Saat mempelajari sifat-sifat persamaan kuadrat, batasan ditetapkan - untuk diskriminan yang kurang dari nol, tidak ada solusi. Segera dinyatakan bahwa kita sedang membicarakan himpunan bilangan real. Pikiran ingin tahu seorang ahli matematika akan tertarik dengan rahasia apa yang terkandung dalam klausa tentang nilai riil?

Seiring berjalannya waktu, para ahli matematika memperkenalkan konsep bilangan kompleks, di mana nilai kondisional dari akar kedua dikurangi satu diambil sebagai satu.

Referensi sejarah

Teori matematika berkembang secara berurutan, dari yang sederhana hingga yang kompleks. Mari kita cari tahu bagaimana konsep yang disebut “bilangan kompleks” muncul dan mengapa hal itu diperlukan.

Sejak dahulu kala, dasar matematika adalah berhitung biasa. Para peneliti hanya mengetahui serangkaian nilai alami. Penjumlahan dan pengurangan itu sederhana. Ketika hubungan ekonomi menjadi lebih kompleks, perkalian mulai digunakan daripada menjumlahkan nilai yang identik. Operasi kebalikan dari perkalian muncul - pembagian.

Konsep bilangan asli membatasi penggunaan operasi aritmatika. Tidak mungkin menyelesaikan semua soal pembagian pada himpunan nilai bilangan bulat. pertama-tama mengarah pada konsep nilai-nilai rasional, dan kemudian pada nilai-nilai irasional. Jika secara rasional dimungkinkan untuk menunjukkan letak pasti suatu titik pada suatu garis, maka secara irasional tidak mungkin menunjukkan titik tersebut. Anda hanya dapat menunjukkan perkiraan interval lokasi. Gabungan bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan nyata, yang dapat direpresentasikan sebagai garis tertentu dengan skala tertentu. Setiap langkah di sepanjang garis adalah bilangan asli, dan di antara keduanya terdapat nilai rasional dan irasional.

Era matematika teoretis dimulai. Perkembangan ilmu astronomi, mekanika, dan fisika membutuhkan penyelesaian persamaan yang semakin kompleks. Dalam bentuk umum, akar-akar persamaan kuadrat ditemukan. Saat memecahkan polinomial kubik yang lebih kompleks, para ilmuwan menemui kontradiksi. Konsep akar pangkat tiga negatif masuk akal, tetapi untuk akar kuadrat hal ini menimbulkan ketidakpastian. Selain itu, persamaan kuadrat hanyalah kasus khusus dari persamaan kubik.

Pada tahun 1545, G. Cardano dari Italia mengusulkan untuk memperkenalkan konsep bilangan imajiner.

Angka ini menjadi akar kedua dari minus satu. Istilah bilangan kompleks akhirnya terbentuk tiga ratus tahun kemudian, dalam karya matematikawan terkenal Gauss. Dia mengusulkan untuk secara formal memperluas semua hukum aljabar ke bilangan imajiner. Garis sebenarnya telah meluas menjadi sebuah bidang. Dunia menjadi lebih besar.

Konsep dasar

Mari kita mengingat kembali sejumlah fungsi yang memiliki batasan pada himpunan nyata:

• y = arcsin(x), didefinisikan dalam rentang nilai antara kesatuan negatif dan positif.
• y = ln(x), masuk akal untuk argumen positif.
• akar kuadrat y = √x, dihitung hanya untuk x ≥ 0.

Dengan menyatakan i = √(-1), kita memperkenalkan konsep seperti bilangan imajiner, ini akan memungkinkan kita menghilangkan semua batasan dari domain definisi fungsi di atas. Ekspresi seperti y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) memiliki makna dalam ruang bilangan kompleks tertentu.

Bentuk aljabarnya dapat ditulis sebagai z = x + i×y pada himpunan nilai real x dan y, dan i 2 = -1.

Konsep baru ini menghilangkan semua batasan penggunaan fungsi aljabar dan tampilannya menyerupai grafik garis lurus pada koordinat nilai nyata dan imajiner.

Pesawat yang kompleks

Bentuk geometris bilangan kompleks memungkinkan untuk memvisualisasikan banyak propertinya. Sepanjang sumbu Re(z) kita tandai nilai riil x, sepanjang sumbu Im(z) - nilai imajiner y, maka titik z pada bidang akan menampilkan nilai kompleks yang diperlukan.

Definisi:

• Re(z) - sumbu nyata.
• Im(z) - berarti sumbu imajiner.
• z adalah titik kondisional dari bilangan kompleks.
• Nilai numerik panjang vektor dari titik nol sampai z disebut modul.
• Sumbu nyata dan sumbu imajiner membagi bidang menjadi empat bagian. Dengan nilai koordinat positif - seperempat I. Ketika argumen sumbu nyata kurang dari 0, dan sumbu imajiner lebih besar dari 0 - kuartal kedua. Ketika koordinatnya negatif - kuartal III. Yang terakhir, triwulan IV banyak mengandung nilai riil positif dan nilai imajiner negatif.

Jadi, pada bidang dengan koordinat x dan y, Anda selalu dapat menggambarkan secara visual sebuah titik dari bilangan kompleks. Simbol i diperkenalkan untuk memisahkan bagian nyata dari bagian imajiner.

Properti

1. Dengan nilai argumen imajiner nol, kita cukup memperoleh suatu bilangan (z = x), yang terletak pada sumbu real dan termasuk dalam himpunan real.
2. Kasus khusus ketika nilai argumen riil menjadi nol, ekspresi z = i×y sesuai dengan lokasi titik pada sumbu imajiner.
3. Bentuk umum z = x + i×y adalah untuk nilai argumen yang bukan nol. Menunjukkan lokasi titik yang mencirikan bilangan kompleks di salah satu kuarter.

Notasi trigonometri

Mari kita mengingat sistem koordinat kutub dan definisi sin dan cos. Tentunya, dengan menggunakan fungsi-fungsi ini Anda dapat mendeskripsikan lokasi titik mana pun di bidang. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui panjang sinar kutub dan sudut kemiringan terhadap sumbu nyata.

Definisi. Notasi berbentuk ∣z ∣ dikalikan dengan jumlah fungsi trigonometri cos(ϴ) dan bagian imajiner i ×sin(ϴ) disebut bilangan kompleks trigonometri. Di sini kita menggunakan notasi sudut kemiringan terhadap sumbu nyata

ϴ = arg(z), dan r = ∣z∣, panjang balok.

Dari pengertian dan sifat-sifat fungsi trigonometri, berikut rumus Moivre yang sangat penting:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Dengan menggunakan rumus ini, akan lebih mudah untuk menyelesaikan banyak sistem persamaan yang mengandung fungsi trigonometri. Apalagi ketika muncul masalah eksponensial.

Modul dan fase

Untuk melengkapi deskripsi himpunan kompleks, kami mengajukan dua definisi penting.

Mengetahui teorema Pythagoras, mudah untuk menghitung panjang sinar dalam sistem koordinat kutub.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), notasi seperti itu dalam ruang kompleks disebut “modulus” dan mencirikan jarak dari 0 ke suatu titik pada bidang.

Sudut kemiringan sinar kompleks terhadap garis nyata ϴ biasa disebut fase.

Dari definisi tersebut jelas bahwa bagian nyata dan bagian imajiner dijelaskan menggunakan fungsi siklik. Yaitu:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × dosa(ϴ);

Sebaliknya fasa mempunyai hubungan dengan nilai aljabar melalui rumus:

ϴ = arctan(x / y) + µ, koreksi µ diperkenalkan untuk memperhitungkan periodisitas fungsi geometri.

rumus Euler

Matematikawan sering menggunakan bentuk eksponensial. Bilangan bidang kompleks dituliskan sebagai ekspresi

z = r × e i × ϴ, yang mengikuti rumus Euler.

Notasi ini telah tersebar luas untuk perhitungan praktis besaran fisis. Bentuk representasi dalam bentuk bilangan kompleks eksponensial sangat cocok untuk perhitungan teknik, dimana ada kebutuhan untuk menghitung rangkaian dengan arus sinusoidal dan perlu diketahui nilai integral fungsi dengan periode tertentu. Perhitungan itu sendiri berfungsi sebagai alat dalam merancang berbagai mesin dan mekanisme.

Mendefinisikan Operasi

Seperti yang telah disebutkan, semua hukum aljabar yang bekerja dengan fungsi matematika dasar berlaku untuk bilangan kompleks.

Operasi penjumlahan

Saat menjumlahkan nilai kompleks, bagian nyata dan imajinernya juga bertambah.

z = z 1 + z 2, dimana z 1 dan z 2 adalah bilangan kompleks berbentuk umum. Mengubah ekspresi, setelah membuka tanda kurung dan menyederhanakan notasi, kita mendapatkan argumen nyata x = (x 1 + x 2), argumen imajiner y = (y 1 + y 2).

Pada grafik terlihat seperti penjumlahan dua vektor, menurut aturan jajar genjang yang terkenal.

Operasi pengurangan

Ini dianggap sebagai kasus penjumlahan khusus, ketika satu bilangan positif, bilangan lainnya negatif, yaitu terletak pada seperempat cermin. Notasi aljabar terlihat seperti perbedaan antara bagian nyata dan bagian imajiner.

z = z 1 - z 2 , atau, dengan mempertimbangkan nilai argumen, mirip dengan operasi penjumlahan, kita memperoleh nilai riil x = (x 1 - x 2) dan nilai imajiner y = (kamu 1 - kamu 2).

Perkalian pada bidang kompleks

Dengan menggunakan aturan untuk mengerjakan polinomial, kita akan memperoleh rumus untuk menyelesaikan bilangan kompleks.

Mengikuti aturan aljabar umum z=z 1 ×z 2, kami mendeskripsikan setiap argumen dan menyajikan argumen serupa. Bagian real dan imajiner dapat dituliskan sebagai berikut:

• x = x 1 × x 2 - kamu 1 × kamu 2,
• kamu = x 1 × kamu 2 + x 2 × kamu 1.

Akan terlihat lebih indah jika kita menggunakan bilangan kompleks eksponensial.

Ekspresinya terlihat seperti ini: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Divisi

Ketika menganggap operasi pembagian sebagai kebalikan dari operasi perkalian, dalam notasi eksponensial kita memperoleh ekspresi sederhana. Membagi nilai z 1 dengan z 2 adalah hasil pembagian modulnya dan beda fasa. Secara formal, jika menggunakan bentuk eksponensial bilangan kompleks, tampilannya seperti ini:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Dalam bentuk notasi aljabar, operasi pembagian bilangan pada bidang kompleks ditulis sedikit lebih rumit:

Dengan mendeskripsikan argumen dan melakukan transformasi polinomial, mudah untuk mendapatkan nilai x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , masing-masing y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , namun , dalam ruang yang dijelaskan, ungkapan ini masuk akal jika z 2 ≠ 0.

Mengekstrak akarnya

Semua hal di atas dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi aljabar yang lebih kompleks - menaikkan pangkat apa pun dan kebalikannya - mengekstraksi akar.

Dengan menggunakan konsep umum pangkat n, kita memperoleh definisi:

z n = (r × e saya ϴ) n .

Menggunakan properti umum, kami menulis ulang dalam bentuk:

z n = r n × e saya ϴ n .

Kami telah memperoleh rumus sederhana untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.

Dari definisi derajat kita memperoleh akibat wajar yang sangat penting. Pangkat genap dari satuan imajiner selalu sama dengan 1. Pangkat ganjil apa pun dari satuan imajiner selalu sama dengan -1.

Sekarang mari kita pelajari fungsi inversnya - mengekstrak akarnya.

Untuk menyederhanakan notasi, kita ambil n = 2. Akar kuadrat w dari nilai kompleks z pada bidang kompleks C biasanya dianggap sebagai ekspresi z = ±, berlaku untuk argumen real apa pun yang lebih besar dari atau sama dengan nol. Untuk w ≤ 0 tidak ada penyelesaian.

Mari kita lihat persamaan kuadrat paling sederhana z 2 = 1. Dengan menggunakan rumus bilangan kompleks, kita menulis ulang r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Dari catatan jelas bahwa r 2 = 1 dan ϴ = 0, oleh karena itu, kita mempunyai solusi unik yang sama dengan 1. Namun hal ini bertentangan dengan konsep bahwa z = -1, juga sesuai dengan definisi akar kuadrat.

