Bagaimana cara memplot fungsi y=sin x? Pertama, perhatikan grafik sinus pada interval.

Kami mengambil satu segmen dengan panjang 2 sel notebook. Kami menandai unit pada sumbu Oy.

Untuk kenyamanan, kami membulatkan angka π/2 menjadi 1,5 (dan bukan 1,6, seperti yang disyaratkan oleh aturan pembulatan). Dalam hal ini, segmen dengan panjang π/2 sesuai dengan 3 sel.

Pada sumbu Kerbau, kami menandai bukan segmen tunggal, tetapi segmen dengan panjang π / 2 (setiap 3 sel). Dengan demikian, segmen panjang π sesuai dengan 6 sel, segmen panjang π/6 sesuai dengan 1 sel.

Dengan pilihan satu segmen ini, grafik yang digambarkan pada selembar buku catatan dalam kotak sesuai dengan grafik fungsi y=sin x sebanyak mungkin.

Mari kita buat tabel nilai sinus pada interval:

Titik yang dihasilkan ditandai pada bidang koordinat:

Karena y=sin x adalah fungsi ganjil, grafik sinusnya simetris terhadap titik asal - titik O(0;0). Mempertimbangkan fakta ini, kami terus memplot grafik ke kiri, lalu titik -π:

Fungsi y=sin x periodik dengan periode T=2π. Oleh karena itu, grafik fungsi, yang diambil pada interval [-π; π], diulang berkali-kali ke kanan dan kiri.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan properti"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua materi diperiksa oleh program antivirus.

Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:

• Properti fungsi Y=sin(X).
• Grafik fungsi.
• Cara membuat grafik dan skalanya.
• Contoh.

sifat sinus. Y=sin(X)

Teman-teman, kita sudah bertemu dengan fungsi trigonometri dari argumen numerik. Apakah Anda ingat mereka?

Mari kita lihat lebih dekat fungsi Y=sin(X).

Mari tuliskan beberapa properti dari fungsi ini:
1) Ranah definisi adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsi ganjil. Mari kita mengingat kembali definisi fungsi ganjil. Suatu fungsi disebut ganjil jika persamaannya benar: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari rumus hantu: sin(-x)=-sin(x). Definisinya terpenuhi, jadi Y=sin(X) adalah fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) meningkat pada interval dan menurun pada interval [π/2; π]. Saat kita bergerak di sepanjang kuartal pertama (berlawanan arah jarum jam), ordinatnya bertambah, dan saat kita bergerak di sepanjang kuartal kedua, ordinatnya berkurang.

4) Fungsi Y=sin(X) dibatasi dari bawah dan atas. Properti ini berasal dari fakta bahwa
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah -1 (untuk x = - π/2+ πk). Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 1 (untuk x = π/2+ πk).

Mari gunakan properti 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membangun grafik kami secara berurutan, menerapkan properti kami. Mari kita mulai membuat grafik pada segmen tersebut.

Perhatian khusus harus diberikan pada skala. Pada sumbu ordinat, akan lebih mudah untuk mengambil satu segmen sama dengan 2 sel, dan pada sumbu absis - satu segmen (dua sel) diambil sama dengan π / 3 (lihat gambar).

Merencanakan fungsi sinus x, y=sin(x)

Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kita:

Mari buat grafik untuk poin kita, dengan mempertimbangkan properti ketiga.

Tabel konversi untuk rumus hantu

Mari gunakan properti kedua, yang menyatakan bahwa fungsi kita ganjil, yang artinya dapat direfleksikan secara simetris tentang asal:

Kita tahu bahwa sin(x+ 2π) = sin(x). Artinya pada segmen [- π; π] grafik terlihat sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - pi] dan seterusnya. Tinggal kita menggambar ulang grafik dengan hati-hati pada gambar sebelumnya di seluruh sumbu x.

Grafik fungsi Y=sin(X) disebut sinusoidal.

Mari tulis beberapa properti lagi sesuai dengan grafik yang dibuat:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada sembarang ruas bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k adalah bilangan bulat dan berkurang pada setiap segmen bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k adalah bilangan bulat.
7) Fungsi Y=sin(X) merupakan fungsi kontinu. Mari kita lihat grafik fungsi dan pastikan fungsi kita tidak terputus, ini berarti kontinuitas.
8) Rentang nilai: segmen [- 1; 1]. Ini juga terlihat jelas dari grafik fungsi.
9) Fungsi Y=sin(X) adalah fungsi periodik. Mari kita lihat grafiknya lagi dan lihat bahwa fungsinya memiliki nilai yang sama pada beberapa interval.

Contoh soal sinus

1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π

Solusi: Mari kita buat 2 grafik fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat gambar).
Grafik kita berpotongan di satu titik A(π; 0), ini jawabannya: x = π

2. Gambarkan fungsi y=sin(π/6+x)-1

Solusi: Grafik yang diinginkan diperoleh dengan memindahkan grafik fungsi y=sin(x) sebesar π/6 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah.

Solusi: Mari kita buat grafik fungsi dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Grafik fungsi menunjukkan bahwa nilai terbesar dan terkecil dicapai di ujung segmen, masing-masing di titik π/2 dan 5π/4.
Jawab: sin(π/2) = 1 adalah nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.

Masalah sinus untuk solusi independen

• Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Gambarkan fungsi y=sin(π/3+x)-2
• Gambarkan fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
• Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada ruas tersebut
• Carilah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada ruas [- π/3; 5π/6]

Sekarang kita akan mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana memplot fungsi trigonometri dari banyak sudut ωx, Di mana ω adalah beberapa bilangan positif.

Untuk memplot fungsi y = dosa ωx Mari bandingkan fungsi ini dengan fungsi yang sudah kita pelajari y = sinx. Mari kita asumsikan bahwa pada x = x 0 fungsi y = sin x mengambil nilai sama dengan 0 . Kemudian

y 0 = dosa X 0 .

Mari ubah rasio ini sebagai berikut:

Oleh karena itu, fungsinya y = dosa ωx pada X = X 0 / ω mengambil nilai yang sama pada 0 , yang merupakan fungsinya y = sin x pada x = X 0 . Dan ini berarti fungsinya y = dosa ωx mengulangi nilainya di ω kali lebih sering daripada fungsi y = sin x. Jadi grafik fungsinya y = dosa ωx diperoleh dengan "mengompresi" grafik fungsi y = sinx V ω kali sepanjang sumbu x.

Misalnya, grafik fungsi y \u003d dosa 2x diperoleh dengan "mengompresi" sinusoid y = sinx dua kali sepanjang absis.

Grafik Fungsi y \u003d dosa x / 2 diperoleh dengan "meregangkan" sinusoid y \u003d sin x dua kali (atau "mengompresi" dalam 1 / 2 kali) sepanjang sumbu x.

Sejak fungsi y = dosa ωx mengulangi nilainya di ω kali lebih sering daripada fungsi
y = sinx, maka periodenya di ω kali lebih kecil dari periode fungsi y = sinx. Misalnya, periode fungsi y \u003d dosa 2x sama 2π / 2 = π , dan periode fungsi y \u003d dosa x / 2 sama π / X / 2 = 4π .

Sangat menarik untuk mempelajari perilaku fungsi y \u003d sin kapak pada contoh animasi, yang dapat dibuat dengan sangat mudah di dalam program maple:

Demikian pula, grafik dibuat untuk fungsi trigonometri lain dari berbagai sudut. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = cos 2x, yang diperoleh dengan "mengompresi" kosinus y = cos x dua kali sepanjang sumbu x.

Grafik Fungsi y = cos x / 2 diperoleh dengan "meregangkan" gelombang kosinus y = cos x dua kali sepanjang sumbu x.

Pada gambar Anda melihat grafik fungsi y = tg 2x, diperoleh dengan "mengompresi" tangentoid y = tg x dua kali sepanjang absis.

Grafik Fungsi y = tg X / 2 , diperoleh dengan "meregangkan" tangentoid y = tg x dua kali sepanjang sumbu x.

Dan terakhir, animasi yang dibawakan oleh program maple:

Latihan

1. Buat grafik dari fungsi-fungsi ini dan tunjukkan koordinat titik perpotongan grafik ini dengan sumbu koordinat. Tentukan periode dari fungsi-fungsi tersebut.

A). y=dosa 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 Dan). y = cos 2x / 3

B). y = cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 H). y=ctg X / 3

V). y=tg 4x / 3 e). y = dosa 2x / 3

2. Tentukan Periode Fungsi y \u003d dosa (πx) Dan y = tg (πх / 2).

3. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari -1 hingga +1 (termasuk dua angka ini) dan berubah secara berkala dengan periode 10.

4 *. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari 0 hingga 1 (termasuk dua angka ini) dan berubah secara berkala dengan periode π / 2.

5. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai riil dan berubah secara periodik dengan periode 1.

6 *. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai negatif dan nol, tetapi tidak mengambil nilai positif dan berubah secara berkala dengan periode 5.