अंश और हर का पता लगाएं।एक भिन्न में दो संख्याएँ होती हैं: रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और रेखा के नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। भाजक उन भागों की कुल संख्या को इंगित करता है जिनमें एक पूर्ण टूटा हुआ है, और अंश ऐसे भागों की मानी गई संख्या है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न ½ में अंश 1 है और हर 2 है।

भाजक ज्ञात कीजिए।यदि दो या दो से अधिक भिन्नों में एक समान हर होता है, तो ऐसे भिन्नों की रेखा के नीचे समान संख्या होती है, अर्थात इस स्थिति में, कुछ पूर्ण को समान भागों में विभाजित किया जाता है। एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को जोड़ना बहुत आसान है, क्योंकि कुल भिन्न का हर वही होगा जो भिन्न को जोड़ा जा रहा है। उदाहरण के लिए:

• भिन्न 3/5 और 2/5 में एक उभयनिष्ठ हर 5 है।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 में एक सार्व भाजक 8 है।

अंकगणित ज्ञात कीजिए।एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके अंशों को जोड़ें और परिणाम को जोड़े गए भिन्नों के हर के ऊपर लिखें।

• भिन्न 3/5 और 2/5 के अंश 3 और 2 हैं।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 के अंश 3, 5, 17 हैं।

अंशों को जोड़ें।प्रश्न 3/5 + 2/5 में अंश 3 + 2 = 5 जोड़ें। समस्या 3/8 + 5/8 + 17/8 में अंश 3 + 5 + 17 = 25 जोड़ें।

कुल लिखिए।याद रखें कि एक सामान्य भाजक के साथ भिन्न जोड़ते समय, यह अपरिवर्तित रहता है - केवल अंश जोड़े जाते हैं।

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

यदि आवश्यक हो तो भिन्न को परिवर्तित करें।कभी-कभी एक अंश को एक सामान्य या दशमलव अंश के बजाय एक पूर्ण संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/5 आसानी से 1 में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि कोई भी भिन्न जिसका अंश हर के बराबर होता है, 1 होता है। एक पाई को तीन भागों में काटने की कल्पना करें। यदि आप तीनों भागों को खा लेंगे, तो आप पूरी (एक) पाई खाएंगे।

• किसी भी सामान्य अंश को दशमलव में बदला जा सकता है; ऐसा करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/8 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5 8 = 0.625।

यदि संभव हो तो भिन्न को सरल कीजिए।सरलीकृत भिन्न वह भिन्न होती है जिसके अंश और हर में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं होता है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न 3/6 पर विचार करें। यहाँ, अंश और हर दोनों का एक उभयनिष्ठ भाजक 3 के बराबर है, अर्थात अंश और हर 3 से पूरी तरह से विभाज्य हैं। इसलिए, भिन्न 3/6 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 3 3/6 ÷ 3 = आधा

यदि आवश्यक हो, तो अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न (मिश्रित संख्या) में बदलें।एक अनुचित भिन्न के लिए, अंश हर से बड़ा होता है, उदाहरण के लिए, 25/8 (उचित भिन्न के लिए, अंश हर से छोटा होता है)। एक अनुचित अंश को मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है, जिसमें एक पूर्णांक भाग (अर्थात, एक पूर्ण संख्या) और एक भिन्नात्मक भाग (अर्थात, एक उचित अंश) होता है। एक अनुचित भिन्न जैसे 25/8 को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें; अपूर्ण भागफल (पूरा उत्तर) लिखिए। हमारे उदाहरण में: 25 ÷ 8 = 3 जमा कुछ शेष। इस मामले में, संपूर्ण उत्तर मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होता है।
• बाकी का पता लगाएं। हमारे उदाहरण में: 8 x 3 = 24; मूल अंश से परिणाम घटाएं: 25 - 24 \u003d 1, यानी शेष 1 है। इस मामले में, शेष मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश है।
• मिश्रित भिन्न लिखिए। हर नहीं बदलता है (अर्थात, यह अनुचित भिन्न के हर के बराबर है), इसलिए 25/8 = 3 1/8।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

,

,

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को एक मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हरों से भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृतिक संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को घटाए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों का घटाव (संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और फिर हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाईं ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

पाठ सामग्री

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और . हम अंश जोड़ते हैं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और .

उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो यह अनुचित अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। एक अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूर्णांक भाग आसानी से आवंटित किया जाता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर होता है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो दो भागों में विभाजित है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और .

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 संपूर्ण पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब हम सीखेंगे कि भिन्न हरों वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि दोनों भिन्नों के हर के पहले (LCM) की तलाश की जाती है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। वे दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करते हैं - LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त किया जाता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनमें समान भाजक होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब वापस भिन्नों पर और . सबसे पहले, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर 3 संख्या है। 6 को 3 से भाग देने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से भाग देने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए यह पता चला है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करना भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को और एक सामान्य हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना होगा कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।

पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (छह में से चार टुकड़े) और दूसरी तस्वीर एक भिन्न (छह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। शिक्षण संस्थानों में इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होने की आवश्यकता है, साथ ही साथ आपके अंशों और हरों द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरणों में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए जाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
2. प्रत्येक भिन्न के हर से LCM को विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 . हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। हम 12 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर 4 संख्या है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. भिन्नों को जोड़ें जिनमें समान हर हों

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति पर फिट नहीं बैठता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर एक अनुचित भिन्न है। हमें इसके पूरे हिस्से को अलग करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:

जवाब मिला

समान हर वाले भिन्नों का घटाव

अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

सबसे पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाना है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना आवश्यक है, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। चलो इसे करते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले अंश के अंश से, दूसरे अंश के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

उदाहरण के लिए, भिन्न में से भिन्न को घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन भिन्न में से भिन्न को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम पहली भिन्न के ऊपर चार लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न पर एक तिहाई लिखें:

अब हम सब घटाव के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाकर):

पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (बारह में से आठ टुकड़े), और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने से हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का न्यूनतम सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। LCM संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 संख्या है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरे भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं।

किसी भिन्न को कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को (gcd) संख्याओं 20 और 30 से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से

जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को संख्या 1 . से गुणा करें

प्रविष्टि को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को , के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल अभी भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और एक भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस प्रविष्टि को इकाई का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज्जा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज्जा होगा:

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

व्यंजक को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

जवाब मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

अभिव्यक्ति को आधा पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हमें पिज्जा मिलेगा। याद रखें कि पिज्जा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में बांटा गया है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर सही अंश निकला, लेकिन घटाया जाए तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 की संख्या के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए 105 और 450 की संख्याओं का GCD ज्ञात करें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस GCD से भाग देते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से

एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "पाँच की संख्या एक से विभाजित", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतए वह संख्या है जिसे गुणा करने परए एक इकाई देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है जिसे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।

क्या ऐसी कोई संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँच को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को अपने आप से गुणा करें, केवल उल्टा:

इसका क्या परिणाम होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब है कि संख्या 5 का विलोम वह संख्या है, जब 5 को एक से गुणा करने पर एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे पलटना पर्याप्त है।

एक संख्या से भिन्न का विभाजन

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक को कितने पिज्जा मिलेंगे?

यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।

भिन्नों का विभाजन व्युत्क्रम का उपयोग करके किया जाता है। व्युत्क्रम आपको विभाजन को गुणा से बदलने की अनुमति देता है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम का उपयोग करते हुए, हम अपने आधे पिज़्ज़ा के विभाजन को दो भागों में लिखेंगे।

तो, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यहाँ भाज्य भिन्न है और भाजक 2 है।

किसी भिन्न को संख्या 2 से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। भाजक 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको से गुणा करना होगा

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्नों के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग दें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं। असल में, यही वे दशमलव के लिए अच्छे हैं। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की जरूरत है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण अंशों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

और यहाँ क्रियाओं के साथ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्याओं, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं और आगे भी सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएं सभी बीजगणितों का आधार होती हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सभी अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ (घटाना) कर सकता है (मुझे वास्तव में उम्मीद है!) खैर, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ने (घटाने) पर, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। प्रकार:

संक्षेप में, सामान्य शब्दों में:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल हरों को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल 2/5 और 4/10 के मामले में एक ही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असहज है, और 4/10 भी कुछ नहीं है।

वैसे, गणित में किसी भी कार्य को हल करने का यही सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। 3 से साधारण गुणा करके यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह से आते हैं:

कैसे बनें?! सात में से नौ बनाना मुश्किल है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए रूपांतरित करें हर एकभिन्न ताकि भाजक समान हों। इसे "एक सामान्य भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत आसान! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या हमेशा हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस हर को खोजने की जरूरत है जो सभी भिन्नों के लिए समान है, और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और आम भाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8 और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलते हैं। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ भी काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणना के कारण केवल सभी को यह अंत नहीं मिलेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लॉगरिदम नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों का जोड़ (घटाव) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, छोटे संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रिया करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि . के साथ भिन्नात्मक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाने की आवश्यकता है। और सिर्फ मदद से गुणा! तो भिन्न का मुख्य गुण कहता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!) लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, तो आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! तो हम नीचे लिखते हैं, अंश की रेखा, ऊपर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और नीचे हर के उत्पाद को लिखते हैं, ताकि भूलना न भूलें:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के आम भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहली भिन्न में हर x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे भिन्न में - x. आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर कई कदम चलते हैं। कोष्ठक नहीं, बिल्कुल, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक प्रकट होते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराहर! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ अंकीय भिन्नों की तरह होता है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात्। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको हर में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहां हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरणों को हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जिन लोगों ने आवंटित समय में भिन्नों में महारत हासिल कर ली है, ये सभी ऑपरेशन एक हाथ से मशीन पर करें!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों से निपटते हैं, लेकिन उदाहरणों पर लटके रहते हैं पूरा का पूरासंख्याएं। प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? एक ड्यूस कहाँ बांधें? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको एक ड्यूस से एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1. इस प्रकार सं. किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 7/1 है, 3 3/1 है और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार कार्य करते हैं।

खैर, इसके अलावा - भिन्नों के घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया था। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तन - दोहराया। आप भी चेक कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करेंगे?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा / भाग - अगले पाठ में। भिन्न के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य भी हैं।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना

आइए सबसे सरल उदाहरण को देखते हुए शुरू करें - समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना। इस मामले में, आपको केवल अंशों के साथ क्रियाएं करने की आवश्यकता है - उन्हें जोड़ें या घटाएं।

समान हर के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर, हर नहीं बदलता है!

मुख्य बात यह है कि हर में कोई जोड़ और घटाव ऑपरेशन नहीं करना है, लेकिन कुछ छात्र इसके बारे में भूल जाते हैं। इस नियम को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए विज़ुअलाइज़ेशन के सिद्धांत का सहारा लें, या सरल शब्दों में, वास्तविक जीवन के उदाहरण पर विचार करें:

आपके पास आधा सेब है - यह पूरे सेब का आधा है। आपको एक और आधा, यानी एक और आधा दिया जाता है। जाहिर है, अब आपके पास एक पूरा सेब है (यह गिनती नहीं है कि यह कट गया है)। इसलिए ½ + ½ = 1 और 2/4 जैसा कुछ नहीं। या वे आपसे यह आधा निकाल लेते हैं: ½ - ½ = 0. समान हरों से घटाव के मामले में, सामान्य रूप से एक विशेष स्थिति प्राप्त होती है - समान हरों को घटाने पर, हमें 0 मिलेगा, लेकिन आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते , और इस अंश का कोई मतलब नहीं होगा।

आइए एक अंतिम उदाहरण लें:

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? ऐसा करने के लिए, हमें पहले भिन्नों को एक ही हर में लाना होगा, और फिर जैसा कि मैंने ऊपर बताया है, आगे बढ़ना चाहिए।

एक अंश को एक सामान्य हर में कम करने के दो तरीके हैं। सभी विधियों में एक ही नियम का प्रयोग किया जाता है - अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर भिन्न नहीं बदलता है .

दो तरीके हैं। पहला - सबसे सरल - तथाकथित "क्रॉसवर्ड"। यह इस तथ्य में निहित है कि हम पहले अंश को दूसरे अंश (अंश और हर दोनों) के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे अंश को पहले के हर (इसी तरह, अंश और हर दोनों) से गुणा करते हैं। उसके बाद, हम समान हर के मामले में कार्य करते हैं - अब वे वास्तव में वही हैं!

पिछली विधि सार्वभौमिक है, हालांकि, ज्यादातर मामलों में, हर के अंश पाए जा सकते हैं आम एकाधिक - वह संख्या जिससे पहला हर और दूसरा दोनों विभाज्य और सबसे छोटा हो। इस पद्धति में, आपको ऐसे एलसीएम को देखने में सक्षम होने की आवश्यकता है, क्योंकि उनकी विशेष खोज "क्रॉस-वाइज" विधि की गति में काफी क्षमता और निम्न है। लेकिन ज्यादातर मामलों में, यदि आप अपनी आँखें भरते हैं और पर्याप्त प्रशिक्षण लेते हैं, तो एनओसी काफी दिखाई देता है।

मुझे आशा है कि अब आप भिन्नों को जोड़ने और घटाने के तरीकों में पारंगत हैं!