Semua persamaan bidang yang dibahas dalam paragraf berikut dapat diperoleh dari persamaan umum bidang, dan juga direduksi menjadi persamaan umum bidang. Jadi, ketika seseorang berbicara tentang persamaan bidang, yang dimaksud adalah persamaan umum bidang, kecuali dinyatakan lain.

Persamaan bidang dalam segmen.

Lihat persamaan bidang , di mana a , b dan c adalah bilangan real bukan nol, disebut persamaan bidang dalam segmen.

Nama ini bukan kebetulan. Nilai absolut dari angka a, b dan c sama dengan panjang segmen yang dipotong pesawat pada sumbu koordinat masing-masing Ox, Oy dan Oz, dihitung dari titik asal. Tanda angka a, b dan c menunjukkan ke arah mana (positif atau negatif) segmen pada sumbu koordinat harus diletakkan.

Sebagai contoh, mari kita bangun sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz, yang didefinisikan oleh persamaan bidang dalam segmen . Untuk melakukan ini, kami menandai titik yang berjarak 5 unit dari titik asal pada arah negatif sumbu absis, 4 unit pada arah negatif sumbu y, dan 4 unit pada arah positif dari sumbu aplikasi. Tetap menghubungkan titik-titik ini dengan garis lurus. Bidang segitiga yang dihasilkan adalah bidang yang sesuai dengan persamaan bidang dalam segmen-segmen bentuk .

Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel persamaan bidang dalam segmen, ini menunjukkan pengurangan persamaan bidang dalam segmen menjadi persamaan umum bidang, di mana Anda juga akan menemukan solusi terperinci untuk contoh dan masalah tipikal.

Persamaan normal pesawat.

Persamaan bidang pandangan umum disebut persamaan normal bidang, jika sama dengan satu, yaitu , dan .

Anda sering dapat melihat bahwa persamaan normal pesawat ditulis sebagai . Di sini, adalah cosinus arah dari vektor normal bidang tertentu dengan satuan panjang, yaitu, dan p adalah bilangan non-negatif yang sama dengan jarak dari titik asal ke bidang.

Persamaan normal sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz mendefinisikan sebuah bidang yang berada pada jarak p dari titik asal dalam arah positif dari vektor normal bidang ini . Jika p=0 , maka pesawat melewati titik asal.

Mari kita berikan contoh persamaan bidang normal.

Biarkan bidang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dengan persamaan umum bidang berbentuk . Persamaan umum bidang ini adalah persamaan normal bidang. Memang, dan vektor normal pesawat ini memiliki panjang sama dengan satu, karena .

Persamaan bidang dalam bentuk normalnya memungkinkan Anda menemukan jarak dari suatu titik ke bidang.

Kami menyarankan Anda untuk menangani jenis persamaan bidang ini secara lebih rinci, melihat solusi terperinci untuk contoh dan masalah umum, dan juga mempelajari cara membuat persamaan bidang umum ke bentuk normal. Anda dapat melakukan ini dengan merujuk ke artikel.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika Tinggi. Volume Satu: Elemen Aljabar Linier dan Geometri Analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu secara kolinear terhadap vektor arah.

Misalkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Titik sewenang-wenang terletak pada garis aku hanya jika vektor dan kolinear, yaitu, mereka memenuhi kondisi:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik garis.

Angka m , n dan p adalah proyeksi dari vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan m , n dan p tidak boleh nol pada saat yang bersamaan. Tapi satu atau dua dari mereka mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, notasi berikut diperbolehkan:

,

yang berarti bahwa proyeksi vektor pada sumbu Oy dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbu Oy dan Ons, yaitu pesawat yOz .

Contoh 1 Buatlah persamaan garis lurus dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik perpotongan bidang ini dengan sumbu Ons .

Larutan. Temukan titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons. Karena setiap titik pada sumbu Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi diberikan persamaan pesawat x=y= 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor normal dapat berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus diberikan pesawat.

Sekarang kita tulis persamaan yang diinginkan dari garis lurus yang melalui titik SEBUAH= (0; 0; 2) dalam arah vektor :

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak di atasnya dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan kanonik garis mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2 Tuliskan persamaan garis lurus dalam ruang yang melalui titik dan .

Larutan. Kami menulis persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoretis:

.

Karena , maka garis yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oy .

Lurus sebagai garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik-titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier

Persamaan sistem juga disebut persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3 Tulis persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik garis lurus atau, yang sama, persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu menemukan koordinat dua titik pada garis lurus. Mereka dapat menjadi titik perpotongan garis lurus dengan dua bidang koordinat apa pun, misalnya yOz dan xOz .

