Isi pelajaran

Persamaan Linier dengan Dua Variabel

Siswa memiliki 200 rubel untuk makan siang di sekolah. Sebuah kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dapat Anda beli untuk 200 rubel?

Tunjukkan jumlah kue yang melalui x, dan jumlah cangkir kopi yang dihabiskan kamu. Maka biaya kue akan dilambangkan dengan ekspresi 25 x, dan harga secangkir kopi dalam 10 kamu .

25x- harga x Kue
10y- harga kamu cangkir kopi

Jumlah totalnya harus 200 rubel. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan dua variabel x dan kamu

25x+ 10kamu= 200

Berapa banyak akar persamaan ini?

Itu semua tergantung pada selera siswa. Jika dia membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi, maka akar persamaannya adalah angka 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai akar dari Persamaan 25 x+ 10kamu= 200 . Ditulis sebagai (6; 5) , dengan angka pertama adalah nilai dari variabel x, dan yang kedua - nilai variabel kamu .

6 dan 5 bukan satu-satunya akar yang membalikkan Persamaan 25 x+ 10kamu= 200 untuk identitas. Jika diinginkan, untuk 200 rubel yang sama, seorang siswa dapat membeli 4 kue dan 10 cangkir kopi:

Dalam hal ini, akar-akar persamaan 25 x+ 10kamu= 200 adalah pasangan nilai (4; 10) .

Selain itu, seorang siswa tidak boleh membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kue seharga 200 rubel. Maka akar-akar persamaan 25 x+ 10kamu= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan membeli kue, tetapi beli kopi untuk semua 200 rubel. Maka akar-akar persamaan 25 x+ 10kamu= 200 akan menjadi nilai 0 dan 20

Mari kita coba membuat daftar semua kemungkinan akar persamaan 25 x+ 10kamu= 200 . Mari kita sepakat bahwa nilai-nilai x dan kamu milik himpunan bilangan bulat. Dan biarkan nilai-nilai ini lebih besar dari atau sama dengan nol:

x∈Z, kamu∈ Z;
x 0, y 0

Jadi akan nyaman bagi siswa itu sendiri. Lebih mudah membeli kue utuh daripada, misalnya, beberapa kue utuh dan setengah kue. Kopi juga lebih nyaman untuk diminum dalam cangkir utuh daripada, misalnya, beberapa cangkir utuh dan setengah cangkir.

Perhatikan bahwa untuk ganjil x tidak mungkin untuk mencapai kesetaraan di bawah kamu. Kemudian nilai-nilai x akan ada angka berikut 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui x dapat dengan mudah ditentukan kamu

Jadi, kami mendapatkan pasangan nilai berikut: (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini adalah solusi atau akar dari Persamaan 25 x+ 10kamu= 200. Mereka mengubah persamaan ini menjadi sebuah identitas.

Ketik persamaan kapak + oleh = c ditelepon persamaan linear dengan dua variabel. Solusi atau akar persamaan ini adalah pasangan nilai ( x; kamu), yang mengubahnya menjadi identitas.

Perhatikan juga bahwa jika persamaan linier dengan dua variabel ditulis sebagai ax + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahwa itu tertulis di resmi bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linier dalam dua variabel dapat direduksi menjadi bentuk kanonik.

Misalnya persamaan 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − kamu) dapat diingat kapak + oleh = c. Mari kita buka tanda kurung di kedua bagian persamaan ini, kita dapatkan 32x + 6kamu − 8 = 24 + 16x − 2kamu . Suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui dikelompokkan di sebelah kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari yang tidak diketahui dikelompokkan di sebelah kanan. Kemudian kita mendapatkan 32x - 16x+ 6kamu+ 2kamu = 24 + 8 . Kami membawa istilah yang sama di kedua bagian, kami mendapatkan persamaan 16 x+ 8kamu= 32. Persamaan ini direduksi menjadi bentuk kapak + oleh = c dan bersifat kanonik.

Persamaan 25 dipertimbangkan sebelumnya x+ 10kamu= 200 juga merupakan persamaan linier dua variabel dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini, parameter sebuah , b dan c sama dengan nilai 25, 10 dan 200, masing-masing.

Sebenarnya persamaan kapak + oleh = c memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Memecahkan Persamaan 25x+ 10kamu= 200, kami mencari akarnya hanya pada himpunan bilangan bulat. Hasilnya, kami memperoleh beberapa pasang nilai yang mengubah persamaan ini menjadi identitas. Tetapi pada himpunan bilangan rasional persamaan 25 x+ 10kamu= 200 akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baru, Anda perlu mengambil nilai arbitrer untuk x, kemudian nyatakan kamu. Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah variabel x nilai 7. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 25×7 + 10kamu= 200 di mana untuk mengekspresikan kamu

Membiarkan x= 15 . Maka persamaan 25x+ 10kamu= 200 menjadi 25 × 15 + 10kamu= 200. Dari sini kita menemukan bahwa kamu = −17,5

Membiarkan x= 3 . Maka persamaan 25x+ 10kamu= 200 menjadi 25 × (−3) + 10kamu= 200. Dari sini kita menemukan bahwa kamu = −27,5

Sistem dua persamaan linier dengan dua variabel

Untuk persamaan kapak + oleh = c Anda dapat mengambil beberapa kali nilai sewenang-wenang untuk x dan temukan nilai untuk kamu. Diambil secara terpisah, persamaan seperti itu akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Tetapi juga terjadi bahwa variabel x dan kamu dihubungkan bukan oleh satu, tetapi oleh dua persamaan. Dalam hal ini, mereka membentuk apa yang disebut sistem persamaan linear dengan dua variabel. Sistem persamaan semacam itu dapat memiliki satu pasang nilai (atau dengan kata lain: "satu solusi").

Mungkin juga terjadi bahwa sistem tidak memiliki solusi sama sekali. Suatu sistem persamaan linier dapat memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas dalam kasus yang jarang dan luar biasa.

Dua persamaan linier membentuk sistem ketika nilai-nilai x dan kamu termasuk dalam masing-masing persamaan ini.

Kembali ke persamaan pertama 25 x+ 10kamu= 200 . Salah satu pasangan nilai untuk persamaan ini adalah pasangan (6; 5) . Ini adalah kasus ketika 200 rubel dapat membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi.

Kami menyusun masalah sehingga pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya solusi untuk persamaan 25 x+ 10kamu= 200 . Untuk melakukan ini, kami membuat persamaan lain yang akan menghubungkan yang sama x kue dan kamu cangkir kopi.

