रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली
समस्या का निरूपण। कुछ आधार खोजें और सिस्टम के समाधान के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें
समाधान योजना।
1. सिस्टम मैट्रिक्स लिखें:
और प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं, अर्थात ऐसे रूप में जब मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर हों। सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या के बराबर है, अर्थात, हमारे मामले में, उन पंक्तियों की संख्या जिनमें गैर-शून्य तत्व रहते हैं:
समाधान स्थान का आयाम है। यदि , तो सजातीय प्रणाली का एक अद्वितीय शून्य समाधान है, यदि , तो प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।
2. बुनियादी और मुक्त चर चुनें। मुक्त चर द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं, इस प्रकार रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।
3. हम क्रमिक रूप से एक मुक्त चर को एक के बराबर और बाकी को शून्य पर सेट करके सिस्टम के समाधान स्थान के आधार को लिखते हैं। सिस्टम के रैखिक समाधान स्थान का आयाम आधार वैक्टर की संख्या के बराबर है।
टिप्पणी। प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों में शामिल हैं:
1. शून्य के अलावा एक गुणक द्वारा एक स्ट्रिंग का गुणन (विभाजन);
2. किसी अन्य रेखा की किसी भी रेखा के अतिरिक्त, किसी भी संख्या से गुणा;
3. स्थानों में रेखाओं का क्रमपरिवर्तन;
4. स्तंभों के लिए 1–3 परिवर्तन (रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के मामले में, स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग नहीं किया जाता है)।
कार्य 3।कुछ आधार खोजें और सिस्टम के समाधान के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें।
हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखते हैं और, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम इसे त्रिकोणीय रूप में लाते हैं:
हम तब मान लेते हैं
जब हमने एक एन-डायमेंशनल वेक्टर की अवधारणाओं का विश्लेषण किया और वैक्टर पर संचालन शुरू किया, तो हमें पता चला कि सभी एन-डायमेंशनल वैक्टर का सेट एक रेखीय स्थान उत्पन्न करता है। इस लेख में, हम सबसे महत्वपूर्ण संबंधित अवधारणाओं के बारे में बात करेंगे - एक सदिश स्थान के आयाम और आधार के बारे में। हम एक आधार के संदर्भ में एक मनमाना वेक्टर के विस्तार पर प्रमेय पर भी विचार करते हैं और एन-आयामी अंतरिक्ष के विभिन्न आधारों के बीच संबंध। आइए विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करें।
पेज नेविगेशन।
वेक्टर अंतरिक्ष आयाम और आधार की अवधारणा।
एक वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम और आधार की अवधारणाएं सीधे वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली की अवधारणा से संबंधित हैं, इसलिए हम अनुशंसा करते हैं, यदि आवश्यक हो, तो वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुण देखें।
परिभाषा।
वेक्टर अंतरिक्ष का आयामइस स्थान में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के बराबर संख्या कहलाती है।
परिभाषा।
वेक्टर अंतरिक्ष आधारइस स्थान के रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टरों का एक क्रमबद्ध सेट है, जिसकी संख्या अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है।
हम इन परिभाषाओं के आधार पर कुछ तर्क प्रस्तुत करते हैं।
एन-आयामी वैक्टर की जगह पर विचार करें।
आइए दिखाते हैं कि इस स्थान का आयाम n के बराबर है।
आइए फॉर्म के एन यूनिट वैक्टर की एक प्रणाली लें
आइए इन वैक्टरों को मैट्रिक्स ए की पंक्तियों के रूप में लें। इस स्थिति में, मैट्रिक्स A एक n बटा n पहचान मैट्रिक्स होगा। इस मैट्रिक्स का रैंक n है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। इसलिए, वैक्टर की प्रणाली 
रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इसकी रैखिक स्वतंत्रता का उल्लंघन किए बिना इस प्रणाली में कोई वेक्टर नहीं जोड़ा जा सकता है। चूंकि सिस्टम में वैक्टर की संख्या एन के बराबर है, फिर एन-डायमेंशनल वैक्टर के स्थान का आयाम n है, और यूनिट वैक्टर इस स्थान का आधार हैं.
अंतिम कथन और आधार की परिभाषा से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं n-आयामी सदिशों की कोई भी प्रणाली जिसका सदिशों की संख्या n से कम है, एक आधार नहीं है.
अब सिस्टम के पहले और दूसरे वैक्टर की अदला-बदली करते हैं . यह दिखाना आसान है कि वेक्टरों की परिणामी प्रणाली 
एक एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस का भी आधार है। आइए इसे इस प्रणाली के पंक्तियों वाले वैक्टर के रूप में लेते हुए एक मैट्रिक्स की रचना करें। यह मैट्रिक्स पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करके पहचान मैट्रिक्स से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए इसकी रैंक n होगी। इस प्रकार, एन वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और एक एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का आधार है।
यदि हम सिस्टम के अन्य वैक्टरों की अदला-बदली करते हैं , हमें एक और आधार मिलता है।
यदि हम गैर-इकाई वैक्टरों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लेते हैं, तो यह एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का आधार भी है।
इस प्रकार, आयाम n के एक सदिश समष्टि में उतने ही आधार होते हैं जितने कि n n-विम सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र निकाय होते हैं।
यदि हम एक द्वि-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष (यानी, एक विमान के बारे में) के बारे में बात करते हैं, तो इसका आधार कोई भी दो गैर-संरेखीय वैक्टर हैं। त्रि-आयामी स्थान का आधार कोई भी तीन गैर समतलीय सदिश हैं।
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण।
क्या सदिश एक 3D सदिश स्थान का आधार हैं?
समाधान।
आइए एक रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की इस प्रणाली की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम एक मैट्रिक्स की रचना करेंगे, जिसकी पंक्तियाँ वैक्टर के निर्देशांक होंगी, और इसकी रैंक ज्ञात करेंगे: 
इस प्रकार, सदिश a, b और c रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या सदिश स्थान के आयाम के बराबर है, इसलिए, वे इस स्थान का आधार हैं।
उत्तर:
हां, वे।
उदाहरण।
क्या सदिशों की एक प्रणाली एक सदिश स्थान का आधार हो सकती है?
समाधान।
वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि रैखिक रूप से स्वतंत्र त्रि-आयामी वैक्टर की अधिकतम संख्या तीन है। इसलिए, सदिशों की यह प्रणाली त्रि-आयामी सदिश स्थान का आधार नहीं हो सकती है (हालाँकि सदिशों की मूल प्रणाली का एक उपतंत्र एक आधार है)।
उत्तर:
नहीं वह नहीं कर सकता।
उदाहरण।
वैक्टर सुनिश्चित करें 
चार आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का आधार हो सकता है।
समाधान।
आइए एक मैट्रिक्स बनाते हैं, इसे मूल वैक्टर की पंक्तियों के रूप में लेते हैं: 
पता लगाते हैं: 
इस प्रकार, वैक्टर ए, बी, सी, डी की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और उनकी संख्या वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है, इसलिए, ए, बी, सी, डी इसके आधार हैं।
उत्तर:
मूल सदिश वास्तव में चार आयामी स्थान का आधार हैं।
उदाहरण।
क्या वेक्टर 4-आयामी वेक्टर स्पेस का आधार बनते हैं?
