डी'एलेम्बर्ट का सिद्धांत किसी भौतिक वस्तु की गति के अध्ययन के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण स्थापित करता है, चाहे इस गति पर लगाई गई शर्तों की प्रकृति कुछ भी हो। इस स्थिति में, गति के गतिशील समीकरणों को संतुलन समीकरणों का रूप दिया जाता है। इसलिए डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत का दूसरा नाम - कीनेटोस्टैटिक विधि।

गति के किसी भी क्षण में एक भौतिक बिंदु के लिए, लागू सक्रिय बलों, युग्मन प्रतिक्रियाओं और पारंपरिक रूप से संलग्न जड़त्व बल का ज्यामितीय योग शून्य के बराबर होता है (चित्र 48)।

जहाँ F एक भौतिक बिंदु का जड़त्व बल है, जो इसके बराबर है:

. (15.2)

चित्र 48

चित्र 49

जड़ता का बल चलती हुई वस्तु पर नहीं, बल्कि उन कनेक्शनों पर लगाया जाता है जो उसकी गति को निर्धारित करते हैं। मनुष्य त्वरण की रिपोर्ट करता है ट्रॉली (चित्र 49), इसे बल से धकेलते हुए .जड़त्व का बल ट्रॉली पर किसी व्यक्ति की कार्रवाई के प्रति प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। मॉड्यूलो बल के बराबर है और विपरीत दिशा में निर्देशित किया गया।

यदि कोई बिंदु घुमावदार पथ पर चलता है, तो जड़ता के बल को प्राकृतिक समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

चित्र 50

; (15.3)

, (15.4) कहाँ -- प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या.

किनेटोस्टैटिक्स विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आपको यह करना होगा:

1. एक समन्वय प्रणाली का चयन करें;

2. प्रत्येक बिंदु पर लागू सभी सक्रिय बलों को दिखाएं;

3. कनेक्शनों को त्यागें, उन्हें उचित प्रतिक्रियाओं से बदलें;

4. सक्रिय बलों और कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं में जड़ता का बल जोड़ें;

5. कीनेटोस्टैटिक समीकरण बनाएं जिससे आवश्यक मात्राएं निर्धारित की जा सकें।

उदाहरण 21.

के बारे में

समाधान।

1. उत्तल पुल के शीर्ष बिंदु पर स्थित एक कार पर विचार करें। आइए एक कार को एक भौतिक बिंदु के रूप में मानें जिस पर एक दिया गया बल है और संचार प्रतिक्रिया .

2. चूँकि कार एक स्थिर गति से चल रही है, हम सामान्य पर प्रक्षेपण में एक भौतिक बिंदु के लिए डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को लिखते हैं
. (1) आइए हम जड़ता के बल को व्यक्त करें:
; हम समीकरण (1) से कार का सामान्य दबाव निर्धारित करते हैं: एन।

त्रिज्या वाले उत्तल पुल के शीर्ष बिंदु पर स्थित G=10000H वजन वाली कार का दबाव निर्धारित करें =20 मीटर और स्थिर गति V=36 किमी/घंटा से चल रहा है (चित्र 51)।

16. यांत्रिक प्रणाली के लिए डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत। मुख्य वेक्टर और जड़ता बलों का मुख्य क्षण।

यदि गति के किसी भी क्षण में संबंधित जड़त्व बल को यांत्रिक प्रणाली के प्रत्येक बिंदु पर सशर्त रूप से लागू किया जाता है, तो गति के किसी भी क्षण में बिंदु पर कार्य करने वाले सक्रिय बलों, कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं और जड़त्व बल का ज्यामितीय योग बराबर होता है शून्य।

एक यांत्रिक प्रणाली के लिए डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को व्यक्त करने वाले समीकरण का रूप है
. (16.1) किसी भी केंद्र के सापेक्ष इन संतुलित बलों के क्षणों का योग भी शून्य है
. (16.2) डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को लागू करते समय, सिस्टम की गति के समीकरणों को संतुलन समीकरणों के रूप में संकलित किया जाता है। समीकरण (16.1) और (16.2) का उपयोग करके, गतिशील प्रतिक्रियाएँ निर्धारित की जा सकती हैं।

उदाहरण 22.

लंबवत एके शाफ्ट निरंतर कोणीय वेग पर घूमता है =10s -1, बिंदु A पर एक थ्रस्ट बेअरिंग और बिंदु K पर एक बेलनाकार बेअरिंग द्वारा सुरक्षित (चित्र 52)। बिंदु E पर शाफ्ट से जुड़ी एक पतली सजातीय टूटी हुई छड़ है जिसका द्रव्यमान m = 10 kg और लंबाई 10 b है, जिसमें भाग 1 और 2 शामिल हैं, जहाँ b = 0.1 m है, और उनका द्रव्यमान m 1 और m 2 है। लंबाई के समानुपाती. रॉड को बिंदु E पर एक काज द्वारा और बिंदु B पर कठोरता से तय की गई एक भारहीन रॉड 4 द्वारा शाफ्ट से जोड़ा जाता है। काज E और रॉड 4 की प्रतिक्रिया निर्धारित करें।

समाधान।

1. टूटी हुई छड़ की लंबाई 10b है। आइए हम छड़ के हिस्सों के द्रव्यमान को लंबाई के आनुपातिक रूप से व्यक्त करें: मी 1 =0.4 मी; एम 2 =0.3एम; मी 3 =0.3 मी.

चित्र 42

2. वांछित प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए, एक टूटी हुई छड़ की गति पर विचार करें और डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को लागू करें। आइए छड़ को xy तल में रखें और उस पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों को चित्रित करें: ,,, काज प्रतिक्रियाएं और और प्रतिक्रिया
छड़ 4. हम इन बलों में छड़ के हिस्सों की जड़त्वीय ताकतें जोड़ते हैं:
;
;
,

कहाँ
;
;
.

फिर एन.एन.एन.

परिणामी जड़त्व बलों की क्रिया की रेखा ,
और
x अक्ष से h 1, h 2 और h 3 की दूरी पर गुजरता है: m;

3. डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के अनुसार, लागू सक्रिय बल, युग्मन प्रतिक्रियाएं और जड़त्वीय बल बलों की एक संतुलित प्रणाली बनाते हैं। आइए हम बलों की एक समतल प्रणाली के लिए तीन संतुलन समीकरण बनाएं:

; ; (1)
;; (2)
;.(3)

समीकरणों की प्रणाली (1)+(3) को हल करते हुए, संबंधित मात्राओं के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम आवश्यक प्रतिक्रियाएं पाते हैं:

एन= वाई ई = एक्स ई =

यदि किसी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले सभी बलों को बाह्य में विभाजित किया गया है और आंतरिक , (चित्र 53), तो यांत्रिक प्रणाली के एक मनमाना बिंदु के लिए हम दो वेक्टर समानताएँ लिख सकते हैं:

; (16.3)
.

