Kami melanjutkan topik favorit analisis matematika - turunan. Pada artikel ini, kita akan mempelajari cara menemukannya turunan parsial dari fungsi tiga variabel: turunan pertama dan turunan kedua. Apa saja yang perlu diketahui dan mampu menguasai materi? Jangan percaya, tapi, pertama-tama, Anda harus bisa menemukan turunan "biasa" dari fungsi satu variabel - pada tingkat tinggi atau setidaknya rata-rata. Jika memang sangat ketat dengan mereka, maka mulailah dengan pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? Kedua, sangat penting untuk membaca artikel dan memahami serta memecahkan, jika tidak semua, maka sebagian besar contohnya. Jika ini sudah dilakukan, maka berjalanlah bersama saya dengan gaya berjalan percaya diri, itu akan menarik, bahkan Anda akan mendapatkan kesenangan!

Metode dan prinsip pencarian turunan parsial dari fungsi tiga variabel sebenarnya sangat mirip dengan fungsi turunan parsial dua variabel. Fungsi dua variabel, saya ingatkan, berbentuk , dimana "x" dan "y" adalah variabel bebas. Secara geometris, fungsi dua variabel adalah permukaan tertentu dalam ruang tiga dimensi kita.

Fungsi ketiga variabel berbentuk , sedangkan variabelnya disebut mandirivariabel atau argumen, variabel tersebut dipanggil variabel tak bebas atau fungsi. Contoh: - fungsi dari tiga variabel

Dan sekarang sedikit tentang film fiksi ilmiah dan alien. Anda sering mendengar tentang 4D, 5D, 10D, dll. spasi. Omong kosong atau tidak?
Lagi pula, fungsi tiga variabel menyiratkan fakta bahwa segala sesuatu terjadi dalam ruang empat dimensi (memang ada empat variabel). Grafik fungsi tiga variabel disebut permukaan hiper. Mustahil membayangkannya, karena kita hidup dalam ruang tiga dimensi (panjang/lebar/tinggi). Agar anda tidak bosan dengan saya, saya menawarkan kuis. Saya akan mengajukan beberapa pertanyaan, dan mereka yang ingin mencoba menjawabnya:

- Apakah ada yang keempat, kelima, dan seterusnya di dunia? pengukuran dalam pengertian pemahaman filistin tentang ruang (panjang/lebar/tinggi)?

- Apakah mungkin untuk membangun bangunan empat dimensi, lima dimensi, dll. ruang dalam arti luas? Artinya, memberi contoh ruang seperti itu dalam kehidupan kita.

Mungkinkah melakukan perjalanan ke masa lalu?

Mungkinkah melakukan perjalanan ke masa depan?

- Apakah alien itu ada?

Untuk pertanyaan apa pun, Anda dapat memilih salah satu dari empat jawaban:
Ya / Tidak (sains melarangnya) / Sains tidak melarang / Tidak tahu

Siapa pun yang menjawab semua pertanyaan dengan benar, kemungkinan besar dia memiliki sesuatu ;-)

Saya akan memberikan jawaban atas pertanyaan secara bertahap selama pelajaran, jangan lewatkan contohnya!

Sebenarnya mereka terbang. Dan sekarang kabar baiknya: untuk fungsi tiga variabel, aturan diferensiasi dan tabel turunannya adalah valid. Itu sebabnya Anda harus pandai mengelola yang "biasa" turunan fungsi satu variabel. Hanya ada sedikit perbedaan!

Contoh 1

Larutan: Mudah ditebak bahwa ada tiga variabel untuk suatu fungsi tiga turunan parsial orde pertama, yang dinotasikan sebagai berikut:

Atau - turunan parsial dari "x";
atau - turunan parsial terhadap "y";
atau - turunan parsial terhadap "z".

Notasi dengan guratan lebih banyak digunakan, tetapi penyusun koleksi, manual dalam kondisi tugas sangat suka menggunakan notasi yang rumit - jadi jangan tersesat! Mungkin tidak semua orang tahu cara membaca "pecahan buruk" ini dengan benar. Contoh: harus dibaca sebagai berikut: “de u po de x”.

Mari kita mulai dengan turunan x: . Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap , lalu variabelnya Dan dianggap konstanta (bilangan konstan). Dan turunan dari konstanta apa pun, oh, rahmat, sama dengan nol:

Segera perhatikan subskripnya - tidak ada yang melarang Anda menandai bahwa itu adalah konstanta. Bahkan lebih nyaman, saya merekomendasikan pemula untuk menggunakan catatan seperti itu saja, risiko kebingungan lebih kecil.

(1) Kami menggunakan sifat-sifat linearitas turunan, khususnya, kami menghilangkan semua konstanta dari tanda turunannya. Harap dicatat bahwa pada suku kedua, konstanta tidak perlu dihilangkan: karena “y” adalah sebuah konstanta, maka ia juga merupakan sebuah konstanta. Dalam istilah tersebut, konstanta "biasa" 8 dan konstanta "zet" dikeluarkan dari tanda turunannya.

(2) Kita mencari turunan yang paling sederhana, jangan lupa bahwa itu adalah konstanta. Selanjutnya, sisir jawabannya.

Turunan parsial. Ketika kita mencari turunan parsial terhadap "y", maka variabelnya Dan dianggap konstanta:

(1) Kami menggunakan sifat linearitas. Dan sekali lagi, perhatikan bahwa suku-suku tersebut adalah konstanta, yang berarti tidak ada yang perlu dikeluarkan untuk tanda turunannya.

(2) Kita mencari turunannya, tidak melupakan konstanta itu. Mari kita sederhanakan jawabannya.

Dan terakhir, turunan parsial. Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "z", maka variabelnya Dan dianggap konstanta:

Peraturan umum jelas dan bersahaja: Ketika kita menemukan turunan parsialuntuk apa pun variabel independen, laludua lainnya variabel independen dianggap konstan.

Saat merancang tugas-tugas ini, Anda harus sangat berhati-hati, khususnya, tidak bisa kehilangan langganan(yang menunjukkan diferensiasi variabel mana yang dilakukan). Hilangnya indeks akan menjadi KESALAHAN BESAR. Hmmm…. lucu jika, setelah intimidasi seperti itu, saya sendiri merindukan mereka di suatu tempat)

Contoh 2

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi tiga variabel

Ini adalah contoh buatan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Dua contoh yang dipertimbangkan cukup sederhana dan, setelah memecahkan beberapa masalah serupa, bahkan teko teh pun akan beradaptasi untuk menindaknya secara lisan.

Untuk membongkarnya, mari kita kembali ke pertanyaan pertama kuis ini: Apakah ada yang keempat, kelima, dst. di dunia? pengukuran dalam pengertian pemahaman filistin tentang ruang (panjang/lebar/tinggi)?

Jawaban yang benar: Sains tidak melarangnya.. Semua aksioma matematika dasar, teorema, peralatan matematika itu indah dan konsisten bekerja di ruang dimensi apa pun. Ada kemungkinan bahwa di suatu tempat di Alam Semesta terdapat permukaan-permukaan yang tidak dapat kita sadari, misalnya permukaan-permukaan empat dimensi, yang diberikan oleh fungsi tiga variabel. Atau mungkin ada permukaan hiper di sebelah kita atau bahkan kita berada tepat di dalamnya, hanya penglihatan kita, organ indera lainnya, kesadaran yang mampu melihat dan memahami hanya tiga dimensi.

Mari kembali ke contoh. Ya, jika seseorang sibuk dengan kuis, lebih baik membaca jawaban dari pertanyaan berikut setelah Anda mempelajari cara mencari turunan parsial dari fungsi tiga variabel, jika tidak saya akan mengeluarkan seluruh otak Anda di jalannya artikel =)

Selain Contoh 1,2 yang paling sederhana, dalam praktiknya ada tugas yang bisa disebut teka-teki kecil. Contoh-contoh seperti itu, yang membuat saya kesal, tidak lagi terlihat ketika saya membuat pelajaran. Turunan parsial fungsi dua variabel. Mengganti waktu yang hilang:

Contoh 3

Larutan: Tampaknya “semuanya sederhana”, tetapi kesan pertama menipu. Saat menemukan turunan parsial, banyak yang akan menebak-nebak dan membuat kesalahan.

Mari kita analisa contoh tersebut secara konsisten, jelas dan jelas.

Mari kita mulai dengan turunan parsial terhadap x. Ketika kita mencari turunan parsial terhadap "x", maka variabelnya dianggap konstan. Oleh karena itu, indeks fungsi kita juga merupakan konstanta. Untuk boneka, saya merekomendasikan solusi berikut: pada draf, ubah konstanta menjadi bilangan bulat positif tertentu, misalnya, menjadi "lima". Hasilnya adalah fungsi dari satu variabel:
atau bisa juga ditulis seperti ini:

Ini kekuatan fungsi dengan basis kompleks (sinus). Oleh :

Sekarang ingatlah itu, jadi:

Pada salinan bersih, tentu saja solusinya harus dibuat seperti ini:

Kami menemukan turunan parsial terhadap "y", mereka dianggap konstan. Jika "x" adalah sebuah konstanta, maka x juga merupakan sebuah konstanta. Pada draft, kami melakukan trik yang sama: kami mengganti, misalnya, dengan 3, "Z" - kami akan menggantinya dengan "lima" yang sama. Hasilnya lagi-lagi merupakan fungsi dari satu variabel:

Ini demonstrasi fungsi dengan eksponen kompleks. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Sekarang ingat pengganti kami:

Dengan demikian:

Tentu saja, pada salinan bersih, desainnya akan terlihat bagus:

Dan kotak cermin dengan turunan parsial terhadap "z" (- konstanta):

Dengan beberapa pengalaman, analisis dapat dilakukan secara mental.

Kami melaksanakan bagian kedua dari tugas - kami membuat diferensial urutan pertama. Caranya sangat sederhana, dengan analogi fungsi dua variabel, diferensial orde pertama ditulis dengan rumus:

Pada kasus ini:

Dan bisnis kemudian. Saya perhatikan bahwa dalam masalah praktis, diferensial penuh orde 1 dari suatu fungsi tiga variabel harus dikompilasi lebih jarang daripada fungsi dua variabel.

Contoh menarik untuk solusi mandiri:

Contoh 4

Temukan turunan parsial orde pertama dari fungsi tiga variabel dan buat diferensial total orde pertama

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Jika Anda mengalami kesulitan, gunakan algoritma "chainikov" yang dipertimbangkan, dijamin membantu. Dan tip bermanfaat lainnya - jangan terburu-buru. Contoh-contoh seperti itu tidak dapat dipecahkan dengan cepat bahkan oleh saya sendiri.

Kita ngelantur dan menganalisis pertanyaan kedua: Apakah mungkin membangun bangunan empat dimensi, lima dimensi, dan seterusnya. ruang dalam arti luas? Artinya, memberi contoh ruang seperti itu dalam kehidupan kita.

Jawaban yang benar: Ya. Dan itu sangat mudah. Misalnya, kita menambahkan dimensi keempat pada panjang/lebar/tinggi - waktu. Ruang-waktu empat dimensi yang populer dan teori relativitas terkenal yang dicuri dengan cermat oleh Einstein dari Lobachevsky, Poincaré, Lorentz, dan Minkowski. Tidak semua orang juga mengetahuinya. Mengapa Einstein mendapat Hadiah Nobel? Ada skandal yang mengerikan di dunia ilmiah, dan Komite Nobel merumuskan manfaat dari penjiplak sebagai berikut: "Atas kontribusi umum terhadap perkembangan fisika." Jadi itu saja. Merek kelas C Einstein adalah promosi murni dan PR.

Sangat mudah untuk menambahkan dimensi kelima ke dalam ruang empat dimensi yang dipertimbangkan, misalnya: tekanan atmosfer. Dan seterusnya, seterusnya, seterusnya, berapa pun dimensi yang Anda tetapkan dalam model Anda - akan ada begitu banyak. Dalam arti luas, kita hidup dalam ruang multidimensi.

Mari kita lihat beberapa tugas umum lainnya:

Contoh 5

Temukan turunan parsial orde pertama di suatu titik

Larutan: Tugas dalam rumusan ini sering dijumpai dalam praktik dan melibatkan dua tindakan berikut:
– Anda perlu mencari turunan parsial orde pertama;
– Anda perlu menghitung nilai turunan parsial orde 1 pada titik .

Kami memutuskan:

(1) Kita mempunyai fungsi kompleks, dan langkah pertama adalah mengambil turunan dari garis singgung busur. Faktanya, kami dengan tenang menggunakan rumus tabel untuk turunan garis singgung busur. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks hasilnya harus dikalikan dengan turunan fungsi dalam (embedding): .

(2) Kami menggunakan sifat linearitas.

(3) Dan kita ambil turunannya yang tersisa, jangan lupa bahwa turunannya adalah konstanta.

Berdasarkan kondisi penugasan, perlu dicari nilai turunan parsial yang ditemukan di titik tersebut. Substitusikan koordinat titik ke turunan yang ditemukan:

Keuntungan dari tugas ini adalah kenyataan bahwa turunan parsial lainnya ditemukan dengan cara yang sangat mirip:

Seperti yang Anda lihat, template solusinya hampir sama.

Mari kita hitung nilai turunan parsial yang ditemukan di titik :

Dan terakhir, turunan terhadap "z":

Siap. Penyelesaiannya juga dapat dirumuskan dengan cara lain: pertama, cari ketiga turunan parsial, lalu hitung nilainya di titik . Namun, menurut saya, metode di atas lebih nyaman - mereka baru saja menemukan turunan parsialnya, dan segera, tanpa meninggalkan mesin kasir, menghitung nilainya pada suatu titik.

Menarik untuk dicatat bahwa, secara geometris, suatu titik adalah titik yang sangat nyata dalam ruang tiga dimensi kita. Nilai fungsi, turunannya sudah berdimensi keempat, dan tidak ada yang tahu di mana letak geometrisnya. Seperti yang mereka katakan, tidak ada seorang pun yang merangkak mengelilingi Alam Semesta dengan pita pengukur, tidak memeriksanya.

Segera setelah tema filosofisnya hilang lagi, mari kita pertimbangkan pertanyaan ketiga: Mungkinkah melakukan perjalanan ke masa lalu?

Jawaban yang benar: TIDAK. Perjalanan ke masa lalu bertentangan dengan hukum kedua termodinamika tentang proses fisik yang tidak dapat diubah (entropi). Jadi mohon jangan menyelam ke dalam kolam tanpa air, kejadiannya hanya bisa diputar ulang di video =) Kebijaksanaan rakyat memunculkan hukum duniawi yang berlawanan karena suatu alasan: "Ukur tujuh kali, potong sekali." Meski sebenarnya menyedihkan, waktu bersifat satu arah dan tidak dapat diubah, tidak ada di antara kita yang akan terlihat lebih muda besok. Dan berbagai film fiksi ilmiah seperti "Terminator" dari sudut pandang ilmiah sama sekali tidak masuk akal. Juga tidak masuk akal dari sudut pandang filsafat - ketika Konsekuensi, kembali ke masa lalu, dapat menghancurkan Penyebabnya sendiri. .

Lebih menarik dengan turunan terhadap "z", meskipun masih hampir sama:

(1) Kita keluarkan konstanta dari tanda turunannya.

(2) Di sini sekali lagi hasil kali dua fungsi, masing-masing tergantung dari variabel "langsung" "z". Pada prinsipnya, Anda dapat menggunakan rumus turunan suatu hasil bagi, tetapi lebih mudah menggunakan cara lain - mencari turunan dari hasil kali.

(3) Turunan adalah turunan tabel. Suku kedua berisi turunan fungsi kompleks yang sudah dikenal.

Contoh 9

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi tiga variabel

Ini adalah contoh buatan sendiri. Pikirkan tentang bagaimana cara yang lebih rasional untuk menemukan turunan parsial tertentu. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Sebelum melanjutkan ke contoh akhir pelajaran dan pertimbangkan turunan parsial orde kedua fungsi tiga variabel, sekali lagi saya akan menghibur semua orang dengan pertanyaan keempat:

Mungkinkah melakukan perjalanan ke masa depan?

Jawaban yang benar: Sains tidak melarangnya.. Paradoksnya, tidak ada hukum matematika, fisika, kimia, atau ilmu pengetahuan alam lainnya yang melarang perjalanan ke masa depan! Sepertinya tidak masuk akal? Namun hampir setiap orang dalam hidup memiliki firasat (dan tidak didukung oleh argumen logis apa pun) bahwa peristiwa ini atau itu akan terjadi. Dan itu terjadi! Dari mana informasinya berasal? Dari masa depan? Jadi, film-film fantastis tentang perjalanan ke masa depan, dan, omong-omong, prediksi semua jenis peramal, paranormal tidak bisa disebut omong kosong seperti itu. Setidaknya sains belum membantahnya. Semuanya mungkin! Jadi, ketika saya masih di sekolah, CD dan monitor layar datar dari film tampak seperti fantasi yang luar biasa bagi saya.

Komedi terkenal "Ivan Vasilyevich Mengubah Profesinya" adalah setengah fiksi (maksimal). Tidak ada hukum ilmiah yang melarang Ivan the Terrible berada di masa depan, namun tidak mungkin dua paprika berada di masa lalu dan menjalankan tugas seorang raja.

Konsep fungsi banyak variabel

Misalkan ada n-variabel dan setiap x 1, x 2 ... x n dari himpunan x tertentu diberi definisi. bilangan Z, maka pada himpunan x diberikan fungsi Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) dari banyak variabel.

X - area fungsi yang ditentukan

x 1, x 2 ... x n - variabel bebas (argumen)

Z - fungsi Contoh: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volume silinder)

Misalkan Z = f (x; y) - f-tion dari 2 variabel x (x 1, x 2 diganti dengan x, y). Hasilnya secara analogi ditransfer ke fungsi lain dari banyak variabel. Luas daerah fungsi 2 variabel adalah seluruh garis bujur sangkar (ooh) atau sebagiannya. Mn-in nilai fungsi ke-2 variabel – permukaan dalam ruang 3 dimensi.

Teknik membuat grafik: - Bagian Rassm-t pada permukaan persegi || koordinat kotak.

Contoh: x = x 0, zn. kotak X || 0yz y \u003d y 0 0xz Jenis fungsi: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, kamu 0)

Contoh: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Lingkaran parabola(tengah(0;1)

Batas dan kontinuitas fungsi dua variabel

Misalkan Z = f (x; y), maka A adalah limit f-tion dalam m.(x 0, y 0), jika untuk sembarang put kecil. bilangan E>0 kata benda-t bilangan positif b>0, yang untuk semua x,y memuaskan |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) kontinu di t.(x 0, y 0), jika: - didefinisikan dalam t ini.; - memiliki batas limit di x, cenderung ke x 0 dan y ke y 0; - batas ini = nilai

fungsi dalam t.(x 0, y 0), mis. limf (x; y) = f (x 0, y 0)

Jika fungsinya kontinu di masing-masing. t.mn-va X, maka kontinu di daerah ini

Fungsi diferensial, geomeaningnya. Penggunaan dif-la dalam nilai perkiraan.

dy=f’(x)∆x – fungsi diferensial

dy=dx, yaitu dy=f '(x)dx jika y=x

Dari sudut pandang ahli geologi, diferensial fungsi adalah pertambahan ordinat garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di suatu titik dengan absis x 0

Dif-l digunakan dalam perhitungan kira-kira. nilai fungsi sesuai rumus: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Semakin dekat ∆x ke x, semakin akurat hasilnya.

Turunan parsial orde pertama dan kedua

Turunan orde pertama (yang disebut hasil bagi)

A. Misalkan x, y adalah pertambahan variabel bebas x dan y di suatu titik dari daerah X. Maka nilai yang sama dengan z = f(x + x, y + y) = f(x, y) disebut pertambahan total di titik x 0, y 0. Jika variabel x tetap, dan variabel y bertambah sebesar y, maka diperoleh zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

Turunan parsial dari variabel y didefinisikan dengan cara yang sama, yaitu.

Turunan parsial suatu fungsi 2 variabel ditemukan menurut aturan yang sama seperti fungsi satu variabel.

Perbedaannya adalah ketika mendiferensiasikan suatu fungsi terhadap variabel x, y dianggap konstan, dan ketika mendiferensiasikan terhadap y, x dianggap konstan.

Konstanta terisolasi dihubungkan ke fungsi dengan operasi penjumlahan/pengurangan.

Const terkait dihubungkan ke fungsi dengan operasi perkalian/pembagian.

Turunan dari const terisolasi = 0

1.4.Diferensial total suatu fungsi 2 variabel dan penerapannya

Misalkan z = f(x,y), maka

tz = - disebut kenaikan penuh

Turunan parsial orde ke-2

Untuk fungsi kontinu 2 variabel, turunan parsial campuran orde 2 dan berimpit.

Penggunaan turunan parsial untuk menentukan turunan parsial fungsi maks dan min disebut ekstrem.

A. Titik disebut maks atau min z = f(x,y) jika terdapat beberapa segmen sedemikian rupa sehingga untuk semua x dan y dari lingkungan ini f(x,y)

T. Jika diberikan titik ekstrem suatu fungsi 2 variabel, maka nilai turunan parsial pada titik tersebut sama dengan 0, yaitu. ,

Titik-titik dimana turunan parsial orde pertama disebut stasioner atau kritis.

Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi 2 variabel digunakan kondisi ekstrem cukup.

Misalkan fungsi z = f(x,y) terdiferensialkan dua kali, dan misalkan titik stasionernya,

1) , dan maksA<0, minA>0.

1.4.(*)diferensial penuh. Arti geometris dari diferensial. Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

O. Misalkan fungsi y = f(x) terdefinisi pada suatu lingkungan di titik-titik tersebut. Suatu fungsi f(x) disebut terdiferensiasi pada suatu titik jika fungsi tersebut bertambah pada titik tersebut , dimana direpresentasikan dalam bentuk (1)

Dimana A adalah nilai konstanta yang tidak bergantung pada , pada titik tetap x, - sangat kecil di . Fungsi A yang relatif linier disebut diferensial fungsi f(x) di suatu titik dan dilambangkan dengan df() atau dy.

Jadi, ekspresi (1) dapat ditulis sebagai ().

Diferensial fungsi pada ekspresi (1) berbentuk dy = A . Seperti fungsi linier lainnya, fungsi ini didefinisikan untuk nilai apa pun sedangkan kenaikan fungsi harus dipertimbangkan hanya untuk fungsi yang + termasuk dalam domain fungsi f(x).

Untuk memudahkan notasi diferensial, kenaikan dilambangkan dengan dx dan disebut diferensial variabel bebas x. Oleh karena itu, diferensialnya ditulis sebagai dy = Adx.

Jika fungsi f(x) terdiferensiasi di setiap titik pada suatu interval, maka diferensialnya merupakan fungsi dari dua variabel - titik x dan variabel dx:

T. Agar fungsi y = g(x) dapat terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi tersebut perlu dan cukup mempunyai turunan pada titik tersebut, sedangkan

(*)Bukti. Kebutuhan.

Biarkan fungsi f(x) terdiferensialkan di titik , yaitu, . Kemudian

Oleh karena itu, turunan f'() ada dan sama dengan A. Oleh karena itu dy = f'()dx

Kecukupan.

Misalkan ada turunan f'(), mis. = f'(). Maka kurva y = f(x) merupakan ruas garis singgung. Untuk menghitung nilai suatu fungsi di titik x, ambillah suatu titik yang berada di lingkungannya, sehingga tidak sulit mencari f() dan f’()/

Prinsip umum mencari turunan parsial orde kedua dari suatu fungsi tiga variabel sama dengan prinsip mencari turunan parsial orde kedua dari fungsi dua variabel.

Untuk mencari turunan parsial orde kedua, Anda harus terlebih dahulu mencari turunan parsial orde pertama atau dengan notasi lain:

Ada sembilan turunan parsial orde kedua.

Kelompok pertama adalah turunan kedua terhadap variabel yang sama:

Atau - turunan kedua terhadap "x";

Atau - turunan kedua terhadap "y";

Atau - turunan kedua terhadap "z".

Kelompok kedua adalah Campuran turunan parsial orde 2, ada enam diantaranya:

Atau - Campuran turunan "oleh x y";

Atau - Campuran turunan "oleh yx";

Atau - Campuran turunan "oleh x z";

Atau - Campuran turunan "po zet x";

Atau - Campuran turunan "menurut permainan z";

Atau - Campuran turunan "po z y".

Seperti halnya fungsi dua variabel, saat menyelesaikan masalah, kita dapat fokus pada persamaan turunan campuran orde kedua berikut:

Catatan: Sebenarnya, hal ini tidak selalu terjadi. Untuk persamaan turunan campuran, syarat kesinambungannya harus dipenuhi.

Untuk berjaga-jaga, beberapa contoh cara membaca aib ini dengan lantang:

- "dua pukulan dua kali setahun";

- “de dua y po de zet persegi”;

- “dua pukulan pada x pada z”;

- “de dua y po de z po de y”.

Contoh 10

Temukan semua turunan parsial orde pertama dan kedua untuk fungsi tiga variabel:

.

Larutan: Pertama, kita cari turunan parsial orde pertama:

Kami mengambil turunan yang ditemukan

dan bedakan dengan "y":

Kami mengambil turunan yang ditemukan

dan bedakan dengan "x":

Kesetaraan sudah selesai. Bagus.

Kita berurusan dengan pasangan kedua derivatif campuran.

Kami mengambil turunan yang ditemukan

dan bedakan dengan "z":

Kami mengambil turunan yang ditemukan

dan bedakan dengan "x":

Kesetaraan sudah selesai. Bagus.

Demikian pula, kita berurusan dengan pasangan ketiga turunan campuran:

Kesetaraan sudah selesai. Bagus.

Setelah pekerjaan selesai, dijamin bahwa, pertama, kami menemukan dengan benar semua turunan parsial orde 1, dan kedua, kami juga menemukan dengan benar turunan parsial campuran orde 2.

Masih menemukan tiga turunan parsial orde kedua, di sini, untuk menghindari kesalahan, Anda harus berkonsentrasi sebanyak mungkin:

Siap. Sekali lagi, tugasnya tidak terlalu sulit dan banyak. Penyelesaiannya dapat disingkat dan disebut sebagai persamaan turunan parsial campuran, namun dalam kasus ini tidak akan ada verifikasi. Jadi lebih baik luangkan waktu dan temukan Semua turunan (selain itu, ini mungkin diminta oleh guru), atau, dalam kasus ekstrim, periksa draf.

Contoh 11

Temukan semua turunan parsial orde pertama dan kedua untuk fungsi tiga variabel

.

Ini adalah contoh buatan sendiri.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:Larutan:

Contoh 4:Larutan: Mari kita cari turunan parsial orde pertama.

Kami menyusun diferensial total orde pertama:

Contoh 6:Larutan: M(1, -1, 0):

Contoh 7:Larutan: Mari kita hitung turunan parsial orde pertama pada titik tersebutM(1, 1, 1):

Contoh 9:Larutan:

Contoh 11:Larutan: Mari kita cari turunan parsial orde pertama:

Mari kita cari turunan parsial orde kedua:

.

Integral

8.1. Integral tak tentu. Contoh Solusi Terperinci

Mari kita mulai mempelajari topiknya Integral tak tentu", dan juga menganalisis secara rinci contoh solusi integral paling sederhana (dan tidak sepenuhnya). Seperti biasa, kami akan membatasi diri pada teori minimum yang ada di banyak buku teks, tugas kami adalah mempelajari cara menyelesaikan integral.

Apa yang perlu Anda ketahui agar berhasil menguasai materi? Untuk menguasai kalkulus integral, Anda harus bisa mencari turunannya, setidaknya pada tingkat rata-rata. Pengalaman tidak akan berlebihan jika Anda memiliki beberapa lusin, atau lebih baik, seratus turunan yang ditemukan secara independen. Paling tidak, Anda tidak perlu bingung dengan tugas membedakan fungsi yang paling sederhana dan umum.

Nampaknya, di manakah turunannya jika kita berbicara tentang integral di artikel?! Dan inilah masalahnya. Faktanya mencari turunan dan mencari integral tak tentu (diferensiasi dan integrasi) adalah dua tindakan yang saling berbanding terbalik, seperti penjumlahan/pengurangan atau perkalian/pembagian. Oleh karena itu, tanpa keahlian dan pengalaman dalam menemukan turunan, sayangnya, seseorang tidak dapat maju lebih jauh.

Dalam hal ini, kita memerlukan bahan ajar berikut: Tabel turunan Dan Tabel integral.

Apa kesulitan mempelajari integral tak tentu? Jika dalam turunan terdapat 5 aturan diferensiasi, tabel turunan dan algoritma tindakan yang cukup jelas, maka dalam integral semuanya berbeda. Ada lusinan metode dan teknik integrasi. Dan, jika metode integrasi pada awalnya dipilih secara salah (yaitu, Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya), maka integral tersebut dapat "ditusuk" secara harfiah selama berhari-hari, seperti rebus nyata, mencoba memperhatikan berbagai trik dan trik. Beberapa bahkan menyukainya.

Ngomong-ngomong, kita cukup sering mendengar dari mahasiswa (bukan humaniora) pendapat seperti: “Saya tidak pernah tertarik untuk menyelesaikan limit atau turunannya, tapi integral adalah soal yang sama sekali berbeda, mengasyikkan, selalu ada keinginan untuk “ memecahkan” integral kompleks”. Berhenti. Cukup humor hitamnya, mari kita beralih ke integral yang sangat tidak terbatas ini.

Karena ada banyak cara untuk menyelesaikannya, lalu dari mana teko mulai mempelajari integral tak tentu? Dalam kalkulus integral, menurut pendapat kami, ada tiga pilar atau semacam "poros" yang mengelilingi segala sesuatu yang lain. Pertama-tama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang integral paling sederhana (artikel ini).

Maka Anda perlu mengerjakan pelajarannya secara mendetail. INI ADALAH PENERIMAAN YANG PALING PENTING! Mungkin bahkan artikel terpenting dari semua artikel yang membahas tentang integral. Dan ketiga, pastikan untuk membaca integrasi berdasarkan bagian, karena mengintegrasikan berbagai kelas fungsi. Jika Anda menguasai setidaknya tiga pelajaran ini, maka sudah ada “bukan dua”. Anda bisa dimaafkan karena tidak mengetahuinya integral fungsi trigonometri, integral pecahan, integral fungsi rasional pecahan, integral fungsi irasional (akar), tetapi jika Anda "terjebak" pada metode penggantian atau metode integrasi dengan bagian, maka itu akan sangat-sangat buruk.

Jadi, mari kita mulai dengan sederhana. Mari kita lihat tabel integral. Seperti pada turunan, kita memperhatikan beberapa aturan integrasi dan tabel integral dari beberapa fungsi dasar. Setiap integral tabular (dan tentu saja setiap integral tak tentu) mempunyai bentuk:

Langsung saja kita ke notasi dan istilahnya:

- ikon integral.

- fungsi integrand (ditulis dengan huruf "s").

– ikon diferensial. Apa itu, kami akan segera mempertimbangkannya. Hal utama adalah ketika menulis integral dan selama penyelesaian, penting untuk tidak kehilangan ikon ini. Akan ada cacat yang nyata.

adalah integral atau "isian" integral.

– antiturunan fungsi.

– . Tidak perlu terlalu banyak memuat suku, yang terpenting di sini adalah dalam integral tak tentu, sebuah konstanta ditambahkan ke jawabannya.

Menyelesaikan integral tak tentu berarti mencarikumpulan fungsi antiturunan dari integran yang diberikan

Mari kita lihat entri itu lagi:

Mari kita lihat tabel integral.

Apa yang terjadi? Bagian kiri kami sedang berputar ke fungsi lain: .

Mari kita sederhanakan definisi kita:

Selesaikan integral tak tentu - artinya MENGUBAHnya menjadi fungsi tak tentu (sampai konstan). , menggunakan beberapa aturan, teknik dan tabel.

Misalnya integral tabel . Apa yang telah terjadi? Catatan simbolik telah berubah menjadi serangkaian fungsi antiturunan.

Seperti halnya turunan, untuk mempelajari cara mencari integral, tidak perlu mengetahui apa itu integral, atau fungsi antiturunan dari sudut pandang teoretis. Cukup melakukan transformasi menurut beberapa aturan formal. Jadi, untuk berjaga-jaga sama sekali tidak perlu memahami mengapa integral berubah menjadi eksak. Anda dapat menerima begitu saja rumus ini dan rumus lainnya. Semua orang menggunakan listrik, tetapi hanya sedikit orang yang memikirkan bagaimana elektron mengalir melalui kabel.

Karena diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang berlawanan, maka untuk setiap antiturunan yang ditemukan dengan benar, maka berlaku hal berikut:

Dengan kata lain, jika jawaban yang benar dibedakan, maka harus diperoleh integran aslinya.

Mari kita kembali ke integral tabel yang sama .

Mari kita verifikasi validitas rumus ini. Kita ambil turunan dari ruas kanan:

adalah integran asli.

Omong-omong, menjadi jelas mengapa konstanta selalu ditetapkan ke suatu fungsi. Saat berdiferensiasi, suatu konstanta selalu berubah menjadi nol.

Selesaikan integral tak tentu artinya menemukan sekelompok semua antiturunan, dan bukan fungsi tunggal. Dalam contoh tabel yang dipertimbangkan, , , , dll. - semua fungsi ini adalah solusi integral . Ada banyak sekali solusinya, jadi mereka menulis secara singkat:

Jadi, integral tak tentu apa pun cukup mudah untuk diperiksa. Ini adalah kompensasi untuk sejumlah besar integral dari tipe yang berbeda.

Mari beralih ke contoh spesifik. Mari kita mulai, seperti dalam mempelajari turunan, dengan dua aturan integrasi:

- konstan C dapat (dan harus) dikeluarkan dari tanda integral.

– integral jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) dua integral. Aturan ini berlaku untuk sejumlah persyaratan.

Seperti yang Anda lihat, aturannya pada dasarnya sama dengan turunan. Terkadang mereka dipanggil sifat linearitas integral.

Contoh 1

Temukan integral tak tentu.

Jalankan pemeriksaan.

Larutan: Lebih mudah untuk mengubahnya.

(1) Menerapkan aturan . Jangan lupa menuliskan ikon diferensialnya dx di bawah setiap integral. Mengapa di bawah masing-masing? dxadalah pengganda penuh. Jika Anda melukis secara detail, maka langkah pertama harus ditulis sebagai berikut:

.

(2) Menurut aturan kita keluarkan semua konstanta dari tanda integral. Perhatikan bahwa pada istilah terakhir tg 5 adalah konstanta, kami juga mengeluarkannya.

Selain itu, pada langkah ini kita mempersiapkan akar dan derajat integrasi. Seperti halnya diferensiasi, akar-akarnya harus direpresentasikan dalam bentuk . Akar dan derajat yang terletak di penyebut - naik.

Catatan: tidak seperti turunan, akar-akar integral tidak selalu perlu direduksi menjadi bentuk , dan naikkan derajatnya.

Misalnya, - ini adalah integral tabel yang sudah jadi, yang telah dihitung sebelum Anda, dan segala macam trik Cina menyukainya sama sekali tidak diperlukan. Demikian pula: - ini juga merupakan integral tabel, tidak ada gunanya merepresentasikan pecahan dalam bentuk . Pelajari tabelnya dengan cermat!

(3) Semua integral berbentuk tabel. Kami melakukan transformasi menggunakan tabel, menggunakan rumus: , Dan

untuk fungsi daya - .

Perlu dicatat bahwa integral tabel adalah kasus khusus dari rumus fungsi pangkat: .

Konstan C cukup menambahkan satu kali di akhir ekspresi

(daripada menempatkannya setelah setiap integral).

(4) Kita tuliskan hasil yang diperoleh dalam bentuk yang lebih ringkas, bila semua derajatnya berbentuk

kembali direpresentasikan sebagai akar, dan pangkat dengan eksponen negatif diatur ulang kembali ke penyebutnya.

Penyelidikan. Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membedakan jawaban yang diterima:

Awal integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar. Dari apa yang mereka menari, hingga apa yang mereka kembalikan. Ada baiknya jika cerita dengan integral berakhir begitu saja.

Dari waktu ke waktu, ada pendekatan yang sedikit berbeda untuk memeriksa integral tak tentu, ketika bukan turunannya, tetapi diferensialnya diambil dari jawabannya:

.

Hasilnya, kita memperoleh bukan integran, melainkan integran.

Jangan takut dengan konsep diferensial.

Diferensial adalah turunan dikalikan dengan dx.

Namun, yang penting bagi kami bukanlah seluk-beluk teoretis, tetapi apa yang harus dilakukan selanjutnya dengan perbedaan ini. Perbedaannya terungkap sebagai berikut: ikon D hapus, beri tanda guratan di kanan atas tanda kurung, tetapkan pengali di akhir ekspresi dx :

Diterima inisial integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar.

Seperti yang Anda lihat, diferensialnya adalah mencari turunannya. Saya kurang menyukai cara pemeriksaan yang kedua, karena saya juga harus menggambar tanda kurung besar dan menyeret ikon diferensial dx sampai akhir ujian. Meskipun lebih tepat, atau "lebih solid", atau semacamnya.

Faktanya, metode verifikasi kedua bisa saja bungkam. Intinya bukan pada metodenya, tetapi pada kenyataan bahwa kita telah belajar membuka diferensial. Lagi.

Perbedaannya terungkap sebagai berikut:

1) ikon D menghapus;

2) memberi tanda guratan tepat di atas tanda kurung (sebutan turunannya);

3) di akhir ekspresi kita menetapkan sebuah faktor dx .

Misalnya:

Ingat ini. Kami akan membutuhkan teknik yang dipertimbangkan segera.

Contoh 2

.

Ketika kami menemukan integral tak tentu, kami SELALU mencoba memeriksanya Apalagi peluangnya sangat besar. Tidak semua jenis masalah dalam matematika tingkat tinggi merupakan anugerah dari sudut pandang ini. Tidak menjadi masalah bahwa verifikasi sering kali tidak diperlukan dalam tugas pengendalian, tidak seorang pun, dan tidak ada yang menghalangi pelaksanaannya pada suatu rancangan. Pengecualian hanya dapat dilakukan jika waktu tidak mencukupi (misalnya saat ujian, ujian). Secara pribadi, saya selalu memeriksa integral, dan saya menganggap kurangnya verifikasi sebagai peretasan dan tugas yang diselesaikan dengan buruk.

Contoh 3

Temukan integral tak tentu:

. Jalankan pemeriksaan.

Solusi: Menganalisis integral, kita melihat bahwa di bawah integral kita memiliki produk dari dua fungsi, dan bahkan eksponensial dari seluruh ekspresi. Sayangnya, di bidang pertarungan integral TIDAK baik dan nyaman rumus untuk mengintegrasikan hasil kali dan hasil bagi sebagai: atau .

Oleh karena itu, ketika suatu hasil kali atau hasil bagi diberikan, selalu masuk akal untuk melihat apakah mungkin untuk mengubah integran menjadi suatu jumlah? Contoh yang dipertimbangkan adalah kasus yang memungkinkan.

Pertama kita berikan solusi lengkapnya, komentarnya ada di bawah.

(1) Kita menggunakan rumus lama yang bagus untuk kuadrat jumlah bilangan real apa pun, dengan menghilangkan derajat di atas tanda kurung siku. di luar tanda kurung dan menerapkan rumus perkalian yang disingkat dengan arah yang berlawanan: .

Contoh 4

Temukan integral tak tentu

Jalankan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri. Jawaban dan penyelesaian lengkap di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan integral tak tentu

. Jalankan pemeriksaan.

Dalam contoh ini, integran adalah pecahan. Ketika kita melihat pecahan dalam integran, pertanyaan pertama yang muncul di benak kita adalah: “Apakah mungkin untuk menghilangkan pecahan ini, atau setidaknya menyederhanakannya?”.

Kita perhatikan bahwa penyebutnya berisi akar tunggal "x". Yang ada di lapangan bukan pejuang, artinya pembilangnya bisa dibagi menjadi penyebut suku demi suku:

Kami tidak mengomentari tindakan dengan pangkat pecahan, karena tindakan tersebut telah berulang kali dibahas dalam artikel tentang turunan suatu fungsi.

Jika anda masih bingung dengan contoh seperti

dan tidak ada yang mendapat jawaban yang benar,

Perhatikan juga bahwa solusinya melewatkan satu langkah, yaitu menerapkan aturan , . Biasanya, dengan pengalaman tertentu dalam menyelesaikan integral, aturan-aturan ini dianggap sebagai fakta yang jelas dan tidak dijelaskan secara rinci.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu. Jalankan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri. Jawaban dan penyelesaian lengkap di akhir pelajaran.

Secara umum, dengan pecahan dalam integral, semuanya tidak sesederhana itu, materi tambahan tentang integrasi beberapa jenis pecahan dapat ditemukan di artikel: Integrasi beberapa pecahan. Namun, sebelum melanjutkan ke artikel di atas, Anda perlu membaca pelajarannya: Metode penggantian dalam integral tak tentu. Faktanya adalah menjumlahkan suatu fungsi dengan metode diferensial atau perubahan variabel adalah Inti dalam studi topik, karena ditemukan tidak hanya "dalam tugas murni metode penggantian", tetapi juga dalam banyak jenis integral lainnya.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Solusi:

Contoh 4: Solusi:

Dalam contoh ini, kami menggunakan rumus perkalian tereduksi

Contoh 6: Solusi:

Cara mengubah variabel dalam integral tak tentu. Contoh solusi

Dalam pelajaran ini, kita akan mengenal salah satu trik terpenting dan paling umum yang digunakan dalam menyelesaikan integral tak tentu - mengubah metode variabel. Agar penguasaan materi berhasil, diperlukan pengetahuan awal dan keterampilan integrasi. Jika ada perasaan teko kosong penuh dalam kalkulus integral, maka sebaiknya Anda membiasakan diri terlebih dahulu dengan materinya Integral tak tentu. Contoh solusi, dimana dijelaskan dalam bentuk yang dapat diakses apa itu integral dan contoh dasar untuk pemula dianalisis secara rinci.

Secara teknis, metode perubahan variabel dalam integral tak tentu dilaksanakan dengan dua cara:

– Membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

– Perubahan variabel yang sebenarnya.

Sebenarnya sama saja, namun desain solusinya terlihat berbeda. Mari kita mulai dengan kasus yang lebih sederhana.

Turunan parsial fungsi beberapa variabel merupakan fungsi dari variabel yang sama. Fungsi-fungsi ini, pada gilirannya, mungkin memiliki turunan parsial, yang kita sebut turunan parsial kedua (atau turunan parsial orde kedua) dari fungsi aslinya.

Jadi, misalnya fungsi dua variabel memiliki empat turunan parsial orde kedua, yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut:

Suatu fungsi dari tiga variabel mempunyai sembilan turunan parsial orde kedua:

Turunan parsial orde ketiga dan lebih tinggi dari suatu fungsi beberapa variabel didefinisikan dan dilambangkan dengan cara yang sama: turunan parsial orde suatu fungsi beberapa variabel adalah turunan parsial orde pertama dari turunan parsial orde tersebut. dari fungsi yang sama.

Misalnya, turunan parsial orde ketiga suatu fungsi adalah turunan parsial orde pertama terhadap y dari turunan parsial orde kedua.

Turunan parsial kedua atau lebih tinggi yang diambil terhadap beberapa variabel berbeda disebut turunan parsial campuran.

Misalnya turunan parsial

adalah turunan parsial campuran dari fungsi dua variabel.

Contoh. Temukan turunan parsial campuran orde kedua dari suatu fungsi

Larutan. Menemukan turunan parsial orde pertama

Kemudian kita cari turunan parsial campuran orde kedua

Kita melihat bahwa turunan parsial campuran dan hanya berbeda dalam urutan diferensiasinya, yaitu dalam urutan di mana diferensiasi dilakukan terhadap berbagai variabel, ternyata sama persis. Hasil ini bukan suatu kebetulan. Mengenai turunan parsial campuran, teorema berikut berlaku, yang kami terima tanpa bukti.

Fungsi dua variabel, turunan parsial, diferensial dan gradien

Topik 5.Fungsi dua variabel.

turunan parsial

Definisi fungsi dua variabel, cara pengaturannya.

Derivatif swasta.

Fungsi gradien satu variabel

Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada suatu daerah berbatas tertutup

1. Pengertian fungsi beberapa variabel, cara pengaturannya

Untuk fungsi dua variabel
domain definisi adalah beberapa kumpulan titik pada suatu bidang
, dan jangkauannya adalah celah pada sumbu
.

Untuk presentasi visual fungsi dua variabel nyh lamar garis tingkat.

Contoh . Untuk fungsi
buatlah grafik dan garis datar. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik
.

Grafik fungsi linier adalah pesawat di ruang hampa.

Untuk suatu fungsi, grafiknya adalah bidang yang melalui titik-titik
,
,
.

Garis tingkat fungsi adalah garis sejajar yang persamaannya
.

Untuk fungsi linier dua variabel
garis level diberikan oleh persamaan
dan mewakili keluarga garis sejajar pada bidang.

4

Grafik Fungsi 0 1 2X

Garis tingkat fitur

Pro pribadifungsi turunan dua variabel

Pertimbangkan fungsinya
. Mari kita beri sebuah variabel pada intinya
kenaikan sewenang-wenang
, meninggalkan nilai variabel tidak berubah. Peningkatan fungsi yang sesuai

ditelepon kenaikan sebagian suatu fungsi dengan variabel pada intinya
.

Didefinisikan serupa kenaikan sebagian suatu fungsiberdasarkan variabel: .

Penamaanturunan parsial terhadap: , ,
,
.

Turunan parsial suatu fungsi terhadap suatu variabel disebut batas :

Sebutan: , ,
,
.

Untuk mencari turunan parsial
sehubungan dengan suatu variabel, digunakan aturan untuk mendiferensiasikan suatu fungsi dari satu variabel, dengan asumsi variabelnya konstan.

Demikian pula untuk mencari turunan parsial terhadap suatu variabel variabel dianggap konstan .

Contoh . Untuk fungsi
mencari turunan parsial
,
dan menghitung nilainya pada suatu titik
.

Turunan parsial suatu fungsi
berdasarkan variabel diasumsikan konstan:

Temukan turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap , dengan asumsi fungsi tersebut konstan:

Mari kita hitung nilai turunan parsial untuk
,
:

;
.

Turunan parsial orde kedua fungsi beberapa variabel disebut turunan parsial dari turunan parsial orde pertama.

Mari kita tuliskan turunan parsial orde ke-2 untuk fungsi tersebut:

;
;

;
.

;
dll.

Jika turunan parsial campuran suatu fungsi beberapa variabel kontinu di suatu titik
, kemudian mereka setara satu sama lain pada saat ini. Oleh karena itu, untuk fungsi dua variabel, nilai turunan parsial campuran tidak bergantung pada orde diferensiasi:

.

Contoh. Untuk suatu fungsi, carilah turunan parsial orde kedua
Dan
.

Larutan

Turunan parsial campuran ditemukan melalui diferensiasi fungsi pertama yang berurutan terhadap (dengan asumsi konstan), lalu turunkan turunannya
oleh (dengan asumsi konstan).

Turunan dicari dengan terlebih dahulu mendiferensiasikan fungsi terhadap , kemudian turunan terhadap .

Turunan parsial campuran sama satu sama lain:
.

3. Gradien suatu fungsi dua variabel

properti gradien

Contoh . Diberikan suatu fungsi
. Temukan Gradien
pada intinya
dan membangunnya.

Larutan

Temukan koordinat gradien - turunan parsial.

Pada intinya
gradien adalah sama dengan . Awal vektor
di titik , dan berakhir di titik .

5

4. Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada daerah berbatas tertutup

Rumusan masalah. Biarkan di pesawat menjadi domain berbatas tertutup
diberikan oleh sistem pertidaksamaan bentuk
. Diperlukan untuk menemukan titik-titik di wilayah di mana fungsi tersebut mengambil nilai terbesar dan terkecil.

Yang penting adalah masalah ekstrem, yang model matematikanya berisi linier kendala (persamaan, pertidaksamaan) dan linier fungsi
.

Rumusan masalah. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
(2.1)

di bawah pembatasan

(2.2)

. (2.3)

Karena tidak ada titik kritis untuk fungsi linier banyak variabel di dalam daerah
, maka solusi optimal yang memberikan fungsi tujuan dengan ekstrem hanya tercapai di pinggir wilayah tersebut. Untuk area yang ditentukan oleh batasan linier, titik ekstrem yang mungkin adalah titik sudut. Hal ini memungkinkan kita untuk mempertimbangkan solusi dari masalah tersebut metode grafis.

Solusi grafis dari sistem pertidaksamaan linier

Untuk menyelesaikan masalah ini secara grafis, diperlukan kemampuan untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier dua variabel secara grafis.

Prosedur:

Perhatikan bahwa ketimpangan
mendefinisikan setengah bidang koordinat kanan(dari sumbu
), dan ketimpangan
- setengah bidang koordinat atas(dari sumbu
).

Contoh. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis
.

Kami menulis persamaan garis batas
dan membangunnya dari dua titik, misalnya,
Dan
. Garis lurus membagi sebuah bidang menjadi dua setengah bidang.

Koordinat titik
memenuhi pertidaksamaan (
benar), artinya koordinat semua titik pada setengah bidang yang memuat titik tersebut memenuhi pertidaksamaan. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah koordinat titik-titik setengah bidang yang terletak di sebelah kanan garis batas, termasuk titik-titik pada batas tersebut. Setengah bidang yang diinginkan disorot pada gambar.

Larutan
sistem pertidaksamaan disebut dapat diterima, jika koordinatnya bukan negatif , . Himpunan penyelesaian yang dapat diterima terhadap sistem pertidaksamaan membentuk suatu luas yang terletak pada seperempat pertama bidang koordinat.

Contoh. Bangunlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

Solusi atas kesenjangan adalah:

1)
- setengah bidang yang terletak di kiri dan bawah relatif terhadap garis lurus ( )
;

2)
adalah setengah bidang yang terletak di setengah bidang kanan bawah relatif terhadap garis lurus ( )
;

3)
- setengah bidang yang terletak di sebelah kanan garis lurus ( )
;

4) - setengah bidang di atas sumbu absis, yaitu garis lurus ( )
.

0

Domain solusi yang dapat diterima sistem pertidaksamaan linier tertentu adalah himpunan titik-titik yang terletak di dalam dan pada batas segi empat
, yang persimpangan empat setengah bidang.

Representasi geometris dari fungsi linier

(garis level dan gradien)

Mari kita perbaiki nilainya
, kita mendapatkan persamaannya
, yang secara geometris mendefinisikan garis lurus. Pada setiap titik, fungsi langsung mengambil nilai dan garis tingkat. Memberi berbagai nilai, misalnya,

, ... , kita mendapatkan satu set garis level - himpunan paralel langsung.

Mari kita membangun gradien- vektor
, yang koordinatnya sama dengan nilai koefisien variabel-variabel dalam fungsi tersebut
. Vektor ini adalah: 1) tegak lurus terhadap setiap garis lurus (garis sejajar)
; 2) menunjukkan arah kenaikan fungsi tujuan.

Contoh . Garis Level Plot dan Gradien Fitur
.

Garis datar di , , lurus

,
,

, sejajar satu sama lain. Gradien adalah vektor yang tegak lurus terhadap setiap garis datar.

Pencarian grafis dari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi linier di suatu wilayah

Pernyataan geometris dari masalah. Temukan di area penyelesaian sistem pertidaksamaan linier titik yang dilalui garis datar, sesuai dengan nilai terbesar (terkecil) dari fungsi linier dengan dua variabel.

Pengurutan:

4. Carilah koordinat titik A dengan menyelesaikan sistem persamaan garis yang berpotongan di titik A, dan hitung nilai terkecil fungsinya
. Demikian pula untuk titik B dan nilai fungsi terbesar
. dibangun di atas poin.variabel Pribaditurunanfungsi beberapa variabel dan teknik diferensiasi. Ekstrim fungsiduavariabel dan kebutuhannya...