ज्ञान बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और रेखांकनगुणन सारणी को जानने से कम महत्वपूर्ण नहीं है। वे एक नींव की तरह हैं, सब कुछ उन पर आधारित है, सब कुछ उन्हीं से बना है, और सब कुछ उनके पास आता है।

इस लेख में, हम सभी मुख्य प्राथमिक कार्यों को सूचीबद्ध करते हैं, उनके रेखांकन देते हैं और उन्हें बिना व्युत्पत्ति और प्रमाण के देते हैं। बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणयोजना के अनुसार:

• परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर फ़ंक्शन का व्यवहार, लंबवत एसिम्प्टोट्स (यदि आवश्यक हो, तो फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट्स का आलेख वर्गीकरण देखें);
• एकसा और अलग;
• उत्तलता (उत्तलता ऊपर की ओर) और अवतलता (उत्तलता नीचे की ओर) अंतराल, विभक्ति बिंदु (यदि आवश्यक हो, लेख फ़ंक्शन उत्तलता, उत्तलता दिशा, विभक्ति बिंदु, उत्तलता और विभक्ति की स्थिति देखें);
• तिरछा और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख;
• कार्यों के एकवचन बिंदु;
• कुछ कार्यों के विशेष गुण (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सबसे छोटी सकारात्मक अवधि)।

यदि आप रुचि रखते हैं या, तो आप सिद्धांत के इन वर्गों में जा सकते हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यहैं: स्थिरांक फलन (स्थिर), nवें अंश का मूल, शक्ति फलन, घातांक, लघुगणकीय फलन, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन।

पृष्ठ नेविगेशन।

स्थायी कार्य।

सूत्र द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक अचर फलन दिया जाता है, जहाँ C कोई वास्तविक संख्या है। अचर फलन स्वतंत्र चर x के प्रत्येक वास्तविक मान को आश्रित चर y के समान मान - मान प्रदान करता है। अचर फलन को नियतांक भी कहते हैं।

एक स्थिर फलन का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और निर्देशांक (0,C) के साथ एक बिंदु से गुजरती है। उदाहरण के लिए, आइए निरंतर कार्यों y=5 , y=-2 और , के ग्राफ़ दिखाते हैं, जो नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक स्थिर कार्य के गुण।

• परिभाषा का क्षेत्र: वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट।
• स्थिर कार्य सम है।
• मानों की श्रेणी: एकल संख्या C से युक्त सेट।
• एक निरंतर कार्य गैर-बढ़ती और गैर-घटती है (इसीलिए यह स्थिर है)।
• स्थिरांक की उत्तलता और अवतलता के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• कोई असिम्प्टोट नहीं है।
• फलन निर्देशांक तल के बिंदु (0,C) से होकर गुजरता है।

nth डिग्री की जड़।

मूल प्राथमिक फलन पर विचार करें, जो सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है।

nवें अंश का मूल, n एक सम संख्या है।

आइए रूट घातांक n के सम मानों के लिए nवें रूट फ़ंक्शन से प्रारंभ करें।

उदाहरण के लिए, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ की छवियों के साथ एक चित्र देते हैं और, वे काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक समान डिग्री के रूट के कार्यों के ग्राफ़ में संकेतक के अन्य मूल्यों के लिए समान रूप होता है।

सम n के लिए nवीं डिग्री के मूल के गुण।

nवें अंश का मूल, n एक विषम संख्या है।

मूल n के विषम घातांक के साथ nth डिग्री का मूल कार्य वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, हम कार्यों के ग्राफ प्रस्तुत करते हैं और , काले, लाल और नीले रंग के वक्र उनके अनुरूप हैं।

रूट एक्सपोनेंट के अन्य विषम मूल्यों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान स्वरूप होगा।

विषम n के लिए nवें अंश के मूल के गुण।

ऊर्जा समीकरण।

पावर फ़ंक्शन फॉर्म के सूत्र द्वारा दिया जाता है।

घातांक के मान के आधार पर किसी घात फलन के ग्राफ़ के प्रकार और घात फलन के गुणों पर विचार करें।

आइए एक पूर्णांक घातांक a के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के साथ प्रारंभ करें। इस मामले में, शक्ति कार्यों के रेखांकन का रूप और कार्यों के गुण सम या विषम घातांक के साथ-साथ इसके संकेत पर भी निर्भर करते हैं। इसलिए, हम पहले घातांक के विषम सकारात्मक मूल्यों के लिए शक्ति कार्यों पर विचार करते हैं, फिर सकारात्मक लोगों के लिए, फिर विषम नकारात्मक घातांक के लिए, और अंत में, यहां तक ​​​​कि नकारात्मक के लिए भी।

भिन्नात्मक और अपरिमेय घातांक (साथ ही ऐसे घात फलनों के ग्राफ़ के प्रकार) के साथ घात फलन के गुण घातांक a के मान पर निर्भर करते हैं। हम उन पर विचार करेंगे, पहला, जब a शून्य से एक तक हो, दूसरा, जब a एक से बड़ा हो, तीसरा, जब a शून्य से एक से शून्य हो, और चौथा, जब a माइनस एक से कम हो।

इस उपधारा के अंत में, पूर्णता के लिए, हम शून्य घातांक वाले घात फलन का वर्णन करते हैं।

विषम धनात्मक घातांक के साथ शक्ति फलन।

एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात् a=1,3,5,… के साथ।

नीचे दिया गया आंकड़ा बिजली कार्यों के ग्राफ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। ए = 1 के लिए हमारे पास है रैखिक प्रकार्यवाई = एक्स।

विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सकारात्मक घातांक के साथ भी पावर फ़ंक्शन।

एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, जो कि a=2,4,6,… के लिए है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए शक्ति कार्यों के रेखांकन लें - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा। a=2 के लिए हमारे पास एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ है द्विघात परवलय.

