Apa itu fungsi generik. Fungsi genap dan ganjil

Konversi grafik.

Deskripsi verbal dari fungsi.

cara grafis.

Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi adalah yang paling ilustratif dan sering digunakan dalam rekayasa. Dalam analisis matematis, cara grafis untuk menentukan fungsi digunakan sebagai ilustrasi.

Grafik Fungsi f adalah himpunan semua titik (x; y) dari bidang koordinat, di mana y=f(x), dan x “melewati” seluruh domain dari fungsi yang diberikan.

Suatu himpunan bagian dari bidang koordinat adalah graf suatu fungsi jika memiliki paling banyak satu titik persekutuan dengan sembarang garis yang sejajar dengan sumbu Oy.

Contoh. Apakah gambar di bawah grafik fungsi?

Keuntungan dari tugas grafis adalah kejelasannya. Anda dapat segera melihat bagaimana fungsi berperilaku, di mana ia meningkat, di mana ia menurun. Dari grafik tersebut, Anda dapat langsung mengetahui beberapa karakteristik penting dari fungsi tersebut.

Secara umum, cara analitis dan grafis untuk mendefinisikan suatu fungsi berjalan beriringan. Bekerja dengan rumus membantu membangun grafik. Dan grafik sering menyarankan solusi yang tidak akan Anda perhatikan dalam rumus.

Hampir semua siswa mengetahui tiga cara untuk mendefinisikan fungsi yang baru saja kita bahas.

Mari kita coba menjawab pertanyaan: "Apakah ada cara lain untuk mendefinisikan suatu fungsi?"

Ada cara seperti itu.

Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan sangat jelas dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi y=2x dapat didefinisikan dengan deskripsi verbal berikut: setiap nilai real dari argumen x diberikan nilai gandanya. Aturan diatur, fungsi diatur.

Selain itu, dimungkinkan untuk menentukan fungsi secara verbal, yang sangat sulit, jika bukan tidak mungkin, untuk ditentukan dengan rumus.

Misalnya: setiap nilai argumen natural x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x. Misalnya, jika x=3, maka y=3. Jika x=257, maka y=2+5+7=14. Dan seterusnya. Sulit untuk menuliskan ini dalam formula. Tapi meja itu mudah dibuat.

Metode deskripsi verbal adalah metode yang agak jarang digunakan. Tapi terkadang itu terjadi.

Jika ada hukum korespondensi satu-satu antara x dan y, maka ada fungsi. Hukum apa, dalam bentuk apa itu diungkapkan - dengan rumus, tablet, grafik, kata-kata - tidak mengubah esensi masalah.

Pertimbangkan fungsi yang domain definisinya simetris terhadap asal koordinat, mis. untuk siapa saja X di luar cakupan nomor (- X) juga termasuk dalam domain definisi. Di antara fungsi-fungsi tersebut adalah genap dan ganjil.

Definisi. Fungsi f disebut bahkan, jika untuk apapun X keluar dari domainnya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Dia bahkan. Mari kita periksa.

Untuk siapa saja X persamaan

Dengan demikian, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik dari fungsi ini.

Definisi. Fungsi f disebut aneh, jika untuk apapun X keluar dari domainnya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Dia aneh. Mari kita periksa.

Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik (0; 0).

Untuk siapa saja X persamaan

Dengan demikian, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik dari fungsi ini.

Grafik yang ditunjukkan pada gambar pertama dan ketiga adalah simetris terhadap sumbu y, dan grafik yang ditunjukkan pada gambar kedua dan keempat simetris terhadap titik asal.

Manakah dari fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar genap, dan mana yang ganjil?

Bahkan fungsi.

Bahkan Fungsi yang tandanya tidak berubah jika tandanya diubah disebut x.

x persamaan f(–x) = f(x). Tanda x tidak mempengaruhi tanda kamu.

Grafik fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu koordinat (Gbr. 1).

Contoh fungsi genap:

kamu= cos x

kamu = x 2

kamu = –x 2

kamu = x 4

kamu = x 6

kamu = x 2 + x

Penjelasan:
Mari kita ambil fungsi kamu = x 2 atau kamu = –x 2 .
Untuk nilai berapa pun x fungsinya positif. Tanda x tidak mempengaruhi tanda kamu. Grafiknya simetris terhadap sumbu koordinat. Ini adalah fungsi genap.

fungsi ganjil.

aneh adalah fungsi yang tandanya berubah jika tandanya diubah x.

Dengan kata lain, untuk nilai berapa pun x persamaan f(–x) = –f(x).

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal (Gbr. 2).

Contoh fungsi ganjil:

kamu= dosa x

kamu = x 3

kamu = –x 3

Penjelasan:

Ambil fungsi y = - x 3 .
Semua nilai pada itu akan memiliki tanda minus. Itu tandanya x mempengaruhi tanda kamu. Jika variabel bebasnya bilangan positif, maka fungsinya positif; jika variabel bebasnya bilangan negatif, maka fungsinya negatif: f(–x) = –f(x).
Grafik fungsi simetris terhadap asal. Ini adalah fungsi yang aneh.

Sifat-sifat fungsi genap dan ganjil:

CATATAN:

Tidak semua fitur genap atau ganjil. Ada fungsi yang tidak tunduk pada gradasi tersebut. Misalnya, fungsi akar pada = √X tidak berlaku untuk fungsi genap atau ganjil (Gbr. 3). Saat membuat daftar properti dari fungsi tersebut, deskripsi yang sesuai harus diberikan: tidak genap atau ganjil.

Fungsi periodik.

Seperti yang Anda ketahui, periodisitas adalah pengulangan proses tertentu pada interval tertentu. Fungsi yang menjelaskan proses ini disebut fungsi periodik. Artinya, ini adalah fungsi yang grafiknya memiliki elemen yang berulang pada interval numerik tertentu.

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi y=x^2 genap. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh karena itu, f(x) = f(-x). Dengan demikian, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y=x^3 ganjil. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Oleh karena itu f(x) = -f(x). Dengan demikian, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y=x^3 adalah simetris terhadap titik asal.

Sembunyikan tampilan

Cara untuk mengatur fungsi

Biarkan fungsi diberikan oleh rumus: y=2x^(2)-3 . Dengan menetapkan nilai apa pun ke variabel independen x , Anda dapat menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai yang sesuai dari variabel dependen y . Misalnya, jika x=-0.5 , maka dengan menggunakan rumus, kita mendapatkan bahwa nilai yang sesuai dari y adalah y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Mengingat nilai apa pun yang diambil oleh argumen x dalam rumus y=2x^(2)-3 , hanya satu nilai fungsi yang dapat dihitung yang sesuai dengannya. Fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai tabel:

x	−2	−1	0	1	2	3
kamu	−4	−3	−2	−1	0	1

Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat mengetahui bahwa untuk nilai argumen -1, nilai fungsi -3 akan sesuai; dan nilai x=2 akan sesuai dengan y=0, dan seterusnya. Penting juga untuk mengetahui bahwa setiap nilai argumen dalam tabel hanya sesuai dengan satu nilai fungsi.

Lebih banyak fungsi dapat diatur menggunakan grafik. Dengan bantuan grafik, ditentukan nilai fungsi mana yang berkorelasi dengan nilai x tertentu. Paling sering, ini akan menjadi nilai perkiraan fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

Fungsinya adalah fungsi genap, ketika f(-x)=f(x) untuk setiap x dari domain. Fungsi seperti itu akan simetris terhadap sumbu Oy.

Fungsinya adalah fungsi ganjil ketika f(-x)=-f(x) untuk setiap x dalam domain. Fungsi seperti itu akan simetris tentang asal O (0;0) .

Fungsinya adalah bahkan tidak, juga tidak aneh dan disebut fungsi umum ketika tidak memiliki simetri tentang sumbu atau asal.

Kami memeriksa fungsi paritas berikut:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) dengan domain definisi simetris tentang asal. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Oleh karena itu, fungsi f(x)=3x^(3)-7x^(7) adalah ganjil.

Fungsi periodik

Fungsi y=f(x) , dalam domain di mana f(x+T)=f(x-T)=f(x) benar untuk sembarang x, disebut fungsi periodik dengan periode T \neq 0 .

Pengulangan grafik fungsi pada setiap segmen sumbu absis, yang memiliki panjang T .

Interval di mana fungsinya positif, yaitu, f (x) > 0 - segmen sumbu absis, yang sesuai dengan titik-titik grafik fungsi yang terletak di atas sumbu absis.

f(x) > 0 pada (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Kesenjangan di mana fungsinya negatif, yaitu f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Batasan fungsi

dibatasi dari bawah merupakan kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \in X ketika ada bilangan A yang pertidaksamaannya f(x) \geq A berlaku untuk setiap x \in X .

Contoh fungsi yang dibatasi di bawah ini: y=\sqrt(1+x^(2)) Since y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 untuk sembarang x .

dibatasi dari atas fungsi y=f(x), x \in X dipanggil jika ada bilangan B yang pertidaksamaannya f(x) \neq B berlaku untuk setiap x \dalam X .

Contoh fungsi yang dibatasi di bawah ini: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] karena y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 untuk setiap x \dalam [-1;1] .

Terbatas merupakan kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \di X bila terdapat bilangan K > 0 yang pertidaksamaannya \left | f(x) \kanan | \neq K untuk setiap x \dalam X .

Contoh fungsi terbatas: y=\sin x terbatas pada garis bilangan bulat karena \kiri | \sin x \kanan | \neq 1.

Fungsi naik dan turun

Merupakan kebiasaan untuk berbicara tentang fungsi yang meningkat pada interval yang dipertimbangkan sebagai meningkatkan fungsi ketika nilai x yang lebih besar akan sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar y=f(x) . Dari sini ternyata mengambil dari interval yang dipertimbangkan dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) , dan x_(1) > x_(2) , itu akan menjadi y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Fungsi yang menurun pada interval yang ditinjau disebut fungsi menurun ketika nilai x yang lebih besar akan sesuai dengan nilai fungsi y(x) yang lebih kecil. Dari sini ternyata mengambil dari interval yang dipertimbangkan dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) , dan x_(1) > x_(2) , itu akan menjadi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Akar fungsi merupakan kebiasaan untuk menamai titik-titik di mana fungsi F=y(x) berpotongan dengan sumbu absis (mereka diperoleh sebagai hasil dari penyelesaian persamaan y(x)=0 ).

a) Jika fungsi genap meningkat untuk x > 0, maka fungsi genap berkurang untuk x< 0

b) Ketika fungsi genap berkurang untuk x > 0, maka fungsi genap meningkat untuk x< 0

c) Ketika fungsi ganjil meningkat untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga meningkat untuk x< 0

d) Ketika fungsi ganjil berkurang untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga akan berkurang untuk x< 0

Fungsi ekstrem

Titik minimum fungsi y=f(x) biasanya memanggil titik seperti itu x=x_(0) , di mana lingkungannya akan memiliki titik lain (kecuali untuk titik x=x_(0) ), dan untuk mereka maka pertidaksamaan f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - penunjukan fungsi pada titik min.

Fungsi titik maksimum y=f(x) biasanya memanggil titik seperti itu x=x_(0) , di mana lingkungannya akan memiliki titik lain (kecuali untuk titik x=x_(0) ), dan kemudian pertidaksamaan f(x) akan puas untuk mereka< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Kondisi yang diperlukan

Menurut teorema Fermat: f"(x)=0, maka ketika fungsi f(x) , yang terdiferensiasi di titik x_(0) , akan muncul ekstrem pada titik ini.

Kondisi cukup

Ketika tanda turunan berubah dari plus ke minus, maka x_(0) akan menjadi titik minimum;
x_(0) - akan menjadi titik maksimum hanya ketika turunannya berubah tanda dari minus ke plus saat melewati titik stasioner x_(0) .

Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval

Langkah-langkah perhitungan:

Mencari turunan f"(x) ;
Titik-titik stasioner dan kritis dari fungsi ditemukan dan titik-titik yang termasuk dalam interval dipilih;
Nilai fungsi f(x) ditemukan di titik stasioner dan kritis dan ujung segmen. Hasil terkecil adalah nilai terkecil dari fungsi, dan banyak lagi - terbesar.

Suatu fungsi disebut genap (ganjil) jika untuk sembarang dan persamaan

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu
.

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

Contoh 6.2. Periksa fungsi genap atau ganjil

1)
; 2)
; 3)
.

Larutan.

1) Fungsi didefinisikan dengan
. Ayo temukan
.

Itu.
. Jadi fungsi ini genap.

2) Fungsi didefinisikan untuk

Itu.
. Jadi, fungsi ini ganjil.

3) fungsi didefinisikan untuk , mis. untuk

,
. Oleh karena itu, fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Sebut saja itu fungsi umum.

3. Investigasi fungsi untuk monotonisitas.

Fungsi
disebut meningkat (menurun) pada beberapa interval jika dalam interval ini setiap nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi meningkat (menurun) pada beberapa interval disebut monoton.

Jika fungsi
terdiferensiasi pada interval
dan memiliki turunan positif (negatif).
, maka fungsi
meningkat (menurun) dalam interval ini.

Contoh 6.3. Temukan interval kemonotonan fungsi

1)
; 3)
.

Larutan.

1) Fungsi ini didefinisikan pada seluruh sumbu bilangan. Mari kita cari turunannya.

Turunannya adalah nol jika
dan
. Domain definisi - sumbu numerik, dibagi dengan poin
,
untuk interval. Mari kita tentukan tanda turunan di setiap interval.

Dalam interval
turunannya negatif, fungsi menurun pada interval ini.

Dalam interval
turunannya positif, oleh karena itu, fungsinya meningkat pada interval ini.

2) Fungsi ini didefinisikan jika
atau

Kami menentukan tanda trinomial kuadrat di setiap interval.

Jadi, ruang lingkup fungsi

Mari kita cari turunannya
,
, jika
, yaitu
, tetapi
. Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval
.

Dalam interval
turunannya negatif, oleh karena itu, fungsi menurun pada interval
. Dalam interval
turunannya positif, fungsi meningkat pada interval
.

4. Investigasi fungsi untuk ekstrem.

Dot
disebut titik maksimum (minimum) fungsi
, jika ada lingkungan titik seperti itu itu untuk semua orang
lingkungan ini memenuhi ketidaksetaraan

.

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem.

Jika fungsi
pada intinya memiliki ekstrem, maka turunan fungsi pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem).

Titik di mana turunannya sama dengan nol atau tidak ada disebut kritis.

5. Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem.

Aturan 1. Jika selama transisi (dari kiri ke kanan) melalui titik kritis turunan
mengubah tanda dari "+" menjadi "-", lalu pada titik fungsi
memiliki maksimum; jika dari "-" ke "+", maka minimum; jika
tidak berubah tanda, maka tidak ada ekstrem.

Aturan 2. Biarkan pada intinya
turunan pertama dari fungsi
nol
, dan turunan kedua ada dan bukan nol. Jika sebuah
, kemudian adalah titik maksimum, jika
, kemudian adalah titik minimum dari fungsi.

Contoh 6.4 . Jelajahi fungsi maksimum dan minimum:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Larutan.

1) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval
.

Mari kita cari turunannya
dan selesaikan persamaannya
, yaitu
.dari sini
adalah titik kritis.

Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval ,
.

Saat melewati titik
dan
turunannya berubah tanda dari “–” menjadi “+”, oleh karena itu, menurut aturan 1
adalah poin minimum.

Ketika melewati suatu titik
turunan mengubah tanda dari "+" menjadi "-", jadi
adalah titik maksimum.

,
.

2) Fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval
. Mari kita cari turunannya
.

Dengan menyelesaikan persamaan
, Temukan
dan
adalah titik kritis. Jika penyebutnya
, yaitu
, maka turunannya tidak ada. Jadi,
adalah titik kritis ketiga. Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval.