Dalam perjalanan sejarah perkembangannya, tentu saja mereka bertambah dan berlipat ganda dalam jangka waktu yang lama, tanpa menyadari hukum-hukum yang mengatur pengoperasiannya. Baru pada tahun 1920-an dan 1930-an sebagian besar ahli matematika Perancis dan Inggris menjelaskan sifat dasar operasi ini. Siapa pun yang ingin mengetahui sejarah pertanyaan ini lebih terinci, saya dapat merekomendasikan di sini, seperti yang akan saya lakukan berulang kali di bawah, "Ensiklopedia Ilmu Matematika" yang besar.

Kembali ke topik kita, maksud saya sekarang menyebutkan lima hukum dasar yang penambahannya dikurangi:

1) selalu mewakili suatu bilangan, dengan kata lain tindakan penjumlahan selalu dapat dilakukan tanpa ada pengecualian (berlawanan dengan pengurangan, yang tidak selalu dapat dilakukan pada daerah bilangan positif);

2) jumlahnya selalu ditentukan secara unik;

3) terdapat hukum asosiatif atau asosiatif: , sehingga tanda kurung dapat dihilangkan seluruhnya;

4) terdapat hukum komutatif atau komutatif:

5) hukum monotonisitas berlaku: jika , maka .

Sifat-sifat ini dapat dimengerti tanpa penjelasan lebih lanjut, jika di depan mata kita terdapat representasi visual suatu bilangan sebagai suatu besaran. Namun hal-hal tersebut harus diungkapkan secara formal sehingga dapat diandalkan dalam pengembangan teori yang lebih logis.

Mengenai perkalian, pada dasarnya ada lima hukum yang serupa dengan yang baru saja disebutkan:

1) selalu ada nomor;

2) produknya tidak ambigu,

3) hukum kombinasi:

4) hukum mobilitas:

5) hukum monotonisitas: jika , maka

Terakhir, hubungan antara penjumlahan dan perkalian ditentukan oleh hukum keenam:

6) hukum distributifitas, atau distributifitas:

Sangat mudah untuk melihat bahwa semua perhitungan hanya bergantung pada 11 undang-undang ini. Saya akan membatasi diri pada contoh sederhana, misalnya mengalikan angka 7 dengan 12;

menurut hukum distribusi

Dalam pembahasan singkat ini, Anda tentu saja akan mengenali langkah-langkah individual yang kita ambil saat menghitung dalam sistem desimal. Saya menyerahkan kepada Anda untuk memilah sendiri contoh yang lebih kompleks. Di sini kami hanya akan menyatakan hasil ringkasannya: perhitungan numerik kami terdiri dari penerapan berulang-ulang sebelas ketentuan utama yang tercantum di atas, serta penerapan hasil operasi bilangan satu digit yang dihafal (tabel penjumlahan dan tabel perkalian).

Namun, di manakah hukum monotonisitas diterapkan? Dalam perhitungan formal biasa, kita sebenarnya tidak bergantung pada perhitungan tersebut, namun ternyata perhitungan tersebut diperlukan dalam permasalahan yang jenisnya sedikit berbeda. Izinkan saya mengingatkan Anda di sini tentang metode yang dalam penghitungan desimal disebut perkiraan besaran hasil kali dan hasil bagi. Ini adalah teknik yang paling penting secara praktis, yang sayangnya masih kurang dikenal di sekolah dan di kalangan siswa, meskipun kadang-kadang sudah dibicarakan di kelas dua; Saya akan membatasi diri saya di sini pada sebuah contoh. Misalkan kita perlu mengalikan 567 dengan 134, dan angka-angka satuannya ditetapkan dalam angka-angka ini - katakanlah, melalui pengukuran fisik - hanya saja dengan sangat tidak akurat. Dalam hal ini, tidak ada gunanya menghitung produk dengan akurasi penuh, karena perhitungan seperti itu masih tidak menjamin kita mendapatkan nilai pasti dari jumlah yang kita minati. Namun yang penting bagi kita adalah mengetahui orde besaran perkaliannya, yaitu menentukan di bilangan puluhan atau ratusan bilangan tersebut berada. Namun hukum monotonisitas benar-benar memberi Anda perkiraan ini secara langsung, karena maka angka yang diinginkan terdapat antara 560-130 dan 570-140. Perkembangan lebih lanjut dari pertimbangan ini saya serahkan lagi kepada Anda.

Bagaimanapun, Anda melihat bahwa dalam "memperkirakan perhitungan" kita harus terus-menerus menggunakan hukum monotonisitas.

Adapun penerapan sebenarnya dari semua hal ini dalam pengajaran di sekolah, tidak ada pertanyaan tentang penjelasan sistematis dari semua hukum dasar penjumlahan dan perkalian ini. Guru hanya dapat memikirkan hukum asosiatif, komutatif dan distributif, dan kemudian hanya beralih ke perhitungan literal, menurunkannya secara heuristik dari contoh numerik yang sederhana dan jelas.

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

22/10/15 Tugas Kelas

Tentukan panjang ruas AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27 (buah) 16 + 11 = 27 (buah) Apakah jumlah buah seluruhnya berubah jika suku-suku tersebut disusun ulang? Masha mengumpulkan 11 apel dan 16 pir. Berapa banyak buah yang ada di keranjang Masha?

Buatlah ekspresi literal untuk menulis pernyataan verbal: “jumlahnya tidak akan berubah jika suku-sukunya ditata ulang” a + b \u003d b + a Hukum komutatif penjumlahan

(5 + 7) + 3 = 15 (mainan) Cara berhitung manakah yang paling mudah? Masha sedang mendekorasi pohon Natal. Dia menggantungkan 5 bola Natal, 7 kerucut dan 3 bintang. Berapa banyak mainan yang digantung Masha? (7 + 3) + 5 = 15 (mainan)

Buatlah ekspresi literal untuk menulis pernyataan verbal: “Untuk menjumlahkan suku ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan suku kedua dan ketiga pada suku pertama” (a + b) + c \u003d a + (b + c) Hukum kombinasi penjumlahan

Mari kita hitung: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Belajar berhitung cepat!

Apakah hukum perkalian dan penjumlahan berlaku sama? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b = b a S = 12 15 = =15 12 =180

a b = b a (a b) c = a (bc) Hukum perkalian komutatif Hukum perkalian asosiatif

Mari kita hitung: 25 756 4 = (25 4) 756= 75600 8 (956 125) = = (8 125) 956 = = 1000 956 = 956000 Belajar berhitung dengan cepat!

TOPIK PELAJARAN: Apa yang kita kerjakan dalam pelajaran hari ini? Merumuskan topik pelajaran.

212 (1 kolom), 214 (a, b, c), 231, 230 Di kelas PR 212 (2 kolom), 214 (d, e, f), 253

Pada topik: perkembangan metodologi, presentasi dan catatan

Perkembangan pembelajaran matematika di kelas 5 “Hukum operasi aritmatika” meliputi file teks dan presentasi pembelajaran.Pelajaran ini mengulangi hukum komutatif dan asosiatif, memperkenalkan ...

Hukum operasi aritmatika

Presentasi ini disiapkan untuk pelajaran matematika di kelas 5 dengan topik "Hukum operasi aritmatika" (buku teks oleh I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)...

Pelajaran mempelajari materi baru menggunakan ESM....

Hukum operasi aritmatika

Presentasi ini dibuat untuk mengiringi pembelajaran di kelas 5 secara visual dengan topik "Operasi aritmatika dengan bilangan bulat". Ini menyajikan pilihan tugas untuk solusi umum dan independen.

pengembangan pembelajaran Matematika kelas 5 Hukum operasi aritmatika

pengembangan pelajaran Matematika Kelas 5 Hukum operasi aritmatika No. p / p Struktur abstrak Isi anotasi 1231 Nama Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Jabatan, mata pelajaran yang diajarkan Ma...

18-19 Oktober 2010

Subjek: "HUKUM TINDAKAN Aritmatika"

Target: memperkenalkan siswa pada hukum operasi aritmatika.

Tujuan pelajaran:

untuk mengungkapkan dengan contoh-contoh spesifik hukum komutatif dan asosiatif penjumlahan dan perkalian, untuk mengajarkannya untuk diterapkan ketika menyederhanakan ekspresi;

untuk membentuk kemampuan menyederhanakan ekspresi;

bekerja pada pengembangan pemikiran logis dan ucapan anak-anak;

menumbuhkan kemandirian, rasa ingin tahu, minat terhadap mata pelajaran.

UUD: kemampuan bertindak dengan simbol-simbol tanda,

kemampuan memilih alasan, kriteria perbandingan, perbandingan, evaluasi dan klasifikasi objek.

Peralatan: buku teks, TVET, presentasi

Beras. 30 Gambar. 31

Dengan menggunakan Gambar 30, jelaskan mengapa persamaan tersebut benar

a + b = b + a.

Persamaan ini mengungkapkan sifat penjumlahan yang terkenal. Coba ingat-ingat yang mana.

Periksa diri Anda:

Jumlahnya tidak berubah karena perubahan tempat ketentuan

Properti ini adalah hukum komutatif penjumlahan.

Persamaan apa yang dapat dituliskan pada Gambar 31? Sifat penjumlahan apa yang menyatakan persamaan ini?

Uji dirimu.

Dari gambar 31 berikut ini (a + b) + c = a + (b + c): jika jumlah dua suku dijumlahkan pada suku ketiga, maka diperoleh bilangan yang sama dengan menjumlahkan suku kedua dan ketiga pada suku pertama.

Daripada (a + b) + c, sama seperti | alih-alih a+(b+c), Anda cukup menulis a+b+c.

Properti ini adalah hukum penjumlahan asosiatif.

Dalam matematika, hukum operasi aritmatika dituliskan sebagai | | bentuk lisan, dan dalam bentuk persamaan menggunakan huruf:

Jelaskan bagaimana, dengan menggunakan hukum penjumlahan, Anda dapat menyederhanakan perhitungan berikut dan melaksanakannya:

212. a) 48+56+52; e) 25+65+75;

b) 34+17+83; f) 35+17+65+33;

c) 56+24+38+62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88+19+21+12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Dengan menggunakan Gambar 32, jelaskan mengapa persamaan tersebut benar ab = B A.

Sudahkah Anda menebak hukum mana yang menggambarkan kesetaraan ini? Bisakah dikatakan demikian

Apakah hukum perkalian dan penjumlahan berlaku sama? Cobalah untuk merumuskannya

dan kemudian uji diri Anda sendiri:

Dengan menggunakan hukum perkalian, hitunglah nilai ekspresi berikut secara lisan:

214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8.941.125; SM

b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Temukan luas persegi panjang ABCD(Gbr. 33) dengan dua cara.

216. Dengan menggunakan Gambar 34, jelaskan mengapa persamaan tersebut benar: a(b + c) = ab + ac.

Beras. 34 Sifat operasi aritmatika apa yang diungkapkannya?

Uji dirimu. Kesetaraan ini menggambarkan properti berikut: saat mengalikan suatu bilangan dengan suatu penjumlahan, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya.

Properti ini dapat dirumuskan dengan cara lain: jumlah dua atau lebih hasil kali yang mengandung faktor yang sama dapat digantikan dengan hasil kali faktor tersebut dan jumlah faktor lainnya.

Properti ini adalah hukum operasi aritmatika lainnya - distributif. Seperti yang Anda lihat, rumusan verbal dari undang-undang ini sangat rumit, dan bahasa matematika adalah sarana yang membuatnya ringkas dan mudah dipahami:

Pikirkan tentang cara melakukan perhitungan secara lisan pada tugas No. 217 - 220 dan lakukanlah.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6.g) 240 710 + 7100 76;

d) 23.320 + 230 68; jam) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Buatlah gambar di buku catatanmu untuk membuktikan persamaannya. A ( B - c) = sEBUAH B - kartu as

222. Hitung secara lisan dengan menerapkan hukum distributif: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Hitung secara lisan: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33

224 Hitung: a) 560 188 - 880 56; c) 490.730 - 73.900;

b) 84.670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.

Hitung secara lisan menggunakan teknik yang Anda ketahui:

225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Tanpa melakukan perhitungan, bandingkan nilai ekspresi:

a) 258 (764+548) dan 258.764+258.545; c) 532 (618 – 436) dan 532 618 –532 436;

b) 751 (339 + 564) dan 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) dan 496.860 - 496.715.

227. Isi tabel:

Apakah Anda harus melakukan perhitungan untuk mengisi baris kedua?

228. Bagaimana produk ini akan berubah jika faktor-faktornya diubah sebagai berikut:

229. Tuliskan bilangan asli apa yang terletak pada sinar koordinat:

a) di sebelah kiri angka 7; c) antara angka 2895 dan 2901;

b) antara angka 128 dan 132; d) di sebelah kanan angka 487, tetapi di sebelah kiri angka 493.

230. Masukkan tanda tindakan untuk mendapatkan persamaan yang benar: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15? 17 = 8;

b) 40? 15? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . Satu kotak berisi kaus kaki biru dan kotak lainnya berisi kaus kaki putih. Ada 20 pasang kaus kaki biru lebih banyak daripada kaus kaki putih, dan hanya ada 84 lara kaus kaki dalam dua kotak. Berapa pasang kaos kaki tiap warna?

232 . Toko tersebut memiliki tiga jenis sereal: soba, jelai mutiara, dan beras, totalnya 580 kg. Jika 44 kg soba, 18 kg jelai, dan 29 kg beras dijual, maka massa semua jenis serealia akan menjadi sama. Berapa kilo gram setiap jenis sereal yang tersedia di toko.