एक सकारात्मक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण।

विषम ऋणात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

घातांक के विषम ऋणात्मक मानों के लिए घातांकीय फलन के रेखांकन को देखें, जो कि एक \u003d -1, -3, -5, ... के लिए है।

आंकड़ा उदाहरण के रूप में घातीय कार्यों के ग्राफ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=-1 के लिए हमारे पास है व्युत्क्रम आनुपातिकता, जिसका ग्राफ है अतिशयोक्ति.

विषम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

एक समान नकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

आइए a=-2,-4,-6,… पर घात फलन की ओर बढ़ते हैं।

यह आंकड़ा शक्ति कार्यों के रेखांकन दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा।

एक समान नकारात्मक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण।

एक परिमेय या अपरिमेय घातांक वाला एक घात फलन जिसका मान शून्य से अधिक और एक से कम हो।

टिप्पणी!यदि a विषम हर वाली एक धनात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक अंतराल को घात फलन का प्रांत मानते हैं। उसी समय, यह निर्धारित किया जाता है कि घातांक a एक अपरिमेय अंश है। अब बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम केवल ऐसे ही दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक धनात्मक घातांक वाले घात फलनों के डोमेन को समुच्चय मानेंगे। असहमति से बचने के लिए हम छात्रों को इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक के दृष्टिकोण को प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

परिमेय या अपरिमेय घातांक a , और के साथ एक घात फ़ंक्शन पर विचार करें।

हम a=11/12 (काली रेखा), a=5/7 (लाल रेखा), (नीली रेखा), a=2/5 (हरी रेखा) के लिए पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं।

एक से अधिक गैर-पूर्णांक तर्कसंगत या अपरिमेय घातांक के साथ एक शक्ति कार्य।

एक गैर-पूर्णांक तर्कसंगत या अपरिमेय घातांक a , और के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन पर विचार करें।

आइए हम सूत्रों द्वारा दिए गए शक्ति कार्यों के ग्राफ प्रस्तुत करते हैं (क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाएँ)।

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घातांक a के अन्य मानों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान रूप होगा।

के लिए पावर फ़ंक्शन गुण।

एक वास्तविक घातांक के साथ एक शक्ति कार्य जो शून्य से एक से अधिक और शून्य से कम है।

टिप्पणी!यदि एक विषम हर के साथ एक ऋणात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक अंतराल पर विचार करते हैं . उसी समय, यह निर्धारित किया जाता है कि घातांक a एक अपरिमेय अंश है। अब बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम केवल ऐसे ही दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक वाले घात फलनों के डोमेन को क्रमशः समुच्चय मानेंगे। असहमति से बचने के लिए हम छात्रों को इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक के दृष्टिकोण को प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

हम पावर फंक्शन में जाते हैं, जहां।

के लिए शक्ति कार्यों के ग्राफ़ के प्रकार का एक अच्छा विचार रखने के लिए, हम कार्यों के ग्राफ़ के उदाहरण देते हैं (क्रमशः काला, लाल, नीला और हरा वक्र)।

घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण a , .

एक गैर-पूर्णांक वास्तविक एक्सपोनेंट वाला एक पावर फ़ंक्शन जो शून्य से कम है।

आइए हम के लिए घात फलन के रेखांकन के उदाहरण दें , उन्हें क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाओं में दर्शाया गया है।

माइनस वन से कम गैर-पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाले पावर फ़ंक्शन के गुण।

जब ए = 0 और हमारे पास एक फ़ंक्शन है - यह एक सीधी रेखा है जिसमें से बिंदु (0; 1) को बाहर रखा गया है (व्यंजक 0 0 को कोई महत्व नहीं देने पर सहमति हुई थी)।

घातांक प्रकार्य।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों में से एक घातीय कार्य है।

घातांक फलन का ग्राफ़, जहाँ और आधार के मान के आधार पर भिन्न रूप लेता है a. आइए इसका पता लगाते हैं।

सबसे पहले, उस मामले पर विचार करें जब घातीय फ़ंक्शन का आधार शून्य से एक मान लेता है, अर्थात।

उदाहरण के लिए, हम a = 1/2 - नीली रेखा, a = 5/6 - लाल रेखा के लिए घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं। घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ अंतराल से आधार के अन्य मानों के लिए समान रूप से दिखाई देते हैं।

एक से कम आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

हम मामले की ओर मुड़ते हैं जब घातीय फ़ंक्शन का आधार एक से अधिक होता है, अर्थात।

एक उदाहरण के रूप में, हम घातीय कार्यों के रेखांकन प्रस्तुत करते हैं - नीली रेखा और - लाल रेखा। आधार के अन्य मूल्यों के लिए, एक से अधिक, घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान स्वरूप होगा।

