Pada artikel ini kita akan menemukan jawaban atas pertanyaan tentang cara membuat proyeksi suatu titik pada suatu bidang dan cara menentukan koordinat proyeksi tersebut. Pada bagian teoritis kita akan mengandalkan konsep proyeksi. Kami akan mendefinisikan istilah dan memberikan informasi dengan ilustrasi. Mari kita konsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan contoh.

Yandex.RTB RA-339285-1

Proyeksi, jenis proyeksi

Untuk kenyamanan melihat figur spasial, digunakan gambar yang menggambarkan figur tersebut.

Definisi 1

Proyeksi suatu gambar ke bidang datar– menggambar sosok spasial.

Jelasnya, ada sejumlah aturan yang digunakan untuk membuat proyeksi.

Definisi 2

Proyeksi– proses membuat gambar bangun ruang pada bidang datar dengan menggunakan aturan konstruksi.

Bidang proyeksi- ini adalah bidang tempat gambar dibuat.

Penggunaan aturan tertentu menentukan jenis proyeksi: pusat atau paralel.

Kasus khusus dari proyeksi paralel adalah proyeksi tegak lurus atau ortogonal: dalam geometri ini terutama digunakan. Oleh karena itu, dalam tuturan, kata sifat “tegak lurus” sendiri sering dihilangkan: dalam geometri mereka hanya mengatakan “proyeksi suatu bangun” dan yang mereka maksud adalah membuat proyeksi dengan menggunakan metode proyeksi tegak lurus. Dalam kasus khusus, tentu saja ada hal lain yang bisa disepakati.

Mari kita perhatikan fakta bahwa proyeksi suatu bangun ke suatu bidang pada dasarnya adalah proyeksi semua titik pada bangun tersebut. Oleh karena itu, untuk dapat mempelajari suatu bangun ruang dalam suatu gambar, diperlukan keterampilan dasar memproyeksikan suatu titik pada suatu bidang. Apa yang akan kita bicarakan di bawah ini.

Ingatlah bahwa paling sering dalam geometri, ketika berbicara tentang proyeksi ke bidang, yang mereka maksud adalah penggunaan proyeksi tegak lurus.

Mari kita membuat konstruksi yang memberi kita kesempatan untuk memperoleh definisi proyeksi suatu titik pada suatu bidang.

Misalkan diberikan ruang tiga dimensi, dan di dalamnya terdapat bidang α dan titik M 1 yang bukan milik bidang α. Tariklah garis lurus melalui titik M A tegak lurus terhadap bidang tertentu α. Titik perpotongan garis lurus a dan bidang α kita nyatakan sebagai H 1, berdasarkan konstruksi, garis tersebut akan berfungsi sebagai alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M 1 ke bidang α.

Jika suatu titik M 2 diberikan, yang termasuk dalam bidang α tertentu, maka M 2 akan berfungsi sebagai proyeksi dirinya ke bidang α.

Definisi 3

- ini bisa berupa titik itu sendiri (jika termasuk dalam bidang tertentu), atau alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentu ke bidang tertentu.

Menemukan koordinat proyeksi suatu titik pada bidang, contoh

Misalkan diberikan dalam ruang tiga dimensi: sistem koordinat persegi panjang O x y z, bidang α, titik M 1 (x 1, y 1, z 1). Kita perlu mencari koordinat proyeksi titik M 1 pada bidang tertentu.

Penyelesaiannya tentu saja mengikuti definisi yang diberikan di atas tentang proyeksi suatu titik pada suatu bidang.

Mari kita nyatakan proyeksi titik M 1 ke bidang α sebagai H 1 . Menurut definisinya, H 1 adalah titik potong suatu bidang tertentu dan garis lurus a yang melalui titik M 1 (tegak lurus terhadap bidang). Itu. Koordinat proyeksi titik M1 yang kita butuhkan adalah koordinat titik potong garis lurus a dan bidang α.

Jadi, untuk mencari koordinat proyeksi suatu titik pada suatu bidang perlu:

Dapatkan persamaan bidang α (jika tidak ditentukan). Artikel tentang jenis-jenis persamaan bidang akan membantu Anda di sini;

Menentukan persamaan garis lurus a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang (pelajari topik persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus bidang tertentu);

Temukan koordinat titik potong garis lurus a dan bidang (artikel - mencari koordinat titik potong bidang dan garis). Data yang diperoleh akan menjadi koordinat yang kita perlukan untuk proyeksi titik M 1 ke bidang α.

Mari kita lihat teorinya dengan contoh praktis.

Contoh 1

Tentukan koordinat proyeksi titik M 1 (- 2, 4, 4) pada bidang 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Larutan

Seperti yang bisa kita lihat, persamaan bidang diberikan kepada kita, yaitu. tidak perlu mengkompilasinya.

Mari kita tuliskan persamaan kanonik garis lurus a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang tertentu. Untuk keperluan ini, kita menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Karena garis a tegak lurus terhadap suatu bidang, maka vektor arah garis a adalah vektor normal bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dengan demikian, a → = (2, - 3, 1) – vektor arah garis lurus a.

Sekarang kita akan membuat persamaan kanonik suatu garis dalam ruang yang melalui titik M 1 (- 2, 4, 4) dan mempunyai vektor arah a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Untuk mencari koordinat yang diperlukan, langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat titik potong garis lurus x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 dan bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Untuk tujuan ini, kita beralih dari persamaan kanonik ke persamaan dua bidang yang berpotongan:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Mari kita buat sistem persamaan:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Dan mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Jadi, koordinat yang diperlukan dari suatu titik M 1 pada bidang tertentu adalah: (0, 1, 5).

Menjawab: (0 , 1 , 5) .

Contoh 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, diberikan titik A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) dan M 1 (-1, -2, 5). Kita perlu mencari koordinat proyeksi M 1 pada bidang A B C

Larutan

Pertama-tama, kita tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Mari kita tuliskan persamaan parametrik garis a yang melalui titik M 1 tegak lurus bidang A B C. Bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 mempunyai vektor normal dengan koordinat (1, - 2, 2), yaitu vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor arah garis lurus a.

Sekarang, dengan memiliki koordinat titik garis M 1 dan koordinat vektor arah garis tersebut, kita tuliskan persamaan parametrik garis dalam ruang:

Kemudian kita tentukan koordinat titik potong bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 dan garis lurus

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Untuk melakukan ini, kita substitusikan ke dalam persamaan bidang:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Sekarang, dengan menggunakan persamaan parametrik x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, kita cari nilai variabel x, y dan z untuk λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Jadi proyeksi titik M 1 pada bidang A B C akan mempunyai koordinat (- 2, 0, 3).

Menjawab: (- 2 , 0 , 3) .

Mari kita bahas secara terpisah masalah pencarian koordinat proyeksi suatu titik pada bidang koordinat dan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Misalkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan bidang koordinat O x y, O x z dan O y z diberikan. Koordinat proyeksi titik ini pada bidang-bidang tersebut berturut-turut adalah: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) dan (0, y 1, z 1). Mari kita perhatikan juga bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat yang diberikan:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Dan proyeksi suatu titik M 1 pada bidang-bidang tersebut adalah titik-titik dengan koordinat x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 dan - D A, y 1, z 1.

Mari kita tunjukkan bagaimana hasil ini diperoleh.

Sebagai contoh, mari kita tentukan proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang A x + D = 0. Kasus-kasus lainnya serupa.

Bidang tertentu sejajar dengan bidang koordinat O y z dan i → = (1, 0, 0) adalah vektor normalnya. Vektor yang sama berfungsi sebagai vektor arah garis yang tegak lurus bidang O y z. Maka persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik M 1 dan tegak lurus suatu bidang tertentu akan berbentuk:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Mari kita cari koordinat titik potong garis ini dan bidang tertentu. Mari kita substitusikan dulu persamaan-persamaan tersebut ke dalam persamaan A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 dan dapatkan: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Kemudian kita menghitung koordinat yang diperlukan menggunakan persamaan parametrik garis lurus dengan λ = - D A - x 1 :

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Artinya, proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang akan berupa titik dengan koordinat - D A, y 1, z 1.

Contoh 2

Koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) harus ditentukan pada bidang koordinat O x y dan pada bidang 2 y - 3 = 0.

Larutan

Bidang koordinat O x y akan sesuai dengan persamaan umum bidang z = 0 yang tidak lengkap. Proyeksi titik M 1 pada bidang z = 0 mempunyai koordinat (- 6, 0, 0).

Persamaan bidang 2 y - 3 = 0 dapat dituliskan sebagai y = 3 2 2. Sekarang tuliskan saja koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) pada bidang y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Menjawab:(- 6 , 0 , 0) dan - 6 , 3 2 2 , 1 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Proyeksi(lat. Projicio - lempar ke depan) - proses memperoleh gambar suatu objek (objek spasial) pada permukaan apa pun dengan menggunakan cahaya atau sinar visual (sinar yang secara kondisional menghubungkan mata pengamat dengan titik mana pun dari objek spasial), yang disebut memproyeksikan.

Ada dua metode proyeksi yang diketahui: pusat Dan paralel .

Pusatproyeksi terdiri dari menggambar melalui setiap titik ( A, B, C,...) dari objek yang digambarkan dan dipilih dengan cara tertentu pusat proyeksi (S) garis lurus ( S.A., S.B., >… — sinar proyeksi).

Gambar 1.1 – Proyeksi pusat

Mari kita perkenalkan notasi berikut (Gambar 1.1):

S– pusat proyeksi (mata pengamat);

π 1 – bidang proyeksi;

A, B, C

S.A., S.B.– memproyeksikan garis lurus (memproyeksikan sinar).

Catatan: menggunakan tombol kiri mouse Anda dapat memindahkan suatu titik pada bidang horizontal; ketika Anda mengklik suatu titik dengan tombol kiri mouse, arah pergerakan akan berubah dan Anda dapat memindahkannya secara vertikal.

Titik proyeksi pusat Titik potong garis proyeksi yang melalui pusat proyeksi dan benda proyeksi (titik) dengan bidang proyeksi disebut.

Properti 1. Setiap titik dalam ruang berhubungan dengan satu proyeksi, tetapi setiap titik pada bidang proyeksi berhubungan dengan banyak titik dalam ruang yang terletak pada garis proyeksi.

Mari kita buktikan pernyataan ini.

Pada Gambar 1.1: titik A 1 – proyeksi pusat titik A pada bidang proyeksi π 1. Namun semua titik yang terletak pada garis proyeksi dapat mempunyai proyeksi yang sama. Mari kita ambil garis proyeksi S.A. titik DENGAN. Proyeksi sentral suatu titik DENGAN(DENGAN 1) pada bidang proyeksi π 1 bertepatan dengan proyeksi suatu titik A(A 1):

1. DENGAN∈ S.A.;
2. S.C.∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ A 1 .

Kesimpulannya adalah bahwa dari proyeksi suatu titik seseorang tidak dapat secara jelas menilai posisinya dalam ruang.

Untuk menghilangkan ketidakpastian ini, mis. membuat gambar dapat dibalik, kami memperkenalkan bidang proyeksi lain (π 2) dan pusat proyeksi lainnya ( S 2) (Gambar 1.2).

Gambar 1.2 – Ilustrasi properti ke-1 dan ke-2

Mari kita buat proyeksi titik tersebut A pada bidang proyeksi π 2. Dari semua titik di ruang angkasa, hanya satu titik A memiliki proyeksinya A 1 ke bidang π 1 dan A 2 oleh π 2 secara bersamaan. Semua titik lain yang terletak pada sinar proyeksi akan memiliki setidaknya satu proyeksi yang berbeda dari proyeksi titik tersebut A(misalnya, titik DI DALAM).

Properti 2. Proyeksi garis lurus adalah garis lurus.

Mari kita buktikan sifat ini.

Mari kita hubungkan titik-titiknya A Dan DI DALAM satu sama lain (Gambar 1.2). Kami mendapatkan segmennya AB, mendefinisikan garis lurus. Segitiga Δ S.A.B. mendefinisikan bidang yang dilambangkan dengan σ. Diketahui dua bidang berpotongan pada suatu garis lurus: σ∩π 1 = A 1 DI DALAM 1 dimana A 1 DI DALAM 1 – proyeksi pusat dari garis lurus yang ditentukan oleh suatu segmen AB.

Metode proyeksi sentral adalah model persepsi gambar oleh mata, yang digunakan terutama dalam pembuatan gambar perspektif lokasi konstruksi, interior, serta dalam teknologi film dan optik. Metode proyeksi sentral tidak menyelesaikan tugas utama yang dihadapi insinyur - untuk secara akurat mencerminkan bentuk, ukuran suatu objek, dan rasio ukuran berbagai elemen.

1.2. Proyeksi paralel

Mari kita pertimbangkan metode proyeksi paralel. Mari kita terapkan tiga batasan yang memungkinkan kita, meskipun dengan mengorbankan kejelasan gambar, mendapatkan gambar yang lebih nyaman untuk digunakan dalam praktik:

1. Mari kita hilangkan kedua pusat proyeksi hingga tak terhingga. Dengan demikian, kita akan memastikan bahwa sinar yang diproyeksikan dari masing-masing pusat menjadi sejajar, dan akibatnya, rasio panjang sebenarnya dari setiap segmen garis lurus dan panjang proyeksinya hanya akan bergantung pada sudut kemiringan segmen tersebut terhadap proyeksi. bidang dan tidak bergantung pada posisi pusat proyeksi;
2. Mari kita perbaiki arah proyeksi relatif terhadap bidang proyeksi;
3. Mari kita letakkan bidang proyeksi tegak lurus satu sama lain, yang akan memudahkan perpindahan dari bayangan pada bidang proyeksi ke benda nyata di ruang angkasa.

Jadi, setelah menerapkan pembatasan ini pada metode proyeksi pusat, kami sampai pada kasus khususnya - metode proyeksi paralel(Gambar 1.3). Proyeksi, dimana sinar proyeksi yang melewati setiap titik benda sejajar dengan arah proyeksi yang dipilih P, ditelepon paralel .

Gambar 1.3 – Metode proyeksi paralel

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

R– arah proyeksi;

π 1 – bidang proyeksi horizontal;

A,B– objek proyeksi – titik;

A 1 dan DI DALAM 1 – proyeksi poin A Dan DI DALAM ke bidang proyeksi π 1.

Proyeksi paralel suatu titik adalah titik potong garis proyeksi yang sejajar dengan arah proyeksi tertentu R, dengan bidang proyeksi π 1.

Mari kita lihat poin-poinnya A Dan DI DALAM memproyeksikan sinar sejajar dengan arah proyeksi tertentu R. Sinar yang diproyeksikan melewati suatu titik A akan memotong bidang proyeksi π 1 di titik tersebut A 1. Demikian pula, sinar yang diproyeksikan melewati suatu titik DI DALAM memotong bidang proyeksi di titik tersebut DI DALAM 1. Menghubungkan titik-titik A 1 dan DI DALAM 1 , kita mendapatkan segmen A 1 DI DALAM 1 – proyeksi segmen AB ke bidang π 1.

1.3. Proyeksi ortogonal. Metode monge

Jika arah proyeksi R tegak lurus bidang proyeksi p 1, maka disebut proyeksi persegi panjang (Gambar 1.4),atau ortogonal (Orang yunani ortos- lurus, gonia– sudut), jika R tidak tegak lurus terhadap π 1, maka disebut proyeksi miring .

Segi empat A A 1 DI DALAM 1 DI DALAM mendefinisikan bidang γ, yang disebut proyeksi karena tegak lurus terhadap bidang π 1 (γ⊥π 1). Berikut ini kita hanya akan menggunakan proyeksi persegi panjang.

Gambar 1.4 - Proyeksi ortogonal Gambar 1.5 - Monge, Gaspard (1746-1818)

Pendiri proyeksi ortogonal adalah ilmuwan Perancis Gaspard Monge (Gambar 1.5).

Sebelum Monge, pembangun, seniman, dan ilmuwan memiliki informasi yang cukup signifikan tentang metode proyeksi, namun hanya Gaspard Monge yang pencipta geometri deskriptif sebagai ilmu.

Gaspard Monge lahir pada tanggal 9 Mei 1746 di kota kecil Beaune (Burgundy) di Perancis timur dalam keluarga pedagang lokal. Dia adalah anak tertua dari lima bersaudara, yang ayahnya, meskipun berasal dari keluarga rendahan dan relatif miskin, berusaha memberikan pendidikan terbaik yang tersedia pada saat itu bagi orang-orang dari kelas bawah. Putra keduanya, Louis, menjadi profesor matematika dan astronomi, yang bungsu, Jean, juga menjadi profesor matematika, hidrografi, dan navigasi. Gaspard Monge menerima pendidikan awalnya di sekolah kota Oratorian Oratorian. Setelah lulus pada tahun 1762 sebagai siswa terbaik, ia masuk perguruan tinggi Lyon, yang juga milik Oratorian. Gaspard segera dipercaya untuk mengajar fisika di sana. Pada musim panas 1764, Monge membuat rencana yang sangat akurat tentang kampung halamannya di Beaune. Metode dan instrumen yang diperlukan untuk mengukur sudut dan menggambar garis ditemukan oleh penyusunnya sendiri.

Saat belajar di Lyon, ia menerima tawaran untuk bergabung dengan ordo dan tetap menjadi guru perguruan tinggi, namun, setelah menunjukkan kemampuan hebat dalam matematika, menggambar, dan menggambar, ia berhasil masuk ke Sekolah Insinyur Militer Mézières, tetapi (karena untuk asal usulnya) hanya sebagai bintara pembantu dan tanpa gaji. Namun, keberhasilan dalam ilmu eksakta dan solusi orisinal untuk salah satu masalah penting benteng (penempatan benteng tergantung pada lokasi artileri musuh) memungkinkannya pada tahun 1769 menjadi asisten (asisten guru) dalam matematika, dan kemudian di fisika, dan dengan gaji yang layak sebesar 1800 livre per tahun.

Pada tahun 1770, pada usia 24 tahun, Monge menjabat sebagai profesor di dua departemen secara bersamaan - matematika dan fisika, dan, sebagai tambahan, mengajar kelas pemotongan batu. Dimulai dengan tugas memotong batu secara akurat sesuai dengan sketsa yang diberikan sehubungan dengan arsitektur dan benteng, Monge sampai pada penciptaan metode yang kemudian ia generalisasikan dalam ilmu baru - geometri deskriptif, yang dianggap sebagai penciptanya. Mempertimbangkan kemungkinan penggunaan metode geometri deskriptif untuk tujuan militer dalam pembangunan benteng, pimpinan sekolah Mézières tidak mengizinkan publikasi terbuka sampai tahun 1799; Geometri deskriptif (Deskriptif geometri) (rekaman singkat dari kuliah ini dibuat pada tahun 1795). Pendekatan memberikan ceramah tentang ilmu ini dan melakukan latihan-latihan yang diuraikan di dalamnya masih bertahan hingga saat ini. Karya penting Monge lainnya adalah Penerapan analisis pada geometri (Aplikasi de l'analisis à la geometri, 1795) - adalah buku teks geometri analitik, yang di dalamnya penekanan khusus diberikan pada hubungan diferensial.

Pada tahun 1780 ia terpilih menjadi anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, dan pada tahun 1794 ia menjadi direktur Ecole Polytechnique. Selama delapan bulan ia menjabat sebagai Menteri Angkatan Laut di pemerintahan Napoleon, bertanggung jawab atas pabrik mesiu dan meriam di republik tersebut, dan menemani Napoleon dalam ekspedisinya ke Mesir (1798–1801). Napoleon memberinya gelar bangsawan dan memberinya banyak penghargaan lainnya.

Metode Monge dalam menggambarkan objek terdiri dari dua poin utama:

1. Kedudukan suatu benda geometri dalam ruang, dalam contoh ini titik A, dianggap relatif terhadap dua bidang yang saling tegak lurus π 1 dan π 2(Gambar 1.6).

Mereka secara konvensional membagi ruang menjadi empat kuadran. Dot A terletak di kuadran pertama. Sistem koordinat Cartesian menjadi dasar proyeksi Monge. Monge mengganti konsep sumbu proyeksi dengan garis perpotongan bidang proyeksi (sumbu koordinat) dan mengusulkan penggabungan bidang koordinat menjadi satu dengan cara memutarnya mengelilingi sumbu koordinat.

Gambar 1.6 – Model untuk membuat proyeksi titik

π 1 – bidang proyeksi horizontal (pertama).

π 2 – bidang proyeksi frontal (kedua).

π 1 ∩π 2 - sumbu proyeksi (dilambangkan π 2 /π 1)

Mari kita lihat contoh proyeksi titik A pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus π 1 dan π 2.

Mari kita mulai dari intinya A tegak lurus (sinar proyeksi) pada bidang π 1 dan π 2 dan tandai alasnya, yaitu titik potong garis tegak lurus (sinar proyeksi) dengan bidang proyeksi. A 1 – proyeksi titik horizontal (pertama). A;A 2 – proyeksi titik secara frontal (kedua). A;A A 1 dan A A 2 – memproyeksikan garis lurus. Panah menunjukkan arah proyeksi pada bidang proyeksi π 1 dan π 2. Sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk secara jelas menentukan posisi suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi π 1 dan π 2:

A A 1 ⊥π 1

A 2 A 0 ⊥π 2 /π 1 A A 1 = A 2 A 0 - jarak dari titik A ke bidang π 1

A A 2 ⊥π 2

A 1 A 0 ⊥π 2 /π 1 A A 2 = A 1 A 0 - jarak dari titik A ke bidang π 2

2. Mari kita sejajarkan bidang proyeksi di sekitar sumbu proyeksi π 2 /π 1 menjadi satu bidang(π 1 dengan π 2), tetapi agar gambar tidak saling tumpang tindih, (dalam arah α, Gambar 1.6), kita memperoleh gambar yang disebut gambar persegi panjang (Gambar 1.7):

Gambar 1.7 – Gambar ortogonal

Persegi panjang atau ortogonal disebut Diagram monge .

Lurus A 2 A 1 dipanggil jalur komunikasi proyeksi , yang menghubungkan proyeksi titik yang berlawanan ( A 2 - depan dan A 1 - horizontal) selalu tegak lurus terhadap sumbu proyeksi (sumbu koordinat) A 2 A 1 ⊥π 2 /π 1 . Pada diagram, segmen yang ditandai dengan tanda kurung kurawal mewakili:

• A 0 A 1 – jarak dari titik A ke bidang π 2, sesuai dengan koordinat y A;
• A 0 A 2 – jarak dari titik A ke bidang π 1, sesuai dengan koordinat z A.

1.4. Proyeksi persegi panjang suatu titik. Properti Gambar Ortogonal

1. Dua proyeksi persegi panjang suatu titik terletak pada garis sambungan proyeksi yang sama, tegak lurus terhadap sumbu proyeksi.

2. Dua proyeksi persegi panjang suatu titik secara unik menentukan posisinya dalam ruang relatif terhadap bidang proyeksi.

Mari kita verifikasi validitas pernyataan terakhir, yang mana kita memutar bidang π 1 ke posisi semula (bila π 1 ⊥π 2). Untuk membangun suatu titik A diperlukan dari poin A 1 dan A 2 untuk mengembalikan sinar proyeksi, dan pada kenyataannya - masing-masing tegak lurus terhadap bidang π 1 dan π 2. Titik perpotongan garis tegak lurus ini menentukan titik yang diinginkan dalam ruang A. Perhatikan gambar ortogonal suatu titik A(Gambar 1.8).

Gambar 1.8 – Membuat diagram suatu titik

Mari kita perkenalkan bidang proyeksi (profil) ketiga π 3 tegak lurus terhadap π 1 dan π 2 (ditentukan oleh sumbu proyeksi π 2 /π 3).

Jarak dari proyeksi profil suatu titik ke sumbu vertikal proyeksi A‘ 0 A 3 memungkinkan Anda menentukan jarak dari suatu titik A ke bidang proyeksi frontal π 2. Diketahui bahwa posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan relatif terhadap sistem koordinat Kartesius dengan menggunakan tiga bilangan (koordinat) A(X A; Y A; Z A) atau relatif terhadap bidang proyeksi menggunakan dua proyeksi ortogonalnya ( A 1 =(X A; Y A); A 2 =(X A; Z A)). Dalam gambar ortogonal, dengan menggunakan dua proyeksi suatu titik, Anda dapat menentukan tiga koordinatnya dan, sebaliknya, dengan menggunakan tiga koordinat suatu titik, buatlah proyeksinya (Gambar 1.9, a dan b).

Gambar 1.9 – Membuat diagram suatu titik menggunakan koordinatnya

Berdasarkan lokasi proyeksi suatu titik pada diagram, seseorang dapat menilai lokasinya dalam ruang:

• A — A 1 terletak di bawah sumbu koordinat X, dan yang depan - A 2 – di atas sumbu X, maka kita dapat mengatakan itu intinya A termasuk dalam kuadran 1;
• jika ada proyeksi horizontal suatu titik pada diagram A — A 1 terletak di atas sumbu koordinat X, dan yang depan - A 2 – di bawah sumbu X, lalu tunjuk A termasuk dalam kuadran 3;
• A — A 1 dan A 2 terletak di atas sumbu X, lalu tunjuk A termasuk dalam kuadran 2;
• jika terdapat proyeksi horizontal dan frontal suatu titik pada diagram A — A 1 dan A 2 terletak di bawah poros X, lalu tunjuk A termasuk dalam kuadran ke-4;
• jika pada diagram proyeksi suatu titik berimpit dengan titik itu sendiri, berarti titik tersebut termasuk dalam bidang proyeksi;
• suatu titik yang termasuk dalam bidang proyeksi atau sumbu proyeksi (sumbu koordinat) disebut poin pribadi.

Untuk menentukan di kuadran ruang manakah suatu titik berada, cukup dengan menentukan tanda koordinat titik tersebut.

Ketergantungan kuadran pada posisi titik dan tanda koordinat

	X	Y	Z
SAYA	+	+	+
II	+	—	+
AKU AKU AKU	+	—	—
IV	+	+	—

Latihan

Buatlah proyeksi ortogonal suatu titik dengan koordinat A(60, 20, 40) dan tentukan di kuadran manakah titik tersebut berada.

Solusi untuk masalah: sepanjang sumbu SAPI menyisihkan nilai koordinat XA =60, lalu melalui titik ini pada sumbu SAPI kembalikan garis sambungan proyeksi yang tegak lurus SAPI, di mana nilai koordinat diplot ke atas ZA =40, dan bawah – nilai koordinat YA =20(Gambar 1.10). Semua koordinatnya positif, artinya titik tersebut terletak di kuadran pertama.

Gambar 1.10 – Solusi untuk masalah ini

1.5. Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Dengan menggunakan diagram, tentukan posisi titik relatif terhadap bidang proyeksi (Gambar 1.11).

Gambar 1.11

2. Lengkapi proyeksi ortogonal titik-titik yang hilang A, DI DALAM, DENGAN pada bidang proyeksi π 1, π 2, π 3 (Gambar 1.12).

Gambar 1.12

3. Buatlah proyeksi titik:

• E, titik simetris A relatif terhadap bidang proyeksi π 1 ;
• F, titik simetris DI DALAM relatif terhadap bidang proyeksi π 2 ;
• G, titik simetris DENGAN relatif terhadap sumbu proyeksi π 2 /π 1 ;
• H, titik simetris D relatif terhadap bidang garis bagi kuadran kedua dan keempat.

4. Buatlah proyeksi ortogonal suatu titik KE, terletak di kuadran kedua dan jauh dari bidang proyeksi π 1 kali 40 mm, dari π 2 kali 15 mm.

PROYEKSI Suatu TITIK.

SISTEM ORTHOGONAL DUA BIDANG PROYEKSI.

Inti dari metode proyeksi ortogonal adalah suatu benda diproyeksikan ke dua bidang yang saling tegak lurus dengan sinar-sinar yang ortogonal (tegak lurus) terhadap bidang-bidang tersebut.

Salah satu bidang proyeksi H ditempatkan secara horizontal, dan bidang V kedua ditempatkan secara vertikal. Bidang H disebut bidang proyeksi mendatar, V disebut bidang frontal. Bidang H dan V tidak terbatas dan buram. Garis perpotongan bidang proyeksi disebut sumbu koordinat dan dilambangkan SAPI. Bidang proyeksi membagi ruang menjadi empat sudut dihedral – perempat.

Ketika mempertimbangkan proyeksi ortogonal, diasumsikan bahwa pengamat berada pada kuartal pertama pada jarak yang sangat jauh dari bidang proyeksi. Karena bidang-bidang ini buram, hanya titik, garis, dan gambar yang terletak pada kuartal pertama yang sama yang akan terlihat oleh pengamat.

Saat membuat proyeksi, perlu diingat hal ini proyeksi ortogonal suatu titikalas garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik tertentu disebut bidangke pesawat ini.

Gambar tersebut menunjukkan suatu hal A dan proyeksi ortogonalnya sebuah 1 Dan sebuah 2.

Tanda titik sebuah 1 ditelepon proyeksi horisontal poin A, titik sebuah 2- dia proyeksi depan. Masing-masing merupakan alas tegak lurus yang ditarik dari suatu titik A masing-masing di pesawat H Dan V.

Hal ini dapat dibuktikan proyeksi titikselalu terletak pada garis lurus, tegak lurussumbu kulerOH dan memotong sumbu inipada titik yang sama. Memang, memproyeksikan sinar Asebuah 1 Dan Asebuah 2 tentukan bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi dan garis perpotongannya - sumbu OH. Pesawat ini berpotongan H Dan V dalam garis lurus sebuah 1aX Dan sebuah 1aX, yang terbentuk dengan sumbu SAPI dan satu sama lain membentuk sudut siku-siku dengan titik sudut di titik tersebut AX.

Hal sebaliknya juga berlaku, yaitu. jika titik diberikan pada bidang proyeksiA 1 Dan A 2 , terletak pada garis lurus yang berpotongan sumbu SAPIpada suatu titik tertentu pada sudut siku-siku,maka itu adalah proyeksi dari beberapa haltitik A. Titik ini ditentukan oleh perpotongan garis tegak lurus yang dibangun dari titik-titik tersebut A 1 Dan A 2 ke pesawat H Dan V.

Perhatikan bahwa posisi bidang proyeksi di ruang angkasa mungkin berbeda. Misalnya, kedua bidang, yang saling tegak lurus, dapat berbentuk vertikal. Namun bahkan dalam kasus ini, asumsi yang telah dibuktikan di atas tentang orientasi proyeksi titik-titik yang berlawanan terhadap sumbu tetap berlaku.

Untuk mendapatkan gambar datar yang terdiri dari proyeksi di atas, bidang H dikombinasikan dengan rotasi di sekitar sumbu SAPI dengan pesawat V, seperti yang ditunjukkan oleh panah pada gambar. Alhasil, bagian depannya setengah bidang H akan sejajar dengan setengah bidang bawah V, dan bagian belakang setengah bidang H- dengan setengah bidang atas V.

Gambar proyeksi yang bidang proyeksinya dengan segala sesuatu yang tergambar di atasnya digabungkan dengan cara tertentu satu sama lain disebut diagram(dari bahasa Prancis epure - menggambar). Gambar tersebut menunjukkan diagram suatu titik A.

Dengan metode menggabungkan bidang ini H Dan V proyeksi A 1 Dan A 2 akan terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu SAPI. Dalam hal ini adalah jarak A 1 sebuah x — dari proyeksi horizontal suatu titik ke sumbu SAPI A ke pesawat V, dan jarak A 2 sebuah x — dari proyeksi frontal suatu titik ke sumbu SAPI sama dengan jarak dari titik itu sendiri A ke pesawat H.

Mari kita sepakat untuk menyebut garis lurus yang menghubungkan proyeksi berlawanan suatu titik pada diagram jalur komunikasi proyeksi.

Posisi proyeksi titik-titik pada diagram bergantung pada kuartal mana titik tersebut berada. Jadi kalau intinya DI DALAM terletak pada kuarter kedua, kemudian setelah menggabungkan bidang-bidang tersebut, kedua proyeksi tersebut akan tampak terletak di atas sumbu SAPI.

Jika intinya DENGAN berada pada kuarter ketiga, maka proyeksi horizontalnya, setelah menggabungkan bidang-bidang, akan berada di atas sumbu, dan proyeksi depannya akan berada di bawah sumbu SAPI. Akhirnya kalau intinya D terletak pada kuarter keempat, maka kedua proyeksinya akan berada di bawah sumbu SAPI. Gambar tersebut menunjukkan poin-poinnya M Dan N, berbaring di bidang proyeksi. Pada posisi ini, suatu titik berimpit pada salah satu proyeksinya, sedangkan proyeksi lainnya terletak pada sumbunya SAPI. Ciri ini juga tercermin dalam penunjukannya: di dekat proyeksi yang titiknya bertepatan, huruf kapital ditulis tanpa indeks.

Perlu juga dicatat bahwa kedua proyeksi suatu titik bertepatan. Hal ini terjadi jika titik tersebut berada pada kuarter kedua atau keempat pada jarak yang sama dari bidang proyeksi. Kedua proyeksi tersebut digabungkan dengan titik itu sendiri jika titik tersebut terletak pada sumbu SAPI.

SISTEM ORTHOGONAL TIGA BIDANG PROYEKSI.

Ditunjukkan di atas bahwa dua proyeksi suatu titik menentukan posisinya dalam ruang. Karena setiap bangun atau benda merupakan kumpulan titik-titik, dapat dikatakan bahwa dua proyeksi ortogonal suatu benda (dengan adanya sebutan huruf) sepenuhnya menentukan bentuknya.

Namun, dalam praktik menggambarkan struktur bangunan, mesin, dan berbagai struktur teknik, timbul kebutuhan untuk membuat proyeksi tambahan. Mereka melakukan ini hanya dengan tujuan membuat gambar proyeksi lebih jelas dan mudah dibaca.

Model tiga bidang proyeksi ditunjukkan pada gambar. Bidang ketiga, tegak lurus dan H Dan V, dilambangkan dengan surat itu W dan dipanggil profil.

Proyeksi titik-titik pada bidang ini disebut juga profil, dan ditandai dengan huruf kapital atau angka dengan indeks 3 (AH,BH,Cz, ...1z, 2z, 3 3...).

Bidang proyeksi, berpotongan berpasangan, menentukan tiga sumbu: TENTANGX, TENTANGY Dan TENTANGZ, yang dapat dianggap sebagai sistem koordinat kartesius persegi panjang dalam ruang yang berawal di titik O. Sistem tanda yang ditunjukkan pada gambar sesuai dengan “sistem koordinat tangan kanan”.

Tiga bidang proyeksi membagi ruang menjadi delapan sudut segitiga - inilah yang disebut oktan. Penomoran oktan diberikan pada gambar.

Untuk mendapatkan diagram bidang H Dan W putar seperti terlihat pada gambar hingga sejajar dengan bidang V. Akibat putarannya, bagian depan setengah bidang H ternyata dipadukan dengan setengah bidang bawah V, dan bagian belakang setengah bidang H- dengan setengah bidang atas V. Ketika diputar 90° pada suatu sumbu TENTANGZ setengah bidang anterior W sejajar dengan setengah bidang kanan V, dan bagian belakang setengah bidang W- dengan setengah bidang kiri V.

Tampilan akhir dari semua bidang proyeksi gabungan diberikan pada gambar. Dalam gambar ini sumbunya TENTANGX Dan TENTANGZ, berbaring di pesawat tetap V, digambarkan hanya sekali, dan sumbu TENTANGY ditampilkan dua kali. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa, berputar bersama dengan pesawat H, sumbu TENTANGY pada diagram itu digabungkan dengan sumbu TENTANGZ, dan berputar bersama pesawat W, sumbu yang sama sejajar dengan sumbu TENTANGX.

Di masa depan, ketika menunjuk sumbu pada diagram, semi-sumbu negatif (— TENTANGX, — TENTANGY, — TENTANGZ) tidak akan ditunjukkan.

TIGA KOORDINAT DAN TIGA PROYEKSI Suatu TITIK DAN VEKTOR RADIUSNYA.

Koordinat adalah bilangan yangcocokkan titik yang akan ditentukanmengubah posisinya di ruang angkasa atau di ataspermukaan.

Dalam ruang tiga dimensi, posisi suatu titik ditentukan dengan menggunakan koordinat kartesius persegi panjang x, kamu Dan z.

Koordinat X ditelepon absis, pada— ordinat Dan z — menerapkan. Absis X menentukan jarak dari suatu titik tertentu ke suatu bidang W, ordinat kamu - ke pesawat V dan menerapkan z - ke pesawat H. Setelah mengadopsi sistem yang ditunjukkan pada gambar untuk mengukur koordinat suatu titik, kita akan membuat tabel tanda koordinat di kedelapan oktan. Titik mana pun di luar angkasa A, diberikan oleh koordinat akan dilambangkan sebagai berikut: A(x, kamu,z).

Jika x = 5, y = 4 dan z = 6, maka isiannya berbentuk berikut A(5, 4, 6). Poin ini A, semua koordinatnya positif, berada pada oktan pertama

Koordinat titik A pada saat yang sama adalah koordinat vektor jari-jarinya

OA sehubungan dengan asal usulnya. Jika Saya, J, k— vektor satuan masing-masing diarahkan sepanjang sumbu koordinat x, kamu,z(gambar), lalu

OA =TENTANGAxi+OAkamuJ + OAzk , Di mana OA X, OA U, OA g - koordinat vektor OA

Disarankan untuk membuat gambar titik itu sendiri dan proyeksinya pada model spasial (gambar) menggunakan koordinat parallelepiped persegi panjang. Pertama-tama, pada sumbu koordinat dari suatu titik TENTANG meletakkan segmen-segmen yang sama 5, 4 dan 6 satuan panjang. Di segmen ini (TENTANGsebuah x , TENTANGya , TENTANGsebuah z ), seperti di tepinya, sebuah parallelepiped persegi panjang dibangun. Titik puncaknya, yang berlawanan dengan titik asal, akan menentukan titik tertentu A. Sangat mudah untuk melihatnya untuk menentukan suatu titik A misalnya saja cukup untuk membuat tiga sisi paralelepiped TENTANGsebuah x , a x a 1 Dan A 1 A atau TENTANGya , ya a 1 Dan A 1 A dll. Tepi-tepi ini membentuk polyline koordinat, yang panjang setiap tautannya ditentukan oleh koordinat titik yang sesuai.

Namun, membuat paralelepiped memungkinkan Anda menentukan tidak hanya titiknya A, tetapi juga ketiga proyeksi ortogonalnya.

Sinar memproyeksikan suatu titik ke bidang H, V, W adalah ketiga sisi parallelepiped yang berpotongan di suatu titik A.

Masing-masing proyeksi ortogonal suatu titik A, terletak pada suatu bidang, ditentukan hanya oleh dua koordinat.

Jadi, proyeksi horizontal A 1 ditentukan oleh koordinat X Dan kamu, proyeksi depan A 2 — koordinat x danz, proyeksi profil A 3 — koordinat pada Dan z. Namun setiap dua proyeksi ditentukan oleh tiga koordinat. Itulah sebabnya menentukan suatu titik dengan dua proyeksi sama dengan menentukan suatu titik dengan tiga koordinat.

Pada diagram (gambar), di mana semua bidang proyeksi digabungkan, proyeksinya A 1 Dan A 2 akan berada pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu TENTANGX, dan proyeksi A 2 Dan A 3 — pada satu tegak lurus terhadap sumbu ONS.

Mengenai proyeksi A 1 Dan A 3 , kemudian dihubungkan dengan garis lurus A 1 ya Dan A 3 ya , tegak lurus terhadap sumbu TENTANGY. Tetapi karena sumbu ini menempati dua posisi pada diagram, maka segmennya A 1 ya tidak dapat menjadi kelanjutan suatu segmen A 3 ya .

Membangun proyeksi titik SEBUAH (5, 4, 6) pada diagram menurut koordinat yang diberikan, lakukan urutan sebagai berikut: pertama-tama, sebuah segmen diplot pada sumbu absis dari titik asal koordinat TENTANGsebuah x = x(dalam kasus kami x =5), lalu melalui titik tersebut sebuah x menggambar tegak lurus terhadap sumbu TENTANGX, di mana, dengan mempertimbangkan tanda-tandanya, kami memplot segmennya a x a 1 = kamu(kita mengerti A 1 ) Dan a x a 2 = z(kita mengerti A 2 ). Tetap membangun proyeksi profil titik tersebut A 3 . Karena profil dan proyeksi frontal suatu titik harus ditempatkan pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu ONS , lalu melalui A 3 melaksanakan secara langsung A 2 sebuah z ^ ONS.

Akhirnya muncul pertanyaan terakhir: berapa jarak dari sumbu TENTANGZ harusnya 3?

Mengingat koordinat parallelepiped (lihat gambar), yang ujung-ujungnya a z a 3 = HAI ya = a x a 1 = kamu kami menyimpulkan bahwa jarak yang diperlukan a z a 3 sama kamu. Segmen a z a 3 diletakkan di sebelah kanan sumbu OZ jika y>0, dan ke kiri jika y

Mari kita lihat perubahan apa saja yang terjadi pada diagram ketika suatu titik mulai berubah posisinya dalam ruang.

Misalnya, sebuah poin SEBUAH (5, 4, 6) akan bergerak lurus tegak lurus terhadap bidang V. Dengan pergerakan seperti itu, hanya satu koordinat yang akan berubah kamu, menunjukkan jarak dari suatu titik ke bidang V. Koordinatnya akan tetap konstan x danz , dan proyeksi suatu titik ditentukan oleh koordinat ini, yaitu. A 2 tidak akan mengubah posisinya.

Mengenai proyeksi A 1 Dan A 3 , maka yang pertama akan mulai mendekati sumbu TENTANGX, yang kedua - ke sumbu TENTANGZ. Pada gambar, posisi titik yang baru sesuai dengan penunjukannya A 1 (A 1 1 A 2 1 A 3 1 ). Pada saat titiknya ada di pesawat V(y = 0), dua dari tiga proyeksi ( A 1 2 Dan A 3 2 ) akan terletak pada sumbu.

Setelah pindah dari SAYA oktan masuk II, titik tersebut akan mulai menjauhi bidang V, koordinat pada menjadi negatif, nilai absolutnya akan meningkat. Proyeksi horizontal titik ini, terletak di setengah bidang belakang H, pada diagram itu akan berada di atas sumbu TENTANGX, dan proyeksi profil, berada di setengah bidang belakang W, pada diagram berada di sebelah kiri sumbu TENTANGZ. Seperti biasa, sebuah segmen sebuah zA 3 3 = kamu.

Pada diagram selanjutnya kami tidak akan menunjukkan dengan huruf titik potong sumbu koordinat dengan garis sambungan proyeksi. Ini akan menyederhanakan gambar sampai batas tertentu.

Nantinya akan ada diagram tanpa sumbu koordinat. Hal inilah yang dilakukan dalam praktek ketika menggambarkan objek, kapan hanya gambar itu sendiri yang pentingtion objek, dan bukan posisi relatifnyakhususnya bidang proyeksi.

Bidang proyeksi dalam hal ini ditentukan dengan ketelitian hanya sampai translasi paralel (gambar). Mereka biasanya dipindahkan sejajar dengan dirinya sedemikian rupa sehingga semua titik benda berada di atas bidang H dan di depan pesawat V. Karena posisi sumbu X 12 ternyata tidak pasti, maka pembentukan diagram dalam hal ini tidak perlu dikaitkan dengan perputaran bidang-bidang di sekitar sumbu koordinat. Saat berpindah ke diagram bidang H Dan V digabungkan sehingga proyeksi titik-titik yang berlawanan terletak pada garis vertikal.

Diagram bebas sumbu titik A dan B(menggambar) Bukanmenentukan posisi mereka di ruang angkasa,tetapi memungkinkan seseorang untuk menilai orientasi relatifnya. Jadi, segmen △x mencirikan perpindahan suatu titik A relatif terhadap titik DI DALAM dalam arah yang sejajar dengan bidang H dan V. Dengan kata lain, △x menunjukkan seberapa jauh titik tersebut A terletak di sebelah kiri titik DI DALAM. Perpindahan relatif suatu titik pada arah tegak lurus bidang V ditentukan oleh ruas △y, yaitu titik Dan masuk dalam contoh kita lebih dekat ke pengamat daripada titiknya DI DALAM, ke jarak yang sama dengan △y.

Terakhir, ruas △z menunjukkan kelebihan titik A di atas titik tersebut DI DALAM.

Para pendukung studi bebas sumbu pada mata kuliah geometri deskriptif dengan tepat menunjukkan bahwa ketika menyelesaikan banyak masalah, seseorang dapat melakukannya tanpa sumbu koordinat. Namun, pengabaian sepenuhnya terhadap hal-hal tersebut tidak dapat dianggap bijaksana. Geometri deskriptif dirancang untuk mempersiapkan insinyur masa depan tidak hanya untuk pelaksanaan gambar yang kompeten, tetapi juga untuk memecahkan berbagai masalah teknis, di antaranya masalah statika dan mekanika spasial menempati tempat yang tidak kalah pentingnya. Dan untuk itu perlu dikembangkan kemampuan mengorientasikan suatu benda relatif terhadap sumbu koordinat kartesius. Keterampilan ini juga diperlukan ketika mempelajari bagian geometri deskriptif seperti perspektif dan aksonometri. Oleh karena itu, pada sejumlah diagram dalam buku ini kami menyimpan gambar sumbu koordinat. Gambar-gambar tersebut tidak hanya menentukan bentuk suatu benda, tetapi juga lokasinya relatif terhadap bidang proyeksi.

Kursus singkat dalam geometri deskriptif

Perkuliahan diperuntukkan bagi mahasiswa jurusan teknik dan spesialisasi teknik

Metode monge

Jika informasi tentang jarak suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi diberikan tidak dengan menggunakan tanda numerik, tetapi dengan menggunakan proyeksi kedua dari titik yang dibangun pada bidang proyeksi kedua, maka gambar tersebut disebut dua gambar atau kompleks.
Prinsip dasar pembuatan gambar tersebut diuraikan oleh G. Monge.

Metode yang digariskan oleh Monge - metode proyeksi ortogonal, dan dua proyeksi diambil pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus - memastikan ekspresi, keakuratan, dan keterukuran gambar objek pada bidang, telah dan tetap menjadi metode utama pembuatan gambar teknik.

Model tiga bidang proyeksi ditunjukkan pada Gambar 1.1. Bidang ketiga yang tegak lurus terhadap P1 dan P2 ditandai dengan huruf P3 dan disebut profil. Proyeksi titik-titik pada bidang ini ditunjukkan dengan huruf kapital atau angka dengan indeks 3. Bidang proyeksi yang berpotongan berpasangan menentukan tiga sumbu 0x, 0y dan 0z, yang dapat dianggap sebagai sistem koordinat kartesius dalam ruang yang bermula pada titik 0. Ketiga bidang proyeksi membagi ruang menjadi delapan sudut segitiga – oktan. Seperti sebelumnya, kita asumsikan bahwa orang yang melihat suatu benda berada pada oktan pertama. Untuk memperoleh diagram, titik-titik pada sistem tiga bidang proyeksi, bidang P1 dan P3, diputar hingga sejajar dengan bidang P2. Saat menentukan sumbu pada diagram, sumbu semi negatif biasanya tidak ditunjukkan. Jika hanya bayangan benda itu sendiri yang penting, dan bukan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi, maka sumbunya tidak diperlihatkan pada diagram. Koordinat adalah angka-angka yang ditetapkan pada suatu titik untuk menentukan posisinya dalam ruang atau pada suatu permukaan. Dalam ruang tiga dimensi, posisi suatu titik ditentukan menggunakan koordinat kartesius persegi panjang x, y dan z (absis, ordinat, dan aplikasi).

Untuk menentukan kedudukan suatu garis dalam ruang, ada cara sebagai berikut: 1. Dua titik (A dan B).<; <; <.

Perhatikan dua titik di ruang A dan B (Gbr. 2.1). Melalui titik-titik tersebut kita dapat menggambar garis lurus dan memperoleh suatu ruas. Untuk mencari proyeksi ruas tersebut pada bidang proyeksi, perlu dicari proyeksi titik A dan B dan menghubungkannya dengan garis lurus. Setiap proyeksi suatu segmen pada bidang proyeksi lebih kecil dari segmen itu sendiri:

Gambar 2.1 Menentukan kedudukan suatu garis lurus dengan menggunakan dua titik

2. Dua bidang (a; b).

Metode pengaturan ini ditentukan oleh fakta bahwa dua bidang tidak sejajar berpotongan dalam ruang dalam satu garis lurus (metode ini dibahas secara rinci dalam mata kuliah geometri dasar).

3. Titik dan sudut kemiringan terhadap bidang proyeksi.

2.1. Garis lurus yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal disebut horizontal atau horizontal (Gbr. 3.2).

Gambar 3.2 Garis horizontal

2.2. Garis lurus yang sejajar dengan bidang proyeksi frontal disebut frontal atau frontal (Gbr. 3.3).

Gambar 3.3 Lurus depan

2.3. Proyeksi garis lurus yang sejajar dengan bidang profil disebut profil (Gbr. 3.4).

Gambar 3.4 Profil lurus

3. Garis yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi disebut garis proyeksi. Garis yang tegak lurus terhadap salah satu bidang proyeksi sejajar dengan dua bidang proyeksi lainnya. Tergantung pada bidang proyeksi mana garis yang diteliti tegak lurus, ada:

3.1. Garis lurus yang menonjol ke depan - AB (Gbr. 3.5).

Gambar 3.5 Garis proyeksi ke depan

3.2. Profil yang menonjolkan garis lurus adalah AB (Gbr. 3.6).

Gambar 3.6 Garis proyeksi profil

3.3. Garis yang menonjol secara horizontal - AB (Gbr. 3.7).

Gambar 3.7 Garis proyeksi horizontal

Bidang merupakan salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri secara sistematis, konsep bidang biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya secara tidak langsung ditentukan oleh aksioma-aksioma geometri. Beberapa sifat ciri suatu bidang: 1. Bidang adalah suatu permukaan yang seluruhnya memuat setiap garis lurus yang menghubungkan titik-titiknya;

2. Bidang adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu.

Metode untuk menentukan bidang secara grafis Posisi suatu bidang dalam ruang dapat ditentukan:

1. Tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus (Gbr. 4.1).

Gambar 4.1 Bidang yang dibatasi oleh tiga titik yang tidak terletak pada satu garis yang sama

2. Sebuah garis lurus dan sebuah titik yang bukan termasuk dalam garis lurus tersebut (Gbr. 4.2).

Gambar 4.2 Bidang yang dibatasi oleh suatu garis lurus dan suatu titik yang bukan termasuk dalam garis tersebut

3. Dua garis lurus berpotongan (Gbr. 4.3).

Gambar 4.3 Bidang yang dibatasi oleh dua garis lurus yang berpotongan

4. Dua garis sejajar (Gbr. 4.4).

Gambar 4.4 Bidang yang dibatasi oleh dua garis lurus sejajar

Posisi bidang yang berbeda relatif terhadap bidang proyeksi

1. Bidang yang tidak tegak lurus terhadap suatu bidang proyeksi disebut bidang umum. Bidang seperti itu memotong semua bidang proyeksi (memiliki tiga jalur: - horizontal S 1; - frontal S 2; - profil S 3).

Jejak suatu bidang umum berpotongan berpasangan pada sumbu di titik ax,ay,az. Titik-titik ini disebut titik hilang; titik-titik tersebut dapat dianggap sebagai titik sudut segitiga yang dibentuk oleh suatu bidang tertentu dengan dua dari tiga bidang proyeksi.

Setiap jejak bidang bertepatan dengan proyeksinya dengan nama yang sama, dan dua proyeksi lainnya dengan nama berbeda terletak pada sumbunya (Gbr. 5.1).

2. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi - menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut proyeksi. Bergantung pada bidang proyeksi mana yang tegak lurus dengan bidang tertentu, ada:

2.1. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal (S ^P1) disebut bidang proyeksi horizontal. Proyeksi horizontal bidang tersebut adalah garis lurus, yang juga merupakan jejak horizontalnya. Proyeksi horizontal semua titik pada gambar apa pun pada bidang tertentu bertepatan dengan jejak horizontal (Gbr. 5.2).

Gambar 5.2 Bidang proyeksi horizontal

2.2. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi frontal (S ^P2) adalah bidang proyeksi ke depan. Proyeksi frontal bidang S adalah garis lurus yang berimpit dengan jejak S 2 (Gbr. 5.3).

Gambar 5.3 Bidang proyeksi depan

2.3. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang profil (S ^P3) adalah bidang proyeksi profil. Kasus khusus dari bidang tersebut adalah bidang bagi-bagi (Gbr. 5.4).

Gambar 5.4 Bidang proyeksi profil

3. Bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi - menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut bidang datar. Tergantung pada bidang mana bidang yang diteliti sejajar, ada:

3.1. Bidang horizontal - bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Setiap gambar pada bidang ini diproyeksikan ke bidang P1 tanpa distorsi, dan ke bidang P2 dan P3 menjadi garis lurus - jejak bidang S 2 dan S 3 (Gbr. 5.5).

Gambar 5.5 Bidang horizontal

3.3. Bidang profil - bidang yang sejajar dengan bidang profil proyeksi (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Setiap gambar pada bidang ini diproyeksikan ke bidang P3 tanpa distorsi, dan ke bidang P1 dan P2 menjadi garis lurus - jejak bidang S 1 dan S 2 (Gbr. 5.7).

Gambar 5.7 Bidang profil

Jejak pesawat

Jejak suatu bidang adalah garis perpotongan bidang tersebut dengan bidang proyeksi. Bergantung pada bidang proyeksi mana yang berpotongan, ada: jejak horizontal, frontal, dan profil bidang tersebut.

Setiap jejak bidang adalah garis lurus, untuk membangunnya Anda perlu mengetahui dua titik, atau satu titik dan arah garis lurus (seperti untuk membuat garis lurus apa pun). Gambar 5.8 menunjukkan letak jejak bidang S (ABC). Jejak depan bidang S 2 dibangun sebagai garis lurus yang menghubungkan dua titik 12 dan 22, yang merupakan jejak depan dari garis lurus yang bersesuaian milik bidang S. Jejak mendatar S 1 – garis lurus yang melalui jejak mendatar garis lurus AB dan S x. Jejak profil S 3 – garis lurus yang menghubungkan titik-titik (S y dan S z) perpotongan jejak horizontal dan frontal dengan sumbu.

Gambar 5.8 Konstruksi jejak bidang

Menentukan posisi relatif suatu garis lurus dan suatu bidang merupakan suatu masalah posisi, yang penyelesaiannya menggunakan metode pemotongan bantu bidang. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: kita menggambar bidang potong bantu Q melalui sebuah garis lurus dan menentukan posisi relatif dari dua garis lurus a dan b, yang terakhir adalah garis perpotongan bidang potong bantu Q dan ini bidang T (Gbr. 6.1).

Gambar 6.1 Metode bidang potong bantu

Masing-masing dari tiga kemungkinan kasus posisi relatif garis-garis ini berhubungan dengan kasus serupa tentang posisi relatif garis dan bidang. Jadi, jika kedua garis berhimpitan, maka garis a terletak pada bidang T, kesejajaran garis akan menunjukkan kesejajaran garis dan bidang, dan terakhir perpotongan garis tersebut sesuai dengan kasus ketika garis a memotong garis tersebut. bidang T. Jadi, ada tiga kemungkinan susunan relatif garis dan bidang: Lurus milik bidang;

Garis lurus sejajar dengan bidang;

Garis lurus memotong suatu bidang, kasus khusus adalah garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Tugas. Diberikan sebuah bidang (n,k) dan satu proyeksi garis m2.

Proyeksi garis m yang hilang harus dicari jika diketahui bahwa garis tersebut termasuk dalam bidang yang dibatasi oleh garis yang berpotongan n dan k.

Proyeksi garis m2 memotong garis n dan k di titik B2 dan C2; untuk mencari proyeksi garis yang hilang, perlu mencari proyeksi yang hilang dari titik B dan C sebagai titik-titik yang terletak pada garis n dan k.

Jadi, titik B dan C termasuk dalam bidang yang dibatasi oleh garis berpotongan n dan k, dan garis m melalui titik-titik tersebut, artinya menurut aksioma, garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut.

Aksioma 2. Suatu garis lurus termasuk dalam suatu bidang jika mempunyai satu titik persekutuan dengan bidang tersebut dan sejajar dengan sembarang garis lurus yang terletak pada bidang tersebut (Gbr. 6.3).

Tugas. Tariklah garis m melalui titik B jika diketahui termasuk dalam bidang yang dibatasi oleh garis yang berpotongan n dan k.

Misalkan B termasuk dalam garis n yang terletak pada bidang yang ditentukan oleh garis potong n dan k. Melalui proyeksi B2 kita menggambar proyeksi garis m2 sejajar dengan garis k2, untuk mencari proyeksi garis yang hilang, perlu dibuat proyeksi titik B1 sebagai titik yang terletak pada proyeksi garis n1 dan melaluinya menggambar proyeksi. garis m1 sejajar dengan proyeksi k1.

Jadi, titik B termasuk dalam bidang yang dibatasi oleh garis berpotongan n dan k, dan garis m melalui titik tersebut dan sejajar dengan garis k, artinya menurut aksioma, garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut.

Gambar 6.3 Garis lurus mempunyai satu titik persekutuan dengan bidang tersebut dan sejajar dengan garis lurus yang terletak pada bidang tersebut

Jalur utama di pesawat

Di antara garis-garis lurus yang termasuk dalam bidang, tempat khusus ditempati oleh garis-garis lurus yang menempati posisi tertentu dalam ruang:

1. Horisontal h - garis lurus yang terletak pada bidang tertentu dan sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (h//P1) (Gbr. 6.4).

4. Garis kemiringan terbesar dan proyeksi horizontalnya membentuk sudut linier j, yang mengukur sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang ini dan bidang proyeksi horizontal (Gbr. 6.7).

Jelasnya, jika sebuah garis lurus tidak mempunyai dua titik persekutuan dengan sebuah bidang, maka garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut atau memotongnya.

Gambar 6.7 Garis dengan kemiringan terbesar

Posisi relatif suatu titik dan bidang

Ada dua kemungkinan pilihan untuk posisi relatif suatu titik dan bidang: titik tersebut termasuk dalam bidang atau bukan.

Jika suatu titik termasuk dalam suatu bidang, maka dari tiga proyeksi yang menentukan posisi suatu titik dalam ruang, hanya satu yang dapat ditentukan secara sembarang.

Mari kita perhatikan sebuah contoh (Gbr. 6.8): Konstruksi proyeksi titik A yang termasuk dalam bidang posisi umum yang ditentukan oleh dua garis sejajar a(a//b).

Tugas. Diketahui: bidang T(a,b) dan proyeksi titik A2.

Proyeksi A1 diperlukan jika diketahui titik A terletak pada bidang b,a.

2. Bidang-bidang yang berpotongan, kasus khusus – bidang-bidang yang saling tegak lurus. Garis perpotongan dua bidang adalah garis lurus, yang konstruksinya cukup menentukan dua titik persekutuan pada kedua bidang, atau satu titik dan arah garis perpotongan bidang tersebut.

Mari kita pertimbangkan untuk membuat garis perpotongan dua bidang ketika salah satunya menonjol (Gbr. 7.2).

Tugas. Diberikan: posisi umum bidang diberikan oleh segitiga ABC, dan bidang kedua adalah bidang T yang menonjol secara horizontal. Diperlukan untuk membuat garis perpotongan bidang-bidang tersebut.

Pemecahan masalah ini adalah dengan mencari dua titik yang sama pada bidang-bidang tersebut yang dapat ditarik garis lurus. Bidang yang dibatasi oleh segitiga ABC dapat direpresentasikan sebagai garis lurus (AB), (AC), (BC). Titik potong garis lurus (AB) dengan bidang T adalah titik D, garis lurus (AC) adalah F. Segmen mendefinisikan garis perpotongan bidang. Karena T adalah bidang yang menonjol secara horizontal, maka proyeksi D1F1 bertepatan dengan jejak bidang T1, sehingga yang tersisa hanyalah membuat proyeksi yang hilang pada P2 dan P3.

Gambar 7.2. Persimpangan bidang posisi umum dengan bidang yang menonjol secara horizontal

Mari beralih ke kasus umum. Misalkan dua bidang umum a(m,n) dan b (ABC) diberikan dalam ruang (Gbr. 7.3).

Gambar 7.3. Persimpangan bidang generik

Bidang yang saling tegak lurus. Dari stereometri diketahui bahwa dua bidang saling tegak lurus jika salah satu bidang melewati garis tegak lurus yang lain. Melalui titik A dapat ditarik banyak bidang yang tegak lurus terhadap bidang tertentu a(f,h). Bidang-bidang tersebut membentuk kumpulan bidang-bidang dalam ruang yang sumbunya tegak lurus turun dari titik A ke bidang a. Untuk menggambar bidang dari titik A tegak lurus bidang yang diberikan oleh dua garis berpotongan hf, perlu ditarik garis n dari titik A tegak lurus bidang hf (proyeksi horizontal n tegak lurus proyeksi horizontal garis horizontal h, proyeksi frontal n tegak lurus dengan proyeksi frontal f). Setiap bidang yang melalui garis n akan tegak lurus terhadap bidang hf, oleh karena itu, untuk menentukan bidang yang melalui titik A, tariklah garis sembarang m. Bidang yang dibatasi oleh dua garis lurus berpotongan mn akan tegak lurus terhadap bidang hf (Gbr. 7.4).

Gambar 7.4. Bidang yang saling tegak lurus

Metode pergerakan bidang-paralel

Perubahan kedudukan relatif benda yang diproyeksikan dan bidang proyeksi dengan metode gerak sejajar bidang dilakukan dengan cara mengubah kedudukan geometri benda sehingga lintasan titik-titiknya berada pada bidang sejajar. Bidang pembawa lintasan pergerakan titik sejajar dengan bidang proyeksi mana pun (Gbr. 8.1). Lintasannya adalah garis yang berubah-ubah. Apabila suatu benda geometri dipindahkan secara paralel relatif terhadap bidang proyeksi, maka proyeksi bangun tersebut, meskipun posisinya berubah, tetap kongruen dengan proyeksi bangun pada posisi semula.

Gambar 8.1 Penentuan ukuran alami suatu ruas dengan metode gerak bidang sejajar

Sifat-sifat gerak bidang sejajar:

1. Setiap kali titik-titik dipindahkan pada bidang yang sejajar dengan bidang P1, proyeksi depannya bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.

2. Jika suatu titik bergerak sembarang pada bidang yang sejajar dengan P2, proyeksi horizontalnya bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.

Metode rotasi pada sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi

Bidang pembawa lintasan pergerakan titik sejajar dengan bidang proyeksi. Lintasan adalah busur lingkaran yang pusatnya berada pada sumbu yang tegak lurus bidang proyeksi. Untuk menentukan nilai alami suatu ruas garis lurus pada posisi umum AB (Gbr. 8.2), kita memilih sumbu rotasi (i) yang tegak lurus bidang proyeksi horizontal dan melalui B1. Mari kita putar ruas tersebut sehingga menjadi sejajar dengan bidang proyeksi frontal (proyeksi horizontal ruas tersebut sejajar dengan sumbu x). Dalam hal ini titik A1 akan berpindah ke A"1 dan titik B tidak berubah posisinya. Posisi titik A"2 berada pada perpotongan proyeksi frontal lintasan titik A (garis lurus sejajar x -sumbu) dan garis sambungan yang ditarik dari A"1. Proyeksi yang dihasilkan B2 A"2 menentukan ukuran alami dari segmen itu sendiri.

Gambar 8.2 Penentuan ukuran alami suatu segmen dengan metode rotasi mengelilingi sumbu yang tegak lurus bidang proyeksi horizontal

Metode rotasi pada sumbu yang sejajar dengan bidang proyeksi

Mari kita perhatikan metode ini dengan menggunakan contoh penentuan sudut antara garis yang berpotongan (Gbr. 8.3). Mari kita perhatikan dua proyeksi garis lurus a dan b yang berpotongan di titik K. Untuk menentukan nilai natural sudut antara garis lurus tersebut, perlu dilakukan transformasi proyeksi ortogonal sehingga garis lurus menjadi sejajar dengan garis lurus tersebut. bidang proyeksi. Mari kita gunakan metode rotasi di sekitar garis datar – horizontal. Mari kita menggambar proyeksi frontal sembarang dari garis horizontal h2 yang sejajar dengan sumbu Ox, yang memotong garis di titik 12 dan 22. Setelah menentukan proyeksi 11 dan 11, kita akan membuat proyeksi horizontal garis horizontal h1. Lintasan pergerakan semua titik pada putaran horizontal adalah lingkaran yang diproyeksikan pada bidang P1 berupa garis lurus yang tegak lurus proyeksi horizontal.

Gambar 8.3 Menentukan sudut antar garis yang berpotongan dengan cara memutar pada sumbu yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal

Jadi lintasan titik K1 ditentukan oleh garis lurus K1O1, titik O adalah pusat lingkaran – lintasan titik K. Untuk mencari jari-jari lingkaran ini kita menggunakan metode segitiga untuk mencari garis alaminya. nilai ruas KO. Kita lanjutkan garis lurus K1O1 sehingga |O1K"1|=|KO|. Titik K"1 bersesuaian dengan titik K bila garis lurus a dan b terletak pada bidang yang sejajar dengan P1 dan ditarik melalui garis mendatar. - sumbu rotasi. Dengan memperhatikan hal tersebut, melalui titik K"1 dan titik 11 dan 21 kita tarik garis lurus yang sekarang terletak pada bidang yang sejajar dengan P1, maka sudut phi adalah nilai natural sudut antara garis lurus a dan b.

Metode penggantian bidang proyeksi

Mengubah posisi relatif dari gambar yang diproyeksikan dan bidang proyeksi dengan mengubah bidang proyeksi dicapai dengan mengganti bidang P1 dan P2 dengan bidang baru P4 (Gbr. 8.4). Bidang baru dipilih tegak lurus dengan bidang lama. Beberapa transformasi proyeksi memerlukan penggantian ganda bidang proyeksi (Gbr. 8.5). Transisi berturut-turut dari satu sistem bidang proyeksi ke sistem bidang proyeksi lainnya harus dilakukan dengan mengikuti aturan berikut: jarak proyeksi baru suatu titik ke sumbu baru harus sama dengan jarak proyeksi titik yang diganti ke sumbu yang diganti. .

Tugas 1: Menentukan ukuran alami ruas garis lurus AB pada posisi umum (Gbr. 8.4). Dari sifat proyeksi paralel diketahui bahwa suatu segmen diproyeksikan ke suatu bidang berukuran penuh jika sejajar dengan bidang tersebut.

Mari kita pilih bidang proyeksi baru P4, sejajar dengan ruas AB dan tegak lurus bidang P1. Dengan memperkenalkan bidang baru, kita berpindah dari sistem bidang P1P2 ke sistem P1P4, dan dalam sistem bidang baru, proyeksi segmen A4B4 akan menjadi ukuran alami segmen AB.

Gambar 8.4. Menentukan nilai natural suatu ruas garis lurus dengan mengganti bidang proyeksi

Tugas 2: Tentukan jarak dari titik C ke garis umum yang diberikan oleh ruas AB (Gbr. 8.5).

Gambar 8.5. Menentukan nilai natural suatu ruas garis lurus dengan mengganti bidang proyeksi

Bab 6. PROYEKSI Suatu TITIK. GAMBAR KOMPLEKS

§ 32. Gambar kompleks suatu titik

Aturan untuk menyusun gambar dalam gambar dalam grafik teknik didasarkan pada metode proyeksi. Satu gambar (proyeksi) suatu benda geometris tidak memungkinkan kita untuk menilai bentuk geometrisnya atau bentuk gambar geometris paling sederhana yang membentuk gambar tersebut. Jadi, seseorang tidak dapat menilai posisi suatu titik dalam ruang hanya berdasarkan proyeksinya; posisinya dalam ruang ditentukan oleh dua proyeksi.

Mari kita perhatikan contoh pembuatan proyeksi suatu titik A, terletak di ruang sudut dihedral (Gbr. 60). Kami akan menempatkan salah satu bidang proyeksi secara horizontal dan menyebutnya bidang proyeksi horizontal dan dilambangkan dengan huruf hal 1. Proyeksi elemen

spasi di atasnya akan dilambangkan dengan indeks 1: SEBUAH 1, 1, S 1 ... dan menelepon proyeksi horisontal(titik, garis lurus, bidang).

Kita akan menempatkan bidang kedua secara vertikal di depan pengamat, tegak lurus dengan bidang pertama, sebut saja bidang proyeksi vertikal dan menunjukkan hal 2. Kami akan menunjukkan proyeksi elemen ruang di atasnya dengan indeks 2: SEBUAH 2, 2 dan menelepon proyeksi depan(titik, garis lurus, bidang). Sebut saja garis perpotongan bidang proyeksi sumbu proyeksi.

Mari kita proyeksikan satu hal A secara ortogonal pada kedua bidang proyeksi:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Sinar proyeksi AA 1 dan AA 2 saling tegak lurus dan menciptakan bidang proyeksi dalam ruang AA 1 AA 2, tegak lurus terhadap kedua sisi proyeksi. Bidang ini memotong bidang proyeksi sepanjang garis yang melalui proyeksi suatu titik A.

Untuk mendapatkan gambar datar, gabungkan bidang proyeksi horizontal hal 1 dengan bidang frontal P 2 berputar mengelilingi sumbu P 2 / P 1 (Gbr. 61, a). Maka kedua proyeksi titik tersebut akan berada pada satu garis yang sama tegak lurus sumbu P 2 / P 1. Lurus SEBUAH 1 SEBUAH 2, menghubungkan horisontal Sebuah 1 dan depan Sebuah 2 proyeksi suatu titik disebut jalur komunikasi vertikal.

Gambar datar yang dihasilkan disebut gambar yang rumit. Ini adalah gambar suatu objek pada beberapa bidang gabungan. Gambar kompleks yang terdiri dari dua proyeksi ortogonal yang saling berhubungan disebut dua proyeksi. Dalam gambar ini, proyeksi titik-titik secara horizontal dan frontal selalu terletak pada garis sambungan vertikal yang sama.

Dua proyeksi ortogonal yang saling berhubungan dari suatu titik secara unik menentukan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi. Jika kita menentukan posisi titik tersebut A relatif terhadap bidang-bidang ini (Gbr. 61, b) tingginya jam (AA 1 = jam) dan kedalaman f(AA 2 =f ), lalu ini besaran-besaran dalam gambar kompleks ada sebagai segmen jalur komunikasi vertikal. Keadaan ini memudahkan untuk merekonstruksi gambar, yaitu menentukan dari gambar posisi titik relatif terhadap bidang proyeksi. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengembalikan tegak lurus terhadap bidang gambar (mengingatnya bagian depan) di titik A 2 gambar dengan panjang yang sama dengan kedalaman F. Ujung garis tegak lurus ini akan menentukan posisi titik tersebut A relatif terhadap bidang gambar.

60.gif

Gambar:

61.gif

Gambar:

7. Soal tes mandiri

PERTANYAAN UJI DIRI

4. Apa nama jarak yang menentukan kedudukan suatu titik terhadap bidang proyeksi? P 1, P 2?

7. Bagaimana membuat proyeksi tambahan suatu titik pada suatu bidang Hal 4 _|_ Hal 2 , Hal 4 _|_ Hal 1 , Hal 5 _|_ Hal 4 ?

9. Bagaimana cara membuat gambar kompleks suatu titik dengan menggunakan koordinatnya?

33. Elemen gambar kompleks tiga proyeksi suatu titik

§ 33. Elemen gambar kompleks tiga proyeksi suatu titik

Untuk menentukan posisi suatu benda geometris dalam ruang dan memperoleh informasi tambahan tentang gambarnya, mungkin perlu dibuat proyeksi ketiga. Kemudian bidang proyeksi ketiga terletak di sebelah kanan pengamat, sekaligus tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal hal 1 dan bidang proyeksi frontal P 2 (Gbr. 62, a). Akibat perpotongan bagian depan P 2 dan profil P 3 bidang proyeksi kita memperoleh sumbu baru P 2 / P 3 , yang terletak pada gambar kompleks yang sejajar dengan jalur komunikasi vertikal SEBUAH 1 SEBUAH 2(Gbr. 62, B). Proyeksi poin ketiga A- profil - tampaknya terkait dengan proyeksi frontal Sebuah 2 jalur komunikasi baru yang disebut horizontal

Beras. 62

Nuh. Proyeksi titik-titik frontal dan profil selalu terletak pada garis sambungan horizontal yang sama. Lebih-lebih lagi SEBUAH 1 SEBUAH 2 _|_ SEBUAH 2 SEBUAH 1 Dan SEBUAH 2 SEBUAH 3 , _| _ Hal 2 / Hal 3 .

Kedudukan suatu titik dalam ruang dalam hal ini dicirikan olehnya lintang- jarak dari itu ke bidang profil proyeksi P 3, yang kami tunjukkan dengan huruf R.

Gambar kompleks yang dihasilkan dari suatu titik disebut tiga proyeksi.

Dalam gambar tiga proyeksi, kedalaman suatu titik AA 2 diproyeksikan tanpa distorsi pada bidang P 1 dan P 2 (Gbr. 62, A). Keadaan ini memungkinkan kita untuk membuat proyeksi titik frontal ketiga A sepanjang horizontalnya Sebuah 1 dan depan Sebuah 2 proyeksi (Gbr. 62, V). Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambar garis komunikasi horizontal melalui proyeksi frontal titik tersebut SEBUAH 2 SEBUAH 3 _|_A 2 SEBUAH 1 . Kemudian, di mana saja pada gambar, gambarlah sumbu proyeksi P 2 / P 3 _|_ SEBUAH 2 SEBUAH 3, mengukur kedalaman f suatu titik pada bidang horizontal bidang proyeksi dan letakkan sepanjang garis sambungan horizontal dari sumbu proyeksi P 2 / P 3. Mari kita dapatkan proyeksi profil Sebuah 3 poin A.

Jadi, dalam gambar kompleks yang terdiri dari tiga proyeksi ortogonal suatu titik, dua proyeksi berada pada garis sambungan yang sama; jalur komunikasi tegak lurus terhadap sumbu proyeksi yang sesuai; dua proyeksi suatu titik sepenuhnya menentukan posisi proyeksi ketiganya.

Perlu dicatat bahwa dalam gambar kompleks, sebagai suatu peraturan, bidang proyeksi tidak dibatasi dan posisinya ditentukan oleh sumbu (Gbr. 62, c). Dalam kasus di mana kondisi masalah tidak memerlukan hal ini,

Ternyata proyeksi titik dapat diberikan tanpa menggambarkan sumbu (Gbr. 63, a,b). Sistem seperti ini disebut tidak berdasar. Jalur komunikasi juga dapat ditarik putus-putus (Gbr. 63, b).

62.gif

Gambar:

63.gif

Gambar:

34. Kedudukan suatu titik dalam ruang sudut tiga dimensi

§ 34. Posisi suatu titik dalam ruang sudut tiga dimensi

Letak proyeksi titik-titik pada gambar kompleks bergantung pada posisi titik dalam ruang sudut tiga dimensi. Mari kita lihat beberapa kasus:

• titik tersebut terletak di ruang angkasa (lihat Gambar 62). Dalam hal ini memiliki kedalaman, tinggi dan lebar;
• titik tersebut terletak pada bidang proyeksi hal 1- tidak memiliki tinggi, P 2 - tidak memiliki kedalaman, Pz - tidak memiliki lebar;
• titik terletak pada sumbu proyeksi, P 2 / P 1 tidak memiliki kedalaman dan tinggi, P 2 / P 3 tidak memiliki kedalaman dan garis lintang, dan P 1 / P 3 tidak memiliki tinggi dan garis lintang.

35. Poin bersaing

§ 35. Poin bersaing

Dua titik dalam ruang dapat ditempatkan dengan cara yang berbeda. Dalam kasus terpisah, mereka dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga proyeksinya pada bidang proyeksi tertentu bertepatan. Titik-titik seperti ini disebut bersaing. Pada Gambar. 64, A gambaran menyeluruh tentang poin-poin disediakan A Dan DI DALAM. Letaknya sedemikian rupa sehingga proyeksinya bertepatan pada bidang P 1 [SEBUAH 1 == B 1 ]. Titik-titik seperti ini disebut bersaing secara horizontal. Jika proyeksi titik-titiknya A dan B bertepatan di pesawat

hal 2(Gbr. 64, B), mereka dipanggil bersaing secara frontal. Dan jika proyeksi poinnya A Dan DI DALAM bertepatan pada bidang P 3 [A 3 == B 3 ] (Gbr. 64, c), disebut profil pesaing.

Visibilitas dalam gambar ditentukan oleh poin yang bersaing. Untuk titik-titik yang bersaing secara horizontal, titik yang memiliki ketinggian lebih besar akan terlihat, untuk titik-titik yang bersaing secara frontal, yang memiliki kedalaman lebih besar akan terlihat, dan untuk titik-titik yang bersaing secara profil, yang memiliki garis lintang lebih besar akan terlihat.

64.gif

Gambar:

36. Mengganti bidang proyeksi

§ 36. Penggantian bidang proyeksi

Sifat-sifat gambar tiga proyeksi suatu titik memungkinkan penggunaan proyeksi horizontal dan frontalnya untuk membuat sepertiga ke bidang proyeksi lain yang dimasukkan untuk menggantikan bidang proyeksi yang diberikan.

Pada Gambar. 65, A menunjukkan titik A dan proyeksinya horizontal Sebuah 1 dan depan Sebuah 2. Sesuai dengan kondisi permasalahan maka perlu dilakukan penggantian bidang P 2. Mari kita nyatakan bidang proyeksi baru P 4 dan letakkan tegak lurus hal 1. Di persimpangan pesawat hal 1 dan P 4 kita mendapatkan sumbu baru P 1 / P 4 . Proyeksi titik baru Sebuah 4 akan berlokasi di jalur komunikasi yang melalui suatu titik Sebuah 1 dan tegak lurus terhadap sumbu P 1 / P 4 .

Sejak pesawat baru hal 4 menggantikan bidang proyeksi frontal P 2, tinggi titik A digambarkan dalam ukuran penuh yang sama baik pada bidang P2 maupun pada bidang P4.

Keadaan ini memungkinkan kita untuk menentukan posisi proyeksi Sebuah 4, dalam sistem pesawat hal 1 _|_ hal 4(Gbr. 65, B) pada gambar yang rumit. Untuk melakukan ini, cukup mengukur ketinggian titik pada bidang yang akan diganti

itas proyeksi P 2, letakkan pada garis sambungan baru dari sumbu proyeksi baru - dan proyeksi titik baru Sebuah 4 akan dibangun.

Jika bidang proyeksi baru dimasukkan sebagai pengganti bidang proyeksi horizontal, yaitu P 4 _|_ P 2 (Gbr. 66, A), kemudian pada sistem bidang yang baru, proyeksi titik yang baru akan berada pada jalur komunikasi yang sama dengan proyeksi frontal, dan SEBUAH 2 SEBUAH 4 _|_. Dalam hal ini, kedalaman titik pada bidang adalah sama hal 1, dan di pesawat hal 4. Atas dasar ini mereka membangun Sebuah 4(Gbr. 66, B) pada jalur komunikasi SEBUAH 2 SEBUAH 4 pada jarak tertentu dari sumbu baru P 1 / P 4 pada jarak berapa Sebuah 1 terletak dari sumbu P 2 / P 1.

Sebagaimana telah disebutkan, pembangunan proyeksi tambahan baru selalu dikaitkan dengan tugas-tugas tertentu. Kedepannya akan dipertimbangkan sejumlah masalah metrik dan posisi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode penggantian bidang proyeksi. Dalam permasalahan dimana pengenalan satu bidang tambahan tidak memberikan hasil yang diinginkan, bidang tambahan lainnya diperkenalkan, yang diberi nama P 5. Itu ditempatkan tegak lurus terhadap bidang P 4 yang sudah dimasukkan (Gbr. 67, a), yaitu P 5 P 4 dan menghasilkan konstruksi yang serupa dengan yang telah dibahas sebelumnya. Sekarang jarak diukur pada bidang proyeksi utama kedua yang diganti (pada Gambar 67, B di pesawat hal 1) dan menundanya di jalur komunikasi baru SEBUAH 4 SEBUAH 5, dari sumbu proyeksi baru P 5 / P 4. Dalam sistem bidang baru P 4 P 5, diperoleh gambar dua proyeksi baru, yang terdiri dari proyeksi ortogonal Sebuah 4 dan A 5 , dihubungkan melalui jalur komunikasi