चित्र 53

आंतरिक बलों के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम एक यांत्रिक प्रणाली के लिए डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत निम्नलिखित रूप में प्राप्त करते हैं:
; (16.4)
, (16.5) कहाँ ,- क्रमशः, बाह्य बलों और जड़त्वीय बलों के मुख्य वैक्टर;

,
- क्रमशः, एक मनमाना केंद्र ओ के सापेक्ष बाहरी ताकतों और जड़ता की ताकतों के मुख्य क्षण।

मुख्य सदिश और मुख्य बिंदु
सिस्टम के सभी बिंदुओं के जड़त्वीय बलों को बदलें, क्योंकि सिस्टम के प्रत्येक बिंदु का अपना जड़त्वीय बल होना चाहिए, जो बिंदु के त्वरण पर निर्भर करता है। द्रव्यमान के केंद्र की गति और एक मनमाना केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
, (16.6)

. (16.7) एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के लिए, इस अक्ष के सापेक्ष जड़त्व बलों का मुख्य क्षण बराबर है
, (16.8) कहाँ -- शरीर का कोणीय त्वरण.

किसी पिंड की अनुवादात्मक गति के दौरान, उसके सभी बिंदुओं की जड़त्वीय ताकतें जड़त्वीय ताकतों के मुख्य वेक्टर के बराबर परिणामी तक कम हो जाती हैं, यानी।
.

पी

चित्र 54

जब कोई पिंड द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी z के चारों ओर घूमता है, तो शरीर के सभी बिंदुओं की जड़त्वीय ताकतें घूर्णन की धुरी के लंबवत विमान में झूठ बोलने वाली ताकतों की एक जोड़ी में कम हो जाती हैं और एक पल होती हैं
, (16.9) कहाँ -- घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण।

यदि किसी पिंड में समरूपता का एक तल है और वह एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमता है, जो समरूपता के तल के लंबवत है और शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरता है, तो शरीर के सभी बिंदुओं का जड़त्व बल परिणामी बल के बराबर कम हो जाता है सिस्टम की जड़ता बलों के मुख्य वेक्टर के लिए, लेकिन कुछ बिंदु K पर लागू होता है (चित्र 54) . परिणामी की क्रिया की रेखा बिंदु O से दूरी पर स्थित है
. (16.10)

समरूपता के तल वाले किसी पिंड की समतल गति में, पिंड इस तल के अनुदिश गति करता है (चित्र 55)। मुख्य वेक्टर और जड़त्व बलों का मुख्य क्षण भी इसी विमान में स्थित है और सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

चित्र 55

;

.

ऋण चिन्ह उस क्षण की दिशा को दर्शाता है
शरीर के कोणीय त्वरण की दिशा के विपरीत।

उदाहरण 23.

द्रव्यमान m के एक समान रूप से घूमने वाले फ्लाईव्हील को रिम पर वितरित उसके द्रव्यमान पर विचार करते हुए, उसे तोड़ने की प्रवृत्ति वाले बल का निर्धारण करें। फ्लाईव्हील त्रिज्या आर, कोणीय वेग (चित्र 56)।

समाधान।

1. वह ताकत जो आप चाहते हैं आंतरिक है. - रिम तत्वों की जड़त्वीय ताकतों का परिणाम।
. आइए हम रिम चाप के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक x c को केंद्रीय कोण से व्यक्त करें
:
, तब
.

2. शक्ति का निर्धारण करना आइए एक्स-अक्ष पर प्रक्षेपण में डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को लागू करें:
;
, कहाँ
.

3. यदि फ्लाईव्हील एक ठोस सजातीय डिस्क है, तो
, तब
.

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांतइसका उपयोग गैर-मुक्त बिंदु की गतिशीलता की पहली मुख्य समस्या को हल करते समय किया जाता है, जब बिंदु की गति और उस पर कार्यरत सक्रिय बलों को जाना जाता है, और कनेक्शन की परिणामी प्रतिक्रिया मांगी जाती है।

आइए हम एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक गैर-मुक्त बिंदु की गतिशीलता के लिए बुनियादी समीकरण लिखें:

आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

.

निरूपित करने पर हमें प्राप्त होता है

, (11.27)

जहां वेक्टर कहा जाता है डी'अलेम्बर्ट की जड़त्वीय शक्ति.

सिद्धांत का कथन: एक गैर-मुक्त भौतिक बिंदु की गति के प्रत्येक क्षण में, सक्रिय बल और कनेक्शन की प्रतिक्रिया जड़त्व के डी'अलेम्बर्ट बल द्वारा संतुलित होती है.

वेक्टर समीकरण (11.27) को किसी भी समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपित करके, हम संबंधित संतुलन समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसका उपयोग करके हम अज्ञात प्रतिक्रियाएं पा सकते हैं।

आइए समीकरण (11.27) को प्राकृतिक अक्षों पर प्रक्षेपित करें:

(11.28)

कहाँ जड़त्व का केन्द्रापसारक बल कहा जाता है, जो हमेशा मुख्य सामान्य की नकारात्मक दिशा में निर्देशित होता है; .

टिप्पणियाँ:

1). वास्तव में, बलों के अलावा, बिंदु पर कोई अन्य भौतिक बल लागू नहीं होते हैं, और तीन बल बलों की एक संतुलित प्रणाली का गठन नहीं करते हैं। इस अर्थ में, डी'अलेम्बर्ट का जड़त्व बल एक बिंदु पर सशर्त रूप से लागू एक काल्पनिक बल है।

2). डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को एक सुविधाजनक कार्यप्रणाली उपकरण माना जाना चाहिए जो गतिशीलता की समस्या को स्थैतिक की समस्या में कम करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 1।आइए हम पायलट पर अभिनय करने वाली युग्मन प्रतिक्रिया का निर्धारण करें जब ऊर्ध्वाधर विमान में चलने वाला एक विमान गोता उड़ान से बाहर निकलता है (चित्र 11.5)।

पायलट गुरुत्वाकर्षण और सीट की प्रतिक्रिया से प्रभावित होता है। आइए डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत को लागू करें, इन बलों में जड़ता के डी'एलेम्बर्ट बल को जोड़ें:

(11.29)

आइए समीकरण (11.29) को सामान्य पर प्रक्षेपण में लिखें:

(11.30)

कहाँ आर- जब विमान समतल उड़ान में प्रवेश करता है तो वृत्त की त्रिज्या,

इस समय विमान की अधिकतम गति.

