a) त्रिभुज ABC की भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
ख) त्रिभुज ABC की किसी एक माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
ग) त्रिभुज ABC की किसी एक ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।
d) त्रिभुज ABC के किसी एक समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए।
e) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधानइसे कैलकुलेटर के साथ करें।
त्रिभुज निर्देशांक दिए गए हैं: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0)।
1) वेक्टर निर्देशांक
वैक्टर के निर्देशांक सूत्र द्वारा पाए जाते हैं:
एक्स = एक्स जे - एक्स आई; वाई = वाई जे - वाई मैं
उदाहरण के लिए, वेक्टर एबी के लिए
एक्स=1-2=-1; वाई = -2-1 = -3
एबी(-1;-3)
एसी(-3;-1)
ईसा पूर्व (-2; 2)
2) सदिशों के मॉड्यूल
3) सीधी रेखाओं के बीच का कोण
वैक्टर a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) के बीच का कोण सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: 
जहाँ 1 1 2 \u003d एक्स 1 एक्स 2 + वाई 1 वाई 2
भुजाओं AB और AC के बीच का कोण ज्ञात कीजिए 
γ = आर्ककोस (0.6) = 53.13 0
4) वेक्टर प्रक्षेपण
वेक्टर प्रक्षेपण बीप्रति वेक्टर एसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
सदिश AB का सदिश AC पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए 
5) त्रिभुज का क्षेत्रफल
समाधान
सूत्र के अनुसार हमें मिलता है:
6) इस संबंध में खंड का विभाजन
बिंदु A का त्रिज्या सदिश r, जो खंड AB को AA:AB = m 1:m 2 के संबंध में विभाजित करता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: 
बिंदु A के निर्देशांक सूत्र द्वारा पाए जाते हैं: 
त्रिभुज माध्य समीकरण
हम अक्षर M द्वारा भुजा BC के मध्य बिंदु को निरूपित करते हैं। फिर हम खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों द्वारा बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। 
एम (0; -1)
हम दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करके माध्यिका AM के लिए समीकरण ज्ञात करते हैं। माध्यिका AM बिंदुओं A(2;1) और M(0;-1) से होकर गुजरती है, इसलिए:
या
या
y=x-1 या y-x+1=0
7) सीधी रेखा समीकरण
रेखा AB का समीकरण
या
या
y = 3x -5 या y -3x +5 = 0
लाइन एसी समीकरण
या
या
वाई = 1/3 एक्स + 1/3 या 3y -x - 1 = 0
रेखा ई.पू. समीकरण 
या
या
वाई = -एक्स -1 या वाई + एक्स +1 = 0
8) शीर्ष A से खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1; y 1) से सीधी रेखा Ax + By + C \u003d 0 की दूरी मात्रा के निरपेक्ष मान के बराबर है: 
बिंदु A(2;1) और रेखा BC (y + x +1 = 0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए 
9) शीर्ष C से ऊँचाई का समीकरण
बिंदु M 0 (x 0;y 0) से गुजरने वाली रेखा और रेखा Ax + By + C = 0 के लंबवत एक दिशा सदिश (A;B) है और इसलिए, समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है: 
इस समीकरण को दूसरे तरीके से भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सीधी रेखा AB का ढलान k 1 पाते हैं।
समीकरण AB: y = 3x -5 अर्थात के 1 = 3
आइए दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति से लंब का ढलान k खोजें: k 1 *k = -1।
के 1 के बजाय इस सीधी रेखा के ढलान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
3k = -1, जहाँ k = -1/3
चूँकि लंब बिंदु C(-1,0) से होकर जाता है और इसका k = -1 / 3 है, हम इसके समीकरण को इस रूप में देखेंगे: y-y 0 = k(x-x 0)।
प्रतिस्थापन x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 हमें मिलता है:
वाई-0 = -1/3 (एक्स-(-1))
या
वाई = -1/3 एक्स - 1/3
त्रिभुज द्विभाजक समीकरण
आइए हम कोण A का समद्विभाजक ज्ञात करें। भुजा BC वाले समद्विभाजक के प्रतिच्छेद बिंदु को M द्वारा निरूपित करें।
आइए सूत्र का उपयोग करें: 
AB समीकरण: y -3x +5 = 0, AC समीकरण: 3y -x - 1 = 0 
^ ए ≈ 53 0
समद्विभाजक कोण को समद्विभाजित करता है, इसलिए कोण NAK ≈ 26.5 0
ढाल AB की स्पर्श रेखा 3 है (क्योंकि y -3x +5 = 0)। ढलान कोण 72 है
^एनकेए≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
टीजी (45.5 0) = 1
द्विभाजक बिंदु A(2,1) से होकर गुजरता है, सूत्र का उपयोग करके, हमारे पास है:
वाई - वाई 0 \u003d के (एक्स - एक्स 0)
वाई - 1 = 1 (एक्स - 2)
या
वाई = एक्स -1
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उदाहरण. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(-3; -1), B(4; 6), C(8; -2)।
आवश्यक: 1) भुजा BC की लंबाई की गणना करें; 2) बीसी के पक्ष के लिए एक समीकरण बनाएं; 3) शीर्ष B पर त्रिभुज का आंतरिक कोण ज्ञात करें; 4) शीर्ष ए से खींची गई एके की ऊंचाई के लिए एक समीकरण बनाएं; 5) एक सजातीय त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक (इसके माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु) का पता लगाएं; 6) समन्वय प्रणाली में एक रेखाचित्र बनाएं।
व्यायाम. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16)। आवश्यक:
- शीर्ष B से खींची गई माध्यिका के लिए एक समीकरण लिखिए और इसकी लंबाई की गणना कीजिए।
- शीर्ष A से खींची गई ऊँचाई के लिए एक समीकरण लिखिए और इसकी लंबाई की गणना कीजिए।
- त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।
समाधान डाउनलोड करें
उदाहरण #3. किसी त्रिभुज के शीर्ष A(1;1), B(7;4), C(4;5) दिए गए हैं। खोजें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) 0.001 की सटीकता के साथ रेडियन में आंतरिक कोण A। रेखाचित्र बनाओ।
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उदाहरण #4. किसी त्रिभुज के शीर्ष A(1;1), B(7;4), C(4;5) दिए गए हैं। ढूँढ़ें: 1) शीर्ष C के माध्यम से खींची गई ऊँचाई का समीकरण; 2) शीर्ष C से होकर खींची गई माध्यिका का समीकरण; 3) त्रिकोण की ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु; 4) शीर्ष C से नीचे की गई ऊँचाई की लंबाई। एक चित्र बनाएँ।
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उदाहरण #5. त्रिभुज ABC के शीर्ष दिए गए हैं: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13)। निर्धारित करें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) भुजाओं AB और AC और उनके ढलानों का समीकरण; 3) त्रिभुज का क्षेत्रफल।
हम सूत्र द्वारा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: X = x j - x i ; वाई = वाई जे - वाई मैं
यहाँ X, Y सदिश के निर्देशांक हैं; x i , y i - बिंदु A i के निर्देशांक; x j , y j - बिंदु A j के निर्देशांक
उदाहरण के लिए, वेक्टर एबी के लिए
एक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1; वाई = वाई2 - वाई1
एक्स = 7-(-5) = 12; वाई = -9-0 = -9
एबी(12;-9), एसी(16;13), बीसी(4;22)।
त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई
वेक्टर ए (एक्स; वाई) की लंबाई सूत्र द्वारा इसके निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त की जाती है:
त्रिभुज का क्षेत्रफल
बिंदु A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) को त्रिभुज के कोने होने दें, फिर इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
दाईं ओर एक दूसरे क्रम का निर्धारक है। त्रिभुज का क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है।
समाधान. A को पहले शीर्ष के रूप में लेने पर, हम पाते हैं:
सूत्र के अनुसार हमें मिलता है:
सीधी रेखा का समीकरण
बिंदुओं A 1 (x 1; y 1) और A 2 (x 2; y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा को समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है:
रेखा AB का समीकरण
एक सीधी रेखा का विहित समीकरण:
या
या
वाई = -3/4 x -15/4 या 4y + 3x +15 = 0
रेखा AB का ढाल k = -3/4 है
लाइन एसी समीकरण
या
या
वाई = 13/16x + 65/16 या 16y -13x - 65 = 0
रेखा AB का ढाल k = 13/16 है
व्यायाम. पिरामिड ABCD के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं। आवश्यक:
- ऑर्ट सिस्टम में वैक्टर लिखें और इन वैक्टरों के मॉड्यूल खोजें।
- सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
- एक सदिश पर एक सदिश का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।
- फलक ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- पिरामिड ABCD का आयतन ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 1
ए 1 (1,8,2), ए 2 (5,2,6), ए 3 (0, -1, -2), ए 4 (-2,3, -1): उदाहरण #2
ए 1 (5.2.1), ए 2 (-3.9.3), ए 3 (-1.3.5), ए 4 (-1, -5.2): उदाहरण # 3
ए 1 (-1.0.2), ए 2 (-2.0.6), ए 3 (-3.1.2), ए 4 (-1.2.4): उदाहरण #4
व्यायाम. रेखाओं x + y -5 = 0 और x + 4y - 8 = 0 के बीच न्यूनकोण ज्ञात कीजिए।
समाधान के लिए सिफारिशें. दो लाइन सेवा के बीच कोण का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है।
उत्तर: 30.96o
उदाहरण 1. बिंदुओं के निर्देशांक A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) दिए गए हैं। किनारे A1A2 की लंबाई ज्ञात कीजिए। किनारे A1A4 और फलक A1A2A3 के लिए एक समीकरण लिखिए। बिंदु A4 से समतल A1A2A3 तक गिराई गई ऊँचाई के लिए एक समीकरण लिखिए। त्रिभुज A1A2A3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। त्रिकोणीय पिरामिड A1A2A3A4 का आयतन ज्ञात कीजिए।
हम सूत्र द्वारा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: X = x j - x i ; वाई = वाई जे - वाई आई; जेड = जेड जे - जेड आई
यहाँ X, Y, Z सदिश के निर्देशांक हैं; x i , y i , z i - बिंदु A i के निर्देशांक; x j , y j , z j - बिंदु A j के निर्देशांक;
तो, सदिश A 1 A 2 के लिए वे इस प्रकार होंगे:
एक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1; वाई \u003d वाई 2 - वाई 1; जेड \u003d जेड 2 - जेड 1
एक्स = 2-1; वाई = 1-0; जेड = 1-2
ए 1 ए 2 (1;1;-1)
ए 1 ए 3 (-2;2;-2)
ए 1 ए 4 (-3;-1;-3)
ए 2 ए 3 (-3;1;-1)
ए 2 ए 4 (-4;-2;-2)
ए 3 ए 4 (-1;-3;-1)
सदिश a(X;Y;Z) की लंबाई सूत्र द्वारा इसके निर्देशांक के रूप में व्यक्त की जाती है: 
कार्य 1. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16)। खोजें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) पक्षों AB और BC और उनके ढलानों के समीकरण; 3) दो दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी; 4) ऊंचाई सीडी और इसकी लंबाई का समीकरण; 5) माध्यिका AE का समीकरण और ऊँचाई CD के साथ इस माध्यिका के चौराहे के बिंदु K के निर्देशांक; 6) बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण AB के समानांतर; 7) बिंदु M के निर्देशांक, सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित हैं।
समाधान:
1. बिंदुओं A(x 1 ,y 1) और B(x 2 ,y 2) के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है
(1) लागू करने पर, हम भुजा AB की लंबाई ज्ञात करते हैं:
2. बिंदु A (x 1, y 1) और B (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण रूप है
(2)
बिंदु A और B के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करके, हम भुजा AB का समीकरण प्राप्त करते हैं:
y के लिए अंतिम समीकरण को हल करने के बाद, हम एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा समीकरण के रूप में भुजा AB का समीकरण पाते हैं:
कहाँ
(2) बिंदु B और C के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त करते हैं:
या 
3. यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा, जिसके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर होते हैं और सूत्र द्वारा गणना की जाती है
(3)
वांछित कोण B सीधी रेखाओं AB और BC से बनता है, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: लागू करना (3), हम प्राप्त करते हैं
या खुश।
4. किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए दिशा में गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है
(4)
ऊँचाई CD भुजा AB के लंबवत है। ऊंचाई सीडी की ढलान का पता लगाने के लिए, हम रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करते हैं। के बाद से 
(4) बिंदु C के निर्देशांक और ऊँचाई के कोणीय गुणांक को प्राप्त करने पर, हम प्राप्त करते हैं
ऊंचाई सीडी की लंबाई का पता लगाने के लिए, हम पहले बिंदु डी के निर्देशांक निर्धारित करते हैं - एबी और सीडी लाइनों के चौराहे का बिंदु। सिस्टम को एक साथ हल करना:
पाना 
वे। डी (8; 0)।
सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हम ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करते हैं:
5. माध्यिका AE के लिए समीकरण खोजने के लिए, हम पहले बिंदु E के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, जो कि भुजा BC का मध्य बिंदु है, खंड को दो समान भागों में विभाजित करने के सूत्र का उपयोग करते हुए:
(5)
इस तरह,
बिंदु A और E के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम माध्यिका समीकरण पाते हैं:
ऊँचाई CD और माध्यिका AE के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त रूप से समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं
हम देखतें है ।
6. चूँकि वांछित रेखा भुजा AB के समानांतर है, तो इसका ढलान रेखा AB के ढलान के बराबर होगा। (4) में प्रतिस्थापित बिंदु K के निर्देशांक और हमें प्राप्त होने वाली ढलान 
3x + 4y - 49 = 0 (केएफ)
7. चूँकि रेखा AB रेखा CD के लंबवत है, वांछित बिंदु M, रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित है, रेखा AB पर स्थित है। इसके अलावा, बिंदु D खंड AM का मध्य बिंदु है। सूत्रों (5) को लागू करते हुए, हम वांछित बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं:
त्रिभुज ABC, ऊँचाई CD, माध्यिका AE, रेखा KF और बिंदु M को xOy निर्देशांक प्रणाली में अंजीर में बनाया गया है। 1.
कार्य 2।
बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण की रचना करें, जिसकी दूरी का अनुपात किसी दिए गए बिंदु A (4; 0) और दी गई सीधी रेखा x \u003d 1 के बराबर 2 है। 
समाधान:
xOy समन्वय प्रणाली में, हम बिंदु A(4;0) और सीधी रेखा x = 1 का निर्माण करते हैं। मान लीजिए कि M(x;y) बिंदुओं के वांछित स्थान का एक मनमाना बिंदु है। आइए हम दी गई रेखा x = 1 पर लंब MB गिराते हैं और बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूंकि बिंदु B दी गई रेखा पर स्थित है, इसलिए इसका भुज 1 के बराबर है। बिंदु B की कोटि कोटि के बराबर है। बिंदु M का। इसलिए, B(1; y) (चित्र 2)।
समस्या की स्थिति से |MA|: |MV| = 2. दूरियां |एमए| और |एमबी| हम समस्या 1 के सूत्र (1) से पाते हैं:
बाएँ और दाएँ पक्ष का वर्ग करने पर, हमें मिलता है
या
परिणामी समीकरण एक अतिपरवलय है, जिसमें वास्तविक अर्ध-अक्ष a = 2 है, और काल्पनिक एक है
आइए हम अतिपरवलय के foci को परिभाषित करें। एक अतिपरवलय के लिए, समानता संतुष्ट है। इसलिए, और 
हाइपरबोला के foci हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया बिंदु A(4;0) हाइपरबोला का सही फोकस है।
आइए हम परिणामी हाइपरबोला की विलक्षणता निर्धारित करें:
अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख समीकरणों का रूप और है। इसलिए, या और हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं। हाइपरबोला बनाने से पहले, हम इसके स्पर्शोन्मुख बनाते हैं।
कार्य 3. बिंदु A (4; 3) और सीधी रेखा y \u003d 1 से समतुल्य बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण बनाएँ। परिणामी समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें।
समाधान:चलो एम (एक्स; वाई) अंक के वांछित स्थान के बिंदुओं में से एक हो। आइए बिंदु M से दी गई रेखा y = 1 (चित्र 3) पर लंब MB गिराएँ। आइए बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करें। यह स्पष्ट है कि बिंदु B का भुज बिंदु M के भुज के बराबर है, और बिंदु B का समन्वय 1 है, अर्थात B (x; 1)। समस्या की स्थिति से |MA|=|MV|. इसलिए, बिंदुओं के वांछित स्थान से संबंधित किसी भी बिंदु M (x; y) के लिए, समानता सत्य है:
परिणामी समीकरण एक परवलय को एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ परिभाषित करता है। परवलय समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करने के लिए, हम सेट करते हैं और y + 2 = Y फिर परवलय समीकरण रूप लेता है: 
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?
एक विमान पर त्रिभुज के साथ विशिष्ट समस्या
यह पाठ विमान की ज्यामिति और अंतरिक्ष की ज्यामिति के बीच भूमध्य रेखा के दृष्टिकोण पर बनाया गया था। फिलहाल, संचित जानकारी को व्यवस्थित करने और एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि ज्यामिति में अनंत संख्या में समस्याएं हैं, और किसी भी पाठ्यपुस्तक में इतने सारे और विभिन्न प्रकार के उदाहरण नहीं हो सकते। क्या नहीं है समारोह व्युत्पन्नअवकलन के पाँच नियमों के साथ, एक तालिका, और कुछ तकनीकें...।
एक समाधान है! मैं जोर से शब्दों में नहीं कहूंगा कि मैंने किसी प्रकार की भव्य तकनीक विकसित की है, हालांकि, मेरी राय में, विचाराधीन समस्या के लिए एक प्रभावी दृष्टिकोण है, जो एक पूर्ण केतली को भी अच्छे और उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। कम से कम, ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिथ्म मेरे सिर में बहुत स्पष्ट रूप से आकार लेता है।
आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है
ज्यामिति की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए?
इससे कोई दूर नहीं हो रहा है - अपनी नाक के साथ यादृच्छिक रूप से बटनों को पोक न करने के लिए, आपको विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मूल बातें मास्टर करने की आवश्यकता है। इसलिए, यदि आपने अभी-अभी ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया है या इसे पूरी तरह से भूल गए हैं, तो कृपया पाठ से प्रारंभ करें डमी के लिए वैक्टर. उनके साथ वैक्टर और क्रियाओं के अलावा, आपको विशेष रूप से समतल ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं को जानने की आवश्यकता है, समतल में सीधी रेखा का समीकरणऔर । अंतरिक्ष की ज्यामिति को लेखों द्वारा दर्शाया गया है समतल समीकरण, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण, एक लाइन और एक विमान पर बुनियादी कार्य और कुछ अन्य पाठ। दूसरे क्रम की घुमावदार रेखाएँ और स्थानिक सतहें कुछ अलग हैं, और उनके साथ इतनी विशिष्ट समस्याएँ नहीं हैं।
मान लीजिए कि एक छात्र के पास पहले से ही विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सरलतम समस्याओं को हल करने का प्रारंभिक ज्ञान और कौशल है। लेकिन ऐसा होता है: आप समस्या की स्थिति को पढ़ते हैं, और ... आप पूरी चीज को पूरी तरह से बंद करना चाहते हैं, इसे दूर कोने में फेंक दें और इसे एक दुःस्वप्न की तरह भूल जाएं। इसके अलावा, यह मौलिक रूप से आपकी योग्यता के स्तर पर निर्भर नहीं करता है, समय-समय पर मैं स्वयं उन कार्यों का सामना करता हूं जिनके लिए समाधान स्पष्ट नहीं है। ऐसे मामलों में कैसे कार्य करें? किसी ऐसे कार्य से डरने की आवश्यकता नहीं है जिसे आप नहीं समझते हैं!
पहले तो, पर सेट होना चाहिए क्या यह "प्लानर" या स्थानिक समस्या है?उदाहरण के लिए, यदि दो निर्देशांक वाले वैक्टर स्थिति में दिखाई देते हैं, तो निश्चित रूप से यह विमान की ज्यामिति है। और अगर शिक्षक ने कृतज्ञ श्रोता पर पिरामिड लाद दिया, तो स्पष्ट रूप से अंतरिक्ष की ज्यामिति है। पहले चरण के परिणाम पहले से ही काफी अच्छे हैं, क्योंकि हम इस कार्य के लिए बड़ी मात्रा में अनावश्यक जानकारी को काटने में कामयाब रहे!
दूसरा. स्थिति, एक नियम के रूप में, आपको कुछ ज्यामितीय आकृति के साथ चिंतित करेगी। वास्तव में, अपने मूल विश्वविद्यालय के गलियारों में चलो, और तुम बहुत चिंतित चेहरों को देखोगे।
"सपाट" समस्याओं में, स्पष्ट बिंदुओं और रेखाओं का उल्लेख नहीं करने के लिए, सबसे लोकप्रिय आकृति एक त्रिभुज है। हम इसका बहुत विस्तार से विश्लेषण करेंगे। इसके बाद समांतर चतुर्भुज आता है, और आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, वृत्त, और अन्य आकृतियाँ बहुत कम आम हैं।
स्थानिक कार्यों में, समान सपाट आंकड़े + स्वयं विमान और समानान्तर चतुर्भुज वाले सामान्य त्रिकोणीय पिरामिड उड़ सकते हैं।
प्रश्न दो - क्या आप इस आंकड़े के बारे में सबकुछ जानते हैं?मान लीजिए स्थिति एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में है, और आपको अस्पष्ट रूप से याद है कि यह किस प्रकार का त्रिभुज है। हम एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक खोलते हैं और एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में पढ़ते हैं। क्या करें... डॉक्टर ने कहा समचतुर्भुज, तो समचतुर्भुज। विश्लेषणात्मक ज्यामिति विश्लेषणात्मक ज्यामिति है, लेकिन समस्या आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों को स्वयं हल करने में मदद करेगीस्कूल के पाठ्यक्रम से हमें पता है। यदि आप नहीं जानते कि त्रिभुज के कोणों का योग क्या होता है, तो आप लंबे समय तक पीड़ित रह सकते हैं।
तीसरा. हमेशा ब्लूप्रिंट का पालन करने का प्रयास करें(मसौदे पर / स्वच्छ / मानसिक रूप से), भले ही यह शर्त के लिए आवश्यक न हो। "सपाट" कार्यों में, यूक्लिड ने खुद को एक शासक को हाथ में एक पेंसिल के साथ लेने का आदेश दिया - और न केवल स्थिति को समझने के लिए, बल्कि आत्म-परीक्षण के उद्देश्य से भी। इस मामले में, सबसे सुविधाजनक पैमाना 1 इकाई = 1 सेमी (2 चतुष्कोणीय कोशिकाएं) है। आइए लापरवाह छात्रों और गणितज्ञों की कब्रों में कताई के बारे में बात न करें - ऐसी समस्याओं में गलती करना लगभग असंभव है। स्थानिक कार्यों के लिए, हम एक योजनाबद्ध आरेखण करते हैं, जो स्थिति का विश्लेषण करने में भी मदद करेगा।
एक ड्राइंग या योजनाबद्ध ड्राइंग अक्सर आपको तुरंत समस्या को हल करने का तरीका देखने की अनुमति देती है। बेशक, इसके लिए आपको ज्यामिति की नींव जानने और ज्यामितीय आकृतियों के गुणों में कटौती करने की आवश्यकता है (पिछला पैराग्राफ देखें)।
चौथी. एक समाधान एल्गोरिदम का विकास. कई ज्यामिति की समस्याएं बहु-पास हैं, इसलिए समाधान और उसके डिजाइन को बिंदुओं में तोड़ना बहुत सुविधाजनक है। अक्सर, आपके द्वारा स्थिति को पढ़ने या ड्राइंग को पूरा करने के बाद एल्गोरिथ्म तुरंत दिमाग में आ जाता है। कठिनाइयों के मामले में, हम समस्या के प्रश्न से शुरू करते हैं. उदाहरण के लिए, शर्त के अनुसार "एक सीधी रेखा बनाना आवश्यक है ..."। यहाँ सबसे तार्किक प्रश्न है: "इस रेखा को बनाने के लिए क्या जानना पर्याप्त है?"। मान लीजिए, "हम बिंदु जानते हैं, हमें दिशा वेक्टर जानने की जरूरत है।" हम निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं: "इस दिशा वेक्टर को कैसे खोजें? कहाँ?" वगैरह।
कभी-कभी एक "प्लग" होता है - कार्य हल नहीं होता है और यही वह है। स्टॉपर के कारण निम्न हो सकते हैं:
- प्रारंभिक ज्ञान में एक गंभीर अंतर। दूसरे शब्दों में, आप नहीं जानते या (और) कुछ बहुत ही सरल चीज़ नहीं देखते हैं।
- ज्यामितीय आकृतियों के गुणों की अज्ञानता।
- कार्य कठिन था। हाँ, ऐसा होता है। घंटों भाप लेने और आंसू रूमाल में समेटने का कोई मतलब नहीं है। सलाह के लिए अपने शिक्षक, साथी छात्रों से पूछें या मंच पर एक प्रश्न पूछें। इसके अलावा, इसके कथन को ठोस बनाना बेहतर है - समाधान के उस हिस्से के बारे में जिसे आप नहीं समझते हैं। "समस्या को कैसे हल करें?" अच्छा नहीं लगता... और सबसे बढ़कर, अपनी प्रतिष्ठा के लिए।
चरण पाँच. हम समाधान-जांच, समाधान-जांच, समाधान-जांच-उत्तर देते हैं। कार्य के प्रत्येक आइटम की जांच करना फायदेमंद है किए जाने के तुरंत बाद. इससे आपको त्रुटि का तुरंत पता लगाने में मदद मिलेगी। स्वाभाविक रूप से, कोई भी पूरी समस्या को जल्दी से हल करने से मना नहीं करता है, लेकिन सब कुछ फिर से लिखने का जोखिम होता है (अक्सर कई पृष्ठ)।
यहाँ, शायद, सभी मुख्य विचार हैं कि समस्याओं को हल करते समय निर्देशित किया जाना उचित है।
पाठ के व्यावहारिक भाग को समतल पर ज्यामिति द्वारा दर्शाया गया है। केवल दो उदाहरण होंगे, लेकिन यह पर्याप्त नहीं लगेगा =)
आइए एल्गोरिथम के थ्रेड के माध्यम से चलते हैं जिसकी मैंने अभी-अभी अपने छोटे से वैज्ञानिक कार्य में समीक्षा की है:
उदाहरण 1
एक समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष खोजें।
आइए इसका पता लगाना शुरू करें:
पहला कदम: यह स्पष्ट है कि हम "फ्लैट" समस्या के बारे में बात कर रहे हैं।
दूसरा चरण: समस्या एक समांतर चतुर्भुज के बारे में है। सभी को ऐसी समांतर चतुर्भुज आकृति याद है? मुस्कुराने की जरूरत नहीं है, बहुत से लोग 30-40-50 या उससे अधिक उम्र में शिक्षित होते हैं, इसलिए साधारण तथ्यों को भी स्मृति से मिटाया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा पाठ के उदाहरण संख्या 3 में पाई जाती है सदिशों की रेखीय (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार.
तीसरा कदम: आइए एक चित्र बनाते हैं जिस पर हम तीन ज्ञात शीर्षों को चिन्हित करते हैं। यह मज़ेदार है कि वांछित बिंदु को तुरंत बनाना आसान है: 
निर्माण, बेशक, अच्छा है, लेकिन समाधान को औपचारिक रूप से विश्लेषणात्मक रूप से तैयार किया जाना चाहिए।
चरण चार: एक समाधान एल्गोरिथ्म का विकास। पहली बात जो मन में आती है वह यह है कि एक बिंदु को रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में पाया जा सकता है। उनके समीकरण हमारे लिए अज्ञात हैं, इसलिए हमें इस मुद्दे से निपटना होगा:
1) सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। अंकों से 
इन पक्षों की दिशा वेक्टर खोजें। यह पाठ में माना जाने वाला सबसे सरल कार्य है। डमी के लिए वैक्टर.
टिप्पणी: यह कहना अधिक सही है कि "सीधी रेखा का समीकरण जिसमें पक्ष होता है", लेकिन इसके बाद, संक्षिप्तता के लिए, मैं "पक्ष के समीकरण", "पक्ष के वेक्टर को निर्देशित करना", आदि वाक्यांशों का उपयोग करूंगा।
3) सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। बिंदुओं से हम इन पक्षों की दिशा सदिश पाते हैं।
4) एक बिंदु और एक दिशा सदिश द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें
पैराग्राफ 1-2 और 3-4 में, हमने वास्तव में एक ही समस्या को दो बार हल किया, वैसे, इसका विश्लेषण पाठ के उदाहरण संख्या 3 में किया गया है एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ. एक लंबा रास्ता तय करना संभव था - पहले रेखाओं के समीकरणों को खोजें और उसके बाद ही उनसे दिशा-निर्देशकों को "बाहर निकालें"।
5) अब रेखाओं के समीकरण ज्ञात हैं। यह रैखिक समीकरणों की संगत प्रणाली को बनाने और हल करने के लिए बनी हुई है (उसी पाठ के उदाहरण संख्या 4, 5 देखें) एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ).
बिंदु मिला।
कार्य काफी सरल है और इसका समाधान स्पष्ट है, लेकिन एक छोटा रास्ता है!
हल करने का दूसरा तरीका:
समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा द्विभाजित किया जाता है। मैंने बिंदु को चिह्नित किया, लेकिन ड्राइंग को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने स्वयं विकर्णों को नहीं खींचा।
पक्षों के समीकरण को बिंदुओं से लिखें 
:
मानसिक रूप से या मसौदे पर जाँचने के लिए, परिणामी समीकरण में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। अब चलो ढलान पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम ढलान के साथ समीकरण के रूप में सामान्य समीकरण को फिर से लिखते हैं:
तो ढलान कारक है:
इसी प्रकार, हम भुजाओं के समीकरण ज्ञात करते हैं। मुझे एक ही चीज़ को चित्रित करने में बहुत कुछ नहीं दिखता है, इसलिए मैं तुरंत समाप्त परिणाम दूंगा: 
2) भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। यह पाठ में चर्चा की गई सबसे सरल कार्य है। डमी के लिए वैक्टर. अंक के लिए 
हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
उसी सूत्र का उपयोग करके, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना आसान है। एक नियमित शासक के साथ जाँच बहुत जल्दी की जाती है।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं 
.
आइए वैक्टर खोजें:
इस प्रकार:
वैसे, रास्ते में हमें भुजाओं की लंबाइयाँ मिलीं।
नतीजतन:
ठीक है, यह सच प्रतीत होता है, दृढ़ता के लिए, आप कोने में एक प्रोट्रैक्टर संलग्न कर सकते हैं।
ध्यान! त्रिभुज के कोण को सीधी रेखाओं के बीच के कोण के साथ भ्रमित न करें। एक त्रिभुज का कोण अधिक कोण हो सकता है, लेकिन सीधी रेखाओं के बीच का कोण नहीं है (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ). हालाँकि, उपरोक्त पाठ के सूत्रों का उपयोग त्रिभुज का कोण ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है, लेकिन खुरदरापन यह है कि वे सूत्र हमेशा एक तीव्र कोण देते हैं। उनकी मदद से, मैंने इस समस्या को एक मसौदे पर हल किया और परिणाम प्राप्त किया। और साफ-सुथरी कॉपी पर आपको अतिरिक्त बहाने लिखने होंगे।
4) एक सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
मानक कार्य, पाठ के उदाहरण संख्या 2 में विस्तार से चर्चा की गई एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ. सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से 
दिशा वेक्टर बाहर खींचो। आइए एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 
त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?
5) चलिए ऊंचाई का समीकरण बनाते हैं और हम इसकी लंबाई ज्ञात करेंगे।
सख्त परिभाषाओं से कोई बच नहीं सकता है, इसलिए आपको स्कूल की पाठ्यपुस्तक से चोरी करनी होगी:
त्रिकोण ऊंचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब कहलाता है।
यही है, शीर्ष से किनारे तक खींचे गए लंब के समीकरण को बनाना आवश्यक है। इस कार्य पर पाठ के उदाहरण संख्या 6, 7 में विचार किया गया है एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ. समीकरण से 
सामान्य वेक्टर को हटा दें। हम बिंदु और दिशा सदिश के लिए ऊंचाई समीकरण की रचना करेंगे: 
कृपया ध्यान दें कि हम बिंदु के निर्देशांक नहीं जानते हैं।
कभी-कभी लम्बवत रेखाओं के ढलानों के अनुपात से ऊँचाई का समीकरण पाया जाता है: . इस मामले में, तब:। हम एक बिंदु और एक ढलान के लिए ऊंचाई समीकरण तैयार करेंगे (पाठ की शुरुआत देखें समतल पर सीधी रेखा का समीकरण):
ऊंचाई की लंबाई दो तरह से पाई जा सकती है।
एक घुमावदार रास्ता है:
ए) खोजें - ऊंचाई और पक्ष के चौराहे का बिंदु;
बी) दो ज्ञात बिंदुओं से खंड की लंबाई पाएं।
लेकिन कक्षा में एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँएक बिंदु से एक रेखा की दूरी के लिए एक सुविधाजनक सूत्र पर विचार किया गया। बिंदु ज्ञात है: , रेखा का समीकरण भी ज्ञात है: 
, इस प्रकार:
6) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। अंतरिक्ष में, त्रिभुज के क्षेत्रफल की पारंपरिक रूप से गणना करके गणना की जाती है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद, लेकिन यहाँ समतल में एक त्रिभुज दिया गया है। हम स्कूल फॉर्मूला का उपयोग करते हैं:
किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊँचाई का आधा गुणनफल होता है।
इस मामले में:
त्रिभुज की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?
7) माध्यिका समीकरण की रचना करें।
त्रिभुज माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखण्ड कहलाता है।
ए) एक बिंदु खोजें - पक्ष के मध्य बिंदु। हम उपयोग करते हैं मध्य बिंदु समन्वय सूत्र. खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं: 
, फिर मध्य के निर्देशांक: 
इस प्रकार: 
हम माध्यिका समीकरण को बिंदुओं द्वारा बनाते हैं 
:
समीकरण की जाँच करने के लिए, आपको इसमें बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करना होगा।
8) ऊंचाई और माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। मुझे लगता है कि हर कोई पहले ही सीख चुका है कि बिना गिरे फिगर स्केटिंग के इस तत्व को कैसे करना है: 
