कम्प्यूटेशनल समस्याओं की कुछ महत्वपूर्ण विशेषताओं पर चर्चा करने के बाद, आइए अपना ध्यान उन तरीकों पर केंद्रित करें जिनका उपयोग कम्प्यूटेशनल गणित में समस्याओं को कंप्यूटर पर कार्यान्वयन के लिए सुविधाजनक रूप में बदलने और कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम के निर्माण की अनुमति देने के लिए किया जाता है। हम इन विधियों को कम्प्यूटेशनल कहेंगे। कुछ हद तक परंपरा के साथ, कम्प्यूटेशनल तरीकों को निम्नलिखित वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: 1) समतुल्य परिवर्तनों के तरीके; 2)

सन्निकटन विधियाँ; 3) प्रत्यक्ष (सटीक) तरीके; 4) पुनरावृत्तीय तरीके; 5) सांख्यिकीय परीक्षण विधियाँ (मोंटे कार्लो विधियाँ)। एक विधि जो किसी विशिष्ट समस्या के समाधान की गणना करती है, उसकी संरचना जटिल हो सकती है, लेकिन इसके प्रारंभिक चरण, एक नियम के रूप में, निर्दिष्ट विधियों का कार्यान्वयन हैं। आइए उनके बारे में एक सामान्य विचार दें।

1. समतुल्य परिवर्तनों की विधियाँ।

ये विधियाँ आपको मूल समस्या को उसी समाधान वाली किसी अन्य समस्या से बदलने की अनुमति देती हैं। यदि नई समस्या मूल समस्या से सरल है या उसमें बेहतर गुण हैं, या इसके लिए कोई ज्ञात समाधान विधि है, और शायद एक तैयार कार्यक्रम भी है, तो समतुल्य परिवर्तन करना उपयोगी साबित होता है।

उदाहरण 3.13. द्विघात समीकरण को बनाने (पूर्ण वर्ग का चयन करने) में समतुल्य परिवर्तन से वर्गमूल की गणना करने की समस्या कम हो जाती है और इसके मूलों के लिए ज्ञात सूत्रों (3.2) की प्राप्ति होती है।

समतुल्य परिवर्तन कभी-कभी मूल कम्प्यूटेशनल समस्या के समाधान को पूरी तरह से अलग प्रकार की कम्प्यूटेशनल समस्या के समाधान तक कम करना संभव बनाते हैं।

उदाहरण 3.14. एक अरेखीय समीकरण की जड़ खोजने की समस्या को फ़ंक्शन के वैश्विक न्यूनतम बिंदु को खोजने की समतुल्य समस्या तक कम किया जा सकता है। वास्तव में, फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक है और केवल उन लोगों के लिए शून्य के बराबर न्यूनतम मान तक पहुंचता है जिनके लिए x है

2. सन्निकटन विधियाँ।

ये विधियाँ मूल समस्या को किसी अन्य के साथ अनुमानित (अनुमानित) करना संभव बनाती हैं, जिसका समाधान एक निश्चित अर्थ में मूल समस्या के समाधान के करीब है। ऐसे प्रतिस्थापन से उत्पन्न होने वाली त्रुटि को सन्निकटन त्रुटि कहा जाता है। एक नियम के रूप में, एक सन्निकटन समस्या में कुछ पैरामीटर होते हैं जो आपको सन्निकटन त्रुटि के परिमाण को समायोजित करने या समस्या के अन्य गुणों को प्रभावित करने की अनुमति देते हैं। यह कहने की प्रथा है कि एक सन्निकटन विधि अभिसरण करती है यदि सन्निकटन त्रुटि शून्य हो जाती है क्योंकि विधि पैरामीटर एक निश्चित सीमित मान की ओर प्रवृत्त होते हैं।

उदाहरण 3.15. समाकलन की गणना करने के सबसे सरल तरीकों में से एक आकार के आयतों के सूत्र के आधार पर समाकलन का अनुमान लगाना है

चरण यहां एक विधि पैरामीटर है। चूँकि यह एक विशेष रूप से निर्मित अभिन्न योग है, यह एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा से पता चलता है कि जब आयत विधि अभिसरण करती है,

उदाहरण 3.16. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, इसकी अनुमानित गणना के लिए, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। इस संख्यात्मक विभेदन सूत्र की अनुमानित त्रुटि शून्य हो जाती है जब

सामान्य सन्निकटन विधियों में से एक विवेकीकरण है - एक परिमित-आयामी समस्या के साथ मूल समस्या का अनुमानित प्रतिस्थापन, यानी। एक समस्या जिसका इनपुट डेटा और वांछित समाधान संख्याओं के एक सीमित सेट द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उन समस्याओं के लिए जो परिमित-आयामी नहीं हैं, कंप्यूटर पर बाद के कार्यान्वयन के लिए यह चरण आवश्यक है, क्योंकि एक कंप्यूटर केवल सीमित संख्या में संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम है। उपरोक्त उदाहरण 3.15 और 3.16 में, नमूनाकरण का उपयोग किया गया था। यद्यपि अभिन्न की सटीक गणना में अनंत संख्या में मानों का उपयोग शामिल है (सभी के लिए, इसके अनुमानित मूल्य की गणना बिंदुओं पर सीमित संख्या में मानों का उपयोग करके की जा सकती है)। जिसके सटीक समाधान में सीमा को पार करने का ऑपरेशन शामिल है (और इसलिए, फ़ंक्शन के अनंत संख्या में मानों का उपयोग फ़ंक्शन के दो मानों के संबंध में व्युत्पन्न की अनुमानित गणना को कम कर देता है।