Mari kita cari tahu apa yang tidak kita perhitungkan. Jika kita mengingat notasi trigonometri, kita akan mengembalikan pernyataan - dengan perubahan periodik pada fase ϴ, bilangan kompleks tidak berubah. Mari kita nyatakan nilai periode dengan simbol p, maka yang berlaku adalah sebagai berikut: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), dimana 2ϴ = 0 + p, atau ϴ = p / 2. Oleh karena itu, e i 0 = 1 dan e i p /2 = -1 . Kami memperoleh solusi kedua, yang sesuai dengan pemahaman umum tentang akar kuadrat.

Jadi, untuk mencari akar sembarang dari bilangan kompleks, kita akan mengikuti prosedurnya.

• Mari kita tuliskan bentuk eksponensial w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k adalah bilangan bulat sembarang.
• Kita juga dapat menyatakan bilangan yang diperlukan menggunakan bentuk Euler z = r × e i ϴ .
• Mari kita gunakan definisi umum fungsi ekstraksi akar r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Dari sifat umum persamaan modul dan argumen, kita tulis r n = ∣w∣ dan nϴ = arg (w) + p×k.
• Notasi akhir akar bilangan kompleks dijelaskan dengan rumus z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Komentar. Nilai ∣w∣, menurut definisi, adalah bilangan real positif, yang berarti akar pangkat apa pun masuk akal.

Lapangan dan sobat

Sebagai kesimpulan, kami memberikan dua definisi penting yang tidak terlalu penting untuk memecahkan masalah terapan dengan bilangan kompleks, namun penting untuk pengembangan lebih lanjut teori matematika.

Ekspresi penjumlahan dan perkalian dikatakan membentuk medan jika memenuhi aksioma untuk setiap elemen bidang kompleks z:

1. Mengubah tempat suku-suku kompleks tidak mengubah jumlah kompleksnya.
2. Pernyataan itu benar - dalam ekspresi kompleks, jumlah dua bilangan apa pun dapat diganti dengan nilainya.
3. Terdapat nilai netral 0 dimana z + 0 = 0 + z = z benar.
4. Untuk setiap z ada kebalikannya - z, penambahannya menghasilkan nol.
5. Ketika faktor kompleks diubah, hasil kali kompleks tidak berubah.
6. Perkalian dua bilangan apa saja dapat diganti dengan nilainya.
7. Ada nilai netral 1, perkaliannya tidak mengubah bilangan kompleks.
8. Untuk setiap z ≠ 0, terdapat nilai invers z -1, yang dikalikan dengan hasil 1.
9. Mengalikan jumlah dua bilangan dengan sepertiga sama dengan mengalikan masing-masing bilangan dengan bilangan ini dan menjumlahkan hasilnya.
10. 0 ≠ 1.

Bilangan z 1 = x + i×y dan z 2 = x - i×y disebut konjugat.

Dalil. Untuk berpasangan, pernyataan berikut ini benar:

• Konjugasi suatu jumlah sama dengan jumlah elemen konjugasinya.
• Konjugat suatu hasil kali sama dengan hasil kali konjugat.
• sama dengan angka itu sendiri.

Dalam aljabar umum, sifat-sifat seperti itu biasa disebut automorfisme medan.

Contoh

Dengan mengikuti aturan dan rumus yang diberikan untuk bilangan kompleks, Anda dapat dengan mudah mengoperasikannya.

Mari kita lihat contoh paling sederhana.

Tugas 1. Dengan menggunakan persamaan 3y +5 x i= 15 - 7i, tentukan x dan y.

Larutan. Mari kita ingat kembali definisi persamaan kompleks, maka 3y = 15, 5x = -7. Oleh karena itu x = -7/5, y = 5.

Tugas 2. Hitung nilai 2+i 28 dan 1+i 135.

Larutan. Jelasnya, 28 adalah bilangan genap, dari akibat wajar dari definisi bilangan kompleks hingga pangkat kita mempunyai i 28 = 1, yang berarti persamaannya adalah 2 + i 28 = 3. Nilai kedua, i 135 = -1, maka 1 + saya 135 = 0.

Tugas 3. Hitung hasil kali nilai 2+5i dan 4+3i.

Larutan. Dari sifat umum perkalian bilangan kompleks diperoleh (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nilai barunya adalah -7 + 26i.

Tugas 4. Hitung akar-akar persamaan z 3 = -i.

Larutan. Mungkin ada beberapa opsi untuk menemukan bilangan kompleks. Mari kita pertimbangkan salah satu kemungkinannya. Berdasarkan definisi, ∣ - i∣ = 1, fase untuk -i adalah -p / 4. Persamaan awal dapat ditulis ulang menjadi r 3 *ei 3ϴ = e - p/4+ pk, dari mana z = e - p / 12 + pk /3 , untuk bilangan bulat apa pun k.

Himpunan penyelesaiannya berbentuk (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Mengapa bilangan kompleks diperlukan?

Sejarah mengetahui banyak contoh ketika para ilmuwan, ketika mengerjakan suatu teori, bahkan tidak memikirkan penerapan praktis dari hasil mereka. Matematika, pertama-tama, adalah permainan pikiran, kepatuhan yang ketat terhadap hubungan sebab-akibat. Hampir semua konstruksi matematika direduksi menjadi penyelesaian persamaan integral dan diferensial, dan persamaan tersebut, pada gilirannya, dengan beberapa perkiraan, diselesaikan dengan mencari akar-akar polinomial. Di sini kita pertama kali menjumpai paradoks bilangan imajiner.

Ilmuwan alam yang ilmiah, memecahkan masalah yang sepenuhnya praktis, menggunakan solusi berbagai persamaan, menemukan paradoks matematika. Penafsiran paradoks ini menghasilkan penemuan yang sangat mengejutkan. Sifat ganda gelombang elektromagnetik adalah salah satu contohnya. Bilangan kompleks memainkan peran yang menentukan dalam memahami sifat-sifatnya.

Hal ini, pada gilirannya, telah diterapkan secara praktis di bidang optik, elektronik radio, energi, dan banyak bidang teknologi lainnya. Contoh lain, fenomena fisik yang jauh lebih sulit dipahami. Antimateri diprediksi ada di ujung pena. Dan hanya beberapa tahun kemudian upaya untuk mensintesisnya secara fisik dimulai.

Kita tidak boleh berpikir bahwa situasi seperti itu hanya ada dalam fisika. Penemuan yang tidak kalah menarik terjadi di alam yang hidup, selama sintesis makromolekul, dan selama studi kecerdasan buatan. Dan semua ini berkat perluasan kesadaran kita, menjauh dari penjumlahan dan pengurangan sederhana besaran-besaran alami.

• Kami akan didasarkan pada koneksi, bukan pada rumus mekanis.
• Mari kita pertimbangkan bilangan kompleks sebagai pelengkap sistem bilangan kita, sama seperti bilangan nol, pecahan, atau negatif.
• Kami memvisualisasikan ide dalam bentuk grafik untuk lebih memahami esensinya, dan tidak hanya menyajikannya dalam teks kering.

Dan senjata rahasia kami: belajar dengan analogi. Kita akan membahas bilangan kompleks dengan memulai dari nenek moyangnya, yaitu bilangan negatif. Berikut sedikit panduan untuk Anda:

Untuk saat ini, tabel ini tidak masuk akal, tapi biarkan saja. Di akhir artikel, semuanya akan beres.

Mari kita pahami betul apa itu bilangan negatif

Angka negatif tidak sesederhana itu. Bayangkan Anda adalah seorang ahli matematika Eropa pada abad ke-18. Anda mempunyai 3 dan 4, dan Anda dapat menulis 4 – 3 = 1. Sederhana saja.

Tapi apa itu 3 – 4? Apa sebenarnya maksudnya ini? Bagaimana Anda bisa mengambil 4 ekor sapi dari 3 ekor? Bagaimana Anda bisa mendapatkan lebih sedikit daripada tidak sama sekali?

Bilangan negatif dipandang sebagai omong kosong belaka, sesuatu yang “membayangi seluruh teori persamaan” (Francis Maceres, 1759). Saat ini, sangatlah tidak masuk akal jika menganggap angka negatif sebagai sesuatu yang tidak logis dan tidak membantu. Tanyakan kepada guru Anda apakah bilangan negatif melanggar matematika dasar.

Apa yang telah terjadi? Kami menemukan bilangan teoretis yang memiliki sifat berguna. Angka negatif tidak bisa disentuh atau dirasakan, namun bagus dalam menggambarkan hubungan tertentu (seperti utang, misalnya). Ini adalah ide yang sangat berguna.

Daripada berkata, “Aku berhutang padamu 30,” dan membaca kata-katanya untuk mengetahui apakah aku dalam keadaan hitam atau hitam, aku bisa menuliskan “-30” dan mengetahui apa maksudnya. Jika saya menghasilkan uang dan melunasi hutang saya (-30 + 100 = 70), saya dapat dengan mudah menulis transaksi ini dalam beberapa karakter. Saya akan mendapatkan +70.

Tanda plus dan minus secara otomatis menunjukkan arah - Anda tidak memerlukan satu kalimat lengkap untuk menjelaskan perubahan setelah setiap transaksi. Matematika menjadi lebih sederhana, lebih elegan. Tidak lagi menjadi masalah apakah angka negatif itu “nyata” - angka tersebut memiliki sifat yang berguna, dan kita menggunakannya sampai angka tersebut menjadi mapan dalam kehidupan kita sehari-hari. Jika ada teman Anda yang belum memahami esensi bilangan negatif, kini Anda akan membantunya.

Namun jangan meremehkan penderitaan manusia: angka negatif merupakan perubahan nyata dalam kesadaran. Bahkan Euler, si jenius yang menemukan bilangan e dan masih banyak lagi, tidak memahami bilangan negatif sebaik yang kita pahami saat ini. Hal ini dipandang sebagai hasil perhitungan yang "tidak berarti".

Sungguh aneh mengharapkan anak-anak dengan tenang memahami ide-ide yang pernah membingungkan bahkan para ahli matematika terbaik sekalipun.

Memasukkan Angka Imajiner

Ini cerita yang sama dengan angka imajiner. Kita bisa menyelesaikan persamaan seperti ini sepanjang hari:

Jawabannya adalah 3 dan -3. Tapi mari kita bayangkan ada orang pintar yang menambahkan nilai minus di sini:

Baiklah. Pertanyaan seperti inilah yang membuat orang merasa ngeri saat pertama kali melihatnya. Apakah Anda ingin menghitung akar kuadrat suatu bilangan yang kurang dari nol? Ini tidak terpikirkan! (Secara historis, pertanyaan serupa sebenarnya ada, tetapi akan lebih mudah bagi saya untuk membayangkan orang bijak yang tidak berwajah, agar tidak mempermalukan para ilmuwan di masa lalu).

Kelihatannya gila, sama seperti bilangan negatif, nol, dan bilangan irasional (bilangan tidak berulang) di masa lalu. Tidak ada arti "nyata" dari pertanyaan ini, bukan?

Tidak, itu tidak benar. Apa yang disebut “bilangan imajiner” sama normalnya dengan bilangan lain (atau sama abnormalnya): bilangan tersebut adalah alat untuk menggambarkan dunia. Dengan semangat yang sama ketika kita membayangkan bahwa -1, 0,3 dan 0 "ada", misalkan ada suatu bilangan i, dimana:

Dengan kata lain, Anda mengalikan i dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan -1. Apa yang terjadi sekarang?

Yah, awalnya kita pasti pusing. Namun dengan memainkan permainan "Anggap saja saya ada" sebenarnya kita membuat matematika menjadi lebih sederhana dan elegan. Muncul koneksi-koneksi baru yang dapat kita gambarkan dengan mudah.

Anda tidak akan percaya pada saya, sama seperti para ahli matematika tua yang pemarah itu tidak percaya pada keberadaan -1. Semua konsep baru yang memutar otak menjadi sebuah tabung sulit untuk dipahami, dan maknanya tidak segera muncul, bahkan bagi Euler yang brilian. Namun seperti yang ditunjukkan oleh angka negatif, ide-ide baru yang aneh bisa sangat berguna.

Saya tidak suka istilah "bilangan imajiner" itu sendiri - sepertinya istilah itu dipilih secara khusus untuk menyinggung perasaan saya. Angka i sama normalnya dengan yang lain, namun julukan “imajiner” sudah menempel di sana, jadi kami juga akan menggunakannya.

Pemahaman visual tentang bilangan negatif dan kompleks

Persamaan x^2 = 9 sebenarnya berarti sebagai berikut:

Transformasi x manakah yang diterapkan dua kali dan mengubah 1 menjadi 9?

Ada dua jawaban: "x = 3" dan "x = -3". Artinya, Anda dapat “menskalakan” sebanyak 3 kali atau “menskalakan sebanyak 3 dan membalik” (membalikkan atau mengambil kebalikan dari hasilnya adalah semua interpretasi mengalikan dengan satu negatif).

Sekarang mari kita pikirkan persamaan x^2 = -1, yang dapat ditulis seperti ini:

Transformasi x manakah yang diterapkan dua kali dan mengubah 1 menjadi -1? Hm.

• Bilangan positif tidak bisa dikalikan dua kali karena hasilnya positif.
• Kita tidak bisa mengalikan bilangan negatif dua kali karena hasilnya akan positif lagi.

Bagaimana dengan... rotasi! Kedengarannya tidak biasa tentunya, namun bagaimana jika kita menganggap x sebagai “rotasi 90 derajat”, maka dengan menerapkan x dua kali, kita akan melakukan rotasi 180 derajat pada sumbu koordinat, dan 1 akan berubah menjadi -1!

Wow! Dan jika kita memikirkannya lebih jauh, kita dapat melakukan dua putaran dalam arah yang berlawanan, dan juga beralih dari 1 ke -1. Ini adalah rotasi "negatif" atau perkalian dengan -i:

Jika kita mengalikan dengan -i dua kali, maka pada perkalian pertama kita mendapatkan -i dari 1, dan pada perkalian kedua -1 dari -i. Jadi sebenarnya ada dua akar kuadrat dari -1: i dan -i.

Ini sangat keren! Kita punya solusinya, tapi apa maksudnya?

• i adalah "dimensi imajiner baru" untuk mengukur bilangan
• i (atau -i) adalah angka yang "menjadi" ketika diputar
• Mengalikannya dengan i berarti memutar 90 derajat berlawanan arah jarum jam
• Perkalian dengan -i adalah putaran 90 derajat searah jarum jam.
• Memutar dua kali ke arah mana pun menghasilkan -1: ini membawa kita kembali ke dimensi "normal" bilangan positif dan negatif (sumbu x).

Semua bilangan adalah 2 dimensi. Ya, sulit untuk menerimanya, namun orang Romawi kuno juga akan kesulitan menerima desimal atau pembagian panjang. (Bagaimana bisa ada lebih banyak angka antara 1 dan 2?). Kelihatannya aneh, sama seperti cara berpikir baru lainnya dalam matematika.

Kami bertanya "Bagaimana cara mengubah 1 menjadi -1 dalam dua tindakan?" dan menemukan jawabannya: putar 1 90 derajat dua kali. Cara berpikir yang cukup aneh dan baru dalam matematika. Tapi sangat berguna. (Omong-omong, interpretasi geometris bilangan kompleks ini muncul hanya beberapa dekade setelah ditemukannya bilangan i itu sendiri).

Selain itu, jangan lupa bahwa menerima rotasi berlawanan arah jarum jam sebagai hasil positif adalah murni kesepakatan manusia, dan segalanya bisa saja berubah total.

Cari set

Mari kita bahas lebih dalam tentang detailnya. Saat Anda mengalikan bilangan negatif (seperti -1), Anda mendapatkan himpunan:

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Karena -1 tidak mengubah besar kecilnya bilangan, hanya tandanya saja, maka diperoleh bilangan yang sama baik dengan tanda “+” maupun dengan tanda “-”. Untuk bilangan x yang didapat:

• x, -x, x, -x, x, -x…

Ini adalah ide yang sangat berguna. Angka “x” dapat mewakili minggu baik dan minggu buruk. Mari kita bayangkan bahwa minggu yang baik diikuti minggu yang buruk; Ini minggu yang baik; Seperti apa minggu ke-47 ini?

X berarti ini akan menjadi minggu yang buruk. Lihat bagaimana angka negatif "mengikuti tanda" - kita cukup memasukkan (-1)^47 ke dalam kalkulator alih-alih menghitung ("Minggu 1 baik, minggu 2 buruk... minggu 3 baik..."). Hal-hal yang selalu berganti-ganti dapat dimodelkan dengan sempurna menggunakan bilangan negatif.

Oke, apa yang terjadi jika kita terus mengalikannya dengan i?

Lucu sekali, mari kita sederhanakan semuanya sedikit:

Berikut hal yang sama disajikan secara grafis:

Kami mengulangi siklus ini setiap putaran ke-4. Itu tentu saja masuk akal, bukan? Setiap anak akan memberitahu Anda bahwa 4 belokan ke kiri sama dengan tidak berbelok sama sekali. Sekarang istirahatlah dari bilangan imajiner (i, i^2) dan lihat himpunan totalnya:

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Sama seperti bilangan negatif yang memodelkan bayangan cermin dari bilangan, bilangan imajiner dapat memodelkan apa pun yang berputar di antara dua dimensi "X" dan "Y". Atau apa pun yang bersifat siklis dan melingkar - apakah ada yang Anda pikirkan?

Memahami Bilangan Kompleks

Ada satu detail lagi yang perlu dipertimbangkan: bisakah suatu bilangan bersifat “nyata” dan “imajiner”?

Jangan meragukannya. Siapa bilang kita harus berbelok tepat 90 derajat? Jika kita berdiri dengan satu kaki di dimensi “nyata” dan kaki lainnya di dimensi “imajiner”, maka akan terlihat seperti ini:

Kita berada pada tanda 45 derajat, dimana bagian real dan imajinernya sama, dan bilangannya sendiri adalah “1 + i”. Ini seperti hot dog, dengan saus tomat dan mustard - siapa bilang Anda harus memilih salah satu?

Pada dasarnya, kita dapat memilih kombinasi bagian nyata dan imajiner apa pun dan membuat semuanya menjadi segitiga. Sudut tersebut menjadi "sudut rotasi". Bilangan kompleks adalah nama mewah untuk bilangan yang mempunyai bagian nyata dan bagian imajiner. Ditulis sebagai “a + bi”, dimana:

• a - bagian nyata
• b - bagian imajiner

Tidak buruk. Namun satu pertanyaan terakhir yang tersisa: seberapa “besar” suatu bilangan kompleks? Kita tidak dapat mengukur bagian nyata atau bagian imajiner secara terpisah karena kita akan kehilangan gambaran besarnya.

Mari kita mundur selangkah. Besar kecilnya bilangan negatif adalah jarak dari nol:

Ini adalah cara lain untuk mencari nilai absolut. Namun bagaimana cara mengukur kedua komponen pada 90 derajat untuk bilangan kompleks?

Apakah itu burung di langit... atau pesawat terbang... Pythagoras datang untuk menyelamatkan!

Teorema ini muncul jika memungkinkan, bahkan dalam angka yang ditemukan 2000 tahun setelah teorema itu sendiri. Ya, kita membuat segitiga, dan sisi miringnya sama dengan jarak dari nol:

Meskipun mengukur bilangan kompleks tidak sesederhana "menghilangkan tanda -", bilangan kompleks memiliki beberapa kegunaan yang sangat berguna. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Contoh Nyata: Rotasi

Kami tidak akan menunggu sampai perguruan tinggi fisika untuk berlatih bilangan kompleks. Kami akan melakukannya hari ini. Banyak yang bisa dikatakan tentang perkalian bilangan kompleks, tetapi untuk saat ini Anda perlu memahami hal utama:

• Perkalian dengan bilangan kompleks akan berputar berdasarkan sudutnya

Mari kita lihat cara kerjanya. Bayangkan saya berada di atas perahu, bergerak dalam lintasan 3 unit ke Timur dan 4 unit ke Utara. Saya ingin mengubah arah saya 45 derajat berlawanan arah jarum jam. Apa kursus baru saya?

Seseorang mungkin berkata, “Mudah! Hitung sinus, cosinus, google nilai tangennya... lalu..." Sepertinya kalkulatorku rusak...

Mari kita ambil rute yang lebih sederhana: kita berada di jalur 3 + 4i (tidak peduli berapa sudutnya, kita tidak peduli untuk saat ini) dan kita ingin berbelok 45 derajat. Nah, 45 derajat adalah 1 + i (diagonal ideal). Jadi kita bisa mengalikan tarif kita dengan angka ini!

Inilah intinya:

• Pos awal : 3 satuan Timur, 4 satuan Utara = 3 + 4i
• Putar berlawanan arah jarum jam 45 derajat = kalikan 1 + i

Jika dikalikan kita mendapatkan:

Pedoman baru kami adalah 1 unit ke Barat (-1 ke Timur) dan 7 unit ke Utara, Anda dapat menggambar koordinat pada grafik dan mengikutinya.

Tetapi! Kami menemukan jawabannya dalam 10 detik, tanpa sinus dan cosinus. Tidak ada vektor, tidak ada matriks, tidak ada pelacakan di kuadran mana kita berada. Itu hanya perhitungan aritmatika sederhana dan sedikit aljabar. Angka imajiner bagus untuk rotasi!

Apalagi hasil perhitungan seperti itu sangat bermanfaat. Kita mempunyai lintasan (-1, 7) dan bukan sudut (atan(7/-1) = 98,13, dan langsung terlihat jelas bahwa kita berada di kuadran kedua. Bagaimana tepatnya Anda berencana menggambar dan mengikuti sudut yang ditunjukkan ?Menggunakan busur derajat di tangan?

Tidak, Anda akan mengubah sudut menjadi kosinus dan sinus (-0,14 dan 0,99), mencari perkiraan rasio di antara keduanya (sekitar 1 banding 7) dan membuat sketsa sebuah segitiga. Dan di sini bilangan kompleks pasti menang - akurat, secepat kilat, dan tanpa kalkulator!

Jika Anda seperti saya, Anda akan menganggap penemuan ini menakjubkan. Jika tidak, saya khawatir matematika tidak membuat Anda bersemangat sama sekali. Maaf!

Trigonometri memang bagus, tetapi bilangan kompleks membuat penghitungan lebih mudah (seperti mencari cos(a + b)). Ini hanyalah pengumuman kecil; pada artikel berikut ini saya akan memberikan menu lengkapnya.

Penyimpangan liris: beberapa orang berpikir seperti ini: “Hei, tidak nyaman jika memiliki arah Utara/Timur daripada sudut yang sederhana untuk diikuti kapal!”

Apakah itu benar? Oke, lihat tangan kananmu. Berapakah sudut antara pangkal jari kelingking dan ujung jari telunjuk? Semoga berhasil dengan metode perhitungan Anda.

Atau Anda cukup menjawab, “Ujungnya X inci ke kanan dan Y inci ke atas,” dan Anda dapat melakukan sesuatu untuk mengatasinya.

Apakah bilangan kompleks semakin dekat?

Kami mempelajari penemuan dasar saya di bidang bilangan kompleks seperti tornado. Lihatlah ilustrasi pertama, sekarang seharusnya menjadi lebih jelas.

Masih banyak lagi yang bisa ditemukan dalam angka-angka indah dan menakjubkan ini, tapi otak saya sudah lelah. Tujuan saya sederhana:

• Meyakinkan Anda bahwa bilangan kompleks hanya dipandang “gila”, namun nyatanya bisa sangat berguna (seperti halnya bilangan negatif)
• Tunjukkan bagaimana bilangan kompleks dapat menyederhanakan beberapa soal seperti rotasi.

Jika saya tampak terlalu khawatir tentang topik ini, ada alasannya. Angka khayalan telah menjadi obsesi saya selama bertahun-tahun - kurangnya pemahaman membuat saya jengkel.

Namun menyalakan lilin lebih baik daripada mengarungi kegelapan pekat: inilah pemikiran saya, dan saya yakin cahaya tersebut akan menerangi benak para pembaca saya.

Epilog: Tapi mereka masih cukup aneh!

Aku tahu mereka juga masih terlihat aneh bagiku. Saya mencoba berpikir seperti orang pertama yang tidak menemukan pemikiran apa pun.

Nol adalah suatu gagasan yang aneh, “sesuatu” melambangkan “ketiadaan”, dan hal ini tidak dapat dipahami di zaman Romawi kuno. Sama halnya dengan bilangan kompleks - ini adalah cara berpikir yang baru. Namun bilangan nol dan bilangan kompleks sangat menyederhanakan matematika. Jika kita tidak pernah memperkenalkan hal-hal aneh seperti sistem bilangan baru, kita akan tetap menghitung semuanya dengan jari kita.

Saya ulangi analogi ini karena sangat mudah untuk mulai berpikir bahwa bilangan kompleks itu "tidak normal". Mari kita terbuka terhadap inovasi: di masa depan, orang hanya akan bercanda tentang bagaimana seseorang hingga abad ke-21 tidak percaya pada bilangan kompleks.

23 Oktober 2015

Mari kita mengingat kembali informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk A + dua, Di mana A, B adalah bilangan real, dan Saya- yang disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya sama dengan –1, yaitu Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon bagian nyata, dan nomornya B - bagian imajiner bilangan kompleks z = A + dua. Jika B= 0, maka sebaliknya A + 0Saya mereka hanya menulis A. Dapat dilihat bahwa bilangan real merupakan kasus khusus dari bilangan kompleks.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan bilangan real: dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Penjumlahan dan pengurangan terjadi menurut aturan ( A + dua) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Saya, dan perkalian mengikuti aturan ( A + dua) · ( C + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)Saya(di sini digunakan itu Saya 2 = –1). Nomor = A – dua ditelepon konjugat kompleks Ke z = A + dua. Persamaan z · = A 2 + B Gambar 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya (yang bukan nol):

(Misalnya, .)

Bilangan kompleks memiliki representasi geometris yang mudah digunakan dan visual: bilangan z = A + dua dapat diwakili oleh vektor dengan koordinat ( A; B) pada bidang Kartesius (atau, yang hampir sama, sebuah titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat dicari dengan menggunakan aturan jajaran genjang). Menurut teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( A; B) adalah sama dengan . Besaran ini disebut modul bilangan kompleks z = A + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumennya tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya sampai penjumlahan kelipatan 2 π radian (atau 360°, jika dihitung dalam derajat) - lagipula, jelas bahwa rotasi sebesar sudut di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjangnya R membentuk sudut φ dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( R karena φ ; R dosa φ ). Dari sini ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| · (karena(Arg z) + Saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri sangat sederhana: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (karena(Arg z 1 + Arg z 2) + Saya dosa (Arg z 1 + Arg z 2)) (saat mengalikan dua bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti rumus Moivre: z n = |z|N· (karena( N· (Arg z)) + Saya dosa( N· (Arg z))). Dengan menggunakan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar-akar derajat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n dari z- ini adalah bilangan kompleks w, Apa tidak = z. Sudah jelas itu , Dan dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., N- 1). Artinya selalu ada yang tepat N akar N derajat suatu bilangan kompleks (pada bidang terletak pada titik-titik beraturan N-gon).

Halaman Baru 1

Bilangan kompleks untuk boneka Pelajaran 1. Apa itu dan dimakan dengan apa. Satuan imajiner.

Untuk memahami apa itu bilangan kompleks, mari kita mengingat bilangan biasa dan melihatnya secara menyeluruh. Jadi, hal yang paling sederhana adalah alami angka. Disebut alami karena melaluinya sesuatu dapat diungkapkan “dalam bentuk barang”, yaitu sesuatu dapat dihitung. Ini dua apel. Mereka bisa dihitung. Ada lima kotak coklat. Kita bisa menghitungnya. Dengan kata lain, bilangan asli adalah bilangan yang dapat kita gunakan untuk menghitung suatu benda tertentu. Anda tahu betul bahwa angka-angka ini dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Semuanya jelas dengan penjumlahan dan perkalian. Ada dua apel, ditambah tiga, jadi lima. Kami mengambil tiga kotak coklat, masing-masing 10 buah, yang berarti totalnya tiga puluh coklat. Sekarang mari kita beralih ke utuh angka. Jika bilangan asli menunjukkan sejumlah objek tertentu, maka abstraksi dimasukkan ke dalam himpunan bilangan bulat. Ini nol Dan negatif angka. Mengapa abstraksi ini? Nol adalah ketiadaan sesuatu. Namun bisakah kita menyentuh, merasakan apa yang tidak ada? Kita bisa menyentuh dua buah apel, ini dia. Kita bahkan bisa memakannya. Apa artinya nol apel? Bisakah kita menyentuh, merasakan angka nol ini? Tidak, kita tidak bisa. Jadi ini abstraksi. Anda harus menunjukkan tidak adanya sesuatu. Jadi kami menetapkan nol sebagai angka. Tapi kenapa harus menandakan hal ini? Bayangkan kita mempunyai dua buah apel. Kami makan dua. Berapa banyak yang tersisa? Itu benar, tidak sama sekali. Kami akan menulis operasi ini (kami makan dua apel) sebagai pengurangan 2-2. Dan apa yang akhirnya kita dapatkan? Bagaimana kita memberi label pada hasilnya? Hanya dengan memasukkan abstraksi baru (nol), yang menunjukkan bahwa hasil pengurangan (makan) ternyata kita tidak mempunyai satu buah apel pun yang tersisa. Tapi kita tidak bisa mengurangi dari dua, tapi 3. Tampaknya operasi ini tidak ada artinya. Jika kita hanya punya dua apel, bagaimana kita bisa makan tiga?

Mari kita lihat contoh lainnya. Kami pergi ke toko untuk membeli bir. Kami memiliki 100 rubel bersama kami. Bir berharga 60 rubel per botol. Kami ingin membeli dua botol, tapi uang kami tidak cukup. Kami membutuhkan 120 rubel. Dan kemudian kami bertemu teman lama kami dan meminjam dua puluh darinya. Kami membeli bir. Pertanyaan. Berapa banyak uang yang tersisa? Akal sehat menyatakan bahwa tidak sama sekali. Namun dari sudut pandang matematis, hal ini tidak masuk akal. Mengapa? Karena untuk mendapatkan hasil nol, Anda perlu mengurangi 100 dari 100. Dan kita melakukan 100-120. Di sini kita harus mendapatkan sesuatu yang berbeda. Apa yang kami dapatkan? Dan fakta bahwa kita masih berhutang 20 rubel kepada teman kita. Lain kali kita memiliki 140 rubel, kita akan datang ke toko untuk membeli bir, bertemu seorang teman, melunasi hutang kita bersamanya dan dapat membeli dua botol bir lagi. Hasilnya, kita mendapatkan 140-120-20=0. Perhatikan -20. Ini adalah abstraksi lain - angka negatif. Artinya, hutang kita kepada teman adalah angka yang bertanda minus, karena ketika kita melunasi hutang tersebut, kita mengurangi jumlah tersebut. Saya akan mengatakan lebih banyak, ini adalah abstraksi yang lebih besar daripada nol. Nol berarti sesuatu yang tidak ada. Dan angka negatif itu seperti sesuatu yang akan diambil dari kita di kemudian hari.

Jadi, dengan menggunakan sebuah contoh, saya menunjukkan bagaimana abstraksi lahir dalam matematika. Dan tampaknya, terlepas dari semua absurditas abstraksi tersebut (seperti menghilangkan lebih dari sebelumnya), hal tersebut dapat diterapkan dalam kehidupan nyata. Dalam kasus pembagian bilangan bulat, abstraksi lain muncul - bilangan pecahan. Saya tidak akan membahasnya secara rinci, dan jelas bahwa mereka diperlukan jika kita memiliki bilangan bulat yang tidak habis dibagi bilangan bulat. Misalnya, kita mempunyai empat buah apel, tetapi kita perlu membaginya kepada tiga orang. Jelas di sini bahwa kita membagi satu apel yang tersisa menjadi tiga bagian dan mendapatkan pecahan.

Sekarang mari kita dengan lancar membahas bilangan kompleks itu sendiri. Namun pertama-tama, ingatlah bahwa ketika Anda mengalikan dua bilangan negatif, Anda mendapatkan bilangan positif. Seseorang bertanya - mengapa demikian? Mari kita pahami dulu perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif. Katakanlah kita mengalikan -20 dengan 2. Artinya, kita perlu menambahkan -20+-20. Hasilnya adalah -40, karena penjumlahan bilangan negatif berarti pengurangan. Mengapa pengurangan - lihat di atas, angka negatif adalah hutang; ketika kita mengambilnya, ada sesuatu yang diambil dari kita. Ada makna sehari-hari lainnya. Apa jadinya jika utang bertambah? Misalnya, ketika kita diberi pinjaman dengan bunga? Hasilnya, angka yang sama dengan tanda minus tetap ada, yang menjadi lebih besar setelah minus. Apa yang dimaksud dengan mengalikan dengan bilangan negatif? Apa maksudnya 3*-2? Artinya angka tiga harus diambil dikurangi dua kali. Artinya, beri tanda minus sebelum hasil perkaliannya. Omong-omong, ini sama dengan -3*2, karena mengatur ulang faktor-faktornya tidak mengubah hasil kali. Sekarang perhatikan. Kalikan -3 dengan -2. Kita ambil angka -3 dikurangi dua kali. Jika kita ambil angka -3 sebanyak dua kali, maka hasilnya adalah -6, anda paham. Bagaimana jika kita mengambil minus dua kali? Tapi apa maksudnya mengambil waktu minus? Jika Anda mengambil bilangan positif dikurangi kali, hasilnya adalah bilangan negatif, tandanya berubah. Jika kita mengambil bilangan negatif dikurangi kali, maka tandanya berubah dan menjadi positif.

Mengapa kita membahas tentang mengalikan minus dengan minus? Dan untuk mempertimbangkan abstraksi lain, kali ini berhubungan langsung dengan bilangan kompleks. Ini satuan imajiner. Satuan imajiner sama dengan akar kuadrat dari minus 1:

Izinkan saya mengingatkan Anda apa itu akar kuadrat. Ini adalah kebalikan dari operasi kuadrat. Dan mengkuadratkan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Jadi akar kuadrat dari 4 adalah 2 karena 2*2=4. Akar kuadrat dari 9 adalah 3, karena 3*3=9. Akar kuadrat dari satu juga ternyata satu, dan akar kuadrat dari nol adalah nol. Tapi bagaimana kita mengambil akar kuadrat dari minus satu? Berapakah bilangan yang harus dikalikan sendiri untuk mendapatkan -1? Tapi tidak ada nomor seperti itu! Jika kita mengalikan -1 dengan angka itu sendiri, pada akhirnya kita akan mendapatkan 1. Jika kita mengalikan 1 dengan 1, kita akan mendapatkan 1. Namun kita tidak akan mendapatkan minus -1 dengan cara ini. Namun, kita mungkin menghadapi situasi di mana terdapat bilangan negatif di bawah akar. Apa yang harus dilakukan? Tentu saja Anda dapat mengatakan bahwa tidak ada solusi. Ini seperti membagi dengan nol. Sampai suatu saat, kita semua percaya bahwa tidak mungkin membagi dengan nol. Tapi kemudian kita belajar tentang abstraksi seperti ketakterbatasan, dan ternyata membagi dengan nol masih bisa dilakukan. Selain itu, abstraksi seperti pembagian dengan nol, atau ketidakpastian yang diperoleh dengan membagi nol dengan nol atau tak terhingga dengan tak terhingga, serta operasi serupa lainnya, banyak digunakan dalam matematika tingkat tinggi (), dan matematika tingkat tinggi adalah dasar dari banyak ilmu eksakta. yang memajukan kemajuan teknis... Jadi mungkinkah ada makna rahasia di unit imajiner itu? Makan. Dan Anda akan memahaminya dengan membaca pelajaran saya selanjutnya tentang bilangan kompleks. Sementara itu, saya akan membahas beberapa area yang menggunakan bilangan kompleks (bilangan yang mengandung satuan imajiner).

Jadi, berikut adalah daftar area di mana bilangan kompleks digunakan:

Teknik elektro. Perhitungan rangkaian arus bolak-balik. Penggunaan bilangan kompleks dalam hal ini sangat menyederhanakan perhitungan, tanpanya persamaan diferensial dan integral harus digunakan.

Mekanika kuantum.Singkatnya, dalam mekanika kuantum ada yang namanya fungsi gelombang, yang bernilai kompleks dan kuadratnya (sudah berupa bilangan real) sama dengan kepadatan probabilitas untuk menemukan partikel pada suatu titik tertentu. Lihat juga rangkaian pelajarannya

Pemrosesan sinyal digital. Teori pemrosesan sinyal digital mencakup konsep transformasi-z, yang sangat memudahkan berbagai perhitungan yang berkaitan dengan perhitungan karakteristik berbagai sinyal, seperti karakteristik frekuensi dan amplitudo, dll.

Deskripsi proses aliran datar zat cair.

Aliran cairan di sekitar profil.

Pergerakan gelombang zat cair.

Dan ini masih jauh dari daftar lengkap penggunaan bilangan kompleks. Ini melengkapi perkenalan pertama dengan bilangan kompleks, sampai kita bertemu lagi.