Bagaimana menyelesaikan persamaan matriks menggunakan metode Cramer. Metode Cramer: Memecahkan Sistem Persamaan Aljabar Linier (Slau)

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linear. Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian; jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang memiliki solusi unik.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Penentu

diperoleh dengan mengganti koefisien pada yang tidak diketahui yang sesuai dengan istilah bebas:

;

Teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linear dengan orde apa pun.

Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linear:

Berdasarkan Teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi sistem (2):

kalkulator online, metode solusi Cramer.

Tiga kasus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang muncul dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linear memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem konsisten dan tak tentu)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya m persamaan linier dengan n variabel disebut tidak kompatibel jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
-

pengenal sistem. Determinan yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:

Contoh 2

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Kami terus memecahkan sistem menggunakan metode Cramer bersama

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linear juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili beberapa nomor, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menyebabkan masalah untuk menemukan sifat umum dari setiap fenomena dan objek. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien variabel ada huruf. Tidak perlu jauh-jauh mencari contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk soal serupa, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 8 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Biarkan sistem persamaan linier berisi persamaan sebanyak jumlah variabel bebas, mis. memiliki bentuk

Sistem persamaan linier seperti ini disebut kuadrat. Determinan yang tersusun dari koefisien-koefisien variabel bebas sistem (1,5) disebut determinan utama sistem. Kami akan menunjukkannya dengan huruf Yunani D. Jadi,

. (1.6)

Jika dalam determinan utama arbitrer ( j th) kolom, ganti dengan kolom anggota bebas sistem (1.5), maka kita bisa mendapatkan lebih banyak n penentu tambahan:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Aturan Cramer penyelesaian sistem kuadrat dari persamaan linear adalah sebagai berikut. Jika determinan utama D dari sistem (1,5) adalah bukan nol, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, yang dapat ditemukan dengan rumus:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer

Mari kita hitung determinan utama sistem:

Sejak D¹0, sistem memiliki solusi unik yang dapat ditemukan menggunakan rumus (1.8):

Lewat sini,

Tindakan Matriks

1. Perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan. Operasi perkalian matriks dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut.

2. Untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda perlu mengalikan semua elemennya dengan angka ini. Itu adalah

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini diperkenalkan hanya untuk matriks dengan orde yang sama.

Untuk menjumlahkan dua matriks, perlu menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks lain ke elemen-elemen dari satu matriks:

(1.10)
Operasi penjumlahan matriks memiliki sifat-sifat asosiatif dan komutatif.

Contoh 1.7. .

perkalian matriks.

Jika jumlah kolom matriks TETAPI cocok dengan jumlah baris matriks PADA, maka untuk matriks tersebut operasi perkalian diperkenalkan:

Jadi, ketika mengalikan matriks TETAPI ukuran m´ n ke matriks PADA ukuran n´ k kita mendapatkan matriks DARI ukuran m´ k. Dalam hal ini, elemen-elemen matriks DARI dihitung menurut rumus berikut:

Soal 1.8. Temukan, jika mungkin, produk matriks AB dan BA:

Larutan. 1) Untuk mencari pekerjaan AB, Anda membutuhkan baris matriks SEBUAH kalikan dengan kolom matriks B:

2) Karya Seni BA tidak ada, karena jumlah kolom matriks B tidak cocok dengan jumlah baris matriks SEBUAH.

Matriks terbalik. Memecahkan sistem persamaan linear dengan cara matriks

Matriks SEBUAH- 1 disebut invers dari matriks persegi TETAPI jika persamaan berlaku:

melalui mana Saya menunjukkan matriks identitas dengan orde yang sama dengan matriks TETAPI:

Agar matriks persegi memiliki invers, perlu dan cukup bahwa determinannya bukan nol. Matriks terbalik ditemukan dengan rumus:

, (1.13)

di mana Sebuah ij- penambahan aljabar ke elemen aij matriks TETAPI(perhatikan bahwa penambahan aljabar ke baris matriks TETAPI disusun dalam matriks terbalik dalam bentuk kolom yang sesuai).

Contoh 1.9. Temukan matriks terbalik SEBUAH- 1 ke matriks

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus (1.13), yang untuk kasus ini n= 3 terlihat seperti:

Ayo temukan det SEBUAH = | SEBUAH| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Karena determinan matriks asal berbeda dengan nol, maka matriks invers ada.

1) Temukan penambahan aljabar Sebuah ij:

Untuk memudahkan menemukan matriks invers, kami menempatkan penambahan aljabar ke baris matriks asli di kolom yang sesuai.

Dari penambahan aljabar yang diperoleh, kami membuat matriks baru dan membaginya dengan determinan det SEBUAH. Dengan demikian, kita akan mendapatkan matriks terbalik:

Sistem kuadrat dari persamaan linier dengan determinan utama bukan nol dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers. Untuk ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

di mana

Mengalikan kedua sisi persamaan (1,14) di sebelah kiri dengan SEBUAH- 1 , kami mendapatkan solusi dari sistem:

, di mana

Jadi, untuk menemukan solusi sistem kuadrat, Anda perlu mencari matriks invers ke matriks utama sistem dan mengalikannya di sebelah kanan dengan matriks kolom suku bebas.

Soal 1.10. Memecahkan sistem persamaan linear

menggunakan matriks terbalik.

Larutan. Kami menulis sistem dalam bentuk matriks: ,

di mana adalah matriks utama sistem, adalah kolom yang tidak diketahui, dan merupakan kolom anggota bebas. Karena penentu utama sistem , maka matriks utama sistem TETAPI memiliki matriks terbalik TETAPI-satu . Untuk menemukan matriks terbalik TETAPI-1 , hitung komplemen aljabar untuk semua elemen matriks TETAPI:

Dari angka yang diperoleh, kami menyusun matriks (selain itu, penambahan aljabar ke baris matriks TETAPI tulis di kolom yang sesuai) dan bagi dengan determinan D. Jadi, kami telah menemukan matriks terbalik:

Solusi dari sistem ditemukan dengan rumus (1.15):

Lewat sini,

Memecahkan Sistem Persamaan Linier dengan Pengecualian Jordan Biasa

Biarkan sistem persamaan linier arbitrer (tidak harus persegi) diberikan:

(1.16)

Hal ini diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem, yaitu. seperangkat variabel yang memenuhi semua persamaan sistem (1.16). Dalam kasus umum, sistem (1.16) dapat memiliki tidak hanya satu solusi, tetapi juga sejumlah solusi yang tak terbatas. Mungkin juga tidak memiliki solusi sama sekali.

Saat memecahkan masalah seperti itu, metode menghilangkan yang tidak diketahui, yang terkenal dari kursus sekolah, digunakan, yang juga disebut metode eliminasi Jordan biasa. Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lain. Kemudian variabel ini disubstitusikan ke persamaan lain dari sistem. Hasilnya adalah sistem yang berisi satu persamaan dan satu variabel lebih sedikit dari sistem aslinya. Persamaan dari mana variabel itu diekspresikan diingat.

Proses ini diulang sampai satu persamaan terakhir tetap dalam sistem. Dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, beberapa persamaan dapat berubah menjadi identitas sebenarnya, misalnya. Persamaan seperti itu dikeluarkan dari sistem, karena valid untuk nilai variabel apa pun dan, oleh karena itu, tidak memengaruhi solusi sistem. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, setidaknya satu persamaan menjadi persamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk setiap nilai variabel (misalnya, ), maka kami menyimpulkan bahwa sistem tidak memiliki solusi.

Jika dalam penyelesaian persamaan yang tidak konsisten tidak muncul, maka salah satu variabel yang tersisa di dalamnya ditemukan dari persamaan terakhir. Jika hanya satu variabel yang tersisa dalam persamaan terakhir, maka itu dinyatakan sebagai angka. Jika variabel lain tetap dalam persamaan terakhir, maka mereka dianggap parameter, dan variabel yang diekspresikan melalui mereka akan menjadi fungsi dari parameter ini. Kemudian apa yang disebut "gerakan mundur" dilakukan. Variabel yang ditemukan disubstitusikan ke dalam persamaan yang terakhir diingat dan variabel kedua ditemukan. Kemudian dua variabel yang ditemukan disubstitusikan ke dalam persamaan yang diingat kedua dari belakang dan variabel ketiga ditemukan, dan seterusnya, hingga persamaan yang pertama diingat.

Hasilnya, kami mendapatkan solusi dari sistem. Solusi ini akan menjadi satu-satunya jika variabel yang ditemukan adalah angka. Jika variabel pertama ditemukan, dan kemudian yang lainnya bergantung pada parameter, maka sistem akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas (setiap set parameter sesuai dengan solusi baru). Rumus yang memungkinkan menemukan solusi untuk sistem tergantung pada seperangkat parameter tertentu disebut solusi umum sistem.

Contoh 1.11.

Setelah menghafal persamaan pertama dan dengan membawa suku-suku serupa dalam persamaan kedua dan ketiga, kita sampai pada sistem:

Cepat kamu dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan pertama:

Ingat persamaan kedua, dan dari yang pertama kita temukan z:

Membuat langkah sebaliknya, kami berturut-turut menemukan kamu dan z. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita substitusikan ke persamaan yang terakhir diingat , dari mana kita menemukan kamu:

Kemudian kita substitusikan dan ke dalam persamaan yang dihafal pertama dari mana kita menemukan x:

Soal 1.12. Memecahkan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Larutan. Mari kita nyatakan variabel dari persamaan pertama x dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

Ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua saling bertentangan. Memang, mengekspresikan kamu , kita mendapatkan bahwa 14 = 17. Persamaan ini tidak terpenuhi, untuk setiap nilai variabel x, kamu, dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, yaitu, tidak memiliki solusi.

Pembaca diundang untuk memverifikasi secara independen bahwa determinan utama dari sistem asli (1.17) sama dengan nol.

Pertimbangkan sistem yang berbeda dari sistem (1.17) hanya dengan satu istilah bebas.

Soal 1.13. Memecahkan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Larutan. Seperti sebelumnya, kami menyatakan variabel dari persamaan pertama x dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

Ingat persamaan pertama dan kami menyajikan istilah serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami tiba di sistem:

mengekspresikan kamu dari persamaan pertama dan substitusikan ke persamaan kedua , kami mendapatkan identitas 14 = 14, yang tidak mempengaruhi solusi sistem, dan, oleh karena itu, dapat dikeluarkan dari sistem.

Dalam persamaan yang terakhir diingat, variabel z akan dianggap sebagai parameter. Kami percaya . Kemudian

Pengganti kamu dan z ke dalam persamaan hafalan pertama dan temukan x:

Dengan demikian, sistem (1.18) memiliki himpunan solusi yang tak terbatas, dan solusi apa pun dapat ditemukan dari rumus (1.19) dengan memilih nilai parameter yang berubah-ubah t:

(1.19)
Jadi, solusi sistem, misalnya, adalah himpunan variabel berikut (1; 2; 0), (2; 26; 14), dll. Rumus (1.19) menyatakan solusi umum (apa saja) sistem (1,18 ).

Dalam kasus ketika sistem asli (1,16) memiliki cukup banyak persamaan dan tidak diketahui, metode yang ditunjukkan untuk eliminasi Jordan biasa tampaknya tidak praktis. Namun, tidak. Cukuplah untuk menurunkan algoritma untuk menghitung ulang koefisien sistem pada satu langkah dalam bentuk umum dan memformalkan solusi masalah dalam bentuk tabel Jordan khusus.

Biarkan sistem bentuk linier (persamaan) diberikan:

, (1.20)
di mana x j- variabel independen (diinginkan), aij- koefisien konstan
(saya = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Bagian kanan dari sistem y saya (saya = 1, 2,…, m) dapat berupa variabel (tergantung) dan konstanta. Diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem ini dengan menghilangkan yang tidak diketahui.

Mari kita pertimbangkan operasi berikut, selanjutnya disebut sebagai "satu langkah pengecualian Jordan biasa". Dari sewenang-wenang ( r th) kesetaraan, kami mengekspresikan variabel arbitrer ( x s) dan substitusikan ke semua persamaan lainnya. Tentu saja, ini hanya mungkin jika sebuah rs 0. Koefisien sebuah rs disebut elemen penyelesaian (kadang-kadang membimbing atau utama).

Kami akan mendapatkan sistem berikut:

. (1.21)

Dari s persamaan sistem (1,21), selanjutnya kita akan menemukan variabelnya x s(setelah variabel lain ditemukan). S Baris th diingat dan kemudian dikeluarkan dari sistem. Sistem yang tersisa akan berisi satu persamaan dan satu variabel bebas yang lebih sedikit daripada sistem aslinya.

Mari kita hitung koefisien sistem yang dihasilkan (1,21) dalam hal koefisien sistem asli (1,20). Mari kita mulai dengan r persamaan, yang, setelah mengekspresikan variabel x s melalui sisa variabel akan terlihat seperti ini:

Jadi, koefisien baru r persamaan tersebut dihitung dengan rumus sebagai berikut:

(1.23)
Sekarang mari kita hitung koefisien baru b ij(saya¹ r) dari persamaan arbitrer. Untuk melakukan ini, kami mengganti variabel yang dinyatakan dalam (1.22) x s di saya persamaan sistem (1.20):

Setelah membawa suku-suku sejenis, kita peroleh:

(1.24)
Dari persamaan (1.24) kita memperoleh rumus yang dengannya koefisien sistem (1.21) yang tersisa dihitung (dengan pengecualian r persamaan):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Yordania biasa disajikan dalam bentuk tabel (matriks). Tabel ini disebut "tabel Yordania".

Jadi, masalah (1.20) dikaitkan dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
kamu 1 =	sebuah 11	sebuah 12		sebuah 1j		sebuah 1s		sebuah 1n
…………………………………………………………………..
y saya=	aku 1	aku 2		aij		sebuah is		sebuah masuk
…………………………………………………………………..
y r=	sebuah r 1	sebuah r 2		sebuah rj		sebuah rs		sebuah rn
………………………………………………………………….
y n=	saya 1	saya 2		sebuah mj		sebuah ms		amn

Tabel Jordan 1.1 berisi kolom kepala kiri, di mana bagian kanan sistem (1,20) ditulis, dan garis kepala atas, di mana variabel independen ditulis.

Elemen tabel yang tersisa membentuk matriks utama koefisien sistem (1,20). Jika kita mengalikan matriks TETAPI ke matriks yang terdiri dari elemen-elemen baris header atas, maka kita mendapatkan matriks yang terdiri dari elemen-elemen kolom header kiri. Artinya, pada intinya, tabel Jordan adalah bentuk matriks dari penulisan sistem persamaan linier: . Dalam hal ini, tabel Jordan berikut sesuai dengan sistem (1.21):

Tabel 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
kamu 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y saya =	b saya 1	b saya 2		b ij		b adalah		tempat sampah
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Elemen permisif sebuah rs kami akan menyorot dalam huruf tebal. Ingatlah bahwa untuk menerapkan satu langkah pengecualian Jordan, elemen penyelesaian harus bukan nol. Baris tabel yang mengandung elemen permisif disebut baris permisif. Kolom yang berisi elemen aktifkan disebut kolom aktifkan. Saat berpindah dari tabel tertentu ke tabel berikutnya, satu variabel ( x s) dari baris header atas tabel dipindahkan ke kolom header kiri dan, sebaliknya, salah satu anggota bebas sistem ( y r) dipindahkan dari kolom header kiri tabel ke baris header atas.

Mari kita jelaskan algoritma untuk menghitung ulang koefisien lewat dari tabel Jordan (1.1) ke tabel (1.2), yang mengikuti dari rumus (1.23) dan (1.25).

1. Elemen pengaktif diganti dengan angka terbalik:

2. Elemen sisa dari garis permisif dibagi dengan elemen permisif dan ubah tanda menjadi sebaliknya:

3. Elemen yang tersisa dari kolom pengaktifan dibagi menjadi elemen pengaktifan:

4. Elemen yang tidak termasuk dalam baris penyelesaian dan kolom penyelesaian dihitung ulang sesuai dengan rumus:

Rumus terakhir mudah diingat jika Anda memperhatikan bahwa elemen-elemen yang membentuk pecahan , berada di persimpangan saya-oh dan r garis -th dan j th dan s kolom -th (menyelesaikan baris, menyelesaikan kolom dan baris dan kolom di persimpangan di mana elemen yang akan dihitung ulang berada). Lebih tepatnya, saat menghafal rumus Anda dapat menggunakan grafik berikut:

-21 -26 -13 -37

Melakukan langkah pertama pengecualian Yordania, elemen apa pun dari Tabel 1.3 yang terletak di kolom x 1 ,…, x 5 (semua elemen yang ditentukan tidak sama dengan nol). Anda seharusnya tidak hanya memilih elemen pengaktif di kolom terakhir, karena perlu menemukan variabel bebas x 1 ,…, x 5 . Kami memilih, misalnya, koefisien 1 dengan variabel x 3 di baris ketiga tabel 1.3 (elemen pengaktif ditampilkan dalam huruf tebal). Saat pindah ke tabel 1.4, variabel x 3 dari baris header atas ditukar dengan konstanta 0 dari kolom header kiri (baris ketiga). Pada saat yang sama, variabel x 3 dinyatakan dalam variabel yang tersisa.

rangkaian x 3 (Tabel 1.4) dapat, setelah diingat sebelumnya, dikeluarkan dari Tabel 1.4. Tabel 1.4 juga mengecualikan kolom ketiga dengan nol di baris header atas. Intinya adalah bahwa terlepas dari koefisien kolom ini b saya 3 semua suku yang bersesuaian dengannya dari setiap persamaan 0 b saya 3 sistem akan sama dengan nol. Oleh karena itu, koefisien ini tidak dapat dihitung. Menghilangkan satu variabel x 3 dan mengingat salah satu persamaan, kita sampai pada sistem yang sesuai dengan Tabel 1.4 (dengan garis dicoret x 3). Memilih dalam tabel 1.4 sebagai elemen penyelesaian b 14 = -5, lanjut ke tabel 1.5. Pada tabel 1.5, kita mengingat baris pertama dan mengecualikannya dari tabel bersama dengan kolom keempat (dengan nol di atas).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Dari tabel 1.7 terakhir kami menemukan: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Secara berurutan mengganti variabel yang sudah ditemukan ke dalam baris yang diingat, kami menemukan variabel yang tersisa:

Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. variabel x 5 , Anda dapat menetapkan nilai sewenang-wenang. Variabel ini bertindak sebagai parameter x 5 = t. Kami membuktikan kompatibilitas sistem dan menemukan solusi umumnya:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Memberikan parameter t nilai yang berbeda, kami mendapatkan jumlah solusi yang tak terbatas untuk sistem asli. Jadi, misalnya, solusi sistem adalah himpunan variabel berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Pada bagian pertama, kami mempertimbangkan beberapa materi teoretis, metode substitusi, serta metode penambahan suku demi suku dari persamaan sistem. Untuk semua orang yang datang ke situs melalui halaman ini, saya sarankan Anda membaca bagian pertama. Mungkin beberapa pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, tetapi dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, saya membuat sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta solusi dari sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, rinci dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode di atas.

Kami pertama-tama mempertimbangkan aturan Cramer secara rinci untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? “Bagaimanapun, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, dengan penambahan suku demi suku!

Faktanya adalah bahwa meskipun kadang-kadang, tetapi ada tugas seperti itu - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami bagaimana menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Perhatikan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , itu disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf Latin.

Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita melihat bahwa koefisien persamaan cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak jarang dalam tugas-tugas praktis dalam matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba untuk mengekspresikan satu variabel dalam hal yang lain, tetapi dalam kasus ini Anda pasti akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk dikerjakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangi suku dengan suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Menjawab: ,

Kedua akar memiliki ekor tak terbatas dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan formula yang sudah jadi, namun, ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Fragmen tugas adalah fragmen berikut: "jadi sistem memiliki solusi unik". Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang nyaman untuk dilakukan pada kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan di sisi kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, angka yang berada di sisi kanan harus diperoleh.

Contoh 8

Nyatakan jawabanmu dalam pecahan biasa biasa. Buat cek.

Ini adalah contoh untuk solusi independen (contoh desain yang bagus dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama dari sistem:

Jika , maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan akhirnya, jawabannya dihitung dengan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga per tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua per dua", kolom istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Menjawab: .

Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.

Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma "pengobatan" berikut. Jika tidak ada komputer, kami melakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Segera setelah Anda menemukan tembakan "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar. Jika kondisinya ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinan menggunakan ekspansi di baris (kolom) lain.

2) Jika hasil pemeriksaan tidak ditemukan kesalahan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi penugasan. Dalam hal ini, selesaikan tugas dengan tenang dan HATI-HATI sampai akhir, dan kemudian pastikan untuk memeriksa dan menggambarnya pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melucuti senjata bagi guru, yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk hal buruk seperti apa pun. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem dalam persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya:

Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan dengan benar dan HATI-HATI penentu utama:
– nol diletakkan di tempat variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol di baris (kolom) di mana nol berada, karena ada lebih sedikit perhitungan.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (menyelesaikan sampel dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsung dalam pelajaran Properti Determinan. Mengurangi urutan determinan - lima determinan urutan ke-4 cukup dapat dipecahkan. Meski tugas tersebut sudah sangat mengingatkan kita pada sepatu profesor di dada mahasiswa yang beruntung.

Solusi sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring berjalannya penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan metode matriks

Larutan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Perhatikan sistem persamaan dan matriksnya. Dengan prinsip apa kami menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, di mana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .

Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:

Di sini determinan diperluas oleh baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks invers tidak ada, dan sistem tidak mungkin diselesaikan dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan eliminasi yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Referensi: Hal ini berguna untuk mengetahui arti dari subscript ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris di mana elemen berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen ada di baris pertama, kolom ketiga, sedangkan, misalnya, elemen ada di baris ke-3, kolom ke-2

Metode Kramer dan Gaussian salah satu solusi paling populer SLAU. Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode tertentu. Sesi sudah dekat, dan sekarang saatnya untuk mengulang atau menguasainya dari awal. Hari ini kita berurusan dengan solusi dengan metode Cramer. Bagaimanapun, memecahkan sistem persamaan linier dengan metode Cramer adalah keterampilan yang sangat berguna.

Sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan aljabar linier adalah sistem persamaan bentuk:

Nilai yang ditetapkan x , di mana persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut solusi sistem, sebuah dan b adalah koefisien nyata. Sistem sederhana yang terdiri dari dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui dapat diselesaikan secara mental atau dengan menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya. Tapi bisa ada lebih dari dua variabel (x) di SLAE, dan manipulasi sekolah sederhana sangat diperlukan di sini. Apa yang harus dilakukan? Misalnya, selesaikan SLAE dengan metode Cramer!

Jadi biarkan sistem menjadi n persamaan dengan n tidak dikenal.

Sistem seperti itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

Di Sini SEBUAH adalah matriks utama dari sistem, X dan B , masing-masing, matriks kolom variabel yang tidak diketahui dan anggota bebas.

Solusi SLAE dengan metode Cramer

Jika determinan matriks utama tidak sama dengan nol (matriks nonsingular), sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Cramer.

Menurut metode Cramer, solusinya ditemukan dengan rumus:

Di Sini delta adalah determinan dari matriks utama, dan delta x ke-n - determinan yang diperoleh dari determinan matriks utama dengan mengganti kolom ke-n dengan kolom anggota bebas.

Ini adalah inti dari metode Cramer. Mengganti nilai yang ditemukan oleh rumus di atas x ke dalam sistem yang diinginkan, kami yakin akan kebenaran (atau sebaliknya) dari solusi kami. Untuk membantu Anda memahami esensi dengan cepat, kami berikan di bawah ini contoh solusi terperinci SLAE dengan metode Cramer:

Bahkan jika Anda tidak berhasil pertama kali, jangan berkecil hati! Dengan sedikit latihan, Anda akan mulai mengeluarkan SLOW seperti kacang. Selain itu, sekarang sama sekali tidak perlu membaca buku catatan, menyelesaikan perhitungan yang rumit dan menulis di batang. Sangat mudah untuk menyelesaikan SLAE dengan metode Cramer online, hanya dengan mengganti koefisien ke dalam bentuk jadi. Anda dapat mencoba kalkulator online untuk menyelesaikan metode Cramer, misalnya, di situs ini.

Dan jika sistemnya ternyata keras kepala dan tidak menyerah, Anda selalu dapat meminta bantuan penulis kami, misalnya, untuk. Jika setidaknya ada 100 yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan benar dan tepat waktu!

Untuk menguasai paragraf ini, Anda harus dapat membuka kualifikasi "dua per dua" dan "tiga per tiga". Jika kualifikasinya buruk, silakan pelajari pelajarannya Bagaimana cara menghitung determinannya?

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Perhatikan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , itu disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf Latin.

Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Menjawab: ,

Kedua akar memiliki ekor tak terbatas dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan biasa) untuk masalah ekonometrik.

Contoh 8

Nyatakan jawabanmu dalam pecahan biasa biasa. Buat cek.

Ini adalah contoh untuk solusi independen (contoh desain yang bagus dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama dari sistem:

Jika , maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan akhirnya, jawabannya dihitung dengan rumus:

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Menjawab: .

Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (menyelesaikan sampel dan jawaban di akhir pelajaran).

Solusi sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring berjalannya penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan metode matriks

Larutan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, di mana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .

Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:

Di sini determinan diperluas oleh baris pertama.

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Dalam proses penyelesaian, lebih baik untuk menggambarkan perhitungan anak di bawah umur secara rinci, meskipun, dengan pengalaman tertentu, mereka dapat disesuaikan untuk menghitung kesalahan secara lisan.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Tiga kasus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Bagian atas halaman

Kami terus memecahkan sistem menggunakan metode Cramer bersama

Tindakan Matriks

Penambahan matriks.

perkalian matriks.

Matriks terbalik. Memecahkan sistem persamaan linear dengan cara matriks

Memecahkan Sistem Persamaan Linier dengan Pengecualian Jordan Biasa

Solusi sistem menggunakan matriks terbalik

Sistem persamaan aljabar linier

Solusi SLAE dengan metode Cramer

Solusi sistem menggunakan matriks terbalik

ARTIKEL TERKAIT