समीकरण (11.30) से

(11.31)

उदाहरण 2.आइए अब हम चढ़ाई मोड से बाहर निकलने के समय पायलट पर अभिनय करने वाली समान प्रतिक्रिया का निर्धारण करें (चित्र 11.6)।

किसी भौतिक बिंदु की सापेक्ष गति

यदि संदर्भ प्रणालियाँ जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष अनुवादात्मक रूप से नहीं चलती हैं, या उनके निर्देशांक की उत्पत्ति असमान या घुमावदार रूप से चलती है, तो ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ हैं गैर जड़त्वीय. इन सन्दर्भों में अभिगृहीतों को ढाँचा दिया जाता है ए 1 और ए 2 का अवलोकन नहीं किया जाता है, लेकिन इससे यह निष्कर्ष नहीं निकलता है कि गतिशीलता में केवल जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों में होने वाली गतिविधियों का अध्ययन किया जाता है। आइए हम एक गैर-जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार करें यदि भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल ज्ञात हैं और जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली की गति निर्दिष्ट है। निम्नलिखित में, संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम को एक स्थिर फ्रेम कहा जाएगा, और संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम को चलती संदर्भ फ्रेम कहा जाएगा। मान लीजिए कि यह बिंदु पर कार्यरत सक्रिय बलों का परिणाम है, और मान लीजिए कि यह बंधों की प्रतिक्रिया का परिणाम है; - निश्चित समन्वय प्रणाली; - चलती समन्वय प्रणाली।

किसी भौतिक बिंदु की गति पर विचार करें एम(चित्र 11.7), गतिमान समन्वय प्रणाली के साथ कठोरता से जुड़ा नहीं है, बल्कि इसके संबंध में गतिमान है। किनेमेटिक्स में, किसी बिंदु की इस गति को सापेक्ष कहा जाता था, एक निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक बिंदु की गति को निरपेक्ष कहा जाता था, और एक गतिशील समन्वय प्रणाली की गति को पोर्टेबल कहा जाता था।

किसी बिंदु की पूर्ण गति के लिए गतिशीलता का मूल नियम एमऐसा दिखाई देगा

(11.33)

बिंदु का पूर्ण त्वरण कहां है.

किनेमेटिक्स (कोरिओलिस प्रमेय) के त्वरणों के योग के प्रमेय के आधार पर, पूर्ण त्वरण सापेक्ष, परिवहन और कोरिओलिस त्वरणों का योग है

. (11.34)

(11.34) को (11.33) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

और नोटेशन को स्थानांतरित करने और दर्ज करने के बाद

(11.35)

कहाँ ; वेक्टर को जड़त्व स्थानांतरण बल कहा जाता है; - कोरिओलिस जड़त्व बल.

समानता (11.35) एक बिंदु की सापेक्ष गति के नियम को व्यक्त करती है। नतीजतन, एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक बिंदु की गति को एक जड़त्वीय फ्रेम में गति के रूप में माना जा सकता है, यदि हम बिंदु पर कार्यरत सक्रिय बलों और युग्मन प्रतिक्रियाओं की संख्या में स्थानांतरण और कोरिओलिस जड़त्वीय बलों को जोड़ते हैं।

एक भौतिक बिंदु और एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता में जड़ता बल

जड़ता के बल सेकिसी भौतिक बिंदु का गुणनफल बिंदु के द्रव्यमान और उसके त्वरण का गुणनफल होता है, जिसे ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, यानी गतिशीलता में जड़त्वीय बल निम्नलिखित मामलों में लागू होते हैं:

• 1. किसी सामग्री की गति का अध्ययन करते समय बिंदु को अंदर की ओर इंगित करें गैर जड़त्वीय(चलती) समन्वय प्रणाली, यानी सापेक्ष गति। ये परिवहन और कोरिओलिस जड़त्व बल हैं, जिन्हें अक्सर यूलर बल कहा जाता है।
• 2. कीनेटोस्टैटिक विधि का उपयोग करके गतिशीलता समस्याओं को हल करते समय। यह विधि डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत पर आधारित है, जिसके अनुसार किसी भौतिक बिंदु या भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की जड़त्वीय शक्तियां कुछ त्वरण के साथ चलती हैं जड़त्वीयसंदर्भ प्रणाली। इन जड़त्वीय बलों को डी'अलेम्बर्ट बल कहा जाता है।
• 3. लैग्रेंज-डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत या गतिकी के सामान्य समीकरण का उपयोग करके गतिशीलता की समस्याओं को हल करते समय डी'अलेम्बर्ट की जड़त्वीय शक्तियों का भी उपयोग किया जाता है।

कार्तीय निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में अभिव्यक्ति

कहाँ - कार्टेशियन समन्वय अक्ष पर एक बिंदु के त्वरण के प्रक्षेपण के मॉड्यूल।

जब कोई बिंदु वक्ररेखीय दिशा में गति करता है, तो जड़त्वीय बल को स्पर्शरेखा और सामान्य में विघटित किया जा सकता है; , - स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण का मॉड्यूल; - प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या;

वीबिंदु गति.

एक भौतिक बिंदु के लिए डी'एलेम्बर्ट का सिद्धांत

यदि गैर-मुक्त करने के लिएलागू सक्रिय बलों और कनेक्शन की प्रतिक्रिया बलों की कार्रवाई के तहत आगे बढ़ने वाला एक भौतिक बिंदु, अपनी जड़त्वीय शक्ति लागू करता है, फिर किसी भी समय बलों की परिणामी प्रणाली संतुलित हो जाएगी, यानी इन बलों का ज्यामितीय योग शून्य के बराबर होगा।

यांत्रिक बिंदु शरीर सामग्री

कहाँ - किसी बिंदु पर लागू सक्रिय बलों का परिणाम; - एक बिंदु पर लगाए गए बंधनों की प्रतिक्रियाओं का परिणाम; किसी भौतिक बिंदु का जड़त्व बल। नोट: वास्तव में, किसी भौतिक बिंदु का जड़त्वीय बल उस बिंदु पर नहीं, बल्कि उस पिंड पर लगाया जाता है जो इस बिंदु पर त्वरण प्रदान करता है।

