एक मनमाना स्थिरांक, या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि, प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरणों और बर्नौली समीकरण को हल करने का एक और तरीका है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण y'+p(x)y=q(x) रूप के समीकरण हैं। यदि दायां पक्ष शून्य है: y'+p(x)y=0, तो यह एक रैखिक है सजातीय 1 क्रम समीकरण। तदनुसार, एक गैर-शून्य दाहिनी ओर वाला समीकरण, y'+p(x)y=q(x), - विजातीयपहले क्रम का रैखिक समीकरण।

मनमाना निरंतर भिन्नता विधि (लैग्रेंज विधि) निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

1) हम सजातीय समीकरण y'+p(x)y=0: y=y* के सामान्य समाधान की तलाश में हैं।

2) सामान्य समाधान में, C को स्थिर नहीं माना जाता है, बल्कि x: C=C(x) का एक फलन माना जाता है। हम सामान्य समाधान (y*)' का अवकलज पाते हैं और परिणामी व्यंजक को y* और (y*)' के लिए प्रारंभिक स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामी समीकरण से, हम फलन (x) पाते हैं।

3) समांगी समीकरण के सामान्य हल में, C के स्थान पर हम प्राप्त व्यंजक C (x) को प्रतिस्थापित करते हैं।

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर उदाहरणों पर विचार करें। आइए उन्हीं कार्यों को करें जैसे कि समाधान के पाठ्यक्रम की तुलना करें और सुनिश्चित करें कि प्राप्त उत्तर समान हैं।

1) y'=3x-y/x

आइए समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखें (बर्नौली पद्धति के विपरीत, जहां हमें केवल यह देखने के लिए संकेतन की आवश्यकता थी कि समीकरण रैखिक है)।

y'+y/x=3x (I). अब हम योजना के अनुसार जा रहे हैं।

1) हम समांगी समीकरण y'+y/x=0 को हल करते हैं। यह एक वियोज्य चर समीकरण है। प्रतिनिधित्व y'=dy/dx, स्थानापन्न: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x। हम समीकरण के दोनों भागों को dx से गुणा करते हैं और xy≠0: dy/y=-dx/x से विभाजित करते हैं। हम एकीकृत करते हैं:

2) समांगी समीकरण के प्राप्त सामान्य हल में, हम С को एक अचर नहीं, बल्कि x: =С(x) के एक फलन पर विचार करेंगे। यहां से

परिणामी अभिव्यक्तियों को स्थिति (I) में प्रतिस्थापित किया जाता है:

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:

यहाँ C पहले से ही कुछ नया स्थिरांक है।

3) सजातीय समीकरण y \u003d C / x के सामान्य समाधान में, जहाँ हमने C \u003d C (x) पर विचार किया, अर्थात y \u003d C (x) / x, C (x) के बजाय हम प्रतिस्थापित करते हैं पाया गया व्यंजक x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x या y=x²+C/x। बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

उत्तर: y=x²+C/x।

2) y'+y=cosx.

यहाँ समीकरण पहले से ही मानक रूप में लिखा हुआ है, परिवर्तित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

1) हम एक समांगी रैखिक समीकरण y'+y=0: dy/dx=-y; डाई/वाई=-डीएक्स. हम एकीकृत करते हैं:

अधिक सुविधाजनक अंकन प्राप्त करने के लिए, हम घातांक को C की घात में एक नए C के रूप में लेंगे:

व्युत्पन्न खोजने के लिए इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए यह परिवर्तन किया गया था।

2) एक रैखिक समांगी समीकरण के प्राप्त सामान्य हल में, हम С को एक अचर नहीं, बल्कि x: =С(x) का एक फलन मानते हैं। इस शर्त के तहत

परिणामी व्यंजक y और y' को इस स्थिति में प्रतिस्थापित किया जाता है:

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकरण-दर-भाग सूत्र का उपयोग करके एकीकृत करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ C अब एक फलन नहीं है, बल्कि एक साधारण नियतांक है।

3) समांगी समीकरण के व्यापक हल में

हम पाए गए फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करते हैं (x):

बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि भी हल करने के लिए लागू होती है।

y'x+y=-xy².