समाधान।
यहां तक कि अगर वैक्टर की मूल प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो इसमें वैक्टर की संख्या चार-आयामी स्थान का आधार बनने के लिए पर्याप्त नहीं है (ऐसी जगह के आधार में 4 वैक्टर होते हैं)।
उत्तर:
नहीं, ऐसा नहीं है।
सदिश स्थान के आधार पर सदिश का अपघटन।
मनमाना वैक्टर दें एक n -डिमेंशनल वेक्टर स्पेस का आधार हैं। यदि हम उनमें कुछ n-आयामी वेक्टर x जोड़ते हैं, तो वेक्टरों की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी। रैखिक निर्भरता के गुणों से, हम जानते हैं कि रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली का कम से कम एक वेक्टर दूसरों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली के कम से कम एक वैक्टर को शेष वैक्टरों के संदर्भ में विस्तारित किया जाता है।
इस प्रकार हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय पर आते हैं।
प्रमेय।
एक एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस का कोई भी वेक्टर एक आधार के संदर्भ में विशिष्ट रूप से विघटित होता है।
सबूत।
होने देना - n -डिमेंशनल वेक्टर स्पेस का आधार। आइए इन सदिशों में एक n-आयामी सदिश x जोड़ें। तब सदिशों की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी और सदिश x को सदिशों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है : , कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। इसलिए हमें आधार के संदर्भ में सदिश x का विस्तार मिला। यह साबित करना बाकी है कि यह अपघटन अद्वितीय है।
मान लें कि एक और अपघटन है, जहाँ 
- कुछ नंबर। अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ भागों से क्रमशः समानता के बाएँ और दाएँ भागों को घटाएँ:
आधार वैक्टर की प्रणाली के बाद से रैखिक रूप से स्वतंत्र है, फिर, वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार, परिणामी समानता तभी संभव है जब सभी गुणांक शून्य के बराबर हों। इसलिए, जो आधार के संदर्भ में सदिश के विस्तार की विशिष्टता को सिद्ध करता है।
परिभाषा।
गुणांक कहलाते हैं आधार में वेक्टर एक्स के निर्देशांक .
एक आधार के संदर्भ में एक वेक्टर के विस्तार पर प्रमेय से परिचित होने के बाद, हम अभिव्यक्ति के सार को समझना शुरू करते हैं "हमें एक एन-डायमेंशनल वेक्टर दिया जाता है 
"। इस व्यंजक का अर्थ है कि हम एक n-आयामी सदिश समष्टि के एक सदिश x पर विचार कर रहे हैं जिसके निर्देशांक किसी आधार पर दिए गए हैं। उसी समय, हम समझते हैं कि एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस के दूसरे आधार पर एक ही वेक्टर x के निर्देशांक अलग-अलग होंगे।
निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।
मान लीजिए, n-आयामी सदिश समष्टि के किसी आधार पर, हमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की एक प्रणाली दी गई है 
और वेक्टर . फिर वैक्टर भी इस सदिश स्थान का एक आधार हैं।
हमें आधार में सदिश x के निर्देशांक ज्ञात करने की आवश्यकता है . आइए इन निर्देशांकों को निरूपित करें .
वेक्टर एक्स आधार में एक विचार है। हम इस समानता को निर्देशांक रूप में लिखते हैं:
यह समानता n अज्ञात चर वाले n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है :
इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है 
आइए इसे ए के रूप में निरूपित करें। मैट्रिक्स ए के कॉलम वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के वैक्टर हैं , अतः इस आव्यूह की कोटि n है, अतः इसका निर्धारक शून्येतर है। यह तथ्य इंगित करता है कि समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।
तो वांछित निर्देशांक मिलेंगे आधार में वेक्टर एक्स .
आइए उदाहरणों के साथ सिद्धांत का विश्लेषण करें।
उदाहरण।
त्रि-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के कुछ आधार में, वैक्टर 
सुनिश्चित करें कि सदिश प्रणाली भी इस स्थान का एक आधार है और इस आधार पर सदिश x के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
सदिशों की एक प्रणाली के लिए त्रि-आयामी सदिश स्थान का आधार होने के लिए, यह रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए। आइए मैट्रिक्स A की रैंक निर्धारित करके पता करें, जिसकी पंक्तियाँ वैक्टर हैं। हम गॉस विधि द्वारा कोटि ज्ञात करते हैं 
इसलिए, रैंक (ए) = 3, जो वैक्टर की प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता को दर्शाता है।
तो वैक्टर आधार हैं। बता दें कि वेक्टर x के इस आधार पर निर्देशांक हैं। फिर, जैसा कि हमने ऊपर दिखाया, इस वेक्टर के निर्देशांकों का संबंध समीकरणों की प्रणाली द्वारा दिया गया है 
इसमें स्थिति से ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं 
आइए इसे क्रैमर की विधि से हल करें: 
इस प्रकार, आधार में सदिश x के निर्देशांक हैं 
.
उत्तर:
उदाहरण।
किसी न किसी आधार पर 
चार-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष को वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली दी जाती है 
ह ज्ञात है कि 
. आधार पर सदिश x के निर्देशांक ज्ञात कीजिए .
समाधान।
वैक्टर की प्रणाली के बाद से 
धारणा से रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो यह चार-आयामी अंतरिक्ष का आधार है। फिर समानता इसका मतलब है कि आधार में वेक्टर एक्स निर्देशांक हैं। आधार में सदिश x के निर्देशांक निरूपित करें कैसे ।
समीकरणों की प्रणाली जो आधारों में सदिश x के निर्देशांकों के संबंध को परिभाषित करती है और रूप है 
हम इसमें ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और वांछित निर्देशांक पाते हैं: 
उत्तर:
.
ठिकानों के बीच संचार।
दो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों को एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के आधार पर दिया जाना चाहिए 
और
अर्थात् वे इस स्थान के आधार भी हैं।
अगर 
- वेक्टर आधार में समन्वय करता है , फिर निर्देशांक का संबंध 
और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दिया गया है (हमने इसके बारे में पिछले पैराग्राफ में बात की थी): 
, जिसे मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है 
इसी तरह, एक सदिश के लिए, हम लिख सकते हैं 
पिछली मैट्रिक्स समानता को एक में जोड़ा जा सकता है, जो अनिवार्य रूप से दो अलग-अलग आधारों के वैक्टरों के संबंध को परिभाषित करता है 
इसी प्रकार, हम सभी आधार सदिशों को व्यक्त कर सकते हैं आधार के माध्यम से 
:
परिभाषा।
आव्यूह 
बुलाया आधार से संक्रमण मैट्रिक्स आधार के लिए , फिर समानता 
इस समीकरण के दोनों पक्षों को दाईं ओर से गुणा करने पर
हम पाते हैं 
आइए संक्रमण मैट्रिक्स को ढूंढें, जबकि हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने और मैट्रिसेस को गुणा करने पर ध्यान नहीं देंगे (देखें, यदि आवश्यक हो, लेख और): 
दिए गए आधारों में सदिश x के निर्देशांकों के संबंध का पता लगाना बाकी है।
बता दें कि वेक्टर x के आधार में निर्देशांक हैं, फिर 
और इस आधार पर सदिश x के निर्देशांक हैं, तब 
चूँकि पिछले दो समानताओं के बाएँ भाग समान हैं, हम दाएँ भागों की बराबरी कर सकते हैं: 
यदि हम दोनों पक्षों को दाईं ओर से गुणा करते हैं
तो हमें मिलता है 
दूसरी ओर 
(उलटा मैट्रिक्स स्वयं खोजें)।
अंतिम दो समानताएँ हमें आधारों और में सदिश x के निर्देशांकों का वांछित संबंध देती हैं।
उत्तर:
आधार से आधार पर संक्रमण मैट्रिक्स का रूप है 
;
सदिश x के निर्देशांक आधारों में हैं और संबंधों द्वारा संबंधित हैं 
या .