यांत्रिक प्रणाली के लिए डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत

ज्यामितीय योगसिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के मुख्य वैक्टर और सिस्टम के सभी बिंदुओं की जड़ता बल, साथ ही समय के किसी भी क्षण में एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली के लिए कुछ केंद्र के सापेक्ष इन बलों के मुख्य क्षणों का ज्यामितीय योग शून्य के बराबर हैं, अर्थात

एक कठोर पिंड की जड़ता बलों का प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण

किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली में शामिल प्रत्येक कठोर शरीर के लिए मुख्य वेक्टर और सिस्टम के बिंदुओं की जड़ता बलों का मुख्य क्षण अलग-अलग निर्धारित किया जाता है। उनकी परिभाषा किसी दिए गए केंद्र में बलों की एक मनमानी प्रणाली लाने की पॉइन्सॉट पद्धति पर आधारित है, जिसे सांख्यिकी से जाना जाता है।

इस पद्धति के आधार पर, शरीर के सभी बिंदुओं की जड़त्वीय ताकतों को, सामान्य स्थिति में, इसकी गतिविधियों को द्रव्यमान के केंद्र में लाया जा सकता है और मुख्य वेक्टर * और मुख्य क्षण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष. वे सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं यानी किसी के लिएएक कठोर पिंड की गति में, जड़त्वीय बलों का मुख्य वेक्टर ऋण चिह्न के साथ, पिंड के द्रव्यमान के उत्पाद और पिंड के द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण के बराबर होता है; ,कहाँ आर केसी -- त्रिज्या सदिश k- वांद्रव्यमान के केंद्र से खींचे गए बिंदु। किसी कठोर पिंड की गति के विशेष मामलों में ये सूत्र इस प्रकार हैं:

1. आगे बढ़ना।

2. द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर किसी पिंड का घूमना

3. समतल-समानांतर गति

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी का परिचय

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाएँ

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी- यांत्रिकी का एक क्षेत्र (अनुभाग) जिसमें किसी भी यांत्रिक प्रणाली के लिए उपयोग की जाने वाली सामान्य, एकीकृत विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग करके यांत्रिक प्रणालियों की गति या संतुलन का अध्ययन किया जाता है।

आइए हम विश्लेषणात्मक यांत्रिकी की सबसे विशिष्ट अवधारणाओं पर विचार करें।

1. कनेक्शन और उनका वर्गीकरण।

सम्बन्ध- निकायों के रूप में कोई प्रतिबंध या किसी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं की गति पर लगाई गई कोई गति संबंधी स्थिति। इन बाधाओं को समीकरणों या असमानताओं के रूप में लिखा जा सकता है।

ज्यामितीय कनेक्शन- कनेक्शन जिनके समीकरणों में केवल बिंदुओं के निर्देशांक होते हैं, यानी, प्रतिबंध केवल बिंदुओं के निर्देशांक पर लगाए जाते हैं। ये पिंडों, सतहों, रेखाओं आदि के रूप में कनेक्शन हैं।

विभेदक संबंध-- कनेक्शन जो न केवल बिंदुओं के निर्देशांक पर, बल्कि उनकी गति पर भी प्रतिबंध लगाते हैं।

होलोनोमिक कनेक्शन--सभी ज्यामितीय कनेक्शन और वे अंतर जिनके समीकरण एकीकृत किए जा सकते हैं।

गैर-होलोनोमिक कनेक्शन- विभेदक गैर-अभिन्न कनेक्शन।

लैंडलाइन कनेक्शन --कनेक्शन जिनके समीकरणों में स्पष्ट रूप से समय शामिल नहीं है।

गैर-स्थिर संचार- ऐसे कनेक्शन जो समय के साथ बदलते हैं, यानी, जिनके समीकरणों में स्पष्ट रूप से समय शामिल होता है।

दोतरफा (होल्डिंग) कनेक्शन--कनेक्शन जो दो विपरीत दिशाओं में एक बिंदु की गति को सीमित करते हैं। ऐसे कनेक्शन समीकरणों द्वारा वर्णित हैं .

एक तरफा(गैर-निरोधक) कनेक्शन - ऐसे कनेक्शन जो केवल एक दिशा में गति को सीमित करते हैं। ऐसे संबंधों का वर्णन असमानताओं द्वारा किया जाता है

2. संभव (आभासी) और वास्तविक गतिविधियाँ।

संभवया आभासीएक यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं का विस्थापन काल्पनिक अनंतिम गति है जो सिस्टम पर लगाए गए कनेक्शन की अनुमति देता है।

संभवएक यांत्रिक प्रणाली की गति प्रणाली के उन बिंदुओं की एक साथ संभावित गतिविधियों का समूह है जो कनेक्शन के साथ संगत हैं। मान लीजिए कि यांत्रिक प्रणाली एक क्रैंक तंत्र है।

बिंदु का संभावित संचलन एएक गति है, जो अपने छोटेपन के कारण, सीधीरेखीय मानी जाती है और लंबवत निर्देशित होती है ओए.

बिंदु का संभावित संचलन में(स्लाइडर) गाइडों में घूम रहा है। क्रैंक की संभावित गति ओएघूर्णन कोण और कनेक्टिंग रॉड है एबी --एमसीएस के चारों ओर के कोण पर (बिंदु) आर)।

वैधसिस्टम बिंदुओं के विस्थापन को प्राथमिक विस्थापन भी कहा जाता है जो सुपरइम्पोज़्ड कनेक्शन की अनुमति देता है, लेकिन गति की प्रारंभिक स्थितियों और सिस्टम पर कार्य करने वाली ताकतों को ध्यान में रखते हुए।

डिग्रियों की संख्यास्वतंत्रता एसएक यांत्रिक प्रणाली की संख्या उसके स्वतंत्र संभावित आंदोलनों की संख्या है जिसे एक निश्चित समय पर सिस्टम के बिंदुओं पर संचारित किया जा सकता है।

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत (लैग्रेंज सिद्धांत)

संभावित विस्थापन का सिद्धांत या लैग्रेंज सिद्धांत लागू सक्रिय बलों के प्रभाव के तहत एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति को व्यक्त करता है। सिद्धांत का कथन.

