फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1) फ़ंक्शन का दायरा खोजें;

2) फ़ंक्शन के असंततता बिंदु और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख (यदि वे मौजूद हैं) का पता लगाएं;

3) अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज और तिरछी स्पर्शोन्मुख खोजें;

4) समरूपता (विषमता) और आवधिकता (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें;

5) फ़ंक्शन की एकरसता के एक्स्ट्रेमा और अंतराल का पता लगाएं;

6) उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल निर्धारित करें;

7) यदि संभव हो तो समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, और कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ को परिष्कृत करते हैं।

फ़ंक्शन का अध्ययन इसके ग्राफ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।

उदाहरण 9फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं।

1. परिभाषा का क्षेत्र: ;

2. फलन बिन्दुओं पर टूटता है
,
;

हम ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

3. हम तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के लिए फलन की जाँच करते हैं।

सीधा
─ तिरछा स्पर्शोन्मुख, अगर
,
.

,
.

सीधा
क्षैतिज स्पर्शोन्मुख।

4. फलन सम है क्योंकि
. फलन की समता y-अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की समरूपता को इंगित करती है।

5. फ़ंक्शन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल का पता लगाएं।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, अर्थात्। ऐसे बिंदु जहां व्युत्पन्न 0 है या मौजूद नहीं है:
;
. हमारे पास तीन अंक हैं
;

. ये बिंदु संपूर्ण वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए संकेतों को परिभाषित करें उनमें से प्रत्येक पर।

अंतराल (-∞; -1) और (-1; 0) पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अंतराल (0; 1) और (1; +∞) पर यह घटता है। एक बिंदु से गुजरते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में संकेत करते हैं, इसलिए, इस बिंदु पर, फ़ंक्शन का अधिकतम होता है
.

6. आइए उत्तल अंतराल, विभक्ति बिंदु खोजें।

आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां 0 है, या मौजूद नहीं है।

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।
,
,

अंक
और
वास्तविक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करें। आइए संकेत को परिभाषित करें हर अंतराल पर।

इस प्रकार, अंतरालों पर वक्र
और
उत्तल नीचे की ओर, अंतराल पर (-1;1) ऊपर की ओर उत्तल; कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि बिंदुओं पर कार्य होता है
और
अनिर्दिष्ट।

7. कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें।

धुरी के साथ
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1), और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है
ग्राफ प्रतिच्छेद नहीं करता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन के अंश का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र 1 फ़ंक्शन का ग्राफ़

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग। समारोह लोच

आर्थिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए, अक्सर कार्य लोच की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा।समारोह लोच
फ़ंक्शन के सापेक्ष वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है चर के सापेक्ष वृद्धि के लिए पर
,। (सातवीं)

किसी फ़ंक्शन की लोच लगभग दर्शाती है कि फ़ंक्शन कितने प्रतिशत बदलेगा
स्वतंत्र चर बदलते समय 1% से।

किसी फ़ंक्शन की लोच का उपयोग मांग और खपत के विश्लेषण में किया जाता है। यदि मांग की लोच (निरपेक्ष मूल्य में)
, तो मांग को लोचदार माना जाता है यदि
तटस्थ अगर
कीमत (या आय) के संबंध में बेलोचदार।

उदाहरण 10किसी फ़ंक्शन की लोच की गणना करें
और के लिए लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए = 3.

समाधान: सूत्र (VII) के अनुसार फ़ंक्शन की लोच:

मान लीजिए x=3 तब
इसका अर्थ है कि यदि स्वतंत्र चर में 1% की वृद्धि होती है, तो आश्रित चर के मान में 1.42% की वृद्धि होगी।

उदाहरण 11मांग को कार्य करने दें कीमत के बारे में रूप है
, कहाँ पे ─ निरंतर गुणांक। x = 3 मांद की कीमत पर मांग फलन के लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए। इकाइयों

समाधान: सूत्र (VII) का उपयोग करके मांग फलन की लोच की गणना करें

यह मानते हुए
मौद्रिक इकाइयाँ, हमें मिलती हैं
. इसका मतलब है कि कीमत पर
मौद्रिक इकाई 1% की कीमत में वृद्धि से मांग में 6% की कमी आएगी, अर्थात। मांग लोचदार है।

फ़ंक्शन का अध्ययन एक स्पष्ट योजना के अनुसार किया जाता है और इसके लिए छात्र को बुनियादी गणितीय अवधारणाओं जैसे कि परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, फ़ंक्शन की निरंतरता, स्पर्शोन्मुख, चरम बिंदु, समता, आवधिकता का ठोस ज्ञान होना आवश्यक है। आदि। छात्र को स्वतंत्र रूप से कार्यों में अंतर करना चाहिए और समीकरणों को हल करना चाहिए, जो कभी-कभी बहुत जटिल होते हैं।

यही है, यह कार्य ज्ञान की एक महत्वपूर्ण परत का परीक्षण करता है, जिसमें कोई भी अंतराल सही समाधान प्राप्त करने में बाधा बन जाएगा। विशेष रूप से अक्सर कार्यों के रेखांकन के निर्माण में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। यह गलती तुरंत शिक्षक की नज़र में आ जाती है और आपके ग्रेड को बहुत खराब कर सकती है, भले ही बाकी सब कुछ सही ढंग से किया गया हो। यहां आप पा सकते हैं ऑनलाइन समारोह के अध्ययन के लिए कार्य: उदाहरण का अध्ययन करें, समाधान डाउनलोड करें, असाइनमेंट ऑर्डर करें।

एक फ़ंक्शन और प्लॉट की जांच करें: उदाहरण और समाधान ऑनलाइन

हमने आपके लिए बहुत सारे तैयार फीचर अध्ययन तैयार किए हैं, दोनों समाधान पुस्तक में भुगतान किए गए हैं, और फीचर रिसर्च उदाहरण अनुभाग में निःशुल्क हैं। इन हल किए गए कार्यों के आधार पर, आप इस तरह के कार्यों को करने की कार्यप्रणाली से विस्तार से परिचित हो सकेंगे, सादृश्य द्वारा, अपना स्वयं का शोध कर सकेंगे।

हम सबसे सामान्य प्रकार के कार्यों के पूर्ण अध्ययन और प्लॉटिंग के तैयार उदाहरण प्रस्तुत करते हैं: बहुपद, भिन्नात्मक-तर्कसंगत, अपरिमेय, घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय कार्य। प्रत्येक हल की गई समस्या चयनित प्रमुख बिंदुओं, स्पर्शोन्मुख, मैक्सिमा और मिनिमा के साथ एक तैयार ग्राफ के साथ होती है, फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिथ्म के अनुसार समाधान किया जाता है।

हल किए गए उदाहरण, किसी भी मामले में, आपके लिए एक अच्छी मदद होंगे, क्योंकि वे सबसे लोकप्रिय प्रकार के कार्यों को कवर करते हैं। हम आपको सैकड़ों पहले से हल की गई समस्याओं की पेशकश करते हैं, लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, दुनिया में अनगिनत गणितीय कार्य हैं, और शिक्षक गरीब छात्रों के लिए अधिक से अधिक जटिल कार्यों का आविष्कार करने में महान विशेषज्ञ हैं। तो, प्रिय छात्रों, योग्य सहायता आपको चोट नहीं पहुंचाएगी।

ऑर्डर करने के लिए किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए समस्याओं को हल करना

इस मामले में, हमारे सहयोगी आपको एक और सेवा प्रदान करेंगे - पूर्ण कार्य अध्ययन ऑनलाइनऑर्डर करने के लिए। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम की सभी आवश्यकताओं के अनुपालन में आपके लिए कार्य पूरा किया जाएगा, जो आपके शिक्षक को बहुत प्रसन्न करेगा।

हम आपके लिए फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन करेंगे: हम परिभाषा के डोमेन और मूल्यों की सीमा पाएंगे, निरंतरता और असंततता की जांच करेंगे, समता सेट करेंगे, आवधिकता के लिए अपने फ़ंक्शन की जांच करेंगे, समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु ढूंढेंगे . और, ज़ाहिर है, आगे अंतर कलन की मदद से: हम स्पर्शोन्मुख पाएंगे, एक्स्ट्रेमा, विभक्ति बिंदुओं की गणना करेंगे, और स्वयं ग्राफ का निर्माण करेंगे।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में संदर्भ बिंदु विशेषता बिंदु हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंततता, चरम, विभक्ति, प्रतिच्छेदन के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस की मदद से, कार्यों में परिवर्तन की विशिष्ट विशेषताओं को स्थापित करना संभव है: वृद्धि और कमी, मैक्सिमा और मिनिमा, ग्राफ की उत्तलता और अवतलता की दिशा, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद फ़ंक्शन ग्राफ़ का एक स्केच (और चाहिए) स्केच किया जा सकता है, और अध्ययन के दौरान फ़ंक्शन के अध्ययन की सारांश तालिका को भरना सुविधाजनक है।

आमतौर पर, फ़ंक्शन अनुसंधान की निम्नलिखित योजना का उपयोग किया जाता है।

1.किसी फ़ंक्शन का डोमेन, निरंतरता अंतराल और विराम बिंदु खोजें.

