4. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक वर्ग के विकर्ण के माध्यम से एक आयत के बारे में वर्णित है:
5. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक वृत्त के व्यास (परिक्रमा) के माध्यम से एक आयत के पास वर्णित है:
6. एक वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र, जो एक आयत के पास उस कोण की ज्या के माध्यम से वर्णित है जो विकर्ण के निकट है, और इस कोण के विपरीत पक्ष की लंबाई:
7. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक आयत के बारे में उस कोण की कोज्या के पदों में वर्णित है जो विकर्ण से सटा हुआ है, और इस कोण पर भुजा की लंबाई:
8. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच एक न्यून कोण की ज्या के माध्यम से एक आयत के पास वर्णित है:
एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच का कोण।
एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:
1. विकर्ण और भुजा के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:
2. विकर्णों के बीच के कोण के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:
आयत के विकर्णों के बीच का कोण।
आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने के सूत्र:
1. एक आयत के विकर्णों के बीच के कोण को भुजा और विकर्ण के बीच के कोण से निर्धारित करने का सूत्र:
β = 2α
2. एक आयत के विकर्णों के बीच के क्षेत्रफल और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र।
आयतएक चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोना एक समकोण है।
सबूत
संपत्ति को समांतर चतुर्भुज के फीचर 3 की क्रिया द्वारा समझाया गया है (यानी \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
AB = CD,\enspace BC = AD
3. सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
एबी \समानांतर सीडी,\एनस्पेस बीसी \समांतर एडी
4. आसन्न भुजाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
एसी = बीडी
सबूत
के अनुसार संपत्ति 1आयत एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है AB = CD।
इसलिए, दो पैरों के अनुदिश \triangle ABD = \triangle DCA (AB = CD और AD - जोड़)।
यदि दोनों आकृतियाँ - ABC और DCA समरूप हैं, तो उनके कर्ण BD और AC भी समरूप हैं।
तो एसी = बीडी।
सभी आकृतियों का केवल एक आयत (केवल समांतर चतुर्भुजों से!) समान विकर्ण होते हैं।
आइए इसे भी साबित करें।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है \Rightarrow AB = CD , AC = BD शर्त के अनुसार। \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAपहले से ही तीन तरफ।
यह पता चलता है कि \कोण ए = \कोण डी (एक समांतर चतुर्भुज के कोनों की तरह)। और \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ।
हम यह अनुमान लगाते हैं कि \कोण ए = \कोण बी = \कोण सी = \कोण डी. वे सभी 90^(\circ) हैं। कुल 360^(\circ) है।
सिद्ध किया हुआ!
6. विकर्ण का वर्ग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यह गुण पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर मान्य है।
एसी^2=एडी^2+सीडी^2
7. विकर्ण आयत को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें समद्विभाजित करता है।
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
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9. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु आयत का केंद्र और परिबद्ध वृत्त है।
10. सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है।
\कोण एबीसी + \कोण बीसीडी + \कोण सीडीए + \कोण डीएबी = 360^(\circ)
11. आयत के सभी कोने सही हैं।
\कोण एबीसी = \कोण बीसीडी = \कोण सीडीए = \कोण डीएबी = 90^(\circ)
12. आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का व्यास आयत के विकर्ण के बराबर है।
13. एक आयत के चारों ओर हमेशा एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
यह गुण इस तथ्य के कारण मान्य है कि एक आयत के विपरीत कोनों का योग होता है 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. एक आयत में एक खुदा हुआ वृत्त हो सकता है और केवल एक यदि उसकी भुजाओं की लंबाई समान हो (यह एक वर्ग है)।
आयत।
चूँकि आयत में सममिति के दो अक्ष होते हैं, इसलिए इसका गुरुत्व केंद्र सममिति के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है, अर्थात्। आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर। 
त्रिभुज।
गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है। ज्यामिति से ज्ञात होता है कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और आधार से 1:2 के अनुपात में विभाजित होती हैं। 
एक क्षेत्र में। चूँकि वृत्त में सममिति के दो अक्ष होते हैं, इसका गुरुत्व केंद्र सममिति के अक्षों के प्रतिच्छेदन पर होता है।
अर्धवृत्त।
अर्धवृत्त में समरूपता का एक अक्ष होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष पर स्थित होता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के एक अन्य निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: . 
कई संरचनात्मक तत्व मानक लुढ़का उत्पादों से बने होते हैं - कोण, आई-बीम, चैनल और अन्य। सभी आयाम, साथ ही रोल्ड प्रोफाइल की ज्यामितीय विशेषताएं, सारणीबद्ध डेटा हैं जो संदर्भ साहित्य में मानक वर्गीकरण तालिकाओं (GOST 8239-89, GOST 8240-89) में पाए जा सकते हैं।
उदाहरण 1 आकृति में दर्शाई गई आकृति के गुरुत्व केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।
समाधान:
हम समन्वय अक्षों का चयन करते हैं ताकि ऑक्स अक्ष अत्यधिक निचले समग्र आयाम के साथ गुजरे, और ओए अक्ष - चरम बाएं समग्र आयाम के साथ।
हम एक सम्मिश्र आकृति को साधारण अंकों की न्यूनतम संख्या में तोड़ते हैं:
आयत 20x10;
त्रिकोण 15x10;
सर्कल आर = 3 सेमी।
हम प्रत्येक साधारण आकृति के क्षेत्र की गणना करते हैं, इसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक। गणना के परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं
|
चित्र संख्या |
आकृति A . का क्षेत्रफल |
गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्देशांक |
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| |||
उत्तर: सी(14.5; 4.5)
उदाहरण 2
.
एक शीट और लुढ़का प्रोफाइल से मिलकर एक समग्र खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। 
समाधान।
हम निर्देशांक अक्षों का चयन करते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
हम अंकों को संख्याओं से निरूपित करते हैं और तालिका से आवश्यक डेटा लिखते हैं:
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चित्र संख्या |
आकृति A . का क्षेत्रफल |
गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्देशांक |
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|||
हम सूत्रों का उपयोग करके आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं:
उत्तर: सी(0; 10)
प्रयोगशाला कार्य संख्या 1 "समग्र फ्लैट आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण"
लक्ष्य: प्रयोगात्मक और विश्लेषणात्मक तरीकों से किसी दिए गए फ्लैट जटिल आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण करें और उनके परिणामों की तुलना करें।
कार्य आदेश
आकृति को न्यूनतम संख्याओं में तोड़ें, जिनमें से गुरुत्वाकर्षण केंद्र, हम जानते हैं कि कैसे निर्धारित किया जाए।
क्षेत्रों की संख्या और प्रत्येक आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांकों को इंगित करें।
प्रत्येक आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक की गणना करें।
प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।
सूत्रों का उपयोग करके संपूर्ण आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करें (आकृति के चित्र पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति डालें):
निर्देशांक अक्षों को इंगित करते हुए, नोटबुक में आकार में अपनी सपाट आकृति बनाएं।
विश्लेषणात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण करें।
निलंबन द्वारा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के प्रयोगात्मक निर्धारण के लिए स्थापना में एक ऊर्ध्वाधर रैक होता है 1
(अंजीर देखें।) जिससे सुई जुड़ी हुई है 2
. सपाट आकृति 3
कार्डबोर्ड से बना है, जो एक छेद को छेदना आसान है। छेद लेकिन
तथा पर
बेतरतीब ढंग से स्थित बिंदुओं पर (अधिमानतः एक दूसरे से सबसे दूर की दूरी पर)। एक सपाट आकृति को सुई पर लटकाया जाता है, पहले एक बिंदु पर लेकिन
, और फिर बिंदु पर पर
. साहुल की सहायता से 4
, उसी सुई पर स्थिर होकर, साहुल रेखा के अनुरूप पेंसिल से आकृति पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींची जाती है। ग्रैविटी केंद्र से
आकृति को बिंदुओं पर लटकाते समय खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाओं के चौराहे पर स्थित होगा लेकिन
तथा पर
.
अक्सर, एक घरेलू शिल्पकार को एक वृत्त या गोल भाग का केंद्र खोजने की आवश्यकता होती है। मैंने पहले ही लेख में इस समस्या को हल करने के तरीकों में से एक के बारे में लिखा है सर्कल का केंद्र कैसे खोजें।लेकिन इसकी एक महत्वपूर्ण खामी है - कॉर्ड के मध्य को सटीक रूप से खोजना और इससे लंबवत निर्माण करना आवश्यक है।
सौभाग्य से, एक वृत्त के केंद्र को सटीक रूप से खोजने के लिए एक और तरीका है जिसके लिए किसी सटीक माप की आवश्यकता नहीं होती है। यह सरल सिद्धांत पर आधारित है कि यदि एक वृत्त में एक समकोण त्रिभुज खुदा हुआ है, तो उसका कर्ण (सबसे लंबी भुजा) इस वृत्त या वृत्त का व्यास होगा।
इसकी पुष्टि इस तथ्य से होती है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है। और पूरा वृत्त 360 डिग्री का होता है। और कोई भी आयत जिसका कर्ण वृत्त के व्यास के बराबर है, आयताकार होगा। और इसके विपरीत - कोई भी समकोण त्रिभुज जिसका कर्ण वृत्त के व्यास का प्रतिनिधित्व करता है।
और क्या हमें वृत्त का केंद्र अधिक सटीक रूप से देगा, यदि वृत्त के दो व्यासों का प्रतिच्छेदन नहीं है?
समकोण के "स्रोत" के रूप में, लेखन पत्र की एक शीट लेना सबसे आसान है। पेपर मिलों में, उन्हें बहुत उच्च परिशुद्धता के साथ काटा जाता है। आप किसी भी पत्रिका आदि के पेज का उपयोग कर सकते हैं।
हम गोल भाग पर कागज की एक शीट लगाते हैं ताकि उसका एक कोना वृत्त या वृत्त के किनारे पर हो। और उन बिंदुओं को चिह्नित करें जहां शीट सर्कल के अन्य किनारों को छूती है। हम इन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं।
हम चिह्नित बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा खींचते हैं। उनके बीच की दूरी इस वृत्त का व्यास है। हमने अतिरिक्त कागज काट दिया और भाग पर एक सीधी रेखा खींचते हैं - व्यास।
यह हमारे त्रिकोण को दूसरी स्थिति में ले जाने और सर्कल के दूसरे व्यास को खींचने के लिए पर्याप्त है, और वहीं व्यास के चौराहे के बिंदु पर हमें सर्कल का वांछित केंद्र मिलेगा ...
इस प्रकार, बिना किसी माप के, हम किसी भी वृत्त का केंद्र ज्ञात कर सकते हैं।