हम समीकरण को मानक रूप में लाते हैं: y'+y/x=-y² (II)।

1) हम समांगी समीकरण y'+y/x=0 को हल करते हैं। डाई/डीएक्स=-वाई/एक्स. समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और y: dy/y=-dx/x से भाग दें। आइए अब एकीकृत करें:

हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को स्थिति (II) में प्रतिस्थापित करते हैं:

सरलीकरण:

हमें C और x के लिए वियोज्य चर के साथ एक समीकरण मिला है:

यहाँ C पहले से ही एक सामान्य नियतांक है। एकीकरण की प्रक्रिया में, सी (एक्स) के बजाय, हमने केवल सी लिखा, ताकि नोटेशन को अधिभारित न किया जा सके। और अंत में हम सी (एक्स) पर लौट आए ताकि सी (एक्स) को नए सी के साथ भ्रमित न करें।

3) हम पाए गए फलन (x) को समांगी समीकरण y=C(x)/x के सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं:

बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

स्व-परीक्षण के उदाहरण:

1. आइए समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखें: y'-2y=x.

1) हम समांगी समीकरण y'-2y=0 को हल करते हैं। y'=dy/dx, इसलिए dy/dx=2y, समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करें, y से विभाजित करें और एकीकृत करें:

यहाँ से हम y पाते हैं:

हम y और y' के लिए व्यंजकों को स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम C (x) के बजाय C और C "(x) के बजाय C" खिलाएंगे:

इंटीग्रल को दाईं ओर खोजने के लिए, हम इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूला का उपयोग करते हैं:

अब हम u, du और v को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

यहाँ सी = स्थिरांक।

3) अब हम सजातीय के समाधान में स्थानापन्न करते हैं

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। (विशेष दाहिनी ओर)।

सामाजिक परिवर्तन। राज्य और चर्च।

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्गीय दृष्टिकोण से निर्धारित होती थी। 10 नवंबर, 1917 के एक डिक्री द्वारा, संपत्ति प्रणाली को समाप्त कर दिया गया था, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया था। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित किया गया है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। मुफ्त शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना (31 अक्टूबर, 1918 का फरमान)। पुरुषों के साथ अधिकारों में महिलाओं की बराबरी की गई (16 और 18 दिसंबर, 1917 के फरमान)। विवाह पर डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 को काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के एक फरमान से, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति को जब्त कर लिया गया था। 19 जनवरी, 1918 को मॉस्को और ऑल रशिया के पैट्रिआर्क तिखोन (5 नवंबर, 1917 को निर्वाचित) ने सोवियत सत्ता को अचेत कर दिया और बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें

इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1.अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान (1) को इस समीकरण के कुछ विशेष समाधान और संबंधित समरूप समीकरण के सामान्य समाधान के योग के रूप में दर्शाया जाता है

प्रमाण. हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि योग

समीकरण (1) का सामान्य हल है। आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि फलन (3) समीकरण (1) का एक हल है।

योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के बजाय पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का एक हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक के बराबर है एफ (एक्स). इसलिए, समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए हम दूसरा अभिकथन सिद्ध करें: व्यंजक (3) is आमसमीकरण का हल (1)। हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमानी स्थिरांक को चुना जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

संख्या जो भी हो एक्स 0, वाई 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया था जहां समारोह एक 1, एक 2और एफ (एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि फॉर्म में प्रतिनिधित्व करना संभव है। फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास है

आइए इस प्रणाली को हल करें और खोजें 1 सेऔर 2 . से. आइए सिस्टम को फिर से लिखें:

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए Wronsky निर्धारक है 1और दो परबिंदु पर एक्स = एक्स 0. चूँकि ये फलन धारणा से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, Wronsky निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए प्रणाली (6) का एक निश्चित समाधान है 1 सेऔर 2 . से, अर्थात। ऐसे मूल्य हैं 1 सेऔर 2 . से, जिसके लिए सूत्र (3) समीकरण (1) का हल निर्धारित करता है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। क्यू.ई.डी.