संतुलन के लिएदो-तरफ़ा, स्थिर, होलोनोमिक और आदर्श कनेक्शन वाली एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली, जो लागू सक्रिय बलों की कार्रवाई के तहत आराम पर है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सभी सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्यों का योग बराबर हो विचारित संतुलन स्थिति से सिस्टम के किसी भी संभावित विस्थापन पर गोली:

गतिकी का सामान्य समीकरण (लैग्रेंज-डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत)

गतिशीलता के सामान्य समीकरण को गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणालियों की गति के अध्ययन के लिए लागू किया जाता है, जिनके शरीर या बिंदु कुछ त्वरण के साथ चलते हैं।

डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के अनुसार, एक यांत्रिक प्रणाली पर लागू सक्रिय बलों की समग्रता, सिस्टम के सभी बिंदुओं पर प्रतिक्रिया बलों और जड़ता बलों को जोड़कर बलों की एक संतुलित प्रणाली बनती है।

यदि हम ऐसी प्रणाली पर संभावित विस्थापन के सिद्धांत (लैग्रेंज का सिद्धांत) को लागू करते हैं, तो हमें संयुक्त लैग्रेंज-डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत या प्राप्त होता है। गतिकी का सामान्य समीकरण.इस सिद्धांत का कथन.

जब मुक्त घूम रहा होदो-तरफ़ा, आदर्श, स्थिर और होलोनोमिक कनेक्शन वाली एक यांत्रिक प्रणाली में, सिस्टम के किसी भी संभावित आंदोलन पर सिस्टम के बिंदुओं पर लागू सभी सक्रिय बलों और जड़ता बलों के प्राथमिक कार्यों का योग शून्य है:

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण

लैग्रेंज समीकरणदूसरे प्रकार के सामान्यीकृत निर्देशांक में एक यांत्रिक प्रणाली की गति के विभेदक समीकरण हैं।

एक सिस्टम के लिए एसस्वतंत्रता की डिग्री, इन समीकरणों का रूप है

अंतरसामान्यीकृत गति के संबंध में प्रणाली की गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के समय के संबंध में कुल व्युत्पन्न और सामान्यीकृत समन्वय के संबंध में गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न सामान्यीकृत बल के बराबर है।

रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणालियों के लिए लैग्रेंज समीकरण। चक्रीय निर्देशांक और अभिन्न

एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए, सामान्यीकृत बलों को सूत्र के अनुसार सिस्टम की संभावित ऊर्जा के माध्यम से निर्धारित किया जाता है

फिर लैग्रेंज समीकरणों को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

चूंकि सिस्टम की संभावित ऊर्जा केवल सामान्यीकृत निर्देशांक का एक कार्य है, यानी, इसे ध्यान में रखते हुए, हम इसे उस रूप में प्रस्तुत करते हैं जहां टी - पी = एल --लैग्रेंज फ़ंक्शन (गतिज क्षमता)। अंत में, एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए लैग्रेंज समीकरण

एक यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति की स्थिरता

यांत्रिक प्रणालियों की संतुलन स्थिति की स्थिरता का प्रश्न प्रणालियों के कंपन के सिद्धांत में प्रत्यक्ष महत्व का है।

संतुलन की स्थिति स्थिर, अस्थिर और उदासीन हो सकती है।

टिकाऊसंतुलन स्थिति - एक संतुलन स्थिति जिसमें एक यांत्रिक प्रणाली के बिंदु, इस स्थिति से हटा दिए जाते हैं, बाद में बलों की कार्रवाई के तहत उनकी संतुलन स्थिति के तत्काल आसपास के क्षेत्र में चले जाते हैं।

इस आंदोलन में समय के साथ कुछ हद तक दोहराव होगा, यानी सिस्टम एक दोलनशील आंदोलन करेगा।

अस्थिरसंतुलन स्थिति - एक संतुलन स्थिति जिसमें से, सिस्टम के बिंदुओं के मनमाने ढंग से छोटे विचलन के साथ, आगे कार्यरत बल बिंदुओं को उनकी संतुलन स्थिति से और भी दूर ले जाएंगे .

उदासीनसंतुलन स्थिति - एक संतुलन स्थिति जब, इस स्थिति से सिस्टम के बिंदुओं के किसी भी छोटे प्रारंभिक विचलन के लिए, नई स्थिति में सिस्टम भी संतुलन में रहता है। .

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थिर संतुलन स्थिति निर्धारित करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं।

आइए हम इसके आधार पर स्थिर संतुलन स्थिति की परिभाषा पर विचार करें लैग्रेंज-डिरिचलेट प्रमेय

यदि स्थिति में हैआदर्श और स्थिर कनेक्शन के साथ एक रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली का संतुलन, इसकी संभावित ऊर्जा न्यूनतम है, तो यह संतुलन स्थिति स्थिर है।

प्रभाव घटना. प्रभाव बल और प्रभाव आवेग

वह घटना जिसमें, नगण्य रूप से छोटी अवधि में, किसी पिंड पर बिंदुओं के वेग में एक सीमित मात्रा में परिवर्तन होता है, कहलाती है फूँक मारना।समय की इस अवधि को कहा जाता है प्रभाव समय.किसी प्रभाव के दौरान, प्रभाव बल अनंत समय तक लगाया जाता है। प्रभाव बलवह बल कहलाता है जिसका प्रभाव के दौरान संवेग एक सीमित मान होता है।

यदि बल मापांक में सीमित है समय के साथ कार्य करता है, समय के एक क्षण में अपनी क्रिया प्रारंभ करता है , तब उसके आवेग का रूप होता है

इसके अलावा, जब कोई प्रभाव बल किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करता है, तो हम यह कह सकते हैं:

प्रभाव के दौरान गैर-तात्कालिक बलों की कार्रवाई की उपेक्षा की जा सकती है;

प्रभाव के दौरान सामग्री बिंदु की गति को नजरअंदाज किया जा सकता है;

किसी भौतिक बिंदु पर प्रभाव बल की कार्रवाई का परिणाम प्रभाव के दौरान उसके वेग वेक्टर में अंतिम परिवर्तन में व्यक्त किया जाता है।

प्रभाव पर एक यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय

प्रभाव के दौरान यांत्रिक प्रणाली की गति में परिवर्तन सिस्टम के बिंदुओं पर लागू सभी बाहरी सदमे दालों के ज्यामितीय योग के बराबर है,कहाँ - प्रभाव बलों की समाप्ति के समय यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा, - जिस समय प्रभाव बल कार्य करना शुरू करते हैं उस समय यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा, - बाहरी आघात आवेग.

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत हमें यांत्रिक प्रणालियों की गतिशीलता की समस्याओं को स्थैतिक की समस्याओं के रूप में तैयार करने की अनुमति देता है। इस मामले में, गति के गतिशील अंतर समीकरणों को संतुलन समीकरणों का रूप दिया जाता है। इस विधि को कहा जाता है कीनेटोस्टेटिक विधि .

एक भौतिक बिंदु के लिए डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत: « समय के प्रत्येक क्षण में, किसी भौतिक बिंदु की गति, उस पर वास्तव में कार्य करने वाली सक्रिय शक्तियां, कनेक्शन की प्रतिक्रियाएं और बिंदु पर सशर्त रूप से लागू जड़ता का बल, बलों की एक संतुलित प्रणाली बनाता है»

एक बिंदु के जड़त्व बल द्वारा एक सदिश राशि कहलाती है जिसका बल आयाम किसी बिंदु के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है और त्वरण सदिश के विपरीत निर्देशित होता है

. (3.38)

एक यांत्रिक प्रणाली को भौतिक बिंदुओं के एक समूह के रूप में मानते हुए, जिनमें से प्रत्येक पर, डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के अनुसार, बलों की एक संतुलित प्रणाली द्वारा कार्य किया जाता है, हमें इस सिद्धांत से परिणाम मिलते हैं जैसा कि सिस्टम पर लागू होता है। किसी भी केंद्र के सापेक्ष मुख्य वेक्टर और उसके सभी बिंदुओं की प्रणाली पर लागू बाहरी बलों और जड़ता बलों का मुख्य क्षण शून्य के बराबर है:

(3.39)

यहां बाहरी ताकतें कनेक्शन की सक्रिय ताकतें और प्रतिक्रियाएं हैं।

जड़त्व बलों का मुख्य सदिशयांत्रिक प्रणाली प्रणाली के द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के गुणनफल के बराबर होती है और इस त्वरण के विपरीत दिशा में निर्देशित होती है

. (3.40)

जड़त्व बलों का मुख्य क्षणएक मनमाना केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के बारे मेंउसी केंद्र के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग के विपरीत चिह्न के साथ लिए गए समय व्युत्पन्न के बराबर है

. (3.41)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के लिए आउंस, आइए इस अक्ष के सापेक्ष जड़त्व बलों का मुख्य क्षण ज्ञात करें

. (3.42)

3.8. विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के तत्व

अनुभाग "विश्लेषणात्मक यांत्रिकी" सामग्री प्रणालियों के यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य सिद्धांतों और विश्लेषणात्मक तरीकों की जांच करता है।

3.8.1. सिस्टम की संभावित गतिविधियाँ. वर्गीकरण

कुछ कनेक्शन

बिंदुओं की संभावित हलचल
एक यांत्रिक प्रणाली में एक निश्चित समय पर सिस्टम पर लगाए गए कनेक्शनों द्वारा अनुमत कोई भी काल्पनिक, अतिसूक्ष्म गति होती है। ए-प्राथमिकता, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एक यांत्रिक प्रणाली को उसकी स्वतंत्र संभावित गतिविधियों की संख्या कहा जाता है।

सिस्टम पर लगाए गए कनेक्शन कहलाते हैं आदर्श , यदि सिस्टम के बिंदुओं के किसी भी संभावित विस्थापन पर उनकी प्रतिक्रियाओं के प्रारंभिक कार्यों का योग शून्य के बराबर है

. (3. 43)

वे कनेक्शन जिनके लिए उनके द्वारा लगाए गए प्रतिबंध सिस्टम की किसी भी स्थिति में संरक्षित रहते हैं, कहलाते हैं पकड़े . जो रिश्ते समय के साथ नहीं बदलते, और जिनके समीकरणों में स्पष्ट रूप से समय शामिल नहीं होता, वे रिश्ते कहलाते हैं अचल . ऐसे कनेक्शन जो सिस्टम में केवल बिंदुओं की गति को सीमित करते हैं, कहलाते हैं ज्यामितिक , और सीमित गति हैं कीनेमेटीक्स का . निम्नलिखित में, हम केवल ज्यामितीय कनेक्शनों और उन गतिज कनेक्शनों पर विचार करेंगे जिन्हें एकीकरण के माध्यम से ज्यामितीय कनेक्शनों में घटाया जा सकता है।

3.8.2. संभावित आंदोलनों का सिद्धांत

आदर्श और स्थिर कनेक्शन रखने वाली एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है

सिस्टम के किसी भी संभावित विस्थापन के लिए, उस पर कार्यरत सभी सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्यों का योग शून्य के बराबर था

. (3.44)

निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण में:

. (3.45)

संभावित विस्थापन का सिद्धांत किसी भी यांत्रिक प्रणाली के व्यक्तिगत भागों के संतुलन पर विचार किए बिना, उसके संतुलन की स्थितियों को सामान्य रूप में स्थापित करना संभव बनाता है। इस मामले में, केवल सिस्टम पर कार्य करने वाली सक्रिय शक्तियों को ही ध्यान में रखा जाता है। इन स्थितियों में आदर्श बंधों की अज्ञात प्रतिक्रियाएँ शामिल नहीं हैं। साथ ही, यह सिद्धांत इन बांडों को त्यागकर और उनकी प्रतिक्रियाओं को सक्रिय बलों की संख्या में पेश करके आदर्श बांडों की अज्ञात प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना संभव बनाता है। उन बांडों को त्यागते समय जिनकी प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, सिस्टम स्वतंत्रता की डिग्री की एक अतिरिक्त संगत संख्या प्राप्त करता है।

उदाहरण 1 . बलों के बीच संबंध ज्ञात कीजिए और जैक, यदि यह ज्ञात हो कि हैंडल के प्रत्येक मोड़ के साथ एबी = एल, पेंच साथराशि से विस्तारित होता है एच(चित्र 3.3)।

समाधान

तंत्र की संभावित गतिविधियां हैंडल  को घुमाना और भार  को हिलाना है एच. बलों के प्रारंभिक कार्य के शून्य के बराबर होने की शर्त:

पी एल- क्यूएच = 0;

तब
. चूँकि एच 0, फिर

3.8.3. सामान्य परिवर्तनशील गतिशीलता समीकरण

एक प्रणाली की गति पर विचार करें जिसमें शामिल है एनअंक. सक्रिय बल इस पर कार्य करते हैं और कनेक्शन की प्रतिक्रियाएँ .(क = 1,…,एन) यदि हम बिंदुओं के जड़त्व बलों को अभिनय बलों में जोड़ दें
, फिर, डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के अनुसार, बलों की परिणामी प्रणाली संतुलन में होगी और इसलिए, संभावित विस्थापन (3.44) के सिद्धांत के आधार पर लिखी गई अभिव्यक्ति मान्य है:

