थात्, \(BO = OD \) (कोनों के विपरीत \(\angle 2 \) और \(\angle 1 \) ) और \(AO = OC \) (कोनों के विपरीत \(\angle 3 \) और \( \कोण 4 \) क्रमशः)।
समांतर चतुर्भुज विशेषताएं
यदि आपकी समस्या में केवल एक चिन्ह मौजूद है, तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज है और आप इस आकृति के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
बेहतर याद के लिए, ध्यान दें कि समांतर चतुर्भुज का चिन्ह निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देगा - "कैसे पता करें?". अर्थात्, यह कैसे ज्ञात किया जाए कि दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
1. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं।
\(एबी = सीडी \); \(एबी || सीडी \राइटएरो एबीसीडी \)- समांतर चतुर्भुज।
आइए अधिक विस्तार से विचार करें। क्यों \(AD || BC \) ?
\(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \)पर संपत्ति 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) समानांतर \(AB \) और \(CD \) और secant \(AC \) के साथ क्रॉसवाइज के रूप में।
लेकिन अगर \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \), फिर \(\angle 3 = \angle 4 \) (वे विपरीत स्थित हैं \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) और \(\angle 4 \) - विपरीत झूठ भी बराबर हैं)।
पहला संकेत सही है।
2. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) एक समांतर चतुर्भुज है।
आइए इस विशेषता पर विचार करें। फिर से विकर्ण \(AC \) खींचिए।
द्वारा संपत्ति 1\(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी \).
यह इस प्रकार है कि: \(\कोण 1 = \कोण 2 \दायां तीर एडी || बीसी \)और \(\कोण 3 = \कोण 4 \दायां तीर एबी || सीडी \)अर्थात् \(ABCD\) एक समांतर चतुर्भुज है।
दूसरा संकेत सही है।
3. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
\(\कोण ए = \कोण सी \) , \(\कोण बी = \कोण डी \राइटएरो एबीसीडी \)- समांतर चतुर्भुज।
\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(क्योंकि \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) परिभाषा के अनुसार)।
यह पता चला है, \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \). लेकिन \(\alpha \) और \(\beta \) सेकेंट \(AB \) पर आंतरिक एकतरफा हैं।
