Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa.
Peristiwa mengacu pada fakta apa pun yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari pengujian.
Di bawah tes (pengalaman, percobaan) dalam definisi ini dipahami pemenuhan serangkaian kondisi tertentu di mana fenomena ini atau itu diamati dan hasil ini atau itu dicatat.
Misalnya, seorang penembak menembak sasaran. Dalam hal ini, tembakan adalah sebuah ujian, mengenai atau meleset adalah sebuah peristiwa. Contoh lain: dari sebuah guci berisi bola-bola yang berbeda warna, diambil satu bola. Dalam hal ini, mengambil bola dari guci adalah sebuah ujian. Munculnya bola dengan warna tertentu merupakan suatu peristiwa.
Peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C dll.
Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika sebagai akibat dari ujian itu pasti terjadi. Peristiwa tersebut dinamakan acak , jika dari hasil pengujian itu mungkin terjadi atau tidak. Peristiwa tersebut dinamakan mustahil , jika dari hasil pengujian tidak dapat terjadi sama sekali.
Misalnya sebuah dadu dilempar. Dalam hal ini kemunculan bilangan bulat merupakan kejadian yang dapat diandalkan, kemunculan angka 2 merupakan kejadian acak, dan kemunculan angka 8 merupakan kejadian mustahil.
Peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel , jika kemunculan salah satunya tidak termasuk kemunculan yang lainnya. Kalau tidak, acaranya akan dipanggil persendian .
Misalnya, seorang siswa yang menerima nilai “sangat baik”, “baik” dan “memuaskan” pada ujian dalam satu disiplin ilmu adalah peristiwa yang tidak kompatibel, tetapi menerima nilai yang sama dalam tiga disiplin ilmu yang berbeda adalah peristiwa gabungan.
Peristiwa tersebut disebut satu-satunya yang mungkin , jika terjadinya satu dan hanya satu diantaranya sebagai akibat dari pengujian tersebut merupakan peristiwa yang dapat dipercaya.
Misalnya, dua siswa datang untuk mengikuti ujian. Salah satu peristiwa berikut ini pasti akan terjadi: kedua siswa tersebut akan lulus ujian (peristiwa A), hanya satu siswa yang akan lulus ujian (event DI DALAM), tidak ada siswa yang lulus ujian (event DENGAN). Acara A, DI DALAM, DENGAN adalah satu-satunya yang mungkin.
Peristiwa tersebut disebut sama mungkinnya , jika, menurut kondisi simetri, terdapat alasan untuk meyakini bahwa tidak satu pun dari peristiwa-peristiwa ini yang secara obyektif lebih mungkin terjadi dibandingkan peristiwa-peristiwa lainnya.
Misalnya, munculnya lambang atau kepala saat melempar koin juga merupakan peristiwa yang mungkin terjadi. Memang diasumsikan bahwa uang logam tersebut terbuat dari bahan yang homogen, berbentuk silinder beraturan, dan adanya pencetakan tidak mempengaruhi hilangnya salah satu sisi uang logam tersebut.
Beberapa peristiwa terbentuk kelompok penuh , jika hal tersebut merupakan satu-satunya hasil yang mungkin dan tidak sesuai dalam uji coba tersebut. Ini berarti bahwa satu dan hanya satu dari peristiwa-peristiwa ini harus terjadi sebagai akibat dari pengujian tersebut.
Misalnya, seorang siswa menjawab pertanyaan pada kertas ujian. Tiket berisi dua pertanyaan. Hasil tes berikut mungkin terjadi: siswa akan menjawab kedua pertanyaan (peristiwa A 1), akan menjawab satu pertanyaan (acara A 2), tidak akan menjawab pertanyaan apa pun (event A 3). Acara A 1 , A 2 dan A 3 membentuk kelompok yang lengkap.
Di depan sebutkan dua kejadian unik yang mungkin membentuk grup lengkap.
Misalnya kejadian siswa sedang berada di dalam kelas dan kejadian di luar kelas adalah hal yang bertolak belakang.
Jika salah satu dari dua kejadian yang berlawanan ditunjukkan oleh A, maka sesuatu yang lain biasanya disebut sebagai .
Klasifikasi kejadian menjadi mungkin, mungkin dan acak. Konsep kejadian dasar sederhana dan kompleks. Operasi pada acara. Definisi klasik tentang peluang suatu kejadian acak dan sifat-sifatnya. Elemen kombinatorik dalam teori probabilitas. Probabilitas geometris. Aksioma teori probabilitas.
Klasifikasi acara
Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa. Di bawah peristiwa memahami fakta apa pun yang mungkin terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman atau ujian. Di bawah pengalaman, atau tes, mengacu pada penerapan serangkaian kondisi tertentu.
Contoh acara:
- – mengenai sasaran ketika ditembakkan dari pistol (pengalaman - melakukan tembakan; peristiwa - mengenai sasaran);
– hilangnya dua lambang saat melempar koin tiga kali (pengalaman - melempar koin tiga kali; peristiwa - hilangnya dua lambang);
– munculnya kesalahan pengukuran dalam batas yang ditentukan saat mengukur rentang ke suatu target (pengalaman - pengukuran rentang; peristiwa - kesalahan pengukuran).
Contoh serupa yang tak terhitung jumlahnya dapat diberikan. Acara ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin, dll.
Membedakan acara bersama Dan tidak kompatibel. Peristiwa disebut gabungan apabila terjadinya salah satu peristiwa tidak meniadakan terjadinya peristiwa yang lain. Jika tidak, peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel. Misalnya dua buah dadu dilempar. Kejadiannya adalah hilangnya tiga angka pada dadu pertama, kejadiannya adalah hilangnya tiga angka pada dadu kedua. dan - acara bersama. Biarkan toko menerima sekumpulan sepatu dengan gaya dan ukuran yang sama, tetapi warnanya berbeda. Peristiwa - kotak yang diambil secara acak akan berisi sepatu hitam, suatu peristiwa - kotak tersebut akan berisi sepatu coklat, dan - peristiwa yang tidak kompatibel.
Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika hal tersebut pasti terjadi pada kondisi percobaan tertentu.
Suatu peristiwa disebut mustahil jika tidak dapat terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu. Misalnya, kejadian dimana suku cadang standar akan diambil dari kumpulan suku cadang standar dapat diandalkan, tetapi suku cadang non-standar tidak mungkin dilakukan.
Peristiwa tersebut dinamakan mungkin, atau acak, jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin muncul, tetapi mungkin juga tidak muncul. Contoh peristiwa acak dapat berupa identifikasi cacat produk selama pemeriksaan sejumlah produk jadi, ketidaksesuaian antara ukuran produk yang diproses dan produk yang ditentukan, atau kegagalan salah satu tautan dalam sistem kendali otomatis.
Peristiwa tersebut disebut sama mungkinnya, jika, menurut kondisi pengujian, tidak satu pun dari kejadian ini yang secara obyektif lebih mungkin terjadi dibandingkan kejadian lainnya. Misalnya, sebuah toko disuplai dengan bola lampu (dalam jumlah yang sama) oleh beberapa pabrik. Peristiwa yang melibatkan pembelian bola lampu dari salah satu pabrik ini juga mungkin terjadi.
Konsep penting adalah kumpulan acara lengkap. Beberapa peristiwa dalam suatu percobaan tertentu membentuk kelompok lengkap jika paling sedikit salah satu di antaranya pasti muncul sebagai hasil percobaan tersebut. Misalnya, sebuah guci berisi sepuluh bola, enam bola berwarna merah, empat bola putih, dan lima bola bernomor. - Munculnya bola merah dalam satu kali seri, - Munculnya bola putih, - Munculnya bola bernomor. Acara membentuk kelompok acara bersama yang lengkap.
Mari kita perkenalkan konsep peristiwa yang berlawanan, atau tambahan. Di bawah di depan Suatu peristiwa dipahami sebagai suatu peristiwa yang pasti terjadi jika suatu peristiwa tidak terjadi. Peristiwa yang berlawanan tidak kompatibel dan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap. Misalnya, jika sekumpulan produk yang diproduksi terdiri dari produk baik dan produk cacat, maka ketika satu produk dikeluarkan, produk tersebut dapat berubah menjadi peristiwa baik, atau peristiwa cacat.
Operasi pada acara
Ketika mengembangkan peralatan dan metodologi untuk mempelajari kejadian acak dalam teori probabilitas, konsep jumlah dan hasil kali kejadian sangatlah penting.
Jumlah, atau gabungan, beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit satu dari peristiwa-peristiwa tersebut.
Jumlah kejadian ditunjukkan sebagai berikut:
Misalnya, jika suatu peristiwa mengenai sasaran dengan tembakan pertama, suatu peristiwa - dengan tembakan kedua, maka peristiwa tersebut mengenai sasaran secara umum, tidak peduli dengan tembakan yang mana - yang pertama, kedua, atau keduanya.
Produk, atau perpotongan, beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.
Produksi acara ditunjukkan
Misal kejadian sasaran terkena tembakan pertama, kejadian sasaran terkena tembakan kedua, maka kejadian sasaran terkena tembakan kedua.
Konsep jumlah dan hasil kali kejadian memiliki interpretasi geometris yang jelas. Misalkan kejadian tersebut terdiri dari suatu titik yang masuk ke dalam daerah tersebut, kejadian tersebut terdiri dari masuknya suatu daerah, maka kejadian tersebut terdiri dari suatu titik yang masuk ke dalam daerah yang diarsir pada Gambar. 1, dan kejadiannya adalah ketika suatu titik menyentuh daerah yang diarsir pada Gambar. 2.
Definisi klasik tentang probabilitas suatu kejadian acak
Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif menurut tingkat kemungkinan terjadinya, diperkenalkan ukuran numerik, yang disebut probabilitas suatu peristiwa.
Peluang suatu kejadian adalah suatu bilangan yang menyatakan ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu kejadian.
Peluang suatu kejadian dilambangkan dengan simbol.
Peluang suatu kejadian sama dengan perbandingan jumlah kasus yang menguntungkan kejadian tersebut, dari jumlah kasus unik yang mungkin, sama mungkinnya, dan tidak kompatibel, dengan jumlah yaitu
Ini adalah definisi klasik tentang probabilitas. Jadi, untuk mencari peluang suatu kejadian, setelah mempertimbangkan berbagai hasil pengujian, perlu untuk menemukan sekumpulan kasus yang mungkin terjadi secara unik, sama-sama mungkin, dan tidak kompatibel, menghitung jumlah totalnya, jumlah kasus yang menguntungkan suatu kejadian. kejadian, lalu lakukan perhitungan menggunakan rumus (1.1).
Dari rumus (1.1) dapat disimpulkan bahwa peluang suatu kejadian adalah bilangan non-negatif dan dapat bervariasi dari nol hingga satu tergantung pada proporsi jumlah kasus yang menguntungkan dari jumlah total kasus:
Sifat Probabilitas
Properti 1. Jika semua kasus menguntungkan bagi suatu peristiwa tertentu, maka peristiwa ini pasti akan terjadi. Oleh karena itu, peristiwa yang dimaksud dapat diandalkan, dan peluang terjadinya adalah , karena dalam kasus ini
Properti 2. Jika tidak ada satu pun kasus yang menguntungkan bagi suatu peristiwa tertentu, maka peristiwa tersebut tidak dapat terjadi sebagai akibat dari pengalaman. Oleh karena itu, peristiwa yang dimaksud tidak mungkin terjadi, dan peluang terjadinya adalah , karena dalam kasus ini:
Properti 3. Peluang terjadinya kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap adalah sama dengan satu.
Properti 4. Peluang terjadinya suatu peristiwa yang berlawanan ditentukan dengan cara yang sama seperti peluang terjadinya suatu peristiwa:
dimana adalah banyaknya kasus yang mendukung terjadinya peristiwa sebaliknya. Oleh karena itu, peluang terjadinya peristiwa yang berlawanan sama dengan selisih antara kesatuan dan peluang terjadinya peristiwa tersebut:
Keuntungan penting dari definisi klasik tentang probabilitas suatu peristiwa adalah bahwa dengan bantuannya, probabilitas suatu peristiwa dapat ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penalaran logis.
Contoh 1. Saat memanggil nomor telepon, pelanggan lupa satu digit dan memutarnya secara acak. Temukan probabilitas bahwa nomor yang benar telah dihubungi.
Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ketika nomor yang diperlukan dihubungi. Pelanggan dapat menekan salah satu dari 10 digit tersebut, sehingga jumlah total kemungkinan hasil adalah 10. Hasil ini adalah satu-satunya kemungkinan (salah satu digit harus dihubungi) dan kemungkinan yang sama (digit tersebut dipanggil secara acak). Hanya satu hasil yang mendukung acara tersebut (hanya ada satu nomor yang diperlukan). Probabilitas yang diperlukan sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah semua hasil:
Elemen kombinatorik
Dalam teori probabilitas, penempatan, permutasi, dan kombinasi sering digunakan. Jika satu set diberikan, maka penempatan (kombinasi) dari elemen oleh adalah himpunan bagian terurut (tidak berurutan) dari elemen himpunan. Ketika ditempatkan disebut penyusunan kembali dari elemen.
Misalkan diberikan satu set. Penempatan tiga elemen dari himpunan dua ini adalah , , , , , ; kombinasi - , , .
Dua kombinasi berbeda dalam setidaknya satu elemen, dan penempatan berbeda dalam elemen itu sendiri atau dalam urutan kemunculannya. Banyaknya kombinasi unsur dihitung dengan rumus
adalah jumlah penempatan elemen sebesar ; - jumlah permutasi elemen.
Contoh 2. Dalam kumpulan 10 bagian ada 7 bagian standar. Tentukan peluang terambilnya 6 bagian secara acak, terdapat tepat 4 bagian baku.
Larutan. Jumlah total hasil tes yang mungkin sama dengan banyaknya cara di mana 6 bagian dapat diekstraksi dari 10, yaitu sama dengan jumlah kombinasi 10 elemen dari 6. Banyaknya hasil yang mendukung kejadian tersebut (di antara 6 bagian yang diambil tepat ada 4 bagian standar) ditentukan sebagai berikut: 4 bagian standar dapat diambil dari 7 bagian standar dengan cara yang berbeda-beda; dalam hal ini, bagian lainnya harus non-standar; Ada cara untuk mengambil 2 bagian non-standar dari bagian non-standar. Oleh karena itu, jumlah hasil yang menguntungkan sama dengan . Probabilitas awal sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah semua hasil:
Definisi statistik probabilitas
Rumus (1.1) digunakan untuk menghitung secara langsung probabilitas kejadian hanya jika pengalaman direduksi menjadi suatu pola kasus. Dalam praktiknya, definisi klasik tentang probabilitas seringkali tidak dapat diterapkan karena dua alasan: pertama, definisi klasik tentang probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah total kasus harus terbatas. Faktanya, seringkali tidak dibatasi. Kedua, seringkali tidak mungkin untuk menyajikan hasil suatu eksperimen dalam bentuk kejadian-kejadian yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel.
Frekuensi terjadinya peristiwa selama Eksperimen berulang cenderung stabil di sekitar nilai konstan. Dengan demikian, suatu nilai konstanta tertentu dapat dikaitkan dengan peristiwa yang sedang dipertimbangkan, di mana frekuensi dikelompokkan dan yang merupakan karakteristik dari hubungan objektif antara himpunan kondisi di mana eksperimen dilakukan dan peristiwa tersebut.
Probabilitas suatu kejadian acak adalah angka di mana frekuensi kejadian tersebut dikelompokkan seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan.
Definisi probabilitas ini disebut statistik.
Keuntungan metode statistik dalam menentukan probabilitas adalah didasarkan pada eksperimen nyata. Namun, kelemahan signifikannya adalah untuk menentukan probabilitas, perlu dilakukan sejumlah besar eksperimen, yang sering kali dikaitkan dengan biaya material. Definisi statistik dari probabilitas suatu peristiwa, meskipun mengungkapkan sepenuhnya isi konsep ini, tidak memungkinkan untuk menghitung probabilitas secara sebenarnya.
Definisi klasik tentang probabilitas mempertimbangkan kelompok lengkap dari sejumlah kejadian yang sama-sama mungkin. Dalam praktiknya, seringkali jumlah kemungkinan hasil tes tidak terbatas. Dalam kasus seperti ini, definisi klasik tentang probabilitas tidak dapat diterapkan. Namun, terkadang dalam kasus seperti itu, Anda dapat menggunakan metode penghitungan probabilitas yang lain. Untuk lebih pastinya, kami membatasi diri pada kasus dua dimensi.
Misalkan suatu daerah dengan luas tertentu, yang berisi daerah lain, diberikan pada bidang tersebut (Gbr. 3). Sebuah titik dilempar ke area tersebut secara acak. Berapa peluang suatu titik jatuh ke dalam wilayah tersebut? Diasumsikan bahwa suatu titik yang dilempar secara acak dapat mengenai titik mana pun di wilayah tersebut, dan peluang mengenai bagian mana pun dari wilayah tersebut sebanding dengan luas bagian tersebut dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya. Dalam hal ini, peluang mengenai area tersebut ketika suatu titik dilemparkan secara acak ke dalam area tersebut adalah
Jadi, secara umum, jika kemungkinan munculnya suatu titik secara acak di dalam suatu area tertentu pada suatu garis, bidang, atau ruang tidak ditentukan oleh letak area tersebut dan batas-batasnya, tetapi hanya oleh ukurannya, yaitu. , luas atau volume, lalu probabilitas suatu titik acak jatuh dalam suatu wilayah tertentu didefinisikan sebagai rasio luas wilayah tersebut dengan luas seluruh wilayah di mana suatu titik tertentu dapat muncul. Ini adalah definisi geometris dari probabilitas.
Contoh 3. Sebuah sasaran berbentuk bulat berputar dengan kecepatan sudut konstan. Seperlima target dicat hijau dan sisanya putih (Gbr. 4). Sebuah tembakan dilepaskan ke sasaran sedemikian rupa sehingga mengenai sasaran adalah peristiwa yang dapat diandalkan. Anda perlu menentukan kemungkinan mengenai sektor target yang berwarna hijau.
Larutan. Mari kita nyatakan “tembakan mengenai sektor yang berwarna hijau”. Kemudian . Probabilitas diperoleh sebagai perbandingan luas bagian sasaran yang dicat hijau dengan seluruh luas sasaran, karena kemungkinan mengenai bagian mana pun dari sasaran sama-sama mungkin.
Aksioma teori probabilitas
Dari definisi statistik peluang suatu kejadian acak dapat disimpulkan bahwa peluang suatu kejadian adalah bilangan di mana frekuensi kejadian yang diamati secara eksperimental dikelompokkan. Oleh karena itu, aksioma teori probabilitas diperkenalkan agar probabilitas suatu peristiwa mempunyai sifat dasar frekuensi.
Aksioma 1. Setiap kejadian berhubungan dengan angka tertentu yang memenuhi kondisi dan disebut probabilitasnya.
Teori probabilitas – ilmu matematika yang mempelajari pola fenomena acak. Fenomena acak dipahami sebagai fenomena dengan hasil yang tidak pasti yang terjadi ketika serangkaian kondisi tertentu direproduksi berulang kali.
Misalnya, saat melempar koin, Anda tidak bisa memprediksi di sisi mana koin itu akan mendarat. Hasil pelemparan sebuah koin adalah acak. Namun dengan jumlah pelemparan koin yang cukup banyak, terdapat pola tertentu (lambang dan tanda pagar akan rontok dengan jumlah yang kira-kira sama).
Konsep dasar teori probabilitas
Tes (pengalaman, eksperimen) - penerapan serangkaian kondisi tertentu di mana fenomena tertentu diamati dan hasil tertentu dicatat.
Misalnya: melempar dadu dan memperoleh sejumlah poin; perbedaan suhu udara; cara pengobatan penyakit; beberapa periode kehidupan seseorang.
Peristiwa acak (atau hanya sebuah peristiwa) – hasil tes.
Contoh kejadian acak:
mendapatkan satu poin saat melempar dadu;
eksaserbasi penyakit jantung koroner dengan peningkatan tajam suhu udara di musim panas;
perkembangan komplikasi penyakit akibat pilihan metode pengobatan yang salah;
masuk ke universitas setelah berhasil belajar di sekolah.
Acara ditandai dengan huruf kapital alfabet Latin: A , B , C , …
Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika sebagai akibat dari ujian itu pasti terjadi.
Peristiwa tersebut dinamakan mustahil , jika dari hasil pengujian tidak dapat terjadi sama sekali.
Misalnya, jika semua produk dalam suatu batch adalah produk standar, maka pengambilan produk standar dari batch tersebut merupakan peristiwa yang dapat diandalkan, namun pengambilan produk cacat dalam kondisi yang sama adalah peristiwa yang mustahil.
DEFINISI KLASIK PROBABILITAS
Probabilitas adalah salah satu konsep dasar teori probabilitas.
Kemungkinan kejadian klasik 
disebut rasio jumlah kasus yang mendukung suatu peristiwa 
, dengan jumlah total kasus, mis.
, (5.1)
Di mana 
- kemungkinan kejadian 
,
- jumlah kasus yang menguntungkan acara tersebut 
,
- jumlah total kasus.
Sifat-sifat probabilitas suatu peristiwa
Probabilitas suatu kejadian terletak antara nol dan satu, yaitu.
Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, yaitu.
.
Probabilitas suatu kejadian yang mustahil adalah nol, yaitu.
.
(Tawarkan untuk memecahkan beberapa masalah sederhana secara lisan).
PENENTUAN STATISTIK PROBABILITAS
Dalam praktiknya, memperkirakan probabilitas suatu kejadian sering kali didasarkan pada seberapa sering suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam pengujian yang dilakukan. Dalam hal ini, definisi statistik tentang probabilitas digunakan.
Probabilitas statistik suatu peristiwa 
disebut batas frekuensi relatif (perbandingan jumlah kasus M, menguntungkan bagi terjadinya suatu peristiwa 
, ke jumlah total 
tes yang dilakukan), ketika jumlah tes cenderung tak terhingga, mis.
Di mana 
- probabilitas statistik suatu peristiwa 
,
- jumlah uji coba di mana peristiwa tersebut muncul 
,
- jumlah total tes.
Berbeda dengan probabilitas klasik, probabilitas statistik merupakan karakteristik probabilitas eksperimental. Probabilitas klasik berfungsi untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa secara teoritis dalam kondisi tertentu dan tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan. Rumus probabilitas statistik digunakan untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa secara eksperimental, yaitu. diasumsikan bahwa pengujian tersebut benar-benar dilakukan.
Probabilitas statistik kira-kira sama dengan frekuensi relatif suatu kejadian acak, oleh karena itu dalam prakteknya frekuensi relatif diambil sebagai probabilitas statistik, karena probabilitas statistik secara praktis tidak mungkin ditemukan.
Definisi statistik tentang probabilitas berlaku untuk kejadian acak yang memiliki sifat berikut:
Teorema penjumlahan dan perkalian peluang
Konsep dasar
a) Satu-satunya kejadian yang mungkin terjadi
Acara 
Mereka disebut satu-satunya yang mungkin jika, sebagai hasil dari setiap pengujian, setidaknya satu dari mereka pasti akan terjadi.
Peristiwa-peristiwa ini membentuk suatu kelompok peristiwa yang lengkap.
Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, kejadian yang mungkin terjadi hanyalah sisi yang mempunyai angka satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.
b) Peristiwa disebut tidak kompatibel, jika terjadinya salah satu di antaranya meniadakan terjadinya peristiwa-peristiwa lain dalam sidang yang sama. Kalau tidak, mereka disebut bersama.
c) Berlawanan sebutkan dua kejadian unik yang mungkin membentuk grup lengkap. Menunjuk 
Dan 
.
G) Peristiwa disebut independen, jika kemungkinan terjadinya salah satunya tidak bergantung pada dilakukannya atau tidak diselesaikannya yang lain.
Tindakan pada acara
Jumlah beberapa peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut.
Jika 
Dan 
– acara bersama, lalu jumlahnya 
atau 
menunjukkan terjadinya salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau kedua peristiwa secara bersamaan.
Jika 
Dan 
– kejadian yang tidak kompatibel, lalu jumlahnya 
berarti kejadian atau kejadian 
, atau peristiwa 
.
Jumlah 
arti peristiwa: 
Produk (persimpangan) beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.
Hasil kali dua kejadian dilambangkan dengan 
atau 
.
Bekerja 
mewakili peristiwa 
Teorema untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel
Peluang terjadinya jumlah dua kejadian atau lebih yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian berikut:
Untuk dua acara;
- Untuk 
acara.
Konsekuensi:
a) Jumlah peluang kejadian yang berlawanan 
Dan 
sama dengan satu:
Peluang terjadinya kejadian sebaliknya dilambangkan dengan 
:
.
b) Jumlah probabilitas 
kejadian yang membentuk kelompok kejadian lengkap sama dengan satu: atau 
.
Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan
Peluang jumlah dua kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut tanpa peluang perpotongannya, yaitu.
Teorema perkalian probabilitas
a) Untuk dua kejadian bebas:
b) Untuk dua kejadian bergantung
Di mana 
– probabilitas bersyarat suatu kejadian 
, yaitu kemungkinan suatu peristiwa 
, dihitung dengan syarat kejadian tersebut 
telah terjadi.
c) Untuk 
acara independen:
.
d) Kemungkinan paling sedikit salah satu peristiwa terjadi 
, membentuk kelompok acara independen yang lengkap:
Probabilitas bersyarat
Kemungkinan kejadian 
, dihitung dengan asumsi peristiwa itu terjadi 
, disebut probabilitas bersyarat dari kejadian tersebut 
dan ditunjuk 
atau 
.
Saat menghitung probabilitas bersyarat menggunakan rumus probabilitas klasik, jumlah hasil 
Dan 
dihitung dengan mempertimbangkan fakta sebelum peristiwa itu terjadi 
suatu peristiwa terjadi 
.
Peristiwa dan klasifikasinya
Konsep dasar teori probabilitas
Ketika membangun teori matematika apa pun, konsep paling sederhana pertama-tama diidentifikasi, yang diterima sebagai fakta awal. Konsep dasar dalam teori probabilitas adalah konsep percobaan acak, kejadian acak, peluang terjadinya kejadian acak.
Eksperimen acak– ini adalah proses pencatatan observasi suatu peristiwa yang menarik bagi kita, yang dilakukan dalam kondisi stasioner tertentu (tidak berubah seiring berjalannya waktu) serangkaian kondisi nyata, termasuk pengaruh sejumlah besar faktor acak (yang tidak dapat diperhitungkan dan dikendalikan secara ketat) yang tidak dapat dihindari.
Faktor-faktor ini, pada gilirannya, tidak memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan yang sepenuhnya dapat diandalkan tentang apakah peristiwa yang kita minati akan terjadi atau tidak. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa kita memiliki kemungkinan mendasar (setidaknya dapat diwujudkan secara mental) untuk mengulangi eksperimen atau pengamatan kita berkali-kali dalam kerangka kondisi yang sama.
Berikut beberapa contoh eksperimen acak.
1. Eksperimen acak yang terdiri dari pelemparan koin yang simetris sempurna melibatkan faktor acak seperti gaya pelemparan koin, lintasan koin, kecepatan awal, momen rotasi, dll. Faktor-faktor acak ini membuat tidak mungkin untuk secara akurat menentukan hasil dari setiap percobaan: “saat melempar koin, lambang akan muncul” atau “melempar koin, ekor akan muncul.”
2. Pabrik Stalkanat menguji kabel yang diproduksi untuk beban maksimum yang diizinkan. Bebannya bervariasi dalam batas tertentu dari satu percobaan ke percobaan lainnya. Hal ini disebabkan oleh faktor acak seperti cacat mikro pada bahan pembuat kabel, berbagai gangguan dalam pengoperasian peralatan yang terjadi selama produksi kabel, kondisi penyimpanan, kondisi percobaan, dll.
3. Serangkaian tembakan ditembakkan dari senjata yang sama ke sasaran tertentu. Mencapai sasaran bergantung pada banyak faktor acak, yang meliputi kondisi senjata dan proyektil, pemasangan senjata, keterampilan penembak, kondisi cuaca (angin, cahaya, dll.).
Definisi. Pemenuhan kondisi tertentu disebut tes. Hasil tes disebut peristiwa.
Peristiwa acak ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C...atau huruf kapital dengan indeks: .
Misalnya, lulus ujian dalam serangkaian kondisi tertentu (ujian tertulis, termasuk sistem penilaian, dll.) adalah ujian bagi siswa, dan menerima nilai tertentu adalah suatu peristiwa;
menembakkan senjata dalam kondisi tertentu (kondisi cuaca, kondisi senjata, dll.) adalah sebuah ujian, dan mengenai atau meleset dari sasaran adalah sebuah peristiwa.
Kita dapat mengulangi percobaan yang sama berkali-kali dalam kondisi yang sama. Kehadiran sejumlah besar faktor acak yang mengkarakterisasi kondisi masing-masing percobaan membuat tidak mungkin untuk membuat kesimpulan yang pasti tentang apakah peristiwa yang menarik bagi kita akan terjadi atau tidak dalam pengujian terpisah. Perhatikan bahwa dalam teori probabilitas masalah seperti itu tidak diajukan.
Klasifikasi acara
Peristiwa terjadi dapat diandalkan, tidak mungkin Dan acak.
Definisi. Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika dalam kondisi tertentu hal itu pasti terjadi.
Semua peristiwa yang dapat dipercaya ditandai dengan sebuah huruf (huruf pertama dari kata bahasa Inggris universal- umum)
Contoh kejadian yang dapat dipercaya adalah: munculnya bola putih dari guci yang hanya berisi bola putih; memenangkan lotre win-win.
Definisi. Peristiwa tersebut dinamakan mustahil, jika dalam kondisi tertentu hal tersebut tidak dapat terjadi.
Semua kejadian mustahil ditunjukkan dengan surat itu.
Misalnya, dalam geometri Euclidean, jumlah sudut segitiga tidak boleh lebih besar dari , dan Anda tidak bisa mendapatkan nilai “6” pada ujian dengan sistem penilaian lima poin.
Definisi. Peristiwa tersebut dinamakan acak, jika hal itu mungkin muncul atau tidak dalam serangkaian kondisi tertentu.
Misalnya kejadian acak adalah: kejadian munculnya kartu as dari setumpuk kartu; acara memenangkan pertandingan tim sepak bola; acara memenangkan lotre uang tunai dan pakaian; acara pembelian TV yang rusak, dll.
Definisi. Acara disebut tidak kompatibel, jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya.
Contoh 1. Jika kita perhatikan ujian yang terdiri dari pelemparan uang logam, maka peristiwa - munculnya lambang dan munculnya angka - merupakan peristiwa yang tidak sejalan.
Definisi. Acara disebut persendian, jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lainnya.
Contoh 2. Jika sebuah tembakan dilepaskan dari tiga senjata, maka kejadian-kejadian berikut digabungkan: pukulan dari senjata pertama; pukulan dari senjata kedua; terkena tembakan ketiga.
Definisi. Acara disebut satu-satunya yang mungkin, jika ketika serangkaian kondisi tertentu terwujud, setidaknya salah satu peristiwa tertentu harus terjadi.
Contoh 3. Saat pelemparan sebuah dadu, kejadian-kejadian yang mungkin terjadi hanya sebagai berikut:
A 1 – munculnya satu titik,
A 2 – munculnya dua poin,
A 3 – munculnya tiga poin,
A 4 – penampilan empat poin,
A 5 – penampilan lima poin,
A 6 – penampilan enam poin.
Definisi. Mereka mengatakan bahwa peristiwa itu terbentuk kumpulan acara lengkap, jika peristiwa ini adalah satu-satunya yang mungkin dan tidak sesuai.
Peristiwa-peristiwa yang dibahas pada contoh 1, 3 membentuk kelompok yang lengkap, karena peristiwa-peristiwa tersebut tidak sesuai dan satu-satunya yang mungkin.
Definisi. Dua kejadian yang membentuk satu grup lengkap disebut di depan.
Jika suatu peristiwa, maka peristiwa yang berlawanan dilambangkan dengan .
Contoh 4. Jika peristiwanya berupa lambang, maka peristiwa tersebut adalah ekor.
Peristiwa yang berlawanan juga terjadi: “siswa lulus ujian” dan “siswa tidak lulus ujian”, “tanaman memenuhi rencana” dan “tanaman tidak memenuhi rencana”.
Definisi. Acara disebut kemungkinan yang sama atau sama mungkinnya, jika pada saat ujian semuanya secara obyektif mempunyai kemungkinan tampil yang sama.
Perhatikan bahwa kejadian yang sama mungkinnya hanya dapat muncul dalam eksperimen dengan hasil yang simetris, yang dijamin dengan metode khusus (misalnya, membuat koin yang benar-benar simetris, dadu, mengocok kartu dengan hati-hati, domino, mencampurkan bola ke dalam guci, dll.).
Definisi. Jika hasil suatu pengujian adalah satu-satunya yang mungkin, tidak sesuai, dan sama-sama mungkin, maka hasil tersebut disebut hasil dasar, kasus atau peluang, dan tes itu sendiri disebut diagram kasus atau "skema guci"(karena soal probabilitas apa pun untuk tes yang dimaksud dapat diganti dengan soal yang setara dengan guci dan bola dengan warna berbeda) .
Contoh 5. Jika di dalam guci terdapat 3 bola putih dan 3 bola hitam yang sama jika disentuh, maka kejadian tersebut A 1 – penampakan bola putih dan kejadiannya A 2 – munculnya bola hitam adalah kejadian yang sama-sama mungkin terjadi.
Definisi. Mereka mengatakan bahwa acara tersebut nikmat peristiwa atau acara memerlukan peristiwa , jika muncul peristiwa pasti datang.
Jika suatu peristiwa memerlukan suatu peristiwa, maka hal ini ditunjukkan dengan simbol-simbol setara atau setara dan menunjukkan
Dengan demikian, kejadian-kejadian yang ekuivalen dan pada setiap pengujian, keduanya terjadi atau keduanya tidak terjadi.
Untuk membangun teori probabilitas, selain konsep dasar yang telah diperkenalkan (eksperimen acak, kejadian acak), perlu diperkenalkan konsep dasar lain - kemungkinan suatu kejadian acak.
Perhatikan bahwa gagasan tentang probabilitas suatu peristiwa berubah selama pengembangan teori probabilitas. Mari kita telusuri sejarah perkembangan konsep ini.
Di bawah kemungkinan peristiwa acak memahami ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa.
Definisi ini mencerminkan konsep probabilitas dari sudut pandang kualitatif. Hal ini dikenal di dunia kuno.
Definisi kuantitatif dari probabilitas suatu peristiwa pertama kali diberikan dalam karya para pendiri teori probabilitas, yang mempertimbangkan eksperimen acak dengan simetri atau keseimbangan objektif dari hasil. Eksperimen acak semacam itu, seperti disebutkan di atas, paling sering mencakup eksperimen yang terorganisir secara artifisial di mana metode khusus digunakan untuk memastikan hasil yang sama (mengocok kartu atau domino, membuat dadu, koin, dll. yang simetris sempurna). Sehubungan dengan eksperimen acak seperti itu di abad ketujuh belas. Ahli matematika Perancis, Laplace, merumuskan definisi klasik tentang probabilitas.
Banyak orang, ketika dihadapkan pada konsep “teori probabilitas”, menjadi takut, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat kompleks. Namun sebenarnya semuanya tidak begitu tragis. Hari ini kita akan melihat konsep dasar teori probabilitas dan mempelajari cara memecahkan masalah menggunakan contoh-contoh spesifik.
Ilmu
Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti “teori probabilitas”? Dia mencatat pola dan kuantitas. Para ilmuwan pertama kali tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajari perjudian. Konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa. Ini adalah fakta apa pun yang ditetapkan melalui pengalaman atau observasi. Tapi apakah pengalaman itu? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Artinya, rangkaian keadaan ini diciptakan bukan secara kebetulan, melainkan untuk tujuan tertentu. Sedangkan untuk observasi, di sini peneliti sendiri tidak ikut serta dalam percobaan, tetapi hanya menjadi saksi dari peristiwa tersebut; dia tidak mempengaruhi apa yang terjadi dengan cara apapun.
Acara
Kami mempelajari bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi kami tidak mempertimbangkan klasifikasinya. Semuanya dibagi ke dalam kategori berikut:
- Dapat diandalkan.
- Mustahil.
- Acak.
Terlepas dari jenis peristiwa apa yang terjadi, diamati atau diciptakan selama pengalaman, semuanya termasuk dalam klasifikasi ini. Kami mengundang Anda untuk mengenal setiap jenis secara terpisah.
Acara yang dapat diandalkan
Ini adalah keadaan dimana serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensinya, ada baiknya memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika tingkat tinggi tunduk pada hukum ini. Teori probabilitas mencakup konsep penting seperti peristiwa yang dapat diandalkan. Berikut beberapa contohnya:
- Kami bekerja dan menerima kompensasi dalam bentuk upah.
- Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, dan untuk itu kami mendapat imbalan berupa masuk ke lembaga pendidikan.
- Kami menginvestasikan uang di bank, dan jika perlu, kami akan mendapatkannya kembali.
Peristiwa seperti itu dapat diandalkan. Jika kita sudah memenuhi semua syarat yang diperlukan, kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.
Peristiwa yang mustahil
Sekarang kita sedang mempertimbangkan elemen teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan jenis kejadian berikutnya, yaitu kejadian yang mustahil. Pertama, mari kita tetapkan aturan yang paling penting - kemungkinan terjadinya peristiwa yang mustahil adalah nol.
Seseorang tidak boleh menyimpang dari rumusan ini ketika memecahkan masalah. Untuk lebih jelasnya, berikut contoh peristiwa tersebut:
- Air membeku pada suhu plus sepuluh (ini tidak mungkin).
- Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi dengan cara apapun (sama mustahilnya dengan contoh sebelumnya).
Tidak ada gunanya memberikan lebih banyak contoh, karena contoh yang dijelaskan di atas dengan jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Peristiwa mustahil tidak akan pernah terjadi selama percobaan dalam kondisi apapun.
Peristiwa Acak
Saat mempelajari unsur-unsurnya, perhatian khusus harus diberikan pada jenis peristiwa khusus ini. Inilah yang dipelajari sains. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu mungkin terjadi atau tidak terjadi. Selain itu, pengujian dapat dilakukan dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh nyatanya meliputi:
- Pelemparan koin adalah sebuah pengalaman atau ujian, pendaratan kepala adalah sebuah peristiwa.
- Mengeluarkan bola dari tas secara membabi buta adalah sebuah ujian; mendapatkan bola merah adalah sebuah peristiwa, dan seterusnya.
Contoh-contoh seperti itu jumlahnya tidak terbatas, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa tersebut, disediakan tabel. Teori probabilitas hanya mempelajari jenis terakhir dari semua yang disajikan.
Nama | definisi | |
Dapat diandalkan | Peristiwa yang terjadi dengan jaminan 100% jika kondisi tertentu terpenuhi. | Masuk ke lembaga pendidikan setelah lulus ujian masuk dengan baik. |
Mustahil | Peristiwa yang tidak akan pernah terjadi dalam kondisi apapun. | Turun salju pada suhu udara plus tiga puluh derajat Celcius. |
Acak | Suatu peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi selama percobaan/pengujian. | Pukulan atau meleset saat melempar bola basket ke dalam ring. |
Hukum
Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lainnya, ia memiliki beberapa aturan. Ada hukum teori probabilitas berikut:
- Konvergensi barisan variabel acak.
- Hukum bilangan besar.
Saat menghitung kemungkinan sesuatu yang kompleks, Anda dapat menggunakan serangkaian peristiwa sederhana untuk mencapai hasil dengan cara yang lebih mudah dan cepat. Perhatikan bahwa hukum teori probabilitas mudah dibuktikan dengan menggunakan teorema tertentu. Kami menyarankan agar Anda mengenal hukum pertama terlebih dahulu.
Konvergensi barisan variabel acak
Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:
- Urutan variabel acak konvergen dalam probabilitas.
- Hampir tidak mungkin.
- Konvergensi kuadrat rata-rata.
- Konvergensi distribusi.
Jadi, sangat sulit untuk memahami esensinya. Berikut adalah definisi yang akan membantu Anda memahami topik ini. Mari kita mulai dengan tampilan pertama. Urutannya disebut probabilitasnya konvergen, jika syarat berikut terpenuhi: n cenderung tak terhingga, bilangan yang cenderung barisan tersebut lebih besar dari nol dan mendekati satu.
Mari kita beralih ke tampilan berikutnya, hampir pasti. Barisan tersebut dikatakan konvergen hampir pasti ke variabel acak dengan n cenderung tak terhingga dan P cenderung nilai mendekati kesatuan.
Tipe berikutnya adalah konvergensi kuadrat rata-rata. Saat menggunakan konvergensi SC, studi tentang proses acak vektor direduksi menjadi studi tentang proses acak koordinatnya.
Masih ada tipe yang terakhir, mari kita simak secara singkat agar kita bisa langsung melanjutkan ke penyelesaian masalah. Konvergensi dalam distribusi memiliki nama lain - “lemah”, dan kami akan menjelaskan alasannya nanti. Konvergensi yang lemah adalah konvergensi fungsi distribusi di semua titik kontinuitas fungsi distribusi pembatas.
Kami pasti akan menepati janji kami: konvergensi lemah berbeda dari semua hal di atas karena variabel acak tidak ditentukan dalam ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi tersebut dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.
Hukum Bilangan Besar
Teorema teori probabilitas, seperti:
- Ketimpangan Chebyshev.
- teorema Chebyshev.
- Teorema Chebyshev yang digeneralisasikan.
- teorema Markov.
Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini mungkin berlarut-larut hingga beberapa lusin lembar. Tugas utama kami adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami menyarankan Anda melakukan ini sekarang. Namun sebelum itu, mari kita lihat aksioma teori probabilitas; mereka akan menjadi asisten utama dalam memecahkan masalah.
Aksioma
Kami sudah bertemu yang pertama ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: kemungkinan suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan berkesan: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.
Yang kedua adalah sebagai berikut: suatu peristiwa yang dapat diandalkan terjadi dengan probabilitas sama dengan satu. Sekarang kami akan menunjukkan cara menulisnya menggunakan bahasa matematika: P(B)=1.
Ketiga: Suatu peristiwa acak bisa saja terjadi atau tidak, tetapi kemungkinannya selalu berkisar antara nol sampai satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, kemungkinannya sangat rendah. Mari kita tuliskan ini dalam bahasa matematika: 0<Р(С)<1.
Mari kita perhatikan aksioma terakhir, keempat, yang bunyinya seperti ini: peluang jumlah dua kejadian sama dengan jumlah peluangnya. Kita menuliskannya dalam bahasa matematika: P(A+B)=P(A)+P(B).
Aksioma teori probabilitas merupakan aturan paling sederhana yang tidak sulit untuk diingat. Mari kita coba menyelesaikan beberapa masalah berdasarkan pengetahuan yang telah kita peroleh.
Tiket lotere
Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotre untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam pengundian, salah satunya berhadiah lima ratus rubel, sepuluh di antaranya masing-masing bernilai seratus rubel, lima puluh berhadiah dua puluh rubel, dan seratus berhadiah lima. Masalah probabilitas didasarkan pada pencarian kemungkinan keberuntungan. Sekarang bersama-sama kita akan menganalisis solusi dari tugas di atas.
Jika kita menggunakan huruf A untuk menunjukkan kemenangan lima ratus rubel, maka peluang mendapatkan A akan sama dengan 0,001. Bagaimana kita mendapatkan ini? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket “beruntung” dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).
B adalah kemenangan seratus rubel, kemungkinannya adalah 0,01. Sekarang kita bertindak dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)
C - kemenangannya adalah dua puluh rubel. Kami menemukan probabilitasnya, itu sama dengan 0,05.
Kami tidak tertarik dengan sisa tiket, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Peluang memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu; kita telah menemukannya pada tindakan sebelumnya. Tinggal menjumlahkan data yang diperlukan, dan jawaban yang kita dapatkan adalah 0,061. Nomor ini akan menjadi jawaban dari pertanyaan tugas.
Dek kartu
Permasalahan dalam teori probabilitas bisa jadi lebih kompleks; misalnya, mari kita ambil tugas berikut. Di depan Anda ada setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas Anda adalah menggambar dua kartu berturut-turut tanpa mengocok tumpukan, kartu pertama dan kedua harus kartu As, jenisnya tidak masalah.
Pertama, mari kita cari peluang terambilnya kartu pertama kartu as, untuk ini kita membagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengambil kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Kemungkinan kejadian kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil pertama kali, kita bertanya-tanya apakah itu kartu as atau bukan. Oleh karena itu, kejadian B bergantung pada kejadian A.
Langkah selanjutnya adalah mencari peluang terjadinya secara bersamaan, yaitu kita mengalikan A dan B. Hasil kali keduanya adalah sebagai berikut: kita mengalikan peluang suatu kejadian dengan peluang bersyarat dari kejadian lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa kejadian pertama peristiwa terjadi, yaitu kita mengambil kartu as dengan kartu pertama.
Untuk memperjelas semuanya, mari kita beri sebutan pada elemen seperti peristiwa. Dihitung dengan asumsi peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).
Mari kita lanjutkan menyelesaikan soal kita: P(A * B) = P(A) * P(B/A) atau P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabilitasnya sama dengan (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kita hitung dengan membulatkan ke perseratus terdekat. Kita mendapatkan: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Peluang terambilnya dua kartu as berturut-turut adalah sembilan per seratus. Nilainya sangat kecil, artinya peluang terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.
Nomor yang terlupakan
Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa varian tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini. Mari kita coba selesaikan masalah berikut: anak laki-laki itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai menelepon semuanya satu per satu. . Kita perlu menghitung kemungkinan dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Pemecahan masalah paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma teori probabilitas diketahui.
Sebelum melihat solusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol sampai sembilan, yaitu total sepuluh nilai. Peluang terambilnya jawaban yang benar adalah 1/10.
Selanjutnya kita perlu mempertimbangkan pilihan asal usul kejadian tersebut, misalkan anak tersebut menebak dengan benar dan langsung mengetik yang benar, kemungkinan terjadinya kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan panggilan kedua tepat sasaran. Mari kita hitung kemungkinan kejadian seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, dan sebagai hasilnya kita juga mendapatkan 1/10. Pilihan ketiga: panggilan pertama dan kedua berada di alamat yang salah, hanya pada panggilan ketiga anak itu sampai ke tempat yang diinginkannya. Kami menghitung kemungkinan kejadian seperti itu: 9/10 dikalikan dengan 8/9 dan 1/8, menghasilkan 1/10. Kami tidak tertarik dengan pilihan lain sesuai dengan kondisi masalahnya, jadi tinggal menjumlahkan hasilnya, pada akhirnya kami mendapat 3/10. Jawaban: peluang anak laki-laki tersebut menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.
Kartu dengan angka
Ada sembilan kartu di depan Anda, yang masing-masingnya tertulis angka satu sampai sembilan, angkanya tidak berulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan diaduk rata. Anda perlu menghitung kemungkinannya
- angka genap akan muncul;
- dua digit.
Sebelum melanjutkan ke penyelesaian, mari kita tetapkan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah total pilihan. Mari kita cari peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat bilangan genap, ini adalah m kita, total ada sembilan opsi yang memungkinkan, yaitu m=9. Maka probabilitasnya adalah 0,44 atau 4/9.
Mari kita pertimbangkan kasus kedua: jumlah pilihan adalah sembilan, dan tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu m sama dengan nol. Peluang terambilnya kartu berisi dua angka juga nol.