. (3.46)

यदि सभी कनेक्शन आदर्श हैं, तो दूसरा योग शून्य के बराबर है और समन्वय अक्षों पर अनुमानों में समानता (3.46) इस तरह दिखेगी:

अंतिम समानता समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपणों में गतिशीलता का एक सामान्य परिवर्तनीय समीकरण है, जो हमें एक यांत्रिक प्रणाली की गति के अंतर समीकरण बनाने की अनुमति देता है।

सामान्य परिवर्तनशील गतिकी समीकरण एक गणितीय अभिव्यक्ति है डी'एलेम्बर्ट-लैग्रेंज सिद्धांत: « जब कोई सिस्टम किसी निश्चित समय पर स्थिर, आदर्श, निरोधक कनेक्शन के अधीन चलता है, तो सिस्टम पर लागू सभी सक्रिय बलों और सिस्टम के किसी भी संभावित आंदोलन पर जड़त्वीय बलों के प्रारंभिक कार्यों का योग शून्य होता है।».

उदाहरण 2 . तीन निकायों से युक्त एक यांत्रिक प्रणाली (चित्र 3.4) के लिए, लोड 1 का त्वरण और केबल 1-2 का तनाव निर्धारित करें यदि: एम 1 = 5एम; एम 2 = 4एम; एम 3 = 8एम; आर 2 = 0,5आर 2 ; ब्लॉक 2 के परिभ्रमण की त्रिज्या मैं = 1,5आर 2. रोलर 3 एक सतत सजातीय डिस्क है।

समाधान

आइए हम उन बलों को चित्रित करें जो संभावित विस्थापन  पर प्रारंभिक कार्य करते हैं एसलोड 1:

आइए हम भार 1 की संभावित गति के माध्यम से सभी पिंडों की संभावित गतिविधियों को लिखें:

आइए हम लोड 1 के वांछित त्वरण के माध्यम से सभी निकायों के रैखिक और कोणीय त्वरण को व्यक्त करें (संबंध संभावित विस्थापन के मामले में समान हैं):

.

इस समस्या के लिए सामान्य परिवर्तनीय समीकरण का रूप इस प्रकार है:

सक्रिय बलों, जड़त्वीय बलों और संभावित विस्थापनों के लिए पहले प्राप्त अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करते हुए, सरल परिवर्तनों के बाद हम प्राप्त करते हैं

चूँकि  एस 0, इसलिए, त्वरण वाले कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है ए 1 , कहाँ ए 1 = 5जी/8,25 = 0,606जी.

लोड धारण करने वाली केबल के तनाव को निर्धारित करने के लिए, हम केबल से लोड को मुक्त करते हैं, इसकी क्रिया को वांछित प्रतिक्रिया से बदल देते हैं . निर्दिष्ट बलों के प्रभाव में ,और भार पर जड़त्व बल लगाया गया
वह संतुलन में है. नतीजतन, डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत प्रश्न में लोड (बिंदु) पर लागू होता है, यानी। आइए उसे लिखें
. यहाँ से
.

3.8.4. दूसरे प्रकार का लैग्रेंज समीकरण

सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेग. कोई भी परस्पर स्वतंत्र पैरामीटर जो अंतरिक्ष में किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है, कहलाता है सामान्यीकृत निर्देशांक . ये निर्देशांक, निरूपित हैं क्यू 1 ,....क्यूमेरा कोई भी आयाम हो सकता है. विशेष रूप से, सामान्यीकृत निर्देशांक विस्थापन या घूर्णन कोण हो सकते हैं।

विचाराधीन प्रणालियों के लिए, सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर है। सिस्टम के प्रत्येक बिंदु की स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक का एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन है

इस प्रकार, सामान्यीकृत निर्देशांक में सिस्टम की गति निम्नलिखित निर्भरताओं द्वारा निर्धारित होती है:

सामान्यीकृत निर्देशांक के प्रथम व्युत्पन्न कहलाते हैं सामान्यीकृत गति :
.

सामान्यीकृत बल.बल के प्रारंभिक कार्य के लिए अभिव्यक्ति संभावित स्थानांतरण पर
इसका रूप है:

.

बल प्रणाली के प्रारंभिक संचालन के लिए, हम लिखते हैं

प्राप्त निर्भरताओं का उपयोग करते हुए, इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

सामान्यीकृत बल किसके अनुरूप है मैंवें सामान्यीकृत समन्वय,

. (3.49)

इस प्रकार, सामान्यीकृत बल संगत मैंवें सामान्यीकृत निर्देशांक, सिस्टम के संभावित विस्थापन पर सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्यों के योग की अभिव्यक्ति में इस समन्वय की भिन्नता का गुणांक है . सामान्यीकृत बल की गणना करने के लिए, संभावित विस्थापन की प्रणाली को सूचित करना आवश्यक है, जिसके दौरान केवल सामान्यीकृत समन्वय बदलता है क्यू मैं. पर गुणांक
और वांछित सामान्यीकृत बल होगा।

सामान्यीकृत निर्देशांक में किसी प्रणाली की गति के समीकरण. आइए हमें एक यांत्रिक प्रणाली दी जाए एसस्वतंत्रता की कोटियां। इस पर कार्य करने वाली शक्तियों को जानते हुए, सामान्यीकृत निर्देशांक में गति के विभेदक समीकरण बनाना आवश्यक है
. आइए हम सिस्टम की गति के अंतर समीकरणों की रचना करने की प्रक्रिया को लागू करें - दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण - एक मुक्त सामग्री बिंदु के लिए इन समीकरणों की व्युत्पत्ति के अनुरूप। न्यूटन के दूसरे नियम के आधार पर हम लिखते हैं

आइए हम किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा के लिए नोटेशन का उपयोग करके इन समीकरणों का एक एनालॉग प्राप्त करें,

अक्ष पर वेग के प्रक्षेपण के संबंध में गतिज ऊर्जा का आंशिक व्युत्पन्न
इस अक्ष पर संवेग के प्रक्षेपण के बराबर, अर्थात

आवश्यक समीकरण प्राप्त करने के लिए, आइए समय के संबंध में डेरिवेटिव की गणना करें:

समीकरणों की परिणामी प्रणाली किसी भौतिक बिंदु के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण है।