एक से अधिक आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन।

अगला बुनियादी प्राथमिक कार्य लॉगरिदमिक फ़ंक्शन है, जहां,। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन केवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात के लिए।

आधार a के मान के आधार पर लघुगणक फलन का ग्राफ भिन्न रूप लेता है।

समतल पर किसी भी बिंदु का निर्देशांक उसके दो मानों द्वारा निर्धारित किया जाता है: भुज अक्ष और कोटि अक्ष के साथ। ऐसे अनेक बिंदुओं का समुच्चय फलन का आलेख होता है। इसके अनुसार, आप देख सकते हैं कि X के मान में परिवर्तन के आधार पर Y का मान कैसे बदलता है। आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन किस खंड (अंतराल) में बढ़ता है और किसमें घटता है।

अनुदेश

• किसी फ़ंक्शन के बारे में क्या कहा जा सकता है यदि उसका ग्राफ एक सीधी रेखा है? देखें कि क्या यह रेखा निर्देशांक के मूल से होकर गुजरती है (अर्थात, वह स्थान जहाँ X और Y मान 0 हैं)। यदि यह गुजरता है, तो इस तरह के एक फ़ंक्शन को समीकरण y = kx द्वारा वर्णित किया जाता है। यह समझना आसान है कि k का मान जितना अधिक होगा, यह रेखा y-अक्ष के उतनी ही करीब होगी। और Y-अक्ष वास्तव में k के असीम रूप से बड़े मान से मेल खाता है।
• समारोह की दिशा देखें। यदि यह "नीचे बाएँ - ऊपर दाएँ" जाता है, अर्थात, तीसरी और पहली समन्वय तिमाहियों के माध्यम से, यह बढ़ रहा है, लेकिन यदि "शीर्ष बाएँ - दाएँ नीचे" (दूसरी और चौथी तिमाही के माध्यम से), तो यह घट रहा है।
• जब रेखा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, तो इसे समीकरण y = kx + b द्वारा वर्णित किया जाता है। रेखा y-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ y = b है, और y का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
• एक फ़ंक्शन को परवलय कहा जाता है यदि इसे समीकरण y = x^n द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसका रूप n के मान पर निर्भर करता है। यदि n कोई सम संख्या है (सबसे सरल मामला द्विघात फलन y = x^2) है, तो फलन का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला वक्र है, साथ ही निर्देशांक (1; 1), (- 1; 1), एक इकाई के लिए किसी भी शक्ति के लिए एक इकाई रहेगी। किसी भी गैर-शून्य एक्स-मान के अनुरूप सभी वाई-मान केवल सकारात्मक हो सकते हैं। फ़ंक्शन Y अक्ष के बारे में सममित है, और इसका ग्राफ 1 और 2 समन्वय क्वार्टर में स्थित है। यह आसानी से समझा जा सकता है कि n का मान जितना बड़ा होगा, ग्राफ Y अक्ष के उतना ही करीब होगा।
• यदि n एक विषम संख्या है, तो इस फलन का आलेख एक घन परवलय है। वक्र पहली और तीसरी समन्वय तिमाही में स्थित है, वाई अक्ष के बारे में सममित है और मूल के साथ-साथ बिंदुओं (-1; -1), (1; 1) के माध्यम से गुजरता है। जब द्विघात फलन समीकरण y = ax^2 + bx + c होता है, तो परवलय का आकार सरलतम स्थिति (y = x^2) के समान होता है, लेकिन इसका शीर्ष मूल में नहीं होता है।
• एक फ़ंक्शन को हाइपरबोला कहा जाता है यदि इसे समीकरण y = k/x द्वारा वर्णित किया जाता है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि जैसे ही x का मान 0 हो जाता है, y का मान अनंत तक बढ़ जाता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ एक वक्र है जिसमें दो शाखाएँ होती हैं और विभिन्न समन्वय क्वार्टरों में स्थित होती हैं।

यह पद्धति संबंधी सामग्री केवल संदर्भ के लिए है और इसमें विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और सबसे महत्वपूर्ण मुद्दे पर विचार करता है - कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. बुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ को जाने बिना उच्च गणित का अध्ययन करने के दौरान, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के ग्राफ क्या दिखते हैं, कुछ याद रखने के लिए फ़ंक्शन मान। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं सामग्री की पूर्णता और वैज्ञानिक पूर्णता का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले, अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

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और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाया जाए?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें कार्तीय समन्वय प्रणाली:

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम अक्षरों "x" और "y" के साथ कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....समन्वय के लिए विमान डेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम डालते है शून्यऔर कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी-कभी के बजायइकाइयाँ, अन्य मानों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 सेल काम नहीं करेंगे। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और, जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक शासक के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात हो रही है, या स्टेशनरी पर एक संक्षिप्त सिफारिश। आज तक, बिक्री पर अधिकांश नोटबुक, बिना बुरे शब्द कहे, पूर्ण भूत हैं। इस कारण से कि वे गीले हो जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। परीक्षणों के डिजाइन के लिए, मैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट्स, सेल) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रीफिल भी बॉलपॉइंट पेन से काफी बेहतर है, जो या तो स्मीयर करता है या पेपर फाड़ता है। मेरी स्मृति में एकमात्र "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट पेन एरिच क्रूस है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और दृढ़ता से लिखती है - या तो एक पूर्ण तने के साथ, या लगभग खाली के साथ।

