Latihan. Titik A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) adalah simpul dari segitiga ABC.
a) Tentukan persamaan sisi segitiga ABC.
b) Tentukan persamaan salah satu median segitiga ABC.
c. Tentukan persamaan tinggi salah satu segitiga ABC.
d) Tentukan persamaan salah satu garis bagi segitiga ABC.
e) Carilah luas segitiga ABC.

Larutan lakukan dengan kalkulator.
Koordinat segitiga diberikan: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Koordinat vektor
Koordinat vektor ditemukan dengan rumus:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Misalnya untuk vektor AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Modul vektor

3) Sudut antara garis lurus
Sudut antara vektor a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) dapat ditemukan dengan rumus:

dimana a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Temukan sudut antara sisi AB dan AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Proyeksi vektor
Proyeksi vektor B per vektor A dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Temukan proyeksi vektor AB ke vektor AC

5) Luas segitiga



Larutan


Menurut rumus yang kita dapatkan:

6) Pembagian segmen dalam hal ini
Vektor radius r dari titik A, yang membagi segmen AB dalam hubungannya dengan AA:AB = m 1:m 2 , ditentukan dengan rumus:

Koordinat titik A ditemukan dengan rumus:




Persamaan Median Segitiga
Kami menunjukkan titik tengah sisi BC dengan huruf M. Kemudian kami menemukan koordinat titik M dengan rumus untuk membagi ruas menjadi dua.


M(0;-1)
Kita mencari persamaan median AM menggunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Median AM melewati titik A(2;1) dan M(0;-1), oleh karena itu:

atau

atau
y=x-1 atau y-x+1=0
7) persamaan garis lurus


Persamaan garis AB

atau

atau
y = 3x -5 atau y -3x +5 = 0
Persamaan garis AC

atau

atau
y = 1/3 x + 1/3 atau 3y -x - 1 = 0
persamaan garis BC

atau

atau
y = -x -1 atau y + x +1 = 0
8) Panjang tinggi segitiga yang ditarik dari titik A
Jarak d dari titik M 1 (x 1; y 1) ke garis lurus Ax + By + C \u003d 0 sama dengan nilai absolut dari kuantitas:

Temukan jarak antara titik A(2;1) dan garis BC (y + x +1 = 0)

9) Persamaan ketinggian melalui simpul C
Garis yang melewati titik M 0 (x 0 ;y 0) dan tegak lurus dengan garis Ax + By + C = 0 memiliki vektor arah (A;B) dan oleh karena itu diwakili oleh persamaan:


Persamaan ini juga dapat ditemukan dengan cara lain. Untuk melakukan ini, kami menemukan kemiringan k 1 dari garis lurus AB.
Persamaan AB: y = 3x -5 yaitu k 1 = 3
Carilah gradien k tegak lurus dari kondisi tegak lurus dua garis lurus: k 1 *k = -1.
Mengganti kemiringan garis lurus ini alih-alih k 1, kita mendapatkan:
3k = -1, dimana k = -1 / 3
Karena garis tegak lurus melalui titik C(-1,0) dan memiliki k = -1 / 3, kita akan mencari persamaannya dalam bentuk: y-y 0 = k(x-x 0).
Mengganti x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 kita dapatkan:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
atau
y = -1 / 3 x - 1 / 3
persamaan garis bagi segitiga
Mari kita cari garis bagi sudut A. Nyatakan titik perpotongan garis bagi dengan sisi BC oleh M.
Mari kita gunakan rumus:

Persamaan AB: y -3x +5 = 0, Persamaan AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Garis bagi membagi dua sudut, sehingga sudut NAK ≈ 26,5 0
Garis singgung lereng AB adalah 3 (karena y -3x +5 = 0). Sudut kemiringannya adalah 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Garis bagi melalui titik A(2,1), menggunakan rumus, kita memiliki:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
atau
y=x-1
Unduh

Contoh. Koordinat simpul segitiga ABC diberikan: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Diminta: 1) menghitung panjang sisi BC; 2) buat persamaan untuk sisi BC; 3) temukan sudut dalam segitiga di simpul B; 4) buatlah persamaan tinggi AK yang ditarik dari atas A; 5) menemukan koordinat pusat gravitasi segitiga homogen (titik potong mediannya); 6) membuat gambar dalam sistem koordinat.

