sistem mekanik

Sistem mekanis - satu set poin material:- bergerak menurut hukum mekanika klasik; dan - berinteraksi satu sama lain dan dengan tubuh yang tidak termasuk dalam set ini.

Bobot

Massa memanifestasikan dirinya di alam dalam beberapa cara.

Massa gravitasi pasif menunjukkan dengan kekuatan apa tubuh berinteraksi dengan medan gravitasi eksternal - pada kenyataannya, massa ini adalah dasar untuk mengukur massa dengan menimbang dalam metrologi modern.

Massa gravitasi aktif menunjukkan jenis medan gravitasi yang diciptakan oleh tubuh ini sendiri - massa gravitasi muncul dalam hukum gravitasi universal.

massa inersia mencirikan inersia benda dan muncul dalam salah satu rumusan hukum kedua Newton. Jika gaya sembarang dalam sistem referensi vinersial sama-sama mempercepat benda-benda yang awalnya tidak bergerak berbeda, benda-benda ini diberi massa inersia yang sama.

Massa gravitasi dan inersia sama satu sama lain (dengan akurasi tinggi - sekitar 10 13 - secara eksperimental, dan di sebagian besar teori fisika, termasuk semua yang dikonfirmasi secara eksperimental - persis), oleh karena itu, dalam kasus ketika kita tidak berbicara tentang "baru fisika", hanya berbicara tentang massa, tanpa menentukan yang mana yang mereka maksud.

Dalam mekanika klasik massa sistem benda sama dengan jumlah massa benda-benda penyusunnya. Dalam mekanika relativistik, massa bukanlah besaran fisika tambahan, yaitu massa suatu sistem umumnya tidak sama dengan jumlah massa komponen, tetapi termasuk energi ikat dan tergantung pada sifat gerak relatif partikel. satu sama lain

Pusat massa - ( dalam mekanika) titik geometris yang mencirikan pergerakan benda atau sistem partikel secara keseluruhan. Ini tidak identik dengan konsep pusat gravitasi (walaupun paling sering sama).

Posisi pusat massa (center of inertia) suatu sistem titik material dalam mekanika klasik ditentukan sebagai berikut:

di mana adalah jari-jari-vektor pusat massa, adalah jari-jari-vektor saya-titik sistem, -massa saya-titik.

Untuk kasus distribusi massa kontinu:

di mana adalah massa total sistem, adalah volume, adalah densitas. Dengan demikian, pusat massa mencirikan distribusi massa di atas benda atau sistem partikel.

Dapat ditunjukkan bahwa jika sistem tidak terdiri dari titik-titik material, tetapi dari benda-benda yang diperpanjang dengan massa , maka vektor jari-jari pusat massa sistem tersebut terkait dengan vektor jari-jari pusat massa oleh hubungan benda :

Dengan kata lain, dalam kasus benda-benda yang diperpanjang, suatu rumus adalah sah, yang dalam strukturnya bertepatan dengan yang digunakan untuk titik-titik material.

Dalam mekanika!!!

Konsep pusat massa banyak digunakan dalam mekanika dan fisika.

Gerak benda tegar dapat dianggap sebagai superposisi gerak pusat massa dan gerak rotasi benda di sekitar pusat massanya. Dalam hal ini, pusat massa bergerak dengan cara yang sama seperti benda dengan massa yang sama, tetapi ukurannya sangat kecil (titik material) akan bergerak. Yang terakhir berarti, khususnya, bahwa semua hukum Newton berlaku untuk menggambarkan gerakan ini. Dalam banyak kasus, seseorang dapat mengabaikan dimensi dan bentuk tubuh sama sekali dan hanya mempertimbangkan pergerakan pusat massanya.

Seringkali lebih mudah untuk mempertimbangkan gerakan sistem tertutup dalam kerangka acuan yang terkait dengan pusat massa. Sistem referensi semacam itu disebut sistem pusat massa (sistem-C), atau sistem pusat inersia. Di dalamnya, momentum total sistem tertutup selalu tetap sama dengan nol, yang memungkinkan kita untuk menyederhanakan persamaan geraknya.

Pusat Massa Angka Homogen

Segmen memiliki tengah.

Untuk poligon (baik gambar datar padat dan gambar rangka):

Jajar genjang adalah titik potong diagonal.

Segitiga memiliki titik potong median ( pusat).

Sebuah poligon beraturan memiliki simetri rotasi pusat.

Sebuah setengah lingkaran memiliki titik yang membagi jari-jari tegak lurus dengan perbandingan 4:3π dari pusat lingkaran.

Jumlah gerakan = momentum

Momentum sistem (momentum sistem).

Momentum (momentum tubuh) adalah kuantitas fisik vektor yang sama dengan produk massa tubuh dan kecepatannya:

Momentum (momentum) adalah salah satu karakteristik yang paling mendasar dari pergerakan suatu benda atau sistem benda.

Kami menulis hukum II Newton dalam bentuk yang berbeda, dengan mempertimbangkan bahwa percepatan Maka, oleh karena itu,

Produk gaya dan waktu aksinya sama dengan pertambahan momentum benda (Gbr. 1):

Dimana momentum gaya, yang menunjukkan bahwa hasil aksi gaya tidak hanya bergantung pada nilainya, tetapi juga pada durasi aksinya.

Gambar 1

Besarnya gerak sistem (impuls) adalah besaran vektor yang sama dengan jumlah geometrik (vektor utama) dari jumlah gerak (impuls) semua titik sistem(gbr.2):

Dapat dilihat dari gambar bahwa, terlepas dari kecepatan titik-titik sistem (kecuali jika kecepatan ini paralel), vektor dapat mengambil nilai apa pun dan bahkan menjadi nol ketika poligon dibangun dari vektor menutup. Akibatnya, tidak mungkin untuk sepenuhnya menilai sifat gerak sistem dengan besarnya.

Gbr.2

Mari kita temukan rumus dengan bantuan yang jauh lebih mudah untuk menghitung nilainya, serta untuk memahami artinya.

Dari kesetaraan

mengikuti itu

Mengambil turunan waktu dari kedua bagian, kita mendapatkan

Dari sini kita menemukan bahwa

jumlah gerak (momentum) sistem sama dengan produk massa seluruh sistem dan kecepatan pusat massanya . Hasil ini sangat nyaman digunakan saat menghitung momentum benda tegar.

Dapat dilihat dari rumus bahwa jika benda (atau sistem) bergerak sedemikian rupa sehingga pusat massa tetap diam, maka momentum benda tersebut adalah nol. Misalnya, momentum benda yang berputar di sekitar sumbu tetap yang melewati pusat massanya akan menjadi nol.

Jika gerakan benda itu kompleks, maka nilainya tidak akan mencirikan bagian rotasi dari gerakan di sekitar pusat massa. Misalnya, untuk roda yang berputar, tidak peduli bagaimana roda berputar di sekitar pusat massanya DARI.

Lewat sini, jumlah gerak hanya mencirikan gerak translasi sistem. Dalam kasus gerak kompleks, kuantitas hanya mencirikan bagian translasi dari gerak sistem bersama-sama dengan pusat massa.

Poin utama dari stv dv izheniya (momentum) dari sistem.

Momen utama momentum (atau momentum sudut) sistem relatif terhadap pusat tertentu HAI disebut besaran yang sama dengan jumlah geometris momen-momen besaran gerak semua titik sistem relatif terhadap pusat ini.

Demikian pula, momen kuantitas gerak sistem relatif terhadap sumbu koordinat ditentukan:

Dalam hal ini, mereka secara bersamaan merupakan proyeksi vektor ke sumbu koordinat.

Sama seperti momentum suatu sistem adalah karakteristik dari gerak translasinya, momen utama momentum sistem adalah karakteristik dari gerak rotasi sistem.

Gbr.6

Untuk memahami arti mekanis dari besaran L 0 dan memiliki rumus yang diperlukan untuk memecahkan masalah, kami menghitung momentum sudut benda yang berputar di sekitar sumbu tetap (Gbr. 6) Dalam hal ini, seperti biasa, definisi vektor turun untuk menentukan proyeksinya.

Mari kita temukan formula paling penting untuk aplikasi, yang menentukan kuantitas L z , yaitu momentum sudut benda yang berputar terhadap sumbu rotasi.

Untuk setiap titik tubuh yang berada pada jarak dari sumbu rotasi, kecepatannya. Oleh karena itu, untuk poin ini. Kemudian untuk seluruh tubuh, dengan mengambil faktor persekutuan dari kurung, kita peroleh

Nilai dalam kurung adalah momen inersia benda terhadap sumbu z. Akhirnya kita menemukan

Lewat sini, momen kinetik benda yang berputar terhadap sumbu rotasi sama dengan produk momen inersia benda terhadap sumbu ini dengan kecepatan sudut benda.

Jika sistem terdiri dari beberapa benda yang berputar pada sumbu yang sama, maka jelas akan ada

Sangat mudah untuk melihat analogi antara rumus dan: jumlah gerakan sama dengan produk massa (nilai yang mencirikan inersia tubuh selama gerakan translasi) dan kecepatan; momen kinetik sama dengan produk momen inersia (nilai yang mencirikan inersia benda selama gerakan rotasi) dengan kecepatan sudut.

Pertimbangkan lagi sistem poin material yang sama. Mari kita membangun vektor radius sesuai dengan aturan berikut:

di mana adalah vektor jari-jari dari titik material sistem, dan adalah massanya.

Vektor radius menentukan posisi dalam ruang pusat inersia (pusat massa) sistem.

Sama sekali tidak perlu bahwa beberapa titik material akan berada di pusat massa sistem.

