Salah satu konsep penting dalam matematika adalah fungsi. Dengan bantuannya, Anda dapat memvisualisasikan banyak proses yang terjadi di alam, merefleksikan hubungan antara besaran tertentu menggunakan rumus, tabel, dan gambar pada grafik. Contohnya adalah ketergantungan tekanan lapisan cair pada benda pada kedalaman pencelupan, percepatan - pada aksi gaya tertentu pada suatu objek, kenaikan suhu - pada energi yang ditransmisikan, dan banyak proses lainnya. Studi tentang suatu fungsi melibatkan memplot grafik, menemukan propertinya, domain definisi dan nilai, interval kenaikan dan penurunan. Poin penting dalam proses ini adalah menemukan titik ekstrem. Tentang bagaimana melakukannya dengan benar, dan percakapan akan berlanjut.

Tentang konsep itu sendiri pada contoh spesifik

Dalam kedokteran, pembuatan grafik fungsi dapat mengetahui perjalanan perkembangan penyakit dalam tubuh pasien, yang secara jelas mencerminkan kondisinya. Misalkan waktu dalam hari diplot sepanjang sumbu OX, dan suhu tubuh manusia diplot sepanjang sumbu OY. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bagaimana indikator ini naik tajam, lalu turun. Juga mudah untuk melihat titik tunggal yang mencerminkan momen ketika fungsi, yang sebelumnya meningkat, mulai menurun, dan sebaliknya. Ini adalah titik ekstrim, yaitu nilai kritis (maksimum dan minimum) dalam hal ini suhu pasien, setelah itu terjadi perubahan kondisinya.

Sudut kemiringan

Dari gambar tersebut mudah untuk menentukan bagaimana turunan dari fungsi berubah. Jika garis lurus grafik naik dari waktu ke waktu, maka itu positif. Dan semakin curam mereka, semakin besar nilai turunannya, seiring dengan bertambahnya sudut kemiringan. Selama periode penurunan, nilai ini mengambil nilai negatif, berubah menjadi nol pada titik ekstrem, dan grafik turunan dalam kasus terakhir digambar sejajar dengan sumbu OX.

Proses lainnya harus diperlakukan dengan cara yang sama. Tetapi cara terbaik untuk mengetahui tentang konsep ini adalah pergerakan berbagai benda, yang ditunjukkan dengan jelas pada grafik.

Pergerakan

Misalkan beberapa benda bergerak dalam garis lurus, memperoleh kecepatan yang seragam. Selama periode ini, perubahan koordinat benda secara grafis mewakili kurva tertentu, yang oleh ahli matematika disebut sebagai cabang parabola. Pada saat yang sama, fungsinya terus meningkat, karena indikator koordinat berubah semakin cepat setiap detik. Grafik kecepatan menunjukkan perilaku turunan yang nilainya juga meningkat. Artinya, gerakan tersebut tidak memiliki titik kritis.

Ini akan berlanjut tanpa batas waktu. Tetapi bagaimana jika tubuh tiba-tiba memutuskan untuk melambat, berhenti, dan mulai bergerak ke arah yang berbeda? Dalam hal ini, indikator koordinat akan mulai berkurang. Dan fungsinya akan melewati nilai kritis dan berubah dari naik menjadi turun.

Dalam contoh ini, Anda dapat kembali memahami bahwa titik-titik ekstrem pada grafik fungsi muncul pada saat tidak lagi monoton.

Arti fisik turunan

Apa yang dijelaskan sebelumnya dengan jelas menunjukkan bahwa turunan pada dasarnya adalah laju perubahan fungsi. Penyempurnaan ini mengandung makna fisiknya. Titik ekstrem adalah area kritis pada grafik. Anda dapat mengetahui dan mendeteksinya dengan menghitung nilai turunannya, yang ternyata sama dengan nol.

Ada tanda lain, yang merupakan kondisi yang cukup untuk ekstrem. Turunan di tempat belok seperti itu mengubah tandanya: dari "+" menjadi "-" di wilayah maksimum dan dari "-" menjadi "+" di wilayah minimum.

Gerakan di bawah pengaruh gravitasi

Bayangkan situasi lain. Anak-anak, bermain bola, melemparkannya sedemikian rupa sehingga mulai bergerak miring ke cakrawala. Pada saat awal, kecepatan benda ini adalah yang terbesar, tetapi di bawah pengaruh gravitasi, ia mulai berkurang, dan setiap detiknya bernilai sama, kira-kira 9,8 m / s 2. Ini adalah nilai percepatan yang terjadi di bawah pengaruh gravitasi bumi saat jatuh bebas. Di Bulan, ukurannya sekitar enam kali lebih kecil.

Grafik yang menggambarkan pergerakan tubuh adalah parabola dengan cabang-cabang yang mengarah ke bawah. Bagaimana cara mencari titik ekstrim? Dalam hal ini, ini adalah simpul dari fungsi, di mana kecepatan benda (bola) mengambil nilai nol. Turunan dari fungsi tersebut menjadi nol. Dalam hal ini, arah, dan karenanya nilai kecepatan, berubah menjadi kebalikannya. Tubuh terbang setiap detik semakin cepat dan semakin cepat, dan berakselerasi dengan jumlah yang sama - 9,8 m/s 2 .

Turunan kedua

Dalam kasus sebelumnya, plot modulus kecepatan digambar sebagai garis lurus. Garis ini pertama kali mengarah ke bawah, karena nilai kuantitas ini terus menurun. Setelah mencapai nol pada salah satu titik waktu, indikator nilai ini mulai meningkat, dan arah representasi grafis dari modul kecepatan berubah secara dramatis. Sekarang garisnya mengarah ke atas.

Kecepatan, sebagai turunan dari koordinat terhadap waktu, juga memiliki titik kritis. Di wilayah ini, fungsinya yang awalnya menurun, mulai meningkat. Ini adalah tempat titik ekstrem dari turunan fungsi. Dalam hal ini, kemiringan garis singgung menjadi nol. Dan akselerasi, sebagai turunan kedua dari koordinat terhadap waktu, mengubah tanda dari "-" menjadi "+". Dan gerakan dari lambat seragam menjadi dipercepat secara seragam.

Grafik Percepatan

Sekarang pertimbangkan empat angka. Masing-masing menampilkan grafik perubahan besaran fisik seperti percepatan dari waktu ke waktu. Dalam kasus "A", nilainya tetap positif dan konstan. Artinya, kecepatan benda, seperti koordinatnya, terus meningkat. Jika kita membayangkan bahwa objek akan bergerak dengan cara ini untuk waktu yang sangat lama, fungsi yang mencerminkan ketergantungan koordinat pada waktu akan terus meningkat. Oleh karena itu, ia tidak memiliki daerah kritis. Juga tidak ada titik ekstrem pada grafik turunan, yaitu kecepatan yang berubah secara linear.

Hal yang sama berlaku untuk kasus "B" dengan akselerasi positif dan terus meningkat. Benar, grafik koordinat dan kecepatan akan sedikit lebih rumit di sini.

Saat percepatan menuju nol

Melihat sosok "B", seseorang dapat mengamati gambaran yang sama sekali berbeda yang mencirikan pergerakan tubuh. Kecepatannya akan digambarkan secara grafis sebagai parabola dengan cabang-cabang yang mengarah ke bawah. Jika kita melanjutkan garis yang menjelaskan perubahan percepatan hingga bersinggungan dengan sumbu OX, dan selanjutnya, maka kita dapat membayangkan bahwa hingga nilai kritis ini, dimana percepatannya ternyata sama dengan nol, kecepatan benda akan bertambah. semakin lama semakin lambat. Titik ekstrem turunan dari fungsi koordinat akan berada tepat di puncak parabola, setelah itu benda akan secara radikal mengubah sifat gerakannya dan mulai bergerak ke arah yang berbeda.

Dalam kasus terakhir, "G", sifat gerakan tidak dapat ditentukan secara tepat. Di sini kita hanya mengetahui bahwa tidak ada percepatan untuk beberapa periode yang sedang dipertimbangkan. Artinya benda dapat tetap di tempatnya atau gerakan terjadi dengan kecepatan konstan.

Mengkoordinasikan tugas tambahan

Mari beralih ke tugas yang sering ditemui saat mempelajari aljabar di sekolah dan ditawarkan untuk mempersiapkan ujian. Gambar di bawah ini menunjukkan grafik fungsi. Diperlukan untuk menghitung jumlah titik ekstrem.

Kami akan melakukan ini untuk sumbu y dengan menentukan koordinat daerah kritis di mana perubahan karakteristik fungsi diamati. Sederhananya, kami menemukan nilai di sepanjang sumbu x untuk titik belok, dan kemudian melanjutkan untuk menjumlahkan suku yang dihasilkan. Menurut grafik, terlihat jelas bahwa mereka mengambil nilai berikut: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Jumlahnya menjadi -21, yang merupakan jawabannya.

Solusi optimal

Tidak perlu menjelaskan betapa pentingnya pilihan solusi optimal dalam pelaksanaan tugas-tugas praktis. Lagi pula, ada banyak cara untuk mencapai tujuan, dan jalan keluar terbaik biasanya hanya satu. Hal ini sangat diperlukan, misalnya saat mendesain kapal, pesawat luar angkasa dan pesawat terbang, struktur arsitektur untuk menemukan bentuk optimal dari benda-benda buatan manusia tersebut.

Kecepatan kendaraan sangat bergantung pada minimalisasi hambatan yang mereka alami saat bergerak melalui air dan udara, pada beban berlebih yang timbul di bawah pengaruh gaya gravitasi dan banyak indikator lainnya. Kapal di laut membutuhkan kualitas seperti stabilitas selama badai, untuk kapal sungai, draf minimum penting. Saat menghitung desain optimal, titik ekstrem pada grafik dapat secara visual memberikan gambaran tentang solusi terbaik untuk masalah yang kompleks. Tugas rencana semacam itu sering diselesaikan dalam ekonomi, di bidang ekonomi, dalam banyak situasi kehidupan lainnya.

Dari sejarah kuno

Tugas ekstrem bahkan menduduki orang bijak kuno. Ilmuwan Yunani berhasil mengungkap misteri luas dan volume melalui perhitungan matematis. Mereka adalah orang pertama yang memahami bahwa pada bidang dengan berbagai figur dengan keliling yang sama, lingkaran selalu memiliki luas terbesar. Demikian pula, bola diberkahi dengan volume maksimum di antara benda-benda lain di ruang angkasa dengan luas permukaan yang sama. Kepribadian terkenal seperti Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius mengabdikan diri untuk memecahkan masalah seperti itu. Heron berhasil dengan sangat baik dalam menemukan titik-titik ekstrem, yang, setelah menggunakan perhitungan, membuat perangkat yang cerdik. Ini termasuk mesin otomatis yang bergerak dengan uap, pompa dan turbin yang beroperasi dengan prinsip yang sama.

Pembangunan Kartago

Ada sebuah legenda, yang plotnya didasarkan pada penyelesaian salah satu tugas ekstrem. Hasil dari pendekatan bisnis yang ditunjukkan oleh putri Fenisia, yang meminta bantuan orang bijak, adalah pembangunan Kartago. Sebidang tanah untuk kota kuno dan terkenal ini dipersembahkan kepada Dido (itu nama penguasa) oleh pemimpin salah satu suku Afrika. Area peruntukan pada awalnya tidak tampak terlalu besar, karena menurut kontrak itu harus ditutup dengan kulit sapi. Tetapi sang putri memerintahkan tentaranya untuk memotongnya menjadi potongan-potongan tipis dan membuat ikat pinggang. Ternyata begitu lama sehingga menutupi area yang cocok untuk seluruh kota.

Asal mula kalkulus

Dan sekarang mari beralih dari zaman kuno ke zaman selanjutnya. Menariknya, pada abad ke-17, Kepler terdorong untuk memahami dasar-dasar analisis matematis melalui pertemuannya dengan seorang penjual anggur. Pedagang itu sangat ahli dalam profesinya sehingga dia dapat dengan mudah menentukan volume minuman di dalam tong hanya dengan menurunkan tourniquet besi ke dalamnya. Merefleksikan keingintahuan tersebut, ilmuwan terkenal itu berhasil memecahkan dilema ini untuk dirinya sendiri. Ternyata para pembuat kapal yang terampil pada masa itu terbiasa membuat bejana sedemikian rupa sehingga pada ketinggian dan radius keliling cincin pengikat tertentu, mereka akan memiliki kapasitas maksimum.

Bagi Kepler, ini menjadi kesempatan untuk refleksi lebih lanjut. Bochars sampai pada solusi optimal dengan pencarian panjang, kesalahan, dan upaya baru, meneruskan pengalaman mereka dari generasi ke generasi. Tetapi Kepler ingin mempercepat prosesnya dan mempelajari cara melakukan hal yang sama dalam waktu singkat melalui perhitungan matematis. Semua perkembangannya, diambil oleh rekan-rekannya, berubah menjadi teorema Fermat dan Newton - Leibniz yang sekarang dikenal.

Masalah mencari luas maksimum

Bayangkan kita memiliki kawat yang panjangnya 50 cm, bagaimana cara membuat persegi panjang yang luasnya paling besar?

Memulai keputusan, seseorang harus melanjutkan dari kebenaran yang sederhana dan terkenal. Jelas bahwa keliling sosok kita adalah 50 cm, juga terdiri dari dua kali panjang kedua sisinya. Artinya, dengan menetapkan salah satunya sebagai "X", yang lain dapat dinyatakan sebagai (25 - X).

Dari sini kita mendapatkan luas sebesar X (25 - X). Ekspresi ini dapat direpresentasikan sebagai fungsi yang mengambil banyak nilai. Solusi dari masalah ini membutuhkan pencarian yang maksimal, yang berarti Anda harus mengetahui titik-titik ekstremnya.

Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan pertama dan menyamakannya dengan nol. Hasilnya adalah persamaan sederhana: 25 - 2X = 0.

Dari situ kita belajar bahwa salah satu sisinya adalah X = 12,5.

Oleh karena itu, yang lain: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Ternyata penyelesaian soal tersebut adalah persegi dengan panjang sisi 12,5 cm.

Cara mencari kecepatan maksimal

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Bayangkan ada benda yang gerak lurusnya digambarkan dengan persamaan S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, dimana jarak tempuh dinyatakan dalam meter, dan waktu dalam detik. Diperlukan untuk menemukan kecepatan maksimum. Bagaimana cara melakukannya? Diunduh temukan kecepatannya, yaitu turunan pertama.

Kita mendapatkan persamaan: V = - 3t 2 + 18t - 24. Sekarang, untuk menyelesaikan soal, kita perlu mencari titik ekstrem lagi. Ini harus dilakukan dengan cara yang sama seperti pada tugas sebelumnya. Kami menemukan turunan pertama dari kecepatan dan menyamakannya dengan nol.

Kita mendapatkan: - 6t + 18 = 0. Jadi t = 3 s. Ini adalah waktu ketika kecepatan tubuh mengambil nilai kritis. Kami mengganti data yang diperoleh ke dalam persamaan kecepatan dan mendapatkan: V = 3 m/s.

Tetapi bagaimana memahami bahwa ini adalah kecepatan maksimum, karena titik kritis dari suatu fungsi dapat berupa nilai terbesar atau terkecilnya? Untuk memeriksanya, Anda perlu mencari turunan kedua dari kecepatan. Itu dinyatakan sebagai angka 6 dengan tanda minus. Ini berarti bahwa titik yang ditemukan adalah maksimum. Dan dalam hal nilai positif dari turunan kedua, akan ada nilai minimum. Oleh karena itu, solusi yang ditemukan adalah benar.

Tugas-tugas yang diberikan sebagai contoh hanyalah sebagian dari tugas-tugas yang dapat diselesaikan dengan mampu menemukan titik-titik ekstrem suatu fungsi. Sebenarnya masih banyak lagi. Dan pengetahuan semacam itu membuka kemungkinan tak terbatas bagi peradaban manusia.

Pertimbangkan dua gigi dari profil gergaji yang terkenal. Mari arahkan sumbu di sepanjang sisi datar gergaji, dan sumbu - tegak lurus terhadapnya. Mari kita dapatkan grafik dari beberapa fungsi, ditunjukkan pada Gambar. 1.

Cukup jelas bahwa baik di titik maupun di titik, nilai fungsi menjadi yang terbesar dibandingkan dengan nilai di titik tetangga di kanan dan kiri, dan di titik - titik terkecil dibandingkan dengan titik tetangga. Titik disebut titik ekstrim dari fungsi (dari bahasa Latin extremum - "ekstrim"), titik dan adalah titik maksimum, dan titik adalah titik minimum (dari bahasa Latin maksimum dan minimum - "terbesar" dan "terkecil" ”).

Mari kita perbaiki definisi ekstrem.

Suatu fungsi di suatu titik dikatakan maksimum jika terdapat suatu selang yang memuat titik tersebut dan termasuk ke dalam domain fungsi tersebut, sehingga untuk semua titik dalam selang tersebut ternyata . Dengan demikian, fungsi pada suatu titik memiliki nilai minimum jika kondisi terpenuhi untuk semua titik pada interval tertentu.

Pada ara. Gambar 2 dan 3 menunjukkan grafik fungsi yang memiliki titik ekstrem.

Perhatikan fakta bahwa, menurut definisi, titik ekstrem harus terletak di dalam interval pengaturan fungsi, dan bukan di ujungnya. Oleh karena itu, untuk fungsi yang ditunjukkan pada Gambar. 1, tidak dapat diasumsikan memiliki titik minimum.

Jika dalam definisi fungsi maksimum (minimum) ini, kami mengganti pertidaksamaan ketat dengan yang tidak ketat , maka kita memperoleh definisi maksimum yang tidak ketat (non-strict minimum). Perhatikan, misalnya, profil puncak gunung (Gbr. 4). Setiap titik bidang datar - segmen adalah titik maksimum yang tidak ketat.

Dalam kalkulus diferensial, mempelajari fungsi ekstrem sangat efektif dan cukup sederhana dilakukan dengan menggunakan turunan. Salah satu teorema utama kalkulus diferensial, yang menetapkan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem fungsi terdiferensiasi, adalah teorema Fermat (lihat teorema Fermat). Biarkan fungsi pada suatu titik memiliki ekstrem. Jika ada turunan pada titik ini, maka sama dengan nol.

Dalam bahasa geometris, teorema Fermat berarti bahwa pada titik ekstrem garis singgung grafik fungsinya adalah horizontal (Gbr. 5). Pernyataan kebalikannya, tentu saja, tidak benar, yang ditunjukkan, misalnya, oleh grafik pada Gambar. 6.

Teorema ini dinamai menurut ahli matematika Prancis P. Fermat, yang merupakan salah satu orang pertama yang memecahkan sejumlah masalah ekstrem. Dia belum memiliki konsep turunan, tetapi dalam penyelidikannya dia menggunakan metode yang esensinya dinyatakan dalam pernyataan teorema.

Kondisi cukup untuk ekstrem fungsi terdiferensialkan adalah perubahan tanda turunan. Jika pada suatu titik turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, yaitu penurunannya diganti dengan peningkatan, maka titik tersebut akan menjadi titik minimum. Sebaliknya, titik tersebut akan menjadi titik maksimum jika turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, yaitu. berjalan dari naik ke turun.

Titik di mana turunan fungsi sama dengan nol disebut stasioner. Jika fungsi terdiferensiasi sedang diselidiki untuk suatu ekstrem, maka semua titik stasionernya harus ditemukan dan tanda turunannya harus dipertimbangkan di kiri dan kanannya.

Kami menyelidiki fungsi untuk ekstrem.

Mari kita cari turunannya: .

Mari kita beralih ke grafik fungsi y \u003d x 3 - 3x 2. Pertimbangkan lingkungan dari titik x = 0, yaitu beberapa interval yang mengandung titik ini. Adalah logis bahwa ada ketetanggaan pada titik x \u003d 0 sehingga fungsi y \u003d x 3 - 3x 2 mengambil nilai terbesar di lingkungan ini pada titik x \u003d 0. Misalnya, pada interval (- 1; 1) nilai terbesar sama dengan 0, fungsi mengambil titik x = 0. Titik x = 0 disebut titik maksimum fungsi ini.

Demikian pula, titik x \u003d 2 disebut titik minimum dari fungsi x 3 - 3x 2, karena pada titik ini nilai fungsinya tidak lebih besar dari nilainya di titik lain di sekitar titik x \u003d 2 , misalnya, lingkungan sekitar (1,5; 2,5).

Jadi, titik x 0 disebut titik maksimum dari fungsi f (x) jika ada lingkungan dari titik x 0 - sehingga pertidaksamaan f (x) ≤ f (x 0) terpenuhi untuk semua x dari ini lingkungan.

Misalnya, titik x 0 \u003d 0 adalah titik maksimum dari fungsi f (x) \u003d 1 - x 2, karena f (0) \u003d 1 dan pertidaksamaan f (x) ≤ 1 berlaku untuk semua nilai dari x.

Titik minimum dari fungsi f (x) disebut titik x 0 jika ada ketetanggaan dari titik x 0 sehingga pertidaksamaan f (x) ≥ f (x 0) terpenuhi untuk semua x dari ketetanggaan ini.

Misalnya, titik x 0 \u003d 2 adalah titik minimum dari fungsi f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, karena f (2) \u003d 3 dan f (x) ≥ 3 untuk semua x .

Titik ekstrim disebut titik minimum dan titik maksimum.

Mari kita beralih ke fungsi f(x), yang didefinisikan di sekitar titik x 0 dan memiliki turunan pada titik ini.

Jika x 0 adalah titik ekstrem dari fungsi yang dapat diturunkan f (x), maka f "(x 0) \u003d 0. Pernyataan ini disebut teorema Fermat.

Teorema Fermat memiliki arti geometris yang jelas: pada titik ekstrem, garis singgungnya sejajar dengan sumbu x dan oleh karena itu kemiringannya
f "(x 0) adalah nol.

Misalnya, fungsi f (x) \u003d 1 - 3x 2 memiliki maksimum pada titik x 0 \u003d 0, turunannya f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Fungsi f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 memiliki minimum pada titik x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Perhatikan bahwa jika f "(x 0) \u003d 0, maka ini tidak cukup untuk menyatakan bahwa x 0 harus merupakan titik ekstrem dari fungsi f (x).

Misalnya, jika f (x) \u003d x 3, maka f "(0) \u003d 0. Namun, titik x \u003d 0 bukanlah titik ekstrem, karena fungsi x 3 bertambah pada seluruh sumbu real.

Jadi, titik ekstrem dari fungsi yang dapat diturunkan harus dicari hanya di antara akar-akar persamaan
f "(x) \u003d 0, tetapi akar dari persamaan ini tidak selalu merupakan titik ekstrem.

Titik stasioner adalah titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol.

Jadi, agar titik x 0 menjadi titik ekstrem, titik tersebut harus menjadi titik stasioner.

Pertimbangkan kondisi yang cukup untuk titik stasioner menjadi titik ekstrem, yaitu kondisi di mana titik stasioner adalah titik minimum atau maksimum suatu fungsi.

Jika turunan ke kiri titik stasioner adalah positif, dan ke kanan adalah negatif, yaitu. perubahan turunan tanda “+” menjadi tanda “-” ketika melewati titik ini, maka titik stasioner ini merupakan titik maksimum.

Memang, dalam hal ini, di sebelah kiri titik stasioner, fungsinya bertambah, dan ke kanan berkurang, mis. titik ini adalah titik maksimum.

Jika turunannya mengubah tanda “-” menjadi tanda “+” saat melewati suatu titik stasioner, maka titik stasioner tersebut merupakan titik minimum.

Jika turunannya tidak berubah tanda ketika melewati titik stasioner, yaitu turunannya positif atau negatif ke kiri dan ke kanan titik stasioner, maka titik tersebut bukan merupakan titik ekstrem.

Mari pertimbangkan salah satu tugas. Temukan titik ekstrem dari fungsi f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Larutan.

1) Temukan turunannya: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Temukan titik stasioner: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Dengan menggunakan metode interval, kita tentukan bahwa turunan f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) adalah positif untuk x\u003e 3, negatif untuk x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Karena ketika melewati titik x 1 \u003d 0 tanda turunannya tidak berubah, titik ini bukan merupakan titik ekstrim.

5) Turunan mengubah tanda "-" menjadi tanda "+" ketika melewati titik x 2 \u003d 3. Jadi, x 2 \u003d 3 adalah titik minimum.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Definisi:

ekstrem beri nama nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi pada himpunan tertentu.

titik ekstrim adalah titik di mana nilai maksimum atau minimum fungsi tercapai.

Titik maksimum adalah titik di mana nilai maksimum fungsi tercapai.

Poin rendah adalah titik di mana nilai minimum fungsi tercapai.

Penjelasan.

Pada gambar, di sekitar titik x = 3, fungsi tersebut mencapai nilai maksimumnya (yaitu, di sekitar titik tersebut, tidak ada titik yang lebih tinggi). Di lingkungan x = 8, lagi-lagi memiliki nilai maksimum (sekali lagi, mari kita perjelas: di lingkungan inilah tidak ada titik di atas). Pada titik-titik ini, peningkatan digantikan oleh penurunan. Mereka adalah poin maksimum:

xmaks = 3, xmaks = 8.

Di sekitar titik x = 5, nilai minimum dari fungsi tersebut tercapai (yaitu, di sekitar x = 5, tidak ada titik di bawahnya). Pada titik ini, penurunan digantikan oleh peningkatan. Ini adalah poin minimum:

Poin maksimum dan minimum adalah titik ekstrim dari fungsi, dan nilai fungsi pada titik-titik ini adalah miliknya ekstrem.

Titik kritis dan stasioner dari fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:

Kondisi cukup untuk ekstrem:

Pada segmen, fungsi y = F(X) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik - titik kritis maupun pada ujung segmen .

Algoritma untuk mempelajari fungsi kontinuy = F(X) untuk kemonotonan dan ekstrem:

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ didefinisikan di beberapa lingkungan titik $(x_0,y_0)$. Dikatakan bahwa $(x_0,y_0)$ adalah titik maksimum (lokal) jika untuk semua titik $(x,y)$ di beberapa lingkungan $(x_0,y_0)$ pertidaksamaan $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, maka titik $(x_0,y_0)$ disebut titik minimum (lokal).

Titik tinggi dan rendah sering disebut dengan titik ekstrem istilah umum.

Jika $(x_0,y_0)$ adalah titik maksimum, maka nilai fungsi $f(x_0,y_0)$ pada titik ini disebut maksimum dari fungsi $z=f(x,y)$. Dengan demikian, nilai fungsi pada titik minimum disebut minimum fungsi $z=f(x,y)$. Minima dan maksima suatu fungsi disatukan oleh istilah umum - ekstrem suatu fungsi.

Algoritma untuk mempelajari fungsi $z=f(x,y)$ untuk ekstrem

1. Temukan turunan parsial dari $\frac(\partial z)(\partial x)$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)$. Susun dan selesaikan sistem persamaan $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Titik-titik yang koordinatnya memenuhi sistem yang ditentukan disebut stasioner.
2. Temukan $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ dan hitung nilainya $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ di setiap titik stasioner. Setelah itu, gunakan skema berikut:
   1. Jika $\Delta > 0$ dan $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (atau $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), maka pada titik yang diteliti merupakan titik minimum.
   2. Jika $\Delta > 0$ dan $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Jika $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Jika $\Delta = 0$, maka tidak ada yang pasti yang dapat dikatakan tentang keberadaan ekstrem; diperlukan penelitian tambahan.

Catatan (diinginkan untuk pemahaman teks yang lebih baik): tampilkan\sembunyikan

Jika $\Delta > 0$ kemudian $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\sebagian x\sebagian y) \kanan)^2 > 0$. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Itu. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Jika hasil kali suatu besaran lebih besar dari nol, maka besaran tersebut memiliki tanda yang sama. Misalnya, jika $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, maka $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Singkatnya, jika $\Delta > 0$ maka tanda dari $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ dan $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ adalah sama.

Contoh 1

Selidiki fungsi $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ untuk ekstrem.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \kanan. $$

Mari kita kurangi setiap persamaan dari sistem ini dengan $2$ dan pindahkan angka ke sisi kanan persamaan:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Kami telah memperoleh sistem persamaan aljabar linier. Dalam situasi ini, menurut saya penerapan metode Cramer yang paling nyaman untuk menyelesaikan sistem yang dihasilkan.

$$ \begin(sejajar) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\kiri| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\kiri| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\kanan|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(sejajar) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Nilai $x=2$, $y=-3$ adalah koordinat titik stasioner $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Mari hitung nilai dari $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Karena $\Delta > 0$ dan $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, maka menurut titik $(2;-3)$ adalah titik minimum dari fungsi $ z$. Kami menemukan minimum fungsi $z$ dengan mengganti koordinat titik $(2;-3)$ ke dalam fungsi yang diberikan:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Menjawab: $(2;-3)$ - poin minimum; $z_(mnt)=-90$.

Contoh #2

Selidiki fungsi $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ untuk ekstrem.

Kami akan mengikuti yang di atas. Pertama, mari kita cari turunan parsial dari orde pertama:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Susunlah sistem persamaan $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ akhir( sejajar)\kanan.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \kanan. $$

Kurangi persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Jika $x=0$, maka persamaan kedua akan membawa kita ke kontradiksi: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Oleh karena itu kesimpulannya: $x\neq 0$. Kemudian dari persamaan kedua kita memiliki: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Mengganti $y=\frac(2)(x)$ ke persamaan pertama, kita memiliki:

$$ x^2+\kiri(\frac(2)(x) \kanan)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Kami mendapat persamaan biquadratic. Kami membuat substitusi $t=x^2$ (kami ingat bahwa $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(sejajar) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(disejajarkan) $$

Jika $t=1$, maka $x^2=1$. Karenanya kami memiliki dua nilai $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Jika $t=4$, maka $x^2=4$, mis. $x_3=2$, $x_4=-2$. Mengingat bahwa $y=\frac(2)(x)$, kita mendapatkan:

\begin(sejajar) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(sejajar)

Jadi, kita memiliki empat titik stasioner: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Ini melengkapi langkah pertama dari algoritma.

Sekarang mari kita turun ke algoritme. Mari kita temukan turunan parsial dari orde kedua:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Temukan $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Sekarang kita akan menghitung nilai $\Delta$ pada setiap titik stasioner yang ditemukan sebelumnya. Mari kita mulai dari titik $M_1(1;2)$. Pada titik ini kita memiliki: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Sejak $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Mari jelajahi titik $M_2(-1;-2)$. Pada titik ini kita memiliki: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Sejak $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Mari kita periksa poin $M_3(2;1)$. Pada titik ini kita mendapatkan:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Karena $\Delta(M_3) > 0$ dan $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, maka menurut $M_3(2; 1)$ adalah titik minimum dari fungsi $z$. Kami menemukan minimum fungsi $z$ dengan mengganti koordinat titik $M_3$ ke dalam fungsi yang diberikan:

$$ z_(mnt)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Tetap menjelajahi titik $M_4(-2;-1)$. Pada titik ini kita mendapatkan:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Sejak $\Delta(M_4) > 0$ dan $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(maks)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Studi ekstrem selesai. Tetap hanya menuliskan jawabannya.

Menjawab:

• $(2;1)$ - poin minimum, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - poin maksimum, $z_(maks)=29$.

Catatan

Dalam kasus umum, tidak perlu menghitung nilai $\Delta$, karena kita hanya tertarik pada tandanya, dan bukan pada nilai spesifik dari parameter ini. Misalnya, untuk contoh No. 2 yang dibahas di atas, pada titik $M_3(2;1)$ kita memiliki $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Di sini jelas bahwa $\Delta > 0$ (karena kedua faktor $36$ dan $(2^2-1^2)$ adalah positif) dan dimungkinkan untuk tidak menemukan nilai spesifik dari $\Delta$. Benar, ucapan ini tidak berguna untuk kalkulasi biasa - mereka harus membawa kalkulasi ke angka :)

Contoh #3

Selidiki fungsi $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ untuk ekstrem.

Kami akan mengikuti. Pertama, mari kita cari turunan parsial dari orde pertama:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Susunlah sistem persamaan $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ akhir( sejajar)\kanan.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Mari kurangi kedua persamaan dengan $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Mari tambahkan persamaan pertama ke persamaan kedua dan nyatakan $y$ dalam bentuk $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Mensubstitusikan $y=-x$ ke dalam persamaan pertama sistem, kita akan mendapatkan:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Dari persamaan yang dihasilkan kita memiliki: $x=0$ atau $x^2-2=0$. Ini mengikuti dari persamaan $x^2-2=0$ bahwa $x=-\sqrt(2)$ atau $x=\sqrt(2)$. Jadi, tiga nilai $x$ ditemukan, yaitu: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Karena $y=-x$, maka $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Langkah pertama dari solusi selesai. Kami mendapat tiga titik stasioner: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Sekarang mari kita turun ke algoritme. Mari kita temukan turunan parsial dari orde kedua:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Temukan $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \kanan)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Sekarang kita akan menghitung nilai $\Delta$ pada setiap titik stasioner yang ditemukan sebelumnya. Mari kita mulai dari titik $M_1(0;0)$. Pada titik ini kita memiliki: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Karena $\Delta(M_1) = 0$, diperlukan penelitian tambahan, karena tidak ada yang pasti yang dapat dikatakan tentang keberadaan ekstrem pada titik yang ditinjau. Mari kita tinggalkan poin ini untuk sementara waktu dan beralih ke poin lain.

Mari kita periksa intinya $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Pada titik ini kita mendapatkan:

\begin(sejajar) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(sejajar)

Karena $\Delta(M_2) > 0$ dan $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, maka menurut $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ adalah titik minimum dari fungsi $z$. Kami menemukan minimum fungsi $z$ dengan mengganti koordinat titik $M_2$ ke dalam fungsi yang diberikan:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Sama halnya dengan poin sebelumnya, kita memeriksa poin $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Pada titik ini kita mendapatkan:

\begin(sejajar) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(sejajar)

Karena $\Delta(M_3) > 0$ dan $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, maka menurut $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ adalah titik minimum dari fungsi $z$. Kami menemukan minimum fungsi $z$ dengan mengganti koordinat titik $M_3$ ke dalam fungsi yang diberikan:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Saatnya kembali ke titik $M_1(0;0)$, di mana $\Delta(M_1) = 0$. Diperlukan penelitian tambahan. Ungkapan mengelak ini berarti "lakukan apa yang Anda inginkan" :). Tidak ada cara umum untuk menyelesaikan situasi seperti itu - dan ini bisa dimengerti. Jika ada metode seperti itu, maka itu akan masuk ke semua buku teks sejak lama. Sementara itu, kita harus mencari pendekatan khusus untuk setiap titik di mana $\Delta = 0$. Baiklah, mari selidiki perilaku fungsi di sekitar titik $M_1(0;0)$. Kami segera mencatat bahwa $z(M_1)=z(0;0)=3$. Asumsikan bahwa $M_1(0;0)$ adalah poin minimum. Kemudian untuk setiap titik $M$ dari beberapa lingkungan titik $M_1(0;0)$ kita mendapatkan $z(M) > z(M_1) $, yaitu $z(M) > 3$. Bagaimana jika ada lingkungan yang berisi titik di mana $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Pertimbangkan poin yang $y=0$, mis. poin dalam bentuk $(x,0)$. Pada titik ini, fungsi $z$ akan mengambil nilai berikut:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Di semua lingkungan yang cukup kecil $M_1(0;0)$ kita memiliki $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Tapi mungkin poin $M_1(0;0)$ adalah poin maksimum? Jika demikian, maka untuk setiap titik $M$ dari beberapa lingkungan titik $M_1(0;0)$ kita mendapatkan $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Maka pasti tidak akan ada maksimum pada titik $M_1$.

Pertimbangkan poin yang $y=x$, mis. poin dalam bentuk $(x,x)$. Pada titik ini, fungsi $z$ akan mengambil nilai berikut:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Karena di setiap lingkungan titik $M_1(0;0)$ kita memiliki $2x^4 > 0$, lalu $2x^4+3 > 3$. Kesimpulan: setiap lingkungan dari titik $M_1(0;0)$ berisi titik di mana $z > 3$, jadi titik $M_1(0;0)$ tidak bisa menjadi titik maksimum.

Intinya $M_1(0;0)$ bukanlah maksimum atau minimum. Kesimpulan: $M_1$ sama sekali bukan titik ekstrim.

Menjawab: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - poin minimum dari fungsi $z$. Di kedua titik $z_(min)=-5$.