गणित में, कार्तीय निर्देशांक तल पर एक रेखा की स्थिति का वर्णन करने वाले मापदंडों में से एक इस रेखा का कोणीय गुणांक है। यह पैरामीटर एब्सिस्सा अक्ष पर सीधी रेखा के ढलान को दर्शाता है। यह समझने के लिए कि ढलान कैसे ज्ञात करें, पहले XY समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप को याद करें।

सामान्य तौर पर, किसी भी रेखा को अभिव्यक्ति ax+by=c द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां a, b और c मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन a 2 + b 2 ≠ 0।

सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, ऐसे समीकरण को y=kx+d के रूप में लाया जा सकता है, जिसमें k और d वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्या k ढलान है, और इस प्रकार की रेखा के समीकरण को ढलान वाला समीकरण कहा जाता है। यह पता चला है कि ढलान खोजने के लिए, आपको बस मूल समीकरण को ऊपर बताए गए फॉर्म में कम करना होगा। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

समस्या: समीकरण 36x - 18y = 108 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को रूपांतरित करें।

उत्तर: इस रेखा का अपेक्षित ढलान 2 है।

यदि, समीकरण के परिवर्तन के दौरान, हमें x = const जैसी अभिव्यक्ति प्राप्त हुई और परिणामस्वरूप हम y को x के एक फलन के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते, तो हम X अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के साथ काम कर रहे हैं। ऐसे का कोणीय गुणांक एक सीधी रेखा अनंत के बराबर होती है.

y = const जैसे समीकरण द्वारा व्यक्त रेखाओं के लिए ढलान शून्य है। यह भुज अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के लिए विशिष्ट है। उदाहरण के लिए:

समस्या: समीकरण 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाएँ

24x + 12y - 12y + 28 = 4

परिणामी अभिव्यक्ति से y को व्यक्त करना असंभव है, इसलिए इस रेखा का कोणीय गुणांक अनंत के बराबर है, और रेखा स्वयं Y अक्ष के समानांतर होगी।

ज्यामितीय अर्थ

बेहतर समझ के लिए, आइए चित्र देखें:

चित्र में हम y = kx जैसे किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखते हैं। सरल बनाने के लिए, आइए गुणांक c = 0 लें। त्रिभुज OAB में, भुजा BA से AO का अनुपात कोणीय गुणांक k के बराबर होगा। साथ ही, अनुपात BA/AO समकोण त्रिभुज OAB में न्यून कोण α की स्पर्श रेखा है। यह पता चला है कि सीधी रेखा का कोणीय गुणांक उस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है जो यह सीधी रेखा समन्वय ग्रिड के भुज अक्ष के साथ बनाती है।

एक सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कैसे ज्ञात किया जाए, इस समस्या को हल करते हुए, हम इसके और समन्वय ग्रिड के एक्स अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करते हैं। सीमा मामले, जब प्रश्न में रेखा समन्वय अक्षों के समानांतर होती है, तो उपरोक्त की पुष्टि करें। दरअसल, समीकरण y=const द्वारा वर्णित एक सीधी रेखा के लिए, इसके और भुज अक्ष के बीच का कोण शून्य है। शून्य कोण की स्पर्शरेखा भी शून्य होती है और ढलान भी शून्य होता है।

x-अक्ष पर लंबवत और समीकरण x=const द्वारा वर्णित सीधी रेखाओं के लिए, उनके और X-अक्ष के बीच का कोण 90 डिग्री है। समकोण की स्पर्श रेखा अनंत के बराबर होती है और समान सीधी रेखाओं का कोणीय गुणांक भी अनंत के बराबर होता है, जो ऊपर लिखी बात की पुष्टि करता है।

स्पर्शरेखा ढलान

व्यवहार में अक्सर सामने आने वाला एक सामान्य कार्य किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करना भी है। स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, इसलिए ढलान की अवधारणा इस पर भी लागू होती है।

यह जानने के लिए कि स्पर्शरेखा का ढलान कैसे ज्ञात किया जाए, हमें व्युत्पन्न की अवधारणा को याद करना होगा। किसी निश्चित बिंदु पर किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक स्थिर संख्यात्मक रूप से कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है जो इस फ़ंक्शन के ग्राफ और एब्सिस्सा अक्ष के निर्दिष्ट बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच बनता है। यह पता चला है कि बिंदु x 0 पर स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को निर्धारित करने के लिए, हमें इस बिंदु k = f"(x 0) पर मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। आइए उदाहरण देखें:

समस्या: x = 0.1 पर फ़ंक्शन y = 12x 2 + 2xe x की स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात करें।

समाधान: मूल फलन का व्युत्पन्न सामान्य रूप में ज्ञात कीजिए

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

उत्तर: बिंदु x = 0.1 पर आवश्यक ढलान 4.831 है

प्रमाणन परीक्षा में विषय "झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के रूप में स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक" को कई कार्य दिए गए हैं। उनकी स्थिति के आधार पर, स्नातक को पूर्ण उत्तर या संक्षिप्त उत्तर देने की आवश्यकता हो सकती है। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा देने की तैयारी करते समय, छात्र को निश्चित रूप से उन कार्यों को दोहराना चाहिए जिनके लिए स्पर्शरेखा की ढलान की गणना की आवश्यकता होती है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल आपको ऐसा करने में मदद करेगा। हमारे विशेषज्ञों ने यथासंभव सुलभ तरीके से सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री तैयार और प्रस्तुत की। इससे परिचित होने के बाद, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले स्नातक डेरिवेटिव से संबंधित समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में सक्षम होंगे जिनमें स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा को ढूंढना आवश्यक है।

बुनियादी क्षण

एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसे कार्यों का सही और तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए, मूल परिभाषा को याद रखना आवश्यक है: व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है; यह एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है। ड्राइंग को पूरा करना भी उतना ही महत्वपूर्ण है। यह आपको व्युत्पन्न पर यूएसई समस्याओं का सही समाधान ढूंढने की अनुमति देगा, जिसमें आपको स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा की गणना करने की आवश्यकता होती है। स्पष्टता के लिए, OXY तल पर ग्राफ़ बनाना सर्वोत्तम है।

यदि आप पहले से ही डेरिवेटिव के विषय पर बुनियादी सामग्री से परिचित हो चुके हैं और एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों के समान स्पर्शरेखा कोण की गणना पर समस्याओं को हल करना शुरू करने के लिए तैयार हैं, तो आप इसे ऑनलाइन कर सकते हैं। प्रत्येक कार्य के लिए, उदाहरण के लिए, "किसी पिंड की गति और त्वरण के साथ व्युत्पन्न का संबंध" विषय पर समस्याओं के लिए, हमने सही उत्तर और समाधान एल्गोरिदम लिखा है। साथ ही, छात्र जटिलता के विभिन्न स्तरों के कार्य करने का अभ्यास कर सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो अभ्यास को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है ताकि आप बाद में शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकें।

फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव लेना सीखें।व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस स्थिति में, ग्राफ़ या तो सीधी या घुमावदार रेखा हो सकता है। अर्थात्, व्युत्पन्न समय में एक विशिष्ट बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। उन सामान्य नियमों को याद रखें जिनके द्वारा डेरिवेटिव लिया जाता है, और उसके बाद ही अगले चरण पर आगे बढ़ें।

• लेख पढ़ो।
• सबसे सरल व्युत्पन्न कैसे लें, उदाहरण के लिए, एक घातीय समीकरण का व्युत्पन्न, वर्णित है। निम्नलिखित चरणों में प्रस्तुत गणनाएँ उसमें वर्णित विधियों पर आधारित होंगी।

उन समस्याओं में अंतर करना सीखें जिनमें ढलान की गणना किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से की जानी चाहिए।समस्याएँ हमेशा आपसे किसी फ़ंक्शन का ढलान या व्युत्पन्न खोजने के लिए नहीं कहती हैं। उदाहरण के लिए, आपसे बिंदु A(x,y) पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है। आपसे बिंदु A(x,y) पर स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों ही मामलों में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना आवश्यक है।

आपको दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें।यहां ग्राफ़ बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन के समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). ऊपर उल्लिखित लेख में उल्लिखित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न लें:

ढलान की गणना करने के लिए आपको दिए गए बिंदु के निर्देशांक को पाए गए व्युत्पन्न में रखें।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर ढलान के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, f"(x) किसी भी बिंदु (x,f(x)) पर फ़ंक्शन का ढलान है। हमारे उदाहरण में:

यदि संभव हो तो अपने उत्तर को एक ग्राफ़ पर जाँचें।याद रखें कि ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती। डिफरेंशियल कैलकुलस जटिल कार्यों और जटिल ग्राफ़ से संबंधित है जहां प्रत्येक बिंदु पर ढलान की गणना नहीं की जा सकती है, और कुछ मामलों में बिंदु ग्राफ़ पर बिल्कुल भी नहीं होते हैं। यदि संभव हो, तो यह जांचने के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करें कि आपके द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ढलान सही है। अन्यथा, आपको दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं और सोचें कि क्या आपको जो ढलान मान मिला है वह ग्राफ़ पर आपके द्वारा देखे गए से मेल खाता है या नहीं।

• किसी निश्चित बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होगा। किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचने के लिए, एक्स अक्ष पर बाएं/दाएं जाएं (हमारे उदाहरण में, दाईं ओर 22 मान), और फिर वाई अक्ष पर एक ऊपर जाएं। बिंदु को चिह्नित करें, और फिर इसे से कनेक्ट करें आपको बिंदु दिया गया. हमारे उदाहरण में, बिंदुओं को निर्देशांक (4,2) और (26,3) से जोड़ें।

संख्यात्मक रूप से एब्सिस्सा अक्ष की सकारात्मक दिशा और दी गई सीधी रेखा के बीच कोण के स्पर्शरेखा के बराबर (ऑक्स अक्ष से ओए अक्ष तक सबसे छोटा घुमाव बनता है)।

किसी कोण की स्पर्शरेखा की गणना विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के रूप में की जा सकती है। कसदैव के बराबर होता है, अर्थात, के संबंध में एक सीधी रेखा के समीकरण का व्युत्पन्न एक्स.

ढलान के सकारात्मक मूल्यों के लिए कऔर शून्य शिफ्ट गुणांक बीसीधी रेखा पहले और तीसरे चतुर्थांश (जिसमें) में स्थित होगी एक्सऔर यसकारात्मक और नकारात्मक दोनों)। उसी समय, कोणीय गुणांक के बड़े मूल्य कएक सीधी सीधी रेखा अनुरूप होगी, और एक सपाट रेखा छोटी रेखाओं के अनुरूप होगी।

सीधा और लंबवत यदि, और समानांतर यदि।

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें कि "सीधी रेखा का कोणीय गुणांक" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

ढलान (प्रत्यक्ष)- - विषय तेल और गैस उद्योग EN ढलान... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

- (गणितीय) समतल y = kx+b पर एक सीधी रेखा के समीकरण में संख्या k (विश्लेषणात्मक ज्यामिति देखें), जो x-अक्ष के सापेक्ष सीधी रेखा के ढलान को दर्शाती है। यू.के. की आयताकार समन्वय प्रणाली में k = tan φ, जहां φ ... के बीच का कोण है। महान सोवियत विश्वकोश

ज्यामिति की एक शाखा जो समन्वय विधि के आधार पर प्रारंभिक बीजगणित का उपयोग करके सरलतम ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करती है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण का श्रेय आमतौर पर आर. डेसकार्टेस को दिया जाता है, जिन्होंने अपने अंतिम अध्याय में इसकी नींव की रूपरेखा तैयार की... ... कोलियर का विश्वकोश

अनुभवजन्य मनोविज्ञान में प्रतिक्रिया समय (आरटी) माप शायद सबसे सम्मानित विषय है। इसकी उत्पत्ति खगोल विज्ञान के क्षेत्र में 1823 में, एक दूरबीन रेखा को पार करने वाले तारे की धारणा की गति में व्यक्तिगत अंतर के माप के साथ हुई थी। इन … मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

गणित की एक शाखा जो परिवर्तन की विभिन्न प्रक्रियाओं के मात्रात्मक अध्ययन के लिए तरीके प्रदान करती है; परिवर्तन की दर (डिफरेंशियल कैलकुलस) के अध्ययन और घुमावदार आकृतियों द्वारा सीमित आकृतियों के वक्रों, क्षेत्रफलों और आयतनों की लंबाई के निर्धारण से संबंधित है और ... कोलियर का विश्वकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रत्यक्ष (अर्थ) देखें। सीधी रेखा ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है, यानी इसकी कोई सटीक सार्वभौमिक परिभाषा नहीं है। ज्यामिति की व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर एक के रूप में लिया जाता है... ...विकिपीडिया

आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं की छवि सीधी रेखा ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जिसे केवल अप्रत्यक्ष रूप से परिभाषित किया जाता है... विकिपीडिया

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"एलिप्सिस" शब्द से भ्रमित न हों। दीर्घवृत्त और उसका केंद्र दीर्घवृत्त (प्राचीन ग्रीक ἔλλειψις की कमी, 1 तक विलक्षणता की कमी के अर्थ में) यूक्लिडियन विमान के बिंदु एम का स्थान जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों का योग F1 है... ... विकिपीडिया

विषय की निरंतरता, एक समतल पर एक रेखा का समीकरण बीजगणित पाठों से एक सीधी रेखा के अध्ययन पर आधारित है। यह आलेख ढलान के साथ सीधी रेखा के समीकरण के विषय पर सामान्य जानकारी प्रदान करता है। आइए परिभाषाओं पर विचार करें, स्वयं समीकरण प्राप्त करें, और अन्य प्रकार के समीकरणों के साथ संबंध की पहचान करें। समस्या समाधान के उदाहरणों का उपयोग करके हर चीज़ पर चर्चा की जाएगी।

ऐसा समीकरण लिखने से पहले, O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को उनके कोणीय गुणांक के साथ परिभाषित करना आवश्यक है। आइए मान लें कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O x दी गई है।

परिभाषा 1

O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण,कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y में समतल पर स्थित, यह वह कोण है जिसे सकारात्मक दिशा O x से सीधी रेखा वामावर्त में मापा जाता है।

जब रेखा O x के समानांतर होती है या उसमें संपाती होती है, तो झुकाव का कोण 0 होता है। फिर दी गई सीधी रेखा α के झुकाव के कोण को अंतराल [ 0 , π) पर परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा 2

सीधी ढलानकिसी दी गई सीधी रेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

मानक पदनाम k है। परिभाषा से हम पाते हैं कि k = t g α। जब रेखा ऑक्स के समानांतर होती है, तो वे कहते हैं कि ढलान मौजूद नहीं है, क्योंकि यह अनंत तक जाती है।

जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ बढ़ता है तो ढलान सकारात्मक होता है और इसके विपरीत। यह आंकड़ा गुणांक के मूल्य के साथ समन्वय प्रणाली के सापेक्ष समकोण के स्थान में विभिन्न भिन्नताएं दिखाता है।

इस कोण को खोजने के लिए, कोणीय गुणांक की परिभाषा को लागू करना और विमान में झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

शर्त से हमारे पास α = 120° है। परिभाषा के अनुसार, ढलान की गणना की जानी चाहिए। आइए इसे सूत्र k = t g α = 120 = - 3 से ज्ञात करें।

उत्तर:के = - 3 .

यदि कोणीय गुणांक ज्ञात है, और भुज अक्ष पर झुकाव का कोण ज्ञात करना आवश्यक है, तो कोणीय गुणांक के मान को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि k > 0, तो समकोण न्यून कोण है और सूत्र α = a r c t g k द्वारा पाया जाता है। यदि के< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

उदाहरण 2

3 के कोणीय गुणांक के साथ दी गई सीधी रेखा के O x के झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान

शर्त से हमारे पास यह है कि कोणीय गुणांक सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि O x के झुकाव का कोण 90 डिग्री से कम है। गणना सूत्र α = a r c t g k = a r c t g 3 का उपयोग करके की जाती है।

उत्तर: α = a r c t g 3।

उदाहरण 3

यदि ढलान = - 1 3 है तो O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करें।

समाधान

यदि हम अक्षर k को कोणीय गुणांक के पदनाम के रूप में लेते हैं, तो α सकारात्मक दिशा O x में दी गई सीधी रेखा के झुकाव का कोण है। अत: k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - ए आर सी टी जी - 1 3 = π - ए आर सी टी जी 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

उत्तर: 5 π 6 .

y = k x + b के रूप का समीकरण, जहां k ढलान है और b कोई वास्तविक संख्या है, ढलान वाली रेखा का समीकरण कहलाता है। यह समीकरण किसी भी सीधी रेखा के लिए विशिष्ट है जो O y अक्ष के समानांतर नहीं है।

यदि हम एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा पर विस्तार से विचार करते हैं, जो एक कोणीय गुणांक वाले समीकरण द्वारा निर्दिष्ट होती है जिसका रूप y = k x + b होता है। इस मामले में, इसका मतलब है कि समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से मेल खाता है। यदि हम बिंदु M, M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित करते हैं, तो इस स्थिति में रेखा इस बिंदु से होकर गुजरेगी, अन्यथा बिंदु रेखा से संबंधित नहीं है।

उदाहरण 4

ढलान y = 1 3 x - 1 के साथ एक सीधी रेखा दी गई है। गणना करें कि क्या बिंदु M 1 (3, 0) और M 2 (2, - 2) दी गई रेखा से संबंधित हैं।

समाधान

दिए गए समीकरण में बिंदु M 1 (3, 0) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, तो हमें 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 मिलता है। समानता सत्य है, जिसका अर्थ है कि बिंदु रेखा से संबंधित है।

यदि हम बिंदु M 2 (2, - 2) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें फॉर्म की गलत समानता मिलती है - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु M 2 रेखा से संबंधित नहीं है।

उत्तर:एम 1 लाइन से संबंधित है, लेकिन एम 2 नहीं है।

यह ज्ञात है कि रेखा को समीकरण y = k · x + b द्वारा परिभाषित किया गया है, जो M 1 (0, b) से होकर गुजरती है, प्रतिस्थापन पर हमें फॉर्म b = k · 0 + b ⇔ b = b की समानता प्राप्त होती है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समतल पर कोणीय गुणांक y = k x + b वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु 0, b से होकर गुजरती है। यह O x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण α बनाता है, जहाँ k = t g α है।

आइए, उदाहरण के तौर पर, y = 3 x - 1 के रूप में निर्दिष्ट कोणीय गुणांक का उपयोग करके परिभाषित एक सीधी रेखा पर विचार करें। हम पाते हैं कि सीधी रेखा O x अक्ष की सकारात्मक दिशा में α = a r c t g 3 = π 3 रेडियन की ढलान के साथ निर्देशांक 0, - 1 वाले बिंदु से होकर गुजरेगी। इससे पता चलता है कि गुणांक 3 है।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण

किसी समस्या को हल करना आवश्यक है जहाँ बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली दी गई ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

समानता y 1 = k · x + b को वैध माना जा सकता है, क्योंकि रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है। संख्या बी को हटाने के लिए, बाईं और दाईं ओर से ढलान वाले समीकरण को घटाना आवश्यक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि y - y 1 = k · (x - x 1) . इस समानता को दिए गए ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक से होकर गुजरती है।

उदाहरण 5

निर्देशांक (4, - 1) के साथ बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें, जिसका कोणीय गुणांक - 2 के बराबर हो।

समाधान

शर्त के अनुसार हमारे पास x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 है। यहां से रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

उत्तर: y = - 2 x + 7 .

उदाहरण 6

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें जो बिंदु M 1 से निर्देशांक (3, 5) के साथ गुजरती है, सीधी रेखा y = 2 x - 2 के समानांतर।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि समानांतर रेखाओं में झुकाव के कोण समान हैं, जिसका अर्थ है कि कोणीय गुणांक बराबर हैं। इस समीकरण से ढलान खोजने के लिए, आपको इसका मूल सूत्र y = 2 x - 2 याद रखना होगा, यह k = 2 का अनुसरण करता है। हम ढलान गुणांक के साथ एक समीकरण बनाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

उत्तर: y = 2 x - 1 .

ढलान के साथ एक सीधी रेखा समीकरण से अन्य प्रकार की सीधी रेखा समीकरणों और पीछे की ओर संक्रमण

यह समीकरण हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए लागू नहीं होता है, क्योंकि यह बहुत आसानी से लिखा नहीं जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको इसे एक अलग रूप में प्रस्तुत करना होगा। उदाहरण के लिए, y = k x + b के रूप का समीकरण हमें एक सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक या एक सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिखने की अनुमति नहीं देता है। ऐसा करने के लिए, आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों के साथ प्रतिनिधित्व करना सीखना होगा।

हम कोण गुणांक वाली एक रेखा के समीकरण का उपयोग करके एक समतल पर एक रेखा का विहित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। हमें x - x 1 a x = y - y 1 a y मिलता है। शब्द b को बाईं ओर ले जाना और परिणामी असमानता की अभिव्यक्ति से विभाजित करना आवश्यक है। तब हमें y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k के रूप का एक समीकरण मिलता है।

ढलान वाली रेखा का समीकरण इस रेखा का विहित समीकरण बन गया है।

उदाहरण 7

कोणीय गुणांक y = - 3 x + 12 वाली सीधी रेखा के समीकरण को विहित रूप में लाएँ।

समाधान

आइए हम इसकी गणना करें और इसे एक सीधी रेखा के विहित समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें। हमें इस रूप का एक समीकरण मिलता है:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

उत्तर: x 1 = y - 12 - 3.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण y = k · x + b से प्राप्त करना सबसे आसान है, लेकिन इसके लिए परिवर्तन करना आवश्यक है: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. रेखा के सामान्य समीकरण से भिन्न प्रकार के समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 8

y = 1 7 x - 2 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। पता लगाएँ कि क्या निर्देशांक a → = (- 1, 7) वाला वेक्टर एक सामान्य रेखा वेक्टर है?

समाधान

इसे हल करने के लिए इस समीकरण के दूसरे रूप की ओर जाना आवश्यक है, इसके लिए हम लिखते हैं:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

चर के सामने के गुणांक रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं। आइए इसे इस तरह लिखें: n → = 1 7, - 1, इसलिए 1 7 x - y - 2 = 0. यह स्पष्ट है कि सदिश a → = (- 1, 7) सदिश n → = 1 7, - 1 के संरेख है, क्योंकि हमारे पास उचित संबंध a → = - 7 · n → है। इसका तात्पर्य यह है कि मूल वेक्टर a → = - 1, 7 रेखा 1 7 x - y - 2 = 0 का एक सामान्य वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि इसे रेखा y = 1 7 x - 2 के लिए एक सामान्य वेक्टर माना जाता है।

उत्तर:है

आइए इसकी उलटी समस्या को हल करें।

समीकरण A x + B y + C = 0, जहां B ≠ 0, के सामान्य रूप से कोणीय गुणांक वाले समीकरण की ओर बढ़ना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम y के समीकरण को हल करते हैं। हमें A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B मिलता है।

परिणाम - A B के बराबर ढलान वाला एक समीकरण है।

उदाहरण 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। कोणीय गुणांक के साथ दी गई रेखा का समीकरण प्राप्त करें।

समाधान

शर्त के आधार पर, y को हल करना आवश्यक है, फिर हमें फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4।

उत्तर: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 के रूप का एक समीकरण इसी प्रकार हल किया जाता है, जिसे खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, या x - x 1 a x = y - y 1 a y के रूप का विहित समीकरण कहा जाता है। हमें इसे y के लिए हल करने की आवश्यकता है, तभी हमें ढलान के साथ एक समीकरण मिलता है:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

विहित समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाया जा सकता है। इसके लिए:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई ⇔ ए वाई · (एक्स - एक्स 1) = ए एक्स · (वाई - वाई 1) ⇔ ⇔ ए एक्स · वाई = ए वाई · एक्स - ए वाई · एक्स 1 + ए एक्स · वाई 1 ⇔ वाई = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

उदाहरण 10

समीकरण x 2 + y - 3 = 1 द्वारा दी गई एक सीधी रेखा है। कोणीय गुणांक वाले समीकरण के रूप में घटाएँ।

समाधान।

स्थिति के आधार पर, परिवर्तन करना आवश्यक है, फिर हमें _सूत्र_ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। आवश्यक ढलान समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को - 3 से गुणा किया जाना चाहिए। परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

उत्तर: y = 3 2 x - 3 .

उदाहरण 11

x - 2 2 = y + 1 5 के रूप के सरल रेखा समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाएँ।

समाधान

अनुपात के रूप में अभिव्यक्ति x - 2 2 = y + 1 5 की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . अब आपको यह करने के लिए इसे पूरी तरह से सक्षम करने की आवश्यकता है:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

उत्तर: y = 5 2 x - 6 .

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ रूप की रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को रेखा के विहित समीकरण में घटाया जाना चाहिए, इसके बाद ही कोई समीकरण के साथ आगे बढ़ सकता है ढलान गुणांक.

उदाहरण 12

यदि रेखा पैरामीट्रिक समीकरण x = λ y = - 1 + 2 · λ द्वारा दी गई है तो रेखा का ढलान ज्ञात करें।

समाधान

पैरामीट्रिक दृश्य से ढलान की ओर संक्रमण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए पैरामीट्रिक से विहित समीकरण पाते हैं:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2।

अब कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने के लिए y के संबंध में इस समानता को हल करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आइए इसे इस प्रकार लिखें:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा का ढलान 2 है। इसे k = 2 के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर:के = 2.

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