Latihan. Diketahui koordinat titik-titik sudut segitiga ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Diperlukan:

1. tulis persamaan median yang ditarik dari titik B dan hitung panjangnya.
2. tulis persamaan tinggi yang ditarik dari titik A dan hitung panjangnya.
3. tentukan kosinus sudut dalam segitiga ABC.

Membuat gambar.

Unduh Solusi

Contoh #3. Simpul A(1;1), B(7;4), C(4;5) dari sebuah segitiga diberikan. Temukan: 1) panjang sisi AB; 2) sudut dalam A dalam radian dengan ketelitian 0,001. Membuat gambar.
Unduh

Contoh #4. Simpul A(1;1), B(7;4), C(4;5) dari sebuah segitiga diberikan. Temukan: 1) persamaan tinggi yang ditarik melalui simpul C ; 2) persamaan median yang ditarik melalui simpul C ; 3) titik potong tinggi segitiga; 4) panjang tinggi diturunkan dari simpul C. Buatlah gambar.
Unduh

Contoh #5. Titik sudut segitiga ABC diberikan: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Tentukan: 1) panjang sisi AB; 2) persamaan sisi AB dan AC serta kemiringannya; 3) luas segitiga.

Kami menemukan koordinat vektor dengan rumus: X = x j - x i ; Y = y j - y i
di sini X, Y koordinat vektor; x i , y i - koordinat titik A i ; x j , y j - koordinat titik A j
Misalnya untuk vektor AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Panjang sisi sebuah segitiga
Panjang vektor a(X;Y) dinyatakan dalam koordinatnya dengan rumus:


Luas segitiga
Misalkan titik A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) menjadi simpul segitiga, maka luasnya dinyatakan dengan rumus:

Di sisi kanan adalah determinan orde kedua. Luas segitiga selalu positif.
Larutan. Mengambil A sebagai simpul pertama, kami menemukan:

Menurut rumus yang kita dapatkan:

Persamaan garis lurus
Garis lurus yang melalui titik A 1 (x 1; y 1) dan A 2 (x 2; y 2) dinyatakan dengan persamaan:

Persamaan garis AB
Persamaan kanonik garis lurus:

atau

atau
y = -3 / 4 x -15 / 4 atau 4y + 3x +15 = 0
Kemiringan garis AB adalah k = -3 / 4
Persamaan garis AC

atau

atau
y = 13 / 16x + 65 / 16 atau 16y -13x - 65 = 0
Kemiringan garis AB adalah k = 13 / 16

Latihan. Diberikan koordinat titik-titik puncak piramida ABCD. Diperlukan:

1. Tulis vektor dalam sistem ort dan temukan modul dari vektor ini.
2. Temukan sudut antara vektor.
3. Temukan proyeksi vektor ke vektor.
4. Temukan luas wajah ABC.
5. Temukan volume limas ABCD.

Larutan
Contoh 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Contoh #2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): Contoh #3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): Contoh #4

Latihan. Temukan sudut akut antara garis x + y -5 = 0 dan x + 4y - 8 = 0 .
Rekomendasi untuk solusi. Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan layanan Sudut antara dua garis.
Menjawab: 30,96o

Contoh 1. Koordinat titik A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) diberikan. Hitunglah panjang rusuk A1A2. Tulis persamaan untuk sisi A1A4 dan sisi A1A2A3. Tulis persamaan tinggi yang diturunkan dari titik A4 ke bidang A1A2A3. Temukan luas segitiga A1A2A3. Temukan volume limas segitiga A1A2A3A4.

Kami menemukan koordinat vektor dengan rumus: X = x j - x i ; Y = y j - y saya ; Z = z j - z i
di sini X,Y,Z koordinat vektor; xi , yi , zi - koordinat titik A i ; x j , y j , z j - koordinat titik A j ;
Jadi, untuk vektor A 1 A 2 akan menjadi sebagai berikut:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Panjang vektor a(X;Y;Z) dinyatakan dalam koordinatnya dengan rumus:

Tugas 1. Koordinat simpul segitiga ABC diberikan: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Temukan: 1) panjang sisi AB; 2) persamaan sisi AB dan BC serta kemiringannya; 3) sudut B dalam radian dengan ketelitian dua tempat desimal; 4) persamaan tinggi CD dan panjangnya; 5) persamaan median AE dan koordinat titik K perpotongan median ini dengan tinggi CD; 6) persamaan garis lurus yang melalui titik K sejajar sisi AB; 7) koordinat titik M yang letaknya simetris dengan titik A relatif terhadap garis lurus CD.

Larutan:

1. Jarak d antara titik A(x 1 ,y 1) dan B(x 2 ,y 2) ditentukan dengan rumus

Menerapkan (1), kami menemukan panjang sisi AB:

2. Persamaan garis lurus yang melalui titik A (x 1, y 1) dan B (x 2, y 2) berbentuk

(2)

Mengganti (2) koordinat titik A dan B, kita memperoleh persamaan sisi AB:

Setelah menyelesaikan persamaan terakhir untuk y, kami menemukan persamaan sisi AB dalam bentuk persamaan garis lurus dengan kemiringan:

Di mana

Mengganti (2) koordinat titik B dan C, kita mendapatkan persamaan garis lurus BC:

Atau

3. Diketahui bahwa garis singgung sudut antara dua garis lurus yang koefisien sudutnya masing-masing sama dan dihitung dengan rumus

(3)

Sudut yang diinginkan B dibentuk oleh garis lurus AB dan BC, koefisien sudutnya ditemukan: Menerapkan (3), kita memperoleh

Atau senang.

4. Persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu dalam arah tertentu berbentuk

(4)

Tinggi CD tegak lurus dengan sisi AB. Untuk menemukan kemiringan tinggi CD, kami menggunakan kondisi tegak lurus garis. Dari dulu Mensubstitusi ke (4) koordinat titik C dan koefisien sudut tinggi yang ditemukan, kita peroleh

Untuk mencari panjang tinggi CD, pertama kita tentukan koordinat titik D - titik potong garis AB dan CD. Memecahkan sistem bersama-sama:

menemukan itu. D(8;0).

Menggunakan rumus (1), kami menemukan panjang tinggi CD:

5. Untuk mencari persamaan median AE, pertama-tama kita tentukan koordinat titik E yang merupakan titik tengah sisi BC dengan menggunakan rumus membagi ruas menjadi dua bagian yang sama besar:

(5)

Karena itu,

Mengganti (2) koordinat titik A dan E, kami menemukan persamaan median:

Untuk mencari koordinat titik potong tinggi CD dan median AE, kita bersama-sama menyelesaikan sistem persamaan

Kami menemukan .

6. Karena garis yang diinginkan sejajar dengan sisi AB, maka kemiringannya akan sama dengan kemiringan garis AB. Mengganti (4) koordinat titik yang ditemukan K dan kemiringan yang kita dapatkan

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Karena garis AB tegak lurus dengan garis CD, titik M yang diinginkan, terletak secara simetris dengan titik A relatif terhadap garis CD, terletak pada garis AB. Selain itu, titik D merupakan titik tengah segmen AM. Menerapkan rumus (5), kami menemukan koordinat titik M yang diinginkan:

Segitiga ABC, ketinggian CD, median AE, garis KF dan titik M dibangun dalam sistem koordinat xOy pada gambar. 1.

Tugas 2. Buatlah persamaan untuk tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu A (4; 0) dan garis lurus tertentu x \u003d 1 sama dengan 2.

Larutan:

Dalam sistem koordinat xOy, kita membuat titik A(4;0) dan garis lurus x = 1. Misalkan M(x;y) adalah sembarang titik dari lokus titik yang diinginkan. Mari kita jatuhkan MB tegak lurus ke garis yang diberikan x = 1 dan tentukan koordinat titik B. Karena titik B terletak pada garis yang diberikan, absisnya sama dengan 1. Koordinat titik B sama dengan ordinat dari titik M. Oleh karena itu, B(1; y) (Gbr. 2 ).

Dengan kondisi masalah |MA|: |MV| = 2. Jarak |MA| dan |MB| kami temukan dengan rumus (1) dari masalah 1:

Dengan mengkuadratkan sisi kiri dan kanan, kita dapatkan

atau

Persamaan yang dihasilkan adalah hiperbola, di mana semi-sumbu sebenarnya adalah a = 2, dan sumbu imajinernya adalah

Mari kita tentukan fokus hiperbola. Untuk hiperbola, persamaan terpenuhi.Oleh karena itu, dan adalah fokus dari hiperbola. Seperti yang Anda lihat, titik A(4;0) yang diberikan adalah fokus kanan hiperbola.

Mari kita tentukan eksentrisitas dari hiperbola yang dihasilkan:

Persamaan asimtot dari hiperbola memiliki bentuk dan . Oleh karena itu, atau dan adalah asimtot dari hiperbola. Sebelum membuat hiperbola, kami membuat asimtotnya.

Tugas 3. Buat persamaan untuk tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A (4; 3) dan garis lurus y \u003d 1. Kurangi persamaan yang dihasilkan menjadi bentuk yang paling sederhana.

Larutan: Misalkan M(x; y) menjadi salah satu titik dari lokus titik yang diinginkan. Mari kita turunkan MB tegak lurus dari titik M ke garis yang diberikan y = 1 (Gbr. 3). Mari kita tentukan koordinat titik B. Jelas bahwa absis titik B sama dengan absis titik M, dan ordinat titik B adalah 1, yaitu B (x; 1). Dengan kondisi masalah |MA|=|MV|. Oleh karena itu, untuk setiap titik M (x; y) yang termasuk dalam lokus titik yang diinginkan, persamaannya benar:

Persamaan yang dihasilkan mendefinisikan parabola dengan titik puncak di suatu titik. Untuk mereduksi persamaan parabola menjadi bentuk paling sederhana, kita tentukan dan y + 2 = Y maka persamaan parabola berbentuk:

Bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik?
Masalah umum dengan segitiga di pesawat

Pelajaran ini dibuat pada pendekatan ekuator antara geometri bidang dan geometri ruang. Saat ini, ada kebutuhan untuk mensistematisasikan informasi yang terkumpul dan menjawab pertanyaan yang sangat penting: bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik? Kesulitannya terletak pada kenyataan bahwa ada banyak sekali masalah dalam geometri, dan tidak ada buku teks yang dapat memuat semua contoh yang banyak dan beragam. Tidak turunan fungsi dengan lima aturan diferensiasi, tabel, dan beberapa teknik….

Ada solusinya! Saya tidak akan mengatakan kata-kata keras bahwa saya telah mengembangkan semacam teknik muluk, namun, menurut pendapat saya, ada pendekatan yang efektif untuk masalah yang sedang dipertimbangkan, yang bahkan memungkinkan ketel penuh untuk mencapai hasil yang baik dan luar biasa. Setidaknya, algoritme umum untuk memecahkan masalah geometri terbentuk dengan sangat jelas di kepala saya.

APA YANG HARUS ANDA TAHU DAN DAPATKAN
untuk berhasil memecahkan masalah dalam geometri?

Tidak ada jalan keluar dari ini - agar tidak menyodok tombol secara acak dengan hidung Anda, Anda harus menguasai dasar-dasar geometri analitik. Oleh karena itu, jika Anda baru mulai mempelajari geometri atau sudah lupa sama sekali, silakan mulai dengan pelajarannya Vektor untuk boneka. Selain vektor dan aksi dengannya, Anda perlu mengetahui konsep dasar geometri bidang, khususnya, persamaan garis lurus pada bidang Dan . Geometri ruang diwakili oleh artikel Persamaan bidang, Persamaan garis lurus dalam ruang, Tugas dasar di garis dan pesawat dan beberapa pelajaran lainnya. Garis lengkung dan permukaan spasial dari orde kedua agak terpisah, dan tidak banyak masalah khusus dengannya.

Misalkan seorang siswa sudah memiliki pengetahuan dan keterampilan dasar dalam memecahkan masalah geometri analitik yang paling sederhana. Tapi itu terjadi seperti ini: Anda membaca kondisi masalahnya, dan ... Anda ingin menutup semuanya sama sekali, membuangnya ke sudut jauh dan melupakannya, seperti mimpi buruk. Selain itu, ini pada dasarnya tidak bergantung pada tingkat kualifikasi Anda, dari waktu ke waktu saya sendiri menghadapi tugas yang solusinya tidak jelas. Bagaimana cara bertindak dalam kasus seperti itu? Tidak perlu takut dengan tugas yang tidak Anda mengerti!

Pertama, harus diatur ke apakah ini masalah "planar" atau spasial? Misalnya, jika vektor dengan dua koordinat muncul dalam kondisi tersebut, maka tentunya ini adalah geometri bidang. Dan jika guru memuat pendengar yang bersyukur dengan sebuah piramida, maka jelaslah ada geometri ruang. Hasil dari langkah pertama sudah cukup bagus, karena kami berhasil memotong sejumlah besar informasi yang tidak diperlukan untuk tugas ini!

Kedua. Kondisinya, sebagai aturan, akan membuat Anda khawatir dengan beberapa bentuk geometris. Memang, berjalanlah di sepanjang koridor universitas asal Anda, dan Anda akan melihat banyak wajah cemas.

Dalam soal "datar", belum lagi titik dan garis yang jelas, bentuk yang paling populer adalah segitiga. Kami akan menganalisisnya dengan sangat rinci. Berikutnya adalah jajaran genjang, dan persegi panjang, persegi, belah ketupat, lingkaran, dan bentuk lainnya jauh lebih jarang.

Dalam tugas spasial, sosok datar yang sama + pesawat itu sendiri dan piramida segitiga biasa dengan pipa paralel dapat terbang.

Pertanyaan kedua - Apakah Anda tahu segalanya tentang sosok ini? Misalkan kondisinya tentang segitiga sama kaki, dan Anda ingat samar-samar jenis segitiga apa itu. Kami membuka buku teks sekolah dan membaca tentang segitiga sama kaki. Apa yang harus dilakukan... kata dokter belah ketupat, jadi belah ketupat. Geometri analitik adalah geometri analitik, tetapi masalahnya akan membantu memecahkan sifat geometris dari figur itu sendiri diketahui oleh kita dari kurikulum sekolah. Jika Anda tidak tahu berapa jumlah sudut sebuah segitiga, maka Anda bisa menderita untuk waktu yang lama.

Ketiga. SELALU mencoba untuk mengikuti cetak biru(pada konsep / bersih / mental), meskipun kondisi ini tidak diharuskan. Dalam tugas "datar", Euclid sendiri memerintahkan untuk mengambil penggaris dengan pensil di tangan - dan tidak hanya untuk memahami kondisinya, tetapi juga untuk tujuan pengujian diri. Dalam hal ini, skala yang paling nyaman adalah 1 satuan = 1 cm (2 sel tetrad). Mari kita tidak berbicara tentang siswa dan ahli matematika yang lalai berputar di kuburan mereka - hampir tidak mungkin membuat kesalahan dalam soal seperti itu. Untuk tugas spasial, kami melakukan gambar skematik, yang juga akan membantu menganalisis kondisi tersebut.

Sebuah gambar atau gambar skema seringkali langsung memungkinkan Anda melihat cara untuk memecahkan masalah. Tentu saja, untuk ini Anda perlu mengetahui dasar-dasar geometri dan memotong sifat-sifat bentuk geometris (lihat paragraf sebelumnya).

keempat. Pengembangan algoritma solusi. Banyak soal geometri bersifat multi-lintasan, sehingga sangat mudah untuk memecah solusi dan desainnya menjadi beberapa titik. Seringkali, algoritme langsung muncul di benak Anda setelah Anda membaca kondisi atau menyelesaikan gambar. Jika ada kesulitan, kita mulai dengan PERTANYAAN masalahnya. Misalnya sesuai dengan syarat “diharuskan membangun garis lurus…”. Di sini pertanyaan yang paling logis adalah: "Apa yang cukup diketahui untuk membangun garis ini?". Misalkan, "kita tahu intinya, kita perlu tahu vektor arahnya." Kami mengajukan pertanyaan berikut: “Bagaimana menemukan vektor arah ini? Di mana?" dll.

Terkadang ada "plug" - tugas tidak terselesaikan dan hanya itu. Alasan sumbat mungkin sebagai berikut:

- Kesenjangan serius dalam pengetahuan dasar. Dengan kata lain, Anda tidak tahu atau (dan) tidak melihat beberapa hal yang sangat sederhana.

- Ketidaktahuan tentang sifat-sifat bentuk geometris.

- Tugasnya sulit. Ya, itu terjadi. Tidak ada gunanya mengukus selama berjam-jam dan mengumpulkan air mata di saputangan. Tanyakan kepada guru Anda, sesama siswa atau ajukan pertanyaan di forum untuk meminta nasihat. Selain itu, lebih baik membuat pernyataannya konkret - tentang bagian solusi yang tidak Anda mengerti. Teriakan dalam bentuk "Bagaimana cara mengatasi masalah?" tidak terlihat bagus... dan yang terpenting, untuk reputasi Anda sendiri.

Tahap lima. Kami memecahkan-memeriksa, memecahkan-memeriksa, memecahkan-memeriksa-memberikan jawaban. Sangat bermanfaat untuk memeriksa setiap item tugas segera setelah selesai. Ini akan membantu Anda menemukan kesalahan dengan segera. Secara alami, tidak ada yang melarang menyelesaikan seluruh masalah dengan cepat, tetapi ada risiko menulis ulang semuanya lagi (seringkali beberapa halaman).

Di sini, mungkin, semua pertimbangan utama yang disarankan untuk dipandu saat memecahkan masalah.

Bagian praktis dari pelajaran diwakili oleh geometri pada bidang. Hanya akan ada dua contoh, tetapi sepertinya tidak cukup =)

Mari telusuri utas algoritme yang baru saja saya ulas dalam karya ilmiah kecil saya:

Contoh 1

Tiga simpul jajaran genjang diberikan. Cari atas.

Mari kita mulai mencari tahu:

Langkah pertama: jelas bahwa kita berbicara tentang masalah "datar".

langkah kedua: Masalahnya adalah tentang jajaran genjang. Semua orang ingat sosok jajaran genjang seperti itu? Tidak perlu tersenyum, banyak orang yang berpendidikan pada usia 30-40-50 tahun atau lebih, sehingga fakta sederhana pun bisa terhapus dari ingatan. Definisi jajaran genjang ditemukan dalam Contoh No. 3 pelajaran Linear (non) ketergantungan vektor. dasar vektor.

Langkah ketiga: Mari kita buat gambar di mana kita menandai tiga simpul yang diketahui. Lucunya mudah untuk segera membangun poin yang diinginkan:

Membangun, tentu saja, bagus, tetapi solusinya harus diformalkan secara analitis.

Langkah Empat: Pengembangan algoritma solusi. Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah bahwa suatu titik dapat ditemukan sebagai perpotongan garis. Persamaan mereka tidak kita ketahui, jadi kita harus menangani masalah ini:

1) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Dengan poin temukan vektor arah sisi-sisi ini. Ini adalah tugas paling sederhana yang dipertimbangkan dalam pelajaran. Vektor untuk boneka.

Catatan: lebih tepat mengatakan "persamaan garis lurus yang mengandung sisi", tetapi selanjutnya, untuk singkatnya, saya akan menggunakan frasa "persamaan sisi", "vektor arah sisi", dll.

3) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Dari titik-titik tersebut kita menemukan vektor arah dari sisi-sisi ini.

4) Menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah

Pada paragraf 1-2 dan 3-4, sebenarnya kita memecahkan masalah yang sama dua kali, ngomong-ngomong dianalisis di contoh nomor 3 pelajaran Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat. Dimungkinkan untuk melangkah lebih jauh - pertama temukan persamaan garis dan baru kemudian "tarik" vektor arah darinya.

5) Sekarang persamaan garis diketahui. Tetap menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan linier yang sesuai (lihat contoh No. 4, 5 dari pelajaran yang sama Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat).

Titik ditemukan.

Tugasnya cukup sederhana dan solusinya jelas, tetapi ada cara yang lebih singkat!

Cara kedua untuk memecahkan:

Diagonal-diagonal jajaran genjang dibagi dua oleh titik potongnya. Saya menandai intinya, tetapi agar tidak mengacaukan gambarnya, saya tidak menggambar diagonal sendiri.

Susunlah persamaan sisi demi titik :

Untuk memeriksa, secara mental atau draf, gantikan koordinat setiap titik dalam persamaan yang dihasilkan. Sekarang mari kita cari lerengnya. Untuk melakukan ini, kami menulis ulang persamaan umum dalam bentuk persamaan dengan kemiringan:

Jadi faktor kemiringannya adalah:

Demikian pula, kami menemukan persamaan sisi. Saya tidak melihat banyak gunanya melukis hal yang sama, jadi saya akan segera memberikan hasil akhirnya:

2) Hitunglah panjang sisinya. Ini adalah tugas paling sederhana yang dibahas dalam pelajaran. Vektor untuk boneka. Untuk poin kita menggunakan rumus:

Menggunakan rumus yang sama, mudah untuk menemukan panjang sisi lainnya. Pengecekan sangat cepat dilakukan dengan penggaris biasa.

Kami menggunakan rumus .

Mari kita cari vektornya:

Dengan demikian:

Ngomong-ngomong, di sepanjang jalan, kami menemukan panjang sisinya.

Sebagai akibat:

Nah, sepertinya benar, untuk persuasif, Anda bisa memasang busur derajat di sudut.

Perhatian! Jangan bingung sudut segitiga dengan sudut antara garis lurus. Sudut segitiga bisa tumpul, tetapi sudut antara garis lurus tidak (lihat paragraf terakhir artikel Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat). Akan tetapi, rumus-rumus pada pelajaran di atas juga dapat digunakan untuk mencari sudut segitiga, namun kekasarannya adalah rumus-rumus tersebut selalu memberikan sudut lancip. Dengan bantuan mereka, saya memecahkan masalah ini pada draf dan mendapatkan hasilnya. Dan pada salinan bersih, Anda harus menuliskan alasan tambahan itu.

4) Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik sejajar garis lurus.

Tugas standar, dibahas secara rinci dalam contoh nomor 2 pelajaran Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat. Dari persamaan umum garis lurus tarik vektor arah. Mari kita buat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:

Bagaimana cara mencari tinggi segitiga?

5) Mari kita buat persamaan tingginya dan kita akan mencari panjangnya.

Tidak ada jalan keluar dari definisi yang ketat, jadi Anda harus mencuri dari buku teks sekolah:

tinggi segitiga disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik puncak segitiga ke garis yang memuat sisi berhadapan.

Artinya, perlu disusun persamaan garis tegak lurus yang ditarik dari titik puncak ke sisi. Tugas ini dipertimbangkan dalam contoh No. 6, 7 pelajaran Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat. Dari persamaan menghapus vektor normal. Kami akan menyusun persamaan ketinggian untuk titik dan vektor arah:

Perlu diketahui bahwa kami tidak mengetahui koordinat titik tersebut.

Kadang-kadang persamaan tinggi ditemukan dari rasio kemiringan garis tegak lurus: . Dalam hal ini, maka: . Kami akan menyusun persamaan ketinggian untuk titik dan kemiringan (lihat awal pelajaran Persamaan garis lurus pada bidang):

Panjang tingginya dapat ditemukan dengan dua cara.

Ada jalan memutar:

a) temukan - titik persimpangan tinggi dan sisi;
b) temukan panjang segmen dengan dua titik yang diketahui.

Tapi di kelas Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat formula nyaman untuk jarak dari titik ke garis dipertimbangkan. Diketahui titik : , persamaan garis juga diketahui : , Dengan demikian:

6) Hitung luas segitiga. Di luar angkasa, luas segitiga secara tradisional dihitung menggunakan perkalian silang vektor, tetapi di sini segitiga diberikan pada bidang. Kami menggunakan rumus sekolah:
Luas segitiga adalah setengah hasil kali alasnya dengan tingginya.

Pada kasus ini:

Bagaimana cara mencari median segitiga?

7) Menyusun persamaan median.

Median segitiga Ruas garis yang menghubungkan titik puncak segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan disebut.

a) Temukan titik - titik tengah sisi. Kita gunakan rumus koordinat titik tengah. Koordinat ujung segmen diketahui: , maka koordinat tengah:

Dengan demikian:

Kami menyusun persamaan median dengan poin :

Untuk memeriksa persamaan, Anda perlu mengganti koordinat titik ke dalamnya.

8) Temukan titik potong tinggi dan median. Saya pikir semua orang telah belajar bagaimana melakukan elemen skating figur ini tanpa jatuh: