Rumus reduksi adalah hubungan yang memungkinkan Anda beralih dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dengan sudut `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` dengan fungsi yang sama dari sudut `\alpha`, yang terletak di seperempat pertama lingkaran satuan. Jadi, rumus reduksi “mengarahkan” kita untuk bekerja dengan sudut dalam kisaran 0 hingga 90 derajat, yang sangat memudahkan.
Secara keseluruhan ada 32 rumus reduksi. Mereka pasti akan berguna selama Ujian Negara Bersatu, ujian, dan ulangan. Namun izinkan kami segera memperingatkan Anda bahwa tidak perlu menghafalnya! Anda perlu meluangkan sedikit waktu dan memahami algoritma penerapannya, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan pada waktu yang tepat.
Pertama, mari kita tuliskan semua rumus reduksinya:
Untuk sudut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) atau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Anda sering dapat menemukan rumus reduksi dalam bentuk tabel yang sudutnya ditulis dalam radian:
Untuk menggunakannya, Anda perlu memilih baris dengan fungsi yang kita perlukan dan kolom dengan argumen yang diinginkan. Misalnya, untuk mengetahui dengan menggunakan tabel berapa nilai ` sin(\pi + \alpha)`, cukup mencari jawabannya di perpotongan baris ` sin \beta` dan kolom ` \pi + \alfa`. Kita mendapatkan ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Dan tabel kedua yang serupa, di mana sudut ditulis dalam derajat:
Aturan mnemonik untuk rumus reduksi atau cara mengingatnya
Seperti yang telah kami sebutkan, tidak perlu menghafal semua hubungan di atas. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda mungkin memperhatikan beberapa pola. Mereka memungkinkan kita merumuskan aturan mnemonik (mnemonik - ingat), yang dengannya kita dapat dengan mudah mendapatkan rumus reduksi apa pun.
Mari kita segera perhatikan bahwa untuk menerapkan aturan ini Anda harus pandai mengidentifikasi (atau mengingat) tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai bagian lingkaran satuan. 
Vaksinnya sendiri terdiri dari 3 tahap:
- Argumen fungsi harus direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dan `\alpha` tentu merupakan sudut lancip (dari 0 hingga 90 derajat).
- Untuk argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fungsi trigonometri dari ekspresi yang ditransformasikan berubah menjadi kofungsi, yaitu kebalikannya (sinus ke kosinus, bersinggungan dengan kotangen dan sebaliknya). Untuk argumen `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` fungsinya tidak berubah.
- Tanda fungsi aslinya ditentukan. Fungsi yang dihasilkan di ruas kanan akan mempunyai tanda yang sama.
Untuk melihat bagaimana aturan ini dapat diterapkan dalam praktiknya, mari kita ubah beberapa ekspresi:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
Fungsinya tidak terbalik. Sudut `\pi + \alpha` berada pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ini bertanda “-”, sehingga fungsi yang ditransformasi juga akan bertanda “-”.
Jawaban: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `dosa(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Menurut aturan mnemonik, fungsinya akan dibalik. Sudut `\frac (3\pi)2 - \alpha` berada pada kuarter ketiga, sinus disini bertanda “-”, jadi hasilnya juga bertanda “-”.
Jawaban: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Mari kita nyatakan `3\pi` sebagai `2\pi+\pi`. `2\pi` adalah periode fungsi.
Penting: Fungsi `cos \alpha` dan `sin \alpha` memiliki periode `2\pi` atau `360^\circ`, nilainya tidak akan berubah jika argumen ditambah atau dikurangi sebesar nilai tersebut.
Berdasarkan hal ini, ekspresi kita dapat ditulis sebagai berikut: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Menerapkan aturan mnemonik dua kali, kita mendapatkan: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Jawaban: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Aturan kuda
Poin kedua dari aturan mnemonik yang dijelaskan di atas disebut juga aturan rumus reduksi kuda. Saya bertanya-tanya mengapa kuda?
Jadi, kita mempunyai fungsi dengan argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, titik `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` adalah kuncinya, terletak pada sumbu koordinat. `\pi` dan `2\pi` berada pada sumbu x horizontal, dan `\frac (\pi)2` dan `\frac (3\pi)2` berada pada ordinat vertikal.
Kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan: “Apakah suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?” Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu menggerakkan kepala Anda sepanjang sumbu tempat titik kunci berada.
Artinya, untuk argumen yang poin-poin kuncinya terletak pada sumbu horizontal, kita menjawab “tidak” dengan menggelengkan kepala ke samping. Dan untuk sudut yang titik-titik kuncinya terletak pada sumbu vertikal, kita menjawab “ya” dengan menganggukkan kepala dari atas ke bawah seperti kuda :)
Kami menyarankan Anda menonton video tutorial yang penulis menjelaskan secara detail cara mengingat rumus reduksi tanpa menghafalnya.
Contoh praktis penggunaan rumus reduksi
Penggunaan rumus reduksi dimulai pada kelas 9 dan 10. Banyak soal yang menggunakannya diserahkan ke Ujian Negara Bersatu. Berikut beberapa soal yang mengharuskan Anda menerapkan rumus ini:
- masalah untuk menyelesaikan segitiga siku-siku;
- transformasi ekspresi trigonometri numerik dan alfabet, perhitungan nilainya;
- tugas stereometrik.
Contoh 1. Hitung menggunakan rumus reduksi a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Penyelesaian: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Contoh 2. Setelah menyatakan kosinus melalui sinus menggunakan rumus reduksi, bandingkan bilangan: 1) `sin \frac (9\pi)8` dan `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dan `cos \frac (3\pi)10`.
Penyelesaian: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`dosa \frac (\pi)8 `dosa \frac (\pi)8 Mari kita buktikan dulu dua rumus sinus dan cosinus dari argumen `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dan ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Sisanya berasal dari mereka. Mari kita ambil lingkaran satuan dan titik A di atasnya dengan koordinat (1,0). Biarkan setelah beralih ke Berdasarkan definisi tangen dan kotangen, diperoleh ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dan ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, yang membuktikan rumus reduksi tangen dan kotangen sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`. Untuk membuktikan rumus dengan argumen `\frac (\pi)2 - \alpha`, cukup dengan menyatakannya sebagai `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dan ikuti jalur yang sama seperti di atas. Misalnya, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Sudut `\pi + \alpha` dan `\pi - \alpha` dapat direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` masing-masing. Dan `\frac (3\pi)2 + \alpha` dan `\frac (3\pi)2 - \alpha` sebagai `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Bahan tambahan Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 Apa yang akan kita pelajari: Tinjauan fungsi trigonometri
Teman-teman, Anda pernah menemukan rumus hantu, tetapi Anda belum menyebutnya demikian. Bagaimana menurut Anda: dimana? Lihatlah gambar kami. Benar sekali, ketika definisi fungsi trigonometri diperkenalkan. Mari kita perkenalkan aturan dasarnya: Jika di bawah tanda fungsi trigonometri terdapat bilangan berbentuk π×n/2 + t, dengan n adalah bilangan bulat apa pun, maka fungsi trigonometri kita dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana, yang akan berisi hanya argumen t. Rumus seperti ini disebut rumus hantu. Mari kita ingat beberapa rumus: ada banyak sekali rumus hantu, mari kita buat aturan yang akan digunakan untuk menentukan fungsi trigonometri kita saat menggunakannya formula hantu: Aturan-aturan ini juga berlaku ketika argumen fungsi diberikan dalam derajat! Kita juga dapat membuat tabel transformasi fungsi trigonometri: 1. Transformasikan cos(π + t). Nama fungsinya tetap, yaitu. kita mendapatkan cos(t). Mari kita asumsikan lebih lanjut bahwa π/2 2. Transformasi sin(π/2 + t). Nama fungsinya berubah, mis. kita mendapatkan cos(t). Selanjutnya, asumsikan bahwa 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Transformasikan tg(π + t). Nama fungsinya tetap, yaitu. kita mendapatkan tan(t). Mari kita asumsikan lebih lanjut bahwa 0 4. Transformasikan ctg(270 0 + t). Nama fungsinya berubah, yaitu kita mendapatkan tg(t). Mari kita asumsikan lebih lanjut bahwa 0 Teman-teman, konversikan sendiri menggunakan aturan kami: 1) tg(π + t), Dan satu hal lagi: rumus pengurangan jumlahnya cukup banyak, dan kami akan segera memperingatkan Anda untuk tidak menghafal semuanya. Hal ini sama sekali tidak diperlukan - ada satu yang memungkinkan Anda menerapkan rumus reduksi dengan mudah. Jadi, mari kita tuliskan semua rumus reduksinya dalam bentuk tabel. Rumus ini dapat ditulis ulang menggunakan derajat dan radian. Untuk melakukan ini, cukup ingat hubungan antara derajat dan radian, dan ganti π dengan 180 derajat di semua tempat. Tujuan paragraf ini adalah untuk menunjukkan bagaimana rumus reduksi digunakan dalam praktik untuk menyelesaikan contoh. Pertama-tama, perlu dikatakan bahwa ada banyak sekali cara untuk menyatakan sudut di bawah tanda fungsi trigonometri dalam bentuk dan Misalnya, sudut di bawah tanda fungsi trigonometri sama dengan . Sudut ini dapat direpresentasikan sebagai Sekarang mari kita lihat rumus reduksi apa yang harus kita gunakan bergantung pada representasi sudut. Mari kita ambil . Jika kita menyatakan sudut sebagai Untuk presentasi Akhirnya, karena rumus reduksi yang sesuai mempunyai bentuk Untuk menyimpulkan diskusi ini, perlu dicatat bahwa terdapat kemudahan tertentu ketika menggunakan representasi sudut di mana sudut memiliki nilai dari 0 hingga 90 derajat (dari 0 hingga pi dalam setengah radian). Mari kita lihat contoh lain penggunaan rumus reduksi. Contoh. Dengan menggunakan rumus reduksi, nyatakan melalui sinus dan juga melalui kosinus sudut lancip. Larutan. Untuk menerapkan rumus reduksi, kita perlu merepresentasikan sudut 197 derajat dalam bentuk atau Mengacu pada rumus reduksi yang sesuai Menjawab:
Seperti yang kami sebutkan di atas, tidak perlu menghafal rumus reduksi. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda dapat mengidentifikasi pola yang darinya Anda dapat memperoleh aturan yang memungkinkan Anda memperoleh rumus reduksi apa pun. Dia dipanggil aturan mnemonik(mnemonik adalah seni menghafal). Aturan mnemonik berisi tiga tahap: Perlu segera dikatakan bahwa untuk menerapkan aturan mnemonik, Anda harus pandai mengidentifikasi tanda-tanda sinus, cosinus, tangen, dan kotangen per empat, karena Anda harus melakukan ini terus-menerus. Mari kita lihat penerapan aturan mnemonik menggunakan contoh. Contoh. Dengan menggunakan aturan mnemonik, tuliskan rumus reduksinya Larutan. Kita tidak perlu melakukan langkah pertama pada aturan tersebut, karena sudut di bawah tanda fungsi trigonometri sudah ditulis dalam bentuk yang diperlukan. Mari kita tentukan tanda fungsinya Karena argumen fungsi kosinus berbentuk Sebagai hasilnya, kita punya Menjawab:
Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan untuk menyelesaikan contoh dengan sudut tertentu. Contoh. Dengan menggunakan aturan mnemonik, direduksi menjadi fungsi trigonometri sudut lancip. Larutan. Pertama, bayangkan sudut 777 derajat dalam bentuk yang diperlukan untuk menerapkan aturan mnemonik. Ini dapat dilakukan dengan dua cara: atau. Sudut asal adalah sudut seperempat pertama, sinus sudut ini memiliki tanda tambah. Untuk penyajiannya nama sinusnya harus dibiarkan sama, namun untuk penyajian jenisnya sinusnya harus diubah menjadi cosinus. Hasilnya, kami memiliki dan . Menjawab: DAN Untuk menyimpulkan hal ini, perhatikan contoh yang mengilustrasikan pentingnya merepresentasikan sudut dengan benar di bawah tanda fungsi trigonometri untuk menerapkan aturan mnemonik: sudutnya harus tajam!!! Mari kita hitung garis singgung sudutnya. Pada prinsipnya dengan mengacu pada materi pada artikel nilai sinus, cosinus, tangen dan kotangen maka kita dapat langsung menjawab pertanyaan permasalahan : Jika kita menyatakan sudut sebagai atau sebagai, maka kita dapat menggunakan aturan mnemonik: Namun hal ini dapat terjadi jika Anda mengambil representasi suatu sudut, misalnya suatu bentuk. Dalam hal ini, aturan mnemonik akan membawa kita pada hasil ini. Hasil ini salah, dan hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa untuk representasi kami tidak berhak menerapkan aturan mnemonik, karena sudutnya tidak lancip. Rumus reduksi mencerminkan periodisitas, simetri, dan sifat pergeseran berdasarkan sudut dan . Mari kita segera perhatikan bahwa semua rumus reduksi dapat dibuktikan dengan membuang istilah tersebut dalam argumen, karena ini berarti mengubah sudut sebanyak bilangan bulat putaran penuh, dan ini tidak mengubah nilai fungsi trigonometri. Istilah ini berfungsi sebagai cerminan periodisitas. Blok pertama yang terdiri dari 16 rumus reduksi mengikuti langsung sifat-sifat sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Bahkan tidak ada gunanya memikirkan mereka. Mari beralih ke blok rumus berikutnya. Mari kita buktikan dua yang pertama terlebih dahulu. Sisanya mengikuti dari mereka. Jadi, mari kita buktikan rumus reduksi bentuknya Mari kita pertimbangkan lingkaran satuan. Misalkan titik awal A, setelah diputar membentuk sudut, menuju ke titik A 1 (x, y), dan setelah diputar membentuk sudut, menuju titik A 2. Mari kita menggambar A 1 H 1 dan A 2 H 2 – tegak lurus terhadap garis lurus Ox. Sangat mudah untuk melihat bahwa segitiga siku-siku OA 1 H 1 dan OA 2 H 2 sama besar sisi miringnya dan dua sudut yang berdekatan. Dari persamaan segitiga dan letak titik A 1 dan A 2 pada lingkaran satuan, terlihat jelas bahwa jika titik A 1 mempunyai koordinat x dan y, maka titik A 2 mempunyai koordinat −y dan x. Kemudian definisi sinus dan cosinus memungkinkan kita untuk menulis persamaan dan Mengingat keduanya Untuk membuktikan rumus reduksi dengan argumen, cukup direpresentasikan sebagai , lalu gunakan rumus dan sifat fungsi trigonometri yang telah terbukti dengan argumen berlawanan. Misalnya, . Semua rumus reduksi lainnya dibuktikan dengan cara yang sama berdasarkan rumus yang telah dibuktikan dengan penerapan ganda. Misalnya, direpresentasikan sebagai , dan - sebagai Bibliografi. Ada dua aturan dalam menggunakan rumus reduksi. 1. Jika sudut dapat direpresentasikan sebagai (π/2 ±a) atau (3*π/2 ±a), maka perubahan nama fungsi dosa ke cos, cos ke dosa, tg ke ctg, ctg ke tg. Jika sudut dapat direpresentasikan dalam bentuk (π ±a) atau (2*π ±a), maka Nama fungsinya tetap tidak berubah. Perhatikan gambar di bawah ini, secara skematis terlihat kapan sebaiknya mengganti tanda dan kapan tidak. 2. Aturan “sebagaimana adanya kamu, demikianlah kamu tetap ada.” Tanda fungsi tereduksi tetap sama. Jika fungsi asal mempunyai tanda tambah, maka fungsi tereduksi juga mempunyai tanda tambah. Jika fungsi asal bertanda minus, maka fungsi tereduksi juga bertanda minus. Gambar di bawah menunjukkan tanda-tanda fungsi dasar trigonometri tergantung pada kuarter. Hitung Dosa (150˚) Mari kita gunakan rumus reduksi: Sin(150˚) berada pada suku kedua; dari gambar tersebut terlihat bahwa tanda sin pada suku tersebut sama dengan +. Artinya fungsi yang diberikan juga akan memiliki tanda tambah. Kami menerapkan aturan kedua. Sekarang 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ adalah π/2. Artinya, kita berurusan dengan kasus π/2+60, oleh karena itu, menurut aturan pertama, kita mengubah fungsinya dari sin menjadi cos. Hasilnya, kita mendapatkan Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Jika diinginkan, semua rumus reduksi dapat diringkas dalam satu tabel. Namun masih lebih mudah untuk mengingat kedua aturan ini dan menggunakannya. Trigonometri. Rumus reduksi tidak perlu diajarkan; mereka perlu dipahami. Pahami algoritma untuk menurunkannya. Ini sangat mudah! Mari kita ambil lingkaran satuan dan letakkan semua ukuran derajat (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) di atasnya. Mari kita analisis fungsi sin(a) dan cos(a) pada setiap kuartal. Ingatlah bahwa kita melihat fungsi sin(a) di sepanjang sumbu Y, dan fungsi cos(a) di sepanjang sumbu X. Pada kuartal pertama sudah jelas fungsinya dosa(a)>0 Pada kuartal kedua sudah jelas fungsinya dosa(a)>0, karena sumbu Y positif pada kuartal ini. Pada kuartal ketiga sudah jelas fungsinya dosa(a) Kuartal ketiga dapat digambarkan dalam derajat, seperti (180+α) atau (270-α).
Pada kuarter keempat terlihat jelas fungsinya sin(a) karena sumbu Y negatif pada kuartal ini. Sekarang mari kita lihat rumus reduksinya sendiri. Mari kita ingat secara sederhana algoritma: Jadi mari kita mulai menganalisis algoritma ini kuartal demi kuartal. Cari tahu ekspresi cos(90-α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi sin(90-α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi cos(360+α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi sin(360+α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi cos(90+α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi sin(90+α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi cos(180-α) akan sama dengan apa Cari tahu ekspresi sin(180-α) akan sama dengan apa Saya berbicara tentang kuartal ketiga dan keempat, mari buat tabel dengan cara yang sama: Langganan ke saluran di YOUTUBE dan tonton videonya, persiapkan ujian matematika dan geometri bersama kami.
sudut `\alpha` akan menuju ke titik `A_1(x, y)`, dan setelah memutar sudut `\frac (\pi)2 + \alpha` ke titik `A_2(-y, x)`. Dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik-titik ini ke garis OX, kita melihat bahwa segitiga `OA_1H_1` dan `OA_2H_2` adalah sama besar, karena sisi miring dan sudut-sudut yang berdekatan sama besar. Kemudian, berdasarkan definisi sinus dan cosinus, kita dapat menulis `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dimana kita dapat menulis bahwa ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dan ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, yang membuktikan reduksi rumus sudut sinus dan cosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.Pembelajaran dan presentasi dengan topik: “Penerapan rumus reduksi dalam penyelesaian masalah”
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda. Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
1C: Sekolah. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
1C: Sekolah. Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif tentang bangunan di luar angkasa untuk kelas 10–11
1. Mari kita ulangi sedikit.
2. Aturan rumus reduksi.
3. Tabel konversi rumus reduksi.
4. Contoh.Aturan untuk rumus reduksi
3π/2 + t dan 3π/2 - t, maka fungsinya berubah menjadi fungsi terkait, yaitu sinus menjadi kosinus, kotangen menjadi tangen.
Contoh penggunaan rumus reduksi
Masalah dengan rumus reduksi untuk solusi independen
2) tg(2π - t),
3) tempat tidur bayi(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) dosa(2π + t),
7) dosa(π/2 + 5t),
8) dosa(π/2 - t),
9) dosa(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) karena(π - t).
Contoh penggunaan rumus reduksi
. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sudut dapat bernilai berapa pun. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.
, atau bagaimana 
, atau bagaimana 
, atau dengan banyak cara lainnya., maka representasi ini sesuai dengan rumus reduksi bentuk , yang darinya kita peroleh 
. Di sini kita dapat menunjukkan nilai fungsi trigonometri: .kita sudah akan menggunakan rumus formulir 
, yang membawa kita ke hasil berikut: .
.
, dan sesuai dengan kondisi soal, sudutnya harus lancip. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara: 
atau 
. Dengan demikian, 
atau 
.
Dan 
, kita mendapatkan dan .
Dan 
.
Aturan mnemonik
Dan 
, mengingat sudutnya adalah sudut kuarter pertama.Dan . Asalkan - sudut kuarter pertama, sudut 
juga merupakan sudut kuarter pertama, dan sudut 
- sudut kuarter kedua. Kosinus pada kuarter pertama bertanda plus, dan garis singgung pada kuarter kedua bertanda minus. Pada tahap ini akan terlihat seperti apa rumus yang dibutuhkan 
Dan . Sekarang setelah kita mengetahui tanda-tandanya, kita dapat melanjutkan ke langkah terakhir dari aturan mnemonik., maka nama fungsinya harus diubah menjadi cofunction, yaitu menjadi sinus. Dan argumen tangensialnya berbentuk , oleh karena itu, nama fungsinya harus dibiarkan sama.
Dan . Anda dapat melihat tabel rumus reduksi untuk memastikan hasil yang diperoleh sudah benar.
Dan .
.
.
dan , yang membawa kita pada hasil yang sama.Bukti rumus reduksi
Dan 
.
, dari situlah berikut ini Dan . Hal ini dibuktikan dengan rumus reduksi yang dipertimbangkan untuk sembarang sudut.
(kalau perlu lihat artikel identitas trigonometri dasar), serta rumus-rumus yang baru saja kita buktikan, kita dapatkan 
Dan 
. Jadi kami membuktikan dua rumus reduksi berikut.
. Dan dan - sebagai dan masing-masing.
Butuh bantuan dengan studi Anda?
Topik sebelumnya:
Dan fungsi karena(a)>0
Kuartal pertama dapat digambarkan dalam derajat, seperti (90-α) atau (360+α).
Sebuah fungsi cos(a) karena sumbu X di kuadran ini negatif.
Kuartal kedua dapat digambarkan dalam derajat, seperti (90+α) atau (180-α).
Sebuah fungsi karena(a)>0, karena sumbu X positif pada kuartal ini.
Kuartal keempat dapat digambarkan dalam derajat, seperti (270+α) atau (360-α).
1. Seperempat.(Selalu lihat di kuartal mana Anda berada).
2. Tanda.(Untuk seperempat, lihat fungsi kosinus atau sinus positif atau negatif).
3. Jika ada (90° atau π/2) dan (270° atau 3π/2) dalam tanda kurung, maka perubahan fungsi.
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Kuartal satu.
Akan cos(90-α) = dosa(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Kuartal satu.
Akan dosa(90-α) = cos(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Kuartal satu.
2. Pada kuarter pertama, tanda fungsi kosinusnya positif.
Akan cos(360+α) = cos(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Kuartal satu.
2. Pada kuarter pertama, tanda fungsi sinus bernilai positif.
3. Tidak ada (90° atau π/2) dan (270° atau 3π/2) dalam tanda kurung, maka fungsinya tidak berubah.
Akan dosa(360+α) = dosa(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Seperempat dua.
3. Ada (90° atau π/2) di dalam tanda kurung, maka fungsinya berubah dari cosinus ke sinus.
Akan cos(90+α) = -sin(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Seperempat dua.
3. Ada (90° atau π/2) di dalam tanda kurung, maka fungsinya berubah dari sinus menjadi cosinus.
Akan dosa(90+α) = cos(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Seperempat dua.
2. Pada kuarter kedua, tanda fungsi kosinusnya negatif.
3. Tidak ada (90° atau π/2) dan (270° atau 3π/2) dalam tanda kurung, maka fungsinya tidak berubah.
Akan cos(180-α) = cos(α)
Kami beralasan sesuai dengan algoritma:
1. Seperempat dua.
2. Pada kuarter kedua, tanda fungsi sinusnya positif.
3. Tidak ada (90° atau π/2) dan (270° atau 3π/2) dalam tanda kurung, maka fungsinya tidak berubah.
Akan dosa(180-α) = dosa(α)
