Definisi. Titik ekstrem suatu fungsi dua variabel Titik minimum dan maksimum dari fungsi ini disebut. Nilai fungsi itu sendiri pada titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi dua variabel .

Definisi. Dot P(X0 , kamu 0 ) ditelepon z = z(X, kamu) , jika nilai fungsi di titik ini lebih besar daripada di titik-titik di sekitarnya. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimum suatu fungsi dari dua variabel .

Definisi. Dot P(X0 , kamu 0 ) ditelepon titik maksimum suatu fungsi dua variabel z = z(X, kamu) , jika nilai fungsi di titik ini lebih besar daripada di titik-titik di sekitarnya. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimum fungsi dua variabel .

Teorema (tanda penting dari ekstrem suatu fungsi dua variabel). Jika intinya P(X0 , kamu 0 ) - titik ekstrem suatu fungsi dua variabel z = z(X, kamu) , lalu yang pertama turunan parsial fungsi (oleh “X” dan “Y”) pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada:

Definisi. Titik dimana turunan parsial pertama suatu fungsi dua variabel sama dengan nol disebut titik stasioner .

Definisi. Titik dimana turunan parsial pertama suatu fungsi dua variabel sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Seperti halnya fungsi satu variabel, kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem dari fungsi dua variabel tidaklah cukup. Ada banyak fungsi yang turunan parsial pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak ada, tetapi tidak ada titik ekstrem pada titik-titik yang bersesuaian. Setiap titik ekstrem merupakan titik kritis, namun tidak setiap titik kritis merupakan titik ekstrem .

Tanda cukup adanya ekstrem suatu fungsi dua variabel. Pada intinya P terdapat ekstrem dari fungsi dua variabel jika berada di sekitar titik ini peningkatan fungsi penuh tidak berubah tanda. Karena pada titik kritis diferensial total pertama sama dengan nol, kenaikan fungsi menentukan diferensial total kedua

Pemahaman terbaik tentang penerapan diferensial total akan diperoleh dengan mempelajari dan mempraktekkan langkah 3 dan 4 dari algoritma untuk mencari ekstrem suatu fungsi dua variabel, yang mengikuti poin kedua dari pelajaran ini.

Sifat lokal dari ekstrem suatu fungsi dua variabel. Maksimum suatu fungsi dari dua variabel di bagian mana pun dari domain definisi fungsi tersebut belum tentu maksimum secara keseluruhan domain definisi, sebagaimana nilai minimum di suatu wilayah bukanlah nilai minimum di seluruh domain definisi. Mari kita perhatikan tinggi gelombang pada suatu bagian wilayah pesisir laut (bagian tersebut lebih kecil dari wilayah tersebut). Kemudian di kawasan ini kita bisa mencatat (minimal secara visual) tinggi gelombang tertinggi. Namun di daerah lain, dimana angin menyebabkan tinggi gelombang lebih besar, kami mencatat tinggi gelombang minimum. Artinya tinggi gelombang maksimum pada bagian pertama mungkin lebih kecil dari tinggi gelombang minimum pada bagian kedua. Oleh karena itu, seperti halnya ekstrem suatu fungsi satu variabel, konsep ini perlu diperjelas dan dibicarakan ekstrem sebagai ekstrem lokal suatu fungsi dua variabel.

Algoritma mencari ekstrem fungsi dua variabel dan contoh penyelesaiannya

Algoritme untuk mencari ekstrem suatu fungsi dua variabel adalah yang paling menarik, karena, pertama, berbeda dengan algoritma untuk mencari ekstrem suatu fungsi dari satu variabel, dan kedua, dengan analoginya, algoritma untuk mencari a fungsi dari tiga variabel dapat dibuat. Secara khusus, perlu dilakukan perhitungan kualifikasi .

Jadi, algoritma untuk mencari ekstrem suatu fungsi dua variabel.

Fungsi dari dua variabel diberikan.

Langkah 2. Kami menyusun sistem persamaan dari persamaan turunan ini dengan nol (persamaannya dengan nol adalah tanda penting dari keberadaan ekstrem):

Solusi dari sistem persamaan ini adalah titik-titik ekstrem yang mungkin - titik kritis.

Langkah 3. Misalkan titik kritis yang ditemukan pada langkah 2. Untuk memastikan bahwa terdapat ekstrem dari fungsi dua variabel pada titik tersebut, kita cari turunan parsial orde kedua

sebagai turunan parsial dari turunan parsial orde pertama yang ditemukan pada langkah 1.

Langkah 4. Kami menetapkan sebutan huruf pada turunan parsial orde kedua yang ditemukan pada langkah 3:

Langkah 4. Kami menemukan determinannya:

, yaitu tidak ada titik ekstrem pada titik kritis yang ditemukan,

dan , yaitu pada titik kritis yang ditemukan terdapat minimal fungsi dua variabel,

dan , yaitu pada titik kritis yang ditemukan terdapat fungsi maksimum dua variabel.

Definisi 1. Titik M(x 0 ; y 0) disebut titik maksimum (minimum) dari fungsi z = f(x; y) jika terdapat lingkungan titik M sedemikian rupa sehingga untuk semua titik (x; y) dari titik ini lingkungan yang memiliki ketimpangan berikut:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Teorema 1 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem) . Jika suatu fungsi terdiferensiasi z = f(x; y) mencapai titik ekstrem di titik M(x 0 ; y 0), maka turunan parsial orde pertama pada titik ini sama dengan nol, yaitu.
;

Titik yang turunan parsialnya sama dengan nol disebut tidak bergerak atau poin kritis.

Teorema 2 (kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem)

Misalkan fungsi z = f(x; y):

a) didefinisikan di lingkungan tertentu dari titik (x 0 ; y 0), di mana
Dan
;

b) memiliki turunan parsial kontinu orde kedua pada titik ini

;

Maka jika  = AC  B 2 > 0, maka di titik (x 0 ; y 0) fungsi z = f(x; y) mempunyai titik ekstrem, dan jika A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (atau C > 0) – minimum. Dalam kasus  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Contoh 1. Tentukan ekstrem dari fungsi z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Larutan. Mari kita cari turunan parsial orde pertama:

Mari kita gunakan kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem:

Memecahkan sistem persamaan, kita mencari koordinat x dan y dari titik-titik stasioner: x = 0; y = 3, yaitu M(0; 3).

Mari kita hitung turunan parsial orde kedua dan cari nilainya di titik M.

SEBUAH =
= 2; C =
= 2;

B =
.

Mari kita buat diskriminannya  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Oleh karena itu, pada titik M(0; 3) fungsi yang diberikan memiliki minimum. Nilai fungsi pada titik ini adalah z min = 9.

Temukan fungsi ekstrem

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 kamu 2  x + 6 tahun

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dua variabel dalam domain tertutup

Untuk menemukan terbesar Dan paling sedikit nilai suatu fungsi di wilayah tertutup, Anda perlu:

1) menemukan titik-titik kritis yang terletak pada suatu area tertentu dan menghitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut;

2) mencari titik-titik kritis pada batas daerah dan menghitung nilai fungsi terbesar dan terkecil pada titik tersebut;

3) dari semua nilai yang ditemukan, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh 2. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi z =
dalam lingkaran x 2 + y 2  1.

Larutan. Mari kita cari koordinat titik-titik kritis yang terletak di dalam daerah yang ditinjau, lalu kita menghitung turunan parsial orde pertama dari fungsi z dan menyamakannya dengan nol.

dimana x = 0, y = 0 dan oleh karena itu, M(0; 0) adalah titik kritis.

Mari kita hitung nilai fungsi z di titik M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Mari kita cari titik kritis pada batas daerah - lingkaran yang ditentukan oleh persamaan x 2 + y 2 = 1. Substitusikan y 2 = 1 - x 2 ke dalam fungsi z = z(x; y), kita peroleh suatu fungsi dari satu variabel

z =
;

dimana x[1; 1].

Setelah menghitung turunannya
dan menyamakannya dengan nol, diperoleh titik-titik kritis pada batas daerah x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Mari kita cari nilai fungsi z(x) =
pada titik kritis dan pada ujung ruas [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Mari kita pilih yang terbesar dan terkecil di antara nilai-nilai fungsi z pada titik-titik kritis yang terletak di dalam dan di batas lingkaran.

Jadi, z maks. = z(0; 0) = 2

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam daerah definisi fungsi di mana nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 domain fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 domain fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X2 minimum.

Katakanlah titik X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, oleh karena itu turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, oleh karena itu, turunan suatu fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun, dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat, dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (tanda penting keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika intinya X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada intinya X= 0 turunan fungsinya adalah nol, maka intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti dapat dilihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus ada bukti yang cukup, memungkinkan seseorang untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan jenis ekstremnya - maksimum atau minimum.

Teorema (tanda cukup pertama dari keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) jika melalui titik ini turunan fungsi tersebut berubah tanda, dan jika tandanya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka itu adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka itu adalah poin minimum.

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya turunan tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di lingkungan titik tertentu. X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada yang ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk setiap nilai “x” penyebutnya tidak sama dengan nol, kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya berkurang,

pada selang waktu 3 sampai plus tak terhingga terdapat tanda tambah, yaitu fungsinya bertambah.

Artinya, titik X= 3 adalah poin minimum.

Mari kita cari nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0), dan itu adalah titik minimum.

Teorema (tanda cukup kedua dari keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), dan jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada intinya X0 Jika turunan pertama dan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan kriteria cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi tidak berlaku meskipun turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, Anda juga perlu menggunakan tanda cukup pertama dari suatu fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai di dekatnya.

Katakanlah Anda melihat penghasilan Anda selama periode satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan bulan Oktober adalah minimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, pada suatu interval suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem, dan mungkin saja suatu fungsi minimum lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, kita tidak boleh berpikir bahwa maksimum dan minimum suatu fungsi masing-masing adalah nilai terbesar dan terkecil pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum mempunyai nilai terkecil hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai tersebut. ​​yang pada semua titiknya cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperjelas konsep titik ekstrem suatu fungsi di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, titik kritisnya hanyalah titik di mana, yaitu. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain definisi fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Mari kita pilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan temukan tanda turunannya di titik ini.

Untuk interval, titik kendalinya dapat berupa: temukan. Mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan, dan mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan. Jadi, di interval dan , dan di interval . Menurut kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada suatu titik (karena turunannya tetap memiliki tanda dalam interval), dan pada titik tersebut fungsinya memiliki minimum (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Mari kita cari nilai fungsi yang sesuai: , a . Pada interval fungsi tersebut berkurang, karena pada interval ini , dan pada interval tersebut meningkat, karena pada interval ini .

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya adalah dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi tersebut ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal definisi suatu fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya akan memeriksa titik menggunakan kriteria cukup kedua untuk suatu ekstrem. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di: kita peroleh . Karena dan , ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas domain definisinya:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol dari kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol dari kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik suatu fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8. Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan. Mari kita cari domain definisi fungsinya. Karena pertidaksamaan harus dipenuhi, maka diperoleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut.

Algoritma sederhana untuk menemukan ekstrem..

• Menemukan turunan dari fungsi tersebut
• Kami menyamakan turunan ini dengan nol
• Kami menemukan nilai variabel dari ekspresi yang dihasilkan (nilai variabel di mana turunannya diubah menjadi nol)
• Dengan menggunakan nilai-nilai ini, kita membagi garis koordinat menjadi beberapa interval (jangan lupa tentang titik putus, yang juga perlu diplot pada garis), semua titik ini disebut titik “mencurigakan” untuk titik ekstrem
• Kami menghitung interval mana yang turunannya positif dan mana yang negatif. Untuk melakukan ini, Anda perlu mensubstitusikan nilai dari interval ke dalam turunannya.

Dari titik-titik yang mencurigakan secara ekstrem, perlu ditemukan . Untuk melakukan ini, kita melihat interval kita pada garis koordinat. Jika ketika melewati suatu titik tanda turunannya berubah dari plus ke minus, maka titik tersebut adalah maksimum, dan jika dari minus ke plus, maka minimum.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi, Anda perlu menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik ekstrem. Kemudian pilih nilai terbesar dan terkecil.

Mari kita lihat sebuah contoh
Kami menemukan turunannya dan menyamakannya dengan nol:

Kami memplot nilai variabel yang diperoleh pada garis koordinat dan menghitung tanda turunannya pada setiap interval. Misalnya, untuk yang pertama mari kita ambil-2 , maka turunannya akan sama-0,24 , untuk yang kedua kita ambil0 , maka turunannya adalah2 , dan untuk yang ketiga kita ambil2 , maka turunannya adalah-0,24. Kami memasang tanda-tanda yang sesuai.

Kita lihat ketika melewati titik -1, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, yaitu titik minimum, dan ketika melewati 1, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, ini akan menjadi titik maksimal.

Perkenalan

Dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan kegiatan praktis, sering kali kita harus menghadapi masalah dalam menemukan ekstrem suatu fungsi. Faktanya adalah banyak masalah teknis, ekonomi, dll. proses dimodelkan oleh suatu fungsi atau beberapa fungsi yang bergantung pada variabel – faktor yang mempengaruhi keadaan fenomena yang dimodelkan. Penting untuk menemukan ekstrem dari fungsi-fungsi tersebut untuk menentukan keadaan optimal (rasional) dan pengendalian proses. Jadi dalam ilmu ekonomi, masalah meminimalkan biaya atau memaksimalkan keuntungan sering kali terpecahkan - masalah mikroekonomi perusahaan. Dalam karya ini, kami tidak mempertimbangkan masalah pemodelan, tetapi hanya mempertimbangkan algoritma untuk mencari fungsi ekstrem dalam versi paling sederhana, ketika tidak ada batasan yang dikenakan pada variabel (optimasi tanpa syarat), dan ekstrem hanya dicari untuk satu fungsi tujuan.

EKSTREMA FUNGSI

Perhatikan grafik fungsi kontinu kamu=f(x) ditunjukkan pada gambar. Nilai fungsi pada suatu titik X 1 akan lebih besar dari nilai fungsi di semua titik tetangga baik di kiri maupun di kanan X 1 . Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X maksimal 1. Pada intinya X Fungsi 3 jelas juga sudah maksimal. Jika kita mempertimbangkan intinya X 2, maka nilai fungsi di dalamnya lebih kecil dari semua nilai tetangganya. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X minimal 2. Begitupun untuk intinya X 4 .

Fungsi kamu=f(x) pada intinya X 0 punya maksimum, jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilainya di semua titik pada suatu interval yang memuat titik tersebut X 0, yaitu jika ada lingkungan suatu titik X 0, yang diperuntukkan bagi semua orang X≠X 0 , milik lingkungan ini, kesenjangan tetap ada f(x)<f(x 0 ) .

Fungsi kamu=f(x) Memiliki minimum pada intinya X 0 , jika ada lingkungan suatu titik X 0 , itu untuk semua orang X≠X 0 milik lingkungan ini, ketimpangan tetap ada f(x)>f(x 0.

Titik-titik di mana fungsi mencapai maksimum dan minimum disebut titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem fungsi.

Mari kita perhatikan fakta bahwa suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu segmen dapat mencapai maksimum dan minimumnya hanya pada titik-titik yang terdapat dalam segmen yang ditinjau.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi mempunyai nilai maksimum pada suatu titik, hal ini tidak berarti bahwa pada titik tersebut fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar di seluruh domain definisi. Pada gambar yang dibahas di atas, fungsi pada titik X 1 mempunyai nilai maksimum, meskipun ada titik yang nilai fungsinya lebih besar dari pada titik tersebut X 1 . Secara khusus, F(X 1) < F(X 4) yaitu minimum suatu fungsi lebih besar dari maksimum. Dari definisi maksimum hanya dapat disimpulkan bahwa ini adalah nilai fungsi terbesar pada titik-titik yang cukup dekat dengan titik maksimum.

Teorema 1. (Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem.) Jika fungsi terdiferensiasi kamu=f(x) ada pada intinya x=x 0 ekstrem, maka turunannya pada titik ini menjadi nol.

Bukti. Biarlah, untuk lebih jelasnya, pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum. Kemudian, untuk kenaikan yang cukup kecil Δ X kita punya f(x 0 + Δ X) 0 ) , yaitu.

Tapi kemudian

Meneruskan pertidaksamaan ini hingga batasnya di Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan oleh karena itu limit di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ X→ 0, kita mendapatkan: di Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a pada Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Sejak F"(X 0) mendefinisikan suatu bilangan, maka kedua pertidaksamaan ini kompatibel hanya jika F"(X 0) = 0.

Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat berada di antara nilai argumen yang turunannya menjadi nol.

Kami mempertimbangkan kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik pada segmen tertentu. Bagaimana situasi jika turunannya tidak ada? Mari kita lihat contohnya.

kamu=|X|.

Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan pada titik tersebut X=0 (pada titik ini grafik fungsi tidak memiliki garis singgung tertentu), tetapi pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum, karena kamu(0)=0, dan untuk semua X≠ 0kamu > 0.

tidak memiliki turunan di X=0, karena ia menuju tak terhingga di X=0. Namun saat ini fungsinya sudah maksimal. tidak memiliki turunan di X=0, sejak kapan X→0. Pada titik ini fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Benar-benar, f(x)=0 dan pada X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.

Jadi, dari contoh-contoh yang diberikan dan teorema yang dirumuskan, jelas bahwa suatu fungsi dapat mempunyai ekstrem hanya dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik dimana turunannya tidak ada.

Namun, jika suatu saat nanti X 0 kita tahu itu f "(x 0 ) =0, maka seseorang tidak dapat menyimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsinya memiliki ekstrem.

Misalnya.

.

Tapi titik X=0 bukan merupakan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah sumbu Sapi, dan di kanan atas.

Nilai suatu argumen dari domain suatu fungsi yang turunannya dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada disebut poin kritis.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik ekstrem suatu fungsi termasuk titik kritis, namun tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis fungsi tersebut, lalu memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk mengetahui nilai maksimum dan minimumnya. Teorema berikut memenuhi tujuan ini.

Teorema 2. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada interval tertentu yang mengandung titik kritis X 0, dan terdiferensiasi di semua titik pada interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika ketika bergerak dari kiri ke kanan melalui titik ini, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka di titik tersebut X = X 0 fungsi memiliki maksimum. Jika, saat melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsinya mempunyai minimum pada titik ini.

Jadi, jika

f "(x)>0 jam X<X 0 dan f "(x)< 0 jam x>x 0, lalu X 0 – titik maksimum;

pada X<X 0 dan f "(x)> 0 jam x>x 0, lalu X 0 – titik minimum.

Bukti. Mari kita asumsikan dulu ketika melewatinya X 0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu di depan semua orang X, dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f "(x)< 0 untuk x>x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dimana C berada diantara X Dan X 0 .

Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(x- x 0)< 0 dan karena itu

f(x) - f(x 0 )< 0, yaitu f(x)< f(x 0 ).

Membiarkan x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f "(c)< 0. Cara f "(c)(x- x 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat dengan X 0 f(x)< f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum.

Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.

Mari kita ilustrasikan arti teorema ini pada gambar. Membiarkan f "(x 1 ) =0 dan untuk apa pun X, cukup dekat dengan X 1, ketidaksetaraan terpenuhi

f "(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x>x 1 .

Lalu ke kiri titik X 1 fungsi bertambah dan berkurang di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik ke turun, yaitu maksimal.

Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .

Semua hal di atas dapat digambarkan secara skematis pada gambar:

Aturan mempelajari fungsi y=f(x) untuk ekstrem

Temukan domain suatu fungsi f(x).

Temukan turunan pertama suatu fungsi f "(x).

Tentukan titik kritis untuk ini:

carilah akar-akar persamaan yang sebenarnya f "(x)=0;

temukan semua nilai X yang turunannya f "(x) tidak ada.

Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunan tetap konstan antara dua titik kritis, maka cukup menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan satu titik di kanan titik kritis tersebut.

Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.