गैर-रेखीय समस्याओं को हल करते समय, विभिन्न रैखिककरण विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसमें सरल रैखिक समस्याओं के साथ मूल समस्या का अनुमानित प्रतिस्थापन शामिल होता है। उदाहरण 3.17. मान लीजिए कि सरल अंकगणितीय परिचालन करने में सक्षम कंप्यूटर पर मूल्य की लगभग गणना करना आवश्यक है। ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, x एक अरैखिक समीकरण का एक धनात्मक मूल है। आइए, परवलय को एक सीधी रेखा से प्रतिस्थापित करें जो उस पर खींची गई एक स्पर्शरेखा है।

भुज के साथ बिंदु। अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु एक बेहतर सन्निकटन देता है और इसे एक रैखिक समीकरण से हल करने पर, हमें एक अनुमानित सूत्र प्राप्त होता है

उदाहरण के लिए, यदि आप लेते हैं, तो आपको एक परिष्कृत मूल्य मिलता है

कम्प्यूटेशनल समस्याओं के विभिन्न वर्गों को हल करते समय, विभिन्न सन्निकटन विधियों का उपयोग किया जा सकता है; इनमें गलत समस्याओं के समाधान के लिए नियमितीकरण के तरीके शामिल हैं। ध्यान दें कि अनियमित समस्याओं को हल करने के लिए नियमितीकरण विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

3. प्रत्यक्ष विधियाँ।

किसी समस्या को हल करने की एक विधि को प्रत्यक्ष कहा जाता है यदि यह किसी को सीमित संख्या में प्राथमिक संचालन करने के बाद समाधान प्राप्त करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 3.18. सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूलों की गणना करने की विधि एक प्रत्यक्ष विधि है। चार अंकगणितीय संक्रियाएं और वर्गमूल संक्रियाएं यहां प्राथमिक मानी जाती हैं।

ध्यान दें कि प्रत्यक्ष विधि का एक प्रारंभिक संचालन काफी जटिल हो सकता है (प्राथमिक या विशेष फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना, एक निश्चित अभिन्न की गणना करना, आदि)। तथ्य यह है कि इसे प्राथमिक रूप में स्वीकार किया गया है, किसी भी मामले में, इसका तात्पर्य यह है कि इसका कार्यान्वयन पूरी समस्या के समाधान की गणना करने की तुलना में काफी सरल है।

प्रत्यक्ष तरीकों का निर्माण करते समय, प्राथमिक संचालन की संख्या को कम करने पर महत्वपूर्ण ध्यान दिया जाता है।

उदाहरण 3.19 (हॉर्नर आरेख)। मान लीजिए समस्या एक बहुपद के मान की गणना करने की है

दिए गए गुणांकों और तर्क x के मान के अनुसार। यदि आप सूत्र (3.12) का उपयोग करके सीधे बहुपद की गणना करते हैं, और इसे x द्वारा अनुक्रमिक गुणा द्वारा पाते हैं, तो आपको गुणा और जोड़ संचालन करने की आवश्यकता होगी।

एक अधिक किफायती गणना पद्धति को हॉर्नर योजना कहा जाता है। यह एक बहुपद को निम्नलिखित समकक्ष रूप में लिखने पर आधारित है:

कोष्ठकों का स्थान गणना के निम्नलिखित क्रम को निर्धारित करता है: यहां, मूल्य की गणना के लिए केवल गुणन और जोड़ संचालन की आवश्यकता होती है।

हॉर्नर की योजना दिलचस्प है क्योंकि यह एक ऐसी विधि का उदाहरण देती है जो प्राथमिक परिचालनों की संख्या के संदर्भ में इष्टतम है। सामान्य तौर पर, कम गुणन और जोड़ संचालन करने के परिणामस्वरूप किसी भी विधि से कोई मान प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

कभी-कभी प्रत्यक्ष तरीकों को सटीक कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि यदि इनपुट डेटा में कोई त्रुटि नहीं है और यदि प्रारंभिक संचालन सटीक रूप से किया जाता है, तो परिणामी परिणाम भी सटीक होगा। हालाँकि, कंप्यूटर पर विधि को लागू करते समय, एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि की उपस्थिति अपरिहार्य है, जिसका परिमाण त्रुटियों को गोल करने की विधि की संवेदनशीलता पर निर्भर करता है। पूर्व-मशीन अवधि में विकसित कई प्रत्यक्ष (सटीक) विधियाँ, गोलाई त्रुटियों के प्रति अत्यधिक संवेदनशीलता के कारण मशीन गणना के लिए अनुपयुक्त साबित हुईं। सभी सटीक विधियां ऐसी नहीं हैं, लेकिन यह ध्यान देने योग्य है कि पूरी तरह से सफल शब्द "सटीक" विधि के आदर्श कार्यान्वयन के गुणों को नहीं दर्शाता है, लेकिन वास्तविक गणना से प्राप्त परिणाम की गुणवत्ता को नहीं दर्शाता है।

4. पुनरावृत्तीय विधियाँ।

किसी समस्या को हल करने के लिए क्रमिक अनुमान बनाने की ये विशेष विधियाँ हैं। विधि का अनुप्रयोग एक या कई प्रारंभिक सन्निकटनों के चयन से शुरू होता है। प्रत्येक बाद के सन्निकटन को प्राप्त करने के लिए, पहले पाए गए सन्निकटन - पुनरावृत्ति का उपयोग करके क्रियाओं का एक समान सेट किया जाता है। इस पुनरावृत्तीय प्रक्रिया की असीमित निरंतरता सैद्धांतिक रूप से हमें समाधान के लिए अनुमानों का एक अनंत अनुक्रम बनाने की अनुमति देती है

पुनरावृत्ति क्रम. यदि यह क्रम समस्या के समाधान के लिए परिवर्तित हो जाता है, तो पुनरावृत्त विधि को अभिसरण कहा जाता है। प्रारंभिक सन्निकटनों का वह सेट जिसके लिए विधि अभिसरण करती है, विधि के अभिसरण का क्षेत्र कहलाता है।

ध्यान दें कि कंप्यूटर का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने में पुनरावृत्त तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 3.20. आइए गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई प्रसिद्ध पुनरावृत्त विधि पर विचार करें (जहां न्यूटन की विधि। आइए एक मनमाना प्रारंभिक सन्निकटन सेट करें। हम उदाहरण 3.17 में रैखिककरण विधि का उपयोग करके प्राप्त सूत्र का उपयोग करके अगले सन्निकटन की गणना करते हैं (सूत्र (3.11) देखें)। इस प्रक्रिया को जारी रखें इसके अलावा, हम एक पुनरावृत्त अनुक्रम प्राप्त करते हैं जिसमें अगले सन्निकटन की गणना आवर्ती सूत्र का उपयोग करके की जाती है

यह ज्ञात है कि यह विधि किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन पर अभिसरण करती है, इसलिए इसका अभिसरण क्षेत्र सभी सकारात्मक संख्याओं का समूह है।

आइए इसका उपयोग -बिट दशमलव कंप्यूटर पर मान की गणना करने के लिए करें। आइए सेट करें (जैसा कि उदाहरण 3.17 में है)। फिर आगे की गणना व्यर्थ है, क्योंकि बिट ग्रिड की सीमित प्रकृति के कारण, बाद के सभी परिशोधन समान परिणाम देंगे। हालाँकि, सटीक मूल्य के साथ तुलना से पता चलता है कि पहले से ही तीसरे पुनरावृत्ति में 6 सही महत्वपूर्ण आंकड़े प्राप्त किए गए थे।

एक उदाहरण के रूप में न्यूटन की विधि का उपयोग करते हुए, हम पुनरावृत्त विधियों के लिए कुछ विशिष्ट समस्याओं पर चर्चा करेंगे (और न केवल उनके लिए)। पुनरावृत्तीय विधियाँ स्वाभाविक रूप से अनुमानित हैं; परिणामी कोई भी अनुमान समाधान का सटीक मान नहीं है। हालाँकि, अभिसरण पुनरावृत्ति विधि सैद्धांतिक रूप से किसी भी सटीकता के साथ समाधान ढूंढना संभव बनाती है, इसलिए, पुनरावृत्त विधि का उपयोग करते समय, आवश्यक सटीकता हमेशा निर्दिष्ट की जाती है और जैसे ही इसे प्राप्त किया जाता है, पुनरावृत्त प्रक्रिया बाधित हो जाती है।

यद्यपि यह तथ्य कि विधि अभिसरण करती है, निश्चित रूप से महत्वपूर्ण है, व्यवहार में उपयोग के लिए विधि की अनुशंसा करना पर्याप्त नहीं है। यदि विधि बहुत धीमी गति से अभिसरण करती है (उदाहरण के लिए, 1% की सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करने के लिए आपको पुनरावृत्ति करने की आवश्यकता है), तो यह कंप्यूटर गणना के लिए अनुपयुक्त है। तेजी से अभिसरण विधियां, जिसमें न्यूटन की विधि शामिल है, व्यावहारिक मूल्य की हैं (याद रखें कि गणना की सटीकता केवल तीन पुनरावृत्तियों में हासिल की गई थी)। सैद्धांतिक रूप से अभिसरण की दर और पुनरावृत्त तरीकों की प्रयोज्यता की स्थितियों का अध्ययन करने के लिए, तथाकथित प्राथमिक त्रुटि अनुमान निकाले जाते हैं, जो गणना से पहले भी विधि की गुणवत्ता के बारे में कुछ निष्कर्ष देना संभव बनाते हैं।

आइए हम न्यूटन की विधि के लिए ऐसे दो प्राथमिक अनुमान प्रस्तुत करें। ज्ञात हो कि तब सभी के लिए और दो क्रमिक सन्निकटनों की त्रुटियाँ निम्नलिखित असमानता से संबंधित हैं:

यहां सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि को दर्शाने वाला एक मान है। यह असमानता विधि के अभिसरण की एक बहुत ही उच्च द्विघात दर को इंगित करती है: प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, "त्रुटि" का वर्ग किया जाता है। यदि हम इसे प्रारंभिक सन्निकटन की त्रुटि के माध्यम से व्यक्त करते हैं, तो हमें असमानता प्राप्त होती है

जिसमें से प्रारंभिक सन्निकटन के अच्छे विकल्प की भूमिका है। मान जितना छोटा होगा, विधि उतनी ही तेजी से अभिसरण होगी।

पुनरावृत्तीय तरीकों का व्यावहारिक कार्यान्वयन हमेशा पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को समाप्त करने के लिए एक मानदंड चुनने की आवश्यकता से जुड़ा होता है। गणना अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकती है और इसे किसी दिए गए सटीकता को प्राप्त करने के लिए, उदाहरण के लिए, संबंधित कुछ मानदंडों के अनुसार बाधित किया जाना चाहिए। इस उद्देश्य के लिए प्राथमिक अनुमानों का उपयोग अक्सर असंभव या अप्रभावी हो जाता है। यद्यपि विधि के व्यवहार को गुणात्मक रूप से सही ढंग से वर्णित करते हुए, ऐसे अनुमानों को अधिक महत्व दिया जाता है और बहुत अविश्वसनीय मात्रात्मक जानकारी प्रदान की जाती है। प्रायः प्राथमिक अनुमानों में अज्ञात बातें होती हैं

मात्राएँ (उदाहरण के लिए, अनुमान (3.14), (3.15) में मात्रा a होती है), या समाधान के बारे में कुछ अतिरिक्त जानकारी की उपस्थिति और गंभीर उपयोग का संकेत देती है। अधिकतर, ऐसी जानकारी उपलब्ध नहीं होती है, और इसका अधिग्रहण अतिरिक्त समस्याओं को हल करने की आवश्यकता से जुड़ा होता है, जो अक्सर मूल समस्या से अधिक जटिल होती हैं।

किसी दी गई सटीकता को प्राप्त करने पर समाप्ति मानदंड बनाने के लिए, एक नियम के रूप में, तथाकथित पोस्टीरियर त्रुटि अनुमान का उपयोग किया जाता है - असमानताएं जिसमें त्रुटि की भयावहता का अनुमान कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के दौरान प्राप्त ज्ञात मूल्यों या मूल्यों के माध्यम से लगाया जाता है। हालाँकि गणना शुरू होने से पहले ऐसे अनुमानों का उपयोग नहीं किया जा सकता है, लेकिन वे गणना प्रक्रिया के दौरान अनिश्चितता की एक ठोस मात्रा प्रदान करते हैं।

उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि (3.13) के लिए निम्नलिखित पश्च अनुमान मान्य है:

एस. उलम ने कंप्यूटर का उपयोग करके परमाणु रिएक्टर में न्यूट्रॉन के व्यवहार का अनुकरण करने के लिए यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग किया। बड़ी प्रणालियों की मॉडलिंग करते समय ये विधियां अपरिहार्य हो सकती हैं, लेकिन उनकी विस्तृत प्रस्तुति में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तंत्र का महत्वपूर्ण उपयोग शामिल है और यह इस पुस्तक के दायरे से परे है।

निर्धारकों

निर्धारक की अवधारणा

nवें क्रम के किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को किसी संख्या से संबद्ध किया जा सकता है निर्धारक (निर्धारक) मैट्रिक्स ए और को इस प्रकार दर्शाया गया है: , या , या डेट ए.

प्रथम क्रम मैट्रिक्स का निर्धारक, या प्रथम-क्रम निर्धारक, तत्व है

द्वितीय क्रम निर्धारक(दूसरे क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

चावल। दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए योजना

इस प्रकार, दूसरे क्रम का निर्धारक योग 2=2 है! पद, जिनमें से प्रत्येक 2 कारकों का उत्पाद है - मैट्रिक्स ए के तत्व, प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम से एक। एक पद को "+" चिन्ह के साथ लिया जाता है, दूसरे को "-" चिन्ह के साथ।

निर्धारक खोजें

तृतीय-क्रम निर्धारक (वर्ग मैट्रिक्स का तृतीय-क्रम निर्धारक) द्वारा दिया गया है:

इस प्रकार, तीसरे क्रम का निर्धारक योग 6=3 है! पद, जिनमें से प्रत्येक 3 कारकों का उत्पाद है - मैट्रिक्स ए के तत्व, प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम से एक। शब्दों का एक आधा भाग "+" चिन्ह के साथ लिया जाता है, दूसरा आधा भाग "-" चिन्ह के साथ लिया जाता है।

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए मुख्य विधि तथाकथित है त्रिकोण नियम (सारस का नियम): "+" चिह्न के साथ योग में शामिल तीन शब्दों में से पहला मुख्य विकर्ण के तत्वों का उत्पाद है, दूसरा और तीसरा दो त्रिकोणों के शीर्ष पर स्थित तत्वों का उत्पाद है मुख्य विकर्ण के समानांतर आधार; "-" चिह्न के साथ योग में शामिल तीन शब्दों को समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन दूसरे (पक्ष) विकर्ण के सापेक्ष। तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए नीचे 2 योजनाएँ हैं

बी)

चावल। तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए योजनाएँ

निर्धारक खोजें:

nवें क्रम (n 4) के एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके की जाती है।

निर्धारकों के मूल गुण. निर्धारकों की गणना के तरीके

मैट्रिक्स निर्धारकों में निम्नलिखित मूल गुण होते हैं:

1. मैट्रिक्स स्थानांतरित होने पर निर्धारक नहीं बदलता है।

2. यदि सारणिक में दो पंक्तियों (या स्तंभों) की अदला-बदली की जाती है, तो सारणिक चिह्न बदल देगा।

3. दो आनुपातिक (विशेष रूप से, समान) पंक्तियों (स्तंभों) वाला एक निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

4. यदि किसी सारणिक में एक पंक्ति (स्तंभ) में शून्य हो, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।

5. किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों का सामान्य गुणनखंड निर्धारक चिन्ह से निकाला जा सकता है।

6. यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों में हम दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के संबंधित तत्वों को उसी संख्या से गुणा करके जोड़ दें तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

7. विकर्ण और त्रिकोणीय (ऊपरी और निचले) मैट्रिक्स का निर्धारक विकर्ण तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

8. वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है।

प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए दिशानिर्देश

बाज़ी अलेक्जेंडर अनातोलीविच

ओडेसा 2008

साहित्य

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अनुमानित गणना 2

साजिश रचने के बारे में

चौरसाई 10

सन्निकटन 12

सीधा करना (रैखिकीकरण) 13

न्यूनतम वर्ग विधि 15

प्रक्षेप 24

लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद 26

लैग्रेंज सूत्र 29 का अवशेष पद

30 के परिवर्तनीय चरण वाली तालिका के लिए न्यूटन का प्रक्षेप बहुपद

34 के स्थिर चरण के साथ एक तालिका से प्रक्षेप

स्टर्लिंग, बेसेल, न्यूटन 37 के प्रक्षेप बहुपद

दो तर्कों की फ़ंक्शन तालिका से इंटरपोलेशन 42

तालिका द्वारा विभेदन 44

समीकरणों का संख्यात्मक समाधान 46

द्विभाजन (द्विभाजन विधि) 46

सरल पुनरावृत्ति विधि 47

न्यूटन की विधि 50

एक चर के किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम ज्ञात करना 51

स्वर्णिम अनुपात विधि 51

परवलय विधि 54

निश्चित समाकलन की गणना 56

समलम्ब चतुर्भुज सूत्र 59

औसत का सूत्र या आयतों का सूत्र 61

सिम्पसन का सूत्र 62

साधारण अवकल समीकरणों को हल करना। कॉची समस्या 64

शास्त्रीय यूलर विधि 66

परिष्कृत यूलर विधि 67

पूर्वानुमान एवं सुधार की विधि 69

रंज-कुट्टा विधियाँ 71

हार्मोनिक विश्लेषण 74

ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन सिस्टम 78

विधि 12 निर्देशांक 79

अनुमानित गणना

आइए एक साधारण समस्या का समाधान करें. मान लीजिए कि एक छात्र स्टेशन से 1247 मीटर की दूरी पर रहता है। ट्रेन 17:38 बजे रवाना होती है। यदि किसी छात्र की औसत गति 6 किमी/घंटा है तो उसे ट्रेन छूटने से कितने समय पहले घर छोड़ना चाहिए?

हमें तुरंत समाधान मिलता है:

.

हालाँकि, यह संभावना नहीं है कि कोई वास्तव में इस गणितीय सटीक समाधान का उपयोग करेगा, और यहाँ इसका कारण बताया गया है। गणना बिल्कुल सटीक की गई, लेकिन क्या स्टेशन की दूरी सही ढंग से मापी गई? क्या किसी पैदल यात्री के पथ को बिना किसी त्रुटि के मापना संभव है? क्या एक पैदल यात्री हर तरह की दिशाओं में चलने वाले लोगों और कारों से भरे शहर में एक सख्ती से परिभाषित लाइन के साथ चल सकता है? और 6 किमी/घंटा की गति - क्या यह बिल्कुल सटीक रूप से निर्धारित की जाती है? और इसी तरह।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हर कोई इस मामले में "गणितीय रूप से सटीक" को नहीं बल्कि इस समस्या के "व्यावहारिक" समाधान को प्राथमिकता देगा, यानी वे अनुमान लगाएंगे कि चलने में 12-15 मिनट लगेंगे और कुछ और जोड़ देंगे। सुनिश्चित करने के लिए मिनट.

फिर, सेकंड और उनके अंशों की गणना क्यों करें और सटीकता की ऐसी डिग्री के लिए प्रयास करें जिसका उपयोग अभ्यास में नहीं किया जा सकता है?

गणित एक सटीक विज्ञान है, लेकिन "परिशुद्धता" की अवधारणा को स्वयं स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हमें संख्या की अवधारणा से शुरुआत करनी होगी, क्योंकि गणना परिणामों की सटीकता काफी हद तक संख्याओं की सटीकता और प्रारंभिक डेटा की विश्वसनीयता पर निर्भर करती है।

संख्याएँ प्राप्त करने के तीन स्रोत हैं: गिनना, मापना और विभिन्न गणितीय कार्य करना

यदि गिनती की जाने वाली वस्तुओं की संख्या छोटी है और यदि यह समय के साथ स्थिर है, तो हमें मिल जाएगी बिल्कुल सटीकपरिणाम। उदाहरण के लिए, एक हाथ पर 5 उंगलियां हैं, और एक बॉक्स में 300 बीयरिंग हैं। स्थिति अलग है जब वे कहते हैं: 1979 में ओडेसा में 1,000,000 निवासी थे। आख़िरकार, लोग पैदा होते हैं और मर जाते हैं, आते हैं और चले जाते हैं; उनकी संख्या हर समय बदलती रहती है, यहां तक ​​कि गिनती पूरी होने की अवधि के दौरान भी। तो वास्तव में हमारा मतलब यह है कि लगभग 1,000,000 निवासी थे, शायद 999,125, या 1,001,263, या 1,000,000 के करीब कोई अन्य संख्या, इस मामले में, 1,000,000 देता है अनुमानितशहर के निवासियों की संख्या.

कोई भी माप पूर्णतः सटीकता से नहीं किया जा सकता। प्रत्येक डिवाइस किसी न किसी प्रकार की त्रुटि देता है। इसके अलावा, एक ही उपकरण से समान मात्रा को मापने वाले दो पर्यवेक्षक आमतौर पर थोड़े अलग परिणाम प्राप्त करते हैं; परिणामों का पूर्ण संयोग एक दुर्लभ अपवाद है;

यहां तक ​​कि रूलर जैसे सरल मापने वाले उपकरण में भी एक "डिवाइस त्रुटि" होती है - रूलर के किनारे और तल आदर्श सीधी रेखाओं और तलों से कुछ भिन्न होते हैं, रूलर पर स्ट्रोक बिल्कुल समान दूरी पर नहीं लगाए जा सकते हैं, और स्ट्रोक स्वयं एक निश्चित मोटाई है; इसलिए मापते समय हमें स्ट्रोक की मोटाई से अधिक सटीक परिणाम नहीं मिल सकते हैं।

यदि आपने तालिका की लंबाई मापी और 1360.5 मिमी का मान प्राप्त किया, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि तालिका की लंबाई बिल्कुल 1360.5 मिमी है - यदि यह तालिका किसी अन्य को मापती है या आप माप दोहराते हैं, तो आप प्राप्त कर सकते हैं 1360.4 मिमी और 1360.6 मिमी दोनों का मान। संख्या 1360.5 मिमी तालिका की लंबाई को व्यक्त करती है लगभग.

सभी गणितीय संक्रियाएँ त्रुटियों के बिना निष्पादित नहीं की जा सकतीं। मूल निकालना, साइन या लघुगणक ढूंढना, या यहां तक ​​कि पूर्ण सटीकता के साथ विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है।

बिना किसी अपवाद के, सभी माप मापी गई मात्राओं के अनुमानित मूल्यों की ओर ले जाते हैं।. कुछ मामलों में, माप मोटे तौर पर किए जाते हैं, फिर सावधानीपूर्वक माप के साथ बड़ी त्रुटियां प्राप्त होती हैं, त्रुटियां छोटी होती हैं; माप में पूर्ण सटीकता कभी प्राप्त नहीं होती है।

आइए अब प्रश्न के दूसरे पक्ष पर विचार करें। क्या अभ्यास में पूर्ण सटीकता आवश्यक है और अनुमानित परिणाम का क्या महत्व है?

बिजली लाइन या गैस पाइपलाइन की गणना करते समय, कोई भी एक मिलीमीटर की सटीकता के साथ समर्थन के बीच की दूरी या एक माइक्रोन की सटीकता के साथ पाइप के व्यास का निर्धारण नहीं करेगा। प्रौद्योगिकी और निर्माण में, प्रत्येक भाग या संरचना का निर्माण केवल एक निश्चित सटीकता के भीतर ही किया जा सकता है, जो तथाकथित सहनशीलता द्वारा निर्धारित होता है। ये सहनशीलता भाग या संरचना की सामग्री, आकार और उद्देश्य के आधार पर माइक्रोन के हिस्सों से लेकर मिलीमीटर और सेंटीमीटर तक होती है। इसलिए, किसी भाग के आयामों को निर्धारित करने के लिए, आवश्यक से अधिक सटीकता के साथ गणना करने का कोई मतलब नहीं है।

1) गणना के प्रारंभिक डेटा में, एक नियम के रूप में, त्रुटियाँ होती हैं, अर्थात वे अनुमानित होते हैं;

2) ये त्रुटियाँ, अक्सर बढ़ जाती हैं, गणना परिणामों में चली जाती हैं। लेकिन अभ्यास के लिए सटीक डेटा की आवश्यकता नहीं होती है, बल्कि कुछ स्वीकार्य त्रुटियों के साथ परिणामों से संतुष्ट होना पड़ता है, जिसका परिमाण पूर्व निर्धारित होना चाहिए।

3) परिणाम की आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करना तभी संभव है जब स्रोत डेटा पर्याप्त रूप से सटीक हो और जब गणना द्वारा पेश की गई सभी त्रुटियों को ध्यान में रखा जाए।

4) समस्या को हल करते समय श्रम और समय के न्यूनतम व्यय को प्राप्त करने का प्रयास करते हुए, अनुमानित संख्याओं के साथ गणना लगभग की जानी चाहिए।

आमतौर पर, तकनीकी गणना में, अनुमेय त्रुटियां 0.1 से 5% तक होती हैं, लेकिन वैज्ञानिक मामलों में उन्हें एक प्रतिशत के हजारवें हिस्से तक कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चंद्रमा के पहले कृत्रिम उपग्रह (31 मार्च, 1966) को लॉन्च करते समय, उपग्रह को चंद्रमा की परिधि में प्रवेश करने के लिए लगभग 11,200 मीटर/सेकंड की प्रक्षेपण गति को कई सेंटीमीटर प्रति सेकंड की सटीकता के साथ सुनिश्चित करना पड़ा। एक परिवृत्त-सौर कक्षा की तुलना में।

इसके अलावा, ध्यान दें कि अंकगणित के नियम इस धारणा के तहत बनाए गए हैं कि सभी संख्याएँ सटीक हैं। इसलिए, यदि अनुमानित संख्याओं के साथ गणना सटीक संख्याओं के साथ की जाती है, तो सटीकता का एक खतरनाक और हानिकारक प्रभाव पैदा होता है जहां वास्तव में कोई नहीं होता है। सच्ची वैज्ञानिक, और, विशेष रूप से, गणितीय सटीकता लगभग हमेशा अपरिहार्य त्रुटियों की उपस्थिति को इंगित करने और उनकी सीमाएं निर्धारित करने में निहित है।

दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की अवधारणाओं के आधार पर, हम इसी तरह एक आदेश निर्धारक की अवधारणा को पेश कर सकते हैं एन. तीसरे से अधिक क्रम के निर्धारकों की गणना, एक नियम के रूप में, पैराग्राफ 1.3 में तैयार किए गए निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके की जाती है, जो किसी भी क्रम के निर्धारकों के लिए मान्य हैं।

निर्धारक संख्या 9 0 की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम चौथे क्रम के निर्धारक की परिभाषा प्रस्तुत करते हैं:

उदाहरण 2.उपयुक्त विस्तार का उपयोग करके गणना करें।

इसी प्रकार, 5वें, 6वें, आदि के निर्धारक की अवधारणा पेश की गई है। आदेश देना। अतः क्रम n का निर्धारक:

.

दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के सभी गुण, जिनकी पहले चर्चा की गई है, nवें क्रम के निर्धारकों के लिए भी मान्य हैं।

आइए निर्धारकों की गणना के लिए मुख्य तरीकों पर विचार करें एन-वाँ क्रम.

टिप्पणी:इस विधि को लागू करने से पहले, निर्धारकों के मूल गुणों का उपयोग करके, एक निश्चित पंक्ति या स्तंभ के तत्वों में से एक को छोड़कर सभी को शून्य करना उपयोगी होता है। (कुशल ऑर्डर कटौती विधि)

त्रिकोणीय आकार में कटौती की विधि निर्धारक के ऐसे परिवर्तन में शामिल होता है जब मुख्य विकर्ण के एक तरफ स्थित उसके सभी तत्व शून्य के बराबर हो जाते हैं। इस मामले में, निर्धारक इसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 3.त्रिकोणीय रूप में घटाकर गणना करें।

उदाहरण 4.प्रभावी ऑर्डर कटौती विधि का उपयोग करके गणना करें

.

समाधान: 4 0 निर्धारकों की संपत्ति के अनुसार, हम पहली पंक्ति से कारक 10 निकाल देंगे, और फिर हम क्रमिक रूप से दूसरी पंक्ति को 2 से, 2 से, 1 से गुणा करेंगे और इसे पहले, तीसरे और चौथे के साथ जोड़ देंगे। पंक्तियाँ, क्रमशः (संपत्ति 8 0)।

.

परिणामी निर्धारक को पहले कॉलम के तत्वों में विस्तारित किया जा सकता है। इसे तीसरे क्रम के निर्धारक में घटा दिया जाएगा, जिसकी गणना सारस (त्रिकोण) नियम का उपयोग करके की जाती है।

उदाहरण 5.सारणिक को त्रिकोणीय रूप में घटाकर गणना करें।

.

उदाहरण 3.पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करके गणना करें।

.

.

व्याख्यान 4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स। मैट्रिक्स रैंक.

1. व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा

परिभाषा 1. वर्ग क्रम n का मैट्रिक्स A कहा जाता है न पतित,यदि यह निर्धारक है | ए| ≠ 0. मामले में जब | ए| = 0, मैट्रिक्स ए कहा जाता है पतित.

केवल वर्गाकार गैर-एकवचन आव्यूह A के लिए व्युत्क्रम आव्यूह A -1 की अवधारणा प्रस्तुत की गई है।

परिभाषा 2 . मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है रिवर्सएक वर्गाकार गैर-एकवचन मैट्रिक्स A के लिए, यदि A -1 A = AA -1 = E, जहां E क्रम का इकाई मैट्रिक्स है एन.

परिभाषा 3 . आव्यूह बुलाया पर कब्जा कर लियाइसके तत्व बीजगणितीय पूरक हैं ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स
.

सहायक मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एल्गोरिदम।

, कहाँ
.

हम गणना की शुद्धता की जांच करते हैं A -1 A = AA -1 = E. (E पहचान मैट्रिक्स है)

मैट्रिक्स ए और ए -1 पारस्परिक। अगर | ए| = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

उदाहरण 1।एक मैट्रिक्स ए दिया गया है। सुनिश्चित करें कि यह गैर-एकवचन है और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढें
.

समाधान:
. इसलिए मैट्रिक्स गैर-एकवचन है.

आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें। आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक बनाएं।

हम पाते हैं

.

समस्या और उसके समाधान दोनों में प्रारंभिक डेटा की प्रस्तुति - एक संख्या या संख्याओं के समूह के रूप में

यह तकनीकी विशिष्टताओं के इंजीनियरों के प्रशिक्षण की प्रणाली में एक महत्वपूर्ण घटक है।

कम्प्यूटेशनल तरीकों के लिए बुनियादी सिद्धांत हैं:

• रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना
• प्रक्षेप और अनुमानित फ़ंक्शन गणना
• साधारण अंतर समीकरणों का संख्यात्मक समाधान
• आंशिक अवकल समीकरणों का संख्यात्मक समाधान (गणितीय भौतिकी के समीकरण)
• अनुकूलन समस्याओं का समाधान

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• कलिटकिन एन.एन. संख्यात्मक तरीके। एम., नौका, 1978
• अमोसोव ए.ए., डुबिंस्की यू., कोपचेनोवा एन.वी. "इंजीनियरों के लिए कम्प्यूटेशनल तरीके", 1994
• फ्लेचर के, कम्प्यूटेशनल मेथड्स इन फ्लुइड डायनेमिक्स, एड। विश्व, 1991, 504 पृष्ठ।
• ई. अलेक्सेव "मैथकैड 12, मैटलैब 7, मेपल 9 में कम्प्यूटेशनल गणित समस्याओं का समाधान" पैकेज, 2006, 496 पृष्ठ।
• तिखोनोव ए.एन., गोंचार्स्की ए.वी., स्टेपानोव वी.वी., यागोला ए.जी. "गलत समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके" (1990)
• बाकुशिन्स्की ए.बी., गोंचार्स्की ए.वी. खराब समस्याएं। संख्यात्मक तरीके और अनुप्रयोग, संस्करण। मॉस्को यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 1989
• एन.एन. कलिटकिन, ए.बी. अलशिन, ई. ए. अलशिना, वी.बी. रोगोव। अर्ध-समान ग्रिड पर गणना। मॉस्को, नौका, फ़िज़मैटलिट, 2005, 224 पीपी।
• यू. रयज़िकोव "कम्प्यूटेशनल मेथड्स" एड। बीएचवी, 2007, 400 पीपी., आईएसबीएन 978-5-9775-0137-8
• अनुप्रयुक्त गणित में कम्प्यूटेशनल विधियाँ, अंतर्राष्ट्रीय जर्नल, आईएसएसएन 1609-4840

लिंक

• वैज्ञानिक पत्रिका “कम्प्यूटेशनल तरीके और प्रोग्रामिंग। नई कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकियाँ"

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• कम्प्यूटेशनल गणित और गणितीय भौतिकी
• कम्प्यूटेशनल पाइपलाइन

देखें अन्य शब्दकोशों में "कम्प्यूटेशनल विधियाँ" क्या हैं:

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