यह लेख बीजगणितीय अंशों के परिवर्तन के विषय को जारी रखता है: इस तरह की क्रिया को बीजगणितीय अंशों को कम करने पर विचार करें। आइए शब्द को ही परिभाषित करें, संक्षिप्त नाम नियम तैयार करें और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।
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बीजगणितीय अंश संक्षिप्त नाम का अर्थ
साधारण अंश की सामग्रियों में, हमने इसकी कमी पर विचार किया। हमने एक सामान्य अंश की कमी को उसके अंश और भाजक को एक सामान्य कारक से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है।
एक बीजगणितीय अंश को कम करना एक समान ऑपरेशन है।
परिभाषा 1
बीजगणितीय अंश में कमीएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और भाजक का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण अंश की कमी के विपरीत (केवल एक संख्या एक सामान्य भाजक हो सकती है), एक बहुपद, विशेष रूप से, एक मोनोमियल या एक संख्या, एक बीजगणितीय अंश के अंश और भाजक के लिए एक सामान्य कारक के रूप में काम कर सकता है।
उदाहरण के लिए, बीजगणितीय अंश 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें मिलता है: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . हम उसी भिन्न को चर x से कम कर सकते हैं, और यह हमें व्यंजक 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 देगा। एक मोनोमियल द्वारा दिए गए अंश को कम करना भी संभव है 3 एक्सया कोई भी बहुपद एक्स + 2 वाई, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y या 3 x 2 + 6 x y।
एक बीजगणितीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का एक अंश है, सबसे अच्छा एक अलघुकरणीय अंश है।
क्या सभी बीजगणितीय अंशों में कमी हो सकती है?
फिर से, साधारण अंशों की सामग्रियों से, हम जानते हैं कि कम करने योग्य और अलघुकरणीय भिन्न होते हैं। इरेड्यूसिबल - ये ऐसे अंश हैं जिनमें अंश और भाजक के सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं, 1 के अलावा।
बीजगणितीय अंशों के साथ, सब कुछ समान है: उनमें अंश और भाजक के सामान्य गुणनखंड हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कमी के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कमी विधि द्वारा दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव होता है।
सामान्य मामलों में, किसी दिए गए प्रकार के अंश के लिए यह समझना काफी मुश्किल है कि क्या यह कमी के अधीन है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और भाजक के एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 · x 2 3 · y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड संख्या 3 है।
एक अंश - x · y 5 · x · y · z 3 में हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से कम करना संभव है। और फिर भी, बीजगणितीय अंशों के उदाहरण बहुत अधिक सामान्य हैं, जब अंश और भाजक के सामान्य कारक को देखना इतना आसान नहीं है, और इससे भी अधिक बार - यह बस अनुपस्थित है।
उदाहरण के लिए, हम अंश x 3 - 1 x 2 - 1 को x - 1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य कारक रिकॉर्ड में नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
इस प्रकार, एक बीजगणितीय अंश की संविदात्मकता का पता लगाने का प्रश्न इतना आसान नहीं है, और किसी दिए गए रूप के भिन्न के साथ काम करना अक्सर यह पता लगाने की तुलना में आसान होता है कि क्या यह संविदात्मक है। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं कि विशेष मामलों में हमें अंश और भाजक के सामान्य कारक को निर्धारित करने या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है कि अंश अलघुकरणीय है। हम लेख के अगले पैराग्राफ में इस मुद्दे का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।
बीजगणितीय अंश न्यूनीकरण नियम
बीजगणितीय अंश न्यूनीकरण नियमलगातार दो चरणों के होते हैं:
- अंश और भाजक के सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना;
- ऐसा खोजने के मामले में, अंश को कम करने की सीधी कार्रवाई का कार्यान्वयन।
उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने की सबसे सुविधाजनक विधि अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखण्ड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत देखने की अनुमति देता है।
एक बीजगणितीय अंश को कम करने की क्रिया एक बीजगणितीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे अपरिभाषित समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां a, b, c कुछ बहुपद हैं, और b और c गैर-शून्य हैं। पहला कदम अंश को a c b c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा कदम कमी करना है, यानी। रूप a b के एक अंश में संक्रमण।
विशिष्ट उदाहरण
कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए उस विशेष मामले के बारे में स्पष्ट करें जब बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर बराबर होते हैं। इस अंश के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान भिन्न समान रूप से 1 के बराबर हैं:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; एक्स एक्स = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 एक्स - एक्स 2 वाई 1 2 एक्स - एक्स 2 वाई;
चूँकि साधारण भिन्न बीजगणितीय भिन्नों का एक विशेष मामला है, आइए हम याद करें कि उन्हें कैसे घटाया जाता है। अंश और भाजक में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर सामान्य गुणनखंडों को घटाया जाता है (यदि कोई हो)।
उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
सरल समान कारकों के उत्पाद को डिग्री के रूप में लिखा जा सकता है, और अंश में कमी की प्रक्रिया में, समान आधारों के साथ डिग्री को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग किया जाता है। तब उपरोक्त समाधान होगा:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(अंश और भाजक को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3). या, स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देंगे:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
सादृश्य से, बीजगणितीय अंशों की कमी की जाती है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले मोनोमियल होते हैं।
उदाहरण 1
एक बीजगणितीय अंश दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z । इसे कम करने की जरूरत है।
समाधान
किसी भिन्न के अंश और भाजक को प्रमुख कारकों और चर के उत्पाद के रूप में लिखना संभव है, और फिर कम करें:
27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 3 ए ए ए ए बी बी सी जेड 2 3 ए बी बी सी सी सी सी सी सी जेड = = - 3 3 ए ए 2 सी सी सी सी सी सी सी = - 9 ए 3 2 सी 6
हालाँकि, समाधान को शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखने का एक अधिक तर्कसंगत तरीका होगा:
27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 ए 5 बी 2 सी जेड 2 3 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 2 3 ए 5 ए 2 बी 2 बी 2 सी सी 7 जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 ए 5 - 2 1 1 1 सी 7 - 1 1 = - 3 2 ए 3 2 सी 6 = - 9 ए 3 2 सी 6।
उत्तर:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6
जब किसी बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आगे की क्रियाओं के दो संभावित तरीके होते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पाएं . अंतिम परिवर्तन एक बीजगणितीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में लेख "एक बीजगणितीय अंश को एक नए भाजक में कम करना") के बारे में पढ़ सकते हैं।
उदाहरण 2
एक भिन्न 2 5 x 0 , 3 x 3 दिया है। इसे कम करने की जरूरत है।
समाधान
इस तरह अंश को कम करना संभव है:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
आइए समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें, पहले भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के बाद - हम अंश और भाजक को इन गुणांकों के भाजक के कम से कम सामान्य गुणकों से गुणा करते हैं, अर्थात। प्रति ल.स.प.(5, 10) = 10। तब हमें मिलता है:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।
उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
जब हम सामान्य बीजगणितीय भिन्नों को कम करते हैं, जिसमें अंश और हर एकपदी और बहुपद दोनों हो सकते हैं, तो एक समस्या तब संभव होती है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता। या इससे भी अधिक, यह बस अस्तित्व में नहीं है। फिर, सामान्य कारक को निर्धारित करने या इसकी अनुपस्थिति के तथ्य को ठीक करने के लिए, बीजगणितीय अंश के अंश और भाजक को गुणनखंडित किया जाता है।
उदाहरण 3
एक परिमेय भिन्न 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 दिया गया है। इसे छोटा करने की जरूरत है।
समाधान
आइए अंश और हर में बहुपदों के गुणनखण्ड करें। आइए कोष्ठक करते हैं:
2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)
हम देखते हैं कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके कोष्ठक में अभिव्यक्ति को परिवर्तित किया जा सकता है:
2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)
यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि अंश को एक सामान्य कारक द्वारा कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए एक कमी करें:
2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी
हम समानता की श्रृंखला के रूप में स्पष्टीकरण के बिना एक छोटा समाधान लिखते हैं:
2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी
उत्तर: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।
ऐसा होता है कि सामान्य कारक संख्यात्मक गुणांक द्वारा छिपे होते हैं। फिर, अंशों को कम करते समय, अंश और भाजक की उच्च शक्तियों पर संख्यात्मक कारकों को निकालना इष्टतम होता है।
उदाहरण 4
एक बीजगणितीय भिन्न 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 दिया है। हो सके तो इसे कम कर देना चाहिए।
समाधान
पहली नज़र में, अंश और भाजक में एक सामान्य भाजक नहीं होता है। बहरहाल, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। आइए अंश में कारक x निकालें:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
अब आप x 2 y के कारण कोष्ठकों में दिए गए व्यंजक और हर वाले व्यंजक के बीच कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
अब सामान्य गुणक दिखाई देता है, हम घटाते हैं:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
उत्तर: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों के गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।
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उनकी मुख्य संपत्ति के आधार पर: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य बहुपद से विभाजित किया जाता है, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होता है।
आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं!
बहुपद के सदस्यों को कम नहीं किया जा सकता!
एक बीजगणितीय अंश को कम करने के लिए, अंश और हर में बहुपदों को पहले फैक्टर किया जाना चाहिए।
अंश में कमी के उदाहरणों पर विचार करें।
किसी भिन्न का अंश और हर एकपदी होते हैं। वह प्रतिनिधित्व करते हैं काम(संख्या, चर और उनकी डिग्री), मल्टीप्लायरोंहम कम कर सकते हैं।
हम संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा घटाते हैं, अर्थात वह सबसे बड़ी संख्या जिससे दी गई प्रत्येक संख्या विभाज्य है। 24 और 36 के लिए, यह 12 है। 24 से घटाने के बाद, 2 बचता है, 36 से - 3।
हम सबसे छोटे संकेतक के साथ डिग्री को डिग्री से कम करते हैं। एक भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही भाजक से विभाजित करना और घातांकों को घटाना।
a² और a⁷ को a² से घटाया जाता है। उसी समय, एक a² से अंश में रहता है (हम 1 को केवल तभी लिखते हैं, जब कमी के बाद, कोई अन्य कारक नहीं बचा है। 24 से, 2 शेष रहता है, इसलिए हम 1 शेष को a² से नहीं लिखते हैं)। घटने के बाद a⁷ से a⁵ रहता है।
b और b को b द्वारा संक्षिप्त किया जाता है, परिणामी इकाइयाँ नहीं लिखी जाती हैं।
c³º और c⁵ को c⁵ से घटाया जाता है। c³º से, c²⁵ रहता है, c⁵ से - इकाई (हम इसे नहीं लिखते हैं)। इस प्रकार,
इस बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर बहुपद हैं। बहुपदों की शर्तों को कम करना असंभव है! (कम नहीं किया जा सकता, उदाहरण के लिए, 8x² और 2x!)। इस अंश को कम करने के लिए यह आवश्यक है। अंश में 4x का एक सामान्य कारक है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें:
अंश और हर दोनों का एक ही गुणनखंड (2x-3) है। हम इस कारक द्वारा अंश को कम करते हैं। हमें अंश में 4x, हर में 1 प्राप्त हुआ। बीजगणितीय भिन्नों के 1 गुण के अनुसार, भिन्न 4x है।
आप केवल कारकों को कम कर सकते हैं (आप दिए गए अंश को 25x² से कम नहीं कर सकते!)। इसलिए, भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड किया जाना चाहिए।
अंश योग का पूर्ण वर्ग है, और भाजक वर्गों का अंतर है। संक्षिप्त गुणन के सूत्रों द्वारा विस्तार के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
हम अंश को (5x + 1) से घटाते हैं (ऐसा करने के लिए, अंश में दो को एक घातांक के रूप में काट दें, (5x + 1) ² से यह (5x + 1) निकलेगा):
अंश में 2 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। भाजक में - घनों के अंतर का सूत्र:
अंश और हर में विस्तार के परिणामस्वरूप, हमें समान कारक (9 + 3a + a²) प्राप्त हुआ। हम उस पर अंश कम करते हैं:
अंश में बहुपद में 4 पद होते हैं। पहले पद को दूसरे से, तीसरे को चौथे से, और हम पहले कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड x² निकालते हैं। हम घनों के योग के सूत्र के अनुसार भाजक को विघटित करते हैं:
अंश में, हम कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x + 2) निकालते हैं:
हम भिन्न को (x + 2) घटाते हैं:
लक्ष्य:
1. शिक्षात्मक- अधिक जटिल अभ्यासों को हल करते समय अधिग्रहीत ज्ञान और बीजगणितीय अंशों को कम करने के कौशल को समेकित करने के लिए, बहुपद के गुणन को विभिन्न तरीकों से लागू करने के लिए, बीजगणितीय अंशों को कम करने की क्षमता विकसित करने के लिए। संक्षिप्त गुणन सूत्र दोहराएं: (ए +ख)2=ए2+2अब +बी 2,
(ए-बी) 2 =एक 2 -2अब +बी 2,एक 2 -बी 2 =(ए +बी)(ए-बी), समूहीकरण विधि, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर ले जाना।
2. विकसित होना -पाठ में छात्रों की शैक्षिक सामग्री, ध्यान, गतिविधि की सचेत धारणा के लिए तार्किक सोच का विकास।
3. पालन पोषण -संज्ञानात्मक गतिविधि की शिक्षा, व्यक्तिगत गुणों का निर्माण: विचार की मौखिक अभिव्यक्ति की सटीकता और स्पष्टता; एकाग्रता और ध्यान; दृढ़ता और जिम्मेदारी, विषय का अध्ययन करने के लिए सकारात्मक प्रेरणा, सटीकता, कर्तव्यनिष्ठा और जिम्मेदारी की भावना।
कार्य:
1. अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, इस विषय पर "बीजगणितीय अंश" पर काम के प्रकार को बदलना। अंशों में कमी।
2. कौशल और क्षमता विकसित करें, बीजगणितीय अंशों को कम करने में, अंश और भाजक के विभिन्न तरीकों का उपयोग करके, तार्किक सोच विकसित करें, सही और सक्षम गणितीय भाषण, विभिन्न प्रकार के कार्य करते समय अपने ज्ञान और कौशल में स्वतंत्रता और आत्मविश्वास विकसित करें।
3. सामग्री के विभिन्न प्रकार के समेकन को शुरू करके गणित में रुचि बढ़ाएं: मौखिक कार्य, पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना, ब्लैकबोर्ड पर काम करना, गणितीय श्रुतलेख, परीक्षण, स्वतंत्र कार्य, खेल "गणितीय टूर्नामेंट"; छात्रों की गतिविधियों को प्रोत्साहित और प्रोत्साहित करना।
योजना:
मैं। आयोजन का समय।
द्वितीय .
मौखिक कार्य।
तृतीय। गणितीय श्रुतलेख।
चतुर्थ।
1. पाठ्यपुस्तक और ब्लैकबोर्ड के अनुसार कार्य करें।
2. कार्ड पर समूहों में काम करें - खेल "गणितीय टूर्नामेंट"।
3. स्तरों (ए, बी, सी) पर स्वतंत्र कार्य।
वी नतीजा।
1. परीक्षण (पारस्परिक सत्यापन)।
छठी। गृहकार्य।
कक्षाओं के दौरान:
I. संगठनात्मक क्षण।
पाठ के लिए शिक्षक और छात्रों की भावनात्मक मनोदशा और तत्परता। छात्र लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करते हैं - यह पाठ, शिक्षक के प्रमुख प्रश्नों पर, पाठ का विषय निर्धारित करता है।
द्वितीय। मौखिक कार्य।
1. भिन्न कम करें:
2. बीजगणितीय भिन्न का मान ज्ञात कीजिए:
सी = 8, सी = -13, सी = 11 पर।
उत्तर: 6; -1; 3.
3. प्रश्नों के उत्तर दें:
1) बहुपदों के गुणनखंडन में उपयोगी क्रम क्या है?
(बहुपदों को गुणनखंडों में विघटित करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन करना उपयोगी होता है: क) कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड, यदि कोई हो, को निकाल लें; बी) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके बहुपद के गुणनखंड करने का प्रयास करें; ग) समूहीकरण विधि को लागू करने का प्रयास करें यदि पिछली विधियाँ लक्ष्य की ओर नहीं ले जाती हैं)।
2) योग का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर और पहली संख्या के गुणनफल के दोगुने और दूसरी संख्या के वर्ग के योग के बराबर होता है।)
3) अंतर का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है जो पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरी संख्या का योग दूसरी संख्या का वर्ग होता है।)
4) दो संख्याओं के वर्गों में क्या अंतर है?
(दो संख्याओं के वर्गों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है)।
5) समूहीकरण पद्धति का उपयोग करते समय क्या करने की आवश्यकता है?
(समूहीकरण विधि द्वारा एक बहुपद का गुणनखंडन करने के लिए, आपको चाहिए: क) बहुपद के सदस्यों को उन समूहों में संयोजित करें जिनमें बहुपद के रूप में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो; बी) इस सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें)।
6) कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के लिए आपको ...... की आवश्यकता है?
(इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को ज्ञात कीजिए; 2. इसे कोष्ठक से बाहर निकालिए)।
7) बहुपद के गुणनखंडन की कौन-सी विधियाँ आप जानते हैं?
(सामान्य कारक, समूहन विधि, संक्षिप्त गुणन सूत्र को ब्रैकेट करना)।
8) भिन्न को कम करने के लिए क्या आवश्यक है?
(एक अंश को कम करने के लिए, आपको अंश और भाजक को उनके सामान्य कारक से विभाजित करने की आवश्यकता है)।
तृतीय। गणितीय श्रुतलेख।
- बीजगणितीय भिन्नों को रेखांकित करें:
मैं विकल्प: 
द्वितीय विकल्प: 
- क्या अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करना संभव है
मैं विकल्प:
द्वितीय विकल्प:
एक बहुपद के रूप में? यदि आप कल्पना कर सकते हैं?
3. अभिव्यक्ति के लिए कौन से अक्षर मान मान्य हैं:
मैं विकल्प:
द्वितीय विकल्प:
(एक्स-5)(एक्स+7).
4. अंश के साथ एक बीजगणितीय अंश लिखिए
मैं विकल्प:
3x2।
द्वितीय विकल्प:
5y।
और भाजक
मैं विकल्प:
एक्स (एक्स + 3)।
द्वितीय विकल्प:
वाई 2 (वाई + 7)।
और इसे छोटा करें।
चतुर्थ। विषय का समेकन: “बीजगणितीय अंश। अंशों में कमी ":
1. पाठ्यपुस्तक और ब्लैकबोर्ड के अनुसार कार्य करें।
किसी भिन्न के अंश और हर का गुणनखण्ड करें और उसे घटाएँ।
№441(1;3).
1. 
; 3. 
№442(1;3;5).
1. 
3. 
№443(1;3).
1. 3. 
1. 
3. 
1. 
3. 
2. कार्ड पर समूहों में काम करें - खेल "गणितीय टूर्नामेंट"।
(खेल के लिए कार्य - "परिशिष्ट 1"।)
इस विषय पर उदाहरणों को हल करने में कौशल का समेकन और परीक्षण एक टूर्नामेंट के रूप में किया जाता है। कक्षा को समूहों में बांटा गया है और उन्हें कार्ड (विभिन्न स्तरों के कार्ड) पर कार्य करने की पेशकश की जाती है।
एक निश्चित समय के बाद, प्रत्येक छात्र को अपनी टीम के कार्यों का समाधान एक नोटबुक में लिखना चाहिए और उन्हें समझाने में सक्षम होना चाहिए।
टीम के भीतर परामर्श की अनुमति है (वे कप्तान द्वारा आयोजित किए जाते हैं)।
फिर टूर्नामेंट शुरू होता है: प्रत्येक टीम को दूसरों को चुनौती देने का अधिकार है, लेकिन केवल एक बार। जैसे, पहली टीम का कप्तान दूसरी टीम के छात्रों को टूर्नामेंट में भाग लेने के लिए बुलाता है; दूसरी टीम के कप्तान भी ऐसा ही करते हैं, वे बोर्ड में जाते हैं, कार्डों का आदान-प्रदान करते हैं और कार्यों को हल करते हैं, आदि।
3. स्तरों द्वारा स्वतंत्र कार्य (ए, बी, सी)
"उपचारात्मक सामग्री" एल.आई. ज़वाविच एट अल., पी. 95, पी-52. (सभी छात्रों के पास किताब है)
ए
. №1:
I विकल्प -1) ए, बी; 2) ए, सी; 5) ए।
II विकल्प -1) सी, डी; 2) बी, डी, 5) सी।
बी
. №2:
विकल्प I - ए।
विकल्प II - बी।
में
. №3:
विकल्प I - ए।
विकल्प II - बी।
वी नतीजा।
1. परीक्षण (पारस्परिक सत्यापन)।
(परीक्षण के लिए कार्य - "परिशिष्ट 2")।
(विकल्पों द्वारा प्रत्येक छात्र के लिए कार्ड पर)
छठी। गृहकार्य।
1) "डी.एम." पेज 95 नंबर 1। (3,4,6);
2) संख्या 447 (सम);
3) §24, §19 - §23 दोहराएं।
विभाजनऔर भिन्न का अंश और हर उन पर सामान्य विभाजकजो एकता से भिन्न हो, कहलाता है अंश में कमी.
एक आम अंश को कम करने के लिए, आपको इसके अंश और भाजक को एक ही प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।
यह संख्या दी गई भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक है।
निम्नलिखित संभव हैं निर्णय रिकॉर्ड प्रपत्रसाधारण अंशों की कमी के उदाहरण।
छात्र को रिकॉर्डिंग के किसी भी रूप को चुनने का अधिकार है।
उदाहरण। भिन्नों को सरल कीजिए।
अंश को 3 से कम करें (अंश को 3 से विभाजित करें;
भाजक को 3 से विभाजित करें)।
हम अंश को 7 से कम करते हैं।
हम भिन्न के अंश और भाजक में संकेतित क्रियाएं करते हैं।
परिणामी अंश 5 से घटाया जाता है।
आइए इस अंश को कम करें 4)
पर 5 7³- अंश और भाजक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD), जिसमें अंश और भाजक के सामान्य कारक होते हैं, जिन्हें सबसे छोटे घातांक के साथ घात में लिया जाता है।
आइए हम इस भिन्न के अंश और हर को साधारण गुणनखंडों में विघटित करें।
हम पाते हैं: 756=2² 3³ 7और 1176=2³ 3 7².
भिन्न के अंश और हर का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) निर्धारित करें 5) .
यह सबसे छोटे घातांकों के साथ लिए गए सामान्य कारकों का गुणनफल है।
जीसीडी (756; 1176) = 2² 3 7.
हम इस अंश के अंश और भाजक को उनके GCD, यानी द्वारा विभाजित करते हैं 2² 3 7हमें एक अलघुकरणीय अंश मिलता है 9/14
.
और डिग्री की अवधारणा का उपयोग किए बिना, प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में अंश और भाजक के विस्तार को लिखना संभव था, और फिर अंश और भाजक में समान कारकों को पार करके अंश को कम करना संभव था। जब कोई समान गुणनखंड नहीं बचा हो, तो हम शेष गुणनखंडों को अंश में अलग-अलग और हर में अलग-अलग गुणा करते हैं और परिणामी भिन्न को लिखते हैं 9/14 .
और अंत में, इस अंश को कम करना संभव हो गया 5) धीरे-धीरे, संख्याओं के विभाजन के चिह्नों को अंश के अंश और भाजक दोनों पर लागू करना। इस तरह सोचें: संख्याएं 756 और 1176 एक सम संख्या में समाप्त होता है, इसलिए दोनों से विभाज्य हैं 2 . हम अंश को कम करते हैं 2 . नए अंश के अंश और हर संख्याएँ हैं 378 और 588 में भी बांटा गया है 2 . हम अंश को कम करते हैं 2 . हम देखते हैं कि संख्या 294 - सम, और 189 विषम है, और 2 से घटाना अब संभव नहीं है। आइए संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न की जाँच करें 189 और 294 पर 3 .
(1+8+9)=18 3 से विभाज्य है और (2+9+4)=15 3 से विभाज्य है, इसलिए स्वयं संख्याएँ 189 और 294 में विभाजित हैं 3 . हम अंश को कम करते हैं 3 . आगे, 63 3 और से विभाज्य है 98 - नहीं। अन्य प्रमुख कारकों पर पुनरावृति करें। दोनों संख्याएँ से विभाज्य हैं 7 . हम अंश को कम करते हैं 7 और अलघुकरणीय अंश प्राप्त करें 9/14 .
कैलक्यूलेटर ऑनलाइन प्रदर्शन करता है बीजगणितीय अंशों की कमीअंश घटाने के नियम के अनुसार: मूल अंश को एक समान अंश के साथ बदलना, लेकिन एक छोटे अंश और भाजक के साथ, अर्थात। किसी अंश के अंश और हर का एक साथ विभाजन उनके सामान्य महानतम सामान्य भाजक (GCD) द्वारा। कैलकुलेटर एक विस्तृत समाधान भी प्रदर्शित करता है जो आपको कमी के क्रम को समझने में मदद करेगा।
दिया गया:
समाधान:
फ्रैक्शन रिडक्शन करना
एक बीजगणितीय अंश की कमी को पूरा करने की संभावना का सत्यापन
1) भिन्न के अंश और हर के महत्तम समापवर्तक (GCD) का निर्धारण
एक बीजीय भिन्न के अंश और हर के महत्तम समापवर्तक (gcd) का निर्धारण
2) भिन्न के अंश और हर को कम करना
एक बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में कमी
3) अंश के पूर्णांक भाग का चयन
एक बीजगणितीय अंश के पूर्णांक भाग को निकालना
4) बीजगणितीय भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना
बीजगणितीय अंश का दशमलव अंश में रूपांतरण
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I. एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ एक बीजगणितीय अंश को कम करने की प्रक्रिया:
- एक बीजगणितीय अंश को कम करने के लिए, उपयुक्त क्षेत्रों में अंश के अंश और हर के मान दर्ज करें। यदि भिन्न को मिलाया जाता है, तो भिन्न के पूर्णांक भाग के अनुरूप फ़ील्ड भी भरें। यदि अंश सरल है, तो पूर्णांक भाग फ़ील्ड को खाली छोड़ दें।
- ऋणात्मक अंश निर्दिष्ट करने के लिए, भिन्न के पूर्णांक भाग में ऋण चिह्न लगाएं।
- दिए गए बीजगणितीय अंश के आधार पर, क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम स्वचालित रूप से किया जाता है:
- किसी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करना;
- भिन्न के अंश और हर को gcd से घटाना;
- एक अंश के पूर्णांक भाग को निकालनायदि अंतिम अंश का अंश भाजक से बड़ा है।
- अंतिम बीजगणितीय अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करनासौवें हिस्से में गोल।
द्वितीय। संदर्भ के लिए:
एक अंश एक संख्या है जिसमें एक इकाई के एक या एक से अधिक भाग (अंश) होते हैं। एक साधारण अंश (साधारण अंश) को दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है (अंश का अंश और अंश का भाजक), एक क्षैतिज पट्टी (आंशिक पट्टी) द्वारा अलग किया जाता है, जो विभाजन के चिन्ह को दर्शाता है। भिन्न का अंश भिन्न बार के ऊपर की संख्या होती है। अंश दिखाता है कि कुल से कितने भाग लिए गए। भिन्न का हर, भिन्नात्मक बार के नीचे की संख्या होती है। भाजक दिखाता है कि पूरे को कितने बराबर भागों में बांटा गया है। एक साधारण अंश एक अंश है जिसमें पूर्णांक भाग नहीं होता है। एक साधारण अंश सही या गलत हो सकता है। एक उचित भिन्न वह भिन्न है जिसका अंश हर से छोटा होता है, इसलिए एक उचित भिन्न हमेशा एक से कम होता है। सही अंशों का उदाहरण: 8/7, 11/19, 16/17। एक अनुचित अंश वह अंश होता है जिसका अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर होता है, इसलिए एक अनुचित अंश हमेशा एक से अधिक या उसके बराबर होता है। अनुचित अंशों का एक उदाहरण: 7/6, 8/7, 13/13। मिश्रित अंश - एक संख्या जिसमें एक पूर्णांक और एक उचित अंश शामिल होता है, और इस पूर्णांक और एक उचित अंश के योग को दर्शाता है। किसी भी मिश्रित भिन्न को एक अनुचित साधारण भिन्न में बदला जा सकता है। मिश्रित भिन्नों का उदाहरण: 1¼, 2½, 4¾।
तृतीय। टिप्पणी:
- स्रोत डेटा ब्लॉक को पीले रंग में हाइलाइट किया गया है, मध्यवर्ती गणनाओं का ब्लॉक नीले रंग में हाइलाइट किया गया है, समाधान ब्लॉक हरे रंग में हाइलाइट किया गया.
- साधारण या मिश्रित भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग के लिए, विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर का उपयोग करें।