Titik potong garis dengan bidang yOz memiliki absis x= 0 . Oleh karena itu, dengan asumsi dalam sistem persamaan ini x= 0 , kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mendefinisikan sebuah titik SEBUAH(0; 2; 6) dari baris yang diinginkan. Dengan asumsi kemudian dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistem

Keputusannya x = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan sebuah titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik SEBUAH(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah membagi penyebut dengan -2:

,

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat bagaimana menggunakan determinan untuk menulis persamaan bidang. Jika Anda tidak tahu apa itu determinan, lanjutkan ke bagian pertama pelajaran - " Matriks dan determinan». Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami apa pun dalam materi hari ini.

Persamaan bidang dengan tiga titik

Mengapa kita membutuhkan persamaan bidang sama sekali? Sederhana: mengetahuinya, kita dapat dengan mudah menghitung sudut, jarak, dan omong kosong lainnya dalam masalah C2. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh karena itu, kami merumuskan masalah:

Sebuah tugas. Ada tiga titik di ruang angkasa yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Diperlukan untuk menulis persamaan bidang yang melalui ketiga titik ini. Dan persamaannya akan terlihat seperti:

Ax + By + Cz + D = 0

di mana angka A , B , C dan D adalah koefisien yang sebenarnya ingin Anda cari.

Nah, bagaimana cara mendapatkan persamaan bidang, jika hanya diketahui koordinat titik-titiknya? Cara termudah adalah dengan mensubstitusi koordinat ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapatkan sistem tiga persamaan yang mudah diselesaikan.

Banyak siswa menemukan solusi ini sangat membosankan dan tidak dapat diandalkan. Ujian matematika tahun lalu menunjukkan bahwa kemungkinan membuat kesalahan komputasi sangat tinggi.

Oleh karena itu, para guru paling maju mulai mencari solusi yang lebih sederhana dan elegan. Dan mereka menemukannya! Benar, teknik yang diperoleh lebih cenderung terkait dengan matematika yang lebih tinggi. Secara pribadi, saya harus mengobrak-abrik seluruh daftar buku teks Federal untuk memastikan bahwa kami memiliki hak untuk menggunakan teknik ini tanpa pembenaran dan bukti apa pun.

Persamaan bidang melalui determinan

Cukup mengomel, mari kita mulai bisnis. Untuk memulainya, teorema tentang bagaimana determinan matriks dan persamaan bidang terkait.

Dalil. Biarkan koordinat tiga titik melalui mana pesawat harus ditarik diberikan: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Maka persamaan bidang ini dapat ditulis dalam bentuk determinan:

Sebagai contoh, mari kita coba mencari pasangan bidang yang benar-benar terjadi pada soal C2. Lihatlah seberapa cepat semuanya diperhitungkan:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami menyusun determinan dan menyamakannya dengan nol:

Membuka determinan:

a = 1 1 (z 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z 1 y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z 1) + 1 0 y = x;
d = a b = z 1 y − (−x) = z 1 y + x = x y + z 1;
d = 0 x y + z 1 = 0;

Seperti yang Anda lihat, saat menghitung angka d, saya sedikit mengubah persamaan sehingga variabel x, y, dan z berada dalam urutan yang benar. Itu saja! Persamaan pesawat sudah siap!

Sebuah tugas. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Segera substitusikan koordinat titik-titik dalam determinan:

Memperluas determinan lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 z x y = 0 x + y z = 0;

Jadi, persamaan bidang diperoleh lagi! Sekali lagi, pada langkah terakhir, saya harus mengubah tanda-tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih “indah”. Tidak perlu melakukan ini dalam solusi ini, tetapi tetap disarankan - untuk menyederhanakan solusi masalah lebih lanjut.

Seperti yang Anda lihat, sekarang lebih mudah untuk menulis persamaan bidang. Kami mengganti poin ke dalam matriks, menghitung determinannya - dan hanya itu, persamaannya sudah siap.

Ini bisa menjadi akhir dari pelajaran. Namun, banyak siswa terus-menerus melupakan apa yang ada di dalam determinan. Misalnya, baris mana yang berisi x 2 atau x 3 , dan baris mana yang hanya x . Untuk akhirnya mengatasi ini, mari kita telusuri dari mana setiap angka berasal.

Dari mana rumus dengan determinan berasal?

Jadi, mari kita cari tahu dari mana persamaan yang keras dengan determinan itu berasal. Ini akan membantu Anda mengingatnya dan menerapkannya dengan sukses.

Semua bidang yang terjadi pada Soal C2 didefinisikan oleh tiga titik. Titik-titik ini selalu ditandai pada gambar, atau bahkan ditunjukkan langsung dalam teks masalah. Bagaimanapun, untuk menyusun persamaan, kita perlu menuliskan koordinatnya:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Pertimbangkan satu titik lagi di pesawat kami dengan koordinat arbitrer:

T = (x, y, z)

Kami mengambil titik mana pun dari tiga yang pertama (misalnya, titik M ) dan menggambar vektor darinya ke masing-masing dari tiga titik yang tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Sekarang mari kita buat matriks persegi dari vektor-vektor ini dan samakan determinannya dengan nol. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapatkan determinan yang sama yang ditunjukkan dalam teorema:

Rumus ini berarti bahwa volume kotak yang dibangun di atas vektor MN , MK dan MT sama dengan nol. Oleh karena itu, ketiga vektor terletak pada bidang yang sama. Secara khusus, titik sembarang T = (x, y, z) persis seperti yang kita cari.

Mengganti titik dan baris determinan

Determinan memiliki beberapa sifat luar biasa yang membuatnya lebih mudah untuk penyelesaian soal C2. Misalnya, tidak masalah bagi kita dari titik mana menggambar vektor. Oleh karena itu, determinan berikut memberikan persamaan bidang yang sama dengan yang di atas:

Anda juga dapat menukar garis determinan. Persamaan akan tetap tidak berubah. Misalnya, banyak orang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bagian paling atas. Silakan, jika itu nyaman bagi Anda:

Ini membingungkan beberapa orang bahwa salah satu baris berisi variabel x , y dan z , yang tidak hilang saat mengganti titik. Tapi mereka seharusnya tidak menghilang! Dengan mensubstitusikan angka ke dalam determinan, Anda harus mendapatkan konstruksi berikut:

Kemudian determinan diperluas sesuai dengan skema yang diberikan di awal pelajaran, dan persamaan standar bidang diperoleh:

Ax + By + Cz + D = 0

Lihatlah sebuah contoh. Dia adalah yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya sengaja akan menukar garis untuk memastikan bahwa jawabannya akan menjadi persamaan bidang yang sama.

Sebuah tugas. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 poin:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat determinan standar dan samakan dengan nol:

Membuka determinan:

a = 0 1 (z 1) + 1 0 (x 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x 1) + 1 (−1) (z 1) + 0 0 y = 1 x + 1 z = 2 x z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 x + y + z 2 = 0;

Itu saja, kami mendapat jawabannya: x + y + z 2 = 0 .

Sekarang mari kita atur ulang beberapa baris dalam determinan dan lihat apa yang terjadi. Misalnya, mari kita menulis baris dengan variabel x, y, z bukan di bagian bawah, tetapi di bagian atas:

Mari kita perluas determinan yang dihasilkan lagi:

a = (x 1) 1 (−1) + (z 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 x + 1 z = 2 x z;
b = (z 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x 1) 1 0 = y;
d = a b = 2 x z y;
d = 0 2 x y z = 0 x + y + z 2 = 0;

Kami mendapatkan persamaan bidang yang persis sama: x + y + z 2 = 0. Jadi, itu benar-benar tidak tergantung pada urutan baris. Tinggal menuliskan jawabannya.

Jadi, kita telah melihat bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada barisan garis. Dimungkinkan untuk melakukan perhitungan serupa dan membuktikan bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita kurangi dari titik lainnya.

Dalam masalah yang dipertimbangkan di atas, kami menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi sangat mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, setiap titik dengan koordinat yang diketahui terletak pada bidang yang diinginkan.

Setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

mendefinisikan sebuah bidang, dan sebaliknya: setiap bidang dapat diwakili oleh persamaan (3.1), yang disebut persamaan bidang.

Vektor n(A, B, C) yang ortogonal terhadap bidang disebut vektor normal pesawat. Dalam persamaan (3.1), koefisien A, B, C tidak sama dengan 0 pada waktu yang sama.

Kasus khusus persamaan (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - pesawat melewati titik asal.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - pesawat melewati sumbu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - bidang sejajar dengan bidang Oyz.

Persamaan bidang koordinat: x = 0, y = 0, z = 0.

Garis lurus dalam ruang dapat diberikan:

1) sebagai garis perpotongan dua bidang, yaitu sistem persamaan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dua titiknya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus yang melaluinya diberikan oleh persamaan:

= ; (3.3)

3) titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) miliknya, dan vektornya sebuah(m, n, p), s collinear. Kemudian garis lurus ditentukan oleh persamaan:

. (3.4)

Persamaan (3.4) disebut persamaan kanonik garis.

Vektor sebuah ditelepon panduan vektor lurus.

Kami memperoleh yang parametrik dengan menyamakan setiap hubungan (3.4) dengan parameter t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Memecahkan sistem (3.2) sebagai sistem persamaan linear yang tidak diketahui x dan kamu, kita sampai pada persamaan garis lurus di proyeksi atau untuk persamaan garis lurus tereduksi:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Dari persamaan (3.6) dapat diteruskan ke persamaan kanonik, dengan menemukan z dari setiap persamaan dan menyamakan nilai yang dihasilkan:

.

Seseorang dapat berpindah dari persamaan umum (3.2) ke persamaan kanonik dengan cara lain, jika seseorang menemukan beberapa titik dari garis ini dan panduannya n= [n 1 , n 2], di mana n 1 (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vektor normal dari bidang yang diberikan. Jika salah satu penyebutnya M N atau R dalam persamaan (3.4) ternyata sama dengan nol, maka pembilang dari pecahan yang sesuai harus ditetapkan sama dengan nol, yaitu. sistem

sama dengan sebuah sistem ; garis seperti itu tegak lurus terhadap sumbu x.

Sistem setara dengan sistem x = x 1 , y = y 1 ; garis lurus sejajar dengan sumbu Oz.

Contoh 1.15. Tulis persamaan bidang, ketahui bahwa titik A (1, -1,3) berfungsi sebagai alas tegak lurus yang ditarik dari titik asal ke bidang ini.

Larutan. Dengan kondisi masalah, vektor OA(1,-1,3) adalah vektor normal bidang, maka persamaannya dapat ditulis sebagai
x-y+3z+D=0. Mengganti koordinat titik A(1,-1,3) milik pesawat, kami menemukan D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Jadi x-y+3z-11=0.

Contoh 1.16. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui sumbu Oz dan membentuk sudut 60 derajat dengan bidang 2x+y-z-7=0.

Larutan. Bidang yang melalui sumbu Oz diberikan oleh persamaan Ax+By=0, di mana A dan B tidak lenyap secara bersamaan. Biarkan B tidak
adalah 0, A/Bx+y=0. Menurut rumus kosinus sudut antara dua bidang

.

Memecahkan persamaan kuadrat 3m 2 + 8m - 3 = 0, kita temukan akar-akarnya
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dari mana kita mendapatkan dua bidang 1/3x+y = 0 dan -3x+y = 0.

Contoh 1.17. Tulis persamaan kanonik dari garis lurus:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Larutan. Persamaan kanonik garis lurus memiliki bentuk:

di mana m, n, p- koordinat vektor pengarah garis lurus, x1, y1, z1- koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang. Untuk menemukan titik yang termasuk dalam garis lurus, salah satu koordinat ditetapkan (cara termudah adalah dengan menempatkan, misalnya, x=0) dan sistem yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Jadi, misalkan x=0, maka y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, dimana y=-1, z=1. Kami menemukan koordinat titik M (x 1, y 1, z 1) milik garis ini: M (0,-1,1). Vektor pengarah garis lurus mudah ditemukan, dengan mengetahui vektor normal dari bidang aslinya n 1 (5,1,1) dan n 2(2,3,-2). Kemudian

Persamaan kanonik garis tersebut adalah: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Contoh 1.18. Pada balok yang dibatasi oleh bidang 2x-y+5z-3=0 dan x+y+2z+1=0, temukan dua bidang yang tegak lurus, salah satunya melalui titik M(1,0,1).

Larutan. Persamaan balok yang didefinisikan oleh bidang-bidang ini adalah u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, di mana u dan v tidak lenyap pada waktu yang sama. Kami menulis ulang persamaan balok sebagai berikut:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Untuk memilih bidang yang melalui titik M dari balok, kita substitusikan koordinat titik M ke dalam persamaan balok. Kita mendapatkan:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, atau v = - u.

Kemudian kita cari persamaan bidang yang memuat M dengan mensubstitusi v = - u ke dalam persamaan balok:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Karena kamu 0 (jika tidak v=0, dan ini bertentangan dengan definisi balok), maka kita memiliki persamaan bidang x-2y+3z-4=0. Bidang kedua milik balok harus tegak lurus terhadapnya. Kami menulis kondisi untuk ortogonalitas pesawat:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, atau v = - 19/5u.

Oleh karena itu, persamaan bidang kedua memiliki bentuk:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 atau 9x +24y + 13z + 34 = 0.

SUDUT ANTARA BIDANG

Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:

Dibawah sudut antara dua bidang yang kami maksud adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini. Jelas bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan atau . Itu sebabnya . Karena dan , kemudian

.

Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Lewat sini, .

Contoh.

LANGSUNG DI RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.

PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.

Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.

Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa .

Vektor dan collinear, jadi ada nomor seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor jari-jari dari beberapa titik M berbaring pada garis lurus.

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Membiarkan M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .

Jelas bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, oleh karena itu

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus secara parametrik.

Menunjukkan , karenanya x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.

Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, Akibatnya, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk

Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk

Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.

Demikian pula, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.

Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal dan . Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:

.

Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus ke bentuk kanonik.

Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:

Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat Oleh karena itu, vektor arahnya akan lurus

. Akibatnya, aku: .

SUDUT ANTARA KANAN

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh