Masalah perkembangan aritmatika sudah ada di zaman kuno. Mereka muncul dan menuntut solusi, karena mereka memiliki kebutuhan praktis.

Jadi, di salah satu papirus Mesir Kuno, yang memiliki konten matematika - papirus Rhind (abad XIX SM) - berisi tugas berikut: membagi sepuluh ukuran roti menjadi sepuluh orang, asalkan perbedaan di antara masing-masing adalah satu kedelapan dari ukuran.

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno ada teorema elegan yang terkait dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambahkan buku keempat belas ke Elemen Euclid), merumuskan gagasan: “Dalam deret aritmatika dengan jumlah anggota genap, jumlah anggota babak ke-2 adalah lebih besar dari jumlah anggota ke-1 dengan kuadrat 1/2 anggota.

Urutan an dilambangkan. Nomor-nomor barisan tersebut disebut anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota ini (a1, a2, a3 ... berbunyi: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd ” dan seterusnya).

Urutannya bisa tak terbatas atau terbatas.

Apa itu barisan aritmatika? Dipahami seperti yang diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan bilangan d yang sama, yang merupakan selisih perkembangannya.

jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan tersebut dianggap meningkat.

Suatu deret aritmatika dikatakan berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. Dengan jumlah anggota yang sangat besar, ini sudah merupakan perkembangan yang tidak terbatas.

Setiap perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah beberapa bilangan.

Pernyataan, yang merupakan kebalikannya, sepenuhnya benar: jika barisan diberikan oleh rumus yang sama, maka ini adalah deret aritmatika, yang memiliki sifat-sifat:

1. Setiap anggota dari perkembangan adalah rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Kebalikannya: jika, mulai dari yang ke-2, setiap suku adalah rata-rata aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya, mis. jika kondisi terpenuhi, maka barisan yang diberikan adalah barisan aritmatika. Kesetaraan ini juga merupakan tanda kemajuan, sehingga biasanya disebut sifat karakteristik kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini adalah benar: barisan adalah barisan aritmatika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu anggota barisan, mulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik untuk setiap empat bilangan dari suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan-bilangan dari barisan tersebut).

Dalam deret aritmatika, setiap suku (N) yang diperlukan dapat ditemukan dengan menerapkan rumus berikut:

Misalnya: suku pertama (a1) dalam deret aritmatika diberikan dan sama dengan tiga, dan selisih (d) sama dengan empat. Anda perlu menemukan suku keempat puluh lima dari perkembangan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan Anda untuk menentukan anggota ke-n dari deret aritmatika melalui salah satu anggota ke-k, asalkan diketahui.

Jumlah anggota deret aritmatika (dengan asumsi n anggota deret terakhir) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain yang nyaman untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah barisan aritmatika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pilihan rumus untuk perhitungan tergantung pada kondisi tugas dan data awal.

Deret alami dari bilangan apa pun seperti 1,2,3,...,n,... adalah contoh paling sederhana dari deret aritmatika.

Selain deret aritmatika, ada juga deret geometri yang memiliki sifat dan karakteristik tersendiri.

Jumlah dari barisan aritmatika.

Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.

Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana merendahkan. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.

Rumus penjumlahannya sederhana:

Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.

S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam masalah seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)

sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.

sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.

n adalah jumlah anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini bertepatan dengan jumlah istilah yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?

Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis perkembangan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari anggota pertama dari perkembangan ke anggota dengan nomor n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)

Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.

Pertama-tama, informasi yang berguna:

Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen rumus yang benar.

Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.

1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota Pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.

Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di tempat yang sama, dalam kondisi! Dikatakan menemukan jumlah 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:

Itu saja. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.

Kami segera menulis rumus jumlah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap istilah dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukan sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)

Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.

Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...

Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu saja! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapa pun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:

sebuah 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:

Jawaban: 1665

Jenis lain dari teka-teki populer:

4. Sebuah deret aritmatika diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.

Anda tentu saja dapat mengecat seluruh progres secara berurutan, dan menempatkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di sisi kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?

Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262,5

Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)

Saran praktis:

Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.

Rumus suku ke-n:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.

Dan sekarang tugas untuk solusi independen.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.

7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uangnya habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Tingkat pertama

Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan numerik

Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:

Urutan numerik
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.
Nomor dengan nomor disebut anggota -th dari urutan.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita memiliki barisan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dll.
Barisan numerik seperti itu disebut deret aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada awal abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai urutan numerik tanpa akhir. Nama "aritmatika" dipindahkan dari teori proporsi kontinu, yang digunakan oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah urutan numerik, yang masing-masing anggotanya sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama. Bilangan ini disebut selisih dari suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

sebuah)
b)
c)
d)

Mengerti? Bandingkan jawaban kami:
Adalah deret aritmatika - b, c.
Tidak deret aritmatika - a, d.

Mari kembali ke progresi yang diberikan () dan coba cari nilai anggota ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan nilai sebelumnya dari bilangan perkembangan sampai kita mencapai suku ke-th dari perkembangan tersebut. Ada baiknya kita tidak memiliki banyak hal untuk diringkas - hanya tiga nilai:

Jadi, anggota -th dari deret aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-th dari deret tersebut? Penjumlahan akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menambahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara di mana Anda tidak perlu menambahkan selisih dari perkembangan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan baik-baik gambar yang digambar... Tentunya Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apa yang membentuk nilai anggota -th dari deret aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Coba cari sendiri dengan cara ini nilai anggota deret aritmatika ini.

Dihitung? Bandingkan entri Anda dengan jawaban:

Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kami secara berturut-turut menambahkan anggota deret aritmatika ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba "depersonalisasi" formula ini - kita bawa ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan deret aritmatika.

Progresi aritmatika meningkat atau menurun.

meningkat- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah lebih besar dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah kurang dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Rumus turunan digunakan dalam perhitungan suku dalam suku naik dan turun dari suatu deret aritmatika.
Mari kita periksa dalam praktek.
Kami diberikan deret aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut:

Dari dulu:

Dengan demikian, kami yakin bahwa rumus tersebut bekerja baik dalam penurunan dan peningkatan deret aritmatika.
Coba cari sendiri anggota -th dan -th dari deret aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti deret aritmatika

Mari kita memperumit tugas - kita mendapatkan properti dari perkembangan aritmatika.
Misalkan kita diberikan kondisi berikut:
- deret aritmatika, temukan nilainya.
Mudah, katamu, dan mulailah menghitung sesuai dengan rumus yang sudah kamu ketahui:

Misalkan a, maka:

Benar-benar tepat. Ternyata kita pertama kali menemukan, lalu menambahkannya ke angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika progresi diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit tentangnya, tetapi bagaimana jika kita diberikan angka dalam kondisi? Setuju, ada kemungkinan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan, apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja, ya, dan kami akan mencoba mengeluarkannya sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diinginkan dari deret aritmatika sebagai, kita tahu rumus untuk menemukannya - ini adalah rumus yang sama yang kita peroleh di awal:
, kemudian:

• anggota progresi sebelumnya adalah:
• suku perkembangan selanjutnya adalah :

Mari kita jumlahkan anggota progresi sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah anggota perkembangan sebelumnya dan selanjutnya adalah dua kali lipat nilai anggota perkembangan yang terletak di antara mereka. Dengan kata lain, untuk menemukan nilai anggota perkembangan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, perlu untuk menambahkannya dan membaginya.

Itu benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari kita perbaiki materinya. Hitung sendiri nilai progresnya, karena sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tetap menemukan hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, "raja matematikawan" - Karl Gauss, dengan mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, sang guru, sibuk memeriksa pekerjaan siswa dari kelas lain, menanyakan tugas berikut di pelajaran: "Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif. " Apa yang mengejutkan guru ketika salah satu muridnya (itu adalah Karl Gauss) setelah satu menit memberikan jawaban yang benar untuk tugas itu, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani setelah perhitungan yang lama menerima hasil yang salah ...

Carl Gauss muda memperhatikan sebuah pola yang dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita memiliki barisan aritmatika yang terdiri dari anggota -ti: Kita perlu mencari jumlah anggota barisan aritmatika yang diberikan. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu menemukan jumlah sukunya dalam tugas, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengan angka-angka tersebut.


Mencoba? Apa yang Anda perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Dan sekarang jawab, berapa banyak pasangan seperti itu dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari semua angka, yaitu.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu deret aritmatika adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita mendapatkan bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal, kita tidak mengetahui suku ke-, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Cobalah untuk mengganti rumus jumlah, rumus anggota ke-.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th, dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang Anda dapatkan?
Gauss ternyata jumlah istilahnya sama, dan jumlah istilahnya. Apakah itu cara Anda memutuskan?

Faktanya, rumus jumlah anggota deret aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas menggunakan sifat-sifat deret aritmatika dengan kekuatan dan utama.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan situs konstruksi terbesar saat itu - konstruksi piramida ... Gambar menunjukkan satu sisinya.

Di mana perkembangannya di sini, katamu? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding piramida.


Mengapa bukan deret aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang diperlukan untuk membangun satu dinding jika bata balok ditempatkan di dasarnya. Saya harap Anda tidak akan menghitung dengan menggerakkan jari Anda melintasi monitor, apakah Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang deret aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini:
Selisih barisan aritmatika.
Banyaknya anggota barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke rumus terakhir (kita hitung jumlah balok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda juga dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah balok yang ada di piramida kami. Apakah itu setuju? Selamat, Anda telah menguasai jumlah suku ke-th dari suatu deret aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok di pangkalan, tetapi dari? Coba hitung berapa banyak batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Bekerja

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squat. Berapa kali Masha akan jongkok dalam beberapa minggu jika dia melakukan jongkok pada latihan pertama.
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada
3. Saat menyimpan log, penebang kayu menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak balok dalam satu pasangan bata, jika dasar pasangan bata adalah kayu.

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter deret aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus jongkok sekali sehari.

2. Angka ganjil pertama, angka terakhir.
   Selisih barisan aritmatika.
   Jumlah bilangan ganjil di - setengah, bagaimanapun, periksa fakta ini menggunakan rumus untuk menemukan anggota -th dari deret aritmatika:

   Angka tersebut memang mengandung angka ganjil.
   Kami mengganti data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya sama dengan.

3. Ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kami, a , karena setiap lapisan atas dikurangi dengan satu log, hanya ada sekelompok lapisan, yaitu.
   Substitusikan data ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada log di batu.

Menyimpulkan

1. - urutan numerik di mana perbedaan antara nomor yang berdekatan adalah sama dan sama. Hal ini meningkat dan menurun.
2. Menemukan rumus Anggota ke deret aritmatika ditulis dengan rumus - , di mana adalah jumlah angka dalam deret.
3. Properti anggota deret aritmatika- - di mana - jumlah angka dalam perkembangan.
4. Jumlah anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana adalah jumlah nilai.

PROGRESI aritmatika. LEVEL RATA-RATA

Urutan numerik

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka. Tetapi Anda selalu dapat membedakan mana di antara mereka yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, yaitu, kita dapat memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari set ini.

Nomor dengan nomor disebut anggota -th dari urutan.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Sangat mudah jika anggota -th dari barisan dapat diberikan oleh beberapa rumus. Misalnya rumus

mengatur urutan:

Dan rumusnya adalah urutan sebagai berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan (suku pertama di sini adalah sama, dan selisihnya). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku -th, Anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, misalnya, suku ke-th dari progresi menggunakan rumus seperti itu, kita harus menghitung sembilan sebelumnya. Misalnya, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris, kami menambahkan, dikalikan dengan beberapa nomor. Untuk apa? Sangat sederhana: ini adalah jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam deret aritmatika, temukan rumus untuk suku ke-n dan temukan suku keseratus.

Larutan:

Anggota pertama sama. Dan apa perbedaannya? Dan inilah yang:

(Lagi pula, itu disebut perbedaan karena sama dengan perbedaan anggota perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya adalah:

Maka suku keseratusnya adalah:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua dari belakang adalah sama, jumlah ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Ada berapa pasangan seperti itu? Itu benar, persis setengah jumlah semua angka, yaitu. Jadi,

Rumus umum untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Larutan:

Angka pertama adalah ini. Setiap berikutnya diperoleh dengan menambahkan nomor ke yang sebelumnya. Jadi, jumlah yang menarik bagi kita membentuk deret aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke th untuk deret ini adalah:

Berapa banyak suku dalam deret jika semuanya harus dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir dari progresi akan sama. Maka jumlah:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari 1m lebih banyak dari hari sebelumnya. Berapa kilometer dia akan berlari dalam minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda mengendarai lebih banyak mil setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama ia melakukan perjalanan km. Berapa hari dia harus melakukan perjalanan untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan?
3. Harga lemari es di toko dikurangi dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, disiapkan untuk dijual seharga rubel, enam tahun kemudian dijual seharga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali deret aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan:, perlu untuk menemukan.
   Jelas, Anda perlu menggunakan rumus jumlah yang sama seperti pada masalah sebelumnya:
   .
   Substitusikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama hari terakhir menggunakan rumus anggota -th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Itu tidak menjadi lebih mudah:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI aritmatika. SINGKAT TENTANG UTAMA

Ini adalah urutan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.

Deret aritmatika meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Rumus untuk menemukan anggota ke-n dari deret aritmatika

ditulis sebagai rumus, di mana adalah jumlah angka dalam perkembangan.

Properti anggota deret aritmatika

Itu memudahkan untuk menemukan anggota perkembangan jika anggota tetangganya diketahui - di mana jumlah angka dalam perkembangan itu.

Jumlah anggota deret aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlah:

Dimana jumlah nilai.

Dimana jumlah nilai.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang-orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
2. Buka akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Dalam kasus kedua kami akan memberimu simulator "6000 tugas dengan solusi dan jawaban, untuk setiap topik, untuk semua tingkat kerumitan." Sudah pasti cukup untuk membantu Anda memecahkan masalah tentang topik apa pun.

Sebenarnya, ini lebih dari sekadar simulator - keseluruhan program pelatihan. Jika diperlukan, Anda juga dapat menggunakannya secara GRATIS.

Akses ke semua teks dan program disediakan sepanjang masa situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih tidak tahu apa itu deret aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanya angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara angka yang berdekatan sudah sama dengan lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sedangkan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, kemajuan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu seperti (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat peningkatan yang - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh progresi yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke, oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Deret aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
2. menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka progresnya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka progresnya jelas menurun;
3. Akhirnya, ada kasus $d=0$ — dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita kurang lebih mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen dari barisan kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Baik\)\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang bertetangga terkait dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk menemukan suku ke $n$ dari perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan pada kenyataannya, semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan formula ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal tentang matematika, itu adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangan $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat disubstitusikan - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tulislah tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuhnya adalah 40 dan suku ketujuh belasnya adalah 50.

Larutan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Baik.\]

Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kita perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Sama seperti itu, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap menggantikan nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal menemukan suku kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat aneh dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $n$ dan $m$ dan mengurangkannya satu sama lain, maka kita mendapatkan selisih dari perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Properti sederhana namun sangat berguna yang harus Anda ketahui - dengan bantuannya, Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi dari banyak masalah perkembangan. Berikut adalah contoh utama dari ini:

Tugas nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan berikut ini:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sementara suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat dari suatu progresi yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kita hanya akan tertidur sampai kita menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; -35,8; …?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35,8$, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi memang suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, hingga berapa bilangan asli $n$) negativitas istilah dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \benar. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah tepat $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam deret aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

Selain itu, mari kita coba mengungkapkan suku kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan angka positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah bilangan 56.

Harap dicatat bahwa dalam tugas terakhir semuanya direduksi menjadi ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya beri tahu Anda, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi gambar menggambarkan artinya dengan baik

Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika bilangan tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan langkah $k$ — dan rumusnya tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berurutan dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota dari suatu deret, kondisi rata-rata aritmatika dipenuhi untuk mereka: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sedemikian rupa sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Sekali lagi, kami menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangga:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa memastikan bahwa jawaban-jawaban ini benar? Mari kita pasang ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk deret aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat nomor -54; 2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat memecahkan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk benar-benar "membangun" progresi yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" semacam itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang secara langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengelompokan dan jumlah elemen

Mari kita kembali ke garis bilangan lagi. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lain:

6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai awal dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (menuju satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat direpresentasikan dengan baik secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi secara fundamental daripada yang kita bahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih suatu barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan dari perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \left(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang ada di tangki: Saya telah mengambil faktor umum 11 dari braket kedua. Jadi, produk yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, perhatikan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien dengan suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, jadi titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata aritmatika dari angka 66 dan 6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan dari kami). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Sisipkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama dengan angka yang diberikan, mereka membentuk deret aritmatika.

Larutan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan angka pertama dan terakhir sudah diketahui. Tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$ dari angka $x$ dan $z$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangannya. Ingat mean aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Berdebat sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka yang diberikan membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir dari angka yang dimasukkan adalah 56.

Larutan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun, perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini berarti bahwa

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ekspresi di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan progresi

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Sesederhana itu: bagi kebanyakan siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang ditemukan di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian di bulan Januari, dan di setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak suku cadang yang diproduksi brigade pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, yang dilukis berdasarkan bulan, akan menjadi deret aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.

Tugas nomor 12. Lokakarya penjilidan buku menjilid 216 buku di bulan Januari, dan setiap bulannya mengikat 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam progresi aritmatika. Kita dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus penjumlahan perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga dapat berupa bilangan negatif. Sebagai contoh, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(empat\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.

Notasi deret aritmatika

Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah pada deret aritmatika

Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OG). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OG). Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Temukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Larutan:

	Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OG). Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Larutan:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan perkembangan. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang, tanpa masalah, kami menemukan apa yang kami cari: \ (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7.5 \).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OG). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Larutan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlah mereka.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diminta telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OG). Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus Kemajuan Aritmatika Penting

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaan dari kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak menyelesaikan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.

Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), di mana \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen kesejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.

Contoh. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OG). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Larutan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. Perkembangan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada jumlahnya (lihat detail). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.

Contoh. Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )

Contoh (OG). Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mendapatkan elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu untuk apa \(n\) ini akan terjadi.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Komputasi...
\(n>65.333…\)		…dan ternyata elemen positif pertama akan memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OG). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Larutan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? Mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th ke \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu menemukan jumlah dari \(1\)th ke \(42\)th, dan kemudian kurangi jumlah dari yang pertama ke \(25\)th (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (bagaimanapun juga, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.