इसके साथ ही: विश्लेषणात्मक ज्यामिति की आंखों के माध्यम से एक आयताकार समन्वय प्रणाली की दृष्टि लेख में शामिल है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, निर्देशांक क्वार्टरों के बारे में विस्तृत जानकारी पाठ के दूसरे पैराग्राफ में मिल सकती है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर कठोरता से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया था (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यपूर्ण रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखित)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। मैं अब क्या करुंगा। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय अक्ष उचित डिजाइन के संदर्भ में गलत दिखेंगे। मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक कार्य समीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है सीधे. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम कुछ अन्य बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. इस मामले में, लाइनों के चौराहे के बिंदु के बगल में या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना अत्यधिक अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठी कक्षा क्यों याद है?! ऐसा ही है, शायद ऐसा है, केवल अभ्यास के वर्षों के दौरान मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। द्विघात फलन का आलेख () एक परवलय है। प्रसिद्ध मामले पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का निर्लज्जतापूर्वक उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

इस निर्माण एल्गोरिथ्म को आलंकारिक रूप से "शटल" या "आगे और पीछे" सिद्धांत कहा जा सकता है, जिसमें अनफिसा चेखोवा है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

हाइपरबोला और परवलय पाठ में वक्र का गहन ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

यह एक बड़ी भूल होगी यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, आप ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "खेल" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। यह तथ्य ड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो अतिपरवलय पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित डॉट्स लगाएं और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

इस पैराग्राफ में, मैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि - यह एक अपरिमेय संख्या है: एक ग्राफ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जिसे वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन बिंदु शायद पर्याप्त हैं:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

प्राकृतिक लघुगणक के साथ एक फ़ंक्शन पर विचार करें।
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का प्लॉट समान दिखता है: , , (दशमलव लघुगणक से आधार 10), आदि। उसी समय, आधार जितना बड़ा होगा, चार्ट उतना ही चापलूसी करेगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, कुछ ऐसा जो मुझे याद नहीं है जब मैंने पिछली बार इस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया था। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: एक्सपोनेंशियल फंक्शन और लॉगरिदमिक फंक्शनदो परस्पर प्रतिलोम फलन हैं. यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही ढंग से। साइन से

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

इस लाइन को कहा जाता है sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह फ़ंक्शन है नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, बिल्कुल वही ग्राफ़ का टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।

एक फ़ंक्शन दो सेटों के तत्वों के बीच एक पत्राचार है, जिसे इस तरह के नियम के अनुसार स्थापित किया जाता है कि एक सेट का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट से किसी तत्व से जुड़ा होता है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ विमान में उन बिंदुओं का स्थान है जिनके भुज (x) और निर्देशांक (y) निर्दिष्ट फ़ंक्शन द्वारा जुड़े हुए हैं:

बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित है (या स्थित है) यदि और केवल यदि ।

इस प्रकार, एक फ़ंक्शन को उसके ग्राफ द्वारा पर्याप्त रूप से वर्णित किया जा सकता है।

सारणीबद्ध तरीका। काफी सामान्य, इसमें व्यक्तिगत तर्क मानों और उनके संबंधित फ़ंक्शन मानों की तालिका सेट करना शामिल है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन का डोमेन एक असतत परिमित सेट होता है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, उस फ़ंक्शन के मानों की गणना करना संभव है जो तालिका में शामिल नहीं हैं, तर्क के मध्यवर्ती मूल्यों के अनुरूप। ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप की विधि का उपयोग करें।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सारणीबद्ध तरीके के लाभ यह हैं कि यह अतिरिक्त माप या गणना के बिना, एक ही बार में कुछ विशिष्ट मानों को निर्धारित करना संभव बनाता है। हालांकि, कुछ मामलों में, तालिका फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित नहीं करती है, लेकिन केवल तर्क के कुछ मूल्यों के लिए और तर्क में परिवर्तन के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करती है।

ग्राफिक तरीका। फलन y = f(x) का आलेख तल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का चित्रमय तरीका हमेशा तर्क के संख्यात्मक मानों को सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं बनाता है। हालांकि, अन्य तरीकों - दृश्यता पर इसका एक बड़ा फायदा है। इंजीनियरिंग और भौतिकी में, फ़ंक्शन सेट करने की एक ग्राफिकल विधि अक्सर उपयोग की जाती है, और इसके लिए एक ग्राफ़ ही एकमात्र तरीका उपलब्ध है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफिकल असाइनमेंट को गणितीय दृष्टिकोण से काफी सही होने के लिए, ग्राफ के सटीक ज्यामितीय निर्माण को इंगित करना आवश्यक है, जो कि अक्सर समीकरण द्वारा दिया जाता है। यह किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के निम्नलिखित तरीके की ओर जाता है।

विश्लेषणात्मक तरीका। अक्सर, तर्क और फ़ंक्शन के बीच संबंध स्थापित करने वाला कानून सूत्रों के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के इस तरीके को विश्लेषणात्मक कहा जाता है।

