व्यावहारिक रूप से गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाले संक्रियाओं पर आधारित होता है। आखिरकार, जैसे ही हम समन्वय रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, प्लस और माइनस संकेतों वाली संख्याएं हमें हर जगह, हर नए विषय में मिलने लगती हैं। साधारण सकारात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ नहीं है, एक को दूसरे से घटाना मुश्किल नहीं है। यहां तक ​​कि दो ऋणात्मक संख्याओं वाला अंकगणित भी शायद ही कभी एक समस्या है।

हालांकि, कई लोग अलग-अलग संकेतों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएं होती हैं।

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का योग

यदि समस्या को हल करने के लिए हमें एक निश्चित संख्या "ए" में एक ऋणात्मक संख्या "-बी" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।

• आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |a| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
• ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और छोटे मान को बड़े मान से घटाएं।
• हम परिणामी संख्या से पहले उस संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मापांक अधिक होता है।

यह उत्तर होगा। इसे और अधिक सरलता से रखा जा सकता है: यदि अभिव्यक्ति में ए + (-बी) संख्या "बी" का मॉड्यूलस "ए" के मॉड्यूलस से अधिक है, तो हम "ए" को "बी" से घटाते हैं और "माइनस" डालते हैं "परिणाम के सामने। यदि मापांक "ए" बड़ा है, तो "बी" को "ए" से घटाया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त होता है।

ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर होते हैं। यदि ऐसा है, तो आप इस बिंदु पर रुक सकते हैं - हम विपरीत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और उनका योग हमेशा शून्य होगा।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव

हमने जोड़ का पता लगा लिया, अब घटाव के नियम पर विचार करें। यह काफी सरल भी है - और इसके अलावा, यह दो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के लिए एक समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।

एक निश्चित संख्या "ए" से घटाने के लिए - मनमाना, यानी किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" में "सी" के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:

• यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" नकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) \u003d ए + सी।
• यदि "ए" एक ऋणात्मक संख्या है, और "सी" सकारात्मक है, और "सी" को "ए" से घटाया जाना चाहिए, तो हम निम्नानुसार लिखते हैं: (- ए) - सी \u003d - ए + (-सी)।

इस प्रकार, विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को घटाते समय, हम अंततः जोड़ के नियमों पर लौटते हैं, और विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय, हम घटाव के नियमों पर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।

ऋणात्मक जोड़ नियम

यदि आपको गणित का पाठ और "विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़ और घटाव" विषय याद है, तो आपको दो नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है:

• उनके मॉड्यूल के अतिरिक्त प्रदर्शन करें;
• प्राप्त राशि में "-" चिन्ह जोड़ें।

जोड़ नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$।

ऋणात्मक योग नियम ऋणात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर लागू होता है।

उदाहरण 1

नकारात्मक संख्या $−185$ और $−23 \ 789 जोड़ें।$

समाधान.

आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करें।

आइए इन नंबरों के मॉड्यूल खोजें:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

आइए परिणामी संख्याएँ जोड़ें:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

हम मिली संख्या के सामने $"–"$ का चिह्न लगाते हैं और $−23 \ 974$ प्राप्त करते हैं।

संक्षिप्त समाधान: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$।

उत्तर: $−23 \ 974$.

ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, उन्हें प्राकृत संख्याओं, साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना चाहिए।

उदाहरण 2

ऋणात्मक संख्याएँ $-\frac(1)(4)$ और $−7.15$ जोड़ें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले मॉड्यूल का योग ज्ञात करना होगा:

$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;

प्राप्त मूल्यों को दशमलव अंशों तक कम करना और उनका जोड़ करना सुविधाजनक है:

$\frac(1)(4)=0.25$;

$0,25+7,15=7,40$.

आइए प्राप्त मूल्य के सामने $"-"$ का चिह्न लगाएं और $-7.4$ प्राप्त करें।

समाधान सारांश:

$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$।

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए:

1. संख्याओं के मॉड्यूल की गणना करें;

प्राप्त संख्याओं की तुलना करें:

• यदि वे बराबर हैं, तो मूल संख्याएँ विपरीत हैं और उनका योग शून्य के बराबर है;
• यदि वे समान नहीं हैं, तो आपको उस संख्या का चिह्न याद रखना होगा जिसका मापांक अधिक है;

2. छोटे वाले को बड़े से घटाएं;

3. प्राप्त मूल्य से पहले, उस संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मापांक अधिक है।

विपरीत चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने पर बड़ी धनात्मक संख्या में से छोटी ऋणात्मक संख्या घटा दी जाती है।

विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए किया जाता है।

उदाहरण 3

संख्या $4$ और $−8$ जोड़ें।

समाधान।

आपको विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़नी होंगी। आइए उपयुक्त जोड़ नियम का उपयोग करें।

आइए इन नंबरों के मॉड्यूल खोजें:

संख्या $−8$ का मापांक संख्या $4$ के मापांक से अधिक है, अर्थात। साइन $"-"$ याद रखें।

हम परिणामी संख्या के सामने चिह्न $"–"$ डालते हैं, जिसे हमने याद किया, और हमें $−4.$ मिलता है।

समाधान सारांश:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

उत्तर: $4+(−8)=−4$.

विपरीत चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, उन्हें साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करना सुविधाजनक होता है।

भिन्न और ऋणात्मक चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव

ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम:

एक ऋणात्मक संख्या $b$ को संख्या $a$ से घटाने के लिए, न्यूनतम $a$ संख्या $−b$ में जोड़ना आवश्यक है, जो घटाए गए $b$ के विपरीत है।

घटाव नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

$a−b=a+(−b)$।

यह नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है। किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से, ऋणात्मक संख्या से और शून्य से घटाते समय नियम का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण 4

ऋणात्मक संख्या $−28$ से ऋणात्मक संख्या $−5$ घटाएं।

समाधान।

संख्या $-5$ के लिए विपरीत संख्या $5$ है।

ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

आइए विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

उत्तर: $(−28)−(−5)=−23$.

ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, आपको संख्याओं को साधारण भिन्नों, मिश्रित संख्याओं या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना होगा।

विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का जोड़ और घटाव

विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने का नियम वही है जो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम है।

उदाहरण 5

ऋणात्मक संख्या $−11$ से धनात्मक संख्या $7$ घटाएँ।

समाधान।

$7$ की संख्या के लिए विपरीत संख्या $-7$ की संख्या है।

विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

आइए ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ें:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

संक्षिप्त समाधान: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$।

उत्तर: $(−11)−7=−18$.

भिन्न-भिन्न चिन्हों वाली भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, संख्याओं को साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में परिवर्तित करना आवश्यक होता है।

इस सामग्री के भाग के रूप में, हम ऋणात्मक संख्याओं के जोड़ जैसे महत्वपूर्ण विषय पर बात करेंगे। पहले पैराग्राफ में, हम इस क्रिया के लिए मूल नियम का वर्णन करेंगे, और दूसरे में, हम ऐसी समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

प्राकृत संख्याओं को जोड़ने का मूल नियम

नियम प्राप्त करने से पहले, आइए याद करें कि हम आम तौर पर सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या जानते हैं। पहले हम इस बात पर सहमत थे कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण, हानि के रूप में माना जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्या का मापांक इस हानि के सटीक आकार को व्यक्त करता है। तब ऋणात्मक संख्याओं के योग को दो हानियों का योग माना जा सकता है।

इस तर्क का उपयोग करते हुए, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए मूल नियम बनाते हैं।

परिभाषा 1

पूरा करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का जोड़, आपको उनके मॉड्यूल के मानों को जोड़ना होगा और परिणाम के सामने एक माइनस डालना होगा। शाब्दिक रूप में, सूत्र (− a) + (− b) = − (a + b) जैसा दिखता है।

इस नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं का योग सकारात्मक संख्याओं के योग के समान है, केवल अंत में हमें निश्चित रूप से एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त करनी चाहिए, क्योंकि हमें मॉड्यूल के योग के सामने ऋण चिह्न लगाना चाहिए।

इस नियम के लिए क्या सबूत दिए जा सकते हैं? ऐसा करने के लिए, हमें वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के मूल गुणों को याद करने की आवश्यकता है (या तो पूर्णांकों के साथ या परिमेय संख्याओं के साथ - वे इन सभी प्रकार की संख्याओं के लिए समान हैं)। इसे सिद्ध करने के लिए, हमें केवल यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि समीकरण (- a) + (- b) = - (a + b) के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अंतर 0 के बराबर होगा।

एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाना उसी विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है। इसलिए, (- a) + (- b) - (- (a + b)) = (- a) + (- b) + (a + b) । याद रखें कि जोड़ के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में दो मुख्य गुण होते हैं - सहयोगी और कम्यूटेटिव। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) । चूँकि, विपरीत संख्याओं को जोड़ने पर हमें हमेशा 0 मिलता है, तो (- a + a) + (- b + b) \u003d 0 + 0, और 0 + 0 \u003d 0. हमारी समानता को सिद्ध माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम भी हमने सिद्ध किया।

दूसरे पैराग्राफ में, हम उन विशिष्ट समस्याओं को लेंगे जहाँ आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, और उनमें सीखे गए नियम को लागू करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1

दो ऋणात्मक संख्याओं - 304 और - 18007 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए स्टेप बाय स्टेप करते हैं। सबसे पहले हमें जोड़े जाने वाले नंबरों के मॉड्यूल खोजने होंगे: - 304 = 304, - 180007 = 180007। अगला, हमें अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हम कॉलम काउंट विधि का उपयोग करते हैं:

हमारे पास केवल परिणाम के सामने एक माइनस डालना है और - 18 311 प्राप्त करना है।

उत्तर: - - 18 311 .

यह इस बात पर निर्भर करता है कि हमारे पास कौन सी संख्याएँ हैं, हम जोड़ की क्रिया को कितना कम कर सकते हैं: प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करना, साधारण या दशमलव अंशों को जोड़ना। आइए ऐसी संख्याओं के साथ समस्या का विश्लेषण करें।

उदाहरण संख्या

दो ऋणात्मक संख्याओं - 2 5 और - 4 , (12) का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम वांछित संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढते हैं और 2 5 और 4 , (12) प्राप्त करते हैं। हमारे पास दो भिन्न भिन्न हैं। हम समस्या को दो साधारण भिन्नों के योग में घटाते हैं, जिसके लिए हम आवर्त भिन्न को एक साधारण के रूप में निरूपित करते हैं:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

नतीजतन, हमें एक अंश मिला जो पहले मूल शब्द में जोड़ना आसान होगा (यदि आप भूल गए हैं कि विभिन्न हरों के साथ अंशों को सही तरीके से कैसे जोड़ा जाए, तो संबंधित सामग्री को दोहराएं)।

2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

नतीजतन, हमें एक मिश्रित संख्या मिली, जिसके सामने हमें केवल एक माइनस डालना होगा। यह गणनाओं को पूरा करता है।

उत्तर: - 4 86 105 .

वास्तविक ऋणात्मक संख्याओं को उसी तरह जोड़ा जाता है। इस तरह की कार्रवाई का परिणाम आमतौर पर एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है। इसके मूल्य की गणना या अनुमानित गणना तक सीमित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमें - 3 + (- 5) का योग ज्ञात करना है, तो हम उत्तर को - 3 - 5 के रूप में लिखते हैं। हमने वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक अलग सामग्री समर्पित की है, जिसमें आप अन्य उदाहरण पा सकते हैं।

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ऋणात्मक संख्याओं का जोड़।

ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक संख्या होती है। योग का मॉड्यूल शर्तों के मॉड्यूल के योग के बराबर है.

आइए देखें कि ऋणात्मक संख्याओं का योग भी ऋणात्मक संख्या क्यों होगी। निर्देशांक रेखा इसमें हमारी सहायता करेगी, जिस पर हम -3 और -5 संख्याओं का योग करेंगे। आइए संख्या -3 के अनुरूप समन्वय रेखा पर एक बिंदु को चिह्नित करें।

नंबर -3 में हमें नंबर -5 जोड़ना होगा। संख्या -3 के संगत बिंदु से हम कहाँ जाते हैं? यह सही है, बाईं ओर! 5 एकल खंडों के लिए। हम बिंदु को चिह्नित करते हैं और उसके अनुरूप संख्या लिखते हैं। यह संख्या -8 है।

इसलिए, समन्वय रेखा का उपयोग करके ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय, हम हमेशा संदर्भ बिंदु के बाईं ओर होते हैं, इसलिए, यह स्पष्ट है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम भी एक ऋणात्मक संख्या है।

टिप्पणी।हमने संख्याओं -3 और -5 को जोड़ा, अर्थात्। व्यंजक -3+(-5) का मान ज्ञात किया। आमतौर पर, परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, वे बस इन संख्याओं को अपने चिह्नों के साथ लिखते हैं, जैसे कि उन सभी संख्याओं को सूचीबद्ध करना जिन्हें जोड़ने की आवश्यकता है। इस तरह के अंकन को बीजगणितीय योग कहा जाता है। लागू करें (हमारे उदाहरण में) रिकॉर्ड: -3-5=-8।

उदाहरण।ऋणात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए: -23-42-54। (सहमत हैं कि यह प्रविष्टि इस तरह छोटी और अधिक सुविधाजनक है: -23+(-42)+(-54))?

हमने निर्णय कियाऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार: हम शर्तों के मॉड्यूल जोड़ते हैं: 23+42+54=119। परिणाम माइनस साइन के साथ होगा।

वे आमतौर पर इसे इस तरह लिखते हैं: -23-42-54 \u003d -119।

विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़।

अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं के योग में एक बड़े मापांक के साथ जोड़ का चिह्न होता है। योग के मापांक को खोजने के लिए, आपको छोटे मापांक को बड़े मापांक से घटाना होगा.

आइए निर्देशांक रेखा का उपयोग करके विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का योग करें।

1) -4+6. संख्या -4 को संख्या 6 में जोड़ना आवश्यक है। हम समन्वय रेखा पर एक बिंदु के साथ संख्या -4 को चिह्नित करते हैं। संख्या 6 धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक -4 वाले बिंदु से हमें 6 इकाई खंडों से दाईं ओर जाने की आवश्यकता है। हम 2 इकाई खंडों द्वारा मूल (शून्य से) के दाईं ओर समाप्त हुए।

संख्याओं -4 और 6 के योग का परिणाम धनात्मक संख्या 2 है:

- 4+6=2। आप नंबर 2 कैसे प्राप्त कर सकते हैं? 6 में से 4 घटाएं, अर्थात। छोटे वाले को बड़े से घटाएं। परिणाम में बड़े मापांक वाले पद के समान चिह्न होता है।

2) आइए गणना करें: -7+3 निर्देशांक रेखा का उपयोग करके। हम संख्या -7 के अनुरूप बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम 3 इकाई खंडों से दाईं ओर जाते हैं और निर्देशांक -4 के साथ एक बिंदु प्राप्त करते हैं। हम मूल के बाईं ओर थे और बने रहे: उत्तर एक ऋणात्मक संख्या है।

— 7+3=-4. हम इस परिणाम को इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं: हमने छोटे को बड़े मॉड्यूल से घटाया, अर्थात। 7-3 = 4। नतीजतन, एक बड़े मॉड्यूल के साथ शब्द का संकेत सेट किया गया था: |-7|>|3|।

उदाहरण।गणना करें: एक) -4+5-9+2-6-3; बी) -10-20+15-25.

इस लेख में हम बात करेंगे ऋणात्मक संख्याओं का जोड़. सबसे पहले, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम देते हैं और इसे सिद्ध करते हैं। उसके बाद, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

ऋणात्मक जोड़ नियम

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का सूत्रीकरण देने से पहले, आइए लेख की सामग्री सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की ओर मुड़ें। वहां हमने उल्लेख किया है कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण के रूप में माना जा सकता है, और इस मामले में इस ऋण की राशि निर्धारित करता है। इसलिए, दो ऋणात्मक संख्याओं का योग दो ऋणों का योग है।

यह निष्कर्ष समझना संभव बनाता है नकारात्मक जोड़ नियम. दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए:

• उनके मॉड्यूल ढेर;
• प्राप्त राशि के आगे ऋण चिह्न लगाएं।

आइए ऋणात्मक संख्याओं −a और −b को शाब्दिक रूप में जोड़ने का नियम लिखें: (−a)+(−b)=−(a+b).

यह स्पष्ट है कि स्वरित नियम धनात्मक संख्याओं के योग में ऋणात्मक संख्याओं के योग को कम करता है (ऋणात्मक संख्या का मापांक एक धनात्मक संख्या है)। यह भी स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम एक ऋणात्मक संख्या है, जैसा कि मॉड्यूल के योग के सामने रखे गए ऋण चिह्न से सिद्ध होता है।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम को के आधार पर सिद्ध किया जा सकता है वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुण(या परिमेय या पूर्णांक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के समान गुण)। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि समानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच का अंतर (−a)+(−b)=−(a+b) शून्य के बराबर है।

चूँकि किसी संख्या को घटाना विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है (पूर्णांक घटाने का नियम देखें), तो (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों के आधार पर, हमारे पास है (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). चूँकि विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर होता है, तो (−a+a)+(−b+b)=0+0 , और 0+0=0 किसी संख्या को शून्य में जोड़ने के गुण के कारण होता है। यह समानता (−a)+(−b)=−(a+b) , और इसलिए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम सिद्ध करता है।

यह केवल सीखने के लिए रहता है कि व्यवहार में ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम को कैसे लागू किया जाए, जो हम अगले पैराग्राफ में करेंगे।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण

आइए विश्लेषण करें ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण. आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - ऋणात्मक पूर्णांकों का जोड़, जोड़ पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियम के अनुसार किया जाएगा।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्याएँ -304 और -18007 जोड़ें।

समाधान।

आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले, हम जोड़े गए नंबरों के मॉड्यूल ढूंढते हैं: और . अब आपको परिणामी संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, यहां कॉलम जोड़ना सुविधाजनक है:

अब हम परिणामी संख्या के सामने एक ऋण चिह्न लगाते हैं, परिणामस्वरूप हमारे पास −18 311 होता है।

आइए संपूर्ण समाधान को संक्षिप्त रूप में लिखें: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 ।

उत्तर:

−18 311 .

ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग, स्वयं संख्याओं के आधार पर, या तो प्राकृतिक संख्याओं के योग से, या साधारण भिन्नों के योग से, या दशमलव अंशों के योग में घटाया जा सकता है।

उदाहरण।

एक ऋणात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या −4,(12) जोड़ें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको पहले मॉड्यूल के योग की गणना करने की आवश्यकता है। जोड़े गए ऋणात्मक संख्याओं के मॉड्यूल क्रमशः 2/5 और 4,(12) हैं। परिणामी संख्याओं के योग को साधारण भिन्नों के योग में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम आवधिक दशमलव अंश का एक साधारण अंश में अनुवाद करते हैं:। तो 2/5+4,(12)=2/5+136/33 । अब अमल करते हैं