ANGKA NYATA II

46 Penambahan bilangan real

Sejauh ini, kita hanya dapat menjumlahkan bilangan rasional satu sama lain. Seperti yang kita tahu,

Tetapi apa arti dari penjumlahan dua bilangan, yang paling sedikit satu bilangan irasional, kita masih belum mengetahuinya. Sekarang kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan penjumlahan α + β dua bilangan real arbitrer α dan β .

Misalnya, perhatikan angka 1 / 3 dan 2. Mari kita nyatakan dalam bentuk pecahan desimal tak terbatas

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Pertama, kami menambahkan perkiraan desimal yang sesuai dari angka-angka ini dengan kerugian. Perkiraan ini, seperti disebutkan di akhir bagian sebelumnya, adalah: rasional angka. Dan kita sudah tahu cara menambahkan angka seperti itu:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Kemudian kami menambahkan perkiraan desimal yang sesuai dari angka-angka ini dengan kelebihan:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Dapat dibuktikan* bahwa ada, apalagi, bilangan real yang unik γ , yang lebih besar dari semua jumlah perkiraan desimal dari angka 1 / 3 dan 2 dengan kerugian, tetapi kurang dari semua jumlah perkiraan desimal dari angka-angka ini dengan kelebihan:

* Bukti nyata dari fakta ini berada di luar cakupan program kami dan oleh karena itu tidak diberikan di sini.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

Menurut definisi, angka ini γ dan diambil sebagai jumlah dari angka 1 / 3 dan 2:

γ = 1 / 3 + √2

Jelas bahwa γ = 1,7475....

Jumlah bilangan real positif lainnya, setidaknya salah satunya irasional, dapat didefinisikan dengan cara yang sama. Esensi masalah tidak akan berubah bahkan jika salah satu istilah, dan mungkin keduanya, negatif.

Jadi, jika angka α dan β rasional, maka jumlah mereka ditemukan oleh aturan penambahan bilangan rasional(lihat 36).

Jika paling sedikit salah satunya irasional, maka jumlah α + β bilangan real disebut yang lebih besar dari semua jumlah dari perkiraan desimal yang sesuai dari angka-angka ini dengan kerugian, tetapi kurang dari semua jumlah dari perkiraan desimal yang sesuai dari angka-angka ini dengan kelebihan.

Tindakan penambahan yang didefinisikan dengan demikian mematuhi dua hukum berikut:

1) hukum komutatif:

α + β = β + α

2) hukum asosiasi:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Kami tidak akan membuktikan ini. Siswa dapat melakukannya sendiri. Kita hanya mencatat bahwa dalam pembuktiannya kita harus menggunakan fakta yang sudah kita ketahui: penjumlahan bilangan rasional tunduk pada hukum komutatif dan asosiatif (lihat 36).

Latihan

327. Sajikan jumlah ini sebagai pecahan desimal, yang menunjukkan setidaknya tiga digit yang benar setelah sibuk:

a) 2 + 3 ; d) 2 + (- 3 ) g) 3/4 + (-√5 );

b) 2 + 5/8; e) (- 1/3) + 5 jam) 1/3 + 2 + 3.

c) (-√2) + 3; f) 11/9 + (- 5);

328. Temukan beberapa aproksimasi desimal pertama (dengan dan tanpa kelebihan) untuk bilangan real:

a) 1/2 + 7 b) 3 + 7 c) 3 + (-√7)

329. Berasal dari definisi jumlah bilangan real, buktikan bahwa untuk sembarang bilangan α

α + (- α ) = 0.

330. Apakah jumlah dua pecahan tak periodik tak terhingga selalu merupakan pecahan tak periodik? Jelaskan jawabannya dengan contoh.

Definisi

Himpunan bilangan real adalah gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional. Surat R adalah notasi untuk himpunan yang ditinjau. Banyak R diwakili oleh interval bentuk (- ; + ).

Komentar

Perlu dicatat bahwa bilangan rasional apa pun selalu dapat berbentuk pecahan desimal tak hingga, bilangan irasional apa pun dari pecahan non-periodik desimal tak hingga, berdasarkan hal di atas, maka himpunan, yang mencakup periodik hingga dan tak hingga pecahan desimal non-periodik, milik himpunan R.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Model geometris bilangan real

Garis koordinat secara langsung merupakan model geometrik dari himpunan R. Oleh karena itu, setiap titik pada garis koordinat selalu dapat dikaitkan dengan beberapa bilangan real.

Perbandingan bilangan real

Bilangan real dapat dibandingkan dengan menggunakan model geometrik, atau dapat dibandingkan secara analitik. Mari kita lihat perbandingan keduanya. Dua angka ditempatkan secara acak pada garis koordinat. Menentukan mana yang lebih cukup sederhana. Angka yang lebih besar selalu di sebelah kanan yang lain.

Secara analitis menentukan angka mana yang lebih besar atau lebih kecil dari angka apa pun juga dimungkinkan, untuk ini cukup menemukan perbedaan antara angka-angka ini dan kemudian membandingkannya dengan nol. Jika selisih yang dihasilkan akan bertanda positif, maka bilangan pertama (dikurangi selisihnya) akan lebih besar dari bilangan kedua (dikurangi selisihnya); jika selisihnya bertanda negatif, maka bilangan pertama (dikurangi selisihnya) akan lebih kecil dari bilangan kedua (dikurangi selisihnya).

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan contoh yang menunjukkan kedua metode perbandingan:

Contoh 1

Bandingkan angka f r a c 185 dan 4 .

Larutan

Untuk membandingkan angka-angka ini, kami menemukan perbedaan antara angka-angka ini.

f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 Setelah melakukan operasi ini, kita melihat bahwa penyebut dalam contoh ini adalah 5. Setelah itu, berdasarkan aturan untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, kami mengurangkan pembilang dari pecahan kedua dari pembilang dari pecahan pertama, dan meninggalkan penyebutnya sama. Perhatikan bahwa perbedaan antara angka-angka yang diberikan adalah negatif, yang berarti bahwa angka pertama (dikurangi) lebih kecil dari yang kedua (dikurangi), yaitu f r a c 185< 4 .

Contoh 2

Bandingkan bilangan f r a c 185 dan 4 menggunakan garis koordinat.

Larutan

Untuk membandingkan angka-angka ini, Anda harus menentukan tempat kedudukan titik-titik angka-angka ini pada garis koordinat. Itu. bilangan real yang dibandingkan akan bersesuaian dengan koordinat tertentu pada garis koordinat, yaitu bilangan f r a c 185 dan 4 . Pertama, mari kita ubah pecahan tidak wajar frac185 menjadi bilangan campuran yaitu. kami memilih bagian bilangan bulat, oleh karena itu, kami mendapatkan 3 f r a c 35 .

Selanjutnya, pada garis koordinat, tandai titik-titik yang koordinatnya sama dengan 3 f r a c 35 dan 4 . f r a c 185 berisi 3 bilangan bulat, yang berarti angka ini terletak di sebelah kiri 4. Seperti yang sudah Anda ketahui, angka yang lebih kecil terletak di sebelah kiri, berdasarkan ini, kesimpulannya menunjukkan bahwa f r a c 185< 4 .

Dapat disimpulkan bahwa, terlepas dari penampilan membandingkan bilangan real, adalah mungkin untuk menerapkan semua operasi aritmatika, yaitu penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Namun, sebelum melakukan operasi dengan bilangan real, seseorang harus memperhitungkan tanda-tanda awal dari bilangan-bilangan ini, yaitu. tentukan apakah setiap bilangan positif atau negatif.

Penjumlahan bilangan real

Untuk menjumlahkan dua bilangan real dengan tanda yang sama, pertama-tama Anda harus menjumlahkan modul-modulnya dan kemudian meletakkan tanda persekutuannya di depan jumlah tersebut. Sebagai contoh:

(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .

Untuk menjumlahkan dua bilangan real dengan tanda yang berbeda, pertama-tama Anda harus memperhatikan tanda bilangan tersebut, jika tanda salah satu bilangan negatif, maka bilangan ini harus dikurangi dari yang lain, jika positif - tambahkan yang lain. Selanjutnya, Anda perlu menambah atau mengurangi angka-angka ini dan memberi tanda modul yang lebih besar. Sebagai contoh

(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .

Pengurangan bilangan real

Pengurangan bilangan real dapat direpresentasikan sebagai penambahan: a - b \u003d a + (- b), yaitu, untuk mengurangi angka b dari angka a, cukup dengan menambahkan angka yang berlawanan dengan yang ada dikurangi dengan yang dikurangi.

Misalnya: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .

Perkalian bilangan real

Untuk mengalikan (membagi) dua bilangan real, Anda perlu mengalikan (membagi) modulnya. Dan kemudian letakkan tanda di depan hasil sesuai dengan aturan tanda yang diberikan pada tabel di bawah ini.

Saat mengalikan dan membagi bilangan real, disarankan untuk mengingat pepatah: "Teman dari temanku adalah temanku, musuh dari musuhku adalah temanku, teman dari musuhku adalah musuhku, musuh dari temanku adalah musuhku. musuh."

Sebagai contoh:

(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;

Sifat-sifat operasi aritmatika pada bilangan real (hukum dasar aljabar)

Dalam aljabar, ada yang disebut hukum dasar aljabar. Mereka hampir selalu diterima sebagai benar (kasus kepalsuan hukum ini tidak dianggap) dan dirumuskan sebagai properti-identitas berikut:

1. a + b = b + a ;
2. (a + b) + c = a + (b + c) ;
3. a + 0 = ;
4. a + (- a) = 0 ;
5. a b = b a ;
6. (a b) c = a (b c) ;
7. a (b + c) = a b + a c ;
8. a1 = a;
9. a 0 = 0;
10. a 1 a = 1 , (a 0) .

Properti 1 dan 5 nyatakan hukum komutatif (komutatif) penjumlahan dan perkalian berturut-turut;

Properti 2 dan 6 menyatakan hukum asosiatif (associativity);

Properti 7 - hukum distributif (distributivity) perkalian sehubungan dengan penambahan;

Properti 3 dan 8 menunjukkan keberadaan elemen netral untuk penambahan dan perkalian, masing-masing;

Properti 4 dan 10 - untuk keberadaan elemen penetral, masing-masing.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jika bilangan tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan tak tereduksi $$\frac(p)(q)$$, maka disebut irasional.
Bilangan irasional ditulis sebagai pecahan desimal non-periodik tak terhingga.

Fakta adanya bilangan irasional akan ditunjukkan dengan sebuah contoh.
Contoh 1.4.1. Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2.
Larutan. Misalkan ada pecahan $$\frac(p)(q)$$ yang tidak dapat direduksi sedemikian rupa sehingga $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
atau $$p^(2)=2q^(2)$$. Oleh karena itu $$p^(2)$$ adalah kelipatan 2, dan karenanya p adalah kelipatan 2. Jika tidak, jika p tidak habis dibagi 2, yaitu, $$p=2k-1$$, maka $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ juga tidak habis dibagi 2. Oleh karena itu, $ $ p=2k$$ $$\Panah Kanan$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Panah Kanan$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Panah kanan$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Karena $$q^(2)$$ adalah kelipatan 2, maka q juga kelipatan 2, mis. $$q=2jt$$.
Jadi, angka p dan q memiliki faktor persekutuan - angka 2, yang berarti bahwa pecahan $$\frac(p)(q)$$ berkurang.
Kontradiksi ini berarti bahwa asumsi yang dibuat salah, sehingga pernyataan terbukti.
Himpunan bilangan rasional dan irasional disebut himpunan bilangan real.
Dalam himpunan bilangan real, operasi penjumlahan dan perkalian diperkenalkan secara aksiomatis: setiap dua bilangan real a dan b diberi bilangan $$a+b$$ dan hasil kali $$a\cdot b$$.
Selain itu, hubungan "lebih besar dari", "kurang dari" dan kesetaraan diperkenalkan di set ini:
$$a>b$$ jika dan hanya jika a - b adalah bilangan positif;
$$a a = b jika dan hanya jika a - b = 0.
Mari kita daftar sifat-sifat utama pertidaksamaan numerik.
1. Jika $$a>b$$ dan $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Jika $$a>b$$ dan $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Jika $$a>b$$ dan $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. Jika $$a>b$$ dan c adalah bilangan apa saja $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Jika a, b, c, d adalah bilangan positif sehingga $$a>b$$ dan $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Konsekuensi. Jika a dan b adalah bilangan positif dan $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Jika $$a>b$$ dan $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Jika $$a>0$$, $$b>0$$ dan $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

Interpretasi geometris bilangan real.
Mari kita ambil garis lurus aku, lihat gambar. 1.4.1, dan perbaiki titik O di atasnya - titik asal.
Titik O membagi garis menjadi dua bagian - sinar. Sinar yang diarahkan ke kanan disebut sinar positif, dan sinar yang diarahkan ke kiri disebut sinar negatif. Pada garis lurus, kami menandai segmen yang diambil sebagai satuan panjang, mis. masukkan skala.

Beras. 1.4.1. Interpretasi geometris bilangan real.

Garis lurus dengan asal yang dipilih, arah dan skala positif disebut garis bilangan.
Setiap titik dari garis bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan real menurut aturan berikut:

- titik O akan diberikan nol;
– setiap titik N pada sinar positif diberi angka positif a, di mana a adalah panjang segmen ON ;
– setiap titik M pada sinar negatif diberi angka negatif b, di mana $$b=-\left | OM \kanan |$$ (panjang segmen OM, diambil dengan tanda minus).
Dengan demikian, korespondensi satu-satu dibuat antara himpunan semua titik dari garis bilangan real dan himpunan bilangan real, yaitu :
1) setiap titik pada garis bilangan diberi satu dan hanya satu bilangan real;
2) poin yang berbeda diberikan nomor yang berbeda;
3) tidak ada satu pun bilangan real yang tidak bersesuaian dengan titik mana pun pada garis bilangan.

Contoh 1.4.2. Pada garis bilangan, tandai titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Larutan. 1) Untuk menandai bilangan pecahan $$\frac(12)(7)$$, Anda perlu membuat titik yang sesuai dengan $$\frac(12)(7)$$.
Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi segmen dengan panjang 1 menjadi 7 bagian yang sama. Kami memecahkan masalah ini dengan cara ini.
Kami menggambar sinar sewenang-wenang dari t.O dan menyisihkan 7 segmen yang sama pada sinar ini. Mendapatkan
segmen OA, dan dari titik A kita menarik garis lurus ke perpotongan dengan 1.

Beras. 1.4.2. Pembagian segmen tunggal menjadi 7 bagian yang sama.

Garis lurus yang ditarik sejajar dengan garis lurus A1 melalui ujung segmen yang diberhentikan membagi segmen unit panjang menjadi 7 bagian yang sama (Gbr. 1.4.2). Hal ini memungkinkan untuk membangun sebuah titik yang mewakili angka $$1\frac(5)(7)$$ (Gbr.1.4.3).

Beras. 1.4.3. Titik pada sumbu angka yang sesuai dengan angka $$1\frac(5)(7)$$.

2) Angka $$\sqrt(2)$$ dapat diperoleh seperti ini. Kami membangun segitiga siku-siku dengan kaki satuan. Maka panjang sisi miringnya adalah $$\sqrt(2)$$; segmen ini disisihkan dari O pada garis bilangan (Gbr. 1.4.4).
3) Untuk membangun sebuah titik yang jauh dari PO pada jarak $$\sqrt(3)$$ (ke kanan), perlu untuk membangun segitiga siku-siku dengan panjang kaki 1 dan $$\sqrt(2) $$. Kemudian sisi miringnya memiliki panjang $$\sqrt(2)$$, yang memungkinkan Anda untuk menentukan titik yang diinginkan pada sumbu nyata.
Untuk bilangan real, konsep modul (atau nilai absolut) didefinisikan.

Beras. 1.4.4. Titik pada sumbu angka yang sesuai dengan angka $$\sqrt(2)$$.

Modulus bilangan real a disebut:
adalah bilangan itu sendiri, jika sebuah adalah bilangan positif;
- nol jika sebuah- nol;
– -sebuah, jika sebuah- angka negatif.
Nilai mutlak suatu bilangan sebuah dilambangkan dengan $$\left | a \kanan |$$.
Definisi modul (atau nilai absolut) dapat ditulis sebagai:

$$\kiri | a \kanan |=\kiri\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

Secara geometris, modul bilangan a berarti jarak pada garis bilangan dari titik asal O ke titik yang bersesuaian dengan bilangan tersebut. sebuah.
Kami mencatat beberapa properti modul.
1. Untuk nomor berapa pun sebuah persamaan $$\left | a \kanan |=\kiri | -a \kanan |$$.
2. Untuk bilangan apa saja sebuah dan b persamaan itu benar

$$\kiri | ab \kanan |=\kiri | a \kanan |\cdot \kiri | b \kanan |$$; $$\kiri | \frac(a)(b) \kanan |=\frac(\kiri | a \kanan |)(\kiri | b \kanan |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\kiri | a \kanan |^(2)=a^(2)$$.

3. Untuk nomor berapapun sebuah pertidaksamaan $$\left | a \kanan |\geq 0$$.
4. Untuk nomor berapapun sebuah pertidaksamaan $$-\left | a\kanan |\leq a\leq \kiri | a \kanan |$$.
5. Untuk bilangan apa saja sebuah dan b ketidaksetaraan

$$\kiri | a+b \kanan |\leq \kiri | a \kanan |+\kiri | b \kanan |$$

Perhatikan himpunan bilangan berikut.
Jika $$a 1) segmen adalah himpunan semua bilangan real α untuk masing-masing berikut ini benar: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) interval (a; b) adalah himpunan semua bilangan real α , untuk masing-masing yang benar: $$a<\alpha 3) setengah interval (a; b] adalah himpunan semua bilangan real α untuk masing-masing yang benar: $$a<\alpha \leq b$$.
Demikian pula, Anda dapat memasukkan setengah interval.
Dalam beberapa kasus, seseorang berbicara tentang "celah", yang berarti dengan ini baik sinar, atau segmen, atau interval, atau setengah interval.

Banyak R semua bilangan real dilambangkan sebagai berikut: $$(-\infty; \infty)$$.
Untuk setiap bilangan real a, kami memperkenalkan konsep derajat dengan eksponen alami n, yaitu

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ dan $$a^(1)=a$$.

Membiarkan sebuah adalah sembarang angka bukan nol, maka menurut definisi $$a^(0)=1$$.
Kekuatan nol dari nol tidak didefinisikan.
Membiarkan sebuah- sembarang angka bukan nol, m adalah bilangan bulat apa saja. Maka angka $$a^(m)$$ ditentukan oleh aturan:

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$

di mana saya disebut derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Sebelum mendefinisikan konsep derajat dengan eksponen rasional, kami memperkenalkan konsep akar aritmatika.
Derajat akar aritmatika n (n N, n > 2) bilangan non-negatif sebuah disebut bilangan non-negatif b seperti yang b n = a. Nomor b dilambangkan sebagai $$b\sqrt[n](a)$$.
Sifat-sifat akar aritmatika ( a > 0, b > 0, n, m, k- bilangan bulat.)

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\left | a \kanan |$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\left | a \kanan |$$

Membiarkan sebuah< 0 , sebuah n adalah bilangan asli lebih besar dari 1. Jika n adalah bilangan genap, maka persamaannya b n = a tidak berlaku untuk nilai nyata apa pun b. Ini berarti bahwa dalam bidang bilangan real tidak mungkin menentukan akar derajat genap dari bilangan negatif. Jika n adalah bilangan ganjil, maka hanya ada satu bilangan real b seperti yang b n = a. Bilangan ini dilambangkan n a dan disebut akar ganjil dari bilangan negatif.
Menggunakan definisi menaikkan pangkat integer dan definisi akar aritmatika, kami memberikan definisi derajat dengan eksponen rasional.
Membiarkan sebuah adalah bilangan positif dan $$r=\frac(p)(q)$$ adalah bilangan rasional, dan q- bilangan asli.

nomor positif

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

disebut pangkat dari a dengan eksponen r dan dilambangkan sebagai

$$b=a^(r)$$, atau $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, di sini $$q\in N $$, $$q\geq2$$.

Pertimbangkan sifat dasar derajat dengan eksponen rasional.

Membiarkan sebuah dan b adalah sembarang bilangan positif, r 1 dan r 2 sembarang bilangan rasional. Maka sifat-sifat berikut ini benar:

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6. $$a^(0)=1$$
7. Jika $$a>1$$ dan $$r_(1)>0\Panah kanan a^(r_(1))> 1$$
8. Jika $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Panah Kanan 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. Jika $$a>1$$ dan $$r_(1)>r_(2)\Panah kanan a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. Jika $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Panah kanan a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

Konsep derajat bilangan positif digeneralisasikan untuk setiap eksponen nyata α .
Menentukan derajat bilangan positif a dengan pangkat nyata α .

1. Jika $$\alpha > 0$$ dan

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Panah kanan a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matriks)\kanan.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, di mana p dan q- bilangan asli $$\Panah kanan a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α adalah bilangan irasional, maka

a) jika a > 1, maka sebuah- angka lebih besar dari r i dan kurang dari sebuah r k, di mana r saya α dengan kekurangan rk- setiap pendekatan rasional dari suatu bilangan α Berlebihan;
b) jika 0< sebuah< 1, то sebuah- angka yang lebih besar dari sebuah r k dan kurang dari a r saya;
c) jika sebuah= 1, maka a = 1.

2. Jika $$\alpha=0$$, maka a = 1.

3. Jika $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Nomor sebuah disebut derajat, angka a adalah dasar derajat, angka α - eksponen.
Perpangkatan dari bilangan positif dengan eksponen real memiliki sifat yang sama dengan pangkat dengan eksponen rasional.

Contoh 1.4.3. Hitung $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.

Larutan. Mari kita gunakan properti root:

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$

Menjawab. 6.

Contoh 1.4.4. Hitung $$6,25^(1.5)-2,25^(1.5)$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

1. Konsep bilangan irasional. Pecahan non-periodik desimal tak terbatas. Himpunan bilangan real.

2. Operasi aritmatika pada bilangan real. Hukum penjumlahan dan perkalian.

3. Perpanjangan bilangan real positif ke himpunan bilangan real. Sifat-sifat himpunan bilangan real.

4. Angka perkiraan Aturan untuk pembulatan bilangan real dan tindakan dengan angka perkiraan. Perhitungan dengan bantuan mikrokalkulator.

5. Temuan Kunci

Bilangan asli

Salah satu sumber munculnya pecahan desimal adalah pembagian bilangan asli, yang lainnya adalah pengukuran besaran. Mari kita cari tahu, misalnya, bagaimana pecahan desimal dapat diperoleh saat mengukur panjang segmen.

Membiarkan X- segmen yang panjangnya akan diukur, e- potongan tunggal. panjang potong X dilambangkan dengan huruf X, dan panjang segmen e- surat E. Biarkan segmen X terdiri dari n segmen sama dengan e dan potong X, yang lebih pendek dari segmen e(Gbr. 130), yaitu n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Nomor n dan n+ 1 adalah nilai perkiraan panjang segmen X pada satuan panjang E dengan kekurangan dan kelebihan sampai 1.

Untuk mendapatkan jawaban yang lebih akurat, ambil segmennya e adalah sepersepuluh dari segmen e dan kami akan memasukkannya ke dalam segmen X. Dalam hal ini, dua kasus dimungkinkan.

1) Segmen e₁ masuk ke dalam segmen X tepatnya n satu kali. Maka panjangnya n segmen X dinyatakan sebagai desimal akhir: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. Sebagai contoh, X= 3.4∙E.

2) Potong X ternyata terdiri dari n segmen sama dengan e, dan segmen X, yang lebih pendek dari segmen e. Kemudian n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, di mana n,n dan n,n₁n- nilai perkiraan panjang segmen X dengan kekurangan dan kelebihan dengan ketelitian 0,1.

Jelas bahwa dalam kasus kedua proses pengukuran panjang segmen X Anda dapat melanjutkan dengan mengambil segmen unit baru e- seperseratus segmen e.

Dalam praktiknya, proses pengukuran panjang segmen ini akan berakhir pada tahap tertentu. Dan kemudian hasil pengukuran panjang segmen akan berupa bilangan asli atau pecahan desimal akhir. Jika kita membayangkan proses pengukuran panjang segmen ini secara ideal (seperti yang terjadi dalam matematika), maka dua hasil yang mungkin terjadi:

1) Pada langkah ke-k, proses pengukuran akan berakhir. Kemudian panjang segmen akan dinyatakan sebagai pecahan desimal akhir dari bentuk n,n₁… n k.

2) Proses yang dijelaskan untuk mengukur panjang segmen X berlanjut tanpa batas. Maka laporan tentangnya dapat dilambangkan dengan simbol n,n₁… n k..., yang disebut desimal tak terhingga.

Bagaimana memastikan kemungkinan hasil kedua? Untuk melakukan ini, cukup mengukur panjang segmen seperti itu, yang diketahui bahwa panjangnya dinyatakan, misalnya, dengan bilangan rasional 5. Jika ternyata sebagai hasil pengukuran panjang segmen seperti itu, pecahan desimal akhir diperoleh, maka ini berarti bahwa angka 5 dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal akhir, yang tidak mungkin: 5 \u003d 5.666 . ...

Jadi, ketika mengukur panjang segmen, pecahan desimal tak terbatas dapat diperoleh. Tetapi apakah pecahan ini selalu periodik? Jawaban atas pertanyaan ini adalah negatif: ada segmen yang panjangnya tidak dapat dinyatakan dengan pecahan periodik tak terhingga (yaitu, bilangan rasional positif) dengan satuan panjang yang dipilih. Ini adalah penemuan paling penting dalam matematika, yang diikuti bahwa bilangan rasional tidak cukup untuk mengukur panjang segmen.

Dalil. Jika satuan panjang adalah panjang sisi sebuah persegi, maka panjang diagonal persegi tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional positif.

Bukti. Biarkan panjang sisi bujur sangkar dinyatakan dengan angka 1. Misalkan kebalikan dari apa yang perlu dibuktikan, yaitu, bahwa panjang diagonal AC dari bujur sangkar ABCB dinyatakan sebagai pecahan tak tereduksi. Kemudian, menurut teorema Pythagoras, persamaan akan berlaku

1²+ 1² = . Maka dari itu m² = 2n². Jadi, m² bilangan genap, maka bilangan m genap (kuadrat bilangan ganjil tidak boleh genap). Jadi, m = 2p. Mengganti angka m dengan 2p dalam persamaan m² = 2n², kita mendapatkan bahwa 4p² = 2n², yaitu. 2p² = n². Oleh karena itu n² genap, maka n adalah bilangan genap. Jadi, bilangan m dan n genap, yang berarti bahwa pecahan tersebut dapat dikurangi 2, yang bertentangan dengan asumsi bahwa pecahan tersebut tidak dapat direduksi. Kontradiksi yang mapan membuktikan bahwa jika satuan panjang adalah panjang sisi bujur sangkar, maka panjang diagonal bujur sangkar ini tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional.

Ini mengikuti dari teorema terbukti bahwa ada segmen yang panjangnya tidak dapat dinyatakan dengan bilangan positif (dengan satuan panjang yang dipilih), atau, dengan kata lain, ditulis sebagai pecahan periodik tak terbatas. Ini berarti bahwa pecahan desimal tak terbatas yang diperoleh dengan mengukur panjang segmen bisa menjadi non-periodik.

Diyakini bahwa pecahan desimal non-periodik tak terbatas adalah rekor angka baru - positif irasional angka. Karena konsep bilangan dan notasinya sering diidentifikasi, mereka mengatakan bahwa pecahan desimal non-periodik tak terbatas adalah bilangan irasional positif.

Kami sampai pada konsep bilangan irasional positif melalui proses pengukuran panjang segmen. Tetapi bilangan irasional juga dapat diperoleh dengan mengekstraksi akar dari beberapa bilangan rasional. Jadi 2, 7, 24 adalah bilangan irasional. Irasional juga lg 5, sin 31, angka = 3,14..., e= 2.7828... dan lain-lain.

Himpunan bilangan irasional positif dilambangkan dengan simbol J+.

Gabungan dua himpunan bilangan: rasional positif dan irasional positif disebut himpunan bilangan real positif dan dilambangkan dengan simbol R+. Jadi, Q+ J + = R+. Dengan bantuan lingkaran Euler, himpunan ini digambarkan pada Gambar 131.

Setiap bilangan real positif dapat diwakili oleh pecahan desimal tak terbatas - periodik (jika rasional) atau non-periodik (jika irasional).

Tindakan pada bilangan real positif direduksi menjadi tindakan pada bilangan rasional positif.

Penjumlahan dan perkalian bilangan real positif memiliki sifat komutatif dan asosiatif, dan perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan.

Dengan menggunakan bilangan real positif, Anda dapat menyatakan hasil pengukuran besaran skalar apa pun: panjang, luas, massa, dll. Namun dalam praktiknya, seringkali perlu dinyatakan dengan angka bukan hasil pengukuran suatu besaran, melainkan perubahannya. Selain itu, perubahannya dapat terjadi dengan cara yang berbeda - ia dapat bertambah, berkurang, atau tetap tidak berubah. Oleh karena itu, untuk menyatakan perubahan besarnya, diperlukan bilangan lain selain bilangan real positif, dan untuk itu perlu memperluas himpunan R + dengan menambahkan bilangan 0 (nol) dan bilangan negatif padanya.

Gabungan himpunan bilangan real positif dengan himpunan bilangan real negatif dan nol adalah himpunan R dari semua bilangan real.

Perbandingan bilangan real dan operasinya dilakukan sesuai dengan aturan yang kita ketahui dari kursus matematika sekolah.

Latihan

1. Jelaskan proses pengukuran panjang segmen, jika laporannya disajikan dalam bentuk pecahan:

a) 3,46; b) 3,(7); c) 3.2(6).

2. Bagian ketujuh dari satu segmen cocok dengan segmen a sebanyak 13 kali. Akankah panjang segmen ini diwakili oleh fraksi terbatas atau tak terbatas? Berkala atau tidak berkala?

3. Satu set diberikan: (7; 8; 8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).

Bisakah itu dibagi menjadi dua kelas: rasional dan irasional?

4. Diketahui bahwa sembarang bilangan dapat diwakili oleh sebuah titik pada garis koordinat. Apakah titik-titik dengan koordinat rasional menghabiskan seluruh garis koordinat? Bagaimana dengan titik dengan koordinat nyata?

99. Kesimpulan utama 19

Saat mempelajari materi paragraf ini, kami telah mengklarifikasi banyak konsep yang diketahui dari kursus matematika sekolah, menghubungkannya dengan pengukuran panjang segmen. Ini adalah konsep-konsep seperti:

pecahan (benar dan salah);

pecahan sama;

pecahan tak tereduksi;

bilangan rasional positif;

persamaan bilangan rasional positif;

pecahan campuran;

desimal periodik tak terbatas;

desimal non-periodik tak terbatas;

bilangan irasional;

bilangan asli.

Kami menemukan bahwa hubungan kesetaraan pecahan adalah hubungan kesetaraan dan mengambil keuntungan dari ini, mendefinisikan konsep bilangan rasional positif. Kami juga menemukan bagaimana penambahan dan perkalian bilangan rasional positif dihubungkan dengan mengukur panjang segmen dan memperoleh rumus untuk menemukan jumlah dan produk mereka.

Definisi relasi "kurang dari" pada himpunan Q+ memungkinkan untuk menamai properti utamanya: terurut, padat, tidak mengandung bilangan terkecil dan terbesar.

Kami telah membuktikan bahwa himpunan Q+ dari bilangan rasional positif memenuhi semua kondisi yang memungkinkannya dianggap sebagai perpanjangan dari himpunan N bilangan asli.

Dengan memperkenalkan pecahan desimal, kami membuktikan bahwa setiap bilangan rasional positif dapat diwakili oleh pecahan desimal periodik tak terbatas.

Pecahan non-periodik tak terbatas dianggap sebagai catatan bilangan irasional.

Jika kita menggabungkan himpunan bilangan rasional dan irasional positif, maka kita mendapatkan himpunan bilangan real positif: Q+ J + = R+.

Jika kita menambahkan bilangan real negatif dan nol ke bilangan real positif, maka kita mendapatkan himpunan R dari semua bilangan real.

Ulangan SMP

Integral

Turunan

Volume tubuh

Padat revolusi

Metode koordinat dalam ruang

Sistem koordinat persegi panjang. Hubungan antara koordinat vektor dan koordinat titik. Masalah paling sederhana dalam koordinat. Produk skalar dari vektor.

Konsep silinder. Luas permukaan silinder. Konsep kerucut.

Luas permukaan kerucut. Bola dan bola. Area bola. Susunan bola dan bidang yang saling berhubungan.

Konsep volume. Volume paralelepiped persegi panjang. Volume prisma lurus, silinder. Volume piramida dan kerucut. Volume bola.

Bagian III. Awal dari analisis matematis

Turunan. Turunan dari fungsi daya. Aturan diferensiasi. Turunan dari beberapa fungsi dasar. Arti geometris turunan.

Penerapan turunan untuk studi fungsi Fungsi naik dan turun. Ekstrim dari fungsi. Penerapan turunan untuk merencanakan grafik. Nilai terbesar, terkecil dari fungsi.

Primitif. Aturan untuk menemukan primitif. Luas trapesium lengkung dan integral. Perhitungan integral. Perhitungan luas menggunakan integral.

Tugas pelatihan untuk ujian

Bagian I. Aljabar

Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Angka muncul dalam masyarakat primitif sehubungan dengan kebutuhan orang untuk menghitung benda. Seiring berjalannya waktu, dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, bilangan telah menjadi konsep matematika yang paling penting.

Untuk memecahkan masalah dan membuktikan berbagai teorema, sangat penting untuk memahami apa jenis bilangan itu. Jenis utama bilangan meliputi: bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real.

Bilangan asli - angka yang diperoleh dengan penghitungan alami objek, atau lebih tepatnya dengan penomorannya ("pertama", "kedua", "ketiga" ...). Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf Latin N (Anda dapat mengingatnya, berdasarkan kata bahasa Inggris natural). Kita dapat mengatakan bahwa N =(1,2,3,....)

Dengan melengkapi bilangan asli dengan nol dan bilangan negatif (bilangan ᴛ.ᴇ. berlawanan dengan bilangan asli), himpunan bilangan asli diperluas ke himpunan bilangan bulat.

Bilangan bulat - angka dari himpunan (0, 1, -1, 2, -2, ....). Himpunan ini terdiri dari tiga bagian - bilangan asli, bilangan bulat negatif (kebalikan dari bilangan asli) dan angka 0 (nol). Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Latin Z. Kita dapat mengatakan bahwa Z=(1,2,3,....). Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli.

Ada bilangan rasional yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan desimal hingga, misalnya. Jika, misalnya, Anda mencoba menulis angka sebagai pecahan desimal menggunakan algoritma terkenal untuk membagi dengan sudut, Anda akan mendapatkan pecahan desimal tak terbatas. Desimal tak hingga disebut berkala, mengulangi nomor 3 - dia Titik. Pecahan periodik secara singkat ditulis sebagai berikut: 0, (3); berbunyi: "Nol bilangan bulat dan tiga dalam periode."

Secara umum, pecahan periodik adalah pecahan desimal tak terbatas, di mana, mulai dari tempat desimal tertentu, digit yang sama atau beberapa digit diulang - periode pecahan.

Misalnya, pecahan desimal adalah periodik dengan periode 56; berbunyi "23 bilangan bulat, 14 perseratus dan 56 pada periode tersebut."

Jadi, setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik tak terbatas.

Pernyataan sebaliknya juga benar: setiap pecahan desimal periodik tak terbatas adalah bilangan rasional, karena dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana bilangan bulat, adalah bilangan asli.

Bilangan nyata (nyata) - bilangan, digunakan untuk mengukur besaran kontinu. Himpunan bilangan real dilambangkan dengan huruf latin R. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional - bilangan yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan berbagai operasi dengan bilangan rasional (misalnya, mengekstraksi akar, menghitung logaritma), tetapi tidak rasional. Contoh bilangan irasional adalah .

Setiap bilangan real dapat ditampilkan pada garis bilangan:

Untuk himpunan bilangan di atas, pernyataan berikut ini benar: himpunan bilangan asli termasuk himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat termasuk himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan rasional termasuk himpunan himpunan bilangan real. Pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan lingkaran Euler.

Latihan untuk memecahkan diri sendiri