यह विधि तर्क x के प्रत्येक संख्यात्मक मान के लिए फ़ंक्शन y के संगत संख्यात्मक मान को बिल्कुल या कुछ सटीकता के साथ खोजना संभव बनाती है।

यदि x और y के बीच संबंध एक सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसे y के संबंध में हल किया जाता है, अर्थात। का रूप y = f(x) है, तो हम कहते हैं कि x का फलन स्पष्ट रूप से दिया गया है।

यदि मान x और y, F(x,y) = 0 के रूप के किसी समीकरण से संबंधित हैं, अर्थात्। y के संबंध में सूत्र की अनुमति नहीं है, जिसका अर्थ है कि फलन y = f(x) परोक्ष रूप से परिभाषित है।

एक फ़ंक्शन को उसके कार्य क्षेत्र के विभिन्न भागों में विभिन्न सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

कार्यों को परिभाषित करने के लिए विश्लेषणात्मक विधि सबसे आम तरीका है। कॉम्पैक्टनेस, संक्षिप्तता, परिभाषा के क्षेत्र से तर्क के मनमाने मूल्य के लिए फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने की क्षमता, किसी दिए गए फ़ंक्शन पर गणितीय विश्लेषण के तंत्र को लागू करने की क्षमता परिभाषित करने की विश्लेषणात्मक विधि के मुख्य लाभ हैं। समारोह। नुकसान में दृश्यता की कमी शामिल है, जिसकी भरपाई एक ग्राफ बनाने की क्षमता और कभी-कभी बहुत बोझिल गणना करने की आवश्यकता से होती है।

मौखिक तरीका। इस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि कार्यात्मक निर्भरता शब्दों में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण 1: फलन E(x) संख्या x का पूर्णांक भाग है। सामान्य तौर पर, E(x) = [x] सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो x से अधिक नहीं है। दूसरे शब्दों में, यदि x = r + q, जहाँ r एक पूर्णांक है (ऋणात्मक हो सकता है) और q अंतराल = r से संबंधित है। फलन E(x) = [x] अंतराल = r पर स्थिर है।

उदाहरण 2: फलन y = (x) - किसी संख्या का भिन्नात्मक भाग। अधिक सटीक रूप से, y =(x) = x - [x], जहां [x] संख्या x का पूर्णांक भाग है। यह फ़ंक्शन सभी x के लिए परिभाषित है। यदि x एक मनमाना संख्या है, तो इसे x = r + q (r = [x]) के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ r एक पूर्णांक है और q अंतराल में स्थित है।
हम देखते हैं कि x तर्क में n जोड़ने से फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है।
n में सबसे छोटी गैर-शून्य संख्या है, इस प्रकार अवधि sin 2x है।

उस तर्क का मान जिसके लिए फ़ंक्शन 0 के बराबर है, कहलाता है शून्य (जड़) कार्य करता है।

एक फ़ंक्शन में कई शून्य हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x(x+1)(x-3)तीन शून्य हैं: एक्स = 0, एक्स = -1, एक्स = 3.

ज्यामितीय रूप से, किसी फ़ंक्शन का शून्य अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होता है एक्स .

चित्र 7 शून्य के साथ फलन का ग्राफ दिखाता है: x = a, x = b और x = c ।

यदि किसी फलन का आलेख मूल बिन्दु से दूर जाने पर एक निश्चित सीधी रेखा पर अनिश्चित काल तक पहुँचता है, तो यह सीधी रेखा कहलाती है अनंतस्पर्शी.

उलटा काम करना

फ़ंक्शन y=ƒ(x) को परिभाषा D के डोमेन और मानों के सेट E के साथ दिया जाना चाहिए। यदि प्रत्येक मान yєE एक एकल मान xєD से मेल खाता है, तो फ़ंक्शन x=φ(y) के साथ परिभाषित किया गया है परिभाषा ई का डोमेन और मानों का सेट डी (चित्र देखें। 102)।

ऐसे फलन φ(y) को फलन (x) का प्रतिलोम कहा जाता है और इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: x=j(y)=f -1 (y)। फलनों के बारे में y=ƒ(x) तथा x=φ(y) वे कहते हैं कि वे परस्पर प्रतिलोम हैं। फलन x=φ(y) को फलन y=ƒ(x) के विपरीत खोजने के लिए, x (यदि संभव हो) के संबंध में समीकरण ƒ(x)=y को हल करने के लिए पर्याप्त है।

1. फ़ंक्शन y \u003d 2x के लिए, उलटा फ़ंक्शन फ़ंक्शन x \u003d y / 2 है;

2. फ़ंक्शन y \u003d x2 xє के लिए, उलटा फ़ंक्शन x \u003d y है; ध्यान दें कि खंड पर दिए गए फ़ंक्शन y \u003d x 2 के लिए [-1; 1], कोई व्युत्क्रम नहीं है, क्योंकि y का एक मान x के दो मानों से मेल खाता है (उदाहरण के लिए, यदि y=1/4, तो x1=1/2, x2=-1/2)।

प्रतिलोम फलन की परिभाषा से यह पता चलता है कि फलन y=ƒ(x) का व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि फलन (x) समुच्चय D और E के बीच एक-से-एक पत्राचार को परिभाषित करता है। यह इस प्रकार है कि कोई भी सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन का उलटा होता है। इसके अलावा, यदि फ़ंक्शन बढ़ता है (घटता है), तो उलटा फ़ंक्शन भी बढ़ता है (घटता है)।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x) और इसके व्युत्क्रम x \u003d φ (y) को एक ही वक्र द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात उनके रेखांकन मेल खाते हैं। यदि हम सहमत हैं कि, हमेशा की तरह, स्वतंत्र चर (यानी, तर्क) को x द्वारा और आश्रित चर को y द्वारा निरूपित किया जाता है, तो फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x) का व्युत्क्रम कार्य y \u003d के रूप में लिखा जाएगा (एक्स)।

इसका अर्थ है कि वक्र y=ƒ(x) का बिंदु M 1 (x o; y o) वक्र y=φ(x) का बिंदु M 2 (y o; x o) बन जाता है। लेकिन बिंदु M 1 और M 2 सीधी रेखा y \u003d x के बारे में सममित हैं (चित्र 103 देखें)। इसलिए, परस्पर प्रतिलोम फलन y=ƒ(x) और y=φ(x) के ग्राफ पहले और तीसरे निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक के संबंध में सममित हैं।

जटिल कार्य

मान लें कि फ़ंक्शन y=ƒ(u) को सेट D पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन u= (х) सेट D 1 पर, और  x D 1 के लिए संबंधित मान u=φ(x) є D. फिर सेट डी 1 पर परिभाषित फ़ंक्शन u=ƒ(φ(x)) है, जिसे x का एक जटिल कार्य कहा जाता है (या दिए गए कार्यों का एक सुपरपोजिशन, या किसी फ़ंक्शन का फ़ंक्शन)।

चर u=φ(x) को जटिल फलन का मध्यवर्ती तर्क कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, फलन y=sin2x दो कार्यों y=sinu और u=2x का अध्यारोपण है। एक जटिल फ़ंक्शन में कई मध्यवर्ती तर्क हो सकते हैं।

4. बुनियादी प्राथमिक कार्य और उनके रेखांकन।

निम्नलिखित कार्यों को बुनियादी प्राथमिक कार्य कहा जाता है।

1) घातीय कार्य y \u003d a x, a> 0, a 1. अंजीर में। 104 विभिन्न घातांकीय आधारों के संगत घातांकीय फलनों के ग्राफ़ दिखाता है।

2) पावर फंक्शन y=x α , αєR। विभिन्न घातांकों के संगत घात फलनों के रेखांकन के उदाहरण आंकड़ों में दिए गए हैं

3) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y=log a x, a>0,a≠1; विभिन्न आधारों से संबंधित लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ अंजीर में दिखाए गए हैं। 106.

4) त्रिकोणमितीय फलन y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन में अंजीर में दिखाया गया रूप है। 107.

5) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx। अंजीर पर। 108 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन दिखाता है।

एक सूत्र द्वारा दिया गया फलन, एक परिमित संख्या में अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) का उपयोग करते हुए बुनियादी प्राथमिक कार्यों और स्थिरांक से बना होता है और किसी फ़ंक्शन से फ़ंक्शन लेने के संचालन को प्राथमिक फ़ंक्शन कहा जाता है।

प्राथमिक कार्यों के उदाहरण कार्य हैं

गैर-प्राथमिक कार्यों के उदाहरण कार्य हैं

5. एक अनुक्रम और एक फलन की सीमा की अवधारणाएँ। गुण सीमित करें।

कार्य सीमा (कार्य सीमा) किसी दिए गए बिंदु पर, किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के लिए सीमित करना, ऐसा मान है जिस पर विचाराधीन फ़ंक्शन का मान तब जाता है जब उसका तर्क किसी दिए गए बिंदु पर जाता है।

गणित में अनुक्रम सीमामेट्रिक स्पेस या टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्व उसी स्थान का एक तत्व है जिसमें किसी दिए गए अनुक्रम के तत्वों को "आकर्षित" करने का गुण होता है। टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्वों के अनुक्रम की सीमा एक ऐसा बिंदु है, जिसके प्रत्येक पड़ोस में अनुक्रम के सभी तत्व शामिल होते हैं, जो किसी न किसी संख्या से शुरू होते हैं। एक मीट्रिक स्थान में, दूरी फ़ंक्शन के संदर्भ में पड़ोस को परिभाषित किया जाता है, इसलिए एक सीमा की अवधारणा दूरियों की भाषा में तैयार की जाती है। ऐतिहासिक रूप से, पहला एक संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा थी, जो गणितीय विश्लेषण में उत्पन्न होती है, जहां यह अनुमानों की एक प्रणाली के आधार के रूप में कार्य करता है और व्यापक रूप से अंतर और अभिन्न कलन के निर्माण में उपयोग किया जाता है।

पद:

(पढ़ना: x-nवें अनुक्रम की सीमा अनंत की ओर प्रवृत्त होने के रूप में है a)

एक अनुक्रम के गुण जिसकी एक सीमा होती है, कहलाता है अभिसरण: यदि किसी अनुक्रम की एक सीमा है, तो दिए गए अनुक्रम को कहा जाता है अभिसरण; अन्यथा (यदि अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है) अनुक्रम कहा जाता है अलग करना. हॉसडॉर्फ स्पेस में, और विशेष रूप से एक मीट्रिक स्पेस में, एक अभिसरण अनुक्रम के प्रत्येक बाद में अभिसरण होता है, और इसकी सीमा मूल अनुक्रम की सीमा के समान होती है। दूसरे शब्दों में, हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में तत्वों के अनुक्रम की दो अलग-अलग सीमाएँ नहीं हो सकती हैं। हालाँकि, यह पता चल सकता है कि अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है, लेकिन एक अनुक्रम (दिए गए अनुक्रम का) है जिसकी एक सीमा है। यदि किसी स्थान में बिंदुओं के किसी भी क्रम में एक अभिसरण अनुवर्ती होता है, तो दिए गए स्थान को अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस की संपत्ति कहा जाता है (या, बस, कॉम्पैक्टनेस अगर अनुक्रमों के संदर्भ में विशेष रूप से परिभाषित किया जाता है)।

एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा सीधे एक सीमा बिंदु (सेट) की अवधारणा से संबंधित है: यदि एक सेट में एक सीमा बिंदु है, तो दिए गए सेट के तत्वों का एक क्रम है जो दिए गए बिंदु में परिवर्तित होता है।

परिभाषा

एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक अनुक्रम दिया जाए, फिर, यदि कोई तत्व मौजूद है जैसे कि

जहाँ एक खुला समुच्चय होता है, तो इसे अनुक्रम की सीमा कहा जाता है। यदि स्थान मीट्रिक है, तो सीमा को मीट्रिक का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है: यदि कोई तत्व मौजूद है जैसे कि

जहां मीट्रिक है, तो उसे सीमा कहा जाता है।

· यदि कोई स्थान एक असतत टोपोलॉजी से सुसज्जित है, तो अंतरिक्ष का कोई भी तत्व किसी भी अनुक्रम की सीमा होगी।

6. किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा। एकतरफा सीमाएं।

एक चर का कार्य। कॉची के अनुसार किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा ज्ञात करना।संख्या बीफलन की सीमा कहलाती है पर = एफ(एक्स) पर एक्सके लिए प्रयासरत ए(या बिंदु पर ए) यदि किसी धनात्मक संख्या  के लिए एक धनात्मक संख्या हो जिससे सभी x a के लिए ऐसा हो कि | एक्स – ए | < , выполняется неравенство
| एफ(एक्स) – ए | <  .

हाइन के अनुसार किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा ज्ञात करना।संख्या बीफलन की सीमा कहलाती है पर = एफ(एक्स) पर एक्सके लिए प्रयासरत ए(या बिंदु पर ए) यदि किसी क्रम के लिए ( एक्स n ) को परिवर्तित करना ए(आकांक्षी ए, जिसकी एक सीमा संख्या है ए), और किसी भी मूल्य के लिए एन एक्सनहीं ए, बाद में ( आपएन = एफ(एक्स n)) में अभिसरण करता है बी.

ये परिभाषाएँ मानती हैं कि फ़ंक्शन पर = एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है ए, शायद बहुत ही बिंदु को छोड़कर ए.

कॉची के अनुसार और हेन के अनुसार एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषाएं समतुल्य हैं: यदि संख्या बीउनमें से एक में सीमा के रूप में कार्य करता है, तो दूसरे में भी यही सच है।

निर्दिष्ट सीमा निम्नानुसार इंगित की गई है:

ज्यामितीय रूप से, कॉची के अनुसार एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व का अर्थ है कि किसी भी संख्या > 0 के लिए, इस तरह के आयत को निर्देशांक विमान पर आधार 2> 0, ऊंचाई 2 और एक केंद्र के साथ इंगित किया जा सकता है। बिंदु पर ( ए; बी) कि अंतराल पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदु ( ए– ; ए+ ), बिंदु के संभावित अपवाद के साथ एम(ए; एफ(ए)), इस आयत में झूठ बोलें

एकतरफा सीमागणितीय विश्लेषण में, एक संख्यात्मक कार्य की सीमा, एक तरफ से सीमा बिंदु को "पहुंचने" का अर्थ है। ऐसी सीमाएँ क्रमशः कहलाती हैं बाएं हाथ की सीमा(या बाईं सीमा) और दाहिने हाथ की सीमा (दायीं ओर की सीमा) मान लीजिए कि किसी संख्यात्मक समुच्चय पर एक संख्यात्मक फलन दिया गया है और संख्या परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु है। एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की एक तरफा सीमाओं के लिए विभिन्न परिभाषाएँ हैं, लेकिन वे सभी समान हैं।

राष्ट्रीय अनुसंधान विश्वविद्यालय

अनुप्रयुक्त भूविज्ञान विभाग

उच्च गणित पर निबंध

विषय पर: "बुनियादी प्राथमिक कार्य,

उनके गुण और रेखांकन"

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शिक्षक

परिभाषा। सूत्र y=a x (जहाँ a>0, a≠1) द्वारा दिया गया फलन आधार a के साथ एक घातांकीय फलन कहलाता है।

आइए हम घातीय फ़ंक्शन के मुख्य गुण तैयार करें:

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (R) है।

2. मानों की श्रेणी सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (R+) है।

3. जब a > 1, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर फलन बढ़ता है; 0 . पर<а<1 функция убывает.

4. एक सामान्य कार्य है।

, अंतराल पर xн [-3;3]
, अंतराल पर xн [-3;3]

y(х)=х n के रूप का एक फलन, जहाँ n संख्या R है, शक्ति फलन कहलाता है। संख्या n अलग-अलग मान ले सकती है: पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों, सम और विषम दोनों। इसके आधार पर, पावर फ़ंक्शन का एक अलग रूप होगा। विशेष मामलों पर विचार करें जो शक्ति कार्य हैं और निम्न क्रम में इस प्रकार के घटता के मुख्य गुणों को दर्शाते हैं: पावर फ़ंक्शन y \u003d x² (एक समान घातांक वाला एक फ़ंक्शन - एक परवलय), एक पावर फ़ंक्शन y \u003d x³ (एक फ़ंक्शन) एक विषम घातांक के साथ - एक घन परवलय) और फ़ंक्शन y \u003d √ x (x की शक्ति के लिए x) (एक भिन्नात्मक घातांक के साथ कार्य), एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक (हाइपरबोला) वाला फ़ंक्शन।

ऊर्जा समीकरण वाई = एक्स²

1. डी (एक्स) = आर - फ़ंक्शन संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित किया गया है;

2. E(y)= और अंतराल पर बढ़ता है

ऊर्जा समीकरण वाई = एक्स³

1. फ़ंक्शन y \u003d x³ के ग्राफ को घन परवलय कहा जाता है। शक्ति फलन y=x³ में निम्नलिखित गुण हैं:

2. डी (एक्स) = आर - फ़ंक्शन संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित किया गया है;

3. E(y)=(-∞;∞) - फ़ंक्शन परिभाषा के अपने डोमेन में सभी मान लेता है;

4. जब x=0 y=0 - फलन मूल बिंदु O(0;0) से होकर गुजरता है।

5. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता है।

6. फलन विषम है (मूल के परितः सममित)।

, अंतराल पर xн [-3;3]

x³ के सामने संख्यात्मक कारक के आधार पर, फलन स्थिर/सपाट और वृद्धि/कमी हो सकता है।

पूर्णांक ऋणात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन:

यदि घातांक n विषम है, तो ऐसे घात फलन के आलेख को अतिपरवलय कहा जाता है। एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाले घात फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) किसी भी n के लिए;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) यदि n एक विषम संख्या है; E(y)=(0;∞) यदि n एक सम संख्या है;

3. यदि n एक विषम संख्या है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन घटता है; अंतराल (-∞;0) पर फलन बढ़ता है और अंतराल (0;∞) पर घटता है यदि n एक सम संख्या है।

4. यदि n एक विषम संख्या है, तो फलन विषम (मूल के परितः सममित) है; एक फ़ंक्शन तब भी होता है जब n एक सम संख्या होती है।

5. यदि n एक विषम संख्या है तो फलन बिंदुओं (1;1) और (-1;-1) से होकर गुजरता है और यदि n एक सम संख्या है तो बिंदुओं (1;1) और (-1;1) से होकर गुजरता है।

, अंतराल पर xн [-3;3]

भिन्नात्मक घातांक के साथ शक्ति फलन

फॉर्म (चित्र) के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन में चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन का एक ग्राफ होता है। भिन्नात्मक घातांक वाले एक शक्ति फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं: (चित्र)

1. D(x) нR यदि n एक विषम संख्या है और D(x)=
, अंतराल पर xн
, अंतराल पर xн [-3;3]

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y \u003d लॉग a x में निम्नलिखित गुण हैं:

1. परिभाषा का डोमेन D(x)н (0; + )।

2. मूल्यों की सीमा ई (वाई) О (- ∞; + ∞)

3. फलन न तो सम है और न ही विषम (सामान्य)।

4. a > 1 के लिए अंतराल (0; + ) पर फलन बढ़ता है, 0 . के लिए (0; + ) पर घटता है< а < 1.

फलन y = log a x का आलेख रेखा y = x के समरूपता परिवर्तन का उपयोग करते हुए फलन y = a x के आलेख से प्राप्त किया जा सकता है। चित्र 9 में, a > 1 के लिए लघुगणकीय फलन का प्लॉट प्लॉट किया गया है, और चित्र 10 में - 0 के लिए< a < 1.

; अंतराल xО . पर
; अंतराल xО . पर

फ़ंक्शन y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कहलाते हैं।

फ़ंक्शन y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x विषम हैं, और फ़ंक्शन y \u003d cos x सम है।

समारोह y \u003d पाप (x)।

1. परिभाषा का डोमेन डी (एक्स) ОR।

2. मूल्यों की सीमा ई (वाई) [ - 1; एक]।

3. समारोह आवधिक है; मुख्य अवधि 2π है।

4. फलन विषम है।

5. अंतरालों पर फलन बढ़ता है [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] और अंतराल पर घटता है [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Z.

फ़ंक्शन y \u003d sin (x) का ग्राफ चित्र 11 में दिखाया गया है।