हमने एक सदिश स्थान के आयाम और आधार की अवधारणाओं पर विचार किया, एक आधार के अनुसार एक सदिश को विघटित करना सीखा, और एक संक्रमण मैट्रिक्स के माध्यम से सदिशों के एन-आयामी स्थान के विभिन्न आधारों के बीच एक संबंध की खोज की।
पृष्ठ 1
उपस्थान, इसका आधार और आयाम।
होने देना एलक्षेत्र के ऊपर रैखिक स्थान है पी और एका उपसमुच्चय है एल. अगर एस्वयं क्षेत्र के ऊपर एक रेखीय स्थान बनाता है पीसमान संचालन के लिए एल, वह एअंतरिक्ष का एक उपसमूह कहा जाता है एल.
एक रेखीय स्थान की परिभाषा के अनुसार, ताकि एमें व्यवहार्यता की जांच करने के लिए एक उप-स्थान था एसंचालन:
1) : 
;
2) 
: 
;
और जांचें कि संचालन में एआठ सिद्धांतों के अधीन। हालाँकि, बाद वाला बेमानी होगा (इस तथ्य के कारण कि ये स्वयंसिद्ध L में हैं), अर्थात निम्नलिखित
प्रमेय।एल को एक क्षेत्र पी पर एक रैखिक स्थान होने दें और 
. एक समुच्चय A, L का एक उपस्थान है यदि और केवल यदि निम्नलिखित आवश्यकताएं पूरी होती हैं:
1. : ;
2. : .
कथन।अगर एल – एन-आयामी रैखिक स्थान और एइसके उप-स्थान, फिर एएक परिमित-आयामी रैखिक स्थान भी है और इसका आयाम इससे अधिक नहीं है एन.
पी 
उदाहरण 1।क्या समतल के सभी सदिशों का समुच्चय S, जिनमें से प्रत्येक एक निर्देशांक अक्ष 0x या 0y पर स्थित है, खण्ड सदिशों V 2 के स्थान की एक उपसमष्टि है?
समाधान: होने देना 
, 
और 
, 
. तब 
. इसलिए, S एक उपसमष्टि नहीं है 
.
उदाहरण 2 वी 2 विमान के वेक्टर सेगमेंट का सेट एससभी समतल सदिश जिनकी शुरुआत और अंत एक दी गई रेखा पर होते हैं एलयह विमान?
समाधान.
इ 
स्ली वेक्टर 
एक वास्तविक संख्या से गुणा करें क, तो हमें एक वेक्टर मिलता है 
, भी एस अगर से संबंधित है 
और 
तब S से दो सदिश हैं 
(एक सीधी रेखा पर सदिशों के जोड़ के नियम के अनुसार)। इसलिए, S एक उपसमष्टि है 
.
उदाहरण 3एक रैखिक स्थान का एक रैखिक उपसमष्टि है वी 2 गुच्छा एसमतल के सभी सदिश जिनके सिरे दी गई रेखा पर स्थित हैं एल, (मान लें कि किसी सदिश की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है)?
आर 
समाधान।
मामले में जहां प्रत्यक्ष एलउत्पत्ति से नहीं गुजरता एअंतरिक्ष के रैखिक उप-स्थान वी 2
नहीं है, क्योंकि 
.
मामले में जहां प्रत्यक्ष एल
मूल, समुच्चय से होकर गुजरता है एअंतरिक्ष का एक रैखिक उप-स्थान है वी 2
,
क्योंकि 
और किसी सदिश को गुणा करते समय 
एक वास्तविक संख्या के लिए α
मैदान से बाहर आरहम पाते हैं 
. इस प्रकार, सेट के लिए रैखिक स्थान की आवश्यकताएं एपुरा होना।
उदाहरण 4सदिशों की एक प्रणाली दी जाए 
रैखिक स्थान से एलमैदान के ऊपर पी. साबित करें कि सभी संभावित रैखिक संयोजनों का सेट 
गुणांक के साथ 
से पीएक उपक्षेत्र है एल(यह एक उप-क्षेत्र है एसदिशों के निकाय द्वारा उत्पन्न उपसमष्टि कहलाती है या रैखिक खोल वैक्टर की यह प्रणाली, और निम्नानुसार चिह्नित हैं: 
या 
).
समाधान. वास्तव में, तब से, तब किसी भी तत्व के लिए एक्स,
वाई
एअपने पास: 
, 
, कहाँ 
, 
. तब
क्योंकि , वह 
, इसीलिए 
.
आइए हम प्रमेय की दूसरी शर्त की व्यवहार्यता की जाँच करें। अगर एक्ससे कोई सदिश है एऔर टी- किसी भी संख्या से पी, वह । क्योंकि 
और 
,, वह 
, , इसीलिए 
. इस प्रकार, प्रमेय के अनुसार, समुच्चय एएक रेखीय स्थान की एक उपसमष्टि है एल.
परिमित-आयामी रैखिक रिक्त स्थान के लिए, विपरीत भी सत्य है।
प्रमेय।कोई उपक्षेत्र एरैखिक स्थान एलमैदान के ऊपर 
सदिशों की किसी प्रणाली की रैखिक अवधि है।
रैखिक खोल के आधार और आयाम को खोजने की समस्या को हल करते समय, निम्न प्रमेय का उपयोग किया जाता है।
प्रमेय।रैखिक खोल आधार 
वैक्टर की प्रणाली के आधार के साथ मेल खाता है . रैखिक खोल का आयाम वैक्टर की प्रणाली के रैंक के साथ मेल खाता है .
उदाहरण 4एक उपसमष्टि का आधार और आयाम ज्ञात कीजिए 
रैखिक स्थान आर 3
[
एक्स]
, अगर 
, 
, 
, 
.
समाधान. यह ज्ञात है कि वैक्टर और उनके समन्वय पंक्तियों (स्तंभों) में समान गुण होते हैं (रैखिक निर्भरता के संबंध में)। हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं ए=
वैक्टर के समन्वय स्तंभों से 
आधार पर 
.
मैट्रिक्स की कोटि ज्ञात कीजिए ए.
. एम 3
=
. 
.
इसलिए, रैंक आर(ए)=
3. तो, वैक्टर की प्रणाली का रैंक 3 के बराबर है। इसलिए, उपसमष्टि S का आयाम 3 के बराबर है, और इसके आधार में तीन वैक्टर शामिल हैं 
(क्योंकि मूल नाबालिग में 
केवल इन सदिशों के निर्देशांक शामिल किए गए हैं)., . सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, चलो।
और 
.
यह सत्यापित किया जा सकता है कि system 
किसी भी वेक्टर के लिए रैखिक रूप से निर्भर एक्ससे एच. इससे यह सिद्ध होता है 
सबस्पेस वैक्टर की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली एच, अर्थात। - आधार में एचऔर मंद एच=एन 2
.
पृष्ठ 1
1. उपस्थान दें एल = एल(ए 1 , ए 2 , …, पूर्वाह्न) , वह है एलसिस्टम का रैखिक खोल है ए 1 , ए 2 , …, पूर्वाह्न; वैक्टर ए 1 , ए 2 , …, पूर्वाह्नइस उप-स्थान के जनरेटर की प्रणाली है। फिर आधार एलवैक्टर की प्रणाली का आधार है ए 1 , ए 2 , …, पूर्वाह्न, अर्थात्, जनरेटर की प्रणाली का आधार। आयाम एलजनरेटर की प्रणाली के रैंक के बराबर है।
2. उपस्थान दें एलसबस्पेस का योग है एल 1 और एल 2. जनरेटिंग सबस्पेस की प्रणाली को सबस्पेस बनाने की प्रणालियों के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसके बाद योग का आधार पाया जाता है। योग का आयाम निम्न सूत्र द्वारा पाया जाता है:
धुंधला(एल 1 + एल 2) = dil 1 + dil 2 – धुंधला(एल 1 जेड एल 2).
3. मान लीजिए उपसमष्टियों का योग है एल 1 और एल 2 सीधी रेखा, अर्थात् एल = एल 1 ए एल 2. जिसमें एल 1 जेड एल 2 = {हे) और धुंधला(एल 1 जेड एल 2) = 0। प्रत्यक्ष योग का आधार योग के आधारों के मिलन के बराबर है। प्रत्यक्ष योग का आयाम शर्तों के आयामों के योग के बराबर है।
4. आइए हम एक उप-स्थान और एक रैखिक कई गुना का एक महत्वपूर्ण उदाहरण दें।
एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात। बहुत सारे समाधान एमइस प्रणाली का 0 सेट का सबसेट है आर एनऔर एक वास्तविक संख्या द्वारा वैक्टर और उनके गुणा के योग के तहत बंद है। इसका मतलब है कि यह एक सेट है एम 0 - अंतरिक्ष का उपस्थान आर एन. उप-स्थान का आधार सजातीय प्रणाली के समाधानों का मूलभूत सेट है, उप-क्षेत्र का आयाम सिस्टम के समाधान के मौलिक सेट में वैक्टरों की संख्या के बराबर है।
गुच्छा एमसामान्य प्रणाली समाधान एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात भी समुच्चय का उपसमुच्चय है आर एनऔर सेट के योग के बराबर है एम 0 और वेक्टर ए, कहाँ एमूल प्रणाली और सेट का कुछ विशेष समाधान है एम 0 इस प्रणाली के साथ रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का सेट है (यह मूल प्रणाली से केवल मुक्त शब्दों में भिन्न है),
एम = ए + एम 0 = {ए = एम, एम Î एम 0 }.
इसका मतलब है कि बहुत सारे एमअंतरिक्ष का एक रैखिक कई गुना है आर एनशिफ्ट वेक्टर के साथ एऔर दिशा एम 0 .
उदाहरण 8.6।रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली द्वारा दिए गए एक उप-स्थान का आधार और आयाम खोजें:
समाधान. आइए हम इस प्रणाली का सामान्य समाधान और इसके मूलभूत समाधानों का पता लगाएं: 
साथ 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), साथ 2 = (12, –8, 0, 1, 0), साथ 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
उप-स्थान आधार वैक्टर द्वारा बनता है साथ 1 , साथ 2 , साथ 3, इसका आयाम तीन है।
काम का अंत -
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लीनियर अलजेब्रा
कोस्त्रोमा स्टेट यूनिवर्सिटी का नाम N.A. Nekrasov के नाम पर रखा गया।
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बीबीके 22.174ya73-5
M350 KSU के संपादकीय और प्रकाशन परिषद के निर्णय द्वारा मुद्रित। एन. ए. नेक्रासोवा समीक्षक ए. वी. चेरेडनिकोव
बीबीके 22.174ya73-5
ã टी. एन. मैटिसिना, ई. के. कोर्ज़ेविना 2013 ã केएसयू आईएम। एन ए Nekrasova, 2013
संघ (या योग)
परिभाषा 1.9. समुच्चय A और B का मिलन समुच्चय A È B है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो
चौराहा (या उत्पाद)
परिभाषा 1.10। समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन समुच्चय A Ç B है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो उसी से संबंधित हैं
अंतर
परिभाषा 1.11. समुच्चय A और B का अंतर समुच्चय A B है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो समुच्चय A से संबंधित हैं
कार्तीय उत्पाद (या प्रत्यक्ष उत्पाद)
परिभाषा 1.14। एक आदेशित जोड़ी (या जोड़ी) (ए, बी) एक निश्चित क्रम में लिए गए दो तत्व ए, बी हैं। जोड़े (ए 1
सेट संचालन के गुण
संघ, प्रतिच्छेदन और पूरक संक्रियाओं के गुणों को कभी-कभी सेट बीजगणित के नियम कहा जाता है। आइए हम समुच्चयों पर संक्रियाओं के मुख्य गुणों की सूची बनाएं। मान लीजिए कि एक सार्वत्रिक समुच्चय U है
गणितीय आगमन की विधि
गणितीय आगमन की विधि का उपयोग कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है जिसमें प्राकृतिक पैरामीटर n शामिल होता है। गणितीय आगमन की विधि - गणित को सिद्ध करने की विधि
जटिल आंकड़े
संख्या की अवधारणा मानव संस्कृति की मुख्य उपलब्धियों में से एक है। सबसे पहले, प्राकृत संख्याएँ N = (1, 2, 3, …, n, …) प्रकट हुईं, फिर पूर्णांक Z = (…, -2, -1, 0, 1, 2, …), परिमेय Q
जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या
यह ज्ञात है कि एक चर के साथ रैखिक समीकरणों के समाधान के संबंध में ऋणात्मक संख्याओं को पेश किया गया था। विशिष्ट समस्याओं में, एक नकारात्मक उत्तर की व्याख्या निर्देशित मात्रा के मान के रूप में की गई थी (
जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप
एक वेक्टर न केवल एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, बल्कि लंबाई और द्वारा भी निर्दिष्ट किया जा सकता है
त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ
बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं पर जोड़ और घटाव करना और त्रिकोणमितीय रूप में गुणन और विभाजन करना अधिक सुविधाजनक है। 1. गुणन। मान लीजिए दो k
घातांक
अगर z = r(cosj + i×sinj), तो zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), जहां n और Icirc
एक जटिल संख्या का घातीय रूप
गणितीय विश्लेषण से ज्ञात होता है कि e = , e एक अपरिमेय संख्या है। ईल
संबंध अवधारणा
परिभाषा 2.1। समुच्चय A1, A2, …, An पर एक n-ary (या n-ary) संबंध P कोई उपसमुच्चय है
बाइनरी रिलेशंस के गुण
बता दें कि बाइनरी रिलेशन P को एक गैर-खाली सेट A, यानी, P Í A2 पर दिया गया है। परिभाषा 2.9. एक सेट पर बाइनरी रिलेशन पी
तुल्यता संबंध
परिभाषा 2.15। समुच्चय A पर द्विआधारी संबंध को तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि यह स्वतुल्य, सममित और सकर्मक है। समतुल्य अनुपात
कार्य
परिभाषा 2.20. एक द्विआधारी संबंध ƒ н A ´ B को समुच्चय A से समुच्चय B तक एक फलन कहा जाता है यदि किसी x के लिए
सामान्य अवधारणाएँ
परिभाषा 3.1। एक मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका होती है जिसमें m पंक्तियाँ और n कॉलम होते हैं। संख्याएँ m और n को क्रम कहा जाता है (या
समान प्रकार के मैट्रिसेस जोड़ना
आप केवल उसी प्रकार के मैट्रिसेस जोड़ सकते हैं। परिभाषा 3.12। दो आव्यूहों का योग A = (aij) और B = (bij), जहाँ i = 1,
मैट्रिक्स जोड़ गुण
1) कम्यूटेटिविटी: "ए, बी: ए + बी \u003d बी + ए; 2) एसोसिएटिविटी:" ए, बी, सी: (ए + बी) + सी \u003d ए
एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करना
परिभाषा 3.13। आव्यूह A = (aij) और वास्तविक संख्या k का गुणनफल आव्यूह C = (сij) है जिसके लिए
एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करने के गुण
1) "ए: 1 × ए = ए; 2)" α, β Î आर, "ए: (αβ) × ए = α × (β × ए) = β ×
मैट्रिक्स गुणन
हम दो आव्यूहों के गुणन को परिभाषित करते हैं; ऐसा करने के लिए, हमें कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं को पेश करने की आवश्यकता है। परिभाषा 3.14। मैट्रिक्स ए और बी को संगत कहा जाता है
मैट्रिक्स गुणन के गुण
1) मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है: A×B ≠ B×A। इस संपत्ति को उदाहरणों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण 3.6। ए)
मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन
परिभाषा 3.16। मैट्रिक्स एटी, इसकी प्रत्येक पंक्ति को समान संख्या वाले कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, इसे दिए गए मैट्रिक्स ए में ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है
दूसरे और तीसरे क्रम के मैट्रिसेस के निर्धारक
क्रम n के प्रत्येक वर्ग आव्यूह A को एक संख्या दी जाती है, जिसे इस आव्यूह का निर्धारक कहा जाता है। पदनाम: डी, |ए|, दिनांक ए,
परिभाषा 4.6।
1. n = 1 के लिए, मैट्रिक्स A में एक संख्या होती है: |A| = ए11। 2. ऑर्डर के मैट्रिक्स (n - 1) के लिए निर्धारक ज्ञात होने दें। 3. परिभाषित करें
क्वालीफायर गुण
3 से अधिक ऑर्डर के निर्धारकों की गणना करने के लिए, निर्धारकों और लाप्लास के प्रमेय के गुणों का उपयोग किया जाता है। प्रमेय 4.1 (लाप्लास)। एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक
निर्धारकों की व्यावहारिक गणना
तीन से ऊपर किसी क्रम के निर्धारकों की गणना करने का एक तरीका यह है कि इसे किसी स्तंभ या पंक्ति में विस्तारित किया जाए। उदाहरण 4.4 निर्धारक डी = की गणना करें
मैट्रिक्स रैंक की अवधारणा
माना A एक m ´ n आव्यूह है। हम इस मैट्रिक्स में मनमाने ढंग से k पंक्तियाँ और k कॉलम चुनते हैं, जहाँ 1 ≤ k ≤ मिनट (m, n)।
सीमावर्ती अवयस्कों की विधि द्वारा मैट्रिक्स की कोटि ज्ञात करना
मैट्रिक्स की रैंक खोजने के तरीकों में से एक नाबालिगों की गणना है। यह विधि मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने पर आधारित है। विधि का सार इस प्रकार है। अगर कम से कम एक तत्व है
प्राथमिक रूपांतरणों का उपयोग करके मैट्रिक्स की कोटि ज्ञात करना
मैट्रिक्स की कोटि ज्ञात करने के दूसरे तरीके पर विचार करें। परिभाषा 5.4। निम्नलिखित परिवर्तनों को प्रारंभिक मैट्रिक्स परिवर्तन कहा जाता है: 1. गुणा करें
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा और इसे कैसे खोजा जाए
एक वर्ग मैट्रिक्स ए दिया जाना चाहिए। परिभाषा 5.7। आव्यूह A–1 को आव्यूह A का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि A×A–1
उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
बीजगणितीय जोड़ की मदद से किसी दिए गए मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के तरीकों में से एक पर विचार करें। चलो एक वर्ग मैट्रिक्स ए दिया जाता है। 1. मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं |ए|। यूरोपीय संघ
प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके उलटा मैट्रिक्स ढूँढना
प्रारंभिक रूपांतरणों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। आइए हम आवश्यक अवधारणाओं और प्रमेयों को तैयार करें। परिभाषा 5.11. मैट्रिक्स बी नाम
क्रैमर विधि
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, यानी, एम = एन और सिस्टम ऐसा दिखता है:
उलटा मैट्रिक्स विधि
उलटा मैट्रिक्स विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। मैट्रिक्स अंकन प्रणाली
गॉस विधि
इस पद्धति का वर्णन करने के लिए, जो रैखिक समीकरणों की मनमाना प्रणालियों को हल करने के लिए उपयुक्त है, कुछ नई अवधारणाओं की आवश्यकता है। परिभाषा 6.7। 0 × समीकरण
गॉस विधि का विवरण
गॉस विधि - अज्ञात के लगातार उन्मूलन की विधि - इस तथ्य में शामिल है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, मूल प्रणाली चरणबद्ध या टी के समकक्ष प्रणाली में कम हो जाती है
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की जांच करने का अर्थ है, प्रणाली को हल किए बिना, प्रश्न का उत्तर देना: क्या प्रणाली संगत है या नहीं, और यदि हां, तो इसके कितने समाधान हैं? इसका उत्तर में दें
रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली
परिभाषा 6.11 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि इसकी मुक्त शर्तें शून्य के बराबर हों। एम रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली
रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान के गुण
1. यदि सदिश а = (a1, a2, …, a) समांगी तंत्र का एक हल है, तो सदिश k×а = (k×a1, k&t
रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का मौलिक सेट
बता दें कि M0 रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली (4) के समाधान का सेट है। परिभाषा 6.12. सदिश c1, c2, ..., c
वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता
मान लीजिए कि a1, a2, ..., n-आयामी सदिशों के m टुकड़ों का एक समुच्चय है, जिसे आमतौर पर सदिशों की एक प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है, और k1
वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता के गुण
1) शून्य सदिश वाले सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। 2) सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है यदि इसकी कोई उपप्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। परिणाम। अगर सी
यूनिट वेक्टर सिस्टम
परिभाषा 7.13। अंतरिक्ष Rn में इकाई वैक्टर की एक प्रणाली वैक्टर e1, e2, …, en की एक प्रणाली है
दो रैखिक निर्भरता प्रमेय
प्रमेय 7.1। यदि सदिशों की एक बड़ी प्रणाली को छोटे के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, तो बड़ी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। आइए हम इस प्रमेय को और अधिक विस्तार से तैयार करें: मान लीजिए a1
वैक्टर की एक प्रणाली का आधार और रैंक
मान लीजिए कि अंतरिक्ष Rn में S सदिशों की एक प्रणाली है; यह या तो परिमित या अनंत हो सकता है। S" सिस्टम S, S" Ì S का एक सबसिस्टम है। आइए हम दो दें
वेक्टर सिस्टम की रैंक
आइए हम सदिशों के निकाय की कोटि की दो समतुल्य परिभाषाएँ दें। परिभाषा 7.16। सदिशों की एक प्रणाली की रैंक इस प्रणाली के किसी भी आधार पर सदिशों की संख्या है।
सदिशों की एक प्रणाली के रैंक और आधार की व्यावहारिक खोज
सदिशों की दी गई प्रणाली से, हम इस आव्यूह की पंक्तियों के रूप में सदिशों को व्यवस्थित करके एक आव्यूह की रचना करते हैं। हम इस मैट्रिक्स की पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाते हैं। पर
एक मनमाना क्षेत्र पर एक सदिश स्थान की परिभाषा
P को एक मनमाना क्षेत्र होने दें। हमें ज्ञात क्षेत्रों के उदाहरण परिमेय, वास्तविक, सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र हैं। परिभाषा 8.1। सेट V को अंदर बुलाया जाता है
वेक्टर रिक्त स्थान का सबसे सरल गुण
1) o एक शून्य सदिश (तत्व) है, जो विशिष्ट रूप से क्षेत्र के ऊपर एक स्वेच्छ सदिश समष्टि में परिभाषित है। 2) किसी सदिश a О V के लिए एक अद्वितीय होता है
उप-स्थान। रैखिक कई गुना
मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है, L Ì V (L, V का एक उपसमुच्चय है)। परिभाषा 8.2। वेक्टर प्रो का सबसेट एल
चौराहा और उप-स्थानों का योग
मान लीजिए कि V क्षेत्र P पर सदिश समष्टि है, L1 और L2 इसकी उपसमष्टियाँ हैं। परिभाषा 8.3। चौराहा सबक्वेरी
रैखिक कई गुना
मान लीजिए कि V एक सदिश समष्टि है, L एक उपसमष्टि है, और a को समष्टि V से एक स्वेच्छ सदिश है। परिभाषा 8.6। एक रैखिक गुणक द्वारा
परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान
परिभाषा 8.7. एक सदिश समष्टि V को n-विम कहा जाता है यदि इसमें n सदिशों से युक्त सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली होती है, और इसके लिए
एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का आधार
V क्षेत्र P पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान है, S सदिशों (परिमित या अनंत) की एक प्रणाली है। परिभाषा 8.10। प्रणाली का आधार एस
वेक्टर दिए गए आधार के सापेक्ष समन्वय करता है
आयाम n के परिमित-विम सदिश समष्टि V पर विचार करें, सदिश e1, e2, …, en इसका आधार बनाते हैं। चलो ठेस लगे
वेक्टर विभिन्न आधारों में समन्वय करता है
चलो वी एक एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें जिसमें दो आधार दिए गए हैं: ई 1, ई 2, ..., एन पुराना आधार है, ई "1, ई
यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक सदिश स्थान V दिया गया है। यह स्थान आयाम n या अनंत-आयामी के परिमित-आयामी वेक्टर स्थान हो सकता है।
निर्देशांक में डॉट उत्पाद
एक n-आयामी यूक्लिडियन सदिश समष्टि V में, एक आधार e1, e2, …, en दिया गया है। वैक्टर x और y वैक्टर में विघटित
मीट्रिक अवधारणाएँ
यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान में, एक पेश किए गए स्केलर उत्पाद से एक वेक्टर के मानदंड और वैक्टर के बीच के कोण की अवधारणाओं से गुजर सकता है। परिभाषा 8.16। नोर्मा (
सामान्य गुण
1) ||ए|| = 0 वा = ओ। 2) ||ला|| = |l|×||a||, चूँकि ||la|| =
यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का ऑर्थोनॉर्मल आधार
परिभाषा 8.21। यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस के आधार को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि आधार के वैक्टर जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं, यानी, यदि a1, a
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन प्रक्रिया
प्रमेय 8.12। हर एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है। सबूत। चलो a1, a2
ऑर्थोनॉर्मल आधार पर डॉट उत्पाद
यूक्लिडियन स्थान V का एक अलौकिक आधार e1, e2, ..., en दिया गया है। चूँकि (ei, ej) = 0 for i
ऑर्थोगोनल सबस्पेस पूरक
V एक यूक्लिडियन सदिश समष्टि है, L इसकी उपसमष्टि है। परिभाषा 8.23। एक सदिश a को एक उपसमष्टि L के लिए लम्बवत कहा जाता है यदि सदिश
वेक्टर के निर्देशांक और उसकी छवि के निर्देशांक के बीच संबंध
अंतरिक्ष वी में एक रैखिक ऑपरेटर जे दिया गया है, और इसका मैट्रिक्स एम (जे) किसी आधार ई1, ई2, …, एन में पाया जाता है। इसे आधार बनने दो
समान मेट्रिसेस
आइए एक मनमाने क्षेत्र P के तत्वों के साथ क्रम n के वर्ग आव्यूहों के सेट Pn´n पर विचार करें। हम इस सेट पर सापेक्ष परिचय देते हैं
मैट्रिक्स समानता संबंध के गुण
1. रिफ्लेक्सिविटी। कोई भी मैट्रिक्स स्वयं के समान होता है, अर्थात A ~ A. 2. समरूपता। यदि मैट्रिक्स A, B के समान है, तो B, A के समान है, अर्थात
ईजेनवेक्टर के गुण
1. प्रत्येक eigenvector केवल एक eigenvalue से संबंधित है। सबूत। चलो x दो eigenvalues के साथ एक eigenvector बनें
एक मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद
एक मैट्रिक्स A Î Pn´n (या A Î Rn´n) दिया गया है। परिभाषित करना
ऐसी स्थितियाँ जिनके तहत एक मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान होता है
माना A एक वर्ग आव्यूह है। हम मान सकते हैं कि यह किसी आधार पर दिए गए किसी रैखिक संकारक का आव्यूह है। यह ज्ञात है कि दूसरे आधार पर रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स
जॉर्डन सामान्य रूप
परिभाषा 10.5। संख्या l0 से संबंधित ऑर्डर k का एक जॉर्डन सेल ऑर्डर k का एक मैट्रिक्स है, 1 ≤ k ≤ n,
एक मैट्रिक्स को जॉर्डन (सामान्य) रूप में घटाना
प्रमेय 10.3। जॉर्डन सामान्य रूप विशिष्ट रूप से उस क्रम तक एक मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है जिसमें जॉर्डन कोशिकाएं मुख्य विकर्ण पर स्थित हैं। वगैरह
द्विरेखीय रूप
परिभाषा 11.1। द्विरेखीय रूप एक फलन (मानचित्रण) है f: V ´ V® R (या C), जहाँ V एक स्वेच्छ सदिश n है
द्विरेखीय रूपों के गुण
किसी भी द्विरेखीय रूप को सममित तिरछा-सममित रूपों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। वेक्टर में चुने गए आधार e1, e2, …, en के साथ
एक नए आधार पर पास होने पर बिलिनियर फॉर्म के मैट्रिक्स का परिवर्तन। द्विरेखीय रूप की कोटि
माना दो आधार e = (e1, e2, …, en) और f = (f1, f2,
द्विघात रूप
मान लीजिए कि A(x, y) सदिश समष्टि V पर परिभाषित सममित बिलिनियर रूप है। परिभाषा 11.6। द्विघात रूप द्वारा
एक द्विघात रूप को एक विहित रूप में घटाना
द्विघात रूप दिया गया है (2) A(x, x) = , जहाँ x = (x1
द्विघात रूपों की जड़ता का नियम
यह स्थापित किया गया है कि द्विघात रूप के गैर-शून्य विहित गुणांकों की संख्या इसके रैंक के बराबर है और यह एक गैर-डीजेनरेट परिवर्तन की पसंद पर निर्भर नहीं करता है जिसके द्वारा फॉर्म A(x)
द्विघात रूप के लिए साइन-निश्चित होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
कथन 11.1। एन-आयामी सदिश स्थान V में दिए गए द्विघात रूप A(x, x) के लिए साइन-निश्चित होने के लिए, यह आवश्यक है
अर्ध-परिवर्तनशील द्विघात रूपों के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
कथन 11.3। द्विघात रूप ए (एक्स, एक्स) के लिए एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष वी में अर्ध-वैकल्पिक होने के लिए परिभाषित किया गया है (यानी,
द्विघात रूप के चिन्ह-निश्चितता के लिए सिल्वेस्टर की कसौटी
माना कि फॉर्म A(x, x) आधार e = (e1, e2, …, en) में मैट्रिक्स A(e) = (aij) द्वारा परिभाषित किया गया है
निष्कर्ष
रेखीय बीजगणित किसी भी उन्नत गणित कार्यक्रम का एक अनिवार्य हिस्सा है। कोई अन्य खंड इस अनुशासन के शिक्षण के दौरान निर्धारित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की उपस्थिति को मानता है।
ग्रंथ सूची
बर्मिस्ट्रोवा ई.बी., लोबानोव एस.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्वों के साथ रैखिक बीजगणित। - एम।: पब्लिशिंग हाउस ऑफ द हायर स्कूल ऑफ इकोनॉमिक्स, 2007। बेक्लेमिशेव डी.वी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रेखीय बीजगणित का पाठ्यक्रम।
लीनियर अलजेब्रा
शिक्षण सहायता संपादक और प्रूफ़रीडर जी.डी. नेगनोवा, टी.एन. मैटिसिना, ई.के. कोरज़ेविना द्वारा कंप्यूटर टाइपसेटिंग
रैखिक स्थान V कहलाता है n आयामी, यदि इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की एक प्रणाली शामिल है, और अधिक सदिशों की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। संख्या n कहलाती है आयाम (आयामों की संख्या)रैखिक स्थान V और निरूपित किया जाता है \operatorname(मंद)V. दूसरे शब्दों में, किसी स्थान का आयाम उस स्थान में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या है। यदि ऐसी संख्या मौजूद है, तो अंतरिक्ष को परिमित-विमीय कहा जाता है। यदि अंतरिक्ष V में किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर से युक्त एक प्रणाली है, तो ऐसे स्थान को अनंत-आयामी कहा जाता है (वे लिखते हैं: \operatorname(मंद)V=\infty). निम्नलिखित में, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए, परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर विचार किया जाएगा।
आधार n-आयामी रैखिक स्थान n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक क्रमबद्ध सेट है ( आधार वैक्टर).
एक आधार के संदर्भ में एक सदिश के विस्तार पर प्रमेय 8.1। यदि एक n-आयामी रैखिक स्थान V का आधार है, तो V में किसी भी सदिश \mathbf(v)\in को आधार सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
और, इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से, यानी। कठिनाइयाँ \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2, \ldots, \mathbf(v)_nस्पष्ट रूप से परिभाषित हैं।दूसरे शब्दों में, किसी भी अंतरिक्ष वेक्टर को एक आधार पर और इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है।
वास्तव में, स्थान V का आयाम n के बराबर है। वेक्टर प्रणाली \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nरैखिक रूप से स्वतंत्र (यह आधार है)। किसी सदिश \mathbf(v) को आधार में जोड़ने के बाद, हमें एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली मिलती है \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(चूंकि इस प्रणाली में एन-आयामी अंतरिक्ष के (एन + 1) वैक्टर शामिल हैं)। 7 रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की संपत्ति से, हम प्रमेय का निष्कर्ष प्राप्त करते हैं।
परिणाम 1. अगर \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nस्थान V का आधार है, तब V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), अर्थात। रैखिक स्थान आधार सदिशों की रैखिक अवधि है।
दरअसल, समानता साबित करने के लिए V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)दो सेट, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि समावेशन V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)और एक ही समय में क्रियान्वित किया जाता है। वास्तव में, एक ओर, एक रैखिक स्थान में वैक्टर का कोई भी रैखिक संयोजन स्वयं रैखिक स्थान से संबंधित होता है, अर्थात \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. दूसरी ओर, प्रमेय 8.1 के अनुसार किसी भी आकाश सदिश को आधार सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). इसका मतलब माना सेटों की समानता है।
परिणाम 2. अगर \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nरैखिक स्थान V में सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है और V में किसी भी सदिश \mathbf(v)\ को एक रैखिक संयोजन (8.4) के रूप में दर्शाया जा सकता है: \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, तो स्थान V का आयाम n है, और सिस्टम है \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nइसका आधार है।
दरअसल, अंतरिक्ष V में n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर और किसी भी प्रणाली की एक प्रणाली है \mathbf(u)_1, \mathbf(u)_2, \ldots,\mathbf(u)_nअधिक वैक्टरों की संख्या (k>n) रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि इस प्रणाली के प्रत्येक वेक्टर को वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. साधन, \operatorname(मंद) V=nऔर \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n-आधार वी.
एक आधार पर वैक्टर की एक प्रणाली के पूरा होने पर प्रमेय 8.2। एक n-आयामी रैखिक स्थान में k सदिशों की कोई भी रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली (1\leqslant k दरअसल, एक एन-डायमेंशनल स्पेस में वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली होने दें वी~(1\leqslant k टिप्पणी 8.4 1. एक रेखीय स्थान का आधार अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, अगर \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nस्थान V का आधार है, फिर सदिशों की प्रणाली \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nकिसी \lamda\ne0 के लिए भी V का आधार है। एक ही परिमित-आयामी स्थान के विभिन्न आधारों में आधार वैक्टर की संख्या निश्चित रूप से समान है, क्योंकि यह संख्या अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है। 2. कुछ स्थानों में, अक्सर अनुप्रयोगों में सामना किया जाता है, संभावित आधारों में से एक, व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे सुविधाजनक, मानक कहा जाता है। 3. प्रमेय 8.1 हमें यह कहने की अनुमति देता है कि एक आधार एक रैखिक स्थान के तत्वों की एक पूरी प्रणाली है, इस अर्थ में कि किसी भी अंतरिक्ष वेक्टर को आधार वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। 4. यदि समुच्चय \mathbb(L) एक रैखिक फैलाव है \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), फिर वैक्टर \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kसेट \mathbb(L) के जनरेटर कहलाते हैं। समानता के आधार पर प्रमेय 8.1 का उपप्रमेय 1 वी=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)हमें यह कहने की अनुमति देता है कि आधार है न्यूनतम उत्पादन प्रणालीरैखिक स्थान V , क्योंकि जनरेटर की संख्या को कम करना असंभव है (सेट से कम से कम एक वेक्टर को हटा दें \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) समानता का उल्लंघन किए बिना वी=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. प्रमेय 8.2 हमें यह कहने की अनुमति देता है कि आधार है वैक्टर की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालीरैखिक स्थान, चूंकि आधार वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है, और इसे रैखिक स्वतंत्रता खोए बिना किसी भी वेक्टर द्वारा पूरक नहीं किया जा सकता है। 6. रैखिक समष्टि का आधार और विमा ज्ञात करने के लिए प्रमेय 8.1 के उपप्रमेय 2 का उपयोग करना सुविधाजनक है। कुछ पाठ्यपुस्तकों में, इसे आधार परिभाषित करने के लिए लिया जाता है, अर्थात्: रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nएक रेखीय स्थान के वैक्टर को एक आधार कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को वैक्टर के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. आधार वैक्टर की संख्या अंतरिक्ष के आयाम को निर्धारित करती है. बेशक, ये परिभाषाएँ ऊपर दी गई परिभाषाओं के बराबर हैं। हम ऊपर विचार किए गए रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरणों के लिए आयाम और आधार इंगित करते हैं। 1. शून्य रैखिक स्थान \(\mathbf(o)\) में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर नहीं होते हैं। इसलिए, इस स्थान का आयाम शून्य माना जाता है: \dim\(\mathbf(o)\)=0. इस स्थान का कोई आधार नहीं है। 2. रिक्त स्थान V_1,\,V_2,\,V_3 के आयाम क्रमशः 1, 2, 3 हैं। वास्तव में, स्थान V_1 का कोई भी गैर-शून्य वेक्टर, एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली बनाता है (टिप्पणी 8.2 का आइटम 1 देखें), और अंतरिक्ष के कोई भी दो गैर-शून्य वैक्टर V_1 संरेखी हैं, अर्थात रैखिक रूप से निर्भर हैं (उदाहरण 8.1 देखें)। इसलिए, \dim(V_1)=1 , और स्थान V_1 का आधार कोई गैर-शून्य वेक्टर है। इसी प्रकार, हम सिद्ध करते हैं कि \dim(V_2)=2 और \dim(V_3)=3 । अंतरिक्ष V_2 का आधार एक निश्चित क्रम में लिया गया कोई भी दो गैर-संरेखक वैक्टर है (उनमें से एक को पहला आधार वेक्टर माना जाता है, दूसरा - दूसरा)। अंतरिक्ष V_3 का आधार कोई भी तीन गैर-समतल (समान या समानांतर विमानों में स्थित नहीं) वैक्टर हैं, जिन्हें एक निश्चित क्रम में लिया गया है। V_1 में मानक आधार लाइन पर इकाई वेक्टर \vec(i) है। V_2 में मानक आधार आधार है \vec(मैं),\,\vec(जे), विमान के दो परस्पर लंबवत इकाई वैक्टर से मिलकर। अंतरिक्ष V_3 में मानक आधार आधार है \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), तीन यूनिट जोड़ीदार लंबवत वैक्टरों से बना है जो सही ट्रिपल बनाते हैं। 3. स्थान \mathbb(R)^n में n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों से अधिक नहीं है। वास्तव में, \mathbb(R)^n से k कॉलम लेते हैं और उनसे n\times के आकार का एक मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि k>n , तो कॉलम मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय 3.4 द्वारा रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस तरह, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. अंतरिक्ष \mathbb(R)^n में n रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम खोजना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, पहचान मैट्रिक्स के कॉलम \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस तरह, \dim(\mathbb(R)^n)=n. स्थान \mathbb(R)^n कहा जाता है एन-आयामी वास्तविक अंकगणितीय स्थान. वैक्टर के निर्दिष्ट सेट को अंतरिक्ष \mathbb(R)^n का मानक आधार माना जाता है। इसी प्रकार यह सिद्ध होता है \dim(\mathbb(C)^n)=n, इसलिए स्थान \mathbb(C)^n कहा जाता है एन-आयामी जटिल अंकगणितीय स्थान. 4. याद कीजिए कि समांगी निकाय Ax=o के किसी भी हल को इस रूप में निरूपित किया जा सकता है x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), कहाँ आर = \ ऑपरेटरनाम (आरजी) ए, ए \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- मौलिक निर्णय प्रणाली। इस तरह, \(कुल्हाड़ी=ओ\)=\ऑपरेटर का नाम (लिन) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), अर्थात। एक सजातीय प्रणाली के समाधान के अंतरिक्ष \(Ax=0\) का आधार समाधान की मौलिक प्रणाली है, और अंतरिक्ष का आयाम \dim\(Ax=o\)=n-r है, जहां n की संख्या है अज्ञात, और r सिस्टम मैट्रिक्स की कोटि है। 5. 2\गुना3 आकार के आव्यूहों के स्थान M_(2\times3) में 6 आव्यूह चुने जा सकते हैं: \begin(इकट्ठा)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(इकट्ठा) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) केवल तुच्छ मामले में शून्य मैट्रिक्स के बराबर है \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. समानता (8.5) को दाएं से बाएं पढ़ने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि M_(2\times3) से कोई भी मैट्रिक्स चुने हुए 6 मैट्रिक्स के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, अर्थात M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). इस तरह, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, और मैट्रिसेस \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_6इस स्थान का (मानक) आधार हैं। इसी प्रकार यह सिद्ध होता है \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. सम्मिश्र गुणांकों वाले बहुपदों के स्थान P(\mathbb(C)) में किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, n रैखिक रूप से स्वतंत्र अवयव खोजे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)उनके रैखिक संयोजन के बाद से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) शून्य बहुपद के बराबर है (o(z)\equiv0) केवल तुच्छ मामले में a_1=a_2=\ldots=a_n=0. चूँकि बहुपदों की यह प्रणाली किसी भी प्राकृतिक n के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र है, स्थान P(\mathbb(C)) अनंत-आयामी है। इसी तरह, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों के स्थान P(\mathbb(R)) का एक अनंत आयाम है। अधिक से अधिक n डिग्री वाले बहुपदों का स्थान P_n(\mathbb(R)) परिमित-आयामी है। वास्तव में, सदिश \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(ई)_(n+1)=x^nइस स्थान के लिए एक (मानक) आधार बनाएं, क्योंकि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और P_n(\mathbb(R)) में किसी भी बहुपद को इन वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)रैखिक रिक्त स्थान के लिए आधारों के उदाहरण
जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। दरअसल, उनका रैखिक संयोजन
7. निरंतर कार्यों का स्थान C(\mathbb(R)) अनंत-आयामी है। वास्तव में, किसी भी प्राकृतिक n बहुपद के लिए 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), निरंतर कार्यों के रूप में माना जाता है, रैखिक रूप से स्वतंत्र सिस्टम बनाता है (पिछला उदाहरण देखें)।
अंतरिक्ष में टी_(\ओमेगा)(\mathbb(आर))त्रिकोणमितीय द्विपद (आवृत्तियाँ \omega\ne0 ) वास्तविक आधार गुणांकों के साथ एकपदीय बनाते हैं \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. पहचान समानता के बाद से वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0केवल मामूली मामले में ही संभव है (a=b=0) । प्रपत्र का कोई भी कार्य f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tबुनियादी लोगों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. X के डोमेन के आधार पर सेट X पर परिभाषित वास्तविक कार्यों का स्थान \mathbb(R)^X परिमित-आयामी या अनंत-आयामी हो सकता है। यदि X एक परिमित समुच्चय है, तो स्थान \mathbb(R)^X परिमित-आयामी है (उदाहरण के लिए, एक्स=\(1,2,\ldots,n\)). यदि X एक अनंत समुच्चय है, तो स्थान \mathbb(R)^X अनंत-आयामी है (उदाहरण के लिए, अनुक्रम का स्थान \mathbb(R)^N)।
9. अंतरिक्ष \mathbb(R)^(+) में कोई भी सकारात्मक संख्या \mathbf(e)_1 जो 1 के बराबर नहीं है, आधार के रूप में काम कर सकती है। उदाहरण के लिए संख्या \mathbf(e)_1=2 लें। किसी भी धनात्मक संख्या r को \mathbf(e)_1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात रूप में मौजूद है \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, जहाँ \alpha_1=\log_2r । इसलिए, इस स्थान का आयाम 1 है, और संख्या \mathbf(e)_1=2 एक आधार है।
10. चलो \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nवास्तविक रैखिक स्थान V का आधार है। हम सेट करके वी पर रैखिक स्केलर फ़ंक्शंस परिभाषित करते हैं:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(मामलों)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(मामले)
उसी समय, फलन \mathcal(E)_i की रैखिकता के कारण, एक स्वेच्छ सदिश के लिए हम प्राप्त करते हैं \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
तो, एन तत्व (कोवेक्टर) परिभाषित हैं \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nदोहरी जगह V^(\ast) । आइए इसे साबित करें \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- आधार V^(\ast) ।
सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि system \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nरैखिक रूप से स्वतंत्र। दरअसल, इन कोवेक्टरों का एक रैखिक संयोजन लें (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=और इसे शून्य फ़ंक्शन के बराबर करें
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\इन वी.
इस समानता में प्रतिस्थापन \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, हम पाते हैं \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. इसलिए, तत्वों की प्रणाली \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nअंतरिक्ष V^(\ast) समानता के बाद से रैखिक रूप से स्वतंत्र है \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)तुच्छ मामले में ही संभव है।
दूसरा, हम साबित करते हैं कि किसी भी रैखिक फ़ंक्शन f\in V^(\ast) को कोवेक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. दरअसल, किसी भी वेक्टर के लिए \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nफ़ंक्शन f की रैखिकता के कारण, हम प्राप्त करते हैं:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(गठबंधन)
वे। फ़ंक्शन f को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया गया है f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nकार्य \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(संख्या \beta_i=f(\mathbf(e)_i)रैखिक संयोजन के गुणांक हैं)। इसलिए, covectors की प्रणाली \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nदोहरी जगह V^(\ast) का आधार है और \dim(V^(\ast))=\dim(V)(परिमित-आयामी स्थान V के लिए)।
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