एक यांत्रिक प्रणाली के लिए, हम दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों को समीकरणों के रूप में प्रस्तुत करते हैं जिनमें सक्रिय बलों के प्रक्षेपण के बजाय पी एक्स , पी य , पी जेडसामान्यीकृत बलों का प्रयोग करें क्यू 1 , क्यू 2 ,...,क्यूमैं और आम तौर पर सामान्यीकृत निर्देशांक पर गतिज ऊर्जा की निर्भरता को ध्यान में रखता हूं।

एक यांत्रिक प्रणाली के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों का रूप होता है:

. (3.50)

उनका उपयोग ज्यामितीय, आदर्श और निरोधक बाधाओं के साथ किसी भी यांत्रिक प्रणाली की गति का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण 3 . एक यांत्रिक प्रणाली के लिए (चित्र 3.5), जिसके लिए डेटा पिछले उदाहरण में दिया गया है, दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करके गति का एक अंतर समीकरण बनाएं,

समाधान

यांत्रिक प्रणाली में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। आइए हम भार के रैखिक संचलन को एक सामान्यीकृत समन्वय के रूप में लें क्यू 1 = एस; सामान्यीकृत गति - . इसे ध्यान में रखते हुए, हम दूसरे प्रकार का लैग्रेंज समीकरण लिखते हैं

.

आइए सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए एक अभिव्यक्ति बनाएं

.

आइए हम सभी कोणीय और रैखिक वेगों को सामान्यीकृत गति के रूप में व्यक्त करें:

अब हम पाते हैं

आइए संभावित विस्थापन  पर प्रारंभिक कार्य के लिए एक अभिव्यक्ति बनाकर सामान्यीकृत बल की गणना करें एससभी सक्रिय बल. घर्षण बलों को ध्यान में रखे बिना, सिस्टम में काम केवल भार 1 के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया जाता है
आइए हम  पर सामान्यीकृत बल लिखें एस, प्रारंभिक कार्य में एक गुणांक के रूप में क्यू 1 = 5एमजी. आगे हम पाएंगे

अंत में, सिस्टम की गति के अंतर समीकरण का रूप होगा:

प्रारंभ में, इस सिद्धांत का विचार जैकब बर्नौली (1654-1705) द्वारा मनमाने आकार के पिंडों के दोलन केंद्र की समस्या पर विचार करते समय व्यक्त किया गया था। 1716 में, सेंट पीटर्सबर्ग के शिक्षाविद् जे. हरमन (1678 - 1733) ने "मुक्त" आंदोलनों और "वास्तविक" आंदोलनों, यानी कनेक्शन की उपस्थिति में किए गए आंदोलनों के स्थिर तुल्यता के सिद्धांत को सामने रखा। बाद में, इस सिद्धांत को एल. यूलर (1707-1783) द्वारा लचीले पिंडों के कंपन की समस्या पर लागू किया गया (कार्य 1740 में प्रकाशित हुआ) और इसे "पीटर्सबर्ग सिद्धांत" कहा गया। हालाँकि, प्रश्न में सिद्धांत को सामान्य रूप में तैयार करने वाले पहले व्यक्ति, हालांकि उन्होंने इसे उचित विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं दी, डी'अलेम्बर्ट (1717-1783) थे। 1743 में प्रकाशित अपनी डायनेमिक्स में उन्होंने गैर-मुक्त प्रणालियों की गतिशीलता में समस्याओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की एक सामान्य विधि का संकेत दिया। इस सिद्धांत की एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति बाद में लैग्रेंज ने अपने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में दी थी।

आइए कुछ गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। आइए हम सिस्टम के किसी भी बिंदु पर कार्य करने वाले सभी सक्रिय बलों के परिणाम को और युग्मन प्रतिक्रियाओं के परिणाम को द्वारा निरूपित करें, फिर बिंदु की गति के समीकरण का रूप होगा

एक बिंदु का त्वरण वेक्टर कहां है, और इस बिंदु का द्रव्यमान है।

यदि हम डी'एलेम्बर्ट जड़त्व बल नामक एक बल का परिचय दें, तो गति के समीकरण (2.9) को तीन बलों के संतुलन समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

समीकरण (2.10) एक बिंदु के लिए डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत का सार है, और सिस्टम तक विस्तारित समान समीकरण सिस्टम के लिए डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत का सार है।

गति का समीकरण, फॉर्म (2.10) में लिखा गया है, हमें डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत को निम्नलिखित सूत्रीकरण देने की अनुमति देता है: यदि कोई प्रणाली गति में है, तो किसी समय, तुरंत रुकें और इस प्रणाली के प्रत्येक भौतिक बिंदु पर लागू करें रुकने के क्षण में उस पर कार्य करने वाले कनेक्शनों की प्रतिक्रिया की सक्रिय ताकतें और डी'एलेम्बर्टियन जड़त्वीय ताकतें, तो सिस्टम संतुलन में रहेगा।

डी'एलेम्बर्ट का सिद्धांत गतिशील समस्याओं को हल करने के लिए एक सुविधाजनक तरीका है, क्योंकि यह गैर-मुक्त प्रणालियों की गति के समीकरणों को स्थैतिक समीकरणों के रूप में लिखने की अनुमति देता है।

इसके द्वारा, निश्चित रूप से, गतिकी की समस्या स्थैतिक की समस्या तक कम नहीं होती है, क्योंकि गति के समीकरणों को एकीकृत करने की समस्या अभी भी बनी हुई है, लेकिन डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत गैर-मुक्त गति के समीकरणों की रचना के लिए एक एकीकृत विधि प्रदान करता है सिस्टम, और यही इसका मुख्य लाभ है।

यदि हम ध्यान रखें कि प्रतिक्रियाएँ सिस्टम के बिंदुओं पर कनेक्शन की कार्रवाई का प्रतिनिधित्व करती हैं, तो डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत को निम्नलिखित सूत्रीकरण दिया जा सकता है: यदि डी'एलेम्बर्ट की जड़ता बलों को ए के बिंदुओं पर कार्य करने वाले सक्रिय बलों में जोड़ा जाता है गैर-मुक्त प्रणाली, तो इन बलों के परिणामी बल कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं से संतुलित होंगे। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि यह सूत्रीकरण वास्तविकता से सशर्त है

जब सिस्टम चलता है, तो कोई संतुलन नहीं होता है, क्योंकि सिस्टम के बिंदुओं पर जड़त्वीय बल लागू नहीं होते हैं।

अंत में, डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत को एक और समकक्ष सूत्रीकरण दिया जा सकता है, जिसके लिए हम समीकरण (2.9) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं: