Suatu kali saya membaca cerita tragis tentang seorang Chukchi yang diajari berhitung dan menulis angka oleh penjelajah kutub. Keajaiban angka sangat membuatnya terkesan sehingga dia memutuskan untuk menuliskan semua angka di dunia secara berurutan, mulai dari satu, di buku catatan yang disumbangkan oleh penjelajah kutub. Chukchi meninggalkan semua urusannya, berhenti berkomunikasi bahkan dengan istrinya sendiri, tidak lagi berburu segel dan segel, tetapi menulis dan menulis angka di buku catatan .... Jadi satu tahun berlalu. Pada akhirnya, buku catatan itu berakhir dan Chukchi menyadari bahwa dia hanya dapat menuliskan sebagian kecil dari semua angka. Dia menangis dengan sedihnya dan putus asa membakar buku catatannya untuk mulai menjalani kehidupan sederhana sebagai nelayan lagi, tidak lagi memikirkan tentang angka misterius yang tak terbatas ...
Kami tidak akan mengulangi prestasi Chukchi ini dan mencoba menemukan angka terbesar, karena angka apa pun cukup untuk menambahkan satu saja untuk mendapatkan angka yang lebih besar. Mari kita tanyakan pada diri kita sendiri pertanyaan serupa tetapi berbeda: bilangan mana yang memiliki namanya sendiri yang terbesar?
Jelas, meskipun angka itu sendiri tidak terbatas, mereka tidak memiliki banyak nama yang tepat, karena kebanyakan dari mereka puas dengan nama yang terdiri dari angka yang lebih kecil. Jadi, misalnya angka 1 dan 100 namanya sendiri "satu" dan "seratus", dan nama angka 101 sudah majemuk ("seratus satu"). Jelas bahwa dalam rangkaian angka terakhir yang diberikan umat manusia dengan namanya sendiri, pasti ada angka terbesar. Tapi apa namanya dan sama dengan apa? Mari kita coba mencari tahu dan menemukan, pada akhirnya, ini adalah angka terbesar!
|
Skala "pendek" dan "panjang".
Sejarah sistem penamaan modern untuk bilangan besar dimulai pada pertengahan abad ke-15, ketika di Italia mereka mulai menggunakan kata "juta" (secara harfiah - seribu besar) untuk seribu kuadrat, "bimiliun" untuk satu juta kuadrat dan "trimiliun" untuk satu juta potong dadu. Kami tahu tentang sistem ini berkat ahli matematika Prancis Nicolas Chuquet (Nicolas Chuquet, c. 1450 - c. 1500): dalam risalahnya "The Science of Numbers" (Triparty en la science des nombres, 1484), dia mengembangkan ide ini, mengusulkan untuk lebih lanjut menggunakan angka kardinal Latin (lihat tabel), menambahkannya ke akhiran "-juta". Jadi, "bimiliun" Shuke berubah menjadi satu miliar, "trimiliun" menjadi satu triliun, dan satu juta pangkat empat menjadi "kuadriliun".
Dalam sistem Schücke, angka 10 9 , yaitu antara satu juta dan satu miliar, tidak memiliki namanya sendiri dan hanya disebut "seribu juta", demikian pula, 10 15 disebut "seribu miliar", 10 21 - " seribu triliun", dll. Itu sangat tidak nyaman, dan pada tahun 1549 penulis dan ilmuwan Prancis Jacques Peletier du Mans (1517-1582) mengusulkan untuk menyebutkan angka "perantara" tersebut menggunakan awalan Latin yang sama, tetapi akhiran "-miliar". Jadi, 10 9 dikenal sebagai "miliar", 10 15 - "biliar", 10 21 - "triliun", dll.
Sistem Shuquet-Peletier lambat laun menjadi populer dan digunakan di seluruh Eropa. Namun, pada abad ke-17, muncul masalah yang tidak terduga. Ternyata entah kenapa beberapa ilmuwan mulai bingung dan menyebut angka 10 9 bukan “satu milyar” atau “seribu juta”, melainkan “satu milyar”. Segera kesalahan ini menyebar dengan cepat, dan situasi paradoks muncul - "miliar" secara bersamaan menjadi sinonim untuk "miliar" (10 9) dan "juta juta" (10 18).
Kebingungan ini berlanjut untuk waktu yang lama dan mengarah pada fakta bahwa di AS mereka membuat sistem penamaan mereka sendiri dalam jumlah besar. Menurut sistem Amerika, nama angka dibuat dengan cara yang sama seperti pada sistem Schücke - awalan Latin dan akhiran "jutaan". Namun, angka-angka ini berbeda. Jika dalam sistem Schuecke, nama dengan akhiran "juta" menerima angka yang merupakan pangkat satu juta, maka dalam sistem Amerika akhiran "-juta" menerima pangkat seribu. Yaitu, seribu juta (1000 3 \u003d 10 9) mulai disebut "miliar", 1000 4 (10 12) - "triliun", 1000 5 (10 15) - "kuadriliun", dll.
Sistem lama penamaan bilangan besar terus digunakan di Inggris Raya yang konservatif dan mulai disebut "Inggris" di seluruh dunia, terlepas dari kenyataan bahwa itu ditemukan oleh Shuquet dan Peletier Prancis. Namun, pada tahun 1970-an, Inggris Raya secara resmi beralih ke "sistem Amerika", yang menyebabkan fakta bahwa menjadi aneh untuk menyebut satu sistem Amerika dan Inggris lainnya. Akibatnya, sistem Amerika sekarang biasa disebut sebagai "skala pendek" dan sistem Inggris atau Chuquet-Peletier sebagai "skala panjang".
Agar tidak bingung, mari kita rangkum hasil antara:
|
Skala penamaan pendek sekarang digunakan di Amerika Serikat, Inggris, Kanada, Irlandia, Australia, Brasil, dan Puerto Rico. Rusia, Denmark, Turki, dan Bulgaria juga menggunakan skala pendek, hanya saja angka 109 tidak disebut "miliar" tetapi "miliar". Skala panjang terus digunakan saat ini di sebagian besar negara lain.
Sangat mengherankan bahwa di negara kita transisi terakhir ke skala pendek hanya terjadi pada paruh kedua abad ke-20. Jadi, misalnya, bahkan Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) dalam bukunya "Entertaining Arithmetic" menyebutkan keberadaan paralel dua skala di Uni Soviet. Skala pendek, menurut Perelman, digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan perhitungan keuangan, dan skala panjang digunakan dalam buku ilmiah tentang astronomi dan fisika. Namun, sekarang salah menggunakan skala panjang di Rusia, meski jumlahnya besar.
Tapi kembali ke mencari nomor terbesar. Setelah decillion, nama-nama angka diperoleh dengan menggabungkan awalan. Ini adalah bagaimana angka-angka seperti undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, dll diperoleh. Namun, nama-nama ini tidak lagi menarik bagi kami, karena kami sepakat untuk mencari bilangan terbesar dengan nama nonkompositnya sendiri.
Jika kita beralih ke tata bahasa Latin, kita akan menemukan bahwa orang Romawi hanya memiliki tiga nama non-majemuk untuk angka yang lebih besar dari sepuluh: viginti - "dua puluh", centum - "seratus" dan mille - "ribuan". Untuk jumlah yang lebih besar dari "seribu", orang Romawi tidak memiliki nama sendiri. Misalnya, orang Romawi menyebut satu juta (1.000.000) "decies centena milia", yaitu "sepuluh kali seratus ribu". Menurut aturan Schuecke, ketiga angka Latin yang tersisa ini memberi kita nama seperti "vigintillion", "centillion", dan "milleillion".
Jadi, kami menemukan bahwa pada "skala pendek" jumlah maksimum yang memiliki namanya sendiri dan bukan gabungan dari angka yang lebih kecil adalah "juta" (10 3003). Jika "skala panjang" nomor penamaan diadopsi di Rusia, maka angka terbesar dengan namanya sendiri adalah "juta" (10 6003).
Namun, ada nama untuk angka yang lebih besar.
Angka di luar sistem
Beberapa nomor memiliki namanya sendiri, tanpa ada hubungannya dengan sistem penamaan menggunakan awalan Latin. Dan ada banyak angka seperti itu. Anda dapat, misalnya, mengingat nomornya e, angka "pi", selusin, angka binatang, dll. Namun, karena kita sekarang tertarik pada angka besar, kita hanya akan mempertimbangkan angka-angka dengan nama non-majemuknya sendiri yang jumlahnya lebih dari satu juta.
Hingga abad ke-17, Rus' menggunakan sistemnya sendiri untuk penamaan angka. Puluhan ribu disebut "gelap", ratusan ribu disebut "legiun", jutaan disebut "leodres", puluhan juta disebut "gagak", dan ratusan juta disebut "dek". Akun hingga ratusan juta ini disebut "akun kecil", dan dalam beberapa manuskrip penulis juga menganggap "akun besar", di mana nama yang sama digunakan untuk jumlah besar, tetapi dengan arti yang berbeda. Jadi, "kegelapan" tidak berarti sepuluh ribu, tetapi seribu ribu (10 6), "legiun" - kegelapan itu (10 12); "leodr" - legiun legiun (10 24), "gagak" - leodr dari leodres (10 48). Untuk beberapa alasan, "geladak" dalam hitungan besar Slavia tidak disebut "gagak gagak" (10 96), tetapi hanya sepuluh "gagak", yaitu 10 49 (lihat tabel).
|
Angka 10100 juga memiliki namanya sendiri dan ditemukan oleh seorang anak laki-laki berusia sembilan tahun. Dan itu seperti itu. Pada tahun 1938, ahli matematika Amerika Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) sedang berjalan di taman bersama kedua keponakannya dan berdiskusi dengan mereka dalam jumlah besar. Selama percakapan, kami berbicara tentang angka dengan seratus nol, yang tidak memiliki namanya sendiri. Salah satu keponakannya, Milton Sirott yang berusia sembilan tahun, menyarankan untuk memanggil nomor ini "googol". Pada tahun 1940, Edward Kasner, bersama dengan James Newman, menulis buku non-fiksi Matematika dan Imajinasi, di mana ia mengajar pecinta matematika tentang bilangan googol. Google menjadi lebih dikenal luas pada akhir 1990-an, berkat mesin pencari Google yang dinamai menurut namanya.
Nama untuk angka yang lebih besar dari googol muncul pada tahun 1950 berkat bapak ilmu komputer, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). Dalam artikelnya "Memprogram Komputer untuk Bermain Catur", dia mencoba memperkirakan jumlah kemungkinan varian permainan catur. Menurutnya, setiap permainan berlangsung rata-rata 40 gerakan, dan pada setiap gerakan pemain memilih rata-rata 30 opsi, yang sesuai dengan 900 40 (kurang lebih sama dengan 10 118) opsi permainan. Karya ini dikenal luas, dan nomor ini kemudian dikenal sebagai "nomor Shannon".
Dalam risalah Buddhis Jaina Sutra yang terkenal, yang berasal dari tahun 100 SM, angka "asankheya" ditemukan sama dengan 10 140. Dipercayai bahwa angka ini sama dengan jumlah siklus kosmik yang diperlukan untuk mencapai nirwana.
Milton Sirotta yang berusia sembilan tahun memasuki sejarah matematika tidak hanya dengan menemukan bilangan googol, tetapi juga dengan menyarankan bilangan lain pada saat yang sama - "googolplex", yang sama dengan 10 pangkat "googol", yaitu , satu dengan googol nol.
Dua angka lebih besar dari googolplex diusulkan oleh matematikawan Afrika Selatan Stanley Skewes (1899-1988) saat membuktikan hipotesis Riemann. Angka pertama, yang kemudian disebut "angka pertama Skeuse", sama dengan e sejauh itu e sejauh itu e dengan kekuatan 79, yaitu e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 . Namun, "angka Skewes kedua" bahkan lebih besar dan 10 10 10 1000 .
Jelas, semakin banyak derajat dalam jumlah derajat, semakin sulit untuk menuliskan angka dan memahami artinya saat membaca. Selain itu, dimungkinkan untuk menghasilkan angka-angka seperti itu (dan, omong-omong, telah ditemukan), ketika derajat derajatnya tidak muat di halaman. Ya, halaman yang luar biasa! Mereka bahkan tidak muat dalam buku seukuran seluruh alam semesta! Dalam hal ini, muncul pertanyaan bagaimana cara menuliskan angka-angka tersebut. Masalahnya, untungnya, dapat diselesaikan, dan matematikawan telah mengembangkan beberapa prinsip untuk menulis angka seperti itu. Benar, setiap ahli matematika yang menanyakan masalah ini muncul dengan cara penulisannya sendiri, yang menyebabkan adanya beberapa cara yang tidak terkait untuk menulis bilangan besar - ini adalah notasi Knuth, Conway, Steinhaus, dll. dengan beberapa dari mereka.
Notasi lainnya
Pada tahun 1938, tahun yang sama ketika Milton Sirotta yang berusia sembilan tahun menemukan bilangan googol dan googolplex, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, sebuah buku tentang matematika yang menghibur, The Mathematical Kaleidoscope, diterbitkan di Polandia. Buku ini menjadi sangat populer, melewati banyak edisi dan diterjemahkan ke dalam banyak bahasa, termasuk Inggris dan Rusia. Di dalamnya, Steinhaus, membahas bilangan besar, menawarkan cara sederhana untuk menuliskannya menggunakan tiga bentuk geometris - segitiga, persegi, dan lingkaran:
"N dalam segitiga" berarti " n n»,
« N persegi" berarti " N V N segitiga",
« N dalam lingkaran" berarti " N V N kotak."
Menjelaskan cara penulisan ini, Steinhaus menghasilkan angka "mega" sama dengan 2 dalam sebuah lingkaran dan menunjukkan bahwa itu sama dengan 256 dalam sebuah "persegi" atau 256 dalam 256 segitiga. Untuk menghitungnya, Anda perlu menaikkan 256 pangkat 256, menaikkan angka yang dihasilkan 3.2.10 616 pangkat 3.2.10 616, lalu menaikkan angka yang dihasilkan ke pangkat angka yang dihasilkan, dan seterusnya untuk menaikkan pangkat 256 kali. Misalnya, kalkulator di MS Windows tidak dapat menghitung karena luapan 256 bahkan dalam dua segitiga. Kira-kira angka sebesar ini adalah 10 10 2.10 619 .
Setelah menentukan angka "mega", Steinhaus mengajak pembaca untuk menilai sendiri angka lain - "medzon", sama dengan 3 dalam lingkaran. Dalam edisi lain buku ini, Steinhaus bukannya medzone mengusulkan untuk memperkirakan angka yang lebih besar - "megiston", sama dengan 10 dalam satu lingkaran. Mengikuti Steinhaus, saya juga akan merekomendasikan agar pembaca melepaskan diri dari teks ini untuk sementara waktu dan mencoba menulis angka-angka ini sendiri dengan menggunakan kekuatan biasa untuk merasakan kebesarannya yang luar biasa.
Namun, ada nama untuk HAI angka yang lebih tinggi. Jadi, ahli matematika Kanada Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) menyelesaikan notasi Steinhaus, yang dibatasi oleh fakta bahwa jika perlu menuliskan angka yang jauh lebih besar dari megiston, maka kesulitan dan ketidaknyamanan akan muncul, karena satu harus menggambar banyak lingkaran satu di dalam yang lain. Moser menyarankan untuk menggambar bukan lingkaran demi bujur sangkar, tetapi pentagon, lalu segi enam, dan seterusnya. Dia juga mengusulkan notasi formal untuk poligon ini, sehingga angka dapat ditulis tanpa menggambar pola yang rumit. Notasi Moser terlihat seperti ini:
« N segitiga" = n n = N;
« N dalam persegi" = N = « N V N segitiga" = NN;
« N dalam segi lima" = N = « N V N kotak" = NN;
« N V k+ 1-gon" = N[k+1] = " N V N k-gon" = N[k]N.
Jadi, menurut notasi Moser, "mega" Steinhausian ditulis sebagai 2, "medzon" sebagai 3, dan "megiston" sebagai 10. Selain itu, Leo Moser menyarankan untuk memanggil poligon dengan jumlah sisi yang sama dengan mega - "megagon ". Dan dia mengusulkan angka "2 dalam megagon", yaitu 2. Angka ini kemudian dikenal sebagai angka Moser atau hanya disebut "moser".
Tetapi bahkan "moser" bukanlah angka terbesar. Jadi, angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematika adalah "bilangan Graham". Angka ini pertama kali digunakan oleh ahli matematika Amerika Ronald Graham pada tahun 1977 ketika membuktikan salah satu perkiraan dalam teori Ramsey, yaitu ketika menghitung dimensi benda tertentu. N hypercubes bichromatic -dimensi. Nomor Graham mendapatkan ketenaran hanya setelah cerita tentangnya dalam buku Martin Gardner tahun 1989 "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers".
Untuk menjelaskan seberapa besar angka Graham, kita harus menjelaskan cara lain untuk menulis angka besar, yang diperkenalkan oleh Donald Knuth pada tahun 1976. Profesor Amerika Donald Knuth datang dengan konsep gelar super, yang dia usulkan untuk ditulis dengan panah mengarah ke atas:
Saya pikir semuanya sudah jelas, jadi mari kita kembali ke nomor Graham. Ronald Graham mengusulkan apa yang disebut G-number:
Ini adalah angka G 64 dan disebut angka Graham (sering dilambangkan hanya sebagai G). Angka ini merupakan angka terbesar yang diketahui di dunia yang digunakan dalam pembuktian matematika, dan bahkan tercatat dalam Guinness Book of Records.
Dan akhirnya
Setelah menulis artikel ini, saya tidak dapat menahan godaan dan muncul dengan nomor saya sendiri. Biarkan nomor ini dipanggil staplex» dan akan sama dengan angka G 100 . Hafalkan, dan ketika anak-anak Anda bertanya berapa angka terbesar di dunia, beri tahu mereka bahwa nomor ini disebut staplex.
Berita mitra
10 hingga 3003 derajat
Perdebatan tentang apa sosok terbesar di dunia sedang berlangsung. Sistem kalkulus yang berbeda menawarkan pilihan yang berbeda dan orang tidak tahu harus percaya apa, dan angka mana yang dianggap terbesar.
Pertanyaan ini menarik minat para ilmuwan sejak zaman Kekaisaran Romawi. Halangan terbesar terletak pada definisi apa itu "angka" dan apa itu "angka". Pada suatu waktu, orang untuk waktu yang lama menganggap angka terbesar sebagai decillion, yaitu 10 pangkat 33. Tetapi, setelah para ilmuwan mulai aktif mempelajari sistem metrik Amerika dan Inggris, ditemukan bahwa angka terbesar di dunia adalah 10 pangkat 3003 - satu juta. Orang-orang dalam kehidupan sehari-hari percaya bahwa angka terbesar adalah satu triliun. Apalagi ini cukup formal, karena setelah satu triliun, nama tidak diberikan begitu saja, karena akunnya mulai terlalu rumit. Namun, secara teoritis murni, jumlah nol dapat ditambahkan tanpa batas. Oleh karena itu, membayangkan bahkan satu triliun visual murni dan apa yang mengikutinya hampir tidak mungkin.
dalam angka romawi
Di sisi lain, definisi "bilangan" dalam pemahaman matematikawan sedikit berbeda. Angka adalah tanda yang diterima secara universal dan digunakan untuk menunjukkan kuantitas yang dinyatakan dalam angka. Konsep kedua "angka" berarti ekspresi karakteristik kuantitatif dalam bentuk yang nyaman melalui penggunaan angka. Oleh karena itu, angka terdiri dari angka. Penting juga bahwa gambar tersebut memiliki sifat tanda. Mereka terkondisi, dapat dikenali, tidak dapat diubah. Angka juga memiliki sifat tanda, tetapi mengikuti fakta bahwa angka terdiri dari angka. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa satu triliun bukanlah angka sama sekali, melainkan angka. Lalu berapakah angka terbesar di dunia jika bukan trilyun yang merupakan angka?
Yang penting bilangan digunakan sebagai penyusun bilangan, tapi tidak hanya itu. Angka itu, bagaimanapun, adalah angka yang sama jika kita berbicara tentang beberapa hal, menghitungnya dari nol hingga sembilan. Sistem tanda seperti itu berlaku tidak hanya untuk angka Arab yang kita kenal, tetapi juga untuk angka Romawi I, V, X, L, C, D, M. Ini adalah angka Romawi. Di sisi lain, V I I I adalah angka Romawi. Dalam perhitungan Arab, itu sesuai dengan angka delapan.
dalam angka arab
Jadi, ternyata menghitung satuan dari nol hingga sembilan dianggap angka, dan yang lainnya adalah angka. Oleh karena itu kesimpulannya bahwa angka terbesar di dunia adalah sembilan. 9 adalah tanda, dan angka adalah abstraksi kuantitatif sederhana. Triliun adalah angka, dan bukan angka, dan karenanya tidak bisa menjadi angka terbesar di dunia. Satu triliun dapat disebut angka terbesar di dunia, dan kemudian secara nominal murni, karena angka dapat dihitung hingga tak terhingga. Jumlah digit sangat terbatas - dari 0 hingga 9.
Juga harus diingat bahwa angka dan angka dari sistem kalkulus yang berbeda tidak cocok, seperti yang kita lihat dari contoh angka dan angka Arab dan Romawi. Ini karena angka dan angka adalah konsep sederhana yang diciptakan oleh seseorang sendiri. Oleh karena itu, bilangan satu sistem perhitungan dapat dengan mudah menjadi bilangan sistem perhitungan lainnya dan sebaliknya.
Dengan demikian, bilangan terbesar tidak dapat dihitung, karena dapat terus dijumlahkan tanpa batas dari angka-angka tersebut. Adapun angka itu sendiri, dalam sistem yang diterima secara umum, 9 dianggap sebagai angka terbesar.
Ada angka yang sangat luar biasa, sangat besar sehingga dibutuhkan seluruh alam semesta bahkan untuk menuliskannya. Tapi inilah yang benar-benar menjengkelkan... beberapa dari jumlah yang sangat besar ini sangat penting untuk memahami dunia.
Ketika saya mengatakan "angka terbesar di alam semesta", yang saya maksud adalah yang terbesar penting angka, angka maksimum yang mungkin berguna dalam beberapa cara. Ada banyak pesaing untuk gelar ini, tetapi saya segera memperingatkan Anda: memang ada risiko mencoba memahami semua ini akan membuat Anda bingung. Dan selain itu, dengan terlalu banyak matematika, Anda menjadi sedikit bersenang-senang.
Googol dan googolplex
Edward Kasner
Kita bisa mulai dengan dua, kemungkinan besar angka terbesar yang pernah Anda dengar, dan ini memang dua angka terbesar yang memiliki definisi yang diterima secara umum dalam bahasa Inggris. (Ada nomenklatur yang cukup akurat yang digunakan untuk angka sebesar yang Anda inginkan, tetapi kedua angka ini saat ini tidak ditemukan dalam kamus.) Google, sejak menjadi terkenal di dunia (meskipun dengan kesalahan, perhatikan. sebenarnya itu adalah googol) di bentuk Google, lahir pada tahun 1920 sebagai cara untuk membuat anak-anak tertarik pada angka yang besar.
Untuk tujuan ini, Edward Kasner (foto) membawa kedua keponakannya, Milton dan Edwin Sirott, dalam tur New Jersey Palisades. Dia mengundang mereka untuk mengemukakan ide apa pun, dan kemudian Milton yang berusia sembilan tahun menyarankan "googol". Dari mana dia mendapatkan kata ini tidak diketahui, tetapi Kasner memutuskan itu 
atau angka yang diikuti seratus nol setelah satu akan disebut googol.
Tapi Milton muda tidak berhenti di situ, dia datang dengan angka yang lebih besar lagi, googolplex. Itu angka, menurut Milton, yang memiliki 1 terlebih dahulu dan kemudian nol sebanyak yang Anda bisa tulis sebelum Anda lelah. Meskipun idenya menarik, Kasner merasa diperlukan definisi yang lebih formal. Seperti yang dia jelaskan dalam bukunya tahun 1940 Matematika dan Imajinasi, definisi Milton membuka kemungkinan berbahaya bahwa badut sesekali bisa menjadi ahli matematika yang lebih unggul dari Albert Einstein hanya karena dia memiliki daya tahan lebih.
Jadi Kasner memutuskan bahwa googolplex akan menjadi , atau 1, diikuti oleh googol nol. Jika tidak, dan dalam notasi yang mirip dengan yang akan kita bahas dengan angka lain, kita akan mengatakan bahwa googolplex adalah . Untuk menunjukkan betapa memesonanya hal ini, Carl Sagan pernah berkomentar bahwa secara fisik tidak mungkin untuk menuliskan semua angka nol dari sebuah googolplex karena tidak ada cukup ruang di alam semesta. Jika seluruh volume alam semesta yang dapat diamati diisi dengan partikel debu halus berukuran kira-kira 1,5 mikron, maka jumlah berbagai cara penyusunan partikel ini kira-kira akan sama dengan satu googolplex.
Berbicara secara linguistik, googol dan googolplex mungkin adalah dua angka penting terbesar (setidaknya dalam bahasa Inggris), tetapi, seperti yang akan kita buat sekarang, ada banyak cara untuk mendefinisikan "signifikansi".
Dunia nyata
Jika kita berbicara tentang bilangan signifikan terbesar, ada argumen yang masuk akal bahwa ini benar-benar berarti Anda perlu mencari bilangan terbesar dengan nilai yang benar-benar ada di dunia. Kita bisa mulai dengan populasi manusia saat ini yang saat ini sekitar 6920 juta. PDB dunia pada tahun 2010 diperkirakan sekitar $61.960 miliar, tetapi kedua angka ini kecil dibandingkan dengan sekitar 100 triliun sel yang membentuk tubuh manusia. Tentu saja, tidak satu pun dari angka-angka ini yang dapat dibandingkan dengan jumlah total partikel di alam semesta, yang biasanya dianggap sekitar , dan angka ini sangat besar sehingga bahasa kita tidak memiliki kata untuk itu.
Kita bisa bermain-main dengan sistem pengukuran sedikit, membuat angka semakin besar. Dengan demikian, massa Matahari dalam ton akan lebih kecil daripada dalam pound. Cara terbaik untuk melakukan ini adalah dengan menggunakan satuan Planck, yang merupakan ukuran terkecil yang mungkin masih berlaku untuk hukum fisika. Misalnya, umur alam semesta dalam waktu Planck kira-kira . Jika kita kembali ke satuan waktu Planck pertama setelah Big Bang, kita akan melihat bahwa kerapatan Alam Semesta adalah . Kami mendapatkan lebih dan lebih, tetapi kami bahkan belum mencapai googol.
Angka terbesar dengan aplikasi dunia nyata mana pun—atau, dalam hal ini, aplikasi dunia nyata—mungkin , salah satu perkiraan terbaru jumlah alam semesta di multiverse. Jumlah ini sangat besar sehingga otak manusia benar-benar tidak dapat memahami semua alam semesta yang berbeda ini, karena otak hanya mampu melakukan konfigurasi secara kasar. Faktanya, angka ini mungkin adalah angka terbesar dengan arti praktis apa pun, jika Anda tidak memperhitungkan gagasan multiverse secara keseluruhan. Namun, masih ada jumlah yang jauh lebih besar yang mengintai di sana. Tetapi untuk menemukannya, kita harus masuk ke ranah matematika murni, dan tidak ada tempat yang lebih baik untuk memulai selain bilangan prima.
bilangan prima Mersenne
Bagian dari kesulitannya adalah menemukan definisi yang baik tentang apa itu angka yang "bermakna". Salah satu caranya adalah dengan memikirkan bilangan prima dan komposit. Bilangan prima, seperti yang mungkin Anda ingat dari matematika sekolah, adalah bilangan asli (tidak sama dengan satu) yang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri. Jadi, dan adalah bilangan prima, dan dan adalah bilangan komposit. Ini berarti bahwa setiap bilangan komposit pada akhirnya dapat diwakili oleh pembagi primanya. Dalam arti tertentu, bilangan itu lebih penting daripada, katakanlah, karena tidak ada cara untuk menyatakannya dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan yang lebih kecil.
Jelas kita bisa melangkah lebih jauh. , misalnya, sebenarnya adil , yang berarti bahwa dalam dunia hipotetis di mana pengetahuan kita tentang angka terbatas , seorang ahli matematika masih dapat mengungkapkan . Tetapi bilangan berikutnya sudah prima, artinya satu-satunya cara untuk mengungkapkannya adalah dengan mengetahui keberadaannya secara langsung. Ini berarti bahwa bilangan prima terbesar yang diketahui memainkan peran penting, tetapi, katakanlah, googol - yang pada akhirnya hanyalah kumpulan angka dan , dikalikan bersama - sebenarnya tidak. Dan karena bilangan prima sebagian besar acak, tidak ada cara yang diketahui untuk memprediksi bahwa bilangan yang sangat besar akan benar-benar prima. Sampai hari ini, menemukan bilangan prima baru adalah tugas yang sulit.
Para matematikawan Yunani kuno memiliki konsep bilangan prima setidaknya sejak 500 SM, dan 2000 tahun kemudian orang masih hanya mengetahui bilangan prima apa yang mencapai sekitar 750. Pemikir Euclid melihat kemungkinan penyederhanaan, tetapi sampai matematikawan Renaisans tidak dapat 't benar-benar menggunakannya dalam praktek. Angka-angka ini dikenal sebagai angka Mersenne dan dinamai ilmuwan Prancis abad ke-17 Marina Mersenne. Idenya cukup sederhana: angka Mersenne adalah angka apa pun dari bentuk . Jadi, misalnya, dan bilangan ini prima, hal yang sama juga berlaku untuk .
Bilangan prima Mersenne jauh lebih cepat dan lebih mudah ditentukan daripada jenis bilangan prima lainnya, dan komputer telah bekerja keras untuk menemukannya selama enam dekade terakhir. Hingga tahun 1952, bilangan prima terbesar yang diketahui adalah bilangan—bilangan dengan digit. Pada tahun yang sama, dihitung di komputer bahwa bilangan itu prima, dan bilangan ini terdiri dari angka-angka, yang membuatnya jauh lebih besar daripada googol.
Komputer telah diburu sejak saat itu, dan bilangan Mersenne ke- saat ini adalah bilangan prima terbesar yang dikenal umat manusia. Ditemukan pada tahun 2008, itu adalah angka dengan hampir jutaan digit. Ini adalah angka terbesar yang diketahui yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk angka yang lebih kecil, dan jika Anda ingin membantu menemukan angka Mersenne yang lebih besar, Anda (dan komputer Anda) selalu dapat bergabung dalam pencarian di http://www.mersenne. org/.
Nomor miring
Stanley Skuse
Mari kita kembali ke bilangan prima. Seperti yang saya katakan sebelumnya, mereka berperilaku salah secara fundamental, yang berarti tidak ada cara untuk memprediksi berapa bilangan prima berikutnya. Matematikawan telah dipaksa untuk beralih ke beberapa pengukuran yang agak fantastis untuk menemukan cara untuk memprediksi bilangan prima di masa depan, bahkan dengan cara yang samar-samar. Upaya yang paling berhasil mungkin adalah fungsi bilangan prima, yang ditemukan pada akhir abad ke-18 oleh matematikawan legendaris Carl Friedrich Gauss.
Saya akan menghindarkan Anda dari matematika yang lebih rumit - bagaimanapun, kita masih memiliki banyak hal yang akan datang - tetapi inti dari fungsinya adalah ini: untuk bilangan bulat apa pun, dimungkinkan untuk memperkirakan berapa banyak bilangan prima yang kurang dari . Misalnya, jika , fungsi memprediksi bahwa harus ada bilangan prima, jika - bilangan prima kurang dari , dan jika , maka ada bilangan prima yang lebih kecil.
Susunan bilangan prima memang tidak beraturan, dan hanya merupakan perkiraan dari jumlah bilangan prima yang sebenarnya. Faktanya, kita tahu bahwa ada bilangan prima kurang dari , bilangan prima kurang dari , dan bilangan prima kurang dari . Ini perkiraan yang bagus, tentu saja, tapi itu selalu hanya perkiraan ... dan lebih khusus lagi, perkiraan dari atas.
Dalam semua kasus yang diketahui hingga , fungsi yang menemukan jumlah bilangan prima sedikit melebih-lebihkan jumlah bilangan prima yang sebenarnya kurang dari . Matematikawan pernah berpikir bahwa ini akan selalu terjadi, ad infinitum, dan ini pasti berlaku untuk beberapa bilangan yang sangat besar, tetapi pada tahun 1914 John Edensor Littlewood membuktikan bahwa untuk beberapa bilangan yang tidak diketahui dan sangat besar, fungsi ini akan mulai menghasilkan bilangan prima yang lebih sedikit, dan kemudian akan beralih antara perkiraan yang terlalu tinggi dan perkiraan yang terlalu rendah berkali-kali.
Perburuan itu untuk titik awal balapan, dan di situlah Stanley Skuse muncul (lihat foto). Pada tahun 1933, ia membuktikan bahwa batas atas, ketika sebuah fungsi yang mendekati bilangan prima untuk pertama kalinya memberikan nilai yang lebih kecil, adalah bilangan tersebut. Sulit untuk benar-benar memahami, bahkan dalam pengertian yang paling abstrak, apa sebenarnya angka ini, dan dari sudut pandang ini, ini adalah angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematika yang serius. Sejak saat itu, ahli matematika telah mampu mengurangi batas atas menjadi angka yang relatif kecil, tetapi angka aslinya tetap dikenal sebagai angka Skewes.
Jadi, seberapa besar angka yang membuat kurcaci googolplex yang perkasa sekalipun? Dalam The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells menjelaskan salah satu cara matematikawan Hardy dapat memahami ukuran angka Skewes:
"Hardy mengira itu adalah 'bilangan terbesar yang pernah ada untuk melayani tujuan tertentu dalam matematika' dan menyarankan bahwa jika catur dimainkan dengan semua partikel alam semesta sebagai bidak, satu gerakan akan terdiri dari menukar dua partikel, dan permainan akan berhenti ketika posisi yang sama diulangi untuk ketiga kalinya, maka jumlah semua kemungkinan permainan akan sama dengan jumlah Skuse''.
Satu hal terakhir sebelum melanjutkan: kami berbicara tentang yang lebih kecil dari dua angka Skewes. Ada nomor Skewes lain, yang ditemukan oleh ahli matematika pada tahun 1955. Angka pertama diturunkan dengan alasan bahwa apa yang disebut Hipotesis Riemann benar - hipotesis yang sangat sulit dalam matematika yang masih belum terbukti, sangat berguna dalam hal bilangan prima. Namun, jika Hipotesis Riemann salah, Skewes menemukan bahwa titik awal lompatan meningkat menjadi .
Masalah besarnya
Sebelum kita sampai pada angka yang bahkan membuat angka Skuse terlihat kecil, kita perlu berbicara sedikit tentang skala karena jika tidak, kita tidak dapat memperkirakan ke mana kita akan pergi. Mari kita ambil angka terlebih dahulu - ini adalah angka yang sangat kecil, sangat kecil sehingga orang benar-benar dapat memiliki pemahaman intuitif tentang artinya. Ada sangat sedikit angka yang sesuai dengan deskripsi ini, karena angka yang lebih besar dari enam berhenti menjadi angka yang terpisah dan menjadi "beberapa", "banyak", dll.
Sekarang mari kita ambil , mis. . Meskipun kita tidak bisa secara intuitif, seperti yang kita lakukan untuk angkanya , mencari tahu apa , bayangkan apa itu, itu sangat mudah. Sejauh ini semuanya berjalan dengan baik. Tapi apa yang terjadi jika kita pergi ke? Ini sama dengan , atau . Kami sangat jauh dari dapat membayangkan nilai ini, seperti nilai yang sangat besar lainnya - kami kehilangan kemampuan untuk memahami bagian-bagian individu sekitar satu juta. (Memang, butuh waktu yang sangat lama untuk benar-benar menghitung hingga satu juta, tetapi intinya adalah kita masih dapat melihat angka itu.)
Namun, meskipun kami tidak dapat membayangkannya, kami setidaknya dapat memahami secara umum apa itu 7600 miliar, mungkin dengan membandingkannya dengan PDB AS. Kami telah beralih dari intuisi ke representasi menjadi sekadar pemahaman, tetapi setidaknya kami masih memiliki beberapa celah dalam pemahaman kami tentang apa itu angka. Ini akan berubah saat kita menaiki satu anak tangga lagi.
Untuk melakukan ini, kita perlu beralih ke notasi yang diperkenalkan oleh Donald Knuth, yang dikenal dengan notasi panah. Notasi ini dapat ditulis sebagai . Saat kita pergi ke , nomor yang kita dapatkan adalah . Ini sama dengan jumlah total triplet. Kami sekarang telah jauh dan benar-benar melampaui semua angka lain yang telah disebutkan. Bagaimanapun, bahkan yang terbesar dari mereka hanya memiliki tiga atau empat anggota dalam seri indeks. Misalnya, bahkan angka super Skuse adalah "hanya" - bahkan dengan fakta bahwa basis dan eksponennya jauh lebih besar dari , itu sama sekali tidak ada apa-apanya dibandingkan dengan ukuran menara angka dengan miliaran anggota.
Jelas, tidak ada cara untuk memahami jumlah sebesar itu... namun, proses pembuatannya masih dapat dipahami. Kami tidak dapat memahami angka sebenarnya yang diberikan oleh menara kekuatan, yaitu satu miliar tiga kali lipat, tetapi pada dasarnya kami dapat membayangkan menara seperti itu dengan banyak anggota, dan superkomputer yang sangat baik akan dapat menyimpan menara tersebut dalam memori, bahkan jika itu tidak dapat menghitung nilai sebenarnya.
Ini semakin abstrak, tetapi itu hanya akan menjadi lebih buruk. Anda mungkin berpikir bahwa menara kekuatan yang panjang eksponennya (selain itu, di versi sebelumnya dari posting ini saya membuat kesalahan yang persis sama), tetapi itu hanya . Dengan kata lain, bayangkan Anda memiliki kemampuan untuk menghitung nilai pasti dari menara listrik tiga kali lipat, yang terdiri dari elemen, lalu Anda mengambil nilai ini dan membuat menara baru dengan begitu banyak di dalamnya ... yang menghasilkan .
Ulangi proses ini dengan setiap nomor berurutan ( catatan mulai dari kanan) sampai Anda melakukan ini sekali, dan akhirnya Anda mendapatkan . Ini adalah angka yang sangat besar, tetapi setidaknya langkah-langkah untuk mendapatkannya tampak jelas jika semuanya dilakukan dengan sangat lambat. Kita tidak bisa lagi memahami angka atau membayangkan prosedur untuk mendapatkannya, tapi setidaknya kita bisa memahami algoritma dasarnya, hanya dalam waktu yang cukup lama.
Sekarang mari persiapkan pikiran untuk benar-benar meledakkannya.
Nomor Graham (Graham).
Ronald Graham
Ini adalah bagaimana Anda mendapatkan angka Graham, yang masuk dalam Guinness Book of World Records sebagai angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis. Sangat tidak mungkin membayangkan seberapa besar itu, dan sama sulitnya untuk menjelaskan dengan tepat apa itu. Pada dasarnya, bilangan Graham berperan saat berhadapan dengan hypercubes, yang merupakan bentuk geometris teoretis dengan lebih dari tiga dimensi. Ahli matematika Ronald Graham (lihat foto) ingin mencari tahu berapa jumlah dimensi terkecil yang akan menjaga sifat tertentu dari hypercube tetap stabil. (Maaf untuk penjelasan yang tidak jelas ini, tapi saya yakin kita semua membutuhkan setidaknya dua gelar matematika untuk membuatnya lebih akurat.)
Bagaimanapun, angka Graham adalah perkiraan atas dari jumlah dimensi minimum ini. Jadi seberapa besar batas atas ini? Mari kita kembali ke angka yang sangat besar sehingga kita dapat memahami algoritme untuk mendapatkannya secara samar-samar. Sekarang, daripada hanya melompat satu tingkat lagi ke , kita akan menghitung angka yang memiliki anak panah di antara tiga kali lipat pertama dan terakhir. Sekarang kita jauh melampaui pemahaman sekecil apa pun tentang apa angka ini atau bahkan apa yang perlu dilakukan untuk menghitungnya.
Sekarang ulangi proses kali ini ( catatan pada setiap langkah selanjutnya, kami menulis jumlah panah sama dengan jumlah yang diperoleh pada langkah sebelumnya).
Ini, hadirin sekalian, adalah nomor Graham, yang kira-kira jauh di atas titik pemahaman manusia. Ini adalah angka yang jauh lebih besar daripada angka apa pun yang dapat Anda bayangkan - jauh lebih besar daripada ketidakterbatasan apa pun yang dapat Anda bayangkan - itu hanya menentang deskripsi yang paling abstrak sekalipun.
Tapi inilah hal yang aneh. Karena bilangan Graham pada dasarnya hanyalah triplet yang dikalikan bersama, kita mengetahui beberapa sifat-sifatnya tanpa benar-benar menghitungnya. Kita tidak dapat menyatakan bilangan Graham dalam notasi apa pun yang kita kenal, bahkan jika kita menggunakan seluruh alam semesta untuk menuliskannya, tetapi saya dapat memberikan dua belas digit terakhir bilangan Graham sekarang: . Dan itu belum semuanya: kita tahu setidaknya digit terakhir dari nomor Graham.
Tentu saja, perlu diingat bahwa angka ini hanyalah batas atas dalam soal asli Graham. Ada kemungkinan bahwa jumlah pengukuran sebenarnya yang diperlukan untuk memenuhi properti yang diinginkan jauh lebih sedikit. Faktanya, sejak tahun 1980-an, sebagian besar pakar di bidang ini percaya bahwa sebenarnya hanya ada enam dimensi - angka yang sangat kecil sehingga kita dapat memahaminya secara intuitif. Batas bawah telah dinaikkan menjadi , tetapi masih ada peluang yang sangat baik bahwa solusi untuk masalah Graham tidak mendekati angka sebesar solusi Graham.
Hingga tak terbatas
Jadi ada angka yang lebih besar dari angka Graham? Ada, tentu saja, sebagai permulaan ada nomor Graham. Adapun angka signifikan ... yah, ada beberapa bidang matematika yang sangat sulit (khususnya, bidang yang dikenal sebagai kombinatorik) dan ilmu komputer, di mana ada angka yang bahkan lebih besar dari angka Graham. Tapi kita hampir mencapai batas dari apa yang saya harap bisa dijelaskan secara masuk akal. Bagi mereka yang cukup gegabah untuk melangkah lebih jauh, bacaan tambahan ditawarkan dengan risiko Anda sendiri.
Nah, sekarang kutipan luar biasa yang dikaitkan dengan Douglas Ray ( catatan Sejujurnya, kedengarannya cukup lucu:
“Saya melihat gumpalan angka samar bersembunyi di luar sana dalam kegelapan, di balik titik kecil cahaya yang diberikan lilin pikiran. Mereka saling berbisik; berbicara tentang siapa yang tahu apa. Mungkin mereka tidak terlalu menyukai kita karena menangkap adik laki-laki mereka dengan pikiran kita. Atau mungkin mereka hanya menjalani gaya hidup numerik yang jelas, di luar sana, di luar pemahaman kita.''
Menjawab pertanyaan yang begitu sulit, apa itu, angka terbesar di dunia, pertama-tama harus dicatat bahwa saat ini ada 2 cara yang diterima untuk memberi nama angka - Inggris dan Amerika. Menurut sistem bahasa Inggris, sufiks -miliar atau -juta ditambahkan secara bergiliran ke setiap angka besar, menghasilkan angka juta, miliar, triliun, triliun, dan seterusnya. Jika kita melanjutkan dari sistem Amerika, maka menurutnya, sufiks -juta harus ditambahkan ke setiap bilangan besar, sebagai akibatnya bilangan triliun, kuadriliun, dan besar terbentuk. Perlu juga dicatat di sini bahwa sistem angka bahasa Inggris lebih umum di dunia modern, dan angka yang tersedia di dalamnya cukup memadai untuk fungsi normal semua sistem di dunia kita.
Tentu saja, jawaban atas pertanyaan tentang bilangan terbesar dari sudut pandang logika tidak bisa tidak ambigu, karena seseorang hanya perlu menambahkan satu ke setiap digit berikutnya, kemudian diperoleh bilangan baru yang lebih besar, oleh karena itu, proses ini tidak memiliki batasan. Namun anehnya, jumlah terbesar di dunia masih ada dan tercatat di Guinness Book of Records.
Bilangan Graham adalah bilangan terbesar di dunia
Angka inilah yang diakui di dunia sebagai yang terbesar dalam Book of Records, sementara sangat sulit untuk menjelaskan apa itu dan seberapa besar. Secara umum, ini adalah tiga kali lipat dikalikan satu sama lain, menghasilkan angka yang 64 kali lipat lebih tinggi dari titik pemahaman setiap orang. Akibatnya, kami hanya dapat memberikan 50 digit terakhir dari nomor Graham – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.
nomor gogol 
Sejarah nomor ini tidak serumit yang di atas. Jadi seorang ahli matematika dari Amerika, Edward Kasner, berbicara dengan keponakannya tentang bilangan besar, tidak dapat menjawab pertanyaan bagaimana menyebutkan bilangan yang memiliki 100 nol atau lebih. Seorang keponakan yang banyak akal menawarkan nomor seperti itu namanya - googol. Perlu dicatat bahwa angka ini tidak memiliki signifikansi praktis, namun kadang-kadang digunakan dalam matematika untuk menyatakan ketidakterbatasan.
Googleplex 
Angka ini juga ditemukan oleh ahli matematika Edward Kasner dan keponakannya Milton Sirotta. Secara umum, ini adalah angka pangkat sepuluh googol. Menjawab pertanyaan dari banyak sifat ingin tahu, berapa banyak angka nol di Googleplex, perlu dicatat bahwa dalam versi klasik angka ini tidak dapat direpresentasikan, bahkan jika semua kertas yang tersedia di planet ini ditutupi dengan angka nol klasik.
Nomor miring 
Pesaing lain untuk gelar bilangan terbesar adalah bilangan Skewes, dibuktikan oleh John Littwood pada tahun 1914. Menurut bukti yang diberikan, jumlah ini kira-kira 8.185 10370.
nomor moser 
Metode penamaan bilangan yang sangat besar ini ditemukan oleh Hugo Steinhaus, yang menyarankan agar mereka dilambangkan dengan poligon. Sebagai hasil dari tiga operasi matematika yang dilakukan, angka 2 lahir dalam megagon (poligon dengan sisi mega).
Seperti yang sudah Anda lihat, sejumlah besar ahli matematika telah berusaha untuk menemukannya - jumlah terbesar di dunia. Seberapa berhasil upaya ini, tentu saja, bukan untuk kita menilai, namun, perlu dicatat bahwa penerapan sebenarnya dari angka-angka tersebut diragukan, karena mereka bahkan tidak dapat menerima pemahaman manusia. Selain itu, akan selalu ada angka yang lebih besar jika Anda melakukan operasi matematika +1 yang sangat mudah.
17 Juni 2015
“Saya melihat gumpalan angka samar bersembunyi di luar sana dalam kegelapan, di balik titik kecil cahaya yang diberikan lilin pikiran. Mereka saling berbisik; berbicara tentang siapa yang tahu apa. Mungkin mereka tidak terlalu menyukai kita karena menangkap adik laki-laki mereka dengan pikiran kita. Atau mungkin mereka hanya menjalani gaya hidup numerik yang jelas, di luar sana, di luar pemahaman kita.''
Douglas Ray
Kami melanjutkan milik kami. Hari ini kita punya nomor...
Cepat atau lambat, semua orang tersiksa oleh pertanyaan, berapa angka terbesarnya. Pertanyaan seorang anak bisa dijawab sejuta. Apa berikutnya? Triliun. Dan lebih jauh lagi? Padahal, jawaban atas pertanyaan berapa angka terbesar itu sederhana. Cukup tambahkan satu ke angka terbesar, karena tidak akan lagi menjadi yang terbesar. Prosedur ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu.
Tetapi jika Anda bertanya pada diri sendiri: berapa angka terbesar yang ada, dan apa namanya?
Sekarang kita semua tahu...
Ada dua sistem untuk memberi nama nomor - Amerika dan Inggris.
Sistem Amerika dibangun dengan cukup sederhana. Semua nama bilangan besar dibuat seperti ini: di awal ada bilangan ordinal Latin, dan di akhir ditambahkan sufiks -juta. Pengecualian adalah nama "sejuta" yang merupakan nama angka seribu (lat. mille) dan akhiran pembesar -juta (lihat tabel). Jadi jumlahnya diperoleh - triliun, kuadriliun, kuintiliun, sextillion, septillion, octillion, nonillion dan decillion. Sistem Amerika digunakan di AS, Kanada, Prancis, dan Rusia. Anda dapat mengetahui jumlah nol dalam angka yang ditulis dalam sistem Amerika menggunakan rumus sederhana 3 x + 3 (di mana x adalah angka Latin).
Sistem penamaan bahasa Inggris adalah yang paling umum di dunia. Ini digunakan, misalnya, di Inggris Raya dan Spanyol, serta di sebagian besar bekas koloni Inggris dan Spanyol. Nama-nama angka dalam sistem ini dibuat seperti ini: seperti ini: sufiks -juta ditambahkan ke angka Latin, angka berikutnya (1000 kali lebih besar) dibuat sesuai dengan prinsip - angka Latin yang sama, tetapi sufiksnya adalah -miliar. Artinya, setelah satu triliun dalam sistem Inggris muncul satu triliun, dan baru kemudian menjadi kuadriliun, diikuti oleh kuadriliun, dan seterusnya. Jadi, kuadriliun menurut sistem Inggris dan Amerika adalah angka yang sama sekali berbeda! Anda dapat mengetahui jumlah nol dalam angka yang ditulis dalam sistem bahasa Inggris dan diakhiri dengan akhiran -juta menggunakan rumus 6 x + 3 (di mana x adalah angka Latin) dan menggunakan rumus 6 x + 6 untuk angka yang diakhiri dengan -miliar.
Hanya angka miliar (10 9 ) yang diteruskan dari sistem bahasa Inggris ke dalam bahasa Rusia, yang, bagaimanapun, akan lebih tepat untuk menyebutnya sebagaimana orang Amerika menyebutnya - satu miliar, karena kami telah mengadopsi sistem Amerika. Tapi siapa di negara kita yang melakukan sesuatu sesuai aturan! ;-) Ngomong-ngomong, terkadang kata triliun juga digunakan dalam bahasa Rusia (Anda dapat melihatnya sendiri dengan menjalankan pencarian di Google atau Yandex) dan artinya, tampaknya, 1000 triliun, yaitu. milion lipat empat.
Selain angka yang ditulis menggunakan awalan Latin dalam sistem Amerika atau Inggris, yang disebut angka di luar sistem juga dikenal, yaitu. angka yang memiliki nama sendiri tanpa awalan Latin. Ada beberapa nomor seperti itu, tetapi saya akan membicarakannya lebih detail nanti.
Mari kembali menulis menggunakan angka Latin. Tampaknya mereka dapat menulis angka hingga tak terbatas, tetapi ini tidak sepenuhnya benar. Sekarang saya akan menjelaskan alasannya. Pertama mari kita lihat bagaimana angka dari 1 sampai 10 33 disebut:
Jadi, sekarang muncul pertanyaan, apa selanjutnya. Apa itu decillion? Pada prinsipnya, tentu saja dimungkinkan dengan menggabungkan awalan untuk menghasilkan monster seperti: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, dan novemdecillion, tetapi ini sudah menjadi nama majemuk, dan kami tertarik pada nomor nama kita sendiri. Oleh karena itu, menurut sistem ini, selain yang disebutkan di atas, Anda masih bisa mendapatkan hanya tiga - vigintillion (dari lat.viginti- dua puluh), centillion (dari lat.persen- seratus) dan satu juta (dari lat.mille- ribu). Bangsa Romawi tidak memiliki lebih dari seribu nama yang tepat untuk angka (semua angka lebih dari seribu adalah gabungan). Misalnya, satu juta (1.000.000) orang Romawi meneleponcentena miliayaitu sepuluh ratus ribu. Dan sekarang, sebenarnya, tabelnya:
Jadi, menurut sistem yang serupa, angkanya lebih besar dari 10 3003 , yang memiliki nama non-majemuknya sendiri, tidak mungkin didapat! Namun demikian, angka yang diketahui lebih dari satu juta - ini adalah angka yang sangat non-sistemik. Akhirnya, mari kita bicara tentang mereka.
Angka terkecil adalah segudang (bahkan dalam kamus Dahl), yang artinya seratus ratusan, yaitu 10.000. Benar, kata ini sudah ketinggalan zaman dan praktis tidak digunakan, tetapi anehnya kata "segudang" itu banyak digunakan, yang tidak berarti angka tertentu sama sekali, tetapi kumpulan sesuatu yang tak terhitung dan tak terhitung. Diyakini bahwa kata segudang (segudang bahasa Inggris) datang ke bahasa Eropa dari Mesir kuno.
Ada perbedaan pendapat tentang asal usul angka ini. Beberapa percaya bahwa itu berasal dari Mesir, sementara yang lain percaya bahwa itu hanya lahir di Yunani kuno. Bagaimanapun, faktanya, segudang mendapatkan ketenaran justru berkat orang Yunani. Segudang adalah nama untuk 10.000, dan tidak ada nama untuk angka di atas sepuluh ribu. Namun, dalam catatan "Psammit" (yaitu, kalkulus pasir), Archimedes menunjukkan bagaimana seseorang dapat secara sistematis membangun dan memberi nama bilangan besar yang sewenang-wenang. Secara khusus, menempatkan 10.000 (segudang) butir pasir dalam biji poppy, dia menemukan bahwa di Semesta (bola dengan diameter segudang diameter Bumi) akan muat (dalam notasi kami) tidak lebih dari 10 63
butiran pasir. Sangat mengherankan bahwa perhitungan modern dari jumlah atom di alam semesta yang terlihat mengarah ke angka 10 67
(hanya sejuta kali lebih banyak). Nama-nama angka yang disarankan Archimedes adalah sebagai berikut:
1 segudang = 10 4 .
1 di-myriad = segudang segudang = 10 8
.
1 tri-myriad = di-myriad di-myriad = 10 16
.
1 tetra-myriad = tiga-myriad tiga-myriad = 10 32
.
dll.
Googol (dari bahasa Inggris googol) adalah angka sepuluh pangkat seratus, yaitu satu dengan seratus nol. "Googol" pertama kali ditulis pada tahun 1938 dalam artikel "Nama Baru dalam Matematika" dalam jurnal Scripta Mathematica edisi Januari oleh matematikawan Amerika Edward Kasner. Menurutnya, keponakannya yang berusia sembilan tahun, Milton Sirotta, menyarankan untuk memanggil sejumlah besar "googol". Nomor ini menjadi terkenal berkat mesin pencari yang dinamai menurut namanya. Google. Perhatikan bahwa "Google" adalah merek dagang dan googol adalah angka.
Edward Kasner.
Di Internet, Anda sering dapat menemukan penyebutan itu - tetapi tidak demikian ...
Dalam risalah Buddha terkenal Sutra Jaina, yang berasal dari 100 SM, angka Asankheya (dari bahasa Cina. asentzi- tak terhitung), sama dengan 10 140. Dipercayai bahwa angka ini sama dengan jumlah siklus kosmik yang diperlukan untuk mencapai nirwana.
Googolplex (Inggris) googolplex) - angka yang juga ditemukan oleh Kasner dengan keponakannya dan artinya satu dengan googol nol, yaitu 10 10100 . Berikut adalah bagaimana Kasner sendiri menggambarkan "penemuan" ini:
Kata-kata bijak diucapkan oleh anak-anak setidaknya sesering para ilmuwan. Nama "googol" ditemukan oleh seorang anak (keponakan Dr. Kasner yang berusia sembilan tahun) yang diminta memikirkan nama untuk angka yang sangat besar, yaitu 1 dengan seratus nol setelahnya. Dia sangat yakin bahwa angka ini tidak terbatas, dan oleh karena itu sama yakinnya bahwa itu harus memiliki nama, googol, tetapi tetap terbatas, seperti yang ditunjukkan oleh penemu nama itu dengan cepat.
Matematika dan Imajinasi(1940) oleh Kasner dan James R. Newman.
Bahkan lebih besar dari bilangan googolplex, bilangan Skewes diusulkan oleh Skewes pada tahun 1933 (Skewes. J. London Matematika. soc. 8, 277-283, 1933.) dalam membuktikan konjektur Riemann mengenai bilangan prima. Itu berarti e sejauh itu e sejauh itu e dengan kekuatan 79, yaitu ee e 79 . Belakangan, Riele (te Riele, H.J.J. "Pada Tanda Perbedaan P(x)-Li(x)." Matematika. Komputer. 48, 323-328, 1987) mengurangi nomor Skuse menjadi ee 27/4 , yang kira-kira sama dengan 8,185 10 370 . Jelas karena nilai angka Skewes bergantung pada angkanya e, maka itu bukan bilangan bulat, jadi kami tidak akan mempertimbangkannya, jika tidak, kami harus mengingat bilangan non-alami lainnya - bilangan pi, bilangan e, dll.
Tetapi perlu dicatat bahwa ada angka Skewes kedua, yang dalam matematika dilambangkan sebagai Sk2 , yang bahkan lebih besar dari angka Skewes pertama (Sk1 ). Angka kedua Skuse, diperkenalkan oleh J. Skuse dalam artikel yang sama untuk menunjukkan angka yang hipotesis Riemann tidak valid. Sk2 adalah 1010 10103 , yaitu 1010 101000 .
Seperti yang Anda pahami, semakin banyak derajatnya, semakin sulit untuk memahami angka mana yang lebih besar. Misalnya, melihat angka Skewes, tanpa perhitungan khusus, hampir tidak mungkin untuk memahami mana dari dua angka ini yang lebih besar. Jadi, untuk nomor super besar, menggunakan kekuatan menjadi tidak nyaman. Selain itu, Anda dapat menemukan angka-angka seperti itu (dan angka-angka itu telah ditemukan) ketika derajat derajatnya tidak muat di halaman. Ya, halaman yang luar biasa! Mereka bahkan tidak akan cocok dengan buku seukuran seluruh alam semesta! Dalam hal ini, muncul pertanyaan bagaimana cara menuliskannya. Masalahnya, seperti yang Anda pahami, dapat dipecahkan, dan ahli matematika telah mengembangkan beberapa prinsip untuk menulis angka tersebut. Benar, setiap ahli matematika yang menanyakan masalah ini muncul dengan caranya sendiri menulis, yang menyebabkan adanya beberapa cara yang tidak terkait untuk menulis angka - ini adalah notasi Knuth, Conway, Steinhaus, dll.
Perhatikan notasi Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Snapshot Matematika, edisi ke-3. 1983), yang cukup sederhana. Steinhouse menyarankan untuk menulis angka besar di dalam bentuk geometris - segitiga, persegi, dan lingkaran:
Steinhouse datang dengan dua angka super besar baru. Dia memanggil nomor itu - Mega, dan nomor itu - Megiston.
Ahli matematika Leo Moser menyempurnakan notasi Stenhouse, yang dibatasi oleh fakta bahwa jika perlu menulis angka yang jauh lebih besar dari megiston, kesulitan dan ketidaknyamanan muncul, karena banyak lingkaran harus digambar satu di dalam yang lain. Moser menyarankan untuk menggambar bukan lingkaran demi bujur sangkar, tetapi pentagon, lalu segi enam, dan seterusnya. Dia juga mengusulkan notasi formal untuk poligon ini, sehingga angka dapat ditulis tanpa menggambar pola yang rumit. Notasi Moser terlihat seperti ini:
Jadi, menurut notasi Moser, mega Steinhouse ditulis sebagai 2, dan megiston sebagai 10. Selain itu, Leo Moser menyarankan untuk memanggil poligon dengan jumlah sisi yang sama dengan mega - megagon. Dan dia mengusulkan angka "2 di Megagon", yaitu 2. Angka ini kemudian dikenal sebagai angka Moser atau hanya disebut moser.
Tapi moser bukanlah angka terbesar. Bilangan terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis adalah nilai pembatas yang dikenal sebagai bilangan Graham, pertama kali digunakan pada tahun 1977 dalam pembuktian satu perkiraan dalam teori Ramsey. Angka ini diasosiasikan dengan hiperkubus bikromatik dan tidak dapat dinyatakan tanpa sistem 64 tingkat khusus dari simbol matematika khusus yang diperkenalkan oleh Knuth pada tahun 1976.
Sayangnya, angka yang ditulis dalam notasi Knuth tidak dapat diterjemahkan ke dalam notasi Moser. Oleh karena itu, sistem ini juga harus dijelaskan. Prinsipnya juga tidak ada yang rumit. Donald Knuth (ya, ya, ini adalah Knuth yang sama yang menulis The Art of Programming dan membuat editor TeX) muncul dengan konsep kekuatan super, yang dia usulkan untuk ditulis dengan panah mengarah ke atas:
Secara umum, tampilannya seperti ini:
Saya pikir semuanya sudah jelas, jadi mari kita kembali ke nomor Graham. Graham mengusulkan apa yang disebut G-number:
- G1 = 3..3, dimana jumlah anak panah derajat super adalah 33.
- G2 = ..3, dimana jumlah anak panah derajat super sama dengan G1 .
- G3 = ..3, dimana jumlah anak panah derajat super sama dengan G2 .
- G63 = ..3, dimana jumlah anak panah negara adidaya adalah G62 .
Angka G63 kemudian dikenal sebagai angka Graham (sering dilambangkan hanya sebagai G). Angka ini merupakan angka terbesar yang diketahui di dunia dan bahkan tercatat dalam Guinness Book of Records. Dan di sini