2.सम या विषम (ग्राफ़ की अक्षीय या केंद्रीय सममिति) के लिए फलन का परीक्षण कीजिए।

3.स्पर्शोन्मुख (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या तिरछा) खोजें।

4.फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल, उसके चरम बिंदुओं का पता लगाएं और उनकी जांच करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, इसके विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए, यदि वे मौजूद हैं।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका संकलित करें।

8.उपरोक्त बिंदुओं के अनुसार किए गए कार्य के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण।समारोह का अन्वेषण करें

और इसे प्लॉट करें।

7. आइए फ़ंक्शन के अध्ययन की एक सारांश तालिका बनाएं, जहां हम सभी विशिष्ट बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को देखते हुए, हमें निम्न तालिका मिलती है:

				चार्ट विशेषताएं
[-1, 0[			की बढ़ती	उत्तल
				(0; 1) - अधिकतम बिंदु
]0, 1[			कम हो जाती है	उत्तल
				विभक्ति बिंदु, अक्ष के साथ बनता है बैलअधिक कोण

एक संपूर्ण अध्ययन करें और एक फलन ग्राफ तैयार करें

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x।

1) समारोह का दायरा। चूँकि फलन एक भिन्न है, आपको हर के शून्य ज्ञात करने होंगे।

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

हम फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से एकमात्र बिंदु x=1x=1 को बाहर करते हैं और प्राप्त करते हैं:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) आइए हम असंततता बिंदु के आस-पास फलन के व्यवहार का अध्ययन करें। एकतरफा सीमाएं खोजें:

चूँकि सीमाएँ अनंत के बराबर हैं, बिंदु x=1x=1 दूसरी तरह का एक असंततता है, रेखा x=1x=1 एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।

3) आइए निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

आइए ऑर्डिनेट अक्ष OyOy के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसके लिए हम x=0x=0 की बराबरी करते हैं:

इस प्रकार, OyOy अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0;8)(0;8) हैं।

आइए एब्सिसा अक्ष ऑक्सऑक्स के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसके लिए हम y=0y=0 सेट करते हैं:

समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए ऑक्सऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

ध्यान दें कि x2+8>0x2+8>0 किसी भी xx के लिए। इसलिए, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) के लिए, फ़ंक्शन y>0y>0 (सकारात्मक मान लेता है, ग्राफ x-अक्ष के ऊपर है), x∈(1;+∞) के लिए )x∈(1; +∞) फ़ंक्शन y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) फलन न तो सम और न ही विषम है क्योंकि:

5) हम आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं। फलन आवर्त नहीं है, क्योंकि यह एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

6) हम चरम सीमाओं और एकरसता के लिए कार्य की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए हम पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें (जिस पर y′=0y′=0):

हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिले: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. हम दिए गए बिंदुओं द्वारा फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को अंतराल में विभाजित करते हैं और प्रत्येक अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) व्युत्पन्न y′ के लिए<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) व्युत्पन्न y′>0y′>0 के लिए, इन अंतरालों पर फलन बढ़ता है।

इस मामले में, x=−2x=−2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (फ़ंक्शन घटता है और फिर बढ़ता है), x=4x=4 एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है (फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है)।

आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान खोजें:

इस प्रकार, न्यूनतम बिंदु (−2;4)(−2;4) है, अधिकतम बिंदु (4;−8)(4;−8) है।

7) हम किंक और उत्तलता के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं। आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

परिणामी समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, जब x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 संतुष्ट होता है, अर्थात जब x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) हम फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच अनंत पर करते हैं, अर्थात पर।

चूँकि सीमाएँ अनंत हैं, इसलिए कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

आइए y=kx+by=kx+b रूप के तिरछे स्पर्शोन्मुख को निर्धारित करने का प्रयास करें। हम ज्ञात सूत्रों के अनुसार k,bk,b के मानों की गणना करते हैं:

हमने पाया कि फलन में एक तिरछी अनंतस्पर्शी y=−x−1y=−x−1 है।

9) अतिरिक्त अंक। आइए कुछ अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें ताकि ग्राफ़ को अधिक सटीक रूप से बनाया जा सके।

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5।

10) प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम एक ग्राफ बनाएंगे, इसे स्पर्शोन्मुख x=1x=1 (नीला), y=−x−1y=−x−1 (हरा) के साथ पूरक करेंगे और विशेषता बिंदुओं (y के साथ प्रतिच्छेदन) को चिह्नित करेंगे। -अक्ष बैंगनी है, एक्स्ट्रेमा नारंगी है, अतिरिक्त बिंदु काले हैं):

कार्य 4: ज्यामितीय, आर्थिक समस्याएं (मुझे नहीं पता कि यहां समाधान और सूत्रों के साथ समस्याओं का अनुमानित चयन है)

उदाहरण 3.23। ए

फेसला। एक्सऔर आप आप
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। चूंकि x = a/4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। xa/4 S "> 0 के लिए, और x>a/4 S" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24।

फेसला।
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

फेसला।चूंकि f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु कर सकते हैं केवल इन बिंदुओं पर हो। इसलिए जब बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते हुए, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस पर हस्ताक्षर करते हैं, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। बिंदुओं में फ़ंक्शन के मानों की गणना करना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का एक्स्ट्रेमा पाते हैं: अधिकतम f(2) = 14 और न्यूनतम f(3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि इसे तीन तरफ से तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ की दीवार को जोड़ दिया जाए। इसके लिए है एग्रिड के रैखिक मीटर। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

फेसला।के माध्यम से साइट के किनारों को निरूपित करें एक्सऔर आप. साइट का क्षेत्रफल S = xy है। रहने दो आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समता 2x + y = a अवश्य धारण करें। इसलिए y = a - 2x और S = x(a - 2x), जहां
0 ≤ x ≤ a/2 (क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। चूंकि x = a/4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। xa/4 S "> 0 के लिए, और x>a/4 S" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24। V=16p 50 m 3 की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक है। इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

फेसला।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2pR(R+H) है। हम बेलन का आयतन जानते हैं V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 । इसलिए, S(R) = 2p(R 2 +16/R)। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस "(आर) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2)। S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8 के लिए, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

इसी तरह की जानकारी।

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फेसला

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चूंकि मुझे सभी फाइलों को एक में मर्ज करने की आवश्यकता थी, इसलिए मैंने पहले सभी दस्तावेज़ फाइलों को एक एकल पीडीएफ फाइल (एक्रोबैट प्रोग्राम का उपयोग करके) में परिवर्तित किया, और फिर इसे ऑनलाइन कनवर्टर के माध्यम से fb2 में स्थानांतरित कर दिया। आप फ़ाइलों को व्यक्तिगत रूप से भी परिवर्तित कर सकते हैं। प्रारूप बिल्कुल कोई भी (स्रोत) और डॉक्टर, और जेपीजी, और यहां तक ​​​​कि ज़िप संग्रह भी हो सकते हैं!

साइट का नाम सार से मेल खाता है :) ऑनलाइन फोटोशॉप।

अपडेट मई 2015

मुझे एक और बढ़िया साइट मिली! पूरी तरह से मनमाना कोलाज बनाने के लिए और भी अधिक सुविधाजनक और कार्यात्मक! यह साइट http://www.fotor.com/ru/collage/ है। स्वास्थ्य पर प्रयोग करें। और मैं खुद इसका इस्तेमाल करूंगा।

बिजली के स्टोव की मरम्मत के साथ जीवन में सामना करना पड़ा। मैंने पहले ही बहुत कुछ किया है, बहुत कुछ सीखा है, लेकिन किसी तरह मेरा टाइल्स से कोई लेना-देना नहीं था। नियामकों और बर्नर पर संपर्कों को बदलना आवश्यक था। सवाल उठा - इलेक्ट्रिक स्टोव पर बर्नर के व्यास का निर्धारण कैसे करें?

जवाब आसान निकला। कुछ भी मापने की आवश्यकता नहीं है, आप शांति से आंख से निर्धारित कर सकते हैं कि आपको किस आकार की आवश्यकता है।

सबसे छोटा बर्नर 145 मिलीमीटर (14.5 सेंटीमीटर) है

मध्यम बर्नर 180 मिलीमीटर (18 सेंटीमीटर) है।

और अंत में सबसे बड़ा बर्नर 225 मिलीमीटर (22.5 सेंटीमीटर) है।

यह आंख से आकार निर्धारित करने और यह समझने के लिए पर्याप्त है कि आपको किस व्यास के बर्नर की आवश्यकता है। जब मुझे यह नहीं पता था, मैं इन आकारों के साथ बढ़ रहा था, मुझे नहीं पता था कि कैसे मापना है, किस किनारे को नेविगेट करना है, आदि। अब मैं समझदार हूँ :) मुझे आशा है कि इससे आपको भी मदद मिली होगी!

मेरे जीवन में मुझे ऐसी समस्या का सामना करना पड़ा। मुझे लगता है कि मैं अकेला नहीं हूं।