आइए हम एक अमानवीय समीकरण के विशेष हल खोजने की सामान्य विधि की ओर मुड़ें।

आइए हम समांगी समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

हम अमानवीय समीकरण (1) के एक विशेष समाधान को फॉर्म (7) में देखेंगे, इस पर विचार करते हुए 1 सेऔर 2 . सेसे कुछ के रूप में अभी तक अज्ञात सुविधाओं के रूप में एक्स।

आइए हम समानता (7) में अंतर करें:

हम वांछित कार्यों का चयन करते हैं 1 सेऔर 2 . सेताकि समानता

यदि इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखा जाता है, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेता है

अब इस व्यंजक को अलग करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले दो कोष्ठकों में व्यंजक गायब हो जाते हैं क्योंकि वाई 1और y2सजातीय समीकरण के समाधान हैं। इसलिए, अंतिम समानता रूप लेती है

इस प्रकार, फलन (7) अमानवीय समीकरण (1) का हल होगा यदि फलन 1 सेऔर 2 . सेसमीकरणों (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए हम समीकरणों (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें।

चूंकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है वाई 1और y2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम को हल करने पर, हम दोनों के कुछ निश्चित कार्य पाएंगे एक्स:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं, जहां से, एकीकरण के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं। इसके बाद, हम पाए गए कार्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हम अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं, जहां मनमानी स्थिरांक हैं।

लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा स्थिर गुणांक वाले उच्च क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने की एक विधि पर विचार किया जाता है। लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरणों को हल करने के लिए भी लागू होती है यदि सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात है।

विषय

यह सभी देखें:

लैग्रेंज विधि (स्थिरांक की भिन्नता)

एक मनमाना nवें क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
निरंतर भिन्नता की विधि, जिसे हमने पहले क्रम के समीकरण के लिए माना था, उच्च कोटि के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम दाहिने पक्ष को त्याग देते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। नतीजतन, हम एक समाधान प्राप्त करते हैं जिसमें n मनमाना स्थिरांक होता है। दूसरे चरण में, हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहां स्थिर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार कर रहे हैं, लेकिन लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए भी लागू होती है. हालांकि, इसके लिए सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को जानना आवश्यक है।

चरण 1. समांगी समीकरण का हल

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में, हम पहले समरूप समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं, जो सही अमानवीय भाग को शून्य के बराबर करता है:
(2) .
इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
(3) .
यहाँ मनमाना स्थिरांक हैं; - n सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांक को कार्यों से बदलना

दूसरे चरण में, हम अचरों की भिन्नता पर विचार करेंगे। दूसरे शब्दों में, हम अचरों को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
अर्थात्, हम मूल समीकरण (1) का हल निम्नलिखित रूप में खोज रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n फलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इस मामले में, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं, जिससे आप n फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं। अतिरिक्त समीकरण विभिन्न तरीकों से लिखे जा सकते हैं। लेकिन हम इसे इस तरह से करेंगे कि समाधान का सबसे सरल रूप हो। ऐसा करने के लिए, अंतर करते समय, आपको कार्यों के व्युत्पन्न वाले शून्य शब्दों के बराबर होना चाहिए। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में बदलने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले n ऑर्डर के डेरिवेटिव्स को खोजने की जरूरत है। अंतर (4) योग और उत्पाद को अलग करने के नियमों को लागू करके:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम के डेरिवेटिव के साथ शर्तों को लिखते हैं, और फिर व्युत्पन्न के साथ शर्तों को लिखते हैं:

.
हम कार्यों पर पहली शर्त लगाते हैं:
(5.1) .
तब के संबंध में पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

इसी तरह, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
हम कार्यों पर दूसरी शर्त लगाते हैं:
(5.2) .
फिर
(6.2) .
आदि। अतिरिक्त शर्तों के तहत, हम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव वाले शब्दों को शून्य के बराबर करते हैं।

इस प्रकार, यदि हम कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.के) ,
तो पहले डेरिवेटिव के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.के) .
यहां ।

हम n वां व्युत्पन्न पाते हैं:
(6.एन)
.

हम मूल समीकरण (1) में स्थानापन्न करते हैं:
(1) ;






.
हम ध्यान में रखते हैं कि सभी कार्य समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
फिर युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
(7) .

नतीजतन, हमें डेरिवेटिव के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

इस प्रणाली को हल करने पर, हम x के फलनों के रूप में अवकलजों के व्यंजक पाते हैं। एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
.
यहाँ अचर हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मूल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें कि हमने कभी भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया कि गुणांक a i डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए स्थिर हैं। इसलिए लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती है, यदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली ज्ञात है।

उदाहरण

अचरों की भिन्नता की विधि द्वारा समीकरणों को हल करें (लैग्रेंज)।


उदाहरणों का समाधान > > >

यह सभी देखें: स्थिर परिवर्तन विधि द्वारा प्रथम कोटि के समीकरणों का हल (लैग्रेंज)
बर्नौली विधि द्वारा उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना
रैखिक प्रतिस्थापन द्वारा स्थिर गुणांक के साथ रैखिक अमानवीय उच्च-क्रम अंतर समीकरणों को हल करना

सैद्धांतिक न्यूनतम

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, एक ऐसी विधि है जो इस सिद्धांत के लिए पर्याप्त रूप से उच्च स्तर की सार्वभौमिकता होने का दावा करती है।
हम एक मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि के बारे में बात कर रहे हैं, जो अंतर समीकरणों के विभिन्न वर्गों के समाधान पर लागू होती है और उनके
सिस्टम यह ठीक वैसा ही मामला है जब सिद्धांत - यदि आप कथनों के प्रमाण को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं - न्यूनतम है, लेकिन आपको प्राप्त करने की अनुमति देता है
महत्वपूर्ण परिणाम, इसलिए मुख्य फोकस उदाहरणों पर होगा।

विधि का सामान्य विचार तैयार करना काफी सरल है। दिए गए समीकरण (समीकरणों की प्रणाली) को हल करना मुश्किल या समझ से बाहर होने दें,
इसे कैसे हल करें। हालांकि, यह देखा जा सकता है कि जब कुछ शर्तों को समीकरण से बाहर रखा जाता है, तो इसे हल किया जाता है। फिर वे ऐसे ही एक सरलीकृत हल करते हैं
समीकरण (प्रणाली), एक निश्चित संख्या में मनमाना स्थिरांक युक्त समाधान प्राप्त करें - समीकरण के क्रम के आधार पर (संख्या
सिस्टम में समीकरण)। तब यह माना जाता है कि पाए गए समाधान में स्थिरांक वास्तव में स्थिरांक नहीं हैं, पाया गया समाधान
मूल समीकरण (सिस्टम) में प्रतिस्थापित किया जाता है, "स्थिरांक" निर्धारित करने के लिए एक अंतर समीकरण (या समीकरणों की प्रणाली) प्राप्त की जाती है।
विभिन्न समस्याओं के लिए एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को लागू करने में एक निश्चित विशिष्टता है, लेकिन ये पहले से ही विवरण हैं जो होंगे
उदाहरणों के साथ दिखाया गया है।

आइए हम उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय समीकरणों के हल पर अलग से विचार करें, अर्थात्। फॉर्म के समीकरण
.
एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संगत समरूप समीकरण के सामान्य समाधान और विशेष समाधान का योग होता है
दिया गया समीकरण आइए मान लें कि सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान पहले ही मिल चुका है, अर्थात् समाधान की मौलिक प्रणाली (एफएसआर) का निर्माण किया गया है।
. तब समांगी समीकरण का सामान्य हल है।
अमानवीय समीकरण का कोई विशेष हल खोजना आवश्यक है। इसके लिए अचरों को चर पर निर्भर माना जाता है।
इसके बाद, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है
.
सिद्धांत गारंटी देता है कि कार्यों के व्युत्पन्न के संबंध में बीजीय समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।
कार्यों को स्वयं ढूंढते समय, एकीकरण स्थिरांक प्रकट नहीं होते हैं: आखिरकार, कोई एक समाधान मांगा जाता है।

फॉर्म के पहले क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के मामले में

एल्गोरिथ्म लगभग अपरिवर्तित रहता है। सबसे पहले आपको समीकरणों की इसी सजातीय प्रणाली के एफएसआर को खोजने की जरूरत है, मौलिक मैट्रिक्स की रचना करें
system , जिसके कॉलम FSR के तत्व हैं। अगला, समीकरण
.
प्रणाली को हल करते हुए, हम कार्यों को निर्धारित करते हैं, इस प्रकार मूल प्रणाली के लिए एक विशेष समाधान ढूंढते हैं
(मौलिक मैट्रिक्स को फीचर कॉलम से गुणा किया जाता है)।
हम इसे सजातीय समीकरणों की संबंधित प्रणाली के सामान्य समाधान में जोड़ते हैं, जो पहले से पाए गए एफएसआर के आधार पर बनाया गया है।
मूल प्रणाली का सामान्य समाधान प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण।

उदाहरण 1 पहले क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण.

आइए हम संगत समांगी समीकरण पर विचार करें (हम वांछित फलन को निम्न द्वारा निरूपित करते हैं):
.
चरों को अलग करके इस समीकरण को आसानी से हल किया जा सकता है:

.
अब हम मूल समीकरण के हल को रूप में निरूपित करते हैं , जहां समारोह अभी तक नहीं मिला है।
हम इस प्रकार के समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
.
जैसा कि आप देख सकते हैं, बाईं ओर के दूसरे और तीसरे पद एक दूसरे को रद्द करते हैं - यह एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि की एक विशेषता है।

यहाँ पहले से ही - वास्तव में, एक मनमाना स्थिरांक। इस प्रकार,
.

उदाहरण 2 बर्नौली समीकरण.

हम पहले उदाहरण के समान कार्य करते हैं - हम समीकरण को हल करते हैं

चरों को अलग करने की विधि। यह निकलेगा, इसलिए हम फॉर्म में मूल समीकरण के हल की तलाश कर रहे हैं
.
इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में बदलें:
.
और फिर से कटौती होती है:
.
यहां आपको यह सुनिश्चित करने के लिए याद रखना होगा कि विभाजित करते समय, समाधान खो नहीं जाता है। और मामला मूल के समाधान से मेल खाता है
समीकरण चलो उसे याद करते हैं। इसलिए,
.
चलो लिखते है ।
यही समाधान है। उत्तर लिखते समय, आपको पहले पाए गए समाधान का भी संकेत देना चाहिए, क्योंकि यह किसी अंतिम मान के अनुरूप नहीं है
स्थिरांक।

उदाहरण 3 उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय समीकरण.

हम तुरंत ध्यान दें कि इस समीकरण को और अधिक सरलता से हल किया जा सकता है, लेकिन इस पर विधि दिखाना सुविधाजनक है। हालांकि कुछ फायदे
एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि भी इस उदाहरण में है।
तो, आपको संबंधित सजातीय समीकरण के FSR से शुरू करने की आवश्यकता है। याद रखें कि एफएसआर को खोजने के लिए, विशेषता
समीकरण
.
इस प्रकार, समांगी समीकरण का सामान्य हल
.
यहां शामिल स्थिरांक विविध होने हैं। एक प्रणाली का संकलन

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए अभिप्रेत है जो पहले से ही कमोबेश इस विषय में पारंगत हैं। यदि आप अभी रिमोट कंट्रोल से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, अर्थात। यदि आप एक चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण. और यदि आप पहले से ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वकल्पित धारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि वह सरल है।

किन मामलों में मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है?

1) एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE. चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है, तो अचर (स्थिर) भी एक होता है।

2) कुछ को हल करने के लिए स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण. यहां, दो स्थिरांक (स्थिरांक) भिन्न होते हैं।

यह मान लेना तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे .... इसलिए मैंने यह प्रस्ताव लिखा, और लगभग 10 मिनट के लिए मैं दर्द से सोच रहा था कि व्यावहारिक उदाहरणों के लिए एक आसान संक्रमण के लिए अन्य स्मार्ट बकवास क्या जोड़ना है। लेकिन किसी कारण से, छुट्टियों के बाद कोई विचार नहीं है, हालांकि ऐसा लगता है कि मैंने कुछ भी गाली नहीं दी। तो चलिए सीधे पहले पैराग्राफ में आते हैं।

मनमाना लगातार भिन्नता विधि
एक रैखिक अमानवीय प्रथम-क्रम समीकरण के लिए

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना वांछनीय है पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण. उस पाठ में, हमने अभ्यास किया हल करने का पहला तरीका 1 क्रम का अमानवीय DE। यह पहला उपाय, मैं आपको याद दिलाता हूं, कहा जाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित नहीं होना चाहिए बर्नौली समीकरण!!!)

अब हम विचार करेंगे हल करने का दूसरा तरीका- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपरोक्त पाठ से लूंगा। इतना कम क्यों? क्योंकि वास्तव में दूसरे तरीके से समाधान पहले तरीके से समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

(पाठ के उदाहरण संख्या 2 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

फेसला:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

एक सरल समीकरण को हल करने के लिए पहला कदम है:
यही है, हम मूर्खता से दाईं ओर रीसेट करते हैं - इसके बजाय हम शून्य लिखते हैं।
समीकरण मैं फोन करता हूँ सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (मुझे आशा है) अब आपके लिए कठिन नहीं है:

इस प्रकार:
सहायक समीकरण का सामान्य हल है।

दूसरे चरण पर बदलने केकुछ का स्थिरांक अभी तकअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फलन हो सकता है जिसे हमें अभी खोजना है।

पर मूलअमानवीय समीकरण आइए प्रतिस्थापित करें:

स्थानापन्न और समीकरण में :

नियंत्रण क्षण - बाईं ओर की दो शर्तें रद्द करें. यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। चर को अलग करें और एकीकृत करें।

क्या वरदान है, प्रतिपादक भी सिकुड़ रहे हैं:

हम पाए गए फ़ंक्शन में "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं:

अंतिम चरण में, हम अपने प्रतिस्थापन को याद करते हैं:

फ़ंक्शन अभी मिला!

तो सामान्य समाधान है:

जवाब:सामान्य निर्णय:

यदि आप दो समाधानों का प्रिंट आउट लेते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों ही मामलों में हमने एक ही समाकलन पाया है। समाधान एल्गोरिथ्म में एकमात्र अंतर है।

अब कुछ और जटिल है, मैं दूसरे उदाहरण पर भी टिप्पणी करूंगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
(पाठ के उदाहरण संख्या 8 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

फेसला:हम समीकरण को फॉर्म में लाते हैं :

दाईं ओर को शून्य पर सेट करें और सहायक समीकरण को हल करें:

सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:

स्थानापन्न और मूल अमानवीय समीकरण में:

बाईं ओर की दो शर्तें रद्द हो जाती हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र से एक स्वादिष्ट पत्र पहले से ही समाधान में शामिल है, इसलिए हम उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षर:

आइए अब प्रतिस्थापन को देखें:

जवाब:सामान्य निर्णय:

और आत्म समाधान के लिए एक उदाहरण:

उदाहरण 3

दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।

,
(पाठ 4 उदाहरण से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)
फेसला:
यह DE रैखिक अमानवीय है। हम स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं। आइए सहायक समीकरण को हल करें:

हम चर को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं:

सामान्य निर्णय:
अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

आइए प्रतिस्थापन करते हैं:

तो सामान्य समाधान है:

दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें:

जवाब:निजी समाधान:

पाठ के अंत में समाधान असाइनमेंट को पूरा करने के लिए एक अनुमानित मॉडल के रूप में काम कर सकता है।

मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि
एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम समीकरण के लिए
निरंतर गुणांक के साथ

एक ने अक्सर यह राय सुनी है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि आसान बात नहीं है। लेकिन मैं निम्नलिखित का अनुमान लगाता हूं: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि कई लोगों के लिए कठिन लगती है, क्योंकि यह इतना सामान्य नहीं है। लेकिन वास्तव में, कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी और समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिनी ओर के रूप के अनुसार एक विशेष समाधान का चयन करके दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। दूसरे क्रम का अमानवीय DE. हमें याद है कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है:

चयन विधि, जिसे उपरोक्त पाठ में माना गया था, केवल सीमित मामलों में काम करती है, जब बहुपद, घातांक, साइन, कोसाइन दाईं ओर होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, एक अंश, लघुगणक, स्पर्शरेखा? ऐसी स्थिति में, स्थिरांक की भिन्नता की विधि बचाव में आती है।

उदाहरण 4

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

फेसला:इस समीकरण के दायीं ओर एक भिन्न है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष हल को चुनने की विधि काम नहीं करती है। हम स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

कुछ भी नहीं एक आंधी को चित्रित करता है, समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है:

हमे पता करने दें सामान्य निर्णयसे मिलता जुलता सजातीयसमीकरण:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:


- संयुग्म जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें।

अब हम पहले क्रम समीकरण के समान ही लगभग एक ही चाल करते हैं: हम स्थिरांक बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों के साथ बदलते हैं। अर्थात, अमानवीय का सामान्य समाधानहम फॉर्म में समीकरणों की तलाश करेंगे:

कहाँ - अभी तकअज्ञात कार्य।

यह कूड़े के ढेर जैसा दिखता है, लेकिन अब हम सब कुछ छाँट लेंगे।

कार्यों के व्युत्पन्न अज्ञात के रूप में कार्य करते हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाया गया डेरिवेटिव सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए।

"खेल" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है। हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए डेरिवेटिव खोजें:

बाईं ओर से निपटा। दाईं ओर क्या है?

इस मामले में मूल समीकरण का दाहिना पक्ष है:

गुणांक दूसरे व्युत्पन्न पर गुणांक है:

व्यवहार में, लगभग हमेशा, और हमारा उदाहरण कोई अपवाद नहीं है।

सब कुछ साफ़ हो गया, अब आप एक सिस्टम बना सकते हैं:

सिस्टम आमतौर पर हल हो जाता है क्रैमर के सूत्रों के अनुसारमानक एल्गोरिथ्म का उपयोग करना। फर्क सिर्फ इतना है कि संख्याओं के बजाय हमारे पास कार्य हैं।

सिस्टम के मुख्य निर्धारक खोजें:

यदि आप भूल गए हैं कि "दो बटा दो" निर्धारक कैसे प्रकट होता है, तो पाठ देखें निर्धारक की गणना कैसे करें?लिंक शर्म के बोर्ड की ओर जाता है =)

तो: , इसलिए सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

हम व्युत्पन्न पाते हैं:

लेकिन इतना ही नहीं, अभी तक हमने केवल व्युत्पन्न पाया है।
फ़ंक्शन स्वयं एकीकरण द्वारा पुनर्स्थापित किया जाता है:

आइए दूसरे फ़ंक्शन को देखें:

यहां हम एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं

समाधान के अंतिम चरण में, हम याद करते हैं कि हम किस रूप में अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश कर रहे थे? ऐसे में:

आपको जिन सुविधाओं की आवश्यकता है वे अभी-अभी मिली हैं!

यह प्रतिस्थापन करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

जवाब:सामान्य निर्णय:

सिद्धांत रूप में, उत्तर कोष्ठक खोल सकता है।

उत्तर की पूरी जाँच मानक योजना के अनुसार की जाती है, जिसे पाठ में माना गया था। दूसरे क्रम का अमानवीय DE. लेकिन सत्यापन आसान नहीं होगा, क्योंकि हमें भारी डेरिवेटिव ढूंढना होगा और एक बोझिल प्रतिस्थापन करना होगा। जब आप इस तरह के अंतर को हल कर रहे हों तो यह एक खराब विशेषता है।

उदाहरण 5

स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा अवकल समीकरण को हल करें

यह स्वयं का उदाहरण है। वास्तव में, दायां पक्ष भी एक अंश है। हमें त्रिकोणमितीय सूत्र याद है, वैसे, इसे रास्ते में लागू करने की आवश्यकता होगी।

मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि सबसे सार्वभौमिक विधि है। वे किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं जिसे हल किया जा सकता है दाईं ओर के रूप के अनुसार किसी विशेष समाधान के चयन की विधि. प्रश्न यह उठता है कि क्यों न वहां भी स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का प्रयोग किया जाए? उत्तर स्पष्ट है: एक विशेष समाधान का चयन, जिसे पाठ में माना गया था दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरण, समाधान को महत्वपूर्ण रूप से गति देता है और अंकन को कम करता है - निर्धारकों और इंटीग्रल के साथ कोई खिलवाड़ नहीं।

के साथ दो उदाहरणों पर विचार करें कौची समस्या.

उदाहरण 6

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए

,

फेसला:फिर से, भिन्न और घातांक एक दिलचस्प जगह पर।
हम स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

हमे पता करने दें सामान्य निर्णयसे मिलता जुलता सजातीयसमीकरण:



- विभिन्न वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

अमानवीय का सामान्य समाधानहम इस रूप में समीकरण ढूंढ रहे हैं: , जहां - अभी तकअज्ञात कार्य।

आइए एक सिस्टम बनाएं:

इस मामले में:
,
डेरिवेटिव ढूँढना:
,

इस प्रकार:

हम Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

हम एकीकरण द्वारा फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

यहां इस्तेमाल किया गया किसी फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाने की विधि.

हम एकीकरण द्वारा दूसरे फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

ऐसा अभिन्न हल है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि:

प्रतिस्थापन से ही, हम व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार:

यह अभिन्न पाया जा सकता है पूर्ण वर्ग चयन विधि, लेकिन भिन्न के उदाहरणों में, मैं भिन्न का विस्तार करना पसंद करता/करती हूं अनिश्चित गुणांक की विधि:

दोनों कार्य मिले:

नतीजतन, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो .

तकनीकी रूप से, समाधान की खोज मानक तरीके से की जाती है, जिसकी चर्चा लेख में की गई थी। अमानवीय द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण.

रुको, अब हम पाए गए सामान्य समाधान का व्युत्पन्न पाएंगे:

यहाँ ऐसा अपमान है। इसे सरल करना आवश्यक नहीं है, समीकरणों की एक प्रणाली को तुरंत बनाना आसान है। प्रारंभिक शर्तों के अनुसार :

स्थिरांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें एक सामान्य समाधान में:

उत्तर में, लघुगणक को थोड़ा पैक किया जा सकता है।

जवाब:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिन्न और व्युत्पन्न में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि के एल्गोरिथ्म में नहीं। यह मैं नहीं था जिसने आपको धमकाया था, यह सब कुज़नेत्सोव का संग्रह है!

आराम करने के लिए, अपने दम पर हल करने के लिए एक अंतिम, सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

कौची समस्या का समाधान

,

उदाहरण सरल है, लेकिन रचनात्मक है, जब आप एक प्रणाली बनाते हैं, तो निर्णय लेने से पहले इसे ध्यान से देखें ;-),




नतीजतन, सामान्य समाधान है:

प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें .



हम स्थिरांक के पाए गए मानों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:

जवाब:निजी समाधान: