Konstruksi bagian polihedra

Stereometri kelas 10

Diselesaikan oleh seorang guru matematika

MBOU "Sekolah Menengah Molodkovskaya"

Stepchenko M.A.

Tujuan pelajaran:

Mengembangkan keterampilan dalam memecahkan masalah yang melibatkan konstruksi bagian-bagian tetrahedron dan paralelepiped

“Katakan padaku dan aku akan melupakannya. Tunjukkan padaku dan aku akan mengingatnya..."

Cina Kuno

pepatah

Ini menarik!

Banyak seniman, yang memutarbalikkan hukum perspektif, melukis gambar yang tidak biasa. Omong-omong, gambar-gambar ini sangat populer di kalangan ahli matematika. Di Internet Anda dapat menemukan banyak situs tempat benda-benda mustahil ini dipublikasikan.

Seniman populer Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey dan lainnya mengejutkan para ahli matematika dengan lukisan mereka.

“Ini hanya bisa digambar oleh seseorang yang membuat desain tanpa melihat perspektifnya…”

Jos de Mey

Hukum geometri sering dilanggar dalam permainan komputer.

Menaiki tangga ini, kita tetap berada di lantai yang sama.

A 2 . Jika dua titik berada pada satu garis lurus

berbaring di pesawat, lalu semua titik

garis lurus terletak pada bidang ini.

Geometri: Buku Teks. Untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lainnya - edisi ke-9, sebagaimana telah diubah. – M.: Pencerahan, 2000. – 206 hal.: sakit. – ISBN 5-09-008612-5.

Tidak mungkin ada tangga di sini!

A

“Orang yang jatuh cinta pada praktek tanpa teori ibarat seorang pelaut yang menaiki kapal tanpa kemudi atau kompas sehingga tidak pernah tahu kemana ia berlayar.”

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

Aksioma

planimetri

stereometri

Cirikan posisi relatif titik dan garis

A1. Melalui tiga titik mana pun yang tidak terletak pada garis yang sama, sebuah bidang melewatinya, dan hanya satu yang melewatinya

1. Setiap baris memuat paling sedikit dua titik

A2. Jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut

2. Setidaknya ada tiga titik yang tidak terletak pada satu garis yang sama

3. Sebuah garis lurus melalui dua titik mana saja, dan hanya satu titik.

A3. Jika dua bidang mempunyai suatu titik persekutuan, maka keduanya mempunyai garis persekutuan yang menjadi tempat semua titik persekutuan bidang-bidang tersebut berada.

Konsep dasar geometri adalah “berada di antara”

4. Dari tiga titik pada suatu garis lurus, hanya satu yang terletak di antara dua titik lainnya.

Pesawat (termasuk garis potong) dapat ditentukan Berikutnya jalan

Satu titik persimpangan

Tidak ada titik persimpangan

Dengan menyeberang

adalah pesawat

Dengan menyeberang

adalah sebuah segmen

Memotong pesawat parallelepiped (tetrahedron) adalah setiap bidang di kedua sisinya yang terdapat titik-titik dari suatu parallelepiped (tetrahedron).

Membangun suatu bagian polihedron dengan bidang berarti menunjukkan titik-titik perpotongan bidang potong dengan tepi-tepi polihedron dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan segmen-segmen yang termasuk pada permukaan polihedron.

Untuk membuat bagian polihedron dengan bidang, Anda perlu menunjukkan bidang setiap sisinya 2 titik-titik yang termasuk dalam bagian tersebut, hubungkan dengan garis lurus dan temukan titik potong garis lurus tersebut dengan tepi polihedron.

Panduan referensi metode pemecahan masalah matematika untuk sekolah menengah. Tsypkin A.G., Pinsky A.I./Bawah. Diedit oleh V.I.Blagodatskikh. – M.: Sains. Kantor redaksi utama literatur fisika dan matematika, 1983. – 416 hal.

Memotong pesawat memotong muka tetrahedron (paralelepiped). segmen.

L

Poligon yang sisi-sisinya merupakan segmen-segmen ini disebut persilangan tetrahedron ((paralelepiped).

Memotong pesawat

Bidang pemotongan memotong permukaan tetrahedron sepanjang segmen.

Poligon yang sisi-sisinya merupakan segmen-segmen ini adalah bagian tetrahedron .

Untuk menyelesaikan banyak masalah geometri, perlu untuk menyusunnya bagian pesawat yang berbeda.

Untuk membuat suatu bagian, Anda perlu membuat titik perpotongan bidang potong dengan tepinya dan menghubungkannya dengan segmen.

Hal-hal berikut harus diperhitungkan:

1. Anda hanya dapat menghubungkan dua titik kebohongan

di bidang satu wajah.

2. Sebuah bidang potong memotong permukaan sejajar sepanjang segmen sejajar.

3. Jika hanya satu titik yang ditandai pada bidang muka, yang termasuk dalam bidang penampang, maka harus dibuat titik tambahan. Untuk melakukan ini, perlu mencari titik potong garis-garis yang sudah dibangun dengan garis-garis lain yang terletak pada permukaan yang sama.

Poligon apa yang dapat diperoleh dalam suatu bagian?

Tetrahedron mempunyai 4 muka

Bagiannya mungkin terlihat seperti:

• Segiempat

• segitiga

Paralelepiped memiliki 6 sisi

• Pentagon

• segitiga

Di bagian-bagiannya

mungkin berubah:

• segi enam

• Segiempat

Blitz - survei

• Tugas blitz survey adalah menjawab pertanyaan dan membenarkan jawabannya dengan menggunakan aksioma, teorema dan sifat-sifat bidang sejajar.

Survei kilat.

D 1

DENGAN 1

Percayakah anda garis lurus NK dan BB 1 berpotongan?

A 1

B 1

Survei kilat.

D 1

DENGAN 1

A 1

Apakah kamu percaya itu

langsung NK dan BB 1

memotong?

B 1

Survei kilat.

D 1

DENGAN 1

Apakah Anda yakin bahwa NK langsung dan MR tumpang tindih?

A 1

B 1

Gambarnya punya

kesalahan lain!

Percayakah anda bahwa garis lurus H R dan NK

memotong?

Survei kilat.

DENGAN 1

D 1

A 1

B 1

Gambarnya punya

kesalahan lain!

Apakah garis H R dan A 1 B 1 berpotongan?

Survei kilat.

Apakah garis H R dan C 1 D 1 berpotongan?

D 1

DENGAN 1

A 1

B 1

Apakah mereka berpotongan?

langsung NK dan DC?

Apakah mereka berpotongan?

garis lurus NK dan A D?

Apakah kamu percaya

yang mengarahkan MO dan AC

memotong?

Survei kilat.

Garis lurus MO dan AB berpotongan, karena terletak pada bidang yang sama (A D C). Garis MO dan AB tidak berpotongan karena terletak pada bidang yang berbeda (A D C) dan (A D B) - bidang-bidang ini berpotongan sepanjang garis lurus A D, di mana semua titik persekutuan dari bidang-bidang ini terletak.

Apakah kamu percaya

yang mengarahkan MO dan AB

memotong?

Kemampuan memecahkan masalah adalah seni praktis, seperti berenang atau bermain ski...: Anda dapat mempelajarinya hanya dengan meniru model yang dipilih dan terus berlatih...

D.Polia

Properti

bidang paralel.

Jika dua bidang sejajar

dilintasi yang ketiga,

lalu garis perpotongannya

paralel.

A

B

Properti ini akan membantu kita

saat membangun bagian.

Tugas paling sederhana.

D 1

DENGAN 1

B 1

A 1

Kami menghubungkan 2 titik milik sisi polihedron yang sama dengan segmen. Jika Anda memotong bagian atas piramida, Anda akan mendapatkan piramida terpotong.

Tugas paling sederhana.

Bagian diagonal.

D 1

DENGAN 1

D 1

DENGAN 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Kami menghubungkan 2 titik milik sisi polihedron yang sama dengan segmen. Bagian diagonal.

D 1

DENGAN 1

A 1

B 1

Metode aksiomatik

Metode penelusuran

• Metode penelusuran

Inti dari metode ini adalah membuat garis bantu, yaitu gambar garis perpotongan bidang potong dengan bidang setiap sisi gambar. Cara paling mudah adalah membuat gambar garis perpotongan bidang potong dengan bidang alas bawah. Garis ini disebut jejak bidang potong. Dengan menggunakan jejak, mudah untuk membuat gambar titik-titik bidang potong yang terletak di tepi samping atau tepi suatu gambar.

1. Buatlah bagian-bagian suatu bidang paralelepiped dengan bidang yang melalui titik B 1, M, N

7. Mari kita lanjutkan dengan MN dan BD.

2.Lanjutkan MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Bangunlah bagian polihedron dengan bidang yang melalui titik-titiknya M, R, K, jika K termasuk dalam bidang a.

Solusi untuk opsi 1.

Solusi untuk opsi 2.

Aturan pengendalian diri:

• Bagian atas bagian hanya terletak di bagian tepinya.

• Sisi-sisi bagiannya hanya berada di tepi polihedron.

• Sebuah bidang potong memotong suatu muka atau bidang muka hanya sekali.

Jika Anda ingin belajar berenang, silakan masuk ke dalam air, dan jika Anda ingin belajar memecahkan masalah, selesaikanlah.

(D.Polya)

• Atanasyan L.S., dkk.Geometri 10-11. – M.: Pendidikan, 2008.
• Litvinenko V.N., Polihedra. Masalah dan solusi. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Ujian Negara Terpadu 100 poin. Geometri. Bagian polihedra. – M.: Ujian, 2011.
• Suplemen pendidikan dan metodologis untuk surat kabar “Pertama September” “Matematika”. Fedotova O., Kabakova T. Pelajaran terpadu "Konstruksi bagian-bagian prisma", 9/2010.

• Ziv B.G. Materi didaktik geometri untuk kelas 10. – M., Pendidikan, 1997.
• Edisi elektronik "1C: Sekolah. Matematika, kelas 5-11. Bengkel"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, guru matematika,

Institusi pendidikan kota "Sekolah menengah Insarskaya No. 1",

Insar, Republik Mordovia

Konstruksi bagian polihedra

Dukungan pendidikan dan metodologi: Atanasyan L.S. dan lain-lain Geometri kelas 10-11.

Peralatan dan bahan pelajaran: komputer, proyektor, layar, presentasi pengiring pembelajaran, handout siswa.

Tujuan pelajaran: pendalaman, generalisasi, sistematisasi, konsolidasi pengetahuan yang diperoleh dan perkembangannya di masa depan (pelajari metode penelusuran)

Tujuan pelajaran:

1. Untuk menciptakan motivasi di kalangan anak sekolah untuk mempelajari topik ini.

2. Mengembangkan kemampuan siswa dalam menggunakan pengetahuan dasar untuk memperoleh pengetahuan baru.

3. Mengembangkan pemikiran siswa (kemampuan mengidentifikasi ciri-ciri penting dan membuat generalisasi).

4. Mengembangkan dalam diri siswa keterampilan pendekatan kreatif dalam memecahkan masalah dan keterampilan mengerjakan penelitian pada suatu masalah.

Pengetahuan, kemampuan, keterampilan dan kualitas yang akan dikonsolidasikan siswa selama pembelajaran:

kemampuan menggunakan pengetahuan dasar untuk memperoleh pengetahuan baru;

kemampuan untuk mengidentifikasi ciri-ciri penting dan membuat generalisasi;

keterampilan pendekatan kreatif untuk memecahkan masalah yang melibatkan konstruksi bagian

Rencana belajar:

1. Terbentuknya motivasi anak sekolah untuk mempelajari topik tersebut.

2. Memeriksa pekerjaan rumah. Informasi sejarah.

3. Pengulangan pengetahuan dasar (aksiomatik, metode mendefinisikan bidang).

4. Penerapan ilmu dalam situasi standar.

5. Mempelajari dan memantapkan materi baru: metode penelusuran.

6. Kerja mandiri.

7. Menyimpulkan pelajaran.

8. Pekerjaan rumah.

Selama kelas: SAYA tahap – Percakapan perkenalan.

Memeriksa pekerjaan rumah. (6-7 menit)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

1.Motivasi

Percakapan perkenalan (1 menit)

Guru mendengarkan

2. Memeriksa pekerjaan rumah

Komentar pada pidato singkat siswa

Dengarkan pidato rekan-rekannya, ajukan pertanyaan

II panggung– Memperbarui pengetahuan (10 menit)

(pengulangan materi teori)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

1. Pengulangan aksioma stereometri

2. Pengulangan: posisi relatif garis dan bidang dalam ruang

3. Generalisasi teori

Kesimpulan tentang metode untuk mendefinisikan sebuah bidang

Merekam hasilnya di buku catatan

4. Pengulangan konsep polihedron dan bagian polihedron oleh bidang

Survei Siswa

Jawaban lisan atas pertanyaan guru

AKU AKU AKU panggung– Penerapan pengetahuan dalam situasi standar (6-7 menit)

(bekerja sesuai gambar yang sudah jadi)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

Menyelesaikan masalah yang khas dengan menggunakan gambar yang sudah jadi (setiap siswa diberikan lembar kerja yang berisi kondisi masalah dan gambar untuk membuat bagian).

Solusi bersama dari masalah pertama (komentar rinci tentang langkah-langkah solusi dan mencatat desain di lembar kerja).

Mempelajari kondisi permasalahan, mengerjakan gambar yang sudah jadi, dilanjutkan dengan menganalisis solusi dari slide.

IV panggung–DENGANsifat-sifat bidang sejajar (6 menit)

Bentuk dan metode kerja guru

Jenis kegiatan kemahasiswaan

1. Pengulangan topik “Paralelisme bidang-bidang”.

2. Pemecahan masalah

Mengerjakan slide yang sudah jadi (survei frontal siswa)

Memeriksa kebenaran tugas

Jawaban lisan atas pertanyaan guru

Membangun bagian dalam lembar kerja.

Jawabannya ada di papan.

Tahap V - Akses ke pengetahuan baru: “Metode jejak” (6 menit)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

1. Mempelajari materi baru

2. Konsolidasi materi baru

Penjelasan materi baru. Menampilkan cuplikan pendidikan dari film pendidikan “Bagaimana cara membuat penampang kubus?”

Bekerja dari gambar yang sudah jadi di papan tulis (dengan selanjutnya mengomentari tahapan pembuatan bagian pada slide)

Dengarkan penjelasan guru. Menonton film pendidikan Analisis fragmen video, merekam solusi sampel.

Dua siswa menyelesaikannya di papan tulis, sisanya di lembar kerja

VI panggung - Pekerjaan mandiri (4-5 menit)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

Pekerjaan pendidikan mandiri

Penjelasan pekerjaan yang harus dilakukan.

Memeriksa penyelesaian tugas.

Melakukan pekerjaan mandiri (menggunakan gambar yang sudah jadi).

Tes mandiri menggunakan slide yang sudah jadi.

VII panggung– menyimpulkan pelajaran (4 menit)

Bentuk dan cara kerja

Kegiatan

siswa

1. Menyimpulkan

2. Pekerjaan rumah yang kreatif

Diskusi pasca pembelajaran menggunakan slide

Diproyeksikan ke layar

Jawaban lisan atas pertanyaan guru

Entri dalam buku harian

SELAMA KELAS

Percakapan perkenalan. Informasi sejarah.

Guru: Hallo teman-teman! Topik pelajaran kita adalah “Membangun bagian-bagian polihedra berdasarkan aksiomatik.” Selama pelajaran kita akan merangkum dan mensistematisasikan materi teoritis yang dibahas, dan menerapkannya pada masalah-masalah praktis dalam membangun bagian, mencapai tingkat kesulitan tugas yang baru dan lebih kompleks.

tujuan utamanya pelajaran kita dalam memperdalam, mensistematisasikan, mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dan perkembangan mereka di masa depan.

Sebagai pekerjaan rumah, Anda diminta untuk menulis esai atau pidato singkat tentang sejarah perkembangan geometri, tentang kehidupan para matematikawan besar, tentang penemuan dan teorema mereka yang terkenal. Laporan dan abstraknya ternyata sangat menarik, namun selama pembelajaran kita hanya akan mendengar tiga pidato singkat menjawab pertanyaan: apa yang dipelajari stereometri, bagaimana asal usul dan perkembangannya, dan di mana digunakan?

1 siswa. Konsep stereometri yang dipelajari. (2 menit)

2 siswa. Euclid - pendiri geometri, arsitektur Yunani. (2 menit)

3 siswa. Teori matematika seni lukis. “Rasio Emas” adalah formula tubuh manusia sempurna menurut Leonardo da Vinci. (2 – 3 menit)

DI DALAM stereometri objek matematika yang indah dipelajari. Bentuknya dapat diterapkan dalam seni, arsitektur, dan konstruksi. “Bukan suatu kebetulan jika mereka mengatakan bahwa piramida Cheops adalah risalah diam tentang geometri, dan arsitektur Yunani adalah ekspresi eksternal dari geometri Euclid,” tulis arsitek Corbusier.

Berabad-abad telah berlalu, namun peran geometri tidak berubah. Itu tetap menjadi "tata bahasa arsitek". Bentuk geometris dapat diterapkan dalam seni, arsitektur, dan konstruksi.

Teori matematika tentang seni lukis – Ini adalah teori perspektif, yang mewakili, dalam kata-kata Leonardo da Vinci, “suatu studi dan penemuan paling halus, berdasarkan studi matematika, yang, dengan kekuatan garis, membuat apa yang dekat tampak jauh, dan apa yang terlihat kecil, besar.” Konstruksi struktur teknik yang terjadi pada masa Renaisans menghidupkan kembali dan memperluas teknik gambar proyeksi yang digunakan di dunia kuno. Arsitek dan pematung menghadapi kebutuhan untuk menciptakan doktrin perspektif gambar berdasarkan geometris. Banyak contoh konstruksi gambar perspektif tersedia dalam karya seniman brilian Italia dan ilmuwan terkemuka Leonardo da Vinci. Untuk pertama kalinya, ia berbicara tentang pengurangan skala segmen berbeda yang masuk ke kedalaman gambar, meletakkan dasar untuk perspektif panorama, menunjukkan aturan distribusi bayangan, dan mengungkapkan keyakinan akan keberadaan rumus matematika tertentu untuk keindahan rasio ukuran tubuh manusia - rumus "rasio emas".

Jadi, kita dengan lancar mendekati topik pelajaran kita, dan jembatan ke tahap selanjutnya adalah kata-kata Leonardo da Vinci:

“Orang yang jatuh cinta pada praktek tanpa teori ibarat seorang pelaut yang menaiki kapal tanpa kemudi atau kompas sehingga tidak pernah tahu kemana ia berlayar.”

Pernyataan ini menjelaskan tahap selanjutnya dari pelajaran kita: pengulangan materi teori.

II. Memperbarui pengetahuan (pengulangan materi teori)

2.1. Aksioma stereometri (tabel diserahkan kepada siswa untuk dikerjakan).

a) menjelaskan isi aksioma dan mengilustrasikannya dengan sebuah model;

b) siswa membaca teks aksioma;

c) pelaksanaan gambar;

2.2. Akibat wajar dari aksioma stereometri.

2.3. Posisi relatif garis lurus dan bidang dalam ruang.

a) dua garis (garis sejajar, berpotongan, bersilangan)

b) garis lurus dan bidang (garis lurus terletak pada bidang, memotong bidang, sejajar bidang)

c) dua bidang (bidang-bidang tersebut berpotongan atau sejajar).

Selama percakapan, poin-poin penting dari teori ini disorot:

a) Tanda kesejajaran antara garis dan bidang: Jika sebuah garis yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu sejajar dengan suatu garis yang terletak pada bidang tersebut, maka garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut.

b) Tanda bidang sejajar: Jika dua garis yang berpotongan pada suatu bidang sejajar dengan dua garis yang berpotongan pada bidang yang lain, maka bidang-bidang tersebut sejajar.

Guru: Meringkas semua yang telah dikatakan, kita sampai pada kesimpulan tentang metode mendefinisikan sebuah bidang.

2.5. Konsep polihedra. Bagian.

Polihedron adalah benda yang dibatasi oleh sejumlah bidang yang terbatas. Permukaan polihedron terdiri dari sejumlah poligon yang terbatas.

M
polihedron yang diperoleh dengan memotong polihedron dan bidang disebut persilangan polihedron pada bidang yang ditunjukkan .

AKU AKU AKU. Penerapan pengetahuan dalam situasi standar.

Dengan menggunakan pengetahuan yang diperoleh, kami akan menerapkannya pada konstruksi bagian polihedra berdasarkan aksiomatik.

Contoh dan penyelesaiannya diberikan oleh siswa (di bawah bimbingan guru).

IV. Membangun bagian menggunakan sifat-sifat bidang sejajar.

Guru: Untuk menyelesaikan kelompok soal berikutnya, kita perlu mengulangi sifat-sifat bidang sejajar.

V. Cara untuk mendapatkan pengetahuan baru: “Metode Jejak”.

Menonton film pendidikan.

Edisi elektronik

Penerapan pengetahuan yang diperoleh (siswa memecahkan dua masalah di papan tulis dan kemudian melihat solusi yang benar dan mencatat desainnya).

VI- Pekerjaan mandiri

dilanjutkan dengan saling verifikasi (menggunakan slide dengan solusi yang sudah jadi).

VII. Menyimpulkan pelajaran

1. Hal baru apa yang Anda pelajari dalam pelajaran ini?

2. Bagaimana penampang tetrahedron dibuat?

3. Poligon apa yang dapat menjadi bagian dari tetrahedron?

4. Poligon apa yang dapat diperoleh pada bagian paralelepiped?

5. Apa yang dapat Anda katakan tentang metode penelusuran?

Pekerjaan rumah yang kreatif. Tulislah dua soal untuk membangun bagian polihedra menggunakan pengetahuan yang diperoleh.

Sumber yang digunakan

Prototipe pelajaran ini adalah pelajaran penulis Legkoshur Irina Mikhailovna , perubahan tambahan dan presentasi pelajaran dibuat dengan izinnya pada tahun 2008. Tautan:

Atanasyan L.S. dan lain-lain Geometri kelas 10-11. tutorial.

Edisi elektronik "1C: Sekolah. Matematika, kelas 5-11. Bengkel"

Edisi elektronik" Buku kerja geometri. Panduan untuk pelamar. Kursus lengkap untuk kelas 7-11"

Tugas untuk membangun bagian

Definisi. 1. Bidang potong suatu tetrahedron (paralepiped) adalah setiap bidang yang pada kedua sisinya terdapat titik-titik tetrahedron tertentu (paralepiped). 2. Poligon yang sisi-sisinya merupakan ruas-ruas yang memotong muka suatu tetrahedron (paralepiped) disebut bagian tetrahedron (paralepiped).

Bagian dari tetrahedron dan paralelepiped

A B C S Tugas 1. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik-titik tertentu D, E, K. D E K M F Konstruksi : 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ BC = M 6. KM 1. DE D E K M – bagian wajib

Penjelasan konstruksinya: 1. Hubungkan titik K dan F yang berada pada bidang yang sama A 1 B 1 C 1 D 1. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 2. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik-titik tertentu E, F, K. K L M Konstruksi: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – bagian yang diperlukan F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ IKLAN = M 7 . KN Penjelasan konstruksi: 2. Hubungkan titik F dan E, yang terletak pada bidang yang sama AA 1 B 1 B. Penjelasan konstruksi: 3. Garis FE dan AB, terletak pada bidang yang sama AA 1 B 1 B, berpotongan di titik L . Penjelasan konstruksinya: 4. Kita tarik garis lurus LN sejajar dengan FK (jika bidang potong memotong muka-muka yang berhadapan, maka bidang potong itu memotongnya sepanjang ruas-ruas sejajar). Penjelasan konstruksinya: 5. Garis LN memotong tepi AD di titik M. Penjelasan konstruksinya: 6. Kita menghubungkan titik E dan M yang berada pada bidang yang sama AA 1 D 1 D. Penjelasan konstruksinya: 7. Kami menghubungkan titik K dan N, yang termasuk dalam bidang yang sama ВСС 1 В 1.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 3. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik K, L, M. K L M Konstruksi: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – bagian yang diperlukan F E N P G T 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . Baru 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. hal

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik T, H, M, M∈AB. N T M Konstruksi: 1. NM 1. MT 1. N T Pilih opsi yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah bagian dengan bidang yang melalui titik T, H, M, M∈AB. N T M Konstruksi: 1. NM Komentar: Poin-poin ini dimiliki oleh wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik T, H, M, M∈AB. N T M Konstruksi: 1. M T Komentar: Titik-titik ini dimiliki oleh wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E 2. NT ∩ B C = E Pilihlah yang benar pilihan:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tugas 4. Buatlah suatu penampang dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi : 1. NT 2. NT ∩ BC = E Kembali Komentar : Garis lurus ini berpotongan ! Mereka tidak bisa berpotongan!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi : 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3. SAYA ∩ AA 1 = F 3 . SAYA ∩ BC = F 3 . SAYA ∩ CC 1 = F Pilih opsi yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tugas 4. Buatlah suatu bagian yang bidangnya melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi : 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Kembali Komentar : Garis lurus ini berpotongan! Mereka tidak bisa berpotongan!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tugas 4. Buatlah suatu bagian yang bidangnya melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi : 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ DC = E E Kembali Komentar: Garis lurus ini berpotongan! Mereka tidak bisa berpotongan!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. N F 4. T F 4. MT Pilihlah pilihan yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ ВС = F F 4. Н F Komentar: Titik-titik ini milik wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ ВС = F F 4. MT Komentar: Titik-titik ini milik wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K 5. T F ∩ B 1 B = K Pilihlah pilihan yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K Komentar: Garis lurus ini bersilangan! Mereka tidak bisa berpotongan! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Pilihlah pilihan yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Komentar: Garis lurus ini berpotongan! Mereka tidak bisa berpotongan! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Komentar: Garis lurus ini berpotongan! Mereka tidak bisa berpotongan! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Pilihlah pilihan yang benar:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Komentar: Titik-titik ini milik wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. Komentar LF: Titik-titik ini milik wajah yang berbeda! Kembali

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Soal 4. Buatlah suatu bagian dengan bidang yang melalui titik H, M, T. N T M Konstruksi: 1. NT 2. NT ∩ DC = E E 3 . SAYA ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – bagian yang diperlukan

A B C S Tugas 5. Buatlah suatu penampang dengan bidang yang melalui titik-titik tertentu K, M, P, P∈ABC K M P Konstruksi:

A B C S Tugas 5. Buatlah suatu penampang bidang yang melalui titik-titik tertentu K, M, P, P∈ABC K M R E N F Konstruksi: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . MF 6. N K KM FN – bagian wajib

Terima kasih atas perhatian Anda!

Banyak seniman, yang memutarbalikkan hukum perspektif, melukis gambar yang tidak biasa. Omong-omong, gambar-gambar ini sangat populer di kalangan ahli matematika. Di Internet Anda dapat menemukan banyak situs tempat benda-benda mustahil ini dipublikasikan. Seniman populer Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey dan lain-lain mengejutkan para matematikawan dengan lukisan mereka. Ini menarik!

Jos de Mey “Ini hanya dapat digambar oleh seseorang yang membuat desain tanpa mengetahui perspektifnya...”

“Orang yang jatuh cinta pada praktek tanpa teori ibarat seorang pelaut yang menaiki kapal tanpa kemudi atau kompas sehingga tidak pernah tahu kemana ia berlayar.” Leonardo da Vinci

Membangun suatu bagian polihedron dengan bidang berarti menunjukkan titik-titik perpotongan bidang potong dengan tepi-tepi polihedron dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan segmen-segmen yang termasuk pada permukaan polihedron. Untuk membuat bagian polihedron dengan bidang, Anda perlu menunjukkan pada bidang masing-masing muka 2 titik yang termasuk dalam bagian tersebut, menghubungkannya dengan garis lurus dan mencari titik perpotongan garis lurus ini dengan tepi polihedron. .

AXIOMS ​​stereometri planimetri 1. Setiap garis memuat paling sedikit dua titik 2. Sedikitnya ada tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama 3. Sebuah garis melalui dua titik mana pun, dan hanya satu. Ciri-ciri kedudukan relatif suatu titik dan garis lurus Konsep dasar geometri adalah “terletak di antara” 4. Dari tiga titik suatu garis lurus, hanya satu yang terletak di antara dua titik lainnya. A1. Melalui tiga titik mana pun yang tidak terletak pada garis yang sama, sebuah bidang dilewatkan, apalagi hanya satu A2. Jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut A3. Jika dua bidang mempunyai suatu titik yang sama, maka kedua bidang tersebut mempunyai garis lurus yang sama dimana semua titik persekutuan dari bidang-bidang tersebut terletak.

Dalam hal ini, hal-hal berikut perlu diperhatikan: 1. Anda hanya dapat menghubungkan dua titik yang terletak pada bidang satu sisi. Untuk membuat suatu bagian, Anda perlu membuat titik perpotongan bidang potong dengan tepinya dan menghubungkannya dengan segmen. 2. Sebuah bidang potong memotong permukaan sejajar sepanjang segmen sejajar. 3. Jika hanya satu titik yang ditandai pada bidang muka, yang termasuk dalam bidang penampang, maka harus dibuat titik tambahan. Untuk melakukan ini, perlu mencari titik potong garis-garis yang sudah dibangun dengan garis-garis lain yang terletak pada permukaan yang sama.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Soal paling sederhana D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Bagian diagonal A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Metode Aksiomatik Metode Jejak Inti dari metode ini adalah membuat garis bantu, yaitu bayangan garis perpotongan bidang potong dengan bidang setiap muka bangun tersebut. Cara paling mudah adalah membuat gambar garis perpotongan bidang potong dengan bidang alas bawah. Garis ini disebut jejak bidang potong. Dengan menggunakan jejak, mudah untuk membuat gambar titik-titik pada bidang potong yang terletak di tepi lateral atau permukaan gambar.

A B C D K L M N F G Tariklah garis lurus FO melalui titik F dan O. O Ruas FO merupakan pemotongan muka KLBA dengan bidang potong. Begitu pula dengan segmen FG yang merupakan potongan wajah LMCB. Aksioma Jika dua bidang berbeda mempunyai suatu titik yang sama, maka keduanya berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik tersebut (bahkan kita mempunyai 2 titik). Teorema Jika dua titik suatu garis termasuk dalam suatu bidang, maka seluruh garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut. Mengapa kami yakin telah membuat potongan di bagian tepinya? Buatlah bagian prisma yang melalui titik O, F, G Langkah 1: potong muka KLBA dan LMCB

A B C D K L M N F G Langkah 2 : carilah bekas bidang potong pada bidang alas, tariklah garis lurus AB hingga berpotongan dengan garis lurus FO. O Kita peroleh titik H, yang termasuk dalam bidang potong dan bidang alas. Dengan cara yang sama kita memperoleh titik R. Aksioma Jika dua bidang berbeda mempunyai titik yang sama, maka keduanya berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik tersebut (bahkan kita mempunyai 2 titik). Teorema Jika dua titik suatu garis termasuk dalam suatu bidang, maka seluruh garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut. H R Melalui titik H dan R kita tarik garis lurus HR - jejak bidang potong Mengapa kita yakin bahwa garis lurus HR adalah jejak bidang potong pada bidang alas?

E S A B C D K L M N F G Langkah 3: buat potongan pada sisi lainnya Karena garis lurus HR memotong sisi bawah polihedron, kita mendapatkan titik E di masukan dan titik S di keluaran. O Jadi, ruas ES merupakan potongan muka ABCD. Aksioma Jika dua bidang berbeda mempunyai suatu titik yang sama, maka keduanya berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik tersebut (bahkan kita mempunyai 2 titik). Teorema Jika dua titik suatu garis termasuk dalam suatu bidang, maka seluruh garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut. H R Kami menggambar segmen OE (potongan muka KNDA) dan GS (potongan muka MNDC). Mengapa kita yakin bahwa kita melakukan segalanya dengan benar?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Buatlah bagian-bagian suatu bidang sejajar dengan bidang yang melalui titik B 1, M, N O K E P Aturan 1. MN 2. Lanjutkan MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Lanjutkan MN dan BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3.MN BA=O

Aturan untuk pengendalian diri: Bagian atas bagian terletak hanya di tepinya. Sisi-sisi bagiannya hanya berada di tepi polihedron. Sebuah bidang potong memotong suatu muka atau bidang muka hanya sekali.

44 1. Atanasyan L.S., dkk Geometri - M.: Pencerahan, Litvinenko V.N., Polyhedra. Masalah dan solusi. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Ujian Negara Bersatu 100 poin. Geometri. Bagian polihedra. – M.: Ujian, Suplemen pendidikan dan metodologis untuk surat kabar “Pertama September” “Matematika”. Fedotova O., Kabakova T. Pelajaran terpadu "Konstruksi bagian-bagian prisma", 9/ Ziv B.G. Materi didaktik geometri untuk kelas 10. – M., Pendidikan, Publikasi elektronik “1C: Sekolah. Matematika, kelas 5-11. Bengkel" 7. ml