इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय, इसके अलावा बुनियादी गुण समानांतर चतुर्भुजऔर संबंधित सूत्र, आप निम्नलिखित को याद रख सकते हैं और लागू कर सकते हैं:
- एक समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का द्विभाजक इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है
- समांतर चतुर्भुज की किसी एक भुजा से सटे आंतरिक कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं
- समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोणों से आने वाले समद्विभाजक, एक दूसरे के समानांतर या एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं
- एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
- एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या के विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
आइए उन कार्यों पर विचार करें जिनके समाधान में इन गुणों का उपयोग किया जाता है।
कार्य 1।
समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण C का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु M पर और भुजा AB का विस्तार बिंदु A से आगे बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। समांतर चतुर्भुज की परिधि ज्ञात कीजिए यदि AE \u003d 4, DM \u003d 3।
समाधान।
1. त्रिभुज सीएमडी समद्विबाहु। (संपत्ति 1)। इसलिए, सीडी = एमडी = 3 सेमी।
2. त्रिभुज EAM समद्विबाहु है।
अत: AE = AM = 4 सेमी.
3. एडी = एएम + एमडी = 7 सेमी।
4. परिमाप ABCD = 20 सेमी.
उत्तर। 20 सेमी
कार्य 2.
एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण खींचे जाते हैं। यह ज्ञात है कि त्रिभुज ABD, ACD, BCD के क्षेत्रफल बराबर हैं। सिद्ध कीजिए कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
समाधान।
1. मान लीजिए BE त्रिभुज ABD की ऊँचाई है, CF त्रिभुज ACD की ऊँचाई है। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं और इनका एक उभयनिष्ठ आधार AD होता है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। बीई = सीएफ।
2. बीई, सीएफ एडी के लंबवत हैं। बिंदु B और C रेखा AD के एक ही ओर स्थित हैं। बीई = सीएफ। इसलिए, रेखा BC || ई. (*)
3. मान लीजिए AL त्रिभुज ACD की ऊँचाई है, BK त्रिभुज BCD की ऊँचाई है। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं और इनका एक उभयनिष्ठ आधार CD होता है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। एएल = बीके।
4. AL और BK, CD पर लम्ब हैं। बिंदु बी और ए सीधी रेखा सीडी के एक ही तरफ स्थित हैं। एएल = बीके। अत: रेखा AB || सीडी (**)
5. शर्तें (*), (**) दर्शाती हैं कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
उत्तर। सिद्ध किया हुआ। ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
कार्य 3.
समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC और CD पर, क्रमशः M और H बिंदु अंकित किए गए हैं, ताकि खंड BM और HD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करें;<ВМD = 95 о,
समाधान।
1. त्रिभुज DOM . में<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. एक समकोण त्रिभुज में DHC फिर<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 लेकिन सीडी = एबी। तब एबी: एचडी = 2: 1। 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = उत्तर: एबी: एचडी = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = कार्य 4. 4√6 लंबाई के समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक आधार के साथ 60° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए। समाधान।
1. एओ = 2√6। 2. ज्या प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करें। AO/sin D = OD/sin A. 2√6/पाप 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. उत्तर: 12.
कार्य 5. 5√2 और 7√2 भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के बीच का छोटा कोण समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए। समाधान।
मान लीजिए d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और छोटे कोणों के बीच का कोण है। 1. आइए दो अलग-अलग गिनें एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप ए \u003d 5√2 7√2 पाप च, एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप एफ। हम समानता प्राप्त करते हैं 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 5√2 7√2 = घ 1 घ 2 ; 2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच के अनुपात का उपयोग करते हुए, हम समानता लिखते हैं (एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = डी 1 2 + डी 2 2। घ 1 2 + घ 2 2 = 296। 3. आइए एक प्रणाली बनाएं: (डी 1 2 + डी 2 2 = 296, सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें। हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24। चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं, तो d 1 + d 2 = 24. उत्तर: 24.
कार्य 6. समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच न्यून कोण 45 o है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान।
1. त्रिभुज AOB से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं। एबी 2 \u003d एओ 2 + वीओ 2 2 एओ वीओ कॉस एओबी। 4 2 \u003d (डी 1 / 2) 2 + (डी 2 / 2) 2 - 2 (डी 1 / 2) (डी 2 / 2) कॉस 45 ओ; डी 1 2/4 + डी 2 2/4 - 2 (डी 1/2) (डी 2/2)√2/2 = 16. डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64। 2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 मिलता है। 3. हमारे पास एक प्रणाली है दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर, हमें 2d 1 d 2 2 = 80 or . मिलता है घ 1 घ 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10। टिप्पणी:इसमें और पिछली समस्या में, सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की आवश्यकता नहीं है, यह देखते हुए कि इस समस्या में हमें क्षेत्र की गणना करने के लिए विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है। उत्तर: 10. टास्क 7. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए। समाधान।
1. एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप वीएडी। आइए सूत्र में प्रतिस्थापन करें। हमें 96 = 8 15 sin VAD मिलता है। इसलिए पाप वीएडी = 4/5। 2. क्योंकि खराब खोजें। पाप 2 वीएडी + कॉस 2 वीएडी = 1। (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25। समस्या की स्थिति के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई पाते हैं। यदि कोण BAD न्यून है तो विकर्ण BD छोटा होगा। तब cos BAD = 3/5. 3. त्रिभुज ABD से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं। बीडी 2 \u003d एबी 2 + एडी 2 - 2 एबी बीडी कॉस बीएडी। डी 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145। उत्तर : 145.
क्या आपका कोई प्रश्न है? आप नहीं जानते कि ज्यामिति की समस्या को कैसे हल किया जाए? साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है। चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ जोड़ी में समानांतर हैं। इस आकृति में, सम्मुख भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर हैं। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उसे समद्विभाजित करते हैं। समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र आपको पक्षों, ऊंचाई और विकर्णों के माध्यम से मान खोजने की अनुमति देते हैं। समांतर चतुर्भुज को विशेष मामलों में भी दर्शाया जा सकता है। उन्हें एक आयत, वर्ग और समचतुर्भुज माना जाता है। इस मामले को एक क्लासिक माना जाता है और इसके लिए आगे की जांच की आवश्यकता नहीं है। दो पक्षों और उनके बीच के कोण के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र पर विचार करना बेहतर है। गणना में उसी विधि का उपयोग किया जाता है। यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया है, तो क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: मान लीजिए हमें एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है जिसकी भुजाएँ a = 4 सेमी, b = 6 सेमी हैं। उनके बीच का कोण α = 30° है। आइए क्षेत्र खोजें: विकर्णों के माध्यम से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि विकर्ण D = 7 सेमी, d = 5 सेमी के साथ एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। उनके बीच का कोण α = 30° है। डेटा को सूत्र में बदलें: एक विकर्ण के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को जानकर, आप कई दिलचस्प समस्याओं को हल कर सकते हैं। आइए उनमें से एक को देखें। एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति को क्षेत्रफल में दिए गए समांतर चतुर्भुज के बराबर आयत बनाने के लिए घटाया जाता है। हम समांतर चतुर्भुज की एक भुजा को आधार के रूप में लेते हैं, और विपरीत भुजा के किसी भी बिंदु से आधार वाली सीधी रेखा पर खींचे गए लम्ब को समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई कहा जाता है। तब समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होगा। प्रमेय।एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है। सबूत. क्षेत्रफल के साथ एक समांतर चतुर्भुज पर विचार करें। आइए आधार के लिए भुजा लें और ऊँचाइयाँ खींचें (चित्र 2.3.1)। इसे साबित करना जरूरी है। चित्र 2.3.1 आइए पहले हम सिद्ध करें कि आयत का क्षेत्रफल भी बराबर होता है। एक समलम्ब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज से बना होता है। दूसरी ओर, यह एक आयत NVSK और एक त्रिभुज से बना है। लेकिन समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं (उनके कर्ण समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के बराबर होते हैं, और कोण 1 और 2 समानांतर छेदक रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोणों के बराबर होते हैं), इसलिए उनके क्षेत्रफल समान होते हैं। इसलिए, समांतर चतुर्भुज और आयत के क्षेत्रफल भी बराबर होते हैं, यानी आयत का क्षेत्रफल बराबर होता है। आयत क्षेत्र प्रमेय के अनुसार, लेकिन तब से। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। उदाहरण 2.3.1। एक वृत्त एक समचतुर्भुज में एक भुजा और एक न्यून कोण के साथ खुदा हुआ है। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष समचतुर्भुज की भुजाओं वाले वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु हैं। समाधान: एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या (चित्र 2.3.2), क्योंकि चतुर्भुज एक आयत है, क्योंकि इसके कोने वृत्त के व्यास पर आधारित होते हैं। इसका क्षेत्र, जहां (कोने के खिलाफ पैर पड़ा हुआ)। चित्र 2.3.2 इसलिए, उत्तर:
उदाहरण 2.3.2। एक समचतुर्भुज दिया गया है जिसके विकर्ण 3 सेमी और 4 सेमी हैं। ऊँचाई और एक अधिक कोण के शीर्ष से खींचे गए हैं चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें समाधान: समचतुर्भुज क्षेत्र (चित्र 2.3.3)। इसलिए, उत्तर: उदाहरण 2.3.3। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ चतुर्भुज के विकर्णों के बराबर और समानांतर हों। समाधान: चूँकि और (चित्र 2.3.4), तब एक समांतर चतुर्भुज है और इसलिए,। चित्र 2.3.4 इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं जहां से यह निम्नानुसार है। उत्तर:. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्र हैं। उन पर विचार करें जो स्कूल में पढ़ते हैं। पहला सूत्र एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र का अनुसरण करता है और छात्रों को एक प्रमेय के रूप में पेश किया जाता है। प्रमेय।एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊंचाई का आधा गुणनफल होता है।. सबूत।माना त्रिभुज का क्षेत्रफल है। त्रिभुज के आधार की भुजा लें और ऊँचाई खींचे। आइए साबित करें कि: चित्र 2.4.1 हम त्रिभुज को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में पूरा करेंगे जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। त्रिभुज तीन भुजाओं में बराबर होते हैं (- उनकी उभयनिष्ठ भुजा, और एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ), इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं। इसलिए, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S, समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। इस प्रमेय के दो परिणामों की ओर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित करना महत्वपूर्ण है। अर्थात्: एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है। यदि दो त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ समान हों, तो उनके क्षेत्रफल आधारों के रूप में संबंधित होते हैं। ये दोनों परिणाम विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इसके आधार पर, हम एक अन्य प्रमेय को सिद्ध करते हैं जिसका व्यापक रूप से समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है। प्रमेय।
यदि एक त्रिभुज का कोण दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर है, तो उनके क्षेत्रफल समान कोणों वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित हैं। सबूत. माना और उन त्रिभुजों के क्षेत्रफल हैं जिनके कोण और बराबर हैं। चित्र 2.4.2 आइए साबित करें कि: चलो एक त्रिकोण बनाते हैं। त्रिभुज पर ताकि शीर्ष शीर्ष के साथ संरेखित हो, और पक्ष क्रमशः किरणों पर ओवरलैप हो। चित्र 2.4.3 त्रिभुज और एक सामान्य ऊंचाई है, इसलिए,। त्रिभुजों की भी एक समान ऊँचाई होती है - इसलिए,। परिणामी समानता को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं प्रमेय सिद्ध हो चुका है। दूसरा सूत्र।एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।इस सूत्र को सिद्ध करने के कई तरीके हैं, और मैं उनमें से एक का उपयोग करूंगा। सबूत।ज्यामिति से, एक प्रमेय ज्ञात होता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है और ऊँचाई इस आधार तक कम होती है: एक तीव्र त्रिभुज के मामले में। एक अधिक कोण के मामले में। हो, और इसलिए प्रमेय सिद्ध हो चुका है। तीसरा सूत्रएक त्रिभुज के क्षेत्र के लिए - बगुला का सूत्र, जिसका नाम प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अलेक्जेंड्रिया के बगुला के नाम पर रखा गया था, जो पहली शताब्दी ईस्वी में रहते थे। यह सूत्र आपको त्रिभुज की भुजाओं को जानकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की अनुमति देता है। यह सुविधाजनक है कि यह आपको कोई अतिरिक्त निर्माण नहीं करने और कोणों को मापने की अनुमति नहीं देता है। इसका निष्कर्ष त्रिभुज क्षेत्र सूत्रों के दूसरे पर आधारित है जिसे हमने माना है और कोसाइन प्रमेय: और। इस योजना के कार्यान्वयन के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम ध्यान दें कि इसी तरह, हमारे पास है: अब हम कोज्या को और द्वारा व्यक्त करते हैं: चूँकि त्रिभुज में कोई भी कोण बड़ा या छोटा होता है, तो। माध्यम, अब हम अलग-अलग कारकों में से प्रत्येक को कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में बदलते हैं। हमारे पास है: इस व्यंजक को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: स्कूल गणित पाठ्यक्रम में "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल" विषय का बहुत महत्व है। त्रिभुज ज्यामितीय आकृतियों में सबसे सरल है। यह स्कूल ज्यामिति का एक "संरचनात्मक तत्व" है। ज्यामितीय समस्याओं का विशाल बहुमत त्रिभुजों को हल करने के लिए नीचे आता है। एक नियमित और मनमाना n-gon का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या कोई अपवाद नहीं है। उदाहरण 2.4.1। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा यदि उसका आधार और भुजाएँ हों? समाधान: -समद्विबाहु, चित्र 2.4.4 आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज - माध्यिका और ऊँचाई के गुणधर्म पर विचार करें। फिर पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना: उत्तर:
उदाहरण 2.4.2। एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यून कोण का समद्विभाजक विपरीत पैर को 4 और 5 सेमी लंबे खंडों में विभाजित करता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान: मान लीजिए (चित्र 2.4.5)। तब (क्योंकि BD एक समद्विभाजक है)। इसलिए हमारे पास है चित्र 2.4.5 उत्तर: उदाहरण 2.4.3। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका आधार बराबर है, और आधार तक खींची गई ऊँचाई की लंबाई आधार और भुजा के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई के बराबर है। समाधान: शर्त के अनुसार, - मध्य रेखा (चित्र 2.4.6)। हमीम के बाद से: या इससे पहले कि हम एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखें, हमें यह याद रखना होगा कि समांतर चतुर्भुज क्या है और इसकी ऊँचाई क्या कहलाती है। एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर (समानांतर रेखाओं पर स्थित) होती हैं। विपरीत दिशा के एक मनमाना बिंदु से इस भुजा वाली रेखा पर खींचे गए लम्ब को समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई कहते हैं। वर्ग, आयत और समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (S) के रूप में दर्शाया गया है। S=a*h, जहाँ a आधार है, h वह ऊँचाई है जो आधार तक खींची जाती है। S=a*b*sinα, जहां a और b आधार हैं, और α आधार a और b के बीच का कोण है। S \u003d p * r, जहाँ p अर्ध-परिधि है, r वृत्त की त्रिज्या है जो समांतर चतुर्भुज में अंकित है। वैक्टर ए और बी द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए वैक्टर के उत्पाद के मापांक के बराबर है, अर्थात्: उदाहरण संख्या 1 पर विचार करें: एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है, जिसकी भुजा 7 सेमी है, और ऊँचाई 3 सेमी है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, हमें हल करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है। तो एस = 7x3। एस = 21। उत्तर: 21 सेमी 2. उदाहरण संख्या 2 पर विचार करें: आधार 6 और 7 सेमी हैं, और आधारों के बीच का कोण 60 डिग्री है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? हल करने के लिए प्रयुक्त सूत्र: इस प्रकार, पहले हम कोण की ज्या ज्ञात करते हैं। साइन 60 \u003d 0.5, क्रमशः एस \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 उत्तर: 21 सेमी 2. मुझे उम्मीद है कि ये उदाहरण आपको समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। और याद रहे, मुख्य बात है सूत्रों का ज्ञान और सावधानी
(
(चूंकि एक समकोण त्रिभुज में, 30 o के कोण के विपरीत स्थित पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है)।
इसके क्षेत्र के तरीके।
(डी 1 + डी 2 = 140।
(डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 डी 2 √2 = 144.
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सबसे पहले, आइए एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की ऊंचाई और जिस तरफ इसे नीचे किया गया है, की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
विकर्णों के संदर्भ में एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
विकर्णों के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र आपको शीघ्रता से मान ज्ञात करने की अनुमति देता है।
गणना के लिए, आपको विकर्णों के बीच स्थित कोण का मान चाहिए।
एक विकर्ण के माध्यम से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण ने हमें एक उत्कृष्ट परिणाम दिया - 8.75।
एक कार्य: 92 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। देखें बिंदु F इसकी भुजा BC के मध्य में स्थित है। आइए समलम्ब चतुर्भुज ADFB का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो हमारे समांतर चतुर्भुज में स्थित होगा। आरंभ करने के लिए, आइए वह सब कुछ बनाएं जो हमें शर्तों के अनुसार प्राप्त हुआ।
आइए समाधान पर आते हैं: 
हमारी शर्तों के अनुसार, आह \u003d 92, और तदनुसार, हमारे समलम्ब का क्षेत्रफल बराबर होगा 
2.4 त्रिभुज का क्षेत्रफल
.
.
. तो, दोनों ही मामलों में। त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए ज्यामितीय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र प्राप्त करते हैं:
.
, वह है। माध्यम,
, कहाँ से इसलिए, 
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र