Mari kita letakkan teks tugas sebagai berikut:

“Seorang anak sekolah membeli beberapa kue dan beberapa cangkir kopi seharga 200 rubel. Sebuah kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli siswa jika diketahui jumlah kue lebih banyak satu dari jumlah cangkir kopi?

Kita sudah memiliki persamaan pertama. Ini adalah Persamaan 25 x+ 10kamu= 200 . Sekarang mari kita tulis persamaan untuk kondisinya "Jumlah kue satu unit lebih banyak dari jumlah cangkir kopi" .

Banyaknya kue adalah x, dan jumlah cangkir kopi adalah kamu. Anda dapat menulis frasa ini menggunakan persamaan x y= 1. Persamaan ini berarti bahwa perbedaan antara kue dan kopi adalah 1.

x=y+ 1 . Persamaan ini berarti jumlah kue lebih banyak satu dari jumlah cangkir kopi. Oleh karena itu, untuk mendapatkan pemerataan, jumlah cangkir kopi ditambah satu. Ini dapat dengan mudah dipahami jika kita menggunakan model bobot yang kita pertimbangkan saat mempelajari masalah paling sederhana:

Punya dua persamaan: 25 x+ 10kamu= 200 dan x=y+ 1. Karena nilainya x dan kamu, yaitu 6 dan 5 dimasukkan dalam masing-masing persamaan tersebut, kemudian bersama-sama membentuk suatu sistem. Mari kita tuliskan sistem ini. Jika persamaan membentuk suatu sistem, maka persamaan tersebut dibingkai oleh tanda sistem tersebut. Tanda sistem adalah kurung kurawal:

Mari kita selesaikan sistem ini. Ini akan memungkinkan kita untuk melihat bagaimana kita sampai pada nilai 6 dan 5. Ada banyak metode untuk menyelesaikan sistem seperti itu. Pertimbangkan yang paling populer di antara mereka.

Metode Pergantian

Nama metode ini berbicara untuk dirinya sendiri. Esensinya adalah mensubstitusi satu persamaan ke persamaan lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu variabel.

Dalam sistem kami, tidak ada yang perlu diungkapkan. Pada persamaan kedua x = kamu+ 1 variabel x sudah diungkapkan. Variabel ini sama dengan ekspresi kamu+ 1 . Kemudian Anda dapat mengganti ekspresi ini dalam persamaan pertama alih-alih variabel x

Setelah mengganti ekspresi kamu+ 1 ke dalam persamaan pertama sebagai gantinya x, kita mendapatkan persamaan 25(kamu+ 1) + 10kamu= 200 . Ini adalah persamaan linier dengan satu variabel. Persamaan ini cukup mudah untuk dipecahkan:

Kami menemukan nilai variabel kamu. Sekarang kita substitusikan nilai ini ke salah satu persamaan dan cari nilainya x. Untuk ini, akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan kedua x = kamu+ 1 . Mari kita masukkan nilai ke dalamnya kamu

Jadi pasangan (6; 5) adalah solusi sistem persamaan, seperti yang kita maksudkan. Kami memeriksa dan memastikan bahwa pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Substitusi ke persamaan pertama x= 2 + kamu ke persamaan kedua 3 x - 2kamu= 9 . Dalam persamaan pertama, variabel x sama dengan ekspresi 2 + kamu. Kami mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan kedua alih-alih x

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk melakukan ini, gantikan nilainya kamu ke persamaan pertama x= 2 + kamu

Jadi solusi sistemnya adalah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, salah satu variabel tidak dinyatakan secara eksplisit.

Untuk mensubstitusi satu persamaan ke persamaan lainnya, Anda perlu terlebih dahulu .

Diinginkan untuk menyatakan variabel yang memiliki koefisien satu. Satuan koefisien memiliki variabel x, yang terkandung dalam persamaan pertama x+ 2kamu= 11 . Mari kita nyatakan variabel ini.

Setelah ekspresi variabel x, sistem kami akan terlihat seperti ini:

Sekarang kita substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua dan cari nilainya kamu

Pengganti kamu x

Jadi solusi sistemnya adalah pasangan nilai (3; 4)

Tentu saja, Anda juga dapat mengekspresikan variabel kamu. Akar tidak akan berubah. Tetapi jika Anda mengungkapkan y, hasilnya bukan persamaan yang sangat sederhana, yang penyelesaiannya akan memakan waktu lebih lama. Ini akan terlihat seperti ini:

Kita melihat bahwa dalam contoh ini untuk menyatakan x jauh lebih nyaman daripada mengekspresikan kamu .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Nyatakan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

kamu

Pengganti kamu ke persamaan pertama dan temukan x. Anda dapat menggunakan persamaan asli 7 x+ 9kamu= 8 , atau gunakan persamaan di mana variabel dinyatakan x. Kami akan menggunakan persamaan ini, karena lebih mudah:

Jadi solusi sistemnya adalah pasangan nilai (5; 3)

Metode Penambahan

Metode penjumlahan adalah menjumlahkan suku demi suku persamaan yang termasuk dalam sistem. Penambahan ini menghasilkan persamaan satu variabel baru. Dan itu cukup mudah untuk memecahkan persamaan ini.

Selesaikan sistem persamaan berikut:

Tambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Kami mendapatkan persamaan berikut:

Berikut adalah istilah serupa:

Sebagai hasilnya, kami memperoleh persamaan paling sederhana 3 x= 27 yang akarnya adalah 9. Mengetahui nilainya x Anda dapat menemukan nilainya kamu. Substitusikan nilainya x ke persamaan kedua x y= 3 . Kami mendapatkan 9 kamu= 3 . Dari sini kamu= 6 .

Jadi solusi sistemnya adalah pasangan nilai (9; 6)

Contoh 2

Tambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Dalam persamaan yang dihasilkan, kami menyajikan istilah seperti:

Sebagai hasilnya, kami mendapatkan persamaan paling sederhana 5 x= 20, akarnya adalah 4. Mengetahui nilainya x Anda dapat menemukan nilainya kamu. Substitusikan nilainya x ke persamaan pertama 2 x+y= 11 . Ayo dapatkan 8 + kamu= 11 . Dari sini kamu= 3 .

Jadi solusi sistemnya adalah pasangan nilai (4;3)

Proses penambahan tidak dijelaskan secara rinci. Itu harus dilakukan dalam pikiran. Saat menambahkan, kedua persamaan harus direduksi menjadi bentuk kanonik. Artinya, ke pikiran ac+oleh=c .

