Lingkaran tertulis dalam segitiga

Keberadaan lingkaran bertuliskan segitiga

Mari kita ingat kembali definisinya garis bagi sudut .

Definisi 1 .Garis bagi sudut disebut sinar yang membagi sudut menjadi dua bagian yang sama besar.

Dalil 1 (Sifat dasar garis bagi sudut) . Setiap titik pada garis bagi sudut berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut (Gbr. 1).

Beras. 1

Bukti D , terletak pada garis bagi sudutBAC , Dan DE Dan DF di sisi sudut (Gbr. 1).Segitiga Siku-siku ADF Dan ADE setara , karena keduanya mempunyai sudut lancip yang sama besarDAF Dan DAE , dan sisi miring IKLAN - umum. Karena itu,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorema 2 (berkonversi dengan Teorema 1) . Jika ada, maka terletak pada garis bagi sudut (Gbr. 2).

Beras. 2

Bukti . Pertimbangkan suatu hal yang sewenang-wenangD , berbaring di dalam sudutBAC dan terletak pada jarak yang sama dari sisi sudut. Mari kita mulai dari intinyaD tegak lurus DE Dan DF di sisi sudut (Gbr. 2).Segitiga Siku-siku ADF Dan ADE setara , karena mereka mempunyai kaki yang samaDF Dan DE , dan sisi miring IKLAN - umum. Karena itu,

Q.E.D.

Definisi 2 . Lingkaran itu disebut lingkaran tertulis di suatu sudut , jika itu adalah sisi sudut ini.

Teorema 3 . Jika sebuah lingkaran terletak pada suatu sudut, maka jarak titik sudut ke titik singgung lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya adalah sama.

Bukti . Biarkan intinya D – pusat lingkaran yang tertulis pada suatu sudutBAC , dan poinnya E Dan F – titik kontak lingkaran dengan sisi-sisi sudut (Gbr. 3).

Gambar.3

A , B , C - sisi segitiga,
 S -persegi,

R – jari-jari lingkaran yang tertulis,
 P – setengah keliling

.

Lihat keluaran rumus

A – sisi lateral segitiga sama kaki , 
 B - basis, R – radius lingkaran tertulis

A R – radius lingkaran tertulis

Lihat keluaran rumus

,

Di mana

,

maka, dalam kasus segitiga sama kaki, kapan

kita mendapatkan

itulah yang diperlukan.

Teorema 7 . Untuk kesetaraan

Di mana A – sisi segitiga sama sisi,R – jari-jari lingkaran tertulis (Gbr. 8).

Beras. 8

Bukti .

,

maka, dalam kasus segitiga sama sisi, kapan

b = sebuah,

kita mendapatkan

itulah yang diperlukan.

Komentar . Sebagai latihan, saya sarankan untuk menurunkan rumus jari-jari lingkaran pada segitiga sama sisi secara langsung, yaitu. tanpa menggunakan rumus umum jari-jari lingkaran pada segitiga sembarang atau segitiga sama kaki.

Teorema 8 . Untuk segitiga siku-siku, persamaan berikut berlaku:

Di mana A , B – kaki segitiga siku-siku, C – sisi miring , R – jari-jari lingkaran yang tertulis.

Bukti . Perhatikan Gambar 9.

Beras. 9

Sejak segi empatCDOF adalah , yang memiliki sisi-sisi yang berdekatanMELAKUKAN Dan DARI sama, maka persegi panjang tersebut adalah . Karena itu,

CB = CF= r,

Berdasarkan Teorema 3, persamaan berikut ini benar:

Oleh karena itu, dengan juga memperhitungkan , kita peroleh

itulah yang diperlukan.

Kumpulan soal dengan topik “Lingkaran pada segitiga”.

1.

Sebuah lingkaran pada segitiga sama kaki membagi salah satu sisi lateral pada titik kontak menjadi dua segmen, yang panjangnya 5 dan 3, dihitung dari titik sudut di seberang alas. Temukan keliling segitiga.

2.

3

Pada segitiga ABC AC=4, BC=3, sudut C adalah 90º. Temukan jari-jari lingkaran yang tertulis.

4.

Kaki-kaki segitiga siku-siku sama kaki adalah 2+. Temukan jari-jari lingkaran pada segitiga ini.

5.

Jari-jari lingkaran pada segitiga siku-siku sama kaki adalah 2. Tentukan sisi miring c dari segitiga tersebut. Harap tunjukkan c(–1) dalam jawaban Anda.

Kami menyajikan sejumlah soal UN Unified State beserta solusinya.

Jari-jari lingkaran pada segitiga siku-siku sama kaki adalah . Temukan sisi miring segitiga ini. Silakan tunjukkan dalam jawaban Anda.

Segitiga tersebut berbentuk persegi panjang dan sama kaki. Artinya kakinya sama. Biarkan setiap kaki sama. Maka sisi miringnya sama.

Luas segitiga ABC ditulis dengan dua cara:

Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan itu. Karena, kami mengerti. Kemudian.

Kami akan menuliskannya sebagai tanggapan.

Menjawab:.

Tugas 2.

1. Dalam keadaan bebas terdapat dua sisi yang berukuran 10cm dan 6cm (AB dan BC). Temukan jari-jari lingkaran yang dibatasi dan yang tertulis
Masalahnya diselesaikan secara mandiri dengan berkomentar.

Larutan:

DI DALAM.

1) Temukan:
2) Buktikan:dan temukan CK
3) Temukan: jari-jari lingkaran berbatas dan bertulis

Larutan:

Tugas 6.

R jari-jari lingkaran pada persegi adalah. Temukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi ini.Diberikan :

Menemukan: OS=?
Larutan: Dalam hal ini, permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras atau rumus R. Kasus kedua akan lebih sederhana, karena rumus R diturunkan dari teorema tersebut.

Tugas 7.

Jari-jari lingkaran pada segitiga siku-siku sama kaki adalah 2. Tentukan sisi miringnyaDengan segitiga ini. Silakan tunjukkan dalam jawaban Anda.

S – luas segitiga

Kita tidak mengetahui sisi-sisi segitiga atau luasnya. Mari kita nyatakan kaki-kakinya sebagai x, maka sisi miringnya akan sama dengan:

Dan luas segitiga tersebut adalah 0,5x 2 .

Cara

Jadi, sisi miringnya akan sama dengan:

Dalam jawaban Anda, Anda perlu menulis:

Jawaban: 4

Tugas 8.

Pada segitiga ABC AC = 4, BC = 3, sudut C sama dengan 90 0. Temukan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Mari kita gunakan rumus jari-jari lingkaran pada segitiga:

dimana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga

S – luas segitiga

Diketahui dua sisi (ini adalah kakinya), kita dapat menghitung sisi ketiga (sisi miring), dan kita juga dapat menghitung luasnya.

Menurut teorema Pythagoras:

Mari kita cari luasnya:

Dengan demikian:

Jawaban 1

Tugas 9.

Sisi-sisi segitiga sama kaki adalah 5 dan alasnya adalah 6. Tentukan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Mari kita gunakan rumus jari-jari lingkaran pada segitiga:

dimana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga

S – luas segitiga

Semua sisinya diketahui, mari kita hitung luasnya. Kita dapat menemukannya menggunakan rumus Heron:

Kemudian

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Perhatikan sebuah lingkaran yang tertulis dalam segitiga (Gbr. 302). Ingatlah bahwa pusatnya O terletak di perpotongan garis bagi sudut dalam segitiga. Ruas OA, OB, OC yang menghubungkan O dengan titik sudut segitiga ABC akan membagi segitiga tersebut menjadi tiga segitiga:

AOV, VOS, SOA. Tinggi masing-masing segitiga ini sama dengan jari-jarinya, sehingga luasnya dinyatakan sebagai

Luas seluruh segitiga S sama dengan jumlah ketiga luas berikut:

dimana adalah setengah keliling segitiga. Dari sini

Jari-jari lingkaran yang tertulis sama dengan perbandingan luas segitiga dengan setengah kelilingnya.

Untuk memperoleh rumus keliling suatu segitiga, kita buktikan proposisi berikut.

Teorema a: Pada segitiga apa pun, sisinya sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi dikalikan sinus sudut dihadapannya.

Bukti. Perhatikan segitiga sembarang ABC dan sebuah lingkaran yang dibatasi di sekitarnya, yang jari-jarinya dilambangkan dengan R (Gbr. 303). Misalkan A adalah sudut lancip segitiga tersebut. Mari kita menggambar jari-jari OB, OS lingkaran dan menjatuhkan garis tegak lurus OK dari pusat O ke sisi BC segitiga. Perhatikan bahwa sudut a suatu segitiga diukur dengan setengah busur BC, dimana sudut BOC adalah sudut pusatnya. Dari sini jelas bahwa. Oleh karena itu, dari segitiga siku-siku RNS kita menemukan , atau , yang perlu kita buktikan.

Gambar yang diberikan. 303 dan alasannya mengacu pada kasus sudut lancip suatu segitiga; Pembuktian kasus sudut siku-siku dan sudut tumpul akan mudah dilakukan (pembaca akan melakukannya sendiri), tetapi Anda dapat menggunakan teorema sinus (218.3). Karena itu pasti dari mana

Teorema sinus juga ditulis. membentuk

dan perbandingan dengan bentuk notasi (218.3) memberikan

Jari-jari lingkaran yang dibatasi sama dengan perbandingan hasil kali ketiga sisi segitiga dengan luas empat kali lipatnya.

Tugas. Tentukan sisi-sisi segitiga sama kaki jika lingkaran dalam dan lingkaran luarnya masing-masing mempunyai jari-jari

Larutan. Mari kita tuliskan rumus yang menyatakan jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga:

Untuk segitiga sama kaki dengan sisi dan alas, luasnya dinyatakan dengan rumus

atau, mengurangi pecahan dengan faktor bukan nol, kita mendapatkan

yang mengarah ke persamaan kuadrat terhadap

Ini memiliki dua solusi:

Menggantikan ekspresinya ke dalam salah satu persamaan untuk atau R, kita akhirnya akan menemukan dua jawaban untuk masalah kita:

Latihan

1. Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku, membagi sisi miring dengan perbandingan. Tentukan perbandingan masing-masing kaki dan sisi miring.

2. Alas trapesium sama kaki yang dibatasi pada lingkaran sama dengan a dan b. Temukan jari-jari lingkaran.

3. Dua lingkaran bersentuhan secara eksternal. Garis singgung persekutuannya condong ke garis pusat dengan sudut 30°. Panjang garis singgung antara titik singgung tersebut adalah 108 cm, tentukan jari-jari lingkaran tersebut.

4. Kaki-kaki segitiga siku-siku sama besar dengan a dan b. Temukan luas segitiga yang sisi-sisinya merupakan tinggi dan median segitiga tertentu yang ditarik dari titik sudut siku-siku, dan ruas sisi miring antara titik potongnya dengan sisi miring.

5. Sisi-sisi segitiga adalah 13, 14, 15. Tentukan proyeksi masing-masing segitiga tersebut terhadap dua segitiga lainnya.

6. Diketahui sisi dan tinggi suatu segitiga Tentukan sisi b dan c.

7. Diketahui dua sisi segitiga dan mediannya.Cari sisi ketiga segitiga tersebut.

8. Diberikan dua sisi suatu segitiga dan sudut a di antara keduanya: Tentukan jari-jari lingkaran bertulis dan lingkaran berbatas.

9. Sisi-sisi segitiga a, b, c diketahui. Di manakah segmen-segmen tersebut dibagi berdasarkan titik-titik kontak lingkaran bertulisan dengan sisi-sisi segitiga?

Belah ketupat adalah jajar genjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, ia mewarisi semua properti jajaran genjang. Yaitu:

• Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
• Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut dalam belah ketupat.

Suatu lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segiempat jika dan hanya jika jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama besar.
Oleh karena itu, sebuah lingkaran dapat ditulisi pada belah ketupat apa pun. Pusat lingkaran bertulisan itu berimpit dengan pusat perpotongan diagonal-diagonal belah ketupat.
Jari-jari lingkaran pada belah ketupat dapat dinyatakan dengan beberapa cara

1 cara. Jari-jari lingkaran bertulisan belah ketupat melalui tingginya

Tinggi belah ketupat sama dengan diameter lingkaran yang tertulis. Ini mengikuti sifat-sifat persegi panjang, yang dibentuk oleh diameter lingkaran yang tertulis dan tinggi belah ketupat - sisi-sisi yang berhadapan pada persegi panjang adalah sama.

Oleh karena itu, rumus jari-jari lingkaran pada belah ketupat ditinjau dari tingginya:

Metode 2. Jari-jari lingkaran tertulis dalam belah ketupat melalui diagonal

Luas belah ketupat dapat dinyatakan dalam jari-jari lingkaran yang tertulis
, Di mana R– keliling belah ketupat. Mengetahui bahwa keliling adalah jumlah semua sisi segi empat, kita punya P= 4×a. Kemudian
Tetapi luas belah ketupat juga sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya
Menyamakan ruas kanan rumus luas, kita mendapatkan persamaan berikut
Hasilnya, kami memperoleh rumus yang memungkinkan kami menghitung jari-jari lingkaran yang tertulis dalam belah ketupat melalui diagonal

Contoh menghitung jari-jari lingkaran pada belah ketupat jika diketahui diagonal-diagonalnya
Hitunglah jari-jari lingkaran pada belah ketupat jika diketahui panjang diagonal-diagonalnya 30 cm dan 40 cm
Membiarkan ABCD-belah ketupat, kalau begitu AC Dan BD diagonalnya. AC= 30 cm ,BD=40cm
Biarkan intinya TENTANG– adalah pusat dari tulisan belah ketupat ABCD lingkaran, maka itu juga akan menjadi titik potong diagonal-diagonalnya, membaginya menjadi dua.


karena diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus, maka berbentuk segitiga AOB persegi panjang. Kemudian, dengan teorema Pythagoras
, gantikan nilai yang diperoleh sebelumnya ke dalam rumus

AB= 25cm
Menerapkan rumus yang diturunkan sebelumnya untuk jari-jari lingkaran yang dibatasi dalam belah ketupat, kita memperoleh

3 cara. Jari-jari lingkaran bertulisan belah ketupat melalui ruas m dan n

Dot F– titik kontak lingkaran dengan sisi belah ketupat, yang membaginya menjadi beberapa bagian A.F. Dan BF. Membiarkan AF=m, BF=n.
Dot HAI– pusat perpotongan diagonal belah ketupat dan pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya.
Segi tiga AOB– persegi panjang, karena diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus.
, Karena adalah jari-jari yang ditarik ke titik singgung lingkaran. Karena itu DARI– tinggi segitiga AOB ke sisi miring. Kemudian A.F. Dan sahabat proyeksi kaki ke sisi miring.
Tinggi segitiga siku-siku, diturunkan ke sisi miring, adalah rata-rata proporsional antara proyeksi kaki ke sisi miring.

Rumus jari-jari lingkaran pada belah ketupat melalui ruas-ruas sama dengan akar kuadrat hasil kali ruas-ruas tersebut, dimana titik singgung lingkaran membagi sisi belah ketupat