Contoh. Mari kita cari pusat massa sistem yang terdiri dari dua bola kecil - titik material yang dihubungkan oleh batang tanpa bobot (Gbr. 3.29). Sistem tubuh ini disebut dumbel.

Beras. 3.29. Pusat dumbbell massa

Dari gambar. sudah jelas itu

Substitusi ke persamaan ini ekspresi untuk vektor jari-jari pusat massa

Oleh karena itu, pusat massa terletak pada garis lurus yang melalui pusat-pusat bola. Jarak aku 1 dan aku 2 antara bola dan pusat massa adalah sama

Pusat massa lebih dekat ke bola, yang massanya lebih besar, seperti dapat dilihat dari hubungan:

Mari kita tentukan kecepatan dengan mana pusat inersia sistem bergerak. Mari kita bedakan kedua bagian sehubungan dengan waktu:

Pembilang dari ekspresi yang dihasilkan di sisi kanan berisi jumlah impuls semua titik, yaitu impuls sistem. Penyebutnya adalah massa total sistem

Kami telah menemukan bahwa kecepatan pusat inersia terkait dengan momentum sistem dan massa totalnya dengan hubungan yang sama yang berlaku untuk titik material:

Video 3.11. Pergerakan pusat massa dua kereta identik yang dihubungkan oleh pegas.

Pusat massa sistem tertutup selalu bergerak dengan kecepatan konstan, karena momentum sistem seperti itu kekal.

Jika kita sekarang membedakan ekspresi momentum sistem terhadap waktu dan memperhitungkan bahwa turunan dari momentum sistem adalah resultan gaya-gaya luar, maka kita peroleh persamaan gerak pusat massa sistem secara umum:

Sudah jelas itu

Pusat massa sistem bergerak dengan cara yang persis sama seperti titik material dengan massa yang sama dengan massa semua partikel sistem akan bergerak di bawah aksi jumlah vektor semua gaya eksternal yang diterapkan pada sistem.

Jika ada sistem titik material, lokasi internal dan pergerakannya tidak menarik bagi kita, kita berhak menganggapnya sebagai titik material dengan koordinat vektor jari-jari pusat inersia dan massa yang sama dengan jumlah massa titik material sistem.

Jika kita mengasosiasikan dengan pusat massa sistem tertutup titik material (partikel) sistem referensi (disebut sistem pusat gravitasi), maka momentum total semua partikel dalam sistem seperti itu akan sama dengan nol. Jadi, di pusat sistem massa, sistem partikel tertutup secara keseluruhan diam, dan hanya ada gerakan partikel relatif terhadap pusat massa. Oleh karena itu, sifat-sifat proses internal yang terjadi dalam sistem tertutup terungkap dengan jelas.

Dalam kasus ketika sistem adalah benda dengan distribusi massa kontinu, definisi pusat massa pada dasarnya tetap sama. Kami mengelilingi titik sewenang-wenang di tubuh kami dengan volume kecil. Massa yang terkandung dalam volume ini sama dengan , di mana adalah kepadatan zat tubuh, yang mungkin tidak konstan terhadap volumenya. Jumlah seluruh massa elementer tersebut sekarang digantikan oleh integral atas seluruh volume benda, sehingga untuk posisi pusat massa benda diperoleh ekspresi

Jika zat benda itu homogen, massa jenisnya tetap, dan dapat dikeluarkan dari bawah tanda integral, sehingga akan dikurangi pembilang dan penyebutnya. Kemudian ekspresi untuk vektor jari-jari dari pusat massa tubuh mengambil bentuk

di mana adalah volume tubuh.

Dan dalam kasus distribusi massa kontinu, pernyataan benar bahwa

Pusat massa benda tegar bergerak dengan cara yang sama seperti titik material dengan massa yang sama dengan massa benda akan bergerak di bawah aksi jumlah vektor semua gaya eksternal yang diterapkan pada benda.

Contoh. Jika proyektil meledak di beberapa titik dalam lintasan parabolanya, maka pecahan-pecahan itu terbang di sepanjang lintasan yang berbeda-beda, tetapi pusat massanya terus bergerak di sepanjang parabola.

Ada banyak struktur dan struktur yang berbeda, melihat yang mana, orang bertanya-tanya bagaimana mereka menjaga keseimbangan. Mungkin yang paling terkenal di antaranya adalah Menara Miring Pisa yang terkenal, dibangun pada tahun 1360 dan mempertahankan kemiringannya yang tidak disengaja. Mengapa Menara Miring Pisa menjaga keseimbangannya? Rahasianya sederhana. Proyeksi vertikal pusat massa menara berada di alasnya. Ini berlaku untuk bangunan lain. Selain itu, jika suatu benda digantungkan pada suatu titik yang berhimpitan dengan pusat massa, maka benda yang digantung itu juga akan menjaga keseimbangannya. Dimungkinkan juga untuk merakit struktur dengan bentuk paling aneh dari berbagai objek, yang akan seimbang jika lokasi pusat massa dihitung dengan benar. Mari kita coba mencari cara menghitung koordinat pusat massa berbagai bangun datar.

Mari kita asumsikan bahwa Anda memutuskan untuk membuat karangan bunga Tahun Baru yang terdiri dari berbagai bentuk, termasuk bentuk panah. Pertama, Anda perlu memotong segitiga sama kaki dari kertas tebal dengan pola Tahun Baru. Maka Anda perlu membuat guntingan, juga dalam bentuk segitiga sama kaki, sehingga pusat massa dari gambar yang dihasilkan berada di titik PADA(Lihat gambar). Ayo cari koordinatnya x c dan yc pusat massa gambar ini dalam sistem koordinat persegi panjang yOx.

Posisi pusat massa bangun datar diketahui: pusat massa segitiga berada pada titik perpotongan mediannya, pusat massa persegi panjang berada pada titik perpotongan diagonal-diagonalnya, pusat massa lingkaran berhimpitan dengan pusatnya. Karena segitiga ACD- sama kaki, maka, berdasarkan simetrinya terhadap garis lurus OA, berikut ini xc = 0.

Untuk menghitung koordinat yc mari kita gunakan rumus berikut:

di mana S ACD dan SBCD- luas segitiga ACD dan BCD, sebuah y c 1 dan y c 2 masing-masing adalah koordinat pusat massanya. Kemudian:

Mengingat bahwa pusat massa harus berada di titik B, kita mendapatkan:

|OB | = |OA |. Itulah intinya B- tengah segmen |A|.

Menurut metode yang diusulkan, kami menyarankan Anda memecahkan masalah:

Hitung koordinat pusat massa lingkaran dengan jari-jari R dengan radius lingkaran potong r(Lihat gambar). Tentukan berapa rasio jari-jarinya R dan r sehingga pusat massa gambar berada di titik B. Analisis hasilnya.

Petunjuk

Harus diingat bahwa posisi pusat massa secara langsung tergantung pada bagaimana massanya didistribusikan ke volume tubuh. Pusat massa bahkan mungkin tidak berada di dalam benda itu sendiri, contoh benda semacam itu adalah cincin homogen, di mana pusat massa terletak di pusat geometrisnya. Itu adalah - . Dalam perhitungan, pusat massa dapat dianggap sebagai titik matematis di mana seluruh massa benda terkonsentrasi.

Di sini R.ts.m. adalah vektor jari-jari pusat massa, mi adalah massa titik ke-i, ri adalah vektor jari-jari titik ke-i sistem. Dalam praktiknya, dalam banyak kasus, mudah untuk menemukan pusat massa jika objek memiliki bentuk geometris tertentu yang ketat. Misalnya, untuk batang homogen, itu persis di tengah. Untuk jajar genjang, itu adalah di persimpangan diagonal, untuk segitiga itu adalah titik, dan untuk poligon beraturan, pusat massa berada di pusat simetri rotasi.

Untuk benda yang lebih kompleks, tugas perhitungan menjadi lebih rumit, dalam hal ini perlu untuk memecah objek menjadi volume yang homogen. Untuk masing-masing secara terpisah, pusat massa, setelah itu nilai yang ditemukan diganti ke dalam rumus yang sesuai dan nilai akhir ditemukan.

Dalam prakteknya, kebutuhan untuk menentukan pusat massa (center of gravity) biasanya dikaitkan dengan pekerjaan desain. Misalnya, ketika merancang sebuah kapal, penting untuk memastikan stabilitasnya. Jika pusat gravitasi terlalu tinggi, itu bisa terbalik. Bagaimana cara menghitung parameter yang diperlukan untuk objek kompleks seperti kapal? Untuk melakukan ini, pusat gravitasi dari elemen dan rakitan individualnya ditemukan, setelah itu nilai yang ditemukan ditambahkan dengan mempertimbangkan lokasinya. Saat mendesain, mereka biasanya mencoba menempatkan pusat gravitasi serendah mungkin, sehingga unit terberat terletak di bagian paling bawah.

Sumber:

• Pusat massa
• Memecahkan masalah dalam fisika

Pusat massa adalah karakteristik geometris dan teknis yang paling penting dari tubuh. Tanpa menghitung koordinatnya, mustahil membayangkan merancang dalam teknik mesin, memecahkan masalah konstruksi dan arsitektur. Penentuan koordinat pusat massa yang tepat dilakukan dengan menggunakan kalkulus integral.

Petunjuk

Anda harus selalu mulai dari, secara bertahap pindah ke situasi yang lebih kompleks. Lanjutkan dari fakta bahwa pusat massa dari bangun datar kontinu D, di mana konstan dan terdistribusi merata dalam batas-batasnya, harus ditentukan. Argumen x bergerak dari a ke b, y dari c ke d. Bagilah gambar dengan kisi-kisi vertikal (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) dan garis horizontal (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) menjadi persegi panjang dasar dengan alas i=xi-x(i-1) dan tinggi yj=yj-y(j-1) (lihat Gambar 1). Dalam kasus ini, cari bagian tengah ruas dasar i sebagai i=(1/2), dan tinggi yj sebagai j=(1/2). Karena kerapatan didistribusikan secara merata, pusat massa persegi panjang dasar akan bertepatan dengan pusat geometrisnya. Yaitu i=ξi, Yцi=ηj.

Massa M dari bangun datar (jika tidak diketahui), hitung sebagai hasil kali luas. Ganti luas dasar dengan ds=∆хi∆yj=dxdy. Nyatakan mij sebagai dM=ρdS=ρdxdy dan dapatkan massanya menggunakan rumus yang ditunjukkan pada gambar. 2a. Dengan kenaikan kecil, pertimbangkan bahwa mij terkonsentrasi pada titik material dengan koordinat i=ξi, Yцi=ηj. Dari soal diketahui bahwa setiap koordinat pusat massa sistem titik material sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah jumlah momen massa statis mν relatif terhadap sumbu yang bersesuaian, dan sama dengan jumlah massa ini. Momen statis massa mν, relatif terhadap sumbu 0x adalah yν*mν, dan relatif terhadap 0y xν*mν.

Terapkan ini pada situasi yang sedang dipertimbangkan dan dapatkan nilai perkiraan momen statis Jx dan Jy dalam bentuk Jumlah yang termasuk dalam ekspresi terakhir adalah integral. Pergi ke batas dari mereka di →0 yν→0 dan tuliskan yang terakhir (lihat Gambar 2b). Temukan koordinat pusat massa dengan membagi momen statistik yang sesuai dengan massa total gambar M.

Metodologi untuk memperoleh koordinat pusat massa dari gambar spasial G hanya berbeda dalam integral rangkap tiga yang muncul, dan momen statis dianggap relatif terhadap bidang koordinat. Kita tidak boleh lupa bahwa kerapatan tidak selalu konstan, yaitu (x,y,z)≠konst. Oleh karena itu, bentuk final dan paling umum (lihat Gambar 3).

Sumber:

• Piskunov N.S. Kalkulus Diferensial dan Integral. T.2., M.: 1976, 576 hal., sakit.

Hukum gravitasi universal, ditemukan oleh Newton pada tahun 1666 dan diterbitkan pada tahun 1687, menyatakan bahwa semua benda bermassa saling tarik menarik. Formulasi matematis memungkinkan tidak hanya untuk menetapkan fakta tentang ketertarikan timbal balik tubuh, tetapi juga untuk mengukur kekuatannya.

Petunjuk

Bahkan sebelum Newton, banyak yang berspekulasi tentang keberadaan gravitasi universal. Sejak awal sudah jelas bagi mereka bahwa daya tarik antara dua benda mana pun harus bergantung pada massanya dan melemah dengan jarak. Johannes Kepler, yang pertama kali menggambarkan orbit elips tata surya, percaya bahwa matahari menarik dengan gaya yang berbanding terbalik dengan jarak.

Akhirnya, hukum gravitasi universal dirumuskan sebagai berikut: setiap dua benda bermassa saling tarik-menarik, dan gaya tarik-menariknya sama dengan

F = G* ((m1*m2)/R^2),

di mana m1 dan m2 - massa benda, R - jarak, G - konstanta gravitasi.

Jika benda yang berpartisipasi dalam gravitasi memiliki bentuk yang hampir bulat, maka jarak R harus diukur bukan dari permukaannya, tetapi dari pusat massa. Sebuah titik material dengan massa yang sama, terletak persis di tengah, akan menghasilkan gaya tarik menarik yang sama persis.

Secara khusus, ini berarti bahwa, misalnya, ketika menghitung gaya yang dengannya Bumi menarik seseorang yang berdiri di atasnya, jarak R tidak sama dengan nol, tetapi dengan jari-jari. Sebenarnya, itu sama dengan jarak antara pusat Bumi dan pusat gravitasi seseorang, tetapi perbedaan ini dapat diabaikan tanpa kehilangan akurasi.

Daya tarik gravitasi selalu saling menguntungkan: tidak hanya Bumi yang menarik seseorang, tetapi, pada gilirannya, menarik Bumi. Karena perbedaan besar antara massa seseorang di planet ini, ini tidak terlihat. Demikian pula, ketika menghitung lintasan kendaraan ruang angkasa, fakta bahwa pesawat ruang angkasa menarik planet dan komet ke dirinya sendiri biasanya diabaikan.

Namun, jika massa objek yang berinteraksi sebanding, maka ketertarikan timbal balik mereka menjadi nyata bagi semua peserta. Misalnya, dari sudut pandang fisika, tidak sepenuhnya benar untuk mengatakan bahwa Bulan berputar mengelilingi Bumi. Pada kenyataannya, Bulan dan Bumi berputar di sekitar pusat massa yang sama. Karena planet kita jauh lebih besar daripada yang alami, pusat ini terletak di dalamnya, tetapi masih tidak bertepatan dengan pusat Bumi itu sendiri.

Video yang berhubungan

Sumber:

• Fisika keren untuk yang penasaran - hukum gravitasi universal

Matematika dan fisika mungkin adalah ilmu paling menakjubkan yang tersedia bagi manusia. Dengan menggambarkan dunia dalam istilah hukum yang terdefinisi dengan baik dan dapat dihitung, para ilmuwan dapat "di ujung pena" memperoleh nilai-nilai yang, pada pandangan pertama, tampaknya mustahil untuk diukur.

Petunjuk

Salah satu hukum dasar fisika adalah hukum gravitasi. Dikatakan bahwa semua benda tertarik satu sama lain dengan gaya yang sama dengan F=G*m1*m2/r^2. Dalam hal ini, G adalah konstanta tertentu (akan ditunjukkan secara langsung selama perhitungan), m1 dan m2 adalah massa benda, dan r adalah jarak di antara mereka.

massa Tanah dapat dihitung berdasarkan percobaan. Dengan menggunakan pendulum dan stopwatch, Anda dapat menghitung percepatan jatuh bebas g (langkahnya akan dihilangkan sebagai tidak relevan), sama dengan 10 m / s ^ 2. Menurut hukum kedua Newton, F dapat direpresentasikan sebagai m*a. Oleh karena itu, untuk benda yang tertarik ke Bumi: m2*a2=G*m1*m2/r^2, di mana m2 adalah massa benda, m1 adalah massa Bumi, a2=g. Setelah transformasi (pengurangan m2 di kedua bagian, pemindahan m1 ke kiri, dan a2 ke kanan), persamaan akan menjadi sebagai berikut: m1=(ar)^2/G. Substitusi nilai menghasilkan m1=6*10^27

Perhitungan massa Bulan didasarkan pada aturan: dari benda ke pusat massa sistem berbanding terbalik dengan massa benda. Diketahui bahwa Bumi dan Bulan berputar di sekitar titik tertentu (Cm), dan jarak dari pusat ke titik ini adalah 1/81.3. Karenanya, Ml \u003d Mz / 81.3 \u003d 7.35 * 10 ^ 25.

Perhitungan lebih lanjut didasarkan pada hukum ke-3 Keppler, yang menyatakan bahwa (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, di mana T adalah periode revolusi benda langit tubuh sekitar matahari, L adalah jarak ke yang terakhir, M1, M2 dan Mc adalah massa dari dua benda langit dan , Masing-masing. Mengkompilasi persamaan untuk dua sistem (+ bulan - / bumi - bulan), Anda dapat melihat bahwa satu bagian dari persamaan ternyata sama, yang berarti bahwa yang kedua dapat disamakan.

Rumus perhitungan dalam bentuk paling umum adalah Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml). Massa benda langit telah dihitung secara teoritis; Kalkulus atau metode praktis digunakan untuk menghitung L. Setelah menyederhanakan dan mengganti nilai yang diperlukan, persamaan akan berbentuk: Ms / Ms + Ml \u003d 329.390. Oleh karena itu, Ms \u003d 3.3 * 10^33.

Energi kinetik adalah energi dari sistem mekanik, yang bergantung pada kecepatan gerakan setiap titiknya. Dengan kata lain, energi kinetik adalah perbedaan antara energi total dan energi diam dari sistem yang ditinjau, bagian dari energi total sistem yang disebabkan oleh gerakan. Energi kinetik dibagi menjadi energi gerak translasi dan rotasi. Satuan SI untuk energi kinetik adalah Joule.

Petunjuk

Dalam kasus gerak translasi, semua titik sistem (benda) memiliki kecepatan gerak yang sama, yaitu sama dengan kecepatan gerak pusat massa benda. Dalam hal ini, sistem kinetik Tpost sama dengan:
Tpost = ? (mk Vс2)/2,
di mana mk adalah massa tubuh, Vc adalah pusat massa Jadi, dengan tubuh translasi, energi kinetik sama dengan produk massa tubuh dan kuadrat kecepatan pusat massa, dibagi oleh dua. Dalam hal ini, nilai kinetik tidak bergantung pada gerak.

Dalam praktik teknik, kebetulan menjadi perlu untuk menghitung koordinat pusat gravitasi dari sosok datar kompleks yang terdiri dari elemen-elemen sederhana yang lokasi pusat gravitasinya diketahui. Tugas ini merupakan bagian dari tugas menentukan...

Karakteristik geometris penampang komposit balok dan batang. Seringkali pertanyaan seperti itu dihadapi oleh insinyur desain punching dies ketika menentukan koordinat pusat tekanan, pengembang skema pemuatan untuk berbagai kendaraan saat menempatkan beban, perancang bangunan struktur logam saat memilih bagian elemen dan, tentu saja, siswa saat belajar disiplin "Mekanika Teoritis" dan "Kekuatan Bahan".

Perpustakaan tokoh-tokoh dasar.

Untuk gambar bidang simetris, pusat gravitasi bertepatan dengan pusat simetri. Kelompok simetris benda-benda dasar meliputi: lingkaran, persegi panjang (termasuk bujur sangkar), jajaran genjang (termasuk belah ketupat), poligon beraturan.

Dari sepuluh angka yang ditunjukkan pada gambar di atas, hanya dua yang mendasar. Artinya, dengan menggunakan segitiga dan sektor lingkaran, Anda dapat menggabungkan hampir semua figur yang menarik secara praktis. Setiap kurva sewenang-wenang dapat dibagi menjadi beberapa bagian dan diganti dengan busur lingkaran.

Delapan angka yang tersisa adalah yang paling umum, itulah sebabnya mereka dimasukkan dalam perpustakaan semacam ini. Dalam klasifikasi kami, elemen-elemen ini tidak mendasar. Sebuah persegi panjang, jajar genjang dan trapesium dapat terdiri dari dua segitiga. Segi enam adalah jumlah dari empat segitiga. Ruas lingkaran adalah selisih antara ruas lingkaran dan segitiga. Sektor melingkar dari lingkaran adalah perbedaan antara dua sektor. Lingkaran adalah bagian dari lingkaran dengan sudut =2*π=360˚. Setengah lingkaran masing-masing adalah bagian dari lingkaran dengan sudut =π=180˚.

Perhitungan di Excel dari koordinat pusat gravitasi dari angka majemuk.

Itu selalu lebih mudah untuk mengirimkan dan memahami informasi dengan mempertimbangkan contoh daripada mempelajari masalah pada perhitungan teoritis murni. Pertimbangkan solusi untuk masalah "Bagaimana menemukan pusat gravitasi?" pada contoh gambar majemuk yang ditunjukkan pada gambar di bawah teks ini.

Bagian majemuk adalah persegi panjang (dengan dimensi sebuah1 = 80mm, b1 \u003d 40 mm), di mana segitiga sama kaki ditambahkan ke kiri atas (dengan ukuran alas sebuah2 =24 mm dan tinggi h2 \u003d 42 mm) dan dari mana setengah lingkaran dipotong dari kanan atas (dipusatkan pada titik dengan koordinat x03 =50 mm dan kamu03 = 40 mm, jari-jari r3 =26mm).

Untuk membantu Anda melakukan perhitungan, kami akan melibatkan program MS Excel atau program Oo Calc . Salah satu dari mereka akan dengan mudah mengatasi tugas kita!

Dalam sel dengan kuning pengisian bisa dilakukan pendahuluan tambahan perhitungan .

Dalam sel dengan isian kuning muda, kami menghitung hasilnya.

Biru font adalah data awal .

Hitam font adalah intermediat hasil perhitungan .

Merah font adalah terakhir hasil perhitungan .

Kami mulai memecahkan masalah - kami mulai mencari koordinat pusat gravitasi bagian.

Data awal:

1. Nama-nama tokoh dasar yang membentuk bagian komposit akan dimasukkan sesuai

ke sel D3: Persegi panjang

ke sel E3: Segi tiga

ke sel F3: Setengah lingkaran

2. Menggunakan "Perpustakaan angka-angka dasar" yang disajikan dalam artikel ini, kami menentukan koordinat pusat gravitasi elemen-elemen bagian komposit xci dan yci dalam mm relatif terhadap sumbu 0x dan 0y yang dipilih secara sewenang-wenang dan tulis

ke sel D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = sebuah 1 /2

ke sel D5: = 40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

ke sel E4: =24/2 =12,000

xc 2 = sebuah 2 /2

ke sel E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

ke sel F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

ke sel F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = kamu 03 -4* r3 /3/ π

3. Hitung luas elemen F 1 , F 2 , F3 dalam mm2, gunakan lagi rumus dari bagian "Perpustakaan angka dasar"

di sel D6: =40*80 =3200

F1 = sebuah 1 * b1

di sel E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

di sel F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Luas elemen ketiga - setengah lingkaran - negatif karena potongan ini adalah ruang kosong!

Perhitungan koordinat pusat gravitasi:

4. Tentukan luas total dari gambar akhir F0 dalam mm2

di sel gabungan D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Hitung momen statis dari gambar komposit seks dan Sy dalam mm3 relatif terhadap sumbu yang dipilih 0x dan 0y

dalam sel gabungan D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

seks = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

dalam sel gabungan D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Dan akhirnya, kami menghitung koordinat pusat gravitasi dari bagian komposit Xc dan yc dalam mm dalam sistem koordinat yang dipilih 0x - 0y

di sel gabungan D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

di sel gabungan D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Tugas diselesaikan, perhitungan di Excel selesai - koordinat pusat gravitasi bagian, dikompilasi menggunakan tiga elemen sederhana, ditemukan!

Kesimpulan.

Contoh dalam artikel dipilih sangat sederhana agar lebih mudah memahami metodologi untuk menghitung pusat gravitasi dari bagian yang kompleks. Metodenya terletak pada kenyataan bahwa setiap angka kompleks harus dibagi menjadi elemen sederhana dengan lokasi pusat gravitasi yang diketahui dan perhitungan akhir harus dilakukan untuk seluruh bagian.

Jika bagian tersebut terdiri dari profil yang digulung - sudut dan saluran, maka tidak perlu memecahnya menjadi persegi panjang dan bujur sangkar dengan memotong sektor "π / 2" melingkar. Koordinat pusat gravitasi dari profil ini diberikan dalam tabel GOST, yaitu, sudut dan saluran akan menjadi elemen dasar dasar dalam perhitungan bagian komposit Anda (tidak masuk akal untuk berbicara tentang balok-I, pipa , batang dan segi enam - ini adalah bagian simetris terpusat).

Lokasi sumbu koordinat pada posisi pusat gravitasi gambar, tentu saja, tidak mempengaruhi! Oleh karena itu, pilihlah sistem koordinat yang menyederhanakan perhitungan Anda. Jika, misalnya, saya memutar sistem koordinat 45˚ searah jarum jam dalam contoh kita, maka menghitung koordinat pusat gravitasi persegi panjang, segitiga, dan setengah lingkaran akan berubah menjadi langkah perhitungan terpisah dan rumit lainnya yang tidak dapat Anda lakukan “ di kepalamu”.

File perhitungan Excel yang disajikan di bawah ini bukan program dalam kasus ini. Sebaliknya, ini adalah sketsa kalkulator, algoritme, templat yang mengikuti setiap kasus. buat urutan rumus Anda sendiri untuk sel dengan isian kuning cerah.

Jadi, sekarang Anda tahu cara menemukan pusat gravitasi bagian mana pun! Perhitungan lengkap dari semua karakteristik geometris bagian komposit kompleks yang berubah-ubah akan dipertimbangkan di salah satu artikel berikutnya dalam judul "". Ikuti berita di blog.

Untuk menerima informasi tentang rilis artikel baru dan untuk mengunduh file program kerja Saya meminta Anda untuk berlangganan pengumuman di jendela yang terletak di akhir artikel atau di jendela di bagian atas halaman.

Setelah memasukkan alamat email Anda dan mengklik tombol "Terima pengumuman artikel" JANGAN LUPA KONFIRMASI BERLANGGANAN dengan mengklik tautan dalam surat yang akan segera datang kepada Anda di surat yang ditentukan (kadang-kadang - di folder « Spam » )!

Beberapa kata tentang gelas, koin, dan dua garpu, yang digambarkan pada "ikon-ilustrasi" di awal artikel. Banyak dari Anda pasti akrab dengan "trik" yang membangkitkan pandangan kagum dari anak-anak dan orang dewasa yang belum tahu. Topik artikel ini adalah pusat gravitasi. Dialah dan titik tumpunya, bermain dengan kesadaran dan pengalaman kita, cukup membodohi pikiran kita!

Pusat gravitasi dari sistem "garpu + koin" selalu terletak di tetap jarak vertikal ke bawah dari ujung mata uang, yang pada gilirannya menjadi titik tumpu. Ini adalah posisi keseimbangan yang stabil! Jika Anda mengguncang garpu, segera menjadi jelas bahwa sistem berusaha untuk mengambil posisi stabil sebelumnya! Bayangkan pendulum - titik lampiran (= titik dukungan koin di tepi kaca), sumbu batang pendulum (= dalam kasus kami, sumbu adalah virtual, karena massa dua garpu dipisahkan dalam arah ruang yang berbeda) dan beban di bagian bawah sumbu (= pusat gravitasi seluruh sistem "garpu" + koin"). Jika Anda mulai menyimpang pendulum dari vertikal ke segala arah (maju, mundur, kiri, kanan), maka pasti akan kembali ke posisi semula di bawah pengaruh gravitasi. keadaan keseimbangan yang stabil(hal yang sama terjadi dengan garpu dan koin kami)!

Siapa yang tidak mengerti, tetapi ingin mengerti - cari tahu sendiri. Sangat menarik untuk "mencapai" diri Anda sendiri! Saya akan menambahkan bahwa prinsip yang sama menggunakan keseimbangan yang stabil juga diterapkan dalam mainan Roly-Get Up. Hanya pusat gravitasi mainan ini yang terletak di atas titik tumpu, tetapi di bawah pusat belahan permukaan penyangga.

Komentar Anda selalu diterima, pembaca yang budiman!

Aku memohon, MENGHORMATI karya penulis, unduh file SETELAH BERLANGGANAN untuk pengumuman artikel.