Dari contoh-contoh yang dipertimbangkan, dapat dilihat bahwa tujuan utama dari penambahan persamaan adalah untuk menghilangkan salah satu variabel. Tetapi tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan dengan metode penjumlahan. Paling sering, sistem awalnya dibawa ke bentuk di mana dimungkinkan untuk menambahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Misalnya, sistem dapat diselesaikan secara langsung dengan metode penjumlahan. Saat menambahkan kedua persamaan, istilah kamu dan y menghilang karena jumlah mereka adalah nol. Akibatnya, persamaan paling sederhana 11 x= 22 , yang akarnya adalah 2. Maka akan mungkin untuk menentukan kamu sama dengan 5.

Dan sistem persamaan metode penambahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, karena ini tidak akan menyebabkan hilangnya salah satu variabel. Penambahan akan menghasilkan Persamaan 8 x+ kamu= 28 , yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama yang tidak sama dengan nol, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh. Aturan ini juga berlaku untuk sistem persamaan linear dengan dua variabel. Salah satu persamaan (atau kedua persamaan) dapat dikalikan dengan beberapa angka. Hasilnya adalah sistem yang setara, yang akarnya akan bertepatan dengan yang sebelumnya.

Mari kembali ke sistem pertama, yang menggambarkan berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli siswa. Solusi dari sistem ini adalah sepasang nilai (6; 5) .

Kami mengalikan kedua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa angka. Katakanlah kita mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3

Hasilnya adalah sebuah sistem
Solusi untuk sistem ini masih pasangan nilai (6; 5)

Ini berarti bahwa persamaan yang termasuk dalam sistem dapat direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk menerapkan metode penjumlahan.

Kembali ke sistem , yang tidak dapat kita selesaikan dengan metode penambahan.

Kalikan persamaan pertama dengan 6 dan persamaan kedua dengan 2

Kemudian kita mendapatkan sistem berikut:

Kami menambahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini. Penambahan komponen 12 x dan -12 x akan menghasilkan 0, penambahan 18 kamu dan 4 kamu akan memberikan 22 kamu, dan menambahkan 108 dan 20 menghasilkan 88. Kemudian Anda mendapatkan persamaan 22 kamu= 88 , maka kamu = 4 .

Jika pada awalnya sulit untuk menambahkan persamaan dalam pikiran Anda, maka Anda dapat menuliskan bagaimana ruas kiri persamaan pertama ditambahkan ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan persamaan pertama ke ruas kanan persamaan kedua:

Mengetahui bahwa nilai variabel kamu adalah 4, Anda dapat menemukan nilainya x. Pengganti kamu ke salah satu persamaan, misalnya ke persamaan pertama 2 x+ 3kamu= 18 . Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 2 x+ 12 = 18 . Kami mentransfer 12 ke sisi kanan, mengubah tanda, kami mendapatkan 2 x= 6 , maka x = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan kedua dengan 1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari kita tambahkan kedua persamaan. Penambahan komponen x dan x akan menghasilkan 0, penambahan 5 kamu dan 3 kamu akan memberikan 8 kamu, dan menambahkan 7 dan 1 menghasilkan 8. Hasilnya adalah persamaan 8 kamu= 8 , yang akarnya adalah 1. Mengetahui bahwa nilainya kamu adalah 1, Anda dapat menemukan nilainya x .

Pengganti kamu ke persamaan pertama, kita mendapatkan x+ 5 = 7 , maka x= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode penjumlahan:

Diinginkan bahwa suku-suku yang mengandung variabel-variabel yang sama ditempatkan satu di bawah yang lain. Oleh karena itu, dalam persamaan kedua, istilah 5 kamu dan 2 x berpindah tempat. Akibatnya, sistem akan mengambil bentuk:

Kalikan persamaan kedua dengan 3. Maka sistem akan berbentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil dari penambahan, kita mendapatkan persamaan 8 kamu= 16 , yang akarnya adalah 2.

Pengganti kamu ke dalam persamaan pertama, kita mendapatkan 6 x 14 = 40 . Kami mentransfer istilah 14 ke sisi kanan, mengubah tanda, kami mendapatkan 6 x= 54 . Dari sini x= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode penjumlahan:

Mari kita singkirkan pecahan. Kalikan persamaan pertama dengan 36 dan persamaan kedua dengan 12

Dalam sistem yang dihasilkan persamaan pertama dapat dikalikan dengan 5 dan yang kedua dengan 8

Mari kita tambahkan persamaan dalam sistem yang dihasilkan. Kemudian kita mendapatkan persamaan paling sederhana 13 kamu= 156 . Dari sini kamu= 12 . Pengganti kamu ke persamaan pertama dan temukan x

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode penjumlahan:

Kami membawa kedua persamaan ke bentuk normal. Di sini lebih mudah untuk menerapkan aturan proporsi dalam kedua persamaan. Jika pada persamaan pertama ruas kanan direpresentasikan sebagai , dan ruas kanan persamaan kedua sebagai , maka sistem akan berbentuk:

Kami memiliki proporsi. Kami mengalikan suku ekstrim dan suku tengahnya. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Kami mengalikan persamaan pertama dengan 3, dan membuka tanda kurung di persamaan kedua:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil dari menambahkan persamaan ini, kami mendapatkan persamaan, di kedua bagian yang akan ada nol:

Ternyata sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Tapi kita tidak bisa begitu saja mengambil nilai sewenang-wenang dari langit untuk x dan kamu. Kita dapat menentukan salah satu nilai, dan yang lainnya akan ditentukan tergantung pada nilai yang kita tentukan. Misalnya, mari x= 2 . Substitusikan nilai ini ke dalam sistem:

Sebagai hasil dari penyelesaian salah satu persamaan, nilai untuk kamu, yang akan memenuhi kedua persamaan:

Pasangan nilai yang dihasilkan (2; 2) akan memenuhi sistem:

Mari kita cari pasangan nilai lainnya. Membiarkan x= 4. Substitusikan nilai ini ke dalam sistem:

Dapat ditentukan dengan mata bahwa kamu sama dengan nol. Kemudian kami mendapatkan sepasang nilai (4; 0), yang memenuhi sistem kami:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan pertama dengan 6 dan persamaan kedua dengan 12

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kalikan persamaan pertama dengan 1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil dari penambahan, persamaan 6 terbentuk b= 48 , yang akarnya adalah 8. Pengganti b ke persamaan pertama dan temukan sebuah

Sistem persamaan linear dengan tiga variabel

Persamaan linier dengan tiga variabel mencakup tiga variabel dengan koefisien, serta intersep. Dalam bentuk kanonik, dapat ditulis sebagai berikut:

kapak + oleh + cz = d

Persamaan ini memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Dengan memberikan dua variabel nilai yang berbeda, nilai ketiga dapat ditemukan. Solusi dalam hal ini adalah tiga kali lipat nilai ( x; y; z) yang mengubah persamaan menjadi identitas.

Jika variabel x, y, z dihubungkan oleh tiga persamaan, maka terbentuk sistem tiga persamaan linier dengan tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem seperti itu, Anda dapat menerapkan metode yang sama yang berlaku untuk persamaan linier dengan dua variabel: metode substitusi dan metode penambahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Kami menyatakan dalam persamaan ketiga x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita lakukan substitusi. Variabel x sama dengan ekspresi 3 − 2kamu − 2z . Substitusikan ekspresi ini ke persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka tanda kurung di kedua persamaan dan berikan suku-suku serupa:

Kita telah sampai pada sistem persamaan linear dengan dua variabel. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menerapkan metode penambahan. Akibatnya, variabel kamu akan hilang dan kita dapat menemukan nilai variabelnya z

Sekarang mari kita cari nilainya kamu. Untuk ini, akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan kamu+ z= 4. Substitusikan nilainya z

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk ini, akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan x= 3 − 2kamu − 2z . Substitusikan nilai ke dalamnya kamu dan z

Jadi, nilai rangkap tiga (3; 2; 2) adalah solusi untuk sistem kami. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem dengan metode penjumlahan

Mari kita tambahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dikalikan dengan 2.

Jika persamaan kedua dikalikan dengan 2, maka akan berbentuk −6x+ 6y- 4z = −4 . Sekarang tambahkan ke persamaan pertama:

Kami melihat bahwa sebagai hasil dari transformasi dasar, nilai variabel ditentukan x. Itu sama dengan satu.

Mari kita kembali ke sistem utama. Mari kita tambahkan persamaan kedua dengan persamaan ketiga dikalikan dengan 1. Jika persamaan ketiga dikalikan dengan 1, maka akan berbentuk −4x + 5kamu − 2z = −1 . Sekarang tambahkan ke persamaan kedua:

Punya persamaan x - 2kamu= 1 . Substitusikan nilai ke dalamnya x yang kami temukan sebelumnya. Kemudian kita dapat menentukan nilai kamu

Kita sekarang tahu nilainya x dan kamu. Ini memungkinkan Anda untuk menentukan nilainya z. Kami menggunakan salah satu persamaan yang termasuk dalam sistem:

Dengan demikian, nilai rangkap tiga (1; 1; 1) adalah solusi untuk sistem kami. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Tugas untuk menyusun sistem persamaan linear

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memasukkan beberapa variabel. Selanjutnya, persamaan disusun berdasarkan kondisi masalah. Dari persamaan yang dikompilasi, mereka membentuk sistem dan menyelesaikannya. Setelah memecahkan sistem, perlu untuk memeriksa apakah solusinya memenuhi kondisi masalah.

Tugas 1. Sebuah mobil Volga meninggalkan kota menuju pertanian kolektif. Dia kembali melalui jalan lain, yang 5 km lebih pendek dari yang pertama. Secara total, mobil melaju 35 km dua arah. Berapa kilometer panjang setiap jalan?

Larutan

Membiarkan x- panjang jalan pertama, kamu- panjang detik. Jika mobil melaju 35 km kedua arah, maka persamaan pertama dapat ditulis sebagai: x+ kamu= 35. Persamaan ini menggambarkan jumlah panjang kedua jalan.

Dikatakan bahwa mobil itu kembali di sepanjang jalan, yang lebih pendek dari yang pertama sejauh 5 km. Maka persamaan kedua dapat ditulis sebagai x− kamu= 5. Persamaan ini menunjukkan bahwa selisih panjang jalan adalah 5 km.

Atau persamaan kedua dapat ditulis sebagai x= kamu+ 5 . Kami akan menggunakan persamaan ini.

Karena variabel x dan kamu di kedua persamaan menunjukkan nomor yang sama, maka kita dapat membentuk sistem dari mereka:

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan salah satu metode yang dipelajari sebelumnya. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggunakan metode substitusi, karena dalam persamaan kedua variabel x sudah diungkapkan.

Substitusikan persamaan kedua ke persamaan pertama dan temukan kamu

Substitusikan nilai yang ditemukan kamu ke persamaan kedua x= kamu+ 5 dan temukan x

Panjang jalan pertama dilambangkan dengan variabel x. Sekarang kita telah menemukan maknanya. Variabel x adalah 20. Jadi panjang jalan pertama adalah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan oleh kamu. Nilai variabel ini adalah 15. Jadi panjang jalan kedua adalah 15 km.

Mari kita lakukan pemeriksaan. Pertama, mari kita pastikan bahwa sistem diselesaikan dengan benar:

Sekarang mari kita periksa apakah solusi (20; 15) memenuhi kondisi masalah.

Dikatakan bahwa total mobil melaju 35 km dua arah. Kami menjumlahkan panjang kedua jalan dan memastikan bahwa solusi (20; 15) memenuhi kondisi ini: 20 km + 15 km = 35 km

Kondisi selanjutnya: mobil kembali melalui jalan lain, yang 5 km lebih pendek dari yang pertama . Kami melihat bahwa solusi (20; 15) juga memenuhi kondisi ini, karena 15 km lebih pendek dari 20 km kali 5 km: 20 km 15 km = 5 km

Saat menyusun sistem, penting bahwa variabel menunjukkan angka yang sama dalam semua persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Jadi sistem kami berisi dua persamaan. Persamaan ini pada gilirannya mengandung variabel x dan kamu, yang menunjukkan angka yang sama pada kedua persamaan, yaitu panjang jalan sama dengan 20 km dan 15 km.

Tugas 2. Bantalan kayu ek dan pinus dimuat ke peron, total 300 bantalan. Diketahui bahwa semua bantalan kayu ek memiliki berat 1 ton lebih sedikit daripada semua kayu pinus. Tentukan berapa banyak bantalan kayu ek dan pinus secara terpisah, jika masing-masing bantalan kayu ek beratnya 46 kg, dan setiap bantalan pinus 28 kg.

Larutan

Membiarkan x ek dan kamu bantalan pinus dimuat ke platform. Jika totalnya ada 300 tempat tidur, maka persamaan pertama dapat ditulis sebagai: x+y = 300 .

Semua bantalan kayu ek memiliki berat 46 x kg, dan pinus ditimbang 28 kamu kg. Karena bantalan kayu ek beratnya 1 ton lebih ringan dari bantalan pinus, persamaan kedua dapat ditulis sebagai: 28y- 46x= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahwa perbedaan massa antara bantalan kayu ek dan pinus adalah 1000 kg.

Ton telah dikonversi menjadi kilogram karena massa bantalan kayu ek dan pinus diukur dalam kilogram.

Akibatnya, kita memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Mari kita selesaikan sistem ini. Nyatakan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua dan temukan kamu

Pengganti kamu ke dalam persamaan x= 300 − kamu dan cari tahu apa itu x

Ini berarti 100 kayu ek dan 200 bantalan pinus dimuat ke platform.

Mari kita periksa apakah solusi (100; 200) memenuhi kondisi masalah. Pertama, mari kita pastikan bahwa sistem diselesaikan dengan benar:

Dikatakan bahwa ada 300 orang yang tidur secara total. Kami menjumlahkan jumlah bantalan kayu ek dan pinus dan memastikan bahwa solusi (100; 200) memenuhi kondisi ini: 100 + 200 = 300.

Kondisi selanjutnya: semua bantalan kayu ek beratnya 1 ton lebih ringan dari semua pinus . Kami melihat bahwa solusi (100; 200) juga memenuhi kondisi ini, karena 46 × 100 kg bantalan kayu ek lebih ringan dari 28 × 200 kg bantalan pinus: 5600 kg 4600 kg = 1000 kg.

Tugas 3. Kami mengambil tiga potong paduan tembaga dan nikel dengan perbandingan 2:1, 3:1 dan 5:1 berdasarkan beratnya. Dari jumlah tersebut, sepotong seberat 12 kg menyatu dengan rasio kandungan tembaga dan nikel 4:1. Temukan massa masing-masing bagian asli jika massa yang pertama adalah dua kali massa yang kedua.

Mari kita pertimbangkan kasus ketika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel, yaitu. m = n. Maka matriks sistem tersebut adalah persegi, dan determinannya disebut determinan sistem.

Metode matriks terbalik

Pertimbangkan secara umum sistem persamaan AX = B dengan matriks persegi non-tunggal A. Dalam hal ini, ada matriks terbalik A -1 . Mari kita kalikan kedua sisi dengan A -1 di sebelah kiri. Kami mendapatkan A -1 AX \u003d A -1 B. Dari sini EX \u003d A -1 B dan

Persamaan terakhir adalah rumus matriks untuk menemukan solusi untuk sistem persamaan tersebut. Penggunaan rumus ini disebut metode matriks terbalik

Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem berikut:

;

Pada akhir penyelesaian sistem, pemeriksaan dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan sistem. Pada saat yang sama, mereka harus berubah menjadi kesetaraan sejati.

Untuk contoh ini, mari kita periksa:

Metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks persegi menggunakan rumus Cramer

Misalkan n=2:

Jika kedua bagian dari persamaan pertama dikalikan dengan 22, dan kedua bagian dari persamaan kedua dengan (-a 12), dan kemudian persamaan yang dihasilkan ditambahkan, maka kami akan mengecualikan variabel x 2 dari sistem. Demikian pula, Anda dapat menghilangkan variabel x 1 (dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan (-a 21) dan kedua ruas persamaan kedua dengan 11). Hasilnya, kami mendapatkan sistem:

Ekspresi dalam tanda kurung adalah determinan sistem

Menunjukkan

Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Ini mengikuti dari sistem yang dihasilkan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem akan konsisten dan pasti. Solusi uniknya dapat dihitung dengan rumus:

Jika = 0, a 1 0 dan/atau 2 0, maka persamaan sistem akan berbentuk 0*х 1 = 2 dan/atau 0*х 1 = 2. Dalam hal ini, sistem akan menjadi tidak konsisten.

Dalam kasus ketika = 1 = 2 = 0, sistem akan konsisten dan tidak terbatas (itu akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas), karena akan berbentuk:

Teorema Cramer(kami menghilangkan buktinya). Jika determinan matriks sistem n persamaan tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, ditentukan dengan rumus:

,

dimana j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom anggota bebas.

Rumus di atas disebut rumus Cramer.

Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem yang sebelumnya diselesaikan menggunakan metode matriks terbalik:

Kerugian dari metode yang dipertimbangkan:

1) kompleksitas signifikan (perhitungan determinan dan mencari matriks invers);

2) ruang lingkup terbatas (untuk sistem dengan matriks persegi).

Situasi ekonomi riil sering dimodelkan dengan sistem yang jumlah persamaan dan variabelnya cukup signifikan, dan persamaannya lebih banyak daripada variabelnya, oleh karena itu metode berikut ini lebih umum dalam praktiknya.

Metode Gauss (metode penghapusan variabel secara berurutan)

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear m dengan n variabel secara umum. Esensinya terletak pada penerapan sistem transformasi ekuivalen ke matriks yang diperluas, dengan bantuan sistem persamaan ditransformasikan ke bentuk ketika solusinya menjadi mudah ditemukan (jika ada).

Ini adalah tampilan di mana bagian kiri atas dari matriks sistem akan menjadi matriks bertahap. Hal ini dicapai dengan menggunakan teknik yang sama yang digunakan untuk mendapatkan matriks bertahap untuk menentukan peringkat. Dalam hal ini, transformasi dasar diterapkan pada matriks yang diperluas, yang memungkinkan seseorang untuk memperoleh sistem persamaan yang setara. Setelah itu, matriks yang diperbesar akan berbentuk:

Mendapatkan matriks seperti itu disebut dalam garis lurus metode Gauss.

Menemukan nilai variabel dari sistem persamaan yang sesuai disebut ke belakang metode Gauss. Mari kita pertimbangkan.

Perhatikan bahwa persamaan (m – r) terakhir akan berbentuk:

Jika setidaknya salah satu dari angka
tidak sama dengan nol, maka kesetaraan yang sesuai akan salah, dan seluruh sistem akan tidak konsisten.

Oleh karena itu, untuk setiap sistem gabungan
. Dalam hal ini, persamaan (m – r) terakhir untuk setiap nilai variabel akan menjadi identitas 0 = 0, dan mereka dapat diabaikan saat menyelesaikan sistem (buang saja baris yang sesuai).

Setelah itu, sistem akan terlihat seperti:

Pertimbangkan dulu kasus ketika r=n. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Dari persamaan terakhir dari sistem, seseorang dapat secara unik menemukan x r .

Mengetahui x r , seseorang dapat secara unik mengekspresikan x r -1 darinya. Kemudian dari persamaan sebelumnya, mengetahui x r dan x r -1 , kita dapat menyatakan x r -2 dan seterusnya. hingga x1.

Jadi, dalam hal ini, sistem akan bersifat kolaboratif dan pasti.

Sekarang perhatikan kasus ketika r dasar(utama), dan yang lainnya - non-dasar(kecil, gratis). Persamaan terakhir dari sistem akan terlihat seperti:

Dari persamaan ini, kita dapat menyatakan variabel dasar x r dalam istilah non-basis:

Persamaan kedua dari belakang akan terlihat seperti:

Mengganti ekspresi yang dihasilkan alih-alih x r, akan dimungkinkan untuk mengekspresikan variabel dasar x r -1 melalui yang non-dasar. Dll. untuk variabel x 1 . Untuk mendapatkan solusi sistem, Anda dapat menyamakan variabel non-dasar dengan nilai arbitrer dan kemudian menghitung variabel dasar menggunakan rumus yang diperoleh. Dengan demikian, dalam hal ini, sistem akan konsisten dan tak tentu (memiliki jumlah solusi tak terhingga).

Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan:

Himpunan variabel dasar akan disebut dasar sistem. Himpunan kolom koefisien untuk mereka juga akan disebut dasar(kolom dasar), atau kecil dasar matriks sistem. Solusi sistem, di mana semua variabel non-basis sama dengan nol, akan disebut solusi dasar.

Pada contoh sebelumnya, solusi dasarnya adalah (4/5; -17/5; 0; 0) (variabel x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) disetel ke nol, dan variabel dasar x 1 dan x 2 dihitung melalui mereka). Untuk memberikan contoh solusi non-basis, perlu menyamakan x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) dengan bilangan arbitrer yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama, dan menghitung variabel lainnya melalui mereka. Misalnya, dengan c 1 = 1 dan c 2 = 0, kita mendapatkan solusi non-basis - (4/5; -12/5; 1; 0). Dengan substitusi, mudah untuk memverifikasi bahwa kedua solusi benar.

Jelas, dalam sistem solusi non-dasar yang tidak terbatas, mungkin ada jumlah solusi yang tak terbatas. Berapa banyak solusi dasar yang dapat dibuat? Setiap baris dari matriks yang ditransformasi harus sesuai dengan satu variabel dasar. Secara total, ada n variabel dalam masalah, dan r baris dasar. Oleh karena itu, jumlah kemungkinan himpunan variabel dasar tidak dapat melebihi jumlah kombinasi dari n sampai 2 . Mungkin kurang dari , karena tidak selalu mungkin untuk mengubah sistem ke bentuk sedemikian rupa sehingga himpunan variabel tertentu ini adalah basisnya.

Jenis apa ini? Ini adalah bentuk seperti itu ketika matriks yang dibentuk dari kolom-kolom koefisien untuk variabel-variabel ini akan bertahap dan, dalam hal ini, akan terdiri dari baris. Itu. pangkat matriks koefisien untuk variabel-variabel ini harus sama dengan r. Tidak boleh lebih besar, karena jumlah kolom sama dengan r. Jika ternyata lebih kecil dari r, maka ini menunjukkan ketergantungan linier kolom dengan variabel. Kolom seperti itu tidak dapat membentuk dasar.

Mari kita pertimbangkan solusi dasar lainnya yang dapat ditemukan dalam contoh di atas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi dari empat variabel dengan dua variabel dasar. Kombinasi seperti itu akan
, dan salah satunya (x 1 dan x 2) telah dipertimbangkan.

Mari kita ambil variabel x 1 dan x 3 . Temukan peringkat matriks koefisien untuk mereka:

Karena sama dengan dua, mereka bisa menjadi dasar. Kami menyamakan variabel non-dasar x 2 dan x 4 menjadi nol: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Kemudian dari rumus x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 maka x 1 \u003d 4/5, dan dari rumus x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 maka x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Dengan demikian, kita mendapatkan solusi dasar (4/5; 0; 17/5; 0).

Demikian pula, Anda bisa mendapatkan solusi dasar untuk variabel dasar x 1 dan x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 dan x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 dan x 4 - (0; 0; 9; 4).

Variabel x 2 dan x 3 dalam contoh ini tidak dapat dianggap sebagai variabel dasar, karena pangkat dari matriks yang sesuai sama dengan satu, yaitu. kurang dari dua:

.

Pendekatan lain dimungkinkan untuk menentukan apakah mungkin untuk membentuk basis dari beberapa variabel atau tidak. Saat memecahkan contoh, sebagai hasil dari transformasi matriks sistem ke bentuk bertahap, ia mengambil bentuk:

Dengan memilih pasangan variabel, dimungkinkan untuk menghitung minor yang sesuai dari matriks ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk semua pasangan, kecuali untuk x 2 dan x 3 , mereka tidak sama dengan nol, mis. kolom-kolomnya bebas linier. Dan hanya untuk kolom dengan variabel x 2 dan x 3
, yang menunjukkan ketergantungan linier mereka.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Mari kita selesaikan sistem persamaan

Jadi, persamaan yang sesuai dengan baris ketiga dari matriks terakhir tidak konsisten - itu menyebabkan persamaan yang salah 0 = -1, oleh karena itu, sistem ini tidak konsisten.

Metode Jordan-Gauss 3 merupakan pengembangan dari metode Gaussian. Esensinya adalah bahwa matriks yang diperluas dari sistem ditransformasikan ke bentuk ketika koefisien variabel membentuk matriks identitas hingga permutasi baris atau kolom 4 (di mana adalah peringkat dari matriks sistem).

Mari kita selesaikan sistem menggunakan metode ini:

Pertimbangkan matriks yang diperbesar dari sistem:

Dalam matriks ini, kami memilih elemen identitas. Misalnya, koefisien pada x 2 dalam kendala ketiga adalah 5. Mari kita capai bahwa di baris yang tersisa di kolom ini ada nol, mis. membuat kolom tunggal. Dalam proses transformasi, kami akan menyebutnya kolompermisif(memimpin, kunci). Kendala ketiga (ketiga rangkaian) juga akan disebut permisif. Saya sendiri elemen, yang berdiri di persimpangan baris dan kolom yang memungkinkan (ini adalah unit), juga disebut permisif.

Baris pertama sekarang berisi koefisien (-1). Untuk mendapatkan nol sebagai gantinya, kalikan baris ketiga dengan (-1) dan kurangi hasilnya dari baris pertama (yaitu tambahkan saja baris pertama ke baris ketiga).

Baris kedua berisi koefisien 2. Untuk mendapatkan nol sebagai gantinya, kalikan baris ketiga dengan 2 dan kurangi hasilnya dari baris pertama.

Hasil transformasi akan terlihat seperti:

Matriks ini dengan jelas menunjukkan bahwa salah satu dari dua kendala pertama dapat dihapus (baris yang sesuai proporsional, yaitu persamaan ini mengikuti satu sama lain). Mari kita coret yang kedua:

Jadi, ada dua persamaan dalam sistem baru. Satu kolom (kedua) diterima, dan unit di sini ada di baris kedua. Mari kita ingat bahwa variabel dasar x 2 akan sesuai dengan persamaan kedua dari sistem baru.

Mari kita pilih variabel dasar untuk baris pertama. Ini dapat berupa variabel apa pun kecuali x 3 (karena pada x 3 batasan pertama memiliki koefisien nol, yaitu himpunan variabel x 2 dan x 3 tidak dapat menjadi dasar di sini). Anda dapat mengambil variabel pertama atau keempat.

Mari kita pilih x 1. Kemudian elemen penyelesaiannya adalah 5, dan kedua sisi persamaan penyelesaian harus dibagi lima untuk mendapatkan satu di kolom pertama dari baris pertama.

Mari kita pastikan bahwa sisa baris (yaitu, baris kedua) memiliki nol di kolom pertama. Karena sekarang baris kedua bukan nol, tetapi 3, elemen dari baris pertama yang dikonversi harus dikurangi dari baris kedua, dikalikan dengan 3:

Satu solusi dasar dapat langsung diekstraksi dari matriks yang dihasilkan dengan menyamakan variabel non-basis menjadi nol, dan variabel dasar menjadi suku bebas dalam persamaan yang sesuai: (0.8; -3.4; 0; 0). Anda juga dapat memperoleh rumus umum yang menyatakan variabel dasar hingga variabel non-dasar: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Rumus-rumus ini menjelaskan seluruh rangkaian solusi tak terbatas untuk sistem (dengan menyamakan x 3 dan x 4 dengan bilangan arbitrer, Anda dapat menghitung x 1 dan x 2).

Perhatikan bahwa inti dari transformasi pada setiap tahap metode Jordan-Gauss adalah sebagai berikut:

1) string permisif dibagi dengan elemen permisif untuk mendapatkan unit di tempatnya,

2) dari semua baris lainnya, daya pisah yang diubah dikalikan dengan elemen yang ada di baris yang diberikan di kolom pisah dikurangkan untuk mendapatkan nol sebagai pengganti elemen ini.

Pertimbangkan sekali lagi transformasi matriks augmented dari sistem:

Dapat dilihat dari entri ini bahwa rank dari matriks sistem A adalah r.

Dalam penalaran di atas, kami telah menetapkan bahwa sistem tersebut konsisten jika dan hanya jika
. Ini berarti bahwa matriks yang diperbesar dari sistem akan terlihat seperti:

Membuang nol baris, kita mendapatkan bahwa peringkat matriks diperpanjang dari sistem juga sama dengan r.

Teorema Kronecker-Capelli. Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem tersebut sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem ini.

Ingatlah bahwa pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris bebas liniernya. Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika pangkat matriks yang diperluas kurang dari jumlah persamaan, maka persamaan sistem tersebut bergantung linier, dan satu atau lebih dari persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem (karena persamaan tersebut linier kombinasi dari yang lain). Sistem persamaan akan bebas linier hanya jika pangkat matriks yang diperluas sama dengan jumlah persamaan.

Selain itu, untuk sistem persamaan linier yang konsisten, dapat dikatakan bahwa jika pangkat matriks sama dengan jumlah variabel, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, dan jika lebih kecil dari jumlah variabel, maka sistem tidak terbatas dan memiliki banyak solusi.

1Misalnya, ada lima baris dalam matriks (urutan baris awal adalah 12345). Kita perlu mengubah baris kedua dan kelima. Agar baris kedua jatuh ke tempat yang kelima, untuk "bergerak" ke bawah, kami secara berurutan mengubah garis yang berdekatan tiga kali: yang kedua dan ketiga (13245), yang kedua dan keempat (13425) dan yang kedua dan kelima (13452). Kemudian, agar baris kelima menggantikan yang kedua dalam matriks asli, baris kelima perlu "menggeser" ke atas hanya dengan dua perubahan berturut-turut: baris kelima dan keempat (13542) dan baris kelima dan ketiga (15342).

2Jumlah kombinasi dari n ke r jumlah semua himpunan bagian r-elemen yang berbeda dari himpunan n-elemen disebut (kumpulan yang berbeda adalah himpunan yang memiliki komposisi elemen yang berbeda, urutan pemilihannya tidak penting). Itu dihitung dengan rumus:
. Ingat arti dari tanda “!" (faktorial):
0!=1.)

3Karena metode ini lebih umum daripada metode Gauss yang dibahas sebelumnya, dan pada dasarnya adalah kombinasi dari metode Gauss maju dan mundur, metode ini juga kadang-kadang disebut metode Gauss, dengan menghilangkan bagian pertama dari namanya.

4Misalnya,
.

5Jika tidak ada satuan dalam matriks sistem, maka dimungkinkan, misalnya, untuk membagi kedua bagian persamaan pertama dengan dua, dan kemudian koefisien pertama akan menjadi satu; atau sejenisnya.

Memecahkan sistem dengan dua yang tidak diketahui - ini berarti menemukan semua pasangan nilai variabel yang memenuhi setiap persamaan yang diberikan. Setiap pasangan seperti itu disebut solusi sistem.

Contoh:
Pasangan nilai \(x=3\);\(y=-1\) adalah solusi untuk sistem pertama, karena dengan mensubstitusikan tiga dan kurang ini ke dalam sistem, bukan \(x\) dan \ (y\), kedua persamaan menjadi persamaan yang valid \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Tapi \(x=1\); \(y=-2\) - bukan solusi untuk sistem pertama, karena setelah substitusi persamaan kedua "tidak konvergen" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(kasus)\)

Perhatikan bahwa pasangan seperti itu sering ditulis lebih pendek: daripada "\(x=3\); \(y=-1\)" mereka menulis seperti ini: \((3;-1)\).

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?

Ada tiga cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:

1. Metode substitusi.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(kasus)\)\(\Panah kirikanan\)

Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih variabel ini ke persamaan lain dari sistem.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Dalam persamaan kedua, setiap suku genap, jadi kita sederhanakan persamaan tersebut dengan membaginya dengan \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara apa pun, tetapi menurut saya metode substitusi adalah yang paling nyaman di sini. Mari kita nyatakan y dari persamaan kedua.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Substitusikan \(6x-13\) untuk \(y\) pada persamaan pertama.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Persamaan pertama menjadi normal. Kami menyelesaikannya.

   Mari kita buka tanda kurung terlebih dahulu.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Mari kita geser \(117\) ke kanan dan berikan suku-suku sejenis.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Bagilah kedua ruas persamaan pertama dengan \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hore, kami menemukan \(x\)! Substitusikan nilainya ke persamaan kedua dan temukan \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Ayo tuliskan jawabannya.

Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti persamaan lain alih-alih variabel yang dinyatakan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan penambahan suku demi suku (pengurangan) membutuhkan:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya sama.
2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sehingga kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Dapat dilihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata variabel x paling mudah diekspresikan dari persamaan kedua.
x=3+10y

2. Setelah menyatakan, kami mengganti 3 + 10y dalam persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10th)+5y=1

3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (kurung terbuka)
6+20th+5y=1
25th=1-6
25th=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong dari grafik tersebut, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong tersebut terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, pada paragraf pertama yang kita nyatakan kita substitusikan y disana.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kami menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan suku demi suku (pengurangan).

Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Dalam persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, dalam persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita memiliki hak untuk mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Selesaikan persamaan linier.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik perpotongannya adalah x=4.6; y=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru online Bebas. Tidak bercanda.

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.

Metode Pergantian

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, yang tidak masalah). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini di paragraf sebelumnya, ketika masalah angka dua digit mengarah ke model matematika, yang merupakan sistem persamaan. Kami memecahkan sistem persamaan di atas dengan metode substitusi (lihat contoh 1 dari 4).

Algoritma untuk menggunakan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga sebagai pengganti x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang ditemukan berturut-turut pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan secara bergantian setiap nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x \u003d 5 - Zy. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah tidak asing lagi bagi Anda dari kursus aljabar kelas 7, di mana metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kami mengingat esensi metode dalam contoh berikut.

Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan

Kami mengalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan membiarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dari dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua dari sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini, kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem yang diberikan, misalnya, yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan oleh sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan kedua, kita menemukan Substitusi ekspresi ini alih-alih y ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami telah menemukan dua solusi untuk sistem:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda berkenalan dengan metode memperkenalkan variabel baru ketika memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel dalam kursus aljabar kelas 8. Inti dari metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandang teknis ada beberapa fitur yang akan kita bahas dalam contoh berikut.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian persamaan pertama dari sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi , dan karena itu merupakan akar dari persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti baik dari mana kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memperkenalkan variabel baru, kami berhasil, seolah-olah, untuk "meratakan" persamaan pertama dari sistem, yang penampilannya cukup kompleks, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; y - 2x.

Apa berikutnya? Dan kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 \u003d 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua sistem persamaan:

Penting untuk menemukan solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan dalam jawaban. Selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: kita substitusikan ekspresi 2y alih-alih x ke dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Karena x \u003d 2y, kami menemukan masing-masing x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Dengan demikian, dua solusi untuk sistem yang diberikan diperoleh: (2; 1) dan (-2; -1). Selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: kita substitusikan ekspresi 2x sebagai ganti y dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Persamaan ini tidak memiliki akar, yang berarti bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang harus dimasukkan dalam jawaban.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode pengenalan variabel baru dalam menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru diperkenalkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Ini akan terjadi pada contoh 4.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan dua variabel baru:

Kami belajar itu kemudian

Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a \u003d 1, maka dari persamaan a + 6 \u003d 2 kita menemukan: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Jadi, untuk variabel a dan b, kami mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Kami menerapkan metode penambahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita menemukan:
Jadi, untuk variabel x dan y, kami mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri bagian ini dengan diskusi teoretis yang singkat namun cukup serius. Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama untuk memecahkan persamaan adalah untuk secara bertahap berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana tetapi setara dengan yang diberikan. Pada bagian sebelumnya, kami memperkenalkan gagasan kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y dikatakan ekuivalen jika memiliki solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak memiliki solusi.

Ketiga metode (substitusi, penambahan aljabar, dan pengenalan variabel baru) yang telah kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dari sudut pandang ekivalensi. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan

Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Dan sekarang mari kita ingat metode yang sudah Anda pelajari di pelajaran sebelumnya. Artinya, mari kita ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis adalah konstruksi grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem ini dan berada pada bidang koordinat yang sama, dan juga di mana diperlukan untuk menemukan titik potong dari grafik tersebut. . Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa untuk sistem persamaan grafis adalah umum untuk memiliki salah satu solusi tunggal yang benar, atau jumlah solusi yang tak terbatas, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masing-masing solusi ini. Jadi, sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis, yang merupakan grafik persamaan sistem, berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak memiliki solusi. Dalam kasus kebetulan grafik langsung dari persamaan sistem, maka sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama-tama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah memplot grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu menemukan titik potong grafik.
Dan sebagai hasilnya, kami mendapatkan koordinat setiap titik persimpangan, yang akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.

Mari kita lihat metode ini secara lebih rinci dengan sebuah contoh. Kami diberikan sistem persamaan yang harus diselesaikan:

Menyelesaikan Persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik dari persamaan ini: x2+y2=9.

Tetapi perlu dicatat bahwa grafik persamaan ini akan menjadi lingkaran yang berpusat di titik asal, dan jari-jarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah memplot persamaan seperti: y = x - 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapatkan. Kita lihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita lihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh pada perpotongan garis lurus dengan lingkaran tepat merupakan solusi dari kedua persamaan sistem. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka ini juga merupakan solusi untuk sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban dari solusi ini adalah angka: (